Skip to main content

Full text of "Oeuvres de Henri Poincaré :"

See other formats 


BOOK   5  10.08.P755  V.7  cl 
POPMCARS    »   OEUVBES  OE   HENRI 
POINCAHF 

"     l'i'll 


3    T1S3    DD12bl43 


ŒUVRES 


DE 


HENRI   POINCARÉ 


PARIS.  —  IMPRIMERIE  GAUTHIER-VILLA RS 

Quai  des  Grands-Augustins,  Si 

138265 


ŒUVRES  ■^^- 

HIC 

HENRI   POINCARÉ       *^ 

PUBLIÉES 

SOUS  LES  AUSPICES  DE  L'ACADÉMIE  DES  SCIENCES 

PAK 

LA    SECTION   DE   GÉOMÉTRIE 
TOME    VII 

PUBLIÉ    AVEC    LA    COLLABORATION 
DE 

JACQUES    LÉVY 

ASTRONOME     A     l'OBSERVATOIRE     DB     PARIS 


PARIS 

GAUTHIER-VILLARS,  ÉDITEUR 

LIBRAIRE    DU    BUREAU   DES   LONGITUDES,    DE   L'ÉCOLE  POLYTECHNIQUE 
Quai  des  Grands-Augustins,  55 

1952 


Copyright  by  Gauthiei'-Villars,  igSî. 
Tous  droils  de  Iradnclion,  de  reproduction  et  d'adaptation  rcseivép  pour  tous  pays. 


MÉCANIQUE  CÉLESTE 


ET 


ASTRONOMIE 


AVANT-PROPOS 


La  quatrième  Section  des  Œuvres  de  Henri  Poincaré,  qui  comprend 
les  Tomes  VII  et  VIII,  groupe  ceux  des  Mémoires  qui  traitent  princi- 
palement de  Mécanique  analytique,  de  Mécanique  célesle  et  d'Astro- 
nomie. Il  est  fait  constamment  appel  dans  ces  Mémoires  à  des  travaux 
d'Algèbre  et  d'Analyse  figurant  dans  les  Sections  précédentes,  notam- 
ment sur  les  courbes  définies  par  les  équations  différentielles  et  sur  les 
séries  trigonomélriques,  qu'on  trouvera  dans  les  Tomes  I  et  IV  des 
Œuvres.  Inversement,  le  présent  Tome  contient,  entre  autres,  les 
théories  des  coefficients  de  stabilité,  des  formes  de  bifurcation,  des 
équations  aux  variations,  des  invariants  intégraux,  des  propriétés  des 
solutions  de  l'équation  de  Mathieu.  Le  caractère  d'unité  qu'offre 
l'œuvre  de  Henri  Poincaré,  qui  se  traduit  par  exemple  par  la  résolution 
d'un  problème  du  Calcul  des  variations  au  moyen  de  considérations 
empruntées  à  l'Électrostatique,  ainsi  qu'on  le  verra  plus  loin,  rendait 
impossible  une  nette  délimitation  des  différentes  Sections. 

J.   L. 


ANALYSE 


DE    SES 


TRAVAUX    SCIENTIFIQUES 

Faite  Pau  Henri  POINCARÉ  ('). 


Acta  Matkcniatica,  t.  38,  p.  lo^-n^  (1921J 


MÉCANIQUE    CÉLESTE. 

XVII.  —  Généralités  sur  les  équations  de  la  Dynamique 
et  de  la  Mécanique  céleste  [164,  166,  183,  187,  278,280]. 

Les  équations  de  la  Dynamique  présentent  des  propriétés  remarquables  qui 
ont  été  mises  en  évidence  par  Jacobi  dans  ses  Vorlesungen. 

Quelles  sont  les  conséquences  plus  ou  moins  immédiates  de  ces  propriétés? 
Quel  parti  peut-on  en  tirer  pour  la  mise  en  équation  des  problèmes  de  Dyna- 
mique et  en  particulier  des  problèmes  de  Mécanique  céleste?  Telle  est  la 
première  question  dont  je  veux  parler  ici. 

J'ai  été  amené  à  passer  en  revue  les  principales  propriétés  des  équations 
canoniques  [183,278].  Les  propriétés  sont  classiques;  et  je  n'ai  eu  qu'à  perfec- 
tionner certains  détails;  en  me  servant  surtout  du  caractère  bien  connu  qui 


(')  On  n'a  reproduit  ici  que  les  extraits  de  celte  Analyse  qui  concernent  les  matières  traitées 
dans  le  présent  Volume.  Les  Mémoires  figurent  sous  les  numéros  qu'ils  portent  dans  la  biblio- 
graphie qui  suit  l'Analyse.  (J.  L.) 

H.  P.  —  VII.  I 


5  ANALYSE    DE    SES    TRAVAUX    SCIENTIFIQUES. 

permet  de  reconnaître  si  un  cliangemenl  de  variables  conserve  la  forme 
canonique  des  équations. 

Ce  genre  de  transformations  facilite  la  mise  en  équation  du  problème  des 
trois  corps;  c'est  ce  que  j'ai  montré  [164,  187].  On  sait  que  dans  le  procédé 
classique  on  rapporte  toutes  les  planètes  à  des  axes  mobiles  passant  par  le  Soleil 
L'inconvénient  est  que  la  fonction  perturbatrice  n'est  pas  la  même  pour  toutes 
les  planètes.  Un  autre  procédé  consiste  à  rapporter  chaque  planète  au  centre 
de  gravité  du  système  formé  par  le  Soleil  et  toutes  les  planètes  inférieures  à  celle 
(]ue  l'on  considère.  L'inconvénient  est  évité,  mais  la  fonction  perturbalrice  est 
un  peu  plus  compliquée.  J'ai  proposé  un  troisième  procédé,  dans  lequel  les 
coordonnées  de  chaque  planète  sont  rapportées  au  Soleil,  et  sa  vitesse  à  des 
axes  fixes. 

Malgré  les  travaux  dont  les  équations  canoniques  ont  été  l'objet  depuis 
Jacobi,  toutes  leurs  propriétés  ne  sont  pas  connues,  ou  plutôt  on  n'a  pas  insisté 
sur  toutes  les  formes  que  peuvent  revêtir  ces  propriétés  et  qu'il  peut  être  utile 
de  connaître.  Si  par  exemple  ou  étudie  les  équations  aux  variations  des  équa- 
tions de  la  Dynamique,  c'est-à-dire  les  équations  qui  définissent  une  solution 
infiniment  peu  différente  d'une  solution  donnée,  on  rencontre  des  propositions 
importantes  sur  lesquelles  j'ai  attiré  l'attention  [183,  278]. 

D'un  autre  côté,  j'ai  été  amené  à  introduire  une  notion  nouvelle,  celle  des 
invariants  intégraux  [183,  280].  Ce  sont  certaines  intégrales  définies  simples  ou 
multiples  qui  demeurent  constantes,  quand  le  champ  d'intégration  varie  confor- 
mément à  une  certaine  loi  définie  par  une  équation  différentielle.  Si  par 
exemple  on  envisage  les  équations  différentielles  relatives  au  mouvement  d'un 
fluide  incompressible,  le  volume  est  un  invariant  intégral. 

Les  équations  canoniques  de  la  Dynamique  possèdent  des  invariants  inté- 
graux remarquables  et  l'existence  de  ces  invariants  jette  une  grande  lumière  sur 
leurs  propriétés. 

Pour  en  finir  avec  ces  généralités  sur  les  équations  de  la  Dynamique  et  le 
problème  des  trois  corps,  je  signalerai  un  dernier  travail  [lG(i].  On  sait  que 
Bruns  a  démontré  que  le  problème  des  trois  corps  ne  saurait  admettre  d'autre 
intégrale  algébrique  que  les  intégrales  classiques.  Malheureusement  dans  sa 
démonstration  subsistait  une  lacune  grave  et  particulièrement  délicate  à 
combler.  J'ai  été  assez  heureux  pour  mettre  la  belle  et  ingénieuse  démonstration 
de  M.  Bruns  à  l'abri  de  toute  objection. 


ANALYSE    DE   SES    TRAVAUX   SCIENTIFIQUES.  3 

XVIII.  —  Problème  des  trois  corps  ;  propriétés  qualitatives 
[38,  92,  163,  167,  183.  204,  278,  280]. 

Ce  qui  va  suivre  est  le  développement  naturel  des  méthodes  dont  il  a  été 
question  plus  haut  au  paragraphe  V  et  leur  application  à  la  Mécanique  céleste. 

J'ai  montré  de  diverses  manières  [183,  278]  qu'en  dehors  des  intégrales 
classiques  le  problème  des  trois  corps  n'admet  pas  d'intégrale  analytique  et 
uniforme,  et  il  en  résulterait  que  la  plupart  des  séries  proposées  jusqu'ici  pour 
l'intégration  de  ce  problème,  de  même  que  celles  dont  il  sera  question  dans  le 
paragraphe  suivant  ne  sont  pas  convergentes  et  ne  peuvent  être  utilisées  que 
dans  un  calcul  approché. 

D'après  ce  qui  précède,  il  semble  qu'il  soit  impossible  en  général  d'exprimer 
les  dislances  mutuelles  des  astres  par  des  séries  purement  trigonomélriques 
convergentes.  Mais  il  est  des  cas  particuliers  où  les  séries  aux(|uelles  on  est 
conduit  ne  contiennent  qu'un  seul  argument  et  où  leur  convergence  est  évi- 
dente. En  effet,  j'ai  démontré  [38,  92]  (jue,  dans  le  problème  des  trois  corps, 
on  peut  choisir  les  éléments  initiaux  du  mouvement  de  telle  façon  que  les 
distances  mutuelles  des  trois  niasses  soient  des  fonctions  périodiques  du  temps. 
On  est  ainsi  amené  à  une  solution  particulière  du  problème,  que  l'on  peut 
appeler  périodique. 

Ces  solutions  périodiques  sont  de  trois  sortes  :  dans  les  unes,  les  inclinaisons 
sont  nulles  et  les  excentricités  très  petites;  dans  d'autres,  les  inclinaisons  sont 
nulles  et  les  excentricités  finies;  dans  d'autres,  enfin,  les  inclinaisons  sont  finies 
et  les  excentricités  très  petites. 

Je  suis  revenu  [183,  278]  sur  ces  solutions  périodiques  et  je  les  ai  étudiées 
en  détail.  Les  procédés  dont  je  me  suis  servi  pour  démontrer  leur  existence 
sont  très  simples  et  se  ramènent  au  calcul  des  limites. 

Mais  on  peut  arriver  à  cette  démonstration  par  une  voie  toute  différente, 
qu'il  pourra  être  souvent  utile  d'adopter,  mais  dont  je  n'ai  pas  encore  tiré  tout 
le  parti  possible.  Supposons  par  exemple  que  l'on  recherche  les  géodésiques 
d'une  surface  indéfinie  présentant  la  même  forme  générale  cju'un  hjperboloïde 
à  une  nappe.  On  sera  certain  alors  qu'il  doit  y  avoir  une  géodésique  fermée 
(correspondant  à  une  solution  périodique)  parce  que,  parmi  toutes  les  courbes 
fermées  que  l'on  peut  tracer  sur  la  surface  et  (pii  en  font  le  tour,  il  doit  y  en 
avoir  une  qui  est  plus  courte  que  toutes  les  autres. 


4  ANALYSE    DE    SES    TRAVAUX    SCIENTIFIQUES. 

Los  mômes  principes  sont  susceptibles  d'êlre  appliqués  à  divers  problèmes 
de  Mécanique,  grâce  au  principe  de  moindre  action  que  l'on  peut  employer  soit 
sous  la  fornif  que  lui  a  donnée  Hamllton,  soit  sous  celle  que  lui  a  donnée 
Mauperluis.  Je  n'ai  fait  qu'esquisser  celle  méthode  dont  il  y  a  sans  doute 
encore  beaucoup  à  tirer. 

Outre  les  solutions  périodiques,  les  équations  du  problème  des  trois  corps 
admettent  aussi  d'autres  solutions  remarquables  que  j'appelle  asympto- 
tiques  [  183,  278].  Ce  qui  caractérise  ces  solutions  c'est  qu'elles  se  rapprochent 
indéfiniment  d'une  sûluliou  périodique,  ou  bien  qu'elles  s'éloignent  sans  cesse 
d'une  solution  périodique  dont  elles  sont  infiniment  rapprochées  pour  <  =^ — oo. 

D'autres  solutions  remarquables  sont  plus  difficiles  encore  à  apercevoir  [280]. 
Je  citerai  d'abord  les  solutions  périodiques  de  deuxième  espèce,  caractérisées 
par  ce  fait  que  deux  des  corps  se  rapprochent  périodiquement  de  façon  à 
presque  se  choquer. 

Nous  avons  encore  les  solutions  périodiques  de  deuxième  genre;  si  l'on  fait 
varier  d'une  manière  continue  un  des  paramètres  dont  dépend  le  problème,  par 
exemple  l'une  des  masses,  on  voit  une  solution  périodique  du  premier  genre  se 
déformer  d'une  façon  continue,  sa  période  restant  égale  à  T.  A  un  certain 
moment,  cette  solution  se  dédouble  pour  ainsi  dire,  ou  plutôt  se  détriple,  je 
veux  dire  qu'à  un  certain  moment  on  a  trois  solutions  périodiques  très  peu 
différentes;  l'une  d'elles  a  encore  pour  période  T,  les  deux  autres  ont  pour 
période  un  multiple  de  T.  Ce  sont  les  solutions  périodiques  du  deuxième  genre. 

Je  parlerai  enfin  des  solutions  doublement  asymptotiques.  Pour  <=  —  oo , 
elles  sont  infiniment  voisines  d'une  solution  périodique,  puis  elles  s'en  éloignent 
beaucoup,  ensuite  elles  s'en  rapprochent  de  nouveau,  de  telle  sorte  que  pour 
i  =+  00,  elles  en  sont  encore  infiniment  voisines. 

Pour  étudier  les  propriétés  et  les  rapports  de  ces  différentes  solutions,  je  me 
suis  servi  des  invariants  intégraux.  Ces  rapports  sont  très  compliqués,  de  sorte 
que  celte  étude  est  éminemment  propre  à  mettre  en  évidence  la  difficulté  du 
problème  des  trois  corps. 

Je  n'ai  pu  résoudre  rigoureusement  et  complètement  le  problème  de  la  stabi- 
lité du  système  solaire,  en  entendant  ce  mot  dans  un  sens  strictement  mathé- 
matique. L'emploi  des  invariants  intégraux  m'a  cependant  permis  [183,  280] 
d'atteindre  certains  résultats  partiels,  s'appliquant  surtout  au  problème  dit 
restreint,  où  les  deux  corps  principaux  circulent  dans  des  orbites  sans  excen- 
tricité, pendant  que  le  corps  troublé  a  une  masse  négligeable.  Dans  ce  cas,  si 


ANALYSE    DE    SES    TRAVAUX    SCIENTIFIQUES.  5 

on  laisse  de  côté  certaines  trajectoires  exceptionnelles,  dont  la  réalisation  est 
infiniment  peu  probable,  on  peut  démontrer  que  le  système  repassera  une 
infinité  de  fois  aussi  près  que  l'on  voudra  de  sa  situation  initiale.  C'est  ce  que 
j'ai  appelé  la  stabilité  à  la  Poisson. 

XIX.  —  Problème  des  trois  corps  ;  développements  approchés 
et  applications  [47,  '.l7,  115,  133,  119,  15S,  159,  1«,  208,  210,  214, 

215,216,279]. 

Tous  les  théorèmes  dont  il  a  été  question  dans  le  paragraphe  précédent  ont 
un  caractère  commun,  ils  sont  rigoureus.  Ceux  dont  je  vais  parler  maintenant 
ne  seront  en  général  qu'approchés  et  auront  par  conséquent  avant  tout  un 
intérêt  pratique.  Ce  sont  cependant  les  seuls  dont  les  astronomes  fassent  et 
puissent  faire  elTeclivement  usage. 

Dans  quelles  conditions  ces  séries  divergentes  peuvent-elles  cire  utilisées 
avec  succès  ?  C'est  ce  que  j'ai  cherché  à  éclaircir  ([279],  Chapitre  intitulé  Calcul 
formel).  J'ai  montré  dans  quelles  limites  cet  emploi  est  légitime,  comme  l'est, 
pour  citer  un  exemple  célèbre,  celui  de  la  série  de  Stirling,  et  j'ai  fait  voir  que 
les  règles  du  calcul  de  ces  séries  sont  les  mêmes  que  celles  de  séries  ordinaires. 

J'ai  justifié  ainsi  l'emploi  que  font  les  astronomes  de  ce  genre  de  développe- 
ments; et  en  particulier  des  développemenis  trigonoméiriques.  J'ai  cherché  en 
outre  à  perfectionner  les  méthodes  qui  permettent  de  les  former. 

Rappelons  en  quelques  mois  comment  le  problème  se  pose. 

On  ne  peut  résoudre  le  problème  des  n  corps  que  par  approximations  succes- 
sives, et  la  première  idée  qui  s'est  présentée  a  consisté  à  développer  les  coor- 
données des  astres  en  séries  ordonnées  suivant  les  puissances  des  masses.  C'est 
sur  cette  idée  qu'est  fondée  toute  la  Mécanique  céleste  ancienne.  Mais  quels  que 
soient  les  services  qu'aient  rendus  autrefois  ces  anciens  procédés  et  qu'ils  soient 
capables  de  rendre  encore,  on  n'a  pas  lardé  à  s'apercevoir  de  leur  insuffisance 
et  de  leur  impuissance  à  donner  une  approximation  indéfinie.  Dans  les  dévelop- 
pements auxquels  ils  conduisent,  on  voit  en  efl'et  le  temps  entrer  non  seulement 
sous  les  signes  sinus  et  cosinus,  mais  en  dehors  de  tout  signe  trigonométrique. 
Ce  fait  suffit  pour  démontrer  que  le  champ  où  les  anciennes  mélhodes 
conservent  leur  efficacité,  quelque  étendu  qu'il  puisse  être,  est  certainement 
limité. 

C'est  ce  qui  explique  les  efforts  qu'ont  faits  les  géomètres  pour  remplacer 


6  ANALYSE    DE    SES    TRAVAUX    SCIENTIFIQUES. 

les  séries  anciennes  par  des  développemenls  purenienl  Irigonométriques.  Dans 
ces  derniers  temps,  ou  a  proposé  deux  méthodes  remarquables  qui  paraissent 
atteindre  complètement  ce  but.  La  première  esi  celle  de  M.  Gjldén,  qui  est 
fondée  sur  l'emploi  des  fondions  elliptiques;  la  seconde  est  celle  de 
M.  Lindsledt,  dont  je  me  suis  surtout  occupé. 

Dans  celle  dernière  méthode,  un  artifice  ingénieux  permet  à  chaque  approxi- 
mation de  faire  disparaître  les  termes  séculaires  qui  peuvent  s'être  introduits. 
Il  est  aisé  de  voir  que  cet  artifice  réussira  toujours  s'il  n'y  a  qu'un  lei'me  à  faire 
disparaître;  mais  il  n'en  serait  plus  de  même  s'il  s'était  introduit  à  la  fois  deux 
termes  séculaires.  Il  est  facile  de  vérifier  d'ailleurs  que,  dans  les  premières 
approximations,  on  n'a  à  se  débarrasser  que  d'un  seul  terme;  mais  on  peut  se 
demander  s'il  doit  en  être  toujours  ainsi.  Un  examen  superficiel  pourrait  faire 
croire  le  contraire,  et  même  M.  Lindsledt  était  disposé  à  penser  que  sa  méthode 
ne  réussirait  que  s'il  n'v  avait  entre  les  arguments  aucune  relation  linéaire. 

Je  suis  parvenu  à  démontrer  que  le  terme  séculaire  qui  peut  apparaître  à 
chaque  approximation  est  toujours  unique  et  que,  par  conséquent,  la  méthode 
de  M.  Lindsledt  est  toujours  applicable  [07].  Pour  cela,  j'ai  eu  recours  à  un 
théorème  qui  semblait  ne  se  rapporter  eu  aucune  façon  à  la  question,  c'est- 
à-dire  au  théorème  de  Green. 

J'aurais  pu  également,  comme  je  l'ai  fait  ensuite  [llo,  133],  employer  les 
invariants  intégraux  ou  bien  me  servir  des  théorèmes  de  Jacobi  sur  les  équations 
de  la  Dynamique. 

La  méthode  de  M.  Newcomb  est  fondée  sur  les  mêmes  principes;  mais  elle 
s'applique  plus  naturellement  aux  cas  les  plus  généraux  du  problème  des  trois 
corps.  J'y  ai  apporté  de  notables  perfectionnements  [183,  279,  208].  La  même 
question  se  posait  que  pour  la  méthode  de  M.  Lindstedl.  On  pouvait  disposer 
de  certaines  arbitraires  pour  faire  disparaître  les  termes  séculaires;  mais  il  y 
avait  deux  fois  plus  de  termes  à  faire  disparaître  que  d'arbitraires.  Heureusement 
chaque  fois  que  Ton  fait  disparaître  l'un  de  ces  termes,  un  autre  disparaît  spon- 
tanément. Je  me  suis  servi  de  la  méthode  de  Jacobi  [279]  pour  démontrer  celte 
disparition  spontanée  et  la  possibilité  du  développement.  Une  fois  celle  possi- 
bilité établie,  j'ai  donné  ([279],  Chapitre  XIV)  le  moyen  de  former  effective- 
ment et  directement  les  séries. 

Il  y  avait  là  toutefois  un  grave  inconvénient,  puisqu'il  fallait  dans  deux 
analvses  entièrement  séparées  démontrer  la  possibilité  du  développement  et  en 
calculer  les  coefficients.  Ayant  remarqué  qu'une  certaine  expression  devait  être 


ANALYSE    DE   SES    TRAVAUX   SCIENTIFIQUES.  7 

difféienlielle  exacte,  j'en  ai  profité  pour  modifier  la  mélhode  ([279],  Chap.  XV). 
Gerlaines  intégralions  peuvent  être  évitées  et  remplacées  par  des  diflerenliations 
ou  des  opérations  algébriques;  il  en  résulte  d'abord  que  la  possibilité  du  déve- 
loppement devient  presque  évidente.  De  plus  les  calculs  sont  simplifiés.  La 
partie  la  plus  pénible  du  calcul,  bien  qu'elle  ne  présente  aucune  difficulté  théo- 
rique, est  en  effet  la  substitution  des  valeurs  approchées  des  variables  dans 
les  deux  membres  des  équations  difi'érentielles.  La  mélhode  nouvelle  permet  de 
diminuer  de  près  de  moitié  le  nombre  de  ces  substitutions. 

Mais  on  peut  aller  plus  loin  encore  dans  celte  voie.  C'est  ce  que  j'ai  montré 
plus  tard  [208J.  Je  me  suis  servi  d'une  expression  différentielle  exacte  analogue 
à  celle  dont  je  viens  de  parler  et  j'ai  pu  diminuer  encore  le  nombre  des  substi- 
tutions et  des  intégrations.  On  remarquera  que  le  théorème  de  Poisson  (inva- 
riabilité des  grands  axes  en  tenant  compte  du  carré  des  masses)  devient 
presque  intuitif. 

Tous  ces  procédés  se  trouvent  en  défaut  quand  les  moyens  mouvements  sont 
près  d'être  commensurables.  11  faut  alors  employer  une  méthode  dérivée  de  celle 
do  Delaunay.  Dans  l'invention  première  de  celle  méthode,  j'ai  été  devancé  de 
quelques  jours  par  M.  Bohlin,  mais  j'y  ai  apporté  divers  perfectionnements  on 
me  servant  toujours  des  mêmes  principes.  Je  me  bornerai  à  dire  que  cette 
mélhode  permet  de  discuter  les  cas  singuliers  dits  «  de  libration  »  où  il  y  a 
commensurabilité  exacte  entre  certains  mouvements  moyens. 

Quelle  relation  y  a-t-il  entre  toutes  ces  méthodes  et  avec  les  anciens  procédés? 
Telle  est  la  question  que  je  me  suis  posée  [210],  et  j'ai  montré  qu'on  pouvait 
envisager  certaines  séries  qui  embrassent  pour  ainsi  dire  toutes  ces  méthodes. 
En  groupant  les  termes  d'une  certaine  manière,  on  retombera  sur  les  anciennes 
méthodes.  Avec  d'autres  modes  de  groupement,  on  tombera  sur  la  méthode  de 
Newcomb,  ou  bien  encore  sur  celle  de  Bohlin. 

Tous  ces  procédés  s'appliquent  naturellement  à  la  Lune.  Dans  la  théorie 
de  cet  aslre,  ils  sont  même  plus  nécessaires  que  partout  ailleurs.  C'est  dans  les 
théories  lunaires  les  plus  récentes,  comme  celles  de  Hill  et  de  Brown,  que  l'on 
voit  le  mieux  l'importance  des  solutions  périodiques  dont  j'ai  parlé  plus  haut. 
J'ai  donné  [214]  une  mélhode  pour  déterminer  le  mouvement  du  périgée  de  la 
Lune  qui  diffère  de  celle  de  Hill.  Mais  j'attirerai  plutôt  l'attention  sur  un 
autre  Mémoire  [216]  où  j'applique  à  notre  satellite  les  procédés  du 
Mémoire  [208].  Ces  procédés  seraient  surtout  utiles  pour  obtenir  un  dévelop- 


8  ANALYSE    DE   SES   TRAVAUX    SCIENTIFIQUES. 

pement  purement  littéral  des  coordonnées  de  la  Lune.  J'ai  signalé  eu  passant 
diverses  circonstances  curieuses  et  presque  paradoxales. 

Toutes  les  séries  tlont  je  viens  de  parler  ne  peuvent  être  employées  qu'au 
point  de  vue  du  calcul  formel  et  par  conséquent  du  calcul  approché.  J'ai 
insisté  à  diverses  reprises  sur  ce  point  important  [  183,  278,  279,  158,  159]. 

Toutes  ces  méthodes  si  diverses  peuvent  être  employées  pour  se  servir 
mutuellement  de  vérification,  sans  trop  de  calculs  supplémentaires.  Je  citerai 
surtout  un  procédé  de  vérification  fondé  sur  l'emploi  des  invariants  inté- 
graux [l-i9). 


XXI.  —  Équilibre  d'un  flmde  en  rotation  et  figure  des  planètes 
[54,  56,63,  72,91,  ',i5,  96,  108,  111,  203,212]. 

Je  me  suis  occupé  également  d'une  autre  question  de  Mécanique  céleste  que 
l'on  peut  énoncer  ainsi  : 

Une  masse  fluide  homogène  ou  hétérogène  est  animée  d'un  mouvement  de 
rotation  autour  d'un  certain  axe.  De  plus,  ses  molécules  s'attirent  d'après  la 
loi  de  Newton.  Quelles  sont  les  formes  d'équilibre  qu'elle  peut  affecter? 

C'est  là  un  problème  qui  a  beaucoup  occupé  les  géomètres  depuis  plus  d'un 
siècle  et  demi,  et  dont  l'importance  se  comprend  sans  peine. 

Dans  le  cas  de  l'homogénéité,  auquel  nous  nous  restreindrons,  deux  solutions 
étaient  depuis  longtemps  connues  :  l'ellipsoïde  de  révolution  et  l'ellipsoïde  à 
trois  axes  inégaux  de  Jacobi.  Mais  les  conditions  de  stabilité  de  l'équilibre 
n'avaient  pas  été  étudiées. 

On  ignorait  s'il  y  avait  d'autres  formes  possibles  quand  M.  Mathiessen  et, 
après  lui.  Sir  W.  Thomson,  annoncèrent  l'existence  de  figures  annulaires  d'équi- 
libre. Mais  la  démonstration  donnée  par  ces  deux  savants  n'était  pas  parfaite- 
ment rigoureuse;  d'ailleurs,  M.  Mathiessen  supposait  a  priori  que  la  section 
différait  très  peu  d'une  ellipse.  J'ai  montré  [63]  que  cette  hypothèse,  légitime 
quand  la  section  de  l'anneau  est  très  petite,  est  erronée  dans  le  cas  général,  ce 
qui  rend  très  douteuse  l'existence  de  certains  anneaux  très  aplatis  que  le  savant 
de  Rostock  avait  appelés  anneaux  p. 

J'ai  donc  cru  nécessaire  de  faire  une  étude  plus  approfondie  de  ces  figures 
[S4,  94,  95].  J'ai  mis  à  l'abri  de  toute  objection  la  démonstration  de  leur 
existence  et  montré  comment  on  peut  en  déterminer  les  principaux  éléments 
avec  une  approximation  indéfinie. 


ANALYSE    DE    SES    TRAVAUX    SCIENTIFIQUES.  9 

Pour  la  détermination  de  ces  cléments,  j'ai  fait  usage  d'une  méthode  que 
M"°  Kowalevski  avait  déjà  employée  dans  son  Mémoire  sur  l'anneau  de  Saturne 
et  qui  est  fondée  sur  le  développement  des  périodes  d'une  fonction  elliptique 
en  séries  ordonnées  suivant  les  puissances  croissantes  du  module. 

Il  convient  d'observer  que  ces  anneaux  sont  des  figures  d'équilibre  instable. 

Dans  un  Mémoire  plus  étendu  [72],  j'ai  repris  la  même  question,  en  déve- 
loppant les  résultats  obtenus  dans  deux  Notes  antérieures  [56].  Une  première 
difficulté  se  présentait  sur  ma  roule.  Quand  il  s'agit  d'intégrer  de  simples  équa- 
tions difTérenlielles,  la  méthode  des  approximations  successives  est  parfaitement 
justifiée,  parce  que  l'existence  de  l'intégrale  a  été  tout  d'abord  rigourement 
démontrée.  Il  n'en  est  plus  de  même  dans  le  problème  actuel  qui  est  beaucoup 
plus  compliqué;  il  peut  rester  au  sujet  de  la  légitimité  de  celte  méthode 
quelques  doutes  qu'il  s'agissait  d'abord  de  dissiper.  Pour  démontrer  rigoureu- 
sement l'existence  des  diverses  solutions  du  problème,  j'ai  employé  un  procédé 
tout  à  fait  analogue  à  celui  dont  j'avais  fait  usage  dans  mes  recherches  sur  les 
solutions  périodiques  du  problème  des  trois  corps  et  où  je  prends  pour  point 
de  départ  un  théorème  de  M.  Kronecker. 

On  reconnaît  d'abord  que  les  diverses  figures  d'équilibre  d'une  masse  fluide 
forment  des  séries  linéaires;  dans  une  même  série,  ces  figures  dépendent  d'un 
paramètre  variable.  Telles  sont  la  série  des  ellipsoïdes  de  révolution  et  celle  des 
ellipsoïdes  de  Jacobi.  Mais  il  peut  arriver  qu'une  même  figure  appartienne  à  la 
fois  à  deux  séries  différentes.  C'est  alors  une  C\^\ire  à^ équilibre  de  bifurcation. 

A  chaque  figure  est  attachée  une  suite  infinie  de  coefficients,  que  j'appelle 
coefficients  de  stabilité,  parce  que  la  condition  de  la  stabilité  est  qu'ils 
soient  tous  positifs.  Quand  un  de  ces  coefficients  s'annule,  c'est  que  la  figure 
correspondante  est  de  bifurcation. 

Ainsi,  si  en  suivant  une  série  de  figures  d'équilibre  on  voit  s'annuler  un  des 
coefficients  de  stabilité,  on  saura  qu'il  existe  une  autre  série  de  formes  d'équi- 
libre à  laquelle  appartient  la  figure  de  bifurcation. 

Un  autre  résultat,  c'est  que  les  deux  séries  linéaires  dont  celte  ligure  fait 
partie  échangent  leur  stabilité.  Si,  en  suivant  l'une  des  séries,  on  ne  rencontre 
que  des  équilibres  stables  jusqu'à  la  figure  de  bifurcation,  on  n'y  trouvera 
plus  ensuite  que  des  figures  instables.  Les  figures  stables  appartiendront  à 
l'autre  série. 

Ces  principes,  appliqués  à  divers  problèmes  déjà  traités  par  Laplace,  m'ont 
permis  d'en  compléter  la  solution. 

H.  P.  —  vit.  2 


10  ANALYSE    DE    SES    TRAVAUX    SCIENTIFIQUES. 

Poiii-  li'oiivor  li's  fornii's  d'cHiuilibre  d'une  masse  tluide  on  rotation  qui 
diffèrent  peu  d'un  ellipsoïde,  il  faul  rechercher  si,  parmi  les  ellipsoïdes  de 
révolulioa  et  ceux  de  Jacobi,  il  y  a  des  (igurcs  de  bifurcation.  Pour  cela  il  faut 
calculer  les  coeflicients  de  stabilité  de  ces  ellipsoïdes.  On  trouve  que  ces  coefli- 
cients  dépendent  des  fonctions  de  l^amé. 

J'ai  donc  dû  faire  de  ces  fonctions  une  étude  approfondie.  J'ai  démontré 
d'une  manière  nouvelle  que  ces  poljnomes  ont  toutes  leurs  racines  réelles  et 
j'ai  étudié  la  manière  dont  ces  racines  se  répartissent. 

En  égalant  à  zéro  les  divers  coeflicients  do  stabilité,  on  obtient  des  équations 
qui  sont  transcendantes,  mais  qui  peuvent  néanmoins  se  discuter  d'une  manière 
complète.  Cette  discussion  montre  que,  parmi  les  ellipsoïdes  de  révolution, 
comme  parmi  les  ellipsoïdes  de  Jacobi,  il  j  a  une  inimité  de  figures  de 
bifurcation. 

Il  résulte  de  là  qu'il  y  a  d'antres  formes  d'équilibre  que  les  ellipsoïdes  et  les 
anneaux.  Ces  figures  nouvelles  sont  en  nombre  infini;  elles  sont  convexes  et  ont 
toutes  un  plan  de  symétrie.  Quel([ues-unes  n'en  ont  qu'un;  d'autres  sont  de 
révolution;  d'autres  enfin  ont  plusieurs  plans  de  symétrie  passant  par  l'axe. 

Il  restait  à  étudier  les  conditions  de  stabilité  de  l'équilibre.  J'ai  distingué,  à 
l'exemple  de  Sir  W.  Thomson,  la  stabilité  séculaire,  qui  subsiste  lorsqu'on 
tient  compte  de  la  viscosité,  el  la  stabilité  ordinaire,  qui  n'a  lieu  que  lorsqu'on 
néglige  celle  résistance.  En  ce  qui  concerne  la  première  de  ces  stabilités,  j'ai 
montré  qu'elle  appartient  aux  ellipsoïdes  de  révolution,  moins  aplatis  que  celui 
qui  est  en  même  temps  un  ellipsoïde  de  Jacobi,  et  que  les  ellipsoïdes  de  Jacobi, 
qui  satisfont  à  une  certaine  condition,  en  jouissent  également.  Les  autres  ellip- 
soïdes sont  instables  et  il  en  est  de  même  des  figures  annulaires.  Quant  aux 
autres  figures  nouvelles  que  j'ai  découvertes,  elles  sont  toutes  instables,  à 
l'exception  d'une  d'entre  elles  qui  est  pour  ainsi  dire  pirifcirme. 

J'ai  donné  aussi  une  méthode  pour  déterminer  les  conditions  de  la  stabilité 
ordinaire,  mais  je  n'en  ai  fait  qu'une  application  partielle  qui  permet,  toutefois, 
de  reconnaître  que  cette  stabilité  peut  subsister  quand  la  stabilité  séculaire 
a  cessé. 

.le  ne  puis  d'ailleurs  mieux  résumer  tous  ces  résultats  qu'en  faisant  l'hypo- 
ihèse  suivante  : 

Imaginons  une  masse  fluide  se  contractant  par  refroidissement,  mais  assez 
lentement  pour  rester  homogène  et  pour  que  la  rotation  soit  la  même  dans 


ANALYSE    DE    SES    TRAVAUX    SCIENTIFIQUES.  1  I 

loules  ses  parties.  D'abord  1res  voisine  d'une  sphère,  la  figure  de  celle  masse 
deviendra  un  ellipsoïde  de  révolution  ([ui  s'aplatira  de  plus  en  plus;  puis,  à  un 
cerlaiu  moment,  se  transformera  en  un  ellipsoïde  à  trois  axes  inégaux.  Phis 
tard,  la  figure  cessera  d'élre  ellipsoïdale  et  deviendra  piriforme,  jusqu'à  ce 
qu'enfin  In  masse,  se  creusant  do  plus  en  j)lus  dans  sa  partie  médiane,  se  scinde 
eu  deux  corps  distincts  et  inégaux. 

L'hypothèse  qui  précède  ne  peut  certainement  s'appli(juer  au  système 
solaire.  Quelques  aslronomcs  ont  pensé  qu'elle  pourrait  être  vraie  pour 
certaines  étoiles  doubles,  et  que  des  étoiles  doubles  du  type  de  (3  de  la  Lyre 
présenteraient  des  formes  de  transition  analogues  à  celles  dont  nous  venons  de 
parler. 

Dans  un  de  ces  Mémoires  [9i]i  j  ai  montré  qu'aucune  forme  d'équilibre 
stable  n'est  possible  si  la  vitesse  de  rotation  dépasse  une  certaine  limite. 

On  peut  faire  de  ce  principe  une  application  aux  anneaux  de  Saturne. 
Clerk  Maxwell  a  démontré  que  ces  anneaux  ne  peuvent  être  solides  et  que,  s'ils 
sont  fluides,  leur  densisé  ne  peut  dépasser  les  3/ioo  de  celle  de  la  planète. 
D'autre  part  [96],  je  démontre  que,  si  les  anneaux  sont  fluides,  ils  ne  peuvent 
être  stables  que  si  leur  densité  est  supérieure  au  1/16  de  celle  de  Saturne. 
L'analyse  semble  donc  confirmer  l'hypothèse  de  M.  Trouvelot,  qui  considère 
les  anneaux  comme  formés  d'une  multitude  de  satellites  extrêmement  petits  et 
ne  croit  pas  pouvoir  expliquer  autrement  certaines  apparences  observées. 

J'ai  donné  [108]  une  démonstration  plus  simple  d'un  théorème  de 
M.  LiapounofT,  en  vertu  duquel  la  sphère  correspond  au  maximum  de  la 
fonction  potentielle,  et  je  suis  encore  revenu  à  diverses  reprises  sur  des  ques- 
tions analogues  [111,  212]  en  donnant  quelques  égalités  et  inégalités  curieuses. 

M.  Radau  avait  remarqué  qu'aucune  hypothèse  ne  peut  rendre  compte  à 
la  fois  de  l'aplatissement  adopté  et  la  valeur  observée  de  la  précession.  Dans 
deux  articles  consacres  à  la  figure  de  la  Terre  [203],  j'ai  confirmé  la  conclusion 
de  M.  Radau. 


ANALYSE    DE   SES   TRAVAUX    SCIENTIFIQUES. 

BIBLIOGRAPHIE  DES  TRAVAUX  DE  MÉCANIQUE  CÉLESTE 

RELATIVK  A 
L'ANALYSE  DE  SES  TRAVAUX  I>ab  Hiînri  l'OlNCARÉ. 


XVII.  —  Généralités  sur  les  équations  de  la  Dynamique 

ET    DE    LA    mécanique    CÉLESTE. 

fl64]  Sur   une  forme    nmn'elle   des   équations   du  problème  des  trois  corps  (C   R. 

Acad.  Se,  t.  I"2;?,  1896,  p.  i()3i-lo35). 
[16GJ  Sur  la  méthode  de  Bruns  (Ibid.,  t.  123,  1896,  p.  1224-1228). 
[183]  Sur  les  problèmes   des    trois   corps   et   les  équatious  de   la  Dynamique  {Acta 

Math.,  t.  13,  1890,  p.  1-270). 
[  187]  Sur  une  forme  nouvelle  des  équations  du  problème  des  trois  corps  {Bull,  astron., 

t.  1-4,  1897,  p.  53-67). 
[278,  280]  Les  méthodes  nouvelles  de  la  Mécanique  céleste,  t.  I  (1892)  et  t.  III  (1899), 

Paris. 

XVIII.  —  Problème  des  trois  corps;     propriétés  qualitatives. 

[38]  .Sur  certaines  solutions  particulières  du  problème  des  trois  c>rps  (C,  R.  Acad. 

Se,  t.  97,  i883,  p.  251-252). 
[92]  Sur  certaines  solutions  particulières  du  problème  des  trois  corps  {Bull,  astron., 

t.  I,  iS8j,  p.  G5-74)- 
[1C3]  .Sur  les  solutions  périodiques  et  le  principe  de  moindre  action  {C .  R.  Acad.  Se, 

t.  123,  189(5,  p.  915-918). 
[167]  Les  solutions  périodiques  et  le  principe  de  moindre  action  {Ibid.,  t.  124,  1897, 

p.  713-716). 
[1*3]  Cf.  supra. 

[204]  Sur  le  problème  des  trois  corps  {Bull,  astr.,  t.  S,  1891,  p.  12-24)- 
[278,  280]  Cf.  supra. 

XIX.  —  Problème  des  trois  corps;  développements  approchés  et  applications. 

[47]  .Sur  une  équation  différentielle  {C.  R.  Acad.  Se,  t.  98,  1884,  p.  793-795). 
[97]  Sur  une  méthode  de  M.  Lindstedt  {Bull,  astron.,  t.  3,  1886,  p.  57-61). 
[11b]  Sur  les  séries  de  M.  Lindstedt  {C.  R.  Acad.  Se,  t.  108,  1889,  p.  21-24). 
[133]  Sur  l'application  de  la  méthode  de  M.  Lindstedt  au  problème  des  trois  corps 

{Ibid.,  t.  114,  1892,  p.  i3o5-i3o9). 
[149]  Sur  un  procédé  rie  vérification,  applicable  au  calcul  des  séries  de  la  Mécanique 

céleste  (Ibid.,  l.  120,  189J,  p.  57-59). 
[138]  Sur    la    divergence   des  séries   de    la   Mécanique   céleste   {Ibid.,    t.    122,    1896, 
P-  497-499)- 


ANALYSE    DE   SES    TRAVAUX    SCIENTIFIQUES.  l3 

[159]  Sur  la  divergence  des  séries  trigonométrîques  {Ibid.,  t.  Mi,  1896,  p.  557-559). 

[183]  Cf.  supra. 

[208]  Sur   IHntégration   des   équations   du  problème  des  trois  corps  {Bull,   asiron., 

t.  14,  1897,  p.  241-270). 
[210]  Sur  la  façon  de  grouper  les  termes  des  séries  trigonométriques  qu'on  rencontre 

en  Mécanique  céleste  {Ibid.,  t.  13,  1898,  p.  289-810). 
[214]  Sur  le  mouvement  du  périgée  de  la  Lune  {Bull,  astron.,  t.  17,  1940,  p.  87-104). 
I  213]  Sur  le  déterminant  de  Hill  {Ibid.,  t.  17,  1900,  p.  i34-i4-^)- 
[2IG]  Sur  les  équations  du  mouvement  de  la  Lune  {Ibid.,  t.  17,  1900,  p.  167-204). 
|279]  Les  Méthodes  Nouvelles  de  la  Mécanique  céleste,  t.  II,  Paris,  i8g3. 

XXI.    —    EoUILIDRE    d'un    FLIIDE    EN    ROTATION    ET    FIGURES    DES    PLANÈTES. 

[3i]  Sur  Véquilibre  d'une  masse  Jluide  animée  d'un  mouvement  de  rotation  (C.B. 

Acad.  Se,  t.  100,  i8S5,  p.  346-348). 
[SG]  Id.,  (Ibid.,  t.  100,  iS8J,  p.  10G8-1070  et  t.  101,  i885,  p.  307-809). 
[63]  Sur  l'équilibre  d'une  masse  Jluide  en  rotation  {Ibid-,  t.  102,  1886,  p.  970-972). 
[72]  Sur    Véquilibre    d'une    masse  Jluide    animée    d'un    mjuvement    de   rotation 

{Acta  Math.,  l.  7,  i885,  p.  269-380). 
[94]  ]d.,(Bull.  astron.,  l,  2,  i885,  p.  109-118). 
[95]  Id.,  (Ibid.,  t.  2,  i885,  p.  4o5-4i3). 

[9G]  Note  sur  la  stabilité  de  l'anneau  de  Saturne  (Ibid.,  t.  11,  i885,  p.  5o7-5o8). 
[108  j   Sur  un  théorème  de  M.  LiapiunoJJ',  relatif  à  l'équilibre  d'une  masse  Jluide 

{C.  B.  Acad.  Se,  t.  104,  1887,  p.  622-625). 
[III]  Sur    l'équilibre    d'une    masse    hétérogène    en    rotation    {Ibid.,    t.     lOG,     188G, 

p.  1571-1574). 
[203]  Sur  la  figure  de  la  Terre  (Bull,  astron.,  t.  6,  1889,  p.  5-ii  et  49-Go). 
[212]  Sur  l'équilibre  d'un  Jluide  en  rotation  {Ibid.,  t.  16,  1899,  p.  161-1G9). 

Le  présent  Volunie  contient  tous  les  Mémoires  mentionnés  ici,  ;i  l'exception  de 
ceux  portant  les  n""  96,  203,  2I'4.,  21."),  216,  qu'on  trouvera  dans  le  Tome  VIII  des 
Œuvres.  Il  contient  aussi  ceux  que  II.  Poincaré  a  publiés  depuis  1901,  époque  à 
laquelle  remonte  son  Analyse.  L'ordre  que  nous  avons  adopté  pour  la  publication 
est  très  sensiblement  celui  que  E.  Lebon  a  fixé  dans  la  bibliographie  se  trouvant 
dans  son  Volume  :  Savan/s  du  jour  :  Henri  Poincaré,  2''  édition,  Paris,  1912; 
toutefois,  les  Mémoires  qui  figurent  à  cette  bibliographie  dans  la  Section  Séries 
de  la  division  Mécanique  céleste  sous  les  n"'*  10,  13,  11,  12  ont  paru  antérieure- 
ment dans  les  OEuvres  :  les  deux  premiers  dans  le  Tome  I,  pages  162  et  i64,  les 
deux  autres  dans  le  Tome  IV.  Ils  n'ont  pas  été  reproduits,  pages  585  et  588.  (J.  L.  ) 


SUR 

L'ÉQUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE 
AiM3IÉE    D'UN   MOUVEMENT   DE    ROTATION 


Comptes  rendus  de  l'Académie  des  Sciences,  t.  100,  p.  346-3^8  (9  février  i885). 


Dans  la  deuxième  édition  de  leur  Traité  de  Philosophie  naturelle, 
MM.  Tail  ol  Thomson  énoncent  sans  démonstration  le  résultat  suivant,  au 
sujet  de  la  figure  d'équilibre  d'une  masse  (luide  homogène,  dont  toutes  les 
molécules  s'attirent  suivant  la  lf)i  nevvtonienne  et  qui  est  animée  d'un  mouve- 
ment de  rotation  autour  d'un  axe.  Outre  les  figures  ellipsoïdales  bien  connues, 
il  j  a,  d'après  les  géomètres  anglais,  une  autre  forme  d'équilibre,  qui  consiste 
en  une  surface  annulaire  de  révolution  analogue  à  un  tore. 

.Fe  suis  parvenu  à  retrouver  la  démonstration  du  résultat  de  MM.  Tait  et 
Thomson  en  m'appujanl  sur  le  principe  suivant,  qu'il  est  aisé  d'établir 
rigoureusement  : 

Si  un  système  quelconque,  on  équilibre  stable  sous  l'action  de  certaines 
forces,  vient  à  être  soumis  à  des  forces  perturbatrices  infiniment  petites,  il  y 
aura,  pour  ce  nouvel  état  de  forces,  une  nouvelle  position  d'équilibre  stable 
infiniment  voisine  de  la  première. 

.J'ai  cherché  ensuite  à  déterminer  les  principaux  éléments  de  la  surface 
annulaire  d'équilibre.  A  cet  effet,  j'ai  choisi  les  unités  de  masse  et  de  temps  de 
telle  façon  que  la  densité  de  notre  masse  fluide  soit  égale  à  i  et  que  l'unité  de 
force  soit  l'allraclion  nevvtonienne  de  deux  unités  de  niasse  à  l'unité  de 
dislance.  C'est  ce  qui  est  le  plus  convenable  dans  une  étude  théorique. 

J'appelle  Ii  la  distance  du  centre  de  gravité  de  la  section  méridienne  à  l'axe 


SUR  l'Équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation.  i5 

de  révolution.  La  section  méridienne  admet  un  axe  de  symétrie  qui  est  la 
perpendiculaire  abaissée  de  son  centre  de  gravité  sur  l'axe  de  révolution. 
J'écrirai  l'équation  de  cette  section  méridienne,  en  prenant  pour  pôle  le  centre 
de  gravite,  et  pour  axe  polaire  l'axe  de  symétrie.  L'équation  s'écrira  alors 

p  =  r  -H  fi  cos  2  o  -I-  Y  cos  3  9  -i- . . . , 

r,  6  et  y  étant  des  constantes  telles  que  les  rapports  i, ,  !^,  -^,  ...  soient 
très  petits. 

Cela  posé,  j'ai  négligé  d'abord  (3,  y,  ...  de  façon  que  la  surface  se  réduise  à 
un  tore  de  rayons  R  et  /•,  et  j'ai  cherché  à  exprimer  le  potentiel  V  en  un  point 
quelconque  de  la  surface  du  tore.  J'y  suis  arrivé  à  l'aide  des  séries  qui  donnent 
les  périodes  K  cl  K.'  d'une  fonction  elli[)tique,  développées  selon  les  puissances 
de  A"-  et  de  logA".  <  )n  trouve  que  \^,  qui  ne  dépend  évidemment  que  de  l'angle  9, 

r  R 

peut  se  développer  suivant  les  puissances  de  ;•,  de  jj  >  de  log  -  et  de  cos(p.  Les 

coefficients  de  cette  série  s'expriment  par  des  intégrales  définies. 

Si  l'on  tient  compte  des  quantités  appelées  plus  haut  j3,  v,  ...,  on  devra 
ajouter  à  V  certains  termes  correctifs.  Il  faudra  enfin  disposer  de  la  vitesse 
angulaire  w  et  des  coefficients  3  et  y,  de  façon  que  l'expression 

.  V  H (  R  -I-  s  cos  i  )'- 

soit  indépendante  de  9.  (3n  trouve  ainsi  (') 

'"-=2  R-^r^--^) 

en  négligeant  des  termes  de  l'ordre  de  ,tt,  log     . 

On  obtient  de  même 

6    H   ,      8  R       ,,  r^ 
■^=T6R^'"S^^'^R^' 

K  étant  une  constante  numérique  qui  s'exprime  par  une  intégrale  définie. 

Les  autres  coefficients  y,  5,  .  .  .  sont  infiniment  petits  par  rapport  à  p,  de 
sorte  que  la  section  méridienne  peut  être  assimilée  à  une  ellipse  dont  l'aplatis- 

•.  5w- 
sement  serait  — —  . 
4;i 


(')  Cette  formule  et  les  suivantes  ont  été  légèrement  modillées  par  H.  F'oincaré.  lo/r ci-après, 
p.  23,  et  aux  Notes,  Figures  annulaires.  (J.  L.) 


i6  SUR  l'équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation. 

Le  moment  de  la  qunnlilé  de  mouvement  est  appioxiinalivement 


2  T.'-  ,-■'  IV  J\  log  ^^  =  M  r R  J\  log ^ , 


M  désignant  la  masse  du  fluide. 

La  même  méthode  pourrait  s'appliquer  à  une  autre  solution  du  même 
problème,  énoncée  également  sans  démonstration  par  MM.  Tait  et  Thomson  et 
où  la  masse  fluide  se  répartit  en  plusieurs  anneaux  concentriques. 

Je  n'ai  pu  encore  approfondir  la  question  de  la  stabilité  de  ces  masses 
annulaires.  J'ai  fait  seulement,  en  passant,  une  remarque  que  je  crois  nouvelle. 

Si  la  vitesse  angulaire  rsi  est  supérieure  à  y/27:  (avec  les  unités  adoptées),  il 
n'y  a  plus  pour  la  masse  fluide  aucune  lîgure  d'équilibre  stable  possible. 


SUR 

L'ÉQUILIBRE  D'UNE  MASSE  ELUIDE 
ANIMÉE  D'UN  MOUVEMENT  DE  ROTATION   ^ 


Bullclhi  rixlioiiomiquc.  1.  ',',  p.   109-1  in  (mars  i885j. 


On  s'est  préoccupé  depuis  loagtemps  de  déterminer  ies  figures  d'équilibre 
d'une  masse  fluide  homogène  donl  toutes  les  molécules  s'allirenl  d'après  la  loi 
newtonienne  et  qui  est  animée  d'un  mouvement  de  rotation  autour  d'un  axe. 
On  est  même  arrivé  assez  promplement  à  deux  solutions  du  problème,  les 
ellipsoïdes  de  révolution  et  les  ellipsoïdes  de  Jacobi;  mais  on  ignorait  jusqu'à 
ces  derniers  temps  s'il  existait  d'autres  figures  d'équilibre  possible.  Dans  la 
dernière  édition  de  leur  Traité  de  Philosophie  naturelle  (1'''  vol..  Il"  Part., 
p.  332),  MM.  Tait  et  Thomson  ont  énoncé  sans  démonstration  un  certain 
nombre  de  résultats  fort  intéressants.  Ils  annoncent,  par  exemple,  trois  classes 
nouvelles  de  figures  d'équilibre,  à  savoir  : 

1"  Un  système  de  deux  ou  plusieurs  masses  sphéroïdales,  animé  d'un  mou- 
vement de  rotation  commun  autour  d'un  certain  axe  dans  l'espace. 
a°  Une  surface  annulaire  de  révolution,  analogue  à  un  tore. 


(')  Je  viens  de  recevoir  coinmu:ucation  d'un  Mémoire  de  M'"»  de  Ko\v.Tlewski  dont  je  n'aviiis 
pas  connaissance  au  moment  où  j'ai  rédigé  le  présent  travail.  Ce  Mémoire,  intitulé  Zusdtze  und 
Bemerkungen  zu  Laplace's  Untcrsuchung  iiber  die  Gestalt  der  Saturnsringe,  a  été  écrit  en 
i8-|  et  envoyé  à  cette  époque  à  l'Université  de  Goltingeu;  mais  il  vient  seulement  d'être 
imprimé  dans  le  n°  ÎGiS  des  Astronomis'he  Nachrichten.  Bien  que  le  problème  traité  par  la 
savante  mathématicienne  ne  soit  pas  tout  à  fait  le  même  que  celui  dont  je  me  suis  occupé,  son 
analyse  se  rapproche  beaucoup  de  la  mienne  et  je  n'ai  ,ijouté  que  peu  de  chose  aux  résultats 
qu'on  pourrait  facileinenl  déduire  de  son  Mémoire. 

II.  P.  -  VU.  3 


i8  SUR  l'équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation. 

y  Un  sysléme    de  plusieurs   anneaux  concenlriques,   animés  d'une  même 
vitesse  de  rotation  autour  de  leur  axe  commun. 


.le  n"ai  rien  à  ajouter  sur  la  première  solution,  qui  est  celle  à  laquelle  on  est 
conduit  en  envisageant  le  système  d'une  planète  et  d'un  satellite  dont  l'excen- 
Iricité  serait  nulle  et  dont  les  deux  vitesses  de  rotation  seraient  égales  entre 
elles  et  à  celle  de  révolution;  ou  bien  encore  le  système  de  plusieurs  masses  se 
mouvant  en  restant  en  ligne  droite,  conformément  au  principe  du  Chapitre  VI 
du  livre  X  de  la  Mécanique  céleste  de  Laplace. 

Mais  je  crois  utile  de  revenir  sur  la  deuxième  solution,  en  donnant  une 
démonstration  du  résultat  de  MM.  Tait  et  Thomson  et  en  cherchant  à  déter- 
miner approximativement  les  principaux  éléments  de  la  figure  annulaire 
d'équilibre. 

Dans  des  questions  de  cette  nature,  on  ne  peut  compter  sur  les  méthodes 
d'approximation  successive  pour  démontrer  rigoureusement  la  possibilité 
d'une  solution.  Il  faut  au  contraire  faire  usage  de  considérations  de  continuité, 
ainsi  que  je  l'ai  fait  dans  ma  Note  sur  certaines  intégrales  particulières  du 
problème  des  trois  corps  (' ).  L'existence  de  la  solution  une  fois  rigoureusement 
établie,  on  se  sert  ensuite  des  méthodes  habituelles  pour  la  calculer  approxi- 
mativement. 

.le  choisirai  les  trois  unités  fondamentales  de  longueur,  de  temps  et  de 
massse  de  telle  façon  que  la  densité  de  la  masse  fluide  que  je  considère  soit 
égale  à  i  et  que  l'unité  de  force  soit  l'attraction  newlonienne  de  deux  unités 
de  masses  à  l'unité  de  dislance.  J'envisagerai  une  figure  annulaire  de  révolution 
très  peu  dillérenle  d'un  tore.  J'appellerai  Pi  la  distance  du  centre  de  gravité  de 
la  section  méridienne  à  l'axe  de  révolution.  Je  supposerai  de  plus  que  la 
perpendiculaire  abaissée  sur  l'axe  de  révolution  de  ce  centre  de  gravité  soit  un 
axe  de  symétrie  de  cette  section  méridienne. 

Il  reste  à  écrire  l'équation  de  la  section  méridienne.  Pour  cela  je  prendrai 
pour  pôle  le  centre  de  gravité  et  pour  axe  polaire  l'axe  de  symétrie  de  celte 
section,  et  j'aurai  pour  celle  équation,  en  appelant  p  et  cp  les  coordonnées 
polaires,  (^) 

P  z=  r  -i-  'iii  COS  2  tp  -H  [i3  COS  3  9  -<-...  -I-  pn  cos  /l  Ç  -J-  .  .  . 


(')  Œuvres  de  H.  Poincaré,  ce  Tome,  p.  35.?. 
f)   Voir  aux  Notes,  Figures  nnnu/aires. 


SUR  l'équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation.  ig 

Je  supposerai  que  les  rapports  ^  >  ^' sont  très  pelils,   ainsi  que  la    vitesse 

angulaire  de  rotation  '>k 

J'envisagerai  le  potentiel  V  et  l'énergie  potentielle  W  : 

r<lin  rdmdm 

dm  ei  dm'  désignant  deux  éléments  de  masse  de  notre  lluide,  A  étant  la  distance 
de  l'élément  dm  au  point  P  dont  les  coordonnées  sont  a-,  y  et  z,  et  o  étant  la 
distance  des  deux  éléments  dm  et  dm'.  Le  potentiel  V  est  une  fonction  de  x,  r 
et  ;,  tandis  que  W  est  une  constante  qui  ne  dépend  que  de  la  forme  de  la 
surface. 

Pour  que  la  surface  soit  une  iigure  d'équilibre,  il  suffit  que  l'expression 

2 

où  I  est  le  moment  d'inertie  de  la  surface  par  rapport  à  son  axe  de  révolution, 
voie  s'annuler  toutes  ses  dérivées  premières  par  rapport  à  Pi  et  aux  |'b. 

Etudions  donc  les  variations  de  cette  expression  quand  on  fait  varier  o),  ;•.  R, 
et  les  |3„,  et  montrons  que  ces  dérivées  devront  s'annuler  pour  des  valeurs  de 
ces  quantités  variables  satisfaisant  aux  conditions  de  grandeur  relative  que 
nous  nous  sommes  imposées. 

Soient  dS  et  dS'  deux  éléments  <le  l'aire  de  la  section  méridiennii,  y  ely'  les 
distances  de  ces  éléments  à  l'axe  de  révolution.  Ces  éléments  engendreront  par 
leur  révolution  deux  anneaux  infinitésimaux  dont  les  niasses  seront 

•i  =  2-Kjdii         el  2 t: y' dS' =  }J.' ■ 

Soient  a  et  6  la  pins  petite  el  la  plus  grande  distance  de  ces  deux  anneaux 
infinitésimaux,  M(«,  b)  la  moyenne  arithmético-gcomélrique  de  Gauss  de  ces 
deux  distances.  L'énergie  potentielle  provenant  de  l'attraction  mutuelle  de  ces 
deux  anneaux  s'écrira 

|JI[X'  [jiijl'  J 

où 

,/z  a- 


=/' 


\Jz{i-z){z- 


b'- 


La  théorie  des  fonctions  elliptiques  nous  enseigne  que,  lorsque  x  est  très 
petit,  J  peut  se  mettre  sous  la  forme 

z  (x)  log.r  -I-  '\i( r  ), 


20  SUR  l'équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation. 

9  el  •]>  étant  des  séries  ordonnées  suivant  les  puissances  de  x  et  dont  il  est  aisé 
de  calculer  les  coefficients.  Le  terme  de  degré  le  moins  élevé  dans  cette  expres- 
sion est  — losf  ~,  •  Nous  aurons 
°  i6 

W  =  //'        ^^'^         =  II',::  v/— .1  ./S  ./S'. 


Si  l'on  réduisait  \/Yy'  à  sa  valeur  approchée  H,  et  J  à  sa  valeur  approchée 

trouverait 


log  —  ou  encore  2  log  —  >  on  trouverait 


W 


Nous  pourrons  donc  poser 

W  =  4:t  /^R  log  —  rfS  </S'h-  \V  , 
W  r 

le  rapport  -^  étant  de  même  ordre  de  grandeur  que  „  ■ 
On  trouve,  d'autre  part,  sans  trop  de  difficultés, 

'\ll  f^^os-d^d>  =  -^^  (log—  +  -  j  +  -__  vp^_  _,j^w  , 

W"  contenant  en  facteurs  des  puissances  supérieures  des  (3. 
Pour  le  moment  d'inerlie  I  on  trouve 


I  =  irtî/ir-iR^-i-^RrA-t-  V . 


1'  s'annulant  avec  les  p. 

Nous  poserons,  pour  abréger 


w^-^ 

1 


Pour  qu'il  y  ait  équilibre,  il  suffit  que,  pour  toute  déformation  virtuelle 
infiniment  petite  de  notre  surface,  la  variation  ôU  soit  nulle.  Or  toute  défor- 
mation virtuelle  peut  être  considérée  comme  la  somme  de  deux  autres  que  nous 
pourrons  étudier  séparément. 

Dans  la  première  déformation,  R  reste  constant.  La  variation  âU  dépend 
alors  des  variations  des  quantités  (3.  Si,  d'autre  part,  nous  appelons  M  la  masse 
totale  de  notre  fluide,  nous  aurons 


m  =  ..=r(,-^^5;M) 


SUR  l'équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation. 
Il  suit  de  là  que,  si  R  est  constant,  il  devra  en  être  de  même  de 

On  peut  donc  écrire 

'°s— ^-P'■^(«-■-l°»77)-^T'"-*-^• 


^  =  -'■"^ 


Dans  cette  formule  on  a  posé 

/.  =  8e*".         Io=  zî  /2/-§R3h- -  RrJ  V 

et  le  rapport  yy  est  infiniment  petit. 

Soit  Uy  la  valeur  de  U  quand  on  y  annule  tous  les  (3;  soit  Ui  la  valeur  de  U 
quand  on  donne  aux  p  des  valeurs  telles  que 


K  étant  une  quantité  très  petite,  mais  d'ordre  moindre  que  jy  On  trouve  alors 

U,-Lio=  AK  +  U', -U'o, 

A  étant  un  coefficient  négatif  dépendant  de  R  et  de  r^-  On  en  déduit,  en  tenant 
compte  des  hypothèses  faites  sur  les  grandeurs  relatives  des  quantités  K  et  U'  : 

U,  <  U„. 

D'où  cette  conséquence,  que,  si  l'on  fait  varier  les  [3  d'une  manière  continue, 
la  quantité  ipi  ne  pourra  devenir  plus  grande  que  Kr^,  sans  que  U  passe  par 
une  valeur  inférieure  à  Uo;  ce  qui  prouve  que  la  fonction  U  doit  admettre  un 
maximum  pour  des  valeurs  des  p  inférieures  àr„\/K  et  par  conséquent  très 
petites.  Ce  maximum  que  j'appelle  u  est  fonction  de  R,  /'„  el  co. 

U  reste  à  étudier  la  deuxième  espèce  de  déformation  de  la  surface  annulaire, 
pour  laquelle  R  et  par  conséquent  ro  varieraient  pendant  que  la  section  méri- 
dienne resterait  semblable  à  elle-même.  Il  faut  montrer  qu'on  peut  trouver  des 
valeurs  de  R  et  des  (3,  telles  que  la  variation  ôU  soit  également  nulle  pour  les 
deux  espèces  de  déformations,  c'est-à-dire  que  l'on  ait  à  la  fois 

Or  il  est  aisé  de  vérifier  l'égalité 

dV  M^     I    ,      Â'R 

rfR=-8r.  Rl'°S— +co^MR  +  H, 


aa  SUR    L'EQUILIBRE   DUNE   MASSE   FLUIDE   EN    ROTATION. 

H  représentant  un  ensemble  de  termes   négligeables  devant  les  deux  termes 
conservés  et  À'  une  constante  facile  à  déterminer. 

Supposons  que,  R  restant  conslnnl,  on  fasse  varier  oo;  u  sera  alors  une 
fonction  de  (o,  mais  pour  des  valeurs  suffisamment  grandes  de  o  (lesquelles 
satisfont  pourtant  aux  conditions  de  grandeur  relative  que  nous  nous  sommes 

imposées)  -^  sera  certainement  positif,  et  pour  des  valeurs  assez  petites  de  w, 

-j|j  sera  certainement  négatif.   Donc,   à  chaque  valeur  de  R  correspond   une 

valeur  de  w  telle  que  l'on  ait  à  la  fois 

y   =  u,         -j=-  =  o.  c.  0-  r-  !>• 

«R 

L'existence  de  la  forme  annulaire  d'équilibre  étant  ainsi  rigoureusement 
établie,  il  nous  reste  à  en  déterminer  approximativement  les  éléments.  A  cet 
efl'et,  nous  abandonnerons  la  fonction  VV  dont  nous  nous  sommes  servis 
jusqu'ici  pour  considérer  le  potentiel  V. 

Je  considère  d'abord  le  tore  et  j'étudie  l'expression  du  potentiel  V  en  un 
point  de  sa  surface;  ce  potentiel  est  évidemment  une  fonction  de  l'angle  tp  qui 
définit  la  position  du  point  de  la  surface  sur  la  section  méridienne.  En  partant 
de  l'expression  que  j'ai  donnée  plus  haut  pour  l'intégrale  J,  je  suis  arrivé  à 
montrer  que  V  pouvait  se  mettre  sous  la  forme  ( '  ) 


=  r-  l  i„  - 


l'i  In? 


v„  et  Vi  étant  des  séries  ordonnées  suivant  les  puissances  de  j,  et  de  coscp. 

Les  coefficients  de  ces  séries  s'expriment  par  des  intégrales  définies  et  les 

premiers  termes  sont 

„  ,       8R        on  r-  ;:  r-'  ,       SU 

V  =  ;: /■-  log h  ^  -=7  CCS 9 -=r  cos <p  log h.  .  . 

^   r  i6R  2R         ^      "    r 

Il  faut  ensuite  introduire  dans  celle  expression  les  termes  correctifs  qui 
proviennent  des  coefficients  que  nous  avons  appelés  P,  c'est-à-dire  que  nous 
devons  maintenant  tenir  compte  de  ce  fait  que  notre  figure  annulaire  n'est  pas 
exactement  un  tore.  Comme  on  voit  sans  peine  que  les  coefficients  (3,,  (î-, ,  .  .  . 
sont  très  petits  par  rapport  à  p^,  nous  négligerons  ces  coefficients  ainsi  que  le 
carré  de  (5.j. 

Cl   Voir  aux  Notes,  Figures  nnnulairrs. 


SUR    L'EQUILIBRE    DUNE    MASSE    FLUIDE    EN    ROTATION.  23 

Les  termes  correctifs  que  nous  nous  proposions  de  calculer  se  réduisent 
alors  à 

■ L'OS  2  C. 

2 

L'expression  du  potentiel  V  étant  ainsi  corrigée,  nous  pouvons  écrire  les 
conditions  d'équilibre.  r_,a  condition  nécessaire  et  suffisante  est,  en  effet,  que 
l'expression 

\ (H  -h  rcosz  -h  %  cos  2  o  cos  o  ■+-  m  cos  3  ç  cos  o  -t- .  .  .  ) 

soit  indépendante  de  l'angle  cp.  Dans  l'expression  précédente  nous  négligerons 

/'■'  o 

tous  les  termes  qui  contiennent  en  facteur  -  ou  jS:,,  (3,,  .  .  . ,  ou  (3;,  ou  o)'-p2. 
Elle  ne  contiendra  plus  alors  que  des  termes  en  coscp  ou  cos2(p.  Egalons  à  zéro 
les  coefficients  di'  cusç»  et  cos2œ.  Nous  obtiendrons  les  deux  équations 
suivantes  : 

2   R       ^    ;■  i6    I! 

cj'-  ;cB.>r  /•'•  in    /•■'  ,      8 H 

g  étant  exprimé  par  une  intégrale  définie. 

On  lire  de  là  les  valeurs  approximatives  de  oj-  et  de  pj  : 


-  =-v,     lo.s l)         et 

2   R2  \     ■     /•         8  / 


j    /-^  ,      AR 
76Ri'°«  — ' 


h  étant  une  constante  numérique  exprimée  par  une  intégrale  définie. 

On  voit  ainsi  que  la  section  méridienne  peut  être  assimilée  à  une  ellipse  dont 

l'aplatissement  est  approximativement  -j—-  Quant  au  moment  de  la  quantité  de 


JOJ- 

mouvement,  il  a  pour  valeur  asymptotique 

/■ 


M.-RV'^(.og^-i) 


ce  qui  montre  que  ce  moment  croît  indéfiniment  quand  R  croît  lui-même, 
tandis  que  la  vitesse  angulaire  tend  au  contraire  vers  zéro. 

Les  mêmes  méthodes  sont  applicables  à  la  troisième  solution  de  MM.  Tait  et 
Thomson,  qui  est  celle  où  la  figure  d'équilibre  est  formée  de  plusieurs  anneaux 
concentriques.  L'existence  de  la  solution  se  démontrerait  comme  plus  haut. 
Nous  allons  chercher  à  en  déterminer  les  éléments. 

Nous  prendrons  seulement  deux  anneaux  que  nous  assimilerons  à  des  tores 


24  SUR   L'ÉQUILIBRE  DUNE   MASSE   FLUIDE   EN    ROTATION. 

de  ravoas  r  el  R  ,  ;•  et  R,  en  négligeant  les  aplatissements  des  sections  méri- 
diennes. Ces  deux  lores  devront  avoir  un  plan  de  symétrie  commun,  perpendi- 
culaire à  l'axe.  IN'ous  appellerons  o  l'angle  que  fait  avec  ce  plan  de  symétrie  le 
rayon  qui  joint  un  point  M  de  la  surface  du  tore  au  centre  de  la  section 
méridienne  correspondante;  nous  appellerons  de  même  o'  l'angle  analogue 
pour  le  second  tore.  Nous  supposerons  R  >  R'.  Nous  appellerons  \u  le 
potentiel  en  un  point  de  la  surface  du  premier  tore  et  V'„  la  valeur  du  potentiel 
en  un  point  de  la  surface  du  second  tore.  Nous  trouverons,  en  nous  bornant 
aux  premiers  termes  : 

,.,      .SR         r.  r-  ,/,      8R'        qX  .,  is  H  -  r'-  r  coi  t. 

N,  =  .r-log— --^,eosç(^log—  -.^^.rMog^--^-^      R-R       ' 

Soient  u  et  w'  les  vitesses  de  rotation  des  deux  tores  ;  il  faudra  pour  l'équilibre 
que  les  deux  expressions 

Vo  -I (  R  -H  r  cos  3  ).     V'o  H — —  (  R'  -f-  r  cos  :'  i 

soient  indépendantes  de  o  et  o'.  ce  qui  nous  donne  les  deux  équations 

n/-3  >.  ij  r.r-r 

w-  t\  r  —  — —  log —  ■; T—,    =  o 

2R       "     r  H  — R'  /  ,  _^\ 

Si  l'on  veut  que  oj  =  '»',  il  faut  donc  que  l'on  ait 

.M  =  .=  rr'(R_R;(^log-.-^log  — j, 

M  étant  la  masse  totale  du  fluide.  Cette  équation  montre  que  R  — R'  doit  être 
très  petit  par  rapport  à  R,  ou  bien  que  l'on  doit  avoir  approximativement 

r         r 
R  ^  F' 

Si  en  effet  R  —  R' n'est  pas  très  petit  par  rapport  à  R,  le  produit  --rr'(R — R') 
est  de  même  ordre  de  grandeur  que  r-R,  W-R',  où  M,  et  par  conséquent  le 
dernier  facteur  du  second  membre,  doit  être  fini. 

Je  réserve  pour  un  article  ultérieur  la  discussion  de  la  stabilité  de  ces  figures 
d'équilibre.  Je  me  bornerai,  pour  terminer,  à  faire  la  remarque  suivante  qui. 
malgré  sa  simplicité,  n'a  pas  été  faite  encore  à  ma  connaissance. 


SUR  l'équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation.  25 

Si  la  vitesse  angulaire  'jj  dépasse  une  certaine  limite,  il  n'v  a  aucune  figure 
d'équilibre  stable  possible  ('). 

En  effet,  pour  que  l'équilibre  soit  stable,  une  condition  nécessaire,  mais  non 
suffisante,  c'est  que  la  résultante  de  l'attraction  et  de  la  force  centrifuge,  qui 
doit  être  normale  à  la  surface  d'équilibre,  soit  dirigée  vers  l'intérieur  de  la 
masse. 

Soient  V  le  potentiel  dû  à  l'attraction,  'ai  la  vitesse  angulaire,  /•  la  dislance  à 
l'axe,  et  posons 

2 

Les  composantes  de  la  force  seront  -3-1  -j-i  -j^  et  la  force  estimée  suivant  la 

normale  -;— •  On  aura  d'ailleurs 
dn 

I        ,/ïC;       r/ti'       ^-\'       ritx       ,jt\- 

-  -f-  2  0»'. 


d--\ 

d'-  L        d- 1 

d-y 

d-\ 

d-\ 

-, !-  ■>  W-  — 

dx- 

dv'-         dz'- 

dx'- 

dv^- 

dz- 

Le  théorème  de  Green  donnera  donc 

/^^...  =  M(2M-i.. 

l'intégrale  étant   étendue  à  tous   les  éléments    de   la    surface    d'équilibre.   Si 

donc  'jj>y/2-,  l'intégrale  sera  positive;  il  sera  donc  impossible  que -3—  soit 
toujours  négatif,  ce  qui  est  nécessaire  pour  que  la  résultante  de  toutes  les  forces 
soit  toujours  dirigée  vers  l'intérieur  de  la  masse.  L'équilibre  stable  est  donc 
impossible.  c.   p.   r.    d. 


\'oir  aux  Notes,  A/asses  fluides  en  rotation  1  résultats  dûers  • 


H.  P.  —  VII. 


SUR 


L'ÉOUILIBHE  D'UNE  MASSE  FLUIDE 
ANIMÉE   D'UN    MOUVEMENT    DE   ROTATION 


Bulletin  (islroDomique,  t.  '2,  p.  4o5-4'3  (septembre  i885). 


Dans  le  travail  que  j'ai  récemment  publié  sur  le  même  sujet  ('),  je  n'ai 
pas  donné  les  détails  des  calculs.  Bien  que  mou  analyse  diflere  peu  de  celle 
qu'à  employée  M""^  de  Kowalewski  dans  ses  recherches  sur  l'anneau  de 
Saturne,  il  ne  sera  peut-être  pas  inutile  de  revenir  sur  ces  détails,  ne  fût-ce 
que  pour  faire  voir  quelles  sont  les  simplifications  qui  peuvent  être  dues  aux 
hypothèses  que  l'on  a  droit  de  faire  sur  l'extrême  petitesse  de  certaines 
quantités. 

Il  s'agit  d'abord  de  calculer  le  potentiel  du  tore.  Soient  O  le  centre  du  tore, 
C  le  centre  d'un  cercle  méridien,  M  un  point  quelconque  du  plan  de  ce  cercle, 
R  la  distance  OC,  oj  l'angle  du  plan  OCM  avec  un  plan  méridien  fixe,  x  cl  y 
les  coordonnées  rectangulaires  du  point  M  rapporté  à  deux  axes  passant  par  le 
point  G,  le  second  parallèle  à  l'axe  du  tore.  Les  coordonnées  de  M  rapportées  à 
trois  axes  rectangulaires  dans  l'espace  seront  alors  (R  +  .z')cosw,  (R  +  a;)  sinoo  et  r. 

Nous  poserons  de  plus 

A  =  p  cos  cp,        .K  =  p  sin  ç 

et  nous  appellerons  r  le  rayon  du  cercle  méridien  du  lore,  de  telle  sorle  que 
l'équation  du  tore,  dans  ce  système  particulier  de  coordonnées,  se  réduira 
à  0  =  r. 

f'j  Bulletin  aslronomiqut:,  t.  2,  p.  loj  (OEiivrex  di'  II.  Poinrnré,  ce  Tome,  p.   t-;). 


SUR    L'ÉQUILIBRE    D'UNE    MASSE   FLUIDE    EN    ROTATION.  27 

Pour  évaluer  le  potenliel  du  tore  par  rapport  au  point  M,  nous  décompo- 
serons la  surface  du  cercle  nicridiea  en  une  infinité  d'éléments  infiniment 
petits  d'ji' .  CliacuQ  de  ces  éléments  engendrera,  par  sa  révolution  autour  de 
l'axe,  un  anneau  élémentaire.  Soient  x'  et  y'  les  coordonnées  de  l'élément  dut' 
rapporté  aux  deux  axes  rectangulaires  définis  plus  haut,  rf/-/.  la  masse  de 
l'anneau  élémentaire  correspondant,  dV  le  potenliel  de  cet  anneau.  V  le 
potenliel  du  tore  complet.  Soient  enfin 


a  =  \l{x  —  x'  )--^  yr  — y  y-,  /'  =  ^/(2R  -I-  a:  -I-  x  )- -\-  (y  — ,l'')- 

la  plus  petite  et  la  plus  grande  distance  du  point  M  à  l'anneau  considéré, 
et  M(a.  b)  la  moyenne  arithmético-géomélrique  de  ces  deux  dislances.  On 
trouvera,  en  conservant  les  mêmes  unités  que  dans  le  Mémoire  cité, 

rfuL  =  2  !r(  K  -I-  J-'  )  (h')'.         f/\  =  . .  '  '^  ,    ,  V  =  /  (/\  . 

M('-',  b)  J 

La  théorie  des  fonctions  elliptiques  nous  apprend  que  l'on  a 

S„  et  S,   étant  des  séries  ordonnées  suivant  les  puissances  de  j-  La  même 

théorie  nous  donnerait  également  les  coefficients  de  ces  séries;  mais  je  vais 
indiquer  un  autre  moyen  de  les  calculer. 

Soit 

I  .\o  .      "        Al  u-  ,      a        B|i        Bia^ 


Vi{,i,b)        h       "h  6''        "6         b  b"- 

Remplaçons  dans  cette  identité  a  par  \/ab  et  b  par  "— —  ,  il  viendra 

A^o  ,__«        A'i  a  ,      «        B'o        B'i  a 


M  i  \J.ab,  — 


=  -r  log ,-  -4-  -r-r  I02 


b\  b     "b  62        "b  h  6= 

Mais  on  a 


M(«,  6)  =  m(v/«^^')' 


Les  deux  séries  doivent  donc  être  identiques;  ce  qui  conduit  aux  identités 

Bo  =  Aolog4  -^  2B0, 
o  =  — Ao-h  4  A,, 
o  =  —  2A0—  Ao  log4  -+-  4  Ai  log4  --  3B0+  8B|. 


28  SUR  L'ÉQUILIBRE   D'UNE   MASSE  FLUIDE   EN   ROTATION. 

On  a  donc 

eu  uégligeanl  les  ternies  de  l'ordre  de  ^^  log  -• 

11  reste  à  déterminer  A,,.  Four  cela  nous  appliquerons  un  cas  particulier  du 
théorème  de  Green,  c'est-à-dire  le  théorème  du  flux  de  force.  Considérons  un 
cercle  de  rayon  très  petit  décrit  autour  de  l'élément  c?co'.  Ce  cercle  engendrera 
par  sa  révolution  un  tore  enveloppant  l'anneau  élémentaire  considéré.  En  un 
point  de  ce  tore,  a  sera  très  petit  et  peu  différent  du  rayon  du  cercle  méridien, 
b  diffi'Tcra  peu  de  2(R-\-x').  La  surface  du  tore  sera  donc  471"^!  (R  +  ar'); 
l'attraction  exercée  par  l'anneau  c?/jl  sur  un  point  du  tore  différera  peu  de 

A  0  r/'X  A  0  '/[J- 


ab  2a(  l\  ■+-  y  ) 

ce  qui  fait  pour  le  tlux  de  force  —  271- A^  dix.  Or  ce  (lux  doit  être  égal,  d'après 
le  théorème  de  Green,  à  i^ndiJ..  On  a  donc 

A„  =  -^ 
Nous  poserons,  pour  abréger 

^  =  :i:-+-x',  ^=)_y', 

et  nous  trouverons  aisément  les  développements  suivants  : 

■^_l L  + Jl  +  JL 

h       2R        4R2       8R:'       16  R^'' 
4R-         I  3|         3?2         3^2 


b^        2R       4R2       4R-'       16  RI 

i  ,0.1^  -  _  J_  +  ill  _  Jl_  4R:  , 
h     "  b  \K"-       16 R"       i6R-i    6^' 

log3«-       ?     ^    7^=        '-   - 


b  4R=       i6R3       t6R-' 

En  tenant  compte  de  ces  développements,  on  trouve  avec  le  même  degré 
d'approximation  que  plus  haut 


;  =  :rî7  'oSôt;  -  Toi  'ogrrû       JTm  ^"Sttts  -  tâî»  '"g^TR  -"     «ITs  ^°= 


AoM(a,6)~2R      °8R        4R2^2aR        8R3^2fjR       16R'      ^2aR  HR'      =2aR 


SUR  l'Équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation.  29 

On  trouve  ensuilfi 

_       / ■  4(R^.£')c^cu'  'iY  _  _   UH-t-x'; 

""",'       AoM(a.6)     '  riV)  ""       \oM(a.  b}' 

(.)n  en  déduit,  toujours  avec  le  même  degré  d'approximation, 

J'ai  écrit  cette  dernière  formule,  pour  abréger,  en  prenant  2R  pour  unité  de 
longueur,  quitte  à  rétablir  plus  tard  l'homogénéité. 

Pour  obtenir  la  valeur  de  V  lui-même,  il  reste  à  calculer  un  certain  nombre 
d'intégrales  doubles  de  la  forme  suivante  : 


/ 


3(./-"',  y'  )  \tf^  -  (/m 


étendue  à  tous  les  éléments  rfu'  de  la  bection  méridienne  du  tore.  Une  pareille 
intégrale  n'est  autre  chose  que  le  poleulicl  logarithmique  du  cercle  méridien 
par  rapport  au  point  M  supposé  attiré  en  raison  inverse  de  la  distance,  et  de 
telle  sorte  que  la  densité  de  la  matière  attirante  soit  égale  à  ©(a?',  y')-  Si  celle 
densité  est  uniforme  en  tous  les  points  également  distants  de  G,  le  polenliel 
est  le  même  que  si  toute  la  masse  était  concentrée  au  centre  G  du  cercle 
méridien.  On  a  donc 

Siyestnul  sur  la  circonférence  du  cercle  méridien,  c'est-à-dire  poura;'-'-!-  )■'-'= r-, 
l'intégration  par  parties  donne 

On  trouve  de  même 

■    '  J   dx"'dy  "''■•' ^  ''     '^^  dx'"  dy"      "  z  7 

pourvu  que  /  soit  nul  ainsi  que  ses  m  -\-  n  —  1  premières  dérivées 
pour  r"  4- .r'-  =  r2. 


3o  SUR   L'ÉQUILIBRE   DUNE   MASSE  FLUIDE   EN   ROTATION. 

Ces  formules  doniu'nl 

/  lus      cAo'  —  -/■-  log--  ) 
J       "  X  a 

//       '..  '■-,^  1  "•     /     -  f'*   1  f 

(./•  --I-  )•  -)  loff— f/to  =  —  loff-) 
2  3  2 

r  /      ■■>              '..              .,N  1          "    J     '                   ^'■'    1         P 
I    (.!•--(-)- —  r-)]0S~dM— 102-5 

.'  ■  2  ■>  a 

J' /    '.)  '■>         ■.  \..  1      "    I   t        ~  ''''  1       P 

(./;--i-  )   - — /■-)-loj<- (Ao  =  -    -  log    • 

J'appliquerai  maintenant  la  formule  (i)  en  diiférentiant  la  troisième  des 
inlcgrales  précédentes  par  rapport  à  x',  ou  par  rapport  à  i  ',  et  la  quatrième 
deux  fois  par  rapport  à  r':  j'obtiendrai  ainsi 

X   lo"      t/M  = )  1   I    y   \os—  av)  = , 

X  2  ,-  J   '  J-  2  p 

/'/'.,  '.  .,  NI        "   J    /         ,      r     -.,  ,        '1,1  '^f''    i;0S2Ç 

2  (  (.;■  --h  1  ■—  /•-)  log-  aw  +  'i    /  X  -^  log-  (Ao  = ^; 

d'où  je  tire 

/  .(•  -  log-  (Im  =   —^  log -— , 

J  a.  I  «  1 2        p  - 

/    V  -  log-  dM  =  — —  log-  H ^• 

..'   '  =<  I         ^  ■-       P" 

Si  nous  supposons  que  le  point  M  est  sur  la  surface  du  tore  de  telle  façon 
que  0  =  /•,  ces  formules  se  simplifieioul  un  peu,  de  sorte  qu'on  aura 

■    ,    ,                                /-/■■>  cos  ç 
ffw  =  -  ;■■  OU!-  Zi  log : ■  i 


j^lo, 

/,      "    ,   ,  ,,      r  /  S        cos2  9\  /i        cos  2  s 

/„,  ,        «     ,    ,  ,,        r  fi  C0S2(p\  ,/l  00S2(b\ 

ÇMog-rfo.  =  .,'.  log-(-  -  ^j  ^r.,-^-  -  ^^j, 

/  a- log  -  rfio' =--;■' log — h-;-', 
^  a  2  X 

Toutes  ces  intégrales  sont  des  fonctions  linéaires  de  cos 9  et  COS29;  si  nous 
les  substituons  dans  l'expression  de  V,  nous  trouverons 

V  =  F  -T-  G  cos  9  -I-  H  cos  2  ç. 

F,  G  et  H  étant  indépendants  de  cp;  on  a,  en  rétablissant  l'homogénéité 

2  K  >•"■■  ,         r  r.r^  „        3  n  r'  ,      2  u  F! 

K        "  2  !z  H        2  H  2  R-  /■ 


SUR   L'ÉQUILIBRE   D'UNE   MASSE   FLUIDE   EN    ROTATION.  3l 

,u  étant  une  constante  facile  à  calculer  d'après  ce  qui  précède.  Ouant  à  F,  il 

n'intervient  pas  dans  la  suite  et  nous  n'écrirons  que  son  terme  principal  qui 

2  1      i^  P' 

est  2nr^  loe 

°    r 

Supposons  maintenant  que  la  niasse  considérée,  au  lieu  d'aflecler  la  forme 

du    tore    dont    l'équation    était    p  =  ;■,    prenne    la    forme    d'une    surface    de 

révolution  S,  peu  différente  de  ce  tore,  et  ayant  pour  équation 

c  =  /■  -I-  p,  COS  2  i  -(-  'j3  COS  3  S  +  .  .  .  -I-  [îi  COS  i  Ç  -f   . . . . 

Nous  pourrons  alors  regarder  l'attraction  de  cette  masse  comme  la  somme  de 
l'attraction  du  tore  et  de  la  différence  entre  la  surface  S  et  le  tore.  Nous 
appellerons  ôV  le  potentiel  dû  à  cette  différence,  V  le  potentiel  du  tore  par 
rapport  à  un  point  de  sa  propre  surface,  et  V  +  A^'  le  potentiel  du  tore  par 
rapport  à  un  point  de  la  surface  S,  de  sorte  que  le  potentiel  total  par  rapport  à 
un  point  de  la  surface  S  sera 


V-+-AV  +  oV=  r^do)', 


l'intégrale  du  second  membre  étant  étendue  à  tous  les  éléments  cIm'  de  la 
section  méridienne  de  la  surface  S.  Mais,  les  (3  étant  très  petits,  nous 
pourrons,    dans   le   calcul    de  W  et  de  oV,  ne  tenir  compte  que   du   terme 

1      1         'A'  •  1  <'  AT  ■  • 

principal  de  -r—,  qui  est  —  2  'ogs-R*  i^ous  trouverons  ainsi 

AV  =  an/-  log 271  r-  log —  =  —  2 ;iri[jjCos jo, 


en    négligeant    les    carrés    de    p.    On    trouve    encore    avec    le   même   degré 
d'approximation 

/• 


0  V  =  —  2  r 


, ,,  Slll 

4K  2 


^{[iiCOsis')dtf', 


si  l'on  observe  que,   poui'  les  éléments  de  la  difl'érence  entre  la  surface  S  et 
le  lore,  on  peut  écrire 


On  peut  écrire  également 

SV  =  -  2  r  f     lop 


.     fJ 

sin- 

2 


dut' =  r  df'^^i  COS  i<f' 


(2|ii,-  l'os!  9  cosf  Y  -t-  S  fi,-  sinif)  sint'oi  < 


3i  SUR    L  ÉQUILIBRE   D'UNE   MASSE   FLUIDE   EN    ROTATION. 

Ciîtte  intéjïrale  pout  s'évaluer  sans  peine.  Ou  a,  en  ell'et, 

1  v^  z"  ,,    ,  ,  I  xT'e'"'' 

Dij  — -  =7  —  )      cl  1111      os 7.  =  y  —  1 

OU,  en  égalant  les  parlies  réelles 

1        ,         .     b       v^  iju<  n  0 
log loR  sin  -  =  7 

On  en  déduit 

log  sin -co«iO  = .  et,         oV  =    >  î-i, i- 

2  /  .^  t 

Il  reste  donc 

V  —  AV-4-SV=  l''-i-  Gcojo  -I-  H  ros29  +  27t/-ï:  ij-cosj'o  (  -  —  i  )• 

D'autre  part,  le  potentiel  dû  à  la  force  centrifuge  a  pour  valeur,  en  appelant  n 
la  vitesse  de  rotation  et  en  nt^gligeant  w'-^ 

—  (K  -+-  x)-  =  —  (  R-H j  -I-  «-R7-COSII  -    j-r-  cosaif. 

Pour  que  l'équilibre  ail  lii'u,  il  faut  que  l'expression 

V  -4-  AV  -^  3V  -4-  ■"-( R  -+-xy- 
2 

soit  indépendante  de  cp,  ce  qui  nionlrc  d'abord  que,  avec  le  degré  d'appro- 
ximation adopté,  tous  les  (3  sont  négligeables,  sauf  (So,  c'est-à-dire  que  la 
section  méridienne  peut  être  regardée  comme  une  ellipse  dont  l'aplatissement 

r 

En  égalant  à  o  les  coefficients  de  cos»  et  cos2o,  on  obtient  les  deux  équations 


(  i  -I-  n-  R  r  =  H  —  -  /•  i..  -! — 7-  r-  =  o, 

'1 

d'où  l'on  tire 


et  approximativement 


.    _  2n- 


Ces  résultats  ne  sont  pas   tout  à  fait  les  mêmes  que  ceux  de   mon  premier 
travail,  par  suite  d'une  faute  de  calcul  que  j'v  avais  commise. 


SUR    L'ÉQUILIBRE    D'UNE    MASSE    FLUIDE    EN    ROTATION.  33 

Occupons-nous  maintenant  du  cas  où  la  masse  fluide  est  répartie  en  deux 
volumes  annulaires  séparés,  peu  différents  de  deux  tores.  J'appellerai  R  et  r 
les  deux  rayons  du  plus  grand  de  ces  deux  tores,  R'  et  ;■'  les  deux  rajons  du 
plus  petit.  Le  potentiel,  en  un  point  de  la  surface  du  premier  tore,  sera  égal  au 

potentiel  dû  à  son  attraction  propre,  c'est-à-dire  à  F  +  Gcoscp  (en  négligeant 

H  et  les  termes  du  même  ordre,  c'est-à-dire  de  même  ordre  que  jt^  log  -  ) .  plus 

le  poteatiel  dû  ù  l'aLtraclion  du  second  tore,  que  je  puis  réduire  à  son  terme 

principal,  si rp  est  assez  petit.  Si  l'on  observe  que  la  distance  d'un  point 

du  premier  tore  au  second  est  à  fort  peu  prés  R  —  R'  -I-  /•  cosq,  on  verra  que  ce 
terme  principal  peut  s'écrire 

SR'  ,    ,  8R'  2-r'2rcos3 

"K- H'-H/cos?  ^H-H'  R-R' 

Il   faut  pour  l'équililjre   que  ce  potentiel  augmenté  de  —  (R-l-j")-  soit  indé- 
pendant de  <p;  on  doit  donc  avoir 

an  ;-'2  r 

G  +  ^^i^'-RTHr^"- 

Si  l'on  appelle  G'  et  n'  les  quantités  qui  sont  au  second  tore  ce  que  G  et  n  sont 
au  premier,  on  trouvera  de  même 

r-'  '.>r>'    •         'i-T^I-'-r' 


On  a  d'ailleurs 

„        2  71  r'  , 


2Kr^  r  2  Jt  /•  »  r 


v  étant  une  constante  facile  à  calculer.  Si  donc  on  veut  que  les  deux  vitesses  de 
rotation  n  et  n'  soient  les  mêmes,  il  faut  que  l'on  ait 

r-  ,        r  r-  r'  r        //'-        r'  \ 

En  appelant 

la  masse  totale  du  fluide,  nous  pouvons  écrire 

M  =  2..RR'(R-R')(glog^-^log-^), 
ce  qui  est  la  formule  que  j'avais  donnée  à  la  fin  du  travail  cité. 

HP—  VII.  5 


SUR 

LÉOUILIBRE   D'UNE  MASSE  FLUIDE 
ANIMÉE   D'UN   MOUVEMENT   DE   ROTATION 


Comptes  rendus  de  l'Académie  des  Sciences,  t.   100,  p.   10O8-1070  (20  avril  188Ô). 


Une  masse  fluide  homogène  dont  toutes  les  molécules  s'attirent  d'après  la  loi 
de  Newton,  et  qui  est  animée  d'un  mouvement  de  rotation  uniforme  autour 
d'un  axe,  est  susceptible  d'une  infinité  de  (igures  d'équilibre.  Les  seules  qui 
aient  été  signalées  jusqu'ici  sont  l'ellipsoïde  de  révolution,  l'ellipsoïde  de 
Jacobi  et  les  figures  annulaires  de  MM.  Tait  et  Thomson,  que  j"ai  étudiées  en 
détail  dans  une  Note  récente,  insérée  au  Bullelin  astronomique  (').  Mais  le 
problème  admet  une  infinité  d'autres  solutions. 

Je  considérerai  dos  séries  linéaires  de  figures  d'équilibre,  c'est-à-dire  des 
séries  telles,  qu'à  chaque  valeur  de  la  vitesse  de  rotation  corresponde  une 
figure,  et  une  seule,  ou  un  nombre  fini  de  figures,  et  que  ces  figures  d'équilibre 
varient  d'une  façon  continue  quand  on  fait  varier  cette  vitesse.  Ainsi  les 
ellipsoïdes  de  révolution  forment  une  série  linéaire,  les  ellipsoïdes  de  Jacobi  en 
forment  une  autre.  Il  peut  arriver  qu'une  même  figure  appartienne  à  la  fois  à 
deux  séries  linéaires.  Ainsi  il  y  a  un  ellipsoïde  de  révolution  qui  est  en  même 
temps  un  ellipsoïde  de  Jacobi. 

Je  me  suis  alors  proposé  de  rechercher  s'il  existe  des  séries  linéaires  de 
figures  d'équilibre  parmi  lesquelles  il  y  en  ait  une  qui  se  réduise  à  un  ellipsoïde. 

(')  Œuvres  de  II.  l'oiiiraré,  ce   l'ome,  p.  17. 


SUR  l'Équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation.  35 

On  arrive  aisément  au  résultai  suivant  :  Soient  p,  y/p-  —  b-,  \/p- — c^  les  trois 
axes  de  l'ellipsoïde,  et  soit  R  une  fonction  de  Lame  quelconque.  On  devra 
avoir 


Ja      W-J(?--—bn(9-—c-)  Jn 


Réciproquement,  on  arrive  à  démontrer  que,  si,  pour  une  des  fonctions 
de  Lamé,  les  axes  d'un  ellipsoïde  de  révolution  ou  d'un  ellipsoïde  de  Jacobi 
satisfont  à  l'équation  (i),  cet  ellipsoïde  appartiendra  non  seulement  à  la  série 
des  ellipsoïdes  d'équilibre,  mais  encore  à  une  autre  série  linéaire  de  figures 
d'équilibre  non  ellipsoïdales. 

J'ai  discuté  les  équations  (i)  dans  le  cas  des  ellipsoïdes  de  révolution  aplatis. 
Posons 


b  =  o,         c  =  I ,         p  =  \  k-  +  1 , 
\\  =  {le--^lf -^^—^ (t  =  o,  I,  2,   ...,  «)• 

Nous  n'aurons  à  considérer  que  les  valeurs  de  n  au  moins  égales  à  2.  Nous 
trouverons  que  l'équation  (  i  )  n'a  pas  de  racine  quand  i  -'r  n  est  impair  et  en  a 
une,  et  une  seule,  quand  «' + /i  oil  pair.  Ainsi  à  tout  système  de  nombres 
entiers  i  et  n,  tels  que 

«  >  2,         i  ^  n,         î'^o       J  j  ^  «  (mod  2)] 

correspond  une  série  linéaire  de  figures  d'équilibre.  Il  faut  faire  exception 
pour  le  cas  de  i=zo,  n  ;=  2  ;  la  racine  de  l'équation  (i)  correspondante  ne 
donne  pas  de  série  nouvelle  de  figures  d'équilibre.  Elle  correspond  à  l'ellip- 
soïde de  révolution  dont  la  vitesse  de  rotation  est  maximum.  Dans  le  cas 
de  i  :=  n  =  2,  on  retrouve  les  ellipsoïdes  de  Jacobi. 

Si  t:=o,  les  figures  d'équilibre  correspondantes  seront  de  révolution. 
Elles  ne  le  seront  pas  dans  le  cas  contraire. 

Le  même  procédé  peut  servir  pour  déterminer  les  conditions  de  stabilité 
de  l'ellipsoïde  de  révolution.  MM.  Tait  ol  Thomson  ont  annoncé  que  les 
ellipsoïdes  de  révolution  que  l'on  rencontre,  en  partant  de  la  sphère  et  en 
allant  jusqu'à  celui  qui  est  en  même  temps  un  ellipsoïde  de  Jacobi,  sont  tous 
stables,  et  que  les  autres  sont  séculairement  instables. 

Pour    établir    ce    résultat,    il    suffit    de    montrer    que,    parmi    toutes    les 


36  SUR  l'équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation. 

équations  (i),  celle  ijiii  a  la  plus  grande  racine  est  celle  qui  correspond  au  cas 
de  «':::=  n  =  2,  OU  bien  encore  que  tous  les  rapports 

[  /  E^  /(  (  m  od  a  )] 


/c^  +  I 

vont  constainiueul  en  croissant  quand  /.'  croil  de  zéro  à  l'infini.  (  )r  cela  est  aisé 
à  vérifier. 

Il  est  possible  que  les  séries  linéaires  de  figures  d'équilibre  que  j'ai  signalées 
plus  haut  contiennent  des  figures  stables;  mais  il  est  certain  au  moins  que 
celles  de  ces  figures  qui  diffèrent  peu  de  l'ellipsoïde,  et  qui  sont  les  seules  que 
nous  connaissions  un  peu,  sont  toutes  séculairemeut  instables  (à  l'exception, 
bien  entendu,  des  ellipsoïdes  de  Jacobi). 

11  y  aurait  intérêt  à  répéter,  pour  les  ellipsoïdes  de  Jacobi,  la  discussion  que 
je  viens  de  faire  pour  les  ellipsoïdes  de  révolution,  d'autant  plus  que,  parmi 
les  figures  d'équilibre  que  l'on  découvrirait  ainsi,  il  y  en  a  qui  sont  stables. 
C'est  ce  que  je  chercherai  à  faire  dans  une  Communication  ultérieure,  si 
l'Académie  veut  bien  le  permettre. 


SUR 

L'ÉQUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE 
ANIMÉE  D'UN    MOUVEMENT   DE  ROTATION 


Comptes  rendus  de  l'Académie  des  Sciences,  t.  101,  p.  307-303  (27  juillet  188.)). 


Dans  une  Communication  faile  à  l'Académie  le  20  avril  i885  ('),  j'ai 
montré  qu'une  masse  fluide  homogène,  soumise  à  l'allraction  nevvtonienne  et 
animée  d'un  mouvement  de  rotation,  était  susceptible  d'une  infinité  de 
figures  d'équilibre,  outre  celles  qui  sont  déjà  connues.  J'en  al  défini  un  certain 
nombre  qui,  sans  être  ellipsoïdales,  difl'èrcnt  infiniment  peu  d'un  ellipsoïde  de 
révolution.  J'ai  montré  que  ces  figures  nouvelles  étaient  instables. 

J'ai  reconnu  depuis  qu'il  existe  également  des  ellipsoïdes  de  Jacobi  apparte- 
nant en  même  temps  à  une  série  linéaire  de  figures  d'équilibre  non 
ellipsoïdales. 

Soient  p,  y/p- —  u-,  y/p-  —  c-  les  trois  axes  de  l'ellipsoïde;  soitR  une  fonction 
de  Lamé  quelconque  de  p;  soit 

dp 


S  ={2n-hi)l\  f     — 


V^P-— 6-)(p-— c'^) 


la  fonction  S  conjuguée  de  II  d'après  la  notation  de  Liouville.  Nous  distin- 
guerons les  fonctions 

ainsi   que   les    fonctions   R,,    R,,    ...,    R„,    ...    définies  comme  il  suit  :   la 


(')  QEui'res  de  H.  Poincarè,  ce  Tome,  p.  34. 


3S  SUR  l'équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation. 

tonclioii  R„  sera  une  fonclion  de  Lamé  d'ordre  n  ne  contenant  en  facteur 
ni  \'p-  —  c'-,  ni  \/p-' —  b-  et  ne  s'annulant  que  pour  des  valeurs  de  p-  comprises 
entre  zéro  el  b''.  Pour  toute  valeur  n,  il  j  en  a  toujours  une  et  une  seule; 
Si,  So,  Sj,  .  .  .,  S„  seront  alors  les  fonctions  conjuguées  de  Ri,  Rj,  .  .  .,  R». 
Gela  posé,  tout  ellipsoïde  de  Jacobi  satisfera  à  la  condition 

fil  Si  _  R,S, 
3      ~      5     ' 

s'il  satisfait  en  outre  à  la  condition 

Ci')  Ri  Si  __    R/i  S„ 


il  appartiendra  à  la  fois  à  deux  séries  linéaires  de  figures  d'équilibre  :  à  savoir, 
la  série  des  ellipsoïdes  de  Jacobi,  et  line  série  de  figures  i„  non  ellipsoïdales. 
Quel  que  soit  n,  il  y  aura  toujours  un  ellipsoïde  de  Jacobi  satisfaisant  à  la 
condition  (i).  Nous  a\ons  donc  démontre  l'existence  d'une  infinité  de  figures 
d'équilibre  nouvelles  ^3,  2.,,  .  .  . ,  i„. 

La  figure  2„  a  mêmes  plans  de  symétrie  que  l'ellipsoïde  si  n  est  pair;  si  «est 
impair,  elle  est  symétrifjue  par  rapport  aux  plans  des  xy  et  des  xz,  mais  non 
par  rapport  au  plan  des  yz. 

Les  figures  i;,  sont  stables,  toutes  les  autres  sont  instables. 

Les  ellipsoïdes  de  révolution  sont  stables,  s'ils  sont  moins  aplatis  que  celui 
qui  est  en  même  temps  un  ellipsoïde  de  Jacobi  (c'est  ce  que  sir  W.  Thomson 
avait  déjà  démontré  en  supposant  qu'on  imposait  à  la  masse  fluide  comme 
liaison  la  condition  de  rester  ellipsoïdale;  cette  condition  n'est  pas  nécessaire). 
Les  ellipsoïdes  de  Jacobi  sont  stables  s'ils  sont  moins  allongés  (suivant  le 
grand  axe)  que  celui  qui  appartient  en  même  temps  à  la  séris  des  figures  ^3. 

Pour  résumer  les  résultats  obtenus,  faisons  l'hypothèse  suivante  : 

Supposons  une  masse  fluide  homogène,  se  contractant  par  un  refroidisse- 
ment, et  imaginons  que  ce  refroidissement  soit  assez  lent  pour  qu'elle  conserve 
un  mouvement  de  rotation  uniforme  dans  toutes  ses  parties  et  que  l'homogénéité 
subsiste  constamment. 

Il  arrivera  alors  que  cette  masse,  d'abord  presque  sphérique,  affectera  la 
forme  d'un  ellipsoïde  de  révolution  dont  l'excentricité  ira  sans  cesse  en 
croissant,  jusqu'à  ce  qu'elle  atteigne  la  valeur  0,81  ;  la  masse  deviendra  ensuite 
un  ellipsoïde  de  Jacobi  puis  une  figure  ij.  Pour  expliquer  grossièrement  la 
déformation  qu'elle  subit  alors,  imaginons  que  l'ellipsoïde  soit  coupé  en  deux 


SUR  l'Équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation.  Sq 

moitiés  par  un  plan  perpendiculaire  au  grand  axe.  En  devenant  une  figure  l-.^, 
l'une  des  moitiés  de  l'ellipso'ide  s'aplatira  et  se  rapprochera  de  la  forme  hémi- 
sphérique, l'autre  moitié  s'allongera  au  contraire  de  plus  en  plus.  11  est  difficile 
de  dire  ce  qui  arrivera  ensuite  si  le  refroidissement  continue,  mais  l'examen 
des  figures  2;,  porte  à  croire  que  la  masse  ira  en  s'étranglant  dans  sa  petite 
moyenne  pour  se  partager  ensuite  en  deux  masses  isolées  et  inégales. 


SUR 

L'ÉQUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE 
ANIMÉE  D'UN  MOUVEMENT  DE  ROTATION^') 


Acta  Mathcniiitirii .  t.  7.  p.  25f)-38o  (i6  septembre  i88j) 


TABLE  DES  MATIERES. 


P.iges. 

I.  Introduction 4i 

II.   Equilibre  de  bifurcation 43 

III.  Échange  des  stabilités 5o 

IV.  Cas  d'un  nombre  infini  de  variables 55 

V.   Première  application  :  figures  annulaires 62 

VI.   Exemples  d'éi|uilibres  de  bifurcution 67 

\'II.  Stabilité  de  l'équilibre  relatif 70 

VIII.  Fonctions  de  Lamé 76 

IX.  Détermination  des  coefficients  de  stabilité 86 

\.   Discussii)n  de  l'équation  fondanienlale 93 

XI.   Ellipsoïdes  de  révolution ijS 

XII.  Ellipsoïdes  de  Jacobi 107 

XIII.  Petits  mouvements  d'un  ellipsoïde ii3 

XIV.  Stabilité  des  ellipsoïdes 127 

XV.  Conclusions i3g 


(')  Manuscrit  remis  le  iGjuilIel  i885. 


SUR  l'Équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation. 


I.  —  Introduction. 

Quelles  sont  les  figures  d'équilibre  relatif  que  peut  atfecter  une  masse  lluide 
homogène  dont  toutes  les  molécules  s'attirent  conformément  à  la  loi  de  Newton 
et  qui  est  animée  autour  d'un  certain  axe  d'un  mouvement  de  rotation  uni- 
forme ? 

Quelles  sont  les  conditions  de  stabilité  de  cet  équilibre? 

Tels  sont  les  doux  problèmes  qui  forment  l'objet  de  ce  Mémoire. 

On  en  connaît  depuis  longtemps  deux  solution  :  l'ellipsoïde  de  révolution  et 
l'ellipsoïde  à  trois  axes  inégaux  de  Jacobi.  Je  me  propose  d'établir  qu'il  y  en  a 
une  infinité  d'autres, 

Mais  je  vais  avant  d'aller  plus  loin  signaler  un  certain  nombre  de  résultats 
que  l'on  trouve  dans  le  Treati.se  on  Nalutal  Philosophy  de  MM.  Tait  et 
Thomsou,  2"  édition,  §778.  Sir  William  Thomson  énonce  la  plupart  de  ces 
propositions  sans  aucune  démonstration;  pour  quelques-unes  d'entre  elles,  il 
renvoie  à  des  Mémoires  plus  étendus  insérés  au  Philosophical  Transactions. 

Voici  ces  résultats,  qui  doivent  nous  servir  de  point  de  départ. 

a.  L'ellipsoïde  de  révolution  aplati  est  une  figure  d'équilibre  toujours  stable, 
si  l'on  impose  à  la  masse  fluide  la  condition  d'an"ecter  la  forme  d'un  ellipsoïde 
de  révolution. 

b.  Si  nous  imposons  à  notre  masse  la  condition  d'être  de  révolution,  mais 
non  plus  celle  d'être  ellipsoïdale,  on  trouve,  si  le  moment  de  la  quantité  de 
mouvement  est  assez  grand,  deux  figures  d'équilibre  :  une  figure  annulaire  qui 
est  stable  et  une  figure  ellipsoïdale  qui  est  instable.  (Nous  verrons  dans  la  suite 
de  ce  Mémoire  qu'il  y  en  a  une  infinité  d'autres  parmi  lesquelles  il  y  en  a  de 
stables  grâce  à  la  condition  imposée  à  la  masse  de  rester  do  révoluliou.) 

c.  Il  existe  également  des  figures  d'équilibre,  probablement  instables,  où  la 
masse  se  subdivise  en  plusieurs  anneaux  concenlri([ues. 

d.  La  figure  annulaire  d'équilibre  est  stable  si  l'on  impose  à  la  masse  la 
condition  de  rester  de  révolution,  et  probablement  instable  si  l'on  supprime 
cette  liaison. 

e.  Si  l'on  impose  à  la  masse  la  condition  d'être  ellipsoïdale,  mais  non  d'être 
de  révolution,  l'ellipsoïde  de  révolution  est  stable,  si  l'excentricité  est  inférieure 
à  0,8127  et  instable  dans  le  cas  contraire.  (Nous  verrons  dans  la  suite  de  ce 

H.  P.  —  Vit.  G 


42  SUR  l'Équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation. 

Mémoire  quo  les  coiidilioiis  de  sl;il>ilil(i  reslenl  les  mêmes  si  l'on  ne  s'impose 
aucune  liaison.  ") 

L'ellispoïde  de  Jacobi  esl  toujours  stable,  si  l'on  impose  à  la  masse  la 
condilioQ  d'être  ellipso'idale. 

f  et  g.  L'ellipso'i'de  de  Jacobi,  si  l'on  ne  s'impose  aucune  condition  est 
certainement  instable  dans  certains  cas,  bien  qu'il  soit  probablement  stable 
dans  d'autres.  (Nous  démontrerons  dans  la  suite  de  ce  Mémoire  qu'il  v  a 
efTeetivemenl  des  cllipso'ides  de  Jacobi  qui  sont  stables.) 

Une  autre  forme  d'équilibre  stable,  si  le  moment  de  la  quantilé  de  mou- 
vement esl  assez  grand,  sera  celle  où  la  masse  se  subdivise  en  deux  corps 
isolés,  comparables  à  une  planète  et  un  satellite  dont  les  vitesses  de  rotation 
seraient  égales  entre  elles  et  à  celles  de  révolution. 

h.  Il  existe  également  des  configurations  où  le  fluide  se  subdivise  en  plus  de 
deux  masses  détachées,  mais  elles  sont  instables. 

/.  11  subsiste  une  importante  lacune  entre  le  plus  grand  moment  de  la 
quantité  de  mouvement  qui  correspond  à  un  ellipso'ide  de  Jacobi  stable  cl  le 
plus  petit  moment  qui  correspond  à  l'équilibre  stable  de  deux  masses  isolées. 
Il  y  aurait  intérêt  à  combler  cette  lacune  par  des  figures  intermédiaires.  (J'ai 
fait  à  la  fin  de  ce  Mémoire  une  tentative  dans  ce  sens,  mais  je  n'ai  réussi  pour 
ainsi  dire  qu'à  amorcer  le  problème  et  à  indiquer  la  voie  à  suivre.) 

y.  Si  l'énergie  avec  un  moment  donné  esl  un  minimum  ou  un  maximum, 
l'équilibre  est  stable,  pourvu  que  le  liquide  soit  parfaitement  dépourvu  de 
viscosité.  Il  est  probable  qu'il  est  instable  si  l'énergie  esl  un  «  minimax  »  mais 
cela  n'a  pas  encore  été  démontré.  (Nous  verrons  dans  la  suite  de  ce  Mémoire 
un  exemple  où  l'équilibre  est  stable  à  la  condition  que  le  fluide  soit  aft^o/MmenZ 
dépourvu  de  viscosité  et  bien  que  l'énergie  soit  un  «  minimax  »). 

/.'.  Si  le  liquide  est  visqueux,  et  si  peu  qu'il  le  soit,  l'équilibre  sera 
certainement  instable  si  l'énergie  est  un  maximum  ou  un  minimax,  et  certaine- 
ment stable  si  elle  est  un  minimum. 

Je  donnerai  dans  la  suite  de  ce  travail  la  démonstration  de  quelques-unes 
des  propositions  que  sir  William  Thomson  avait  sculemenl  énoncées,  et  je  les 
complélerai  même  sur  divers  points,  comme  je  l'ai  déjà  indiqué  dans  les 
parenthèses  que  j'ai  intercalées  dans  le  précédent  exposé. 

Je  démontrerai  aussi  l'existence  de  figures  d'équilibre  tout  à  fait  difTérontes 
de  celles  dont  parlent  MM.  Tait  et  Thomson. 


SUR  l'Équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation.  43 

J'ai  déjà  donné  dans  le  Bulletin  Astronomique  (')  une  courte  Note  où 
j'étudie  plus  en  détail  l'anneau  simple  ou  multiple  dont  il  est  question  dans  le 
passage  cité  plus  haut  (6,  c  et  d). 

Dans  celle  étude,  je  me  suis  rencontré  avec  M""  Kowalevski  qui  avait  déjà 
employé  les  mêmes  procédés  d'analyse  dans  un  Mémoire  sur  l'anneau  de 
Saturne,  qui  avait  été  communiqué  en  1874  à  l'Université  de  Gôltingen  et  qui 
n'a  été  imprime  qu'en  i885  dans  les  Astrononiisclie  Nachrichten. 

II.  —  Équilibre  de  bifurcation. 

Considérons  d'abord  le  cas  où  il  s'agit  d'un  équilibre  absolu  et  d'un  système 
dont  la  position  est  définie  par  n  quantités  x^^  x^.  .  .  .,  x„.  Supposons  qu'il  y 
ait  une  fonction  des  forces  F(:ri,  x-2,  .  .  . ,  x,,)  de  façon  que  l'équilibre  ait  lieu 
quand  toutes  les  dérivées  de  celte  fonction  s'annulent  et  qu'il  soit  stable  quand 
cette  fonction  est  maximum.  Je  supposerai  qu'outre  les  quantités  Xi,  Xo,  .. .,  Xn, 
il  entre  dans  la  fonction  F  un  paramètre  variable  y,  de  telle  sorte  que  les" 
valeurs  des  x  qui  correspondent  à  l'équilibre  dépendent  de  ce  paramètre  j'. 

Supposons  que  y  ait  une  valeur  déterminée;  les  équations  d'équilibre  : 

dxi        dxi      '  '  '      dxn 

auront  un  certain  nombre  de  racines;  quand  on  fera  varier  y^  (si  P'  est  une 
fonction  holomorphe  des  x  et  des  >',  ce  que  nous  supposerons  d'abord),  ces 
racines  varieront  d'une  manière  continue.  Nous  aurons  ainsi  un  certain 
nombre  de  séries  linéaires  de  racines  : 

-^■1=  ?-2[(j),        j-.2=  022(7),         ...,        .r„=92«(r); 


.ri  =  ?ii(/),         2-2=  9/c2(.k),         ...,         ar„  =(?<•„  (7). 

Dans  chacune  de  ces  séries  linéaires,  x,,  x-i,  ...^Xn  sont  des  fonctions 
continues  du  paramètre  y.  Pour  certaines  valeurs  de  y,  deux  ou  plusieurs 
racines  peuvent  se  confondre.  Quelle  est  la  condition  pour  qu'il  en  soit  ainsi  ? 

boit   A    le    déterminant    (onclionnel    des  n  dérivées  —, —  -,  -7—1  ■■■i—, —   par 

ax\      dxi  ax„    ' 

rapport  aux  n  vari;ibles  Xi.  x^,  •  .  -jX,,,  ou,  en  d'autres  termes,  le  hessien  de 


{')  Œuvres  de  H.  Poincaré,  ce  Tome,  p.  17. 


44  SUR    L'ÉQUILIBRE    DUNE    MASSE    FLUIDE    EN    ROTATION. 

la  fonction  F  par  rappori  à  ces  n  vai'ial)les.  La  condition  nécessaire  et  suffisante 
pour  que  deux  ou  plusieurs  racines  se  confondent,  c'est  que  A  soit  nul. 

Supposons  que  pour  une  certaine  valeur  a  de  r,  pour  laquelle  \  s'annule, 
p  racines  des  équations  (i)  viennent  à  se  confondre,  ou  en  d'autres  termes, 
qu'une  même  racine  appartienne  à  la  fois  à  p  séries  linéaires.  Parmi  les 
p  racines  qui  appartiennent  à  cesyj  séries  linéaires,  il  j  en  aura  2^  qui  seront 
imaj^inaires  et  />  —  2q  qui  seront  réelles  pour  j)-  <  a  ;  il  j  en  aura  d'outre  part 
2  ;•  qui  seront  imaginaires  et/>  —  2/'  qui  seront  réelles  pour^>-  y.. 

Si/?  =  2,  <jr  =  /■:=  o,  les  racines  des  deux  séries  linéaires  sont  réelles,  et  l'on 
a  ainsi  une  racine  c|ui  appartient  à  la  fois  à  deux  séries  réelles. 

.Si  />  =  2,  (yf  ^  o,  /=  I ,  les  racines  sont  toutes  deux  réelles  pour  j-  <  a,  et 
toutes  deux  imaginaires  pour  j'  >■  a.  Quand  j)'  en  croissant  atteint  et  dépasse  la 
valeur  a,  deux  racines  réelles  se  confondent,  puis  deviennent  imaginaires. 

Si  />  =:  3,  ^  =  /■  :=  I ,  il  y  a  pour  y  ■<  «  et  pour  j'  >  a,  une  racine  réelle  et 
deux  imaginaires,  de  sorte  que  la  racine  qui  correspond  à  j' =  a  n'appartient 
qu'à  une  seule  série  réelle.  Mais  il  est  aisé  de  voir  dans  ce  cas  que  A  s'annule 
sans  changer  de  signe. 

Il  est  inutile  de  citer  d'autres  cas  particuliers,  j'arrive  tout  de  suite  au 
résultat  général  que  j'ai  en  vue.  Soit 

(2)  •'■1=  9lO').  ^2=92(7),  •••,  Xn=^n{y) 

une  série  linéaire  de  racines;  tpi,  cp»,  .  .  . ,  <p„  étant  des  fonctions  continues  et 
uniformes  de  j'.  Supposons  de  plus  que  pour  les  valeurs  de  y  voisines  de  a, 
qu'elles  soient  inférieures  ou  supérieures  à  cette  quantité,  les  fondions  cp,, 
9.,,  ...,  On  restent  réelles.  Si  l'on  substitue  dans  A(.ri,  a;.),  .  .  . ,  :r„  ;  r),  0\, 
92,  ...,0n  à  la  place  de  x^,.x-2,  ■■■,  Xn,  cette  fonction  A  ne  dépendra  plus 
que  de  y.  Je  suppose  que  pour  j'  =  a,  la  fonction  A(j')  change  de  signe. 
Je  dis  alors  que  la  racine  91  (a),  90(0:),  .  .  . ,  o„(s£)  appartiendra  non  seulement 
à  la  série  (2)  mais  à  une  autre  série  linéaire  de  racines  réelles. 

Avant  de  démontrer  ce  résultat  général,  donnons  quelques  exemples.  Soit 

Y  ■=  kx\+  -xl  —  y'^X', —  a.rx-. 
Il  vient  pour  les  équations  d'équilibre  : 


iCi  =  o,         .Tî  =  zh  />•■-  -t-  X  T  ; 
d'où 


A  =  1  A  ^2  =  =h  4  '^  vO"  +  ^y- 


SUR  l'Équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation.  45 

Pour  les  valeurs  de  y  comprises  cnlre  zéro  et  —  a  les  valeurs  de  x-2  sont 
imaginaires;  elles  sont  réelles  pour  les  autres  valeurs  de  y.  Pour  y^o,  et 
pour  y  =  —  <x,  les  racines  passent  du  réel  à  l'imaginaire  ou  réciproquement; 
c'est  aussi  pour  ces  mêmes  valeurs  que  A  s'annule. 

Faisons  en  particulier  :   ar=o;  il  y  aura  deux  séries  linéaires  de  positions 
d'équilibre  : 

(2)  Xi=0,  .i-2=7 

et 

(3)  ^1  =  0,         Xi  =  —  y. 

Considérons  la  première  de  ces  séries;  pour  chacune  des  positions  qui  lui 
appartiennent  on  aura 

A  =  4  Av. 

Quand  y  variera  depuis  — oo  jusqu'à  +  oo ,  les  valeurs  de  x,  et  de  x»  resteront 
réelles,  mais  quand  y  passera  par  zéro,  A  cliangera  de  signe.  Donc  en  vertu  du 
principe  que  je  viens  d'énoncer,  la  position  d'équilibre  qui  correspond  à  la 
valeur  jK^  G,  c'est-à-dire 

Xi  =  O,  X-i  =  o, 

appartiendra  non  seulemenl.  à  la  série  (a),  mais  encore  à  une  autre  série 
linéaire  de  positions  d'équilibre.  Il  est  aisé  en  effet  de  constater  qu'elle 
appartient  également  à  la  série  (3). 

Soit  maintenant 

a;* 

4        -^ 
Les  équations  d'équilibre  deviennent 

Xi  =  o,        xl  =  y'- 

Il  n'y  a  qu'une  série  de  positions  d'équilibre  réelles,  à  savoir  : 

xi  =  o,         A-..  =  y, 

et  l'on  voit  que  ces  positions  restent  réelles  quand  y  varie  de  — oo  à  +oo. 
Aucune  de  ces  positions  ne  peut  donc  appartenir  à  plusieurs  séries  de  positions 
d'équilibre  réelles  comme  cela  avait  lieu  tout  à  l'heure.  Cependant 

A  =  6  Xy'' 

s'annule  pour  j'  =  o,  mais  sans  changer  de  signe. 

Pour  démontrer  ce  principe  que  je  viens  d'énoncer  et  d'illustrer  par  quel- 
ques exemples,  je  supposerai  que  «  =  i,  de  telle  façon  que  je  n'aie  plus  que 


46  SUR  l'équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation. 

deux  variables  :  x  qui  djlinit  la  position  du  syslèine  et  le  paramétre  y.  On  aura 


^       dx^ 


el  l'équation  d'équilibre  sera 

(/F 


—  =F'(,r,r)  =  o. 

L'équation  F'(a;,j')  =  o  jiourra  être  considérée  comme  représentant  une 
courbe  plane  C.  Soit  a?  =  cp(}')  une  fonction  uniforme,  réelle,  finie  et  continue 
de  j' qui  satisfasse  à  l'équation 

F'[90),j]  =  o. 

L'équation  x^o[y)  représentera  alors  une  des  branches  B  de  la  courbe  C. 
Soit  M(x  =:  a,  y^  (3)  un  des  points  de  celte  branche  de  courbe.  Supposons 
que  lorsqu'on  suit  cette  branche  de  courbe,  on  voie  d  changer  de  signe  au 
moment  où  l'on  franchit  le  point  M.  Je  dis  qu'il  passera  par  le  point  M  une 
autre  branche  de  la  courbe  C. 

Soient  en  effet  P  le  point  de  la  branche  B  qui  a  pour  ordonnée  y  =  P  —  £  et  Q 
le  point  qui  a  pour  ordonnée  jk  =  (3  +  6  (e  étant  très  petit).  Ces  deux  points 
sont  réels,  puisque  par  hypothèse  s(j')  est  une  fonction  réelle  àe  y.  Je  suppose 

par  exemple  qu'au  point  P,  -j-;:^  =  A  soit  positif,  et  négatif  au  point  Q. 

Par  les  points  P  et  Q,  je  mène  des  parallèles  à  l'axe  des  x  et  je  prends  sur 

dx 

r^ncifif*    (^Inn/^    Cl    If»    nnint    P    pcï   ni-iA?  vnicin    fia   F*      In    nApiv/^a   nr 

dx- 
dx 


ces  parallèles  deux  points  P'  et  Q'  à  gauche  de  P  el  de  Q.  Au  point  P,  -7-  est 

fi-  P 

nul  et  -j—^  positif;  donc  si  le  point  P'  est  assez  voisin  de  P,  la  dérivée  première 

d¥ 

■y  sera  négative.  On  verra  de  la  même  façon  que  si  le  point  Q'  est  assez 


voisin  de  Q,  -7- y  sera  positive.  Allons  du  point  P'  au  point  Q'  en  suivant  une 

courbe  qui  s'éloigne  très  peu  de  la  branche  B,  mais  qui  ne  coupe  pas  celte 

dF 
branche;  cela  est  toujours  possible.  Nous  verrons  -r—  changer  de  signe;  il  faut 

1  ' .  •  dF     ,  ,  , 

donc  qu  a  un  certain  moment-^  s  annule  et  par  conséquent  que  nous  traver- 
sions une  branche  de  la  courbe  C.  Il  y  a  donc  une  seconde  branche  de  cette 
courbe  qui  vient  passer  par  le  point  M. 

En  d'autres  termes,  ce  point  M  est  au  moins  un  point  double  delà  courbe  G; 
je  puis  même  affirmer  que  c'est  un  point  multiple  d'ordre  pair. 

Il  est  à  remarquer  que  dans  la  démonstration  précédente,  nous  n'avons  pas 
été  obligés  de  supposer  que   la   fonction  F  est  holomorphe,   mais  seulement 


SUR  l'Équilibre  d"une  masse  fluide  en  rotation.  47 

qu'elle  est  fmie  et  continue  ainsi  que  ses  dérivées  des  deux  premiers  ordres. 
II  j  a  un  cas  particulier  sur  lequel  il  est  nécessaire  d'attirer  raltenlion.  Soit 

Nous  avons  une  première  série  de  positions  d'équilibre  réelles  qui  nous  sont 
données  par  l'équation  :c  =  o.  Comme  A  s'annule  avec  j,  il  doit  passer  parle 
point  x^y  =^0  une  seconde  branche  de  la  courbe  C  et  en  se  reportant  à  la 

valeur  de  -;- )  ou  voit  nue  cette  seconde  branche  n'est  autre  chose  que  la  droite 

d.c  ^ 

y  ^o.  Cette  droite  ne  représente  pas  une  série  linéaire  de  positions  d'équilibre 
analogue  à  celles  que  nous  avons  rencontrées  jusqu'ici.  C'est  une  série  de 
positions  d'équilibre  indifférent;  car  si  y  s'annule,  l'équilibre  subsiste  quel 
que  soit  x. 

Supposons  maintenant  que  la  fonction  F  ne  contenant  toujours  qu'une  seule 
variable  x,  dépende  non  plus  d'un  seul  paramètre  j',  mais  de  deux  paramètres 
yi  et  jKa-  Nous  pourrons  regarder  :r,  j'i  et  i'2  comme  les  coordonnées  d'un 
point  dans  l'espace;  alors  l'équation 

rfF  _ 

dx 

représentera  une  surface  S  dont  chacun  des  points  correspondra  à  une  position 

d'équilibre. 

L'équation 

A  =  —  =0 
dx"- 

représenlera  une  seconde  surface  S'.  Supposons  que  l'on  considère  une  nappe  N 
de  la  surface  S  représentée  par  une  équation 

oîi  cp  est  une  fonction  finie,  continue  et  réelle  de  j'i  et  à^  y.,.  Supposons  que 
cette  nappe  soit  coupée  par  la  surface  S'  et  de  telle  sorte  que  A  change  de  signe 
quand  on  traverse  la  surface  S'  en  suivant  la  nappe  N.  Alors  la  courbe  d'inter- 
section de  N  et  de  S'  est  une  courbe  double  (on  multiple  d'ordre  supérieur, 
mais  pair)  de  la  surface  S,  par  laquelle  vient  passer  une  autre  nappe  N'  de  celte 
surface  S. 

11  suffit  en  effet  pour  être  ramené  au  cas  d'un  seul  paramètre,  de  supposer 
entre  j'i  et  j-._,  une  relation  linéaire 

_)•,  =  ay«-\-  h 


48  SUR  l'équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation. 

ou  eu  d'autres  lertnes,  de  eouper  les  surfaces  S  el  b'  par  un  plan  quelconque 
parallèle  à  l'axe  des  x. 

Ou  arriverait  iWideuiuienl  à  un  ràsullal  analogue  dans  le  cas  où  l'on  aurait 
p  paramètres  )',,  t-j,  .  .  .  ,yi,. 

Supposons  maintenant  n  =  i;  de  telle  façon  que  nous  ayons  deux  variables 
X\  et  Xj  définissant  la  position  du  système,  et  un  seul  paramétre^'.  Je  regar- 
derai alors  Xi,  x-î  et  r  comme  les  coordonnées  d'un  point  dans  l'espace.  Les 

équations  d'équilibre  : 

r/F  dV 

représenteront  alors  deux  surfaces  Si  el  Sj  dont  l'intersection  sera  une  courbe 
gauche  C.  Soient 

(4)  ■■'•1=  9iO)'         oc,=  a.,{y) 

deux  fonctions  finies,  continues  el  réelles  de  r  et  supposons  que  ces  équations 
(4)  représentent  une  branche  B  de  la  courbe  C.  Soit  M  un  point  de  cette 
branche  B;  supposons  ([ue  si  l'on  suit  la  branche  B  dans  le  sens  des  y 
croissants,  on  voie  A  changer  de  signe  au  moment  où  l'on  franchit  le  point  M. 
.Soient  P  et  Q  deux  points  de  B  ayant  pour  ordonnées  j' ^  [3  —  i,  y  ^^  -\-e; 
(l'ordonnée  du  point  M  étant  J' =  (3).  Au  point  P,  A  sera  par  exemple  positif, 
et  négatif  au  point  Q. 

S'il  en  est  ainsi,  je  dis  qu'il  passera  par  le  point  M  une  seconde  branche  de 
la  courbe  C. 

En  eflet,  par  les  divers  points  de  l'arc  do  courbe  PQ  faisons  passer  des  plans 
parallèles  au  plan  des  XiX-i  et  dans  chacun  de  ces  plans  décrivons  une  circon- 
férence de  rayon  ;•  ayant  son  centre  au  point  correspondant  de  l'arc  PQ.  Ces 
diverses  circonférences  engendreront  une  certaine  surface  ^  qui  sera  double- 
ment connexe  et  limitée  par  les  deux  circonférences  K  et  K'  qui  ont  pour 
centres  les  points  P  et  Q.  De  plus,  d'après  ce  mode  de  génération  aucun  point 
de  la  branche  B  n(^  peut  se  lrouv(!r  sur  la  surface  i. 

Pour  trouver  le  nombre  des  points  d'inlerseclion  de  celte  surface  S  avec  la 
courbe  C,  il  faut  maintenant  chercher  ce  que  M.  Kronecker  appelle  [Berliner 
Monatsberichte,  mars  1869)  la  caractéristique  du  système  des  surfaces  2,  S 
et  Si.  Le  nombre  des  points  d'inters(!clion  de  ces  trois  surfaces  (ou  si  l'on 
vent  de  la  surface  i  et  de  la  courbe  C)  qui  satisfont  à  certaines  conditions, 
diminué  du  nombre  des  points  d'intersection  qui  ne  satisfont  pas  à  ces  mêmes 
conditions,  est  ligal  d'après  le  Mémoire  cité  de  M.  Kronecker  à  une  certaine 


SUR    L  EQUILIBRE   DUNE   MASSE    FLUIDE   EN   ROTATION.  49 

intégrale.  Celle  intégrale  est  prise  le  long  des  limites  du  doniiiine  —,  c'est- 
à-dire  le  long  des  deux  circonférences  K  et  K'. 

L'espace  pourra  être  regardé  comme  partagé  eu  quatre  régions  a,  b,  c,  d 

suivant  le  signe  des  deux  fonctions  -; —  et  -r— •  Dans  la  région  a,  par  exemple, 

les  deux  fonctions  seront  positives:  dans  la  région  b,  -r-  sera  positif  et -;— 

'  ^  '    aXi,  ^  r/x-2 

négatif,  etc.  A  étant  positif  nu  point  P,  on  rencontrera  en  suivant  la  circon- 
férence K  les  quaire  régions  dans  l'ordre  circulaire  abcd,  pourvu  toute- 
fois que  /■  soit  suffisamment  petit.  Nous  supposons  qu'on  ait  parcouru  R  de 
façon  à  laisser  à  sa  gauche  le  domaine  i.  L'intégrale  de  M.  Rronecker  le  long 
de  K.  est  alors  égale  à  i .  A  étant  négatif  au  point  Q,  on  renconlrera  en  suivant 
R'  les  quatre  régions  dans  l'ordre  circulaire  adcb,  si  l'on  décrit  cette  circon- 
férence dans  le  même  sens  que  R.  Mais  si  l'on  veut  laisser  le  domaine  —  à  sa 
gauche,  il  faut  décrire  R'  en  sens  contraire  et  alors  les  quatre  régions  se 
succèdent  dans  l'ordre  abc/.  L'intégrale  est  donc  encore  égale  à  i  et  l'intégrale 
totale  est  égale  à  2. 

Le  nombre  des  points  d'intersection  de  2  et  de  C  est  donc  au  moins  égal  à  2  ; 
et  aucun  de  ces  points  ne  peut  appartenir  à  B.  11  faut  donc  que  par  le  point  M 
passe  une  seconde  branche  de  la  courbe  C.  c.   o.   f.   d. 

(Dans  le  cas  où  le  théorème  de  M.  Rronecker  s'applique  à  une  multiplicité 

à  deux  dimensions  et  à  deux  fonctions  X  et  Y,  et  où  par  conséquent  son  inté- 
grale doit  être  prise  le  long  d'une  courbe  fermée,  on  voit  aisément  que  cette 

iniégrale  est  égale  à  la  demi-différence  du  nombre  de  fois  que  ..  saute  de  — 00 

à  +00  et  du  nombre  de  fois  que  ,.  saute  de  4-  00  à  —  00 .  ) 

Le  résultat  s'étendrait  sans  peine  au  cas  où  nous  aurions  un  plus  grand 
nombre  de  variables.  Le  théorème  de  M.  Rronecker  serait  en  effet  encore 
applicable. 

Résumons  les  résultats  de  ce  paragraphe. 

Les  formes  d'équilibre  du  système  considéré  sont  données  par  les  «équations 

d.r,         d.v-i        '  '  '       dx'„ 

Ces  71  équations  auront  un  certain  nombre  de  solutions  réelles  et  quand  y 
variera  d'une  façon  continue,  ces  solutions  varieront  elles-mêmes  d'une  façon 
continue  Je  manière  à  former  diverses  séries  linéaires  de  formes  d'équilibre . 
H.  p  —  vu. 


5o  SUR    L'EQUILIBRE    DUNE    MASSE    FLUIDE    EN    ROTATION. 

11  pourra  d'ailleurs  arriver  qu'une  uièine  forme  d'équilibre  apparlienue  à  la 
fois  à  deux  ou  plusieurs  séries  linéaires.  Nous  dirons  alors  que  c'est  une  fo?' me 
de  bifurcation.  On  peut,  en  eflel,  pour  unu  valeur  de  )•  infinimenl  voisine  de 
celle  qui  correspond  à  celle  forme,  trouver  deux  formes  d'équilibre  qui  dif- 
fèrent infiniment  peu  de  la  forme  de  bifurcation. 

Il  peut  arriver  également  que  deux  séries  linéaires  de  formes  d'équilibre 
réelles  viennent,  quand  on  fait  varier  y,  à  se  confondre,  puis  à  disparaître, 
parce  que  les  racines  des  équations  d'équilibre  deviennent  imaginaires.  La 
forme  d'équilibre  correspondante  s'appellera  aXovs  forme  limite. 

Une  forme  d'équilibre  ne  peut  être  une  forme  de  bifurcation  ou  une  forme 
limite  qu'à  la  condition  que  A  soit  nul.  Il  résulte  de  là  que  si  les  équations 
d'équilibre  admettent  pour  une  certaine  valeur  de  i'  une  solution  pour  laquelle 
A  ne  soit  pas  nul,  elles  en  admettront  encore  une  et  inliniment  peu  différente 
de  la  première,  pour  les  valeurs  de  y  suffisamment  voisines  de  celle  que  l'on 
avait  considérée  d'abord.  En  effet  s'il  n'en  était  pas  ainsi,  la  forme  d'équilibre 
qui  correspond  à  la  première  solution  serait  une  forme  limite,  ce  qui  exigerait 
que  A  fiit  nul. 

Si  l'on  suit  une  série  linéaire  de  formes  d'équilibre  réelles  en  faisant  varier  7- 
et  que  l'on  voie  A  s'annuler  et  changer  de  signe,  la  forme  d'équilibre  corres- 
pondante ne  peut  être  une  forme  limite  puisque  les  formes  d'équilibre  très 
voisines  qui  appartiennent  à  la  série  linéaire  sont  supposées  réelles.  II  résulte 
de  ce  qui  précède  que  c'est  toujours  une  forme  de  bifurcation. 

Si,  enfin,  en  suivant  une  série  linéaire  de  formes  réelles,  on  voit  A  s'annuler, 
mais  sans  changer  de  signe,  on  est  sûr,  pour  la  raison  que  je  viens  de  dire,  que 
la  forme  correspondante  n'est  pas  une  forme  limite.  Elle  peut  être  une  forme 
de  bifurcation,  mais  il  n'en  est  pas  toujours  ainsi. 


III.  —  Échange  des  stabilités. 

Considérons  la  forme  quadratique 

*  =7,   /     .      XfX/         a  =  \,-i h;  /.  =1,  2,  ...,  Il  ) 

^U  ri  Xi  dXk 

contenant  les  n  indéterminées  X),  X^.,    .  .  .,  X„.   Cette  forme  aura  pour  dis- 
criminnni  A. 

Pour  que  l'équilibre  soit  stable,  il  faut  et  il  suflil  (puisqu'il  s'agit  d'un  (''qui- 


SUR  l'Équilibre  dune  masse  fluide  en  rotation.  5i 

libre  absolu)  que  la  ionclion  des  forces  F  soit  maximum,  cesl-à-dire  que  la 
forme  «t  soit  définie  négative. 

Imaginons  qu'on  ait  décomposé  la  forme  <I>  en  une  somme  de  n  carrés  : 

<I)  =  So:,Y,-     ^     (1=1,2, /i), 

OÙ  \,  est  une  fonction  linéaire  des  X.  Supposons  que  parmi  les  coefficienls  c, 
que  j'appellerai  coefficienls  de  stabilité,  il  y  en  ail  v  positifs  el  «  —  v  négatifs. 
A  sera  positif  si  n  —  v  est  pair,  et  négatif  si  «  —  v  est  impair.  A  sera  nul  quand 
un  des  coefficients  x  s'annulera.  Enfin  il  y  aura  stabilité  si  tous  les  coefficients 
de  stabilité  sont  négatifs.  11  est  inutile  de  faire  observer  que  le  nombre  v  est 
indépendant  de  la  manière  dont  la  forme  <I»  a  élé  décomposée  en  carrés. 

Supposons  que  pour  .rj  =  3^.,  :=  .  .  .  :=  x„  =  o,  y  =  o,  on  ait  une  forme  d'équi- 
libre de  bifurcation,  c'est-à-dire  aue  les  n  dérivées  partielles  -r—  s'annulent 
ainsi  que  A.  Je  dis  que  nous  pourrons  toujours  supposer  que  l'on  a  aussi 


dxi  dxk 


{i>,n 


En  ell'et,  cela  revient  à  dire  que  la  forme  "I»  ne  conlieut  pas  de  termes  rectangles  ; 
or,  s'il  n'en  était  pas  ainsi,  on  pourrait  toujours  décomposer  la  forme  *b  en 
carrés,  comme  on  l'a  dit  plus  haut,  c'est-à-dire  qu'on  pourrait,  par  une  trans- 
formai ion  linéaire,  faire  disparaître  les  termes  rectangles.  Les  coefficienls  de 

stabilité  sont  alors  -r^i  -r^ ,  •  •  .  -  ——7  ■  Pour  que  A  s'annule,  il  faut  el  il  suffit 

qu'un  ou  plusieurs  de  ces  coefficienls  s'annulenl.  Supposons  par  exemple  que 

-T-rr  s'annule  et  que  les  autres  coefficienls  ne  s'annulent  pas.  Supposons  enfin 

(tX\ 

que  la  fonction  F  soit  holomorphe  el  puisse  se  développer  suivant  les  puissances 
de  X  et  de  y. 

De  l'équation-; —  =  0   nous    tirerons   x-i    en    fonction   holomorphe  de   Xt. 

.Z;,,  .  .  ■ ,  Xn  et  )'.  Pour  que  cela  soit  possible,  il  suffit  que  -j-rr  ne  soit  pas  nul, 

ce  qui  a  lieu  en  ellél.  Substituons  ensuite  partout  à  la  place  de  Xo  la  valeur 

dV 

ainsi  trouvée.  De  l'équation-; — =  o,  nous  tirerons  ensuite  X\  en  fonction 
holomorphe  Aq  X\,,x r„  et  )•.  Cela  est  encore  possible  parce  que  -r-^  n'est 

pas  nul.   On  continuera  de  la  sorte  jusqu'à  ce  qu'il  ne  reste  plus  que  deux 

dY 
variables   .ri    el   r   et  une   seule   équation  d'équilibre -7 —  =  o.    (  )uanl    à   x-,. 

'  '  dx I  ^ 


52  SUR   L  EQUILIBRE   D  UNE  MASSE  FLUIDE   EN    ROTATION. 

,r;;, r,M  les  autres  équations  d'équilibre,  résolues  comme  on  vient  de  le 

dire,  les  fournissent  sous  la  forme 

(i)  .(•,.=  Ço(xi,  r),         X3=  =3(j-,,  _)■;,  ...,         ,r„=  9„(_j.-,,  i). 

les  o  étant  liolomorphes. 

Quant  à  l'équation  y^  =  o,  elle  s'écrira,  toutes  réductions  faites. 

(2)  o  =  'i-x'l  -h  2b.i:,y  ■+■  c  )■-+  6, 

0  représeiiinni  uu  ensemble  de  termes  de  degré  supérieur  au  second  en  x,  ei  y. 
On  voit  que  si  ,ri  et  y  sont  les  coordonnées  d'un  point  dans  un  plan,  cette 
équation  représente  une  courbe  à  point  double,  ce  qui  montre  de  nouveau  que 
la  forme  d'équilibre  considérée  est  une  forme  de  bifurcation.  Nous  sup- 
poserons { '  ) 

b- —  tic  >  o. 

Nous  tirerons  alors,  de  l'équation  (2),  .r^  en  fonction  de ^'  de  deux  manières 
différentes 

(3)  .  ;r,  =  0iO').         .r,  =  4'.,(/), 

les  ■])  étant  holomorphes.  Les  deux  équations  (3)  jointes  aux  équations  (  i  )  nous 
donnent  les  deux  séries  linéaires  de  forme  d'équilibre. 

Formons  A  et  considérons  le  d'abord  comme  fonction  de  x,,  x-^.  ■  .  . .  x,,  et  i'. 

En  remplaçant  Xn Xn  par  leurs  valeurs  tirées  des  équations  (1),  A  ne  sera 

plus  fonction  que  de  Xt  et  de  y  cl  l'on  reconnaîtra  aisément  que 

A  =  2M{  (lu:,  -+-  h  y  )  H-  Ai, 

M  étant  le  produit  des  n  —  1  dérivées  -i—^i  -r-^i  •  •  •  1  -t-t  et  A)  étant  un  ensemble 

de  termes  de  degré  supérieur  au  premier. 

L'équation  A  =:  o  représentera  alors  une  courbii  A  passant  pai'  l'origine  dans 
lo  plan  des  x,  y  et  l'équation  fa)  représentera  une  courbe  C  formée  de  deux 
branches  B  (!t  B'.  Les  équations  de  ces  deux  brandies  de  courbe  qui  ne  sont 
autres  que  les  équations  (3)  pourront  s'écrire 


'  =  >-(-^-f-->^.-        ■'■.  =  .'•( 


^i_  ,■■        -       ï-        •■■.,»  .._..!   ~i>--\''0-- 


(')  Si  O- — ac  est  nul,   Im  forme   J'équilibre  e»l  eu   yénunil   une  Inruic  limite;   ccponiljint.  'Ili 
est  de  Ijifuication  dans  certains  cas  exceptionnels.  (.1.  L.). 


SUR  l'Équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation.  53 

Y,  et  V.j  étant  des  termes  de  degré  supérieur  au  premier.  Si  dans  l'expression  A 
on  remplace  x,  par  'L,  (  )-)  ou  par  '^^(y),  on  trouve 


A  =  ±  2M  \/6=—  acj  -H  A>, 

Aj  représentant  un  ensemble  de  termes  de  degré  supérieur  au  premier.  Le 
signe  +  se  rapporte  à  la  substitution  de  '!),,  c'est-à-dire  à  la  branche  B  el  le 
signe  —  à  la  substitution  de  iJ^-2,  c'est-à-dire  à  la  branche  15'. 

Ainsi,  que  l'on  suive  la  branche  B  ou  la  branche  B',  on  verra  A  changer  de 
signe  en  même  temps  que  )■.  De  plus  pour  toutes  les  valeurs  de  )•,  voisines  de 
zéro,  A  a  des  valeuis  de  signe  contraire,  selon  qu'on  suit  la  branche  B  ou  la 
branche  B'.  Par  exemple,  pour  )■  positif,  A  sera  positif  sur  la  branche  B  et 
négatif  sur  la  branche  B';  pour  }■  négatif,  ce  sera  le  conlraire,  A  sera  négatif 
sur  la  branche  B  et  positif  sur  la  branche  B'. 

Supposons  qu'à  l'origine,  un  des  coefficients  de  stabilité  soit  nul  (ce  qui  est 
conforme  à  l'hypothèse  faite  plus  haut),  que  v  de  ces  coefficients  soient  négatifs 
et  n  —  V  —  I  positifs.  Dans  le  voisinage  de  l'origine,  il  y  aura  toujouis  (par 
raison  de  continuité)  v  ou  v  +  1  coefficients  de  stabilité  négatifs.  Si  v  est  pair, 
il  y  en  aura  v  toutes  les  fois  que  A  sera  positif  el  v  +  i  toutes  les  fois  que  A  sera 
négatif.  Ce  sera  le  contraire  si  v  est  impaii-. 

Il  résulte  de  là  que,  si  pour  y  positif,  on  a  v  coefficients  négatifs  sur  la 
branche  B  et  v  +  1  coefficients  négatifs  sur  la  branche  B',  ce  sera  l'inverse 
pour  r  négatif  et  l'on  aura  alors  v  +  1  coefficients  négatifs  sur  la  branche  B  et  v 
sur  la  branche  B'.  Si  au  conlraire  on  a  pour  t  positif,  v-j-  1  coefficients  négatifs 
sur  la  branche  B  el  v  sur  la  branche  B',  on  aura  inversement,  pour  j-  négatif, 
V  coefficients  négatifs  sur  la  branche  B  et  v  -f-  i  sur  la  branche  B'. 

Pour  qu'il  y  ait  stabilité,  il  faut  et  il  suffit  que  tous  les  coefficients  de  stabi- 
lité soient  négatifs.  Si  donc  pour  y  positif  il  y  a  stabilité  sur  la  branche  B  et 
instabilité  sur  la  branche  B',  ce  sera  l'inverse  pour  y  négatif.  De  même  si  pour 
y  positif  il  y  a  instabilité  sur  la  branche  B  et  stabilité  sur  B',  ce  sera  encore 
l'inverse  pour  i-  négatif.  En  d'autres  termes,  il  y  a  éc/iange  des  stabilités  entre 
les  deux  branches  B  et  B'  au  moment  où  elles  se  croisent. 

Pour  établir  ce  résultat,  j'ai  supposé,  non  seulement  que  Fêlait  continue 
ainsi  que  ses  dérivées  des  deux  premiers  ordres,  mais  encore  que  cette  fonction 
était  holomorphe.  Cette  hypothèse  n'est  nullement  nécessaire.  Pour  le  faire 
voir,  je  vais  reprendre  le  raisonnement  en  supposant  n  ^  \ . 

Dans  ce  cas,  la  courbe  C  se  réduit  à   une  courbe  i)lane  el  A  à  —, —  Soit  O  le 


54  SUR    L'ÉQUILIBRE    DUNF.    MASSE    FLUIDE    EN    ROTATION. 

.  point  du  pian  qui  correspond  à  la  l'orme  d'équilibie  de  biliucaliou.  Uu  point  (  ) 
comme  centre,  décrivons  un  -cercle  R  de  rayon  très  petit.  Ce  cercle  K  rencon- 
trera la  courbe  C  en  un  certain  nombre  de  points.  Il  résulte  du  raisonnement 
du  paragraphe  précédent,  que  si  un  arc  de  courbe  joint  deux  points  de  C  où  le 
signe  de  A}'  ne  soit  pas  le  même,  cet  arc  devra  couper  la  courbe  C  en  un  nombre 
impair  de  points:  et  que  si  au  contraiic  A}'a  même  signe  aux  deux  extrémiiés. 
l'arc  de  courbe  considéré  devra  couper  C  en  un  nombre  pair  de  points.  Donc  si 
l'on  envisage  les  différents  points  d'interseclion  de  C  et  de  K  dans  l'ordre  où  l'on 
rencontre  en  suivant  le  cercle  K,  on  verra  que  S^■  v  sera  alternalivcment  positif 
et  négatif.  Le  nombre  total  des  points  d'intersection  est  donc  pair.  Si  n-ous 
supposons  en  particulier  que  deux  branches  de  courbe  seulement  viennent 
passer  au  point  (),  nous  aurons  alors  deux  poinis  d'intersection  «i  el  a.,  oii  y 
sera  négatif  et  deux  points  d'intersection  (3,  et  p^,  où;;)'  sera  positif.  La  branche 
0(3)  devra  alors  être  regardée  comme  le  prolongement  de  la  branche  «lO;  de 
même  que  0^.>  comme  le  prolongement  de  oi.^O.  Je  suppose,  pour  fixer  les 
idées,  qu'en  a,,  A  soit  positif.  Alors  d'après  la  règle  qui  précède,  A  sera  négatif 
en  X.,.  négatif  encore  en  S,  et  positif  en  |3^,  ce  qui  confirme  le  résultat  précé- 
demment obtenu.  Il  serait  aisé,  d'après  les  considérations  que  je  viens  d'exposer, 
de  voir  ce  qui  se  passerait  si  plus  de  deux  branches  de  courbes  venaient  passer 
en  O. 

Nous  avons  dit  plus  haut  que  si  en  suivant  une  série  réelle  de  formes  d'équi- 
libre, on  voyait  A  s'annuler  sans  changer  de  signe,  on  ne  pouvait  affirmer  que 
la  forme  correspondante  fût  une  forme  de  bifurcation.  Nous  pouvons  remar- 
quer que  A  peut  de  deux  manières  s'annuler  sans  changer  de  signe.  Il  peut 
arriver  ou  bien  que  plusieurs  coefficients  de  stabilité  s'annulent  sans  changer 
désigne;  ou  bien  que  deux  (ou  un  nombre  pair)  de  ces  coefficients  changent 
de  signe.  Dans  le  premier  cas,  nous  ne  pouvons  en  effet  rien  affirmer;  voyons 
ce  qui  se  passe  dans  le  second. 

Nous  supposerons  pour  fixer  les  idées  que 

—  =o     (f^Ai,  -—-  =  ---^=(1. 

rf^F  d- 1-  ,  rf2  F 

r/:rr"'  (/xl"""-  ■■•'  d^,<°- 

11  arrivera  alors  que  des  n  —  a  équations  d'équilibre 

dV_  _  dV_  _       _   dV   _ 
(lx<        d.r,        '  '  '       d.r,,  ~ 


SUR  l'Équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation.  55 

on  pourra  tirer  x-^,  x:,,  .  .  .,  Xn  en  fonctions  holoaiorplies  de  j"i,  Xi  ety.  Si 
dans  les  deux  autres  équations  d'équilibre 

<1V_  _  (JV__ 

ft.T ,  (Ix-l 

on  substitue  ces  valeurs  de  X3,  x-,,  ....  x,,,  ces  équations  deviennent 
(  4  )  il»!  -i-  'Pî  =  o,        <I>',  -I-  '!>.;  =  o, 

où  <1>|  et  «t'i  représentent  un  ensemble  de  termes  du  deuxième  degré  en 
Xu  ^2,  )■  et  <I>2  et  <I>','un  ensemble  de  termes  de  degré  supérieur  au  second; 
(si  l'on  suppose  comme  plus  haut  que  la  position  d'équilibre  envisagée  soit 
a?|  ^  a:.,  =  .  .  .  ^  Xn=^y  =  0). 

Regardons  X|,  Xo  Q^  y  comme  les  coordonnées  d'un  point  dans  l'espace.  Les 
deux  équations  (4  )  représenteront  deux  surfaces  ayant  chacune  à  l'origine  un 
point  conique  du  deuxième  ordre.  L'intersection  de  ces  deux  surfaces  sera  la 
courbe  C.  On  voit  que  par  l'origine  passeront  quatre  branches  de  la  courbe  C, 
réelles  ou  imaginaires.  IMais  une  de  ces  quatre  branches  est  certainement  réelle, 
puisque  j'ai  supposé  au  début  qu'on  a  pu  suivre,  dans  le  voisinage  de  la  position 
d'équilibre  envisagée,  une  série  de  formes  d'équilibre  réelles.  Il  faut  donc  qu'il 
V  ait  une  autre  des  quatre  branches  qui  soit  réelle.  La  forme  d'équilibre  envi- 
sagée est  donc  do  bifurcation. 

D'où  la  conclusion  suivante  : 

Pour  qu'une  forme  d'équilibre  appartenant  à  une  série  linéaire  réelle  soit  de 
bifurcation,  il  suffit,  non  seulement  que  A  change  de  signe,  mais  que  l'un 
quelconque  des  coefficients  de  stabilité  change  de  signe. 

IV.  —  Cas  d'un  nombre  infini  de  variables. 

Les  problèmes  traités  dans  les  deux  paragraphes  précédents  ne  présentent 
aucune  espèce  de  difficulté.  Malheureusement,  lorsqu'on  recherche  la  figure 
d'équilibre  d'une  masse  fluide  soumise  à  diverses  forces,  la  question  est  beau- 
coup plus  compliquée.  En  effet,  la  figure  d'une  pareille  masse  dépend,  non  pas 
d'un  nombre  fini  de  variables  x,,  x.,,  ....  x.,.  mais  d'un  nombre  infini  de 
variables. 

Supposons  par  exemple  une  aire  piano  A  peu  ditléiente  d'un  cercle  ;  l'équation 


56  SUR  l'Équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation. 

de   la    courbe    tjui   liuiite    celte   aire    plane   pourra   s'éciire,    en    coordonnées 
polaires  (p  et  o)  : 

p  =  r  -i-  [il  cos  z  -h  Pi  cos 29-1-...-:-  [in  cos no  + .  . . 
-  •;,  «in  9  -t-  •■;■<  sin  ?. ç  -1-.  .  .  -t-  "j'n  sin/iç  -;  .  .  . , 

les  p  et  les  y  élanl    très   petits   par  rapport  à  /■,   el   la  ligure  do  l'aire  plane 
dépendra  des  coefficients  ;■,  3  et  y  qui  sont  en  nombre  inlini. 

Supposons  que  tous  les  éléments  de  l'aire  A  s'attirent  en  raison  inverse  des 
distances  el  en  raison  directe  de  leurs  suifaces.  11  résultera  de  cette  attraction 
une  énergie  potentielle  W  qui  sera  représentée  par  l'intégrale  suivante  : 


*=.f 


cIm  do)'  log  —  ) 


du>  et  <iw'  étant  deux  éléments  quelconques  de  l'aire  A  et  A  la  distance  de  ces 
deux  éléments.  On  reconnaît  alors  que  W  est  une  fonction  holomorphe  de  r, 
des  (3  el  des  y.  Je  veux  dire  que  si  l'on  fait  varier  seulement  un  nombre  fini  >i 
de  ces  coefficients,  les  autres  restant  constanls,  W  sera  une  fonction  liolo- 
inorphe  des  n  coefficients  variables. 

Supposons   que   les    [3   et   y   étant   regardés  comme  très  petits,   ou  calcule 
l'intégrale  W  en  négligeant  les  cubes  des  (3  et  des  y.  On  trouvera 


W 


On  pourra  tirer  de  là  la  conclusion  suivante  : 

Si  l'on  suppose  que  l'aire   A  soit  assujettie  à  être  équivalente  à  une  aire 
donnée  Txr'l  de  telle  sorte  que 

et  qu'en  même  temps  (3(   el  y,   soient  assujettis  à  être  nuls,  le  cercle  dont  le 
rayon  est  ro  sera  une  forme  d'équilibre  de  l'aire  A. 
On  déduit  de  (i)  que 

et  en  négligeant  toujours  les  cubes  des  [3  el  des  y 

Il  est  d'ailleurs  aisé  de  voir  que  si  l'on  regarde  W  comme  une  fonction  d'un 


SUR  l'Équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation.  .'J7 

nombre  fini  des  coefficienls  (3  et  ■•,  les  autres  coefficients  restant  constants,  on 
aura 

d^W  d^-W       d^W  ,/  i 


o>        -TUT  =-j::r  =''■'•  i 


d%d^„        '         d[.l        dfl  »V« 

d-  W  d'-  W 


dlit  dpn      ,hi  d-^t 
11  résulte  de  là  que  la  série  infinie 

-^/•;ii;(;i^+v^)Q-i)       («=2,3,...) 

joue  le  même  rôle  que  jouait  la  forme  quadratique  *t  dans  le  paragraphe  pré- 
cédent, avec  cette  difierence,  qu'au  lieu  d'un  nombre  fini  de  variables  X,, 
Xo,  ....  X„,  il  y  entre  un  nombre  infini  de  variables  (3„  et  '■„■ 

Les  coefficients  de  stabilité  sont  alors  les  quantités  t:;;;  (      — i).  On  voit 

que  tous  ces  coefficienls  sont  négatifs,  de  telle  façon  que  l'équilibre  est  stable. 

Cet  exemple  permet  de  voir  comment  la  notion  des  coefficienls  de  stabilité 
peut  s'étendre  au  cas  où  l'équilibre  dépend  d'un  nombre  infini  de  conditions. 

On  peut  de  même  étendre  à  ce  cas  la  notion  des  formes  d'équilibre  de  bifur- 
cation et  des  foruies  d'équilibre  limite.  Supposons  eu  eflet  que  les  forces  aux- 
quelles sont  soumis  les  éléments  de  l'aire  A  dépendent  d'un  paramètre  jk-  Pour 
chaque  valeur  de  y  nous  aurons  un  certain  nombre  de  formes  d'équilibre. 
Lorsque  y  variera,  ces  formes  varieront  aussi,  en  général  d'une  manière 
continue.  On  aura  ainsi  un  certain  nombre  de  séries  linéaires  de  formes 
d'équilibre.  Pour  chacune  de  ces  séries,  les  coefficients  (3  et  y  seront  des  fonc- 
tions finies,  continues,  uniformes  et  réelles  de  y.  Il  pourra  arriver  alors  que 
quand  y  tendra  vers  une  certaine  valeur  a,  deux  formes  d'équilibre  réelles, 
appartenant  à  deux  de  ces  séries  linéaires,  tendront  à  se  confondre.  Lorsque  y 
aura  dépassé  cette  valeur  a,  il  arrivera,  ou  bien  que  les  deux  formes  d'équilibre 
envisagées  disparaîtront  et  cesseront  d'être  réelles,  ou  bien  qu'elles  resteront 
réelles  et  cesseront  de  se  confondre.  Dans  le  premier  cas,  on  aura  une  forme 
d'équilibre  limite.  Dans  le  second  cas,  une  forme  d'équilibre  de  bifurcation. 
Rien  n'est  donc  changé  à  ces  définitions  qui  restent  les  mêmes  que  dans  les  cas 
précédemment  examinés. 

Il  reste  à  étendre  les  résultats  du  paragraphe  précédent  au  cas  qui  nous 
occupe  actuellement.  Il  faut  montrer  que  : 

1  '  Pour  une  forme  d'équilibre  limite,  l'un  des  coefficients  doit  s'annuler. 
H.  p.  —  VII.  s 


58  SUR  l'équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation. 

a"  Si  l'oa  suil  une  série  linéaire  de  formes  iJ'c([iiiIibre  el  si  l'on  voit  un  des 
coefficients  de  slabililé  chantier  de  signe,  la  forme  qui  correspond  à  la  valeur 
de  )■  pour  laquelle  se  fait  le  changement  de  signe  est  une  forme  de  bifurcation. 

3"  La  loi  de  l'échange  des  stabilités  s'étend  au  cas  qui  nous  occufie. 

Nous  démontrerons  ces  trois  propositions  en  partant  de  l'hypothèse  sui- 
vante : 

Le  nombre  des  variables  étant  infini,  celui  des  coefficients  de  stabilité  devra 
également  être  infini;  mais  je  supposerai  que  parmi  les  coeflicieiits.  il  n^r  en 
a  qu^un  nombre  fini  de  positifs. 

J'appellerai  x\.  x-..,  .  .  .,  x^,  ■  ■  ■  les  variables  qui  définissent  la  forme  du 
système  et  }'  un  paramètre  dont  dépendront  les  forces  qui  agissent  sur  ce  sys- 
tème. Je  supposerai  que  ces  variables  ont  été  choisies  de  telle  sorte  que  pour 
la  forme  d'équilibre  envisagée  el  que  nous  appellerons  A,  on  ail 

o  =  >•  =  Xi  =  a:-2  =  .  .  .  =  x„  =  . . . . 

Si  dans  la  fonction  des  forces  F(x,  i)  on  fait  j- ^  o,  nous  pouvons  encore 
supposer  que  les  variables  jc  aient  été  clioisies  de  telle  sorte  que  l'on  puisse 
écrire,  en  négligeant  les  cubes  des  quantités  x  supposées  très  petites  : 

l-'(x,  o)  =  \  +  3.1X1^  y-ixi-i- ..  .-t-  oi.„Xf,-\-  a„_,.i.ï,-j_^,  -i- .  .  . -1-  ■j.pxfi-h.... 

Nous  supposerons,  conformément  à  l'hypothèse  faite  plus  haut,  que  parmi 
les  n  coefficients  «f,  y.^,  .  .  . ,  st„  il  peut  y  en  avoir  de  positifs  ou  de  nuls,  mais 
que  tous  les  coefficients  suivants  z„+i,  <Z;,+'j,  .  .  . ,  y.,,,  .  ■  .  sont  négatifs. 

Avant  d'aller  plus  loin,  je  dois  faire  une  autre  remarque.  Quand  nous 
n'avions  qu'un  nombre  fini  de  variables,  nous  regardions  la  fonction  F  comme 
définie  pour  toutes  les  valeurs  de  x,  ou  du  moins  pour  toutes  les  valeurs  suffi- 
samment petites  de  ces  variables.  11  n'en  peut  plus  être  de  même  ici.  La  fonc- 
tion F  ne  sera  définie  que  quand  une  certaine  série  à  termes  positifs 

(2)  Àl   I  .i'i    i   -t-  À2  I  i-2  i   -•-  Xs  I  .-Cs  I   -4-.  .  .-f-  /.„  I  X„  I   -<-.  .  . 

sera  convergente.  Le  chois  des  variables  x  étant  encore  arbitraire  dans  une 
certaine  mesure,  nous  pouvons  supposer  qu'on  les  ait  choisies  de  façon  que 
tous  les  À  soient  égaux  à  1 . 

Cela  posé,  nous  pouvons  passer  à  la  démonstration  des  trois  propositions 
énoncées  ci-dessus. 

I"  Je  dis  d'abord  que  si  aucun  des  coeflicienti^  a  n'est  nul,  la  forme  A  ne 


SUR  l'Équilibre  dune  masse  fluide  en  rotation.  69 

pourra  èlre  une  forme  limite,  c'est-à-dire  que  pour  des  valeurs  de  t  très  petites 
(mais  d'ailleurs  positives  ou  négatives),  le  sjstème  sera  susceptible  d'une 
forme  d'équilibre  très  voisine  de  celte  forme  A. 

Pour  le  démontrer,  je  vais  introduire  dans  le  système  des  liaisons  exprimées 
par  les  équations  suivantes  : 

.r,  =  r,,  .r.,=  y.j.  ....  x„=r„, 

ji,  J-.J,  .  .  .,  fa  étant  des  constantes  que  nous  regarderons  comme  données. 
Les  conditions  de  l'équilibre  du  système,  assujetti  à  ces  liaisons,  dépendront 
naturellement  du  choix  des  n  +  1  paramètres  y,  Vi,  jo,  ....  r„  et  elles  seront 
exprimées  par  les  équations  en  nombre  infini  : 

Dans  le  cas  particulier  où 

y  =  Vt  =  ).,  =  .  .  .=  v„=  o, 
l'équilibre  aura  lieu  pour 

c'est-à-dire  en  même  temps  que  l'équilibre  du  système  supposé  libre.  Mais  il  y 
a  une  différence  importante  entre  les  deux  cas.  L'équilibre  du  système  libre  est 
instable  parce  que  parmi  les  coefficients  «i,  a.,,  .  .  .,  a,,,  il  y  en  a  de  positifs. 
L'équilibre  du  système  à  liaisons  sera  stable  parce  que  tous  les  coefficients  y.n+\i 
3.11+i,  .  .  . ,  ^p,  ■  ■  ■   sont  négatifs. 

Je  dis  que  pour  les  valeurs  des  m  +  1  paramètres  y  suffisamment  voisines 
de  zéro,  le  systèm,e  à  liaisons  sera  susceptible  d'une  forme  d'équilibre  stable 
très  voisine  de  la  forme  A.  Eu  d'autres  ternies,  si  l'on  fait 

(3)  '       .v  =  fi,        7i  =  Pi,         ■•■,        Jtt=8„, 

on  pourra  prendre  les  [3  assez  petits  pour  que  la  fonction  F  soit  susceptible 
d'un  maximum  (en  tenant  compte  des  liaisons)  et  pour  que  ce  maximum  ait 
lieu  pour  des  valeurs  des  x  aussi  petites  que  l'on  veut. 

Appelons  en  effet  D  le  domaine  comprenant  tous  les  systèmes  de  valeurs  des 
variables  Xn+i,  Xn+2f  •  •  -,  a?^,  •  ■  •  qui  sont  telles  que  la  série 

(4)  —  a-n+ix'j;^,  —  a„^nx'^_^.,—  .  .  .—  XpxJ,  — .  .  . 

soit  convergente  et  ait  une  somme  plus  petite  que  e.  La  limite  du  domaine  D 


r.o  SlIR    I.  ÉQUILIHRE    D'UNE    MASSE    FLUIDE    EN    ROTATION. 

se  composera  d'un  iloniaine  d  coiupreuaui  Lous  les  systèmes  des  valeurs  des  x 
tels  que  la  série  (4)  soil  convei-genle  el  ait  une  somme  égale  à  £. 

Quand  les  )■  sont  nuls,  la  fonction  F  est  égale  à  A  quand  les  x  sont  nuls,  et 
à  A- — z-'-Z  quand  les  x  appartiennent  au  domaine  <3  (Ç  étant  un  infiniment 
petit  d'ordre  supérieur  à  celui  de  z).  Donnons  maintenant  aux  i- les  valeurs  (,]). 
I,a  fonction  F  étant  continue,  nous  pourrons  prendre  les  (b  assez  petits  pour 
que  F  dillère  aussi  peu  que  nous  voudrons  de  A  quand  les  x  sont  nuls,  et  aussi 
peu  que  nous  voudrons  de  A  —  £  +  Ç  quand  les  x  appartiennent  au  domaine  d. 
On  pourra  donc  prendre  les  |3  assez  petits  pour  que  F  soil  plus  grand  quand 
les  X  sont  nuls  qu'en  aucun  point  du  domaine  o. 

11  en  résulte  que  la  fonction  F  prendra  en  certains  points  du  domaine  D  des 
valeurs  plus  grandes  qu'en  aucun  des  points  de  la  limite  de  ce  domaine.  Il  faut 
donc  conclure  qu'en  un  certain  point  du  domaine  D,  la  fonction  F  atteint  un 
maximum.  Il  est  nécessaire  toutefois,  pour  que  cette  conclusion  s'impose,  que 
l'on  admette  que  la  fonction  F  ne  va  pas  en  augmentant  indéfiniment  à  mesure 
que  la  série  (2)  devient  de  moins  en  moins  convergente.  Il  y  aurait  bien  des 
objections  à  faire,  mais  on  ne  saurait  exiger  en  Mécanique  la  même  rigueur 
qu'en  Analyse  pure  pour  ce  qui  concerne  l'infini. 

Le  principe  auquel  nous  sommes  ainsi  conduits  peut  s'énoncer  ainsi  ; 

Si  un  système  mécanique  quelconque,  et  en  particulier  une  niasse  iluide, 
est  en  équilibre  stable  sous  l'action  de  certaines  forces,  et  si  l'on  vient  y 
appliquer  en  outre  des  forces  perturbatrices  infiniment  petites,  ce  système 
prendra  sous  l'action  de  ces  forces  une  figure  d'équilibre  stable  infiniment  peu 
différente  de  sa  figure  primitive. 

Se  ne  crois  pas  qu'on  puisse  le  mettre  sérieusement  en  doute,  malgré  les 
objections  dont  je  viens  de  parler  et  qui  sont  de  nature  à  intéresser  plutôt 
l'analyste  que  le  mécanicien. 

Cela  posé,  la  forme  d'équilibre  stable  du  système  à  liaisons  doit  être  regardée 
comme  définie;  elle  le  sera,  par  exemple,  par  les  équations 

Les  fonctions  (j>  seront  des  fonctions  continues  des  (5  el  elles  s'annuleront  avec  (3 
quelles  que  soient  les  valeurs  de  (3i,  3^,  .  .  . ,  j3„. 

Si  nous  substituons  dans  F  ces  valeurs  des  a;„.i,  x„+-i-,  ■  ■  ■  ■  Xp,  .  .  .  ,  cette 
fonction  ne  dépendra  plus  que  de  (3,  ^^,  [3,,  .  .  . ,  (3„. 

11  faut  maintenant  chercher  quelles  valeurs  on  doit  donner  à  p,,  (3.j,  .  .  .,  |3„ 


SUR    L  EQUILIBRE    DUNE   MASSE    FLUIDE    EN    ROTATION.  6l 

pour  que  l'équilibre  subsiste  (saas  toutefois  rester  stable)  quand  on  supprime 
les  liaisons.  11  faut  pour  cela  que  l'on  ait 

^  _  OF  _       _  dV   _ 

Eu  d'autres  termes,  il  faut  considérer  que,  les  x  étant  délinis  par  les  équa- 
tions (5),  la  figure  du  système  ne  dépend  plus  ((ue  des  n  variables  pj,  [3.,.  ....  p,,, 
et  il  faut  chercher  les  conditions  d'équilibre  du  système  ainsi  défini. 

Je  veux  faire  voir  (jue  pour  les  valeurs  de  (3  voisines  de  zéro,  ce  système 
admet  une  forme  d'équilibre.  Pour  cela  il  me  suffit,  puisque  ce  système  ne 
dépend  plus  que  d'un  nombre  fini  de  variables,  de  chercher  les  coefficients  de 
stabilité  pour  (3  =  o. 

Or  pour  3  =  o,  puisque  les  fonctions  o  s'annulent,  on  a 


2,  ,3;-!-. 


'n  Pô  • 


Z  étant  un  ensemble  de  termes  d'ordre  supérieur  au  second  par  rapport  auv  |j. 

Les  coefficients  de  stabilité  sont  donc  y,,  ao y.,,  et,  coninie  aucun  d'eux 

n'est  nul,  la  forme  d'équilibre  considérée  ne  peut  être  une  forme  limite,  et 
l'équilibre  sera  encore  possible  pour  les  valeurs  de  ^  voisines  de  zéro. 

Ainsi,  même  lorsque  la  forme  du  système  dépend  d'un  nombre  inlini  de 
variables,  une  ligure  d'équilibre  ne  peut  être  une  figure  limite  à  moins  que  l'un 
des  coefficients  de  stabilité  ne  s'annule. 

2"  et  ■>"  Il  resterait  à  établir  les  deux  autres  propositions  énoncées  plus  haut. 
Ou  les  démontrerait  par  une  méthode  absolument  identique.  On  introduirait 
dans  le  système  les  liaisons 

^6)  ■'.-■.  =  [il,         .'>.=  'fi^.,  ...,         .?-•„=  p„, 

de  façon  que  la  forme  d'équilibre  A  devienne  stable.  On  trouverait  alors  que 
pour 

y  =  ?,         a.'i=  [il,  x„=  j3„ 

le  système  à  liaisons  est  susceptible  d'une  position  d'équilibre  stable  définie 
par  les  équations 

(5)  .7:„H,  =  v«.i([î.  ["^1,  •••■  ,''»); 

Si  l'on  suppose  maintenant  les  x  assujettis  à  ces  équations  (5),  mais  que 
l'on  supprime  les  liaisons  (6),  la  fonction  F  ne  dépend  plus  que  des  (3,  la  figure 
du  système  ne  dépend  plus  que  de  n  variables,  (^n  est  donc  ramené  au  cas 


fia  SUR    L'ÉQUILIBRE    DUNE    MASSE    FLUIDE    EN    ROTATION. 

(J  uu  nombre  liai  Je  variables,  aiitjuel  les  propositions  énoncées  s'applicpienl 
d'elles-mêmes. 

En  résumé,  il  résulte  tles  considérations  exposées  dans  ce  paragraphe  que 
les  résultats  des  paragraphes  II  et  [II  s'étendent  au  cas  d'un  système  dont  la 
figure  dépend  d'une  infinité  de  variables,  et  en  parliculior  nu  cas  d'une  masse 
fluide  soumise  à  diflérentes  forces. 


V.  —    Première  application. 

MM.  Tail  et  Thomson  ont  annoncé  sans  démonstration  que,  paiini  les  ligures 
d'équilibre  dont  est  susceptible  une  masse  fluide  animée  d'un  mouvement  de 
rotation,  il  y  a  une  figure  annulaire  de  révolution. 

On  peut  démontrer  ce  résultat  en  appliquant  les  principes  exposés  dans  les 
trois  paragraphes  précédents. 

Je  considère  une  masse  fluide  homogène  égale  à  M  et  animée  d'une  vitesse 
de  rotation  &)  autour  d'un  axe  quelconque  que  je  prendrai  pour  axe  des  z.  Je 
suppose  que  toutes  les  molécules  de  cette  masse  s'attirent  conformément  à  la 
loi  de  Newton.  Je  choisirai  les  unités  de  telle  façon  que  la  densité  du  fluide 
soit  égale  à  i,  et  que  l'attraction  de  deux  unités  de  masse  à  l'unité  de  distance 
soit  égale  à  l'unité  de  force. 

Je  puis  assujettir  la  masse  fluide  à  afl'ecter  la  forme  d'une  figure  de  révolu- 
tion. Si  l'équilibre  a  lieu  en  tenant  compte  de  cette  liaison,  il  arrivera,  en  vertu 
de  la  nature  même  du  problème,  que  l'équilibre  subsistera  encore  quand  elle 
sera  supprimée.  Cette  liaison  ne  change  pas  les  conditions  d'équilibre,  elle 
n'inllue  que  sur  les  conditions  de  stabilité  dont  nous  ne  nous  occuperons  pas 
pour  le  moment. 

Soit  R  la  dislance  à  l'axe  du  centre  de  gravité  de  la  section  méridienne  et 
-ri;  l'aire  de  cette  section.  On  aura 

(l)  M  =  i;i2r2H. 

Le  plan  des  xy  sera  le  plan  perpendiculaire  a  l'axe  et  passant  pur  ce  contre 
de  gravité.  J'assujettirai  encore,  pour  simplifier  un  peu  les  calculs  qui  vont 
suivre,  la  (igure  de  la  masse  fluide  à  rester  symétrique  par  rapport  au  plan 
des  xy-  H  est  clair  que  si  l'équilibre  a  lieu  avec  cette  liaison,  il  subsistera 
encore  sans  celte  liaison. 

l'onr  définir  la  section  méridienne,  je  me  servirai  des  cooidonnées  polaiies  p 


SUR    L'ÉQUILIBRE    DUNE    MASSE    FLUIDE    EN    ROTATION.  63 

et  cp,  en  |)i'enaiil  le  pôle  au  centre  de  gravité  et  l'axe  polaire  dans  le  plan  des  xy. 
Soit 

p  =  /•  H-  |j  l  COS  Cf  +  p2  COS  2  9  -    ...  -H  [j,,  COS  /t  ç  ~r  .  .  . 

l'équation  de  la  section  méridienne. 

Ecrivons  que  l'aire  de  cette  section  est  égale  à  Trr,^,  il  viendra 

(2)  r^^r--^-^. 

Écrivons  que  le  centre  de  gravité  de  cette  section  est  au  pôle,  il  viendra 

(3)  '--.31  +  r(Pifi5-i-  [i2p3-i-...+  (3„p„+, -i-..  .  ) -+-  S  =  o, 

S  étant  une  série  convergente  dont  les  termes  sont  homogènes  et  du  troisième 
degré  par  rapport  aux  ,3. 

J'ai  à  rechercher  s'il  existe  une  ligure  d'équilibre  peu  différente  d'un  tore. 
Je  dois  donc  supposer  que  les  j3  sont  très  petits  par  rapport  à  r. 

Je  supposerai  de  plus  que  les  rapports  r-  et  par  conséquent  -^  sont  très  petits, 
ainsi  que  sj. 

Cela  posé,  soit  I  le  moment  d'inertie  de  la  masse  fluide  par  rapport  à  l'axe. 
Soit 

(  ■  dm  il III 


w 


=./ 


l'énergie  potentielle  duo  à  l'altraction  nevvtonienne  (où  dm  et  dm'  sont  deux 
éléments  quelconques  de  la  masse  et  A  la  distance  de  ces  deux  éléments). 

Soit  -  I  l'énergie  potentielle  due  à  la  force  centrifuge.  L'équilibre  aura  lieu 

quand  la  variation  première  de  l'expression 

U  =  w  +  ^  I 

2 

sera  nulle. 

iVous  allons  encore  introduire  une  liaison  nouvelle.  Nous  supposerons  que /o 
et  par  conséquent  R  sont  assujettis  à  conserver  des  valturs  données.  Cette 
liaison,  à  la  différence  des  précédentes,  change  les  conditions  d'équilibre. 
Posons 


V     '     '-0 


64  SUR    L'ÉQUILIBRE    DUNE    MASSE   FLUIDE    EN    ROTATION. 

Il  viendra  ('),  eu  tenant  compte  de  {2). 


B  --  C  -H  ^^^^  (  a  ri  IV'  -+-  -  H  rj  )  -^  w^  D. 


Dans  cette  équation,  A  désigne  une  conslanic  lumiérujue  qu'il  est  inutile  de 
déterminer  davantage:  B  est  un  ensemble  de  termes  contenant  ri  en  facteur: 
G  est  un  ensemble  de  termes  de  degré  supérieur  au  second  par  rapport  aux  ,3; 
enfin  D  est  un  ensemble  de  termes  s'annulant  avec  les  3. 

Nous  donnerons  à  A  la  même  valeur  dans  les  é(|uations  (4  )  et  (5).  Il  viendra 
alors 

On  trouve  aisément 

1  =  -  /       U-'o-  (/s  -h  1',-  /       H-p-'  coso  i/z  -h  -  -  1       Hp*  cos-ç  ''r  +  ~^   1       p-'cos^  çt/ç. 
^11  «-Il  "'    *^ii  ^  it 

Mais  les  équations  (2)  et  (3)  peuvent  s'écrire 

/   p=  (/ç.  =  2  K  ;•  j ,  /   p-' cosç  c/o  =  o, 

de  sorte  qu'il  reste  simplement 

D  =  ^-R  I  (  pi  —  rj  j  cos-  9^/0-4-^    /  (  p-'  —  r^  )  cos=  ç  c/i. 
JNous  prendrons 


de  sorte  que  V  sera  désormais  déterminé. 

Comme  r„  et  R  sont  provisoirement  regardés  comme  des  constantes,  le 
maximum  de  U  aura  lieu  en  même  temps  (|ue  celui  de  V,  de  sorte  que  l'équi- 
libre de  notre  système  à  liaisons  aura  lieu  dans  les  mêmes  conditions  que  si  V 
était  la  fonction  des  forces. 

.Supposons  que  dans  V,  on  fasse  r„^=  o,  il  viendra 

,,      i      ^  „/i        \  G  1  7t"-oj'^       -^  -ov-    r/pf        N 

^  =  4  ^ --^H" -T^  ÂTTiï  ^  :î  — -"  î  — ./ (fe -T"^"^ ''^ 


(';    ^''y(/■  aux  .Nolub,  iiguici  n/uiit/uiix's. 


SUR  l'Équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation.  65 

Si  nous  faisons  encore  to  ;=  o,  il  viendra 

Si  l'on  lient  compte  de  l'équation  (3),  il  vient 

E  étant  un  ensemble  de  termes  du  second  degré  au  moins  par  rapport  à  yo,  ys,  — 
On  peut  donc  écrire 

F  étant   un   ensemble   de  termes    du    troisième  degré   au    moins  par  rapport 

à  ys)  T3j  •  •  •  • 

Cette  équation  prouve  que  si  l'on  fait  co  ^=  /„=;  o,  la  fonction  V  est  suscep- 
tible d'un  maximum  ([ui  est  atteint  quand  tous  les  y  s'annulent.  Les  coefficients 

de  stabilité  sont 

I  I  I 

--I,     ^— I,      ...,     --I,      .... 

Comme  aucun  de  ces  coefficients  n'est  nul,  la  forme  d'équilibre  correspon- 
dante ne  pourra  être  une  forme  limite,  c'est-à-dire  que  pour  les  valeurs  très 
petites  de  r^  et  de  w,  le  système  à  liaisons  considéré  sera  susceptible  d'une 
forme  d'équilibre,  pour  laquelle  les  y  auront  des  valeurs  très  petites. 
On  aura  alors  pour  cette  forme  d'équilibre 

(6)  yu=  ?/,('-o,  w), 

(B„  étant  une  fonction  continue  de  i\  et  de  u  s'annulant  avec  ces  variables. 

Il  reste  à  chercher  quelle  valeur  il  faut  donner  à  ro  pour  que  l'équilibre  sub- 
siste encore  quand  on  supprime  la  liaison  que  nous  avions  provisoirement 
introduite,  et  quand  on  n'assujettit  plus  /"o  et  R  à  avoir  des  valeurs  données. 

Supposons  qu'on  remplace  dans  U  les  y  par  leurs  valeurs  (6)  et  R  par  sa 
valeur  tirée  de  l'équation  (i).  Alors  U  ne  sera  plus  fonction  que  de  /'o  et  de  w, 
et  l'on  aura  la  condition  pour  que  l'équilibre  subsiste  après  la  suppression  de 
la  liaison,  en  écrivant 
.    ^  dl] 

Je  dis  que  pour  les  valeurs  très  petites  de  w,  il  y  aura  toujours  une  valeur 
H.  p.  —  VII.  Q 


66  SUR  l'équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation. 

très  potite  de  l'o  pour  laquelle  celle  coiulilion  (y)  sera  remplie.  Nous  pourrons 
écrire 

(8)  U  =  Ar5log~^  +  — P +  C. 

Les  lelires  A,  a  et  B  désignent  des  constantes  ne  dépendant  que  de  M  et  C  un 
ensemble  de  termes  très  petits  par  rapport  aux  deux  premiers  quand  To  et  co 
sont  très  petits.  Inutile  d'ajouter  que  les  lettres  A,  B  et  C  n'ont  plus  la  même 
signilîcation  que  dans  la  première  partie  de  cette  démonstration. 

Soit  s  une  quantité  très  petite  que  nous  regarderons  comme  constante  et  qui 
sera  telle  que 

aAs  log  —  —  3  As =  o. 

°  S-l  S" 

Nous  allons  faire  varier  ;'o  depuis  2S  jusqu'à  zéro.  Pour  r«  ^  2S,  les  deux  pre- 
miers termes  de  l'expression  (8)  se  réduisent  à 

4A.-  logg^  +  3^  A.-  log  -  -  -  A.-=  —  A.-  log  -  +  S,. 

Pour  rii  =  5,  ces  deux  mêmes  termes  se  réduisent  à 

..1      «       ii„i      «       3.„      4**„i      <5f       f. 

AsMog—  +  -  A.ç=  log  -  —  -  As"-=  —  sMog  ^  -I-  So. 

°  S'i         2  s'         4  32  °  ^3 

Enfin  pour  /-q^  o,  on  a  U  =; -f- 00 .  Dans  ces  égalités,  Si  et  Sa  désignent  des 

termes  très  petits  par  rapport  a  s-  log  -  • 
On  a  donc  : 


pour  /•„ ^  25  : 


pour  r„  =  s 


pour  r,i^  o 


U—  ^-— 5Mog-=       v"^   '"? 
J2  s'  32 


1 00      .       a  52    „ ,       a 

32       '   "  5:1  ^       32  *   '"^  s»  ^  --  ' 


-,       100      ,       a 


2i  et  2j  sont  des  ensembles  de  termes  très  petits  par  rapport  à  5'- log  —  >  et  qui 
n'influent  pas  sur  le  signe  de  l'expression 


1 00      ,       a 


SUR  l'Équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation.  67 

Celte  expression  est  donc  posilive  pour  /o ^  25,  négative  pour  ro=  .y  et  posi- 
tive pour  /■o=  o.  Elle  s'annule  donc  deux  fois  quand  l'o  varie  de  2S  à  zéro;  sa 

dérivée  -; —  doit  donc  s  annuler  une  fois  dans  le  inème  intervalle. 

C.     Q.     F.     D. 

Ainsi  pour  une  valeur  donnée  très  petite  de  w,  on  peut  trouver  un  système 
de  valeurs  de  r„  et  des  y  qui  satisfasse  aux  conditions  d'équilibre,  et  cela  après 
suppression  de  la  liaison  que  j'avais  d'abord  provisoirement  introduite. 

11  en  résulte  qu'une  masse  fluide  animée  d'un  mouvement  de  rotation  est 
susceptible  d'une  forme  annulaire  d'équilibre,  qui  d'ailleurs  est  probablement 
instable. 

J'ai  donné  une  esquisse  de  la  présente  démonslralion  dans  le  Tome  2  du 
Bullelin  Astronomique  (').  J'ai  donné  également  dans  ce  même  Volume  une 
façon  de  calculer  approximativement  les  éléments  de  celte  figure  annulaire. 
L'analyse  que  j'ai  employée  pour  déterminer  ces  éléments  présente  les  plus 
grandes  analogies  avec  celle  dont  M™"  Kowalevski  a  fait  usage  dans  ses  recherches 
sur  lanneau  de  Saturne;. 

VI.  —  Exemples  d'équilibres  de  bifurcation. 

Dans  les  n""  27  et  28  du  Livre  III  de  la  Mécanique  céleste,  Laplace  Iraite  le 
problème  suivant  :  Une  sphère  solide  de  densité  p  et  de  rayon  c  est  recouverle 
d'une  couche  fluide  homogène  de  densité  i.  Quelle  est  la  figure  d'équilibre  de 
cette  couche  fluide?  Quelle  sera  à  l'état  d'équilibrt;  la  forme  de  la  surface 
libre  de  celle  couche  ? 

Une  des  formes  d"é(|uilibre  est  évidemment  une  sphère  concentrique  à  la 
sphère  solide,  auquel  cas  l'épaisseur  de  la  couche  fluide  est  uniforme. 

On  peut  se  demander  s'il  y  en  a  d'autres.  Pour  cela  appelons 

r=  «(l-Haj) 

la  distance  au  centre  d'un  point  quelconque  de  la  surface  libre.  On  dévelop- 
pera j^  en  série  de  fonctions  sphériques 

y  =  Yo-H  Y,-i-.  ..-H  Y,-H-. . . 


(')  mCuvri-'s  de  H.  Poincaré,  ce  Tome,  p.   17. 


68  SUR    L'EQUILIBRE   D'UNE    MASSE    FLUIDE    EN    ROTATION. 

el  réquation  d'(W]iiililu-i',  comme  riiidiquc  Ijaplace,  page  8-  (édition  de  18-8), 
s'écrira 

(0  o  =  [(,_p)5  +  2]Y„-.(,-p);^Y,  +  [(,-p)g-2]Y.  +  ... 

pourvu  loiitetois  que  l'on  néglige  le  carré  de  oe. 

Quant  à  l'énergie  potentielle,  elle  a  pour  expression 

W  =  A  -^-:<-^y"  [(p,-i  )YÎ+  (p,-  ^)  Yi+.  .  .  j  rfo 

en  négligeant  le  cube  de  oc.  A  est  une  constante  et  l'intégrale  est  étendue  à  tous 
les   éléments    c/w    de   la    surface   sphérique   {Cf.  Résal,   Mécanique  céleste., 
i",  édition,  p.  238). 
J'ai  posé  pour  abréger 

,_p,  =  (,_p)^£.. 

Cette  expression  de  W  montre  qu'on  a  une  forme  d'équilibre  quand  tous  les  Y 
s'annulent,  c'est-à-dire  quand  l'épaisseur  de  la  couche  lluide  est  uniforme.  Les 
coefficients  de  stabilité  sont 

3  3 

Pi  —  Il     pi — 7'      •••)      pi — ; — ■'      ■••• 


L'un  d'eux  s'annulera  si  l'on  a 

pi  = 


V  étant  un  entier  positif.  A  chaque  valeur  de  pi  correspond  une  forme  d  équi- 
libre parfaitement  définie  qui  est  la  sphère.  Ces  sphères  formeni  une  série 
linéaire  de  figures  d'équilibre  réelles.  Si  donc  l'un  des  coefficients  de  stabilité 
s'annule,  c'est  que  la  sphère  correspondante  est  une  forme  d'équilibre  de 
bifurcation. 

Etudions  d'un  peu  plus  près  ce  qui  se  passe.  Dans  le  u°  27,  Laplace  suppose 
que  la  couche  fluide  considérée  est  assujettie  à  conserver  une  figure  de  révo- 
lution autour  de  l'axe  des  z.  Dans  cette  hypothèse,  la  fonction  sphérique  Yv  se 
réduit  au  •>'"""'  polynôme  de  Legendre,  de  sorte  qu'il  n'y  a  qu'un  seul  coeffi- 
cient de  stabilité  qui  soit  égal  à  p, ; ( )n  est  ainsi  ramené  au  cas  le  plus 

simple,  celui  où  un  seul  coefficient  de  stabililité  s'annule  et  où  la  forme  de 
ijifurcalion  appartient  à  deux  séries  linéaires  de  forme  d'équilibre  réelles. 


SUR  l'Équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation.  69 

Laplace  semble  dire  qu'il  ne  peut  y  avoir  en  général  ([u'iine  seule  forme 

d'équilibre  lorsque  l'on  n'a  pas 

3 

pi  =  

2V  -I-  I 

el  que  lorsque  celte  relation  a  lieu,  il  y  a  deux  formes  d'équilibre,  puisque  xy 
est  susceptible  de  deux  valeurs,  dont  l'une  est  donnée  par  la  supposition 
de  y  =  o,  el  dont  l'autre  est  donnée  par  la  supposition  de  )•  égal  au  v'"'""'  poly- 
nôme de  Legendre. 

Ce  passage  a  dû  paraître  obscur  à  plus  d'un  lecteur.  En  effet  Laplace  ayant 
négligé  les  puissances  supérieures  de  a,  ce  coefficient  n'intervient  plus  dans 
l'équation  d'équilibre  (i);  il  semble  donc  qu'on  puisse  le  choisir  arbitrai- 
rement, et  alors  on  n'aurait  plus  deux  figures  d'équilibre,  mais  une  infinité, 
qui  seraient  comprises  dans  l'équation  générale 

,)  =XY„ 

X  étant  une  constante  arbitraire  et  Y,,  le  v"*™"  polynôme  de  I^egendre. 

3 
Il  semblerait  donc  que  pour  les  valeurs  de  pi  différentes  de — 1  la  sphère 

serait  la  seule  figure  d'équilibre  possible,  et  que  pour  les  valeurs  de  p,  de  la 
forme  — j  il  v  aurait  une  infinité  de  figures  d'équilibre  indiiî'érent.  Mais  les 

2V  -f-  1  •^  D  1 

termes  de  degré  supérieur  en  x  empêchent  qu'il  en  soit  ainsi. 

Pour  les  valeurs  de  pf  très  voisines  de  ; — 1  il  y  a  deux  figures  d'équilibre  : 

l'une  est  une  sphère,  et  l'autre  est  très  peu  différente  d'une  sphère.  Toutes 
deux  se  confondent  pour 

3 

pi  = 

2V  -H  I 

Il  y  a  cependant  une  exception;  pour  v  =  1 ,  on  trouve  pi  =  i .  La  densité  de  la 
sphère  solide  étant  alors  la  même  que  celle  de  la  couche  fluide,  le  sphéroïde 
est  homogène,  el  l'équilibre  subsistera  quand  la  surface  libre,  au  lieu  d'être 
une  sphère  concentrique  à  la  sphère  solide,  sera  une  sphère  dont  le  centre  sera 
quelconque  (pourvu  toutefois  que  les  deux  sphères  ne  se  coupent  pas). 

L'équilibre  est  donc  indifférent.  I*our  pi=i,  la  figure  formée  parles  deux 
sphères  concentriques  esl  donc  encore  une  figure  de  bifurcation,  mais  on  se 
trouve  dans  un  de  ces  cas  exceptionnels  que  j'ai  signalés  au  paragraphe  IL 
Celte  figure  appartient  bien  encore  à  deux  séries  linéaires  de  formes  d'équi- 
libre. Mais  il  n'arrive  plus,  comme  cela  a  lieu  d'ordinaire,  que  pour  chaque 


70  SUR  l'équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation. 

valeur  pi  voisine  lie  i,  on  trouve  dans  chacune  des  deux  scories  une  figure 
d'équilibre  et  une  seule.  Une  seule  des  deux  séries  présente  ce  caractère; 
l'autre  est  une  série  de  formes  d'équilibre  indifférent  qui  correspondent  toutes 
au  cas  de  pi  ^  I . 

Dans   le   n"  28,   Laplace  passe   au    cas  où   la   ligure  d'équilibre  n'est  plus 
assujettie  à  être  de  révolution.  Dans  ce  cas  il  y  a  p.v  +  i  fonctions  sphériques  Y^ 

linéairement  indépendantes.  Donc  quand  p,  devient  égal  à  — — i  il  y  a  2v-f-i 
coefficients  de  stabilité  qui  s'annulent  à  la  fois.  Donc  pour  les  valeurs  de  pi  très 

voisines  de  ; >  il  y  a  non  pas  deux  figures  d'équilibre  peu  dillérentes  d'une 

sphère,  mais  un  plus  grand  nombre.  Il  y  en  a  même  une  infinité,  si  l'on  tient 
compte  de  ce  fait  que  si  Ion  a  une  figure  d'équilibre  non  sphérique,  l'équilibre 
subsiste  quand  on  oriente  celle  figure  d'une  manière  quelconque. 

Je  pense  que  ces  remarques  suffiront  pour  éclaircir  ce  qu'il  pouvait  y  avoir 
d'obscur  dans  le  texte  de  Laplace. 

VII.  —  Stabilité  de  l'équilibre  relatif. 

Il  est  très  facile  de  trouver  les  conditions  de  stabilité  de  l'équilibre  absolu 
d'un  système  matériel  rapporté  à  des  axes  fixes;  pour  qu'un  tel  équilibre  soit 
stable,  il  faut  et  il  suffit  que  la  fonction  des  forces  soit  maximum.  Mais  le 
problème  de  la  stabilité  de  l'équilibre  relatif  d'un  système  matériel  rapporté  à 
des  axes  mobiles  est  infiniment  plus  compliqué.  Cette  théorie  n'a  jamais,  à  ma 
connaissance,  été  convenablement  traitée  que  dans  le  Treatise  on  Natural 
Philosophy  de  MM.  Tait  et  Thomson.  Elle  repose  sur  la  distinction  de  la  sta- 
bilité séculaire  et  de  la  stabilité  ordinaire;  j'en  vais  rappeler  les  principaux 
résultats,  en  donnant  sur  un  point  des  compléments  qui  me  seront  utiles  dans 
la  suite. 

Supposons  que  la  position  du  système  envisagé  par  rapport  aux  axes  mobiles 
soit  définie  par  n  variables  j"i,  x^.  .  .  .,  x,,,  choisies  de  telle  sorte  que  l'équi- 
libre ait  lieu  pour 

j;i  =  xo  =  . . .  =  ,r„  =  o. 

.Si  l'on  dérange  très  peu  le  système  de  sa  position  d'é(|uilibre,  les  valeurs  de  Xi, 
x^i^  .  .  .,  .r„  seront  très  petites  et,  si  \\n\  néglige  les  carrés  de  ces  quantités,  les 
équations  dilférentielles  qui  en  définiront  les  variations  seront  linéaires. 


SUR    L  EQUILIBRE    DUNE    MASSE   FLUIDE    EN    ROTATION.  7I 

On  irouvera  donc 

x,='^A,„[i,  m  Je'".'         1  i  =  1,  ■},  ...,  n;  m  =  i,  2,  ....  2«). 

Dans  celle  formule  les  A„i  sonl  des  constanles  d'intégration,  les  [i,  m]  el  Ics/.„i 
sont  des  constantes  qu'il  esl  aisé  de  déduire  des  équations  difTérenlielles  du 
problème. 

Si  tous  les  ).„,  sonl  purement  imaginaires,  il  v  a  stabilité.  Si  tous  les  }.„,  ont 
leur  partie  réelle  nulle  ou  négative,  il  y  a  encore  stabilité  (et  ce  cas  peut  se 
présenter  si  l'on  tient  compte  des  résistances  passives,  telles  que  la  viscosité  des 
liquides).  Si  enfin  un  des  l„i  a  sa  partie  réelle  positive,  il  y  a  instabilité. 

F^es  X„,  sont  donnés  par  une  équation  algébrique  de  degré  2n,  de  sorte  que 
pour  trouver  les  conditions  de  stabilité,  il  suffit  de  discuter  cette  équation  en  1. 

Nous  supposerons  que  toutes  les  forces  réelles  auxquelles  le  système  est 
soumis  sont  les  actions  mutuelles  de  ses  parties,  de  telle  sorte  que  le  moment 
de  la  quantité  de  mouvement  du  svstéme  soit  constant.  Parmi  ces  forces  réelles, 
nous  distinguerons  les  forces  indépendantes  de  la  vitesse  qui  devront  admettre 
une  fonction  des  forces  dépendantes  de  la  vitesse,  c'est-à-dire  les  résistances 
passives  dues  à  la  viscosité.  Le  travail  de  ces  dernières  forces  doit  toujours  être 
négatif. 

Outre  les  forces  réelles,  le  système  sera  soumis  à  deux  sortes  de  forces 
apparentes  :  la  force  centrifuge  ordinaire,  indépendante  de  la  vitesse,  el  la 
force  centrifuge  composée,  dépendante  de  la  vitesse;  le  travail  de  celte  dernière 
est  toujours  nul. 

Soit  T  la  demi-force  vive  el  U  l'énergie  potentielle  due  à  toutes  les  forces 
indépendantes  de  la  vitesse,  y  compris  la  force  centrifuge  ordinaire.  Si  nous 
négligeons,  comme  il  convient  de  le  faire,  les  puissances  supérieures  des  x  el 
si  nous  supposons  que  U  soit  nul  dans  la  position  d'équilibre,  T  sera  une  forme 

quadratique  par  rapport  aux  a:'-=^  —j^  et  U  une  forme  quadratique  par  rapport 
aux  Wi- 

Nous  poserons  selon  l'usage 

de  sorte  que  les  équations  différentielles  s'écriront 

dpj^  __d\}_  >hri  _  dT 

lù   ~~  dxt'^     "         ~dt    ~  dfi' 


72  SUR    L  EQUILIBRE    DUNE    MASSE    FLUIDE    EN    ROTATION. 

Uaus  CCS  cqualioos  les  \i  représenlenl  renseiiible  des  ternies  provenant  des 
forces  dépendantes  de  la  vitesse.  Si  l'on  néglige  les  puissances  supérieures 
des  X,  les  V  slm-ouI  linéaires  par  rapport  aux  p.  Les  équations  difiérenliellos 
seront  donc  linéaires. 

Dans  le  cas  de  l'équilibre  absolu,  c'est-à-dire  si  le  mouvement  de  rolalionest 
nul,  il  faut  et  il  suffit  pour  la  stabilité  que  la  fonction  des  forces  soit  un 
maximum,  c'est-à-dire  que  la  forme  quadratique  U  soit  définie  positive. 

Celte  condition  est  encore  suffisante,  mais  elle  n'est  plus  nécessaire,  s'il  y  a 
un  mouvement  de  rotation.  Ainsi,  pour  parler  le  langage  des  paragraphes  pré- 
cédents, si  tous  les  coefficients  de  stabilité  sont  négatifs,  il  y  aura  certainement 
stabilité,  mémo  dans  le  cas  d'un  mouvement  de  rotation. 

Dans  un  très  grand  nombre  de  problèmes,  on  peut  négliger  la  viscosité;  si 
dans  cette  h^-pothèse  l'équilibre  relatif  est  stable,  il  y  aura  stabilité  ordinaire; 
si  l'équilibre  reste  stable  quand  on  tient  compte  de  la  viscosité,  il  y  aura 
stabilité  séculaire. 

Il  peut  y  avoir  stabilité  ordinaire  sans  qu'il  y  ail  stabilité  séculaire;  il  arrive 
alors,  si  la  viscosité  est  très  faible,  ce  qui  est  souvent  le  cas,  que  la  figure  du 
système  se  maintiendra  pendant  fort  longtemps,  mais  finira  toujours  par  être 
bouleversée. 

Pour  qu'il  y  ait  stabilité  séculaire,  il  faut  et  il  suffit  que  la  forme  U  soit 
définie  positive,  c'est-à-dire  que  tous  les  coefficients  de  stabilité  soient 
négatifs. 

Les  conditions  de  la  stabilité  ordinaire  sont  beaucoup  plus  compliquées. 
Bornons-nous  à  dire  que  celle  stabilité  ne  pourra  jamais  avoir  lieu  si  le  nombre 
des  coefficients  de  stabilité  qui  sont  positifs  est  impair. 

Tels  sont  les  résultats  très  précis  que  l'on  trouve  démontrés  dans  l'Ouvrage 
de  MM.  Tait  et  Thomson.  Il  y  a  toutefois  une  importante  restriction  à  faire  et 
sur  laquelle  je  désirerais  attirer  l'aUention.  L'argumentation  de  MM.  Tail 
et  Thomson  repose  tout  entière  sur  cette  hypothèse  que  le  travail  de  la  visco- 
sité est  toujours  négatif  (et  non  pas  nul)  pour  tous  les  mouvements  possibles. 
Il  n'en  est  pas  toujours  ainsi. 

Supposons  par  exemple  une  masse  fluide  isolée  dans  l'espace.  Si  cette  masse 
se  déplace  sans  se  déformer,  ce  mouvement  ne  sera  contrarié  par  aucune  résis- 
tance passive  analogue  à  la  viscosité.  Le  travail  de  la  viscosité  sera  alors  nul  et 
non  pas  négatif.  Nous  devons  donc,  si  nous  voulons  appliquer  le  théorème 
de  MM.   Tail  et  Thomson,   supposer  qu'on  a  introduit  dans   le   système  des 


SUR  l'Équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation.  73 

liaisons  telles  que  la  masse  fluide  ne  puisse  se  déplacer  sans  se  di'^former.  Si 
l'on  fait  cette  hypothèse,  la  proposition  est  applicable,  et  l'on  peut  dire  que  les 
conditions  de  stabilité  sont  les  mêmes  si  l'on  tient  compte  à  la  fois  de  la 
viscosilé  et  de  la  force  centrifuge  composée,  ou  bien  si  l'on  néglige  à  la  fois 
ces  deux  forces. 

Avant  de  terminer  ce  qui  concerne  cette  stabilité  de  l'équilibre  relatif,  je  dois 
examiner  un  cas  parti-culier.  Supposons  qu'à  l'état  de  l'équilibre  relatif,  le 
système  envisagé  affecte  une  figure  de  révolution  autour  de  l'axe  des  z.  Pour 
simplifier  l'exposition,  nous  supposerons  qu'à  l'état  d'équilibre,  toute  la 
matière  du  système  soit  uniformément  répartie  sur  n  circonférences  parallèles 
dont  les  rayons  seront  ri,  rn,  ...,  Vn-  Soit  m  une  molécule  appartenant  au 
parallèle  de  rayon  r,-.  Supposons  que  l'on  déplace  cette  molécule  de  telle  façon 
que  sa  distance  au  plan  des  xy  augmente  de  s,-,  sa  distance  à  l'axe  des  z 
augmente  de  a,-  et  qu'enfin  le  dièdre  du  plan  mOz  avec  le  plan  xO z  augmente 
de  — '•  Si  les  quantités  ?<,-,  Zi  et  r,-  sont  les  mêmes  pour  toutes  les  molécules 

d'une  même  parallèle,  le  système  adeclera  encore,  après  cette  déformation,  une 

figure  de  révolution.  Si  l'on  suppose  de  même  que  —r^  =  u\ 

sont  les  mêmes  pour  toutes  les  molécules  d'un  même  parallèle,  la  demi-force 
vive  totale  du  système  a  pour  valeur 

A(,  A2,  ...,  A„  étant  n  constantes  que  nous  regarderons  comme  données. 
Enfin  l'énergie  potentielle  U  ne  dépendra  que  des  u  et  des  5,  tant  que  les 
quantités  m,-,  c,  et  Zi  conserveront  la  même  valeur  tout  le  long  d'un  parallèle. 
Les  équations  du  mouvement  seront  alors,  en  supprimant  toute  viscosilé  : 

r/-ui  d\}  ,'/•'/  ,     <^I'-Vi  .        dui  ,    d-Zi  d\i 

^'~rrr  =—  Zi iKiW-j-i  A,— ^—  =  2  A,  (0—7-,  A,— ;—  = j-t 

dl-  diii  dl  dt-  dt  dr-  dzC 

w  désignant  la  vitesse  angulaire  de  rotation  due  au  mouvement  d'entraînement. 
Ces  équations  sont  linéaires  en  «/,,  c,  et  Zi.  On  y  satisfera  en  posant 

Ui=aiCOS/.t,         ;,=  6,cos?.  ;,         (',=  2  a,- r- sin  Xz 

et  une  condition  nécessaire  pour  qu'il  y  ait  stabilité,  c'est  que  les  valeurs  de  1 

qui  permettent  de  satisfaire  de  la  sorte  à  nos  équations  différentielles  soient 

toutes  réelles.  On  voit  par  ces  équations  que  si  les  conditions  initiales  du  mou- 

H.  P.  -  VII.  ,0 


ditj  I     dvi  I     dzi 

~dt    '^'^''~dt~^'''dt 


^4  SUR  l'équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation. 

veinent  sont  toiles  que  «,-,  c,,  :;/,  u\ ,  v\  ,  z\  soient  les  mêmes  toul  le  long  d'un 
parallèle,  il  en  sera  encore  de  même  au  bout  d'un  lemps  quelconque  et  le 
système  restera  de  révolution. 

On  [)ourra  trouver  pour  >,  un  certain  nombre  de  valeurs  distinctes  que 
j'appellerai  ±:  ).i,  ±  Xj,  ...  el  l'intégrale  générale  des  é([uations  proposées  en 
supposant  ijue  le  système  reste  de  révolution  sera 

Ui=  2,^P"'P    COS(Apt-\-Ef,), 


(I) 


:,■  =        V  B;,  6,7,   cos  ()./,/-!- £/,)> 


/' 


<■/  =  2 <o^  B,,  Y^  ?iii (  >v'  '  +  £/>)> 


les  B/,  et  les  s,,  étant  2/)  constantes  d'intégration. 
Mais  on  doit  avoir 

T-+-U  =  C, 

C  étant  une  constante.  Il  est  facile  de  voir  que  si  U  n'est  pas  une  forme  définie 
positive,  on  peut  choisir  les  conditions  initiales  du  mouvement  de  telle  sorte 
que  la  constante  C  ait  le  signe  que  l'on  veut.  On  trouve 

T  =  Do-f-  2Dpros2(X^Z +  £,,)  +  S  D;,^  cos[(X,, -1-  X,)<  +  £^-4- E,] 

(j  =  Eo+  2E^  cos2().p«  H-  i,,)-h  S(E/,^  ou  E^,./ )  cos [( À,, -4-  1^)1  -+-  ip±s^]. 

On  a  donc 

Do  +  Eo  =  G,         D,,  -+-  E^  =  o,         Dp^  -h  iip.f  =  o,         D^„,  +  E^„^  =  o. 

On  trouve  d'ailleurs  en  faisant  attention  à  la  nature  des  formes  T  et  U  et  à  la 
forme  des  équations  (i)  : 


D„=     ^BJ-ï^p, 
p 

2  Eo  =      2  B/,  A , ( 'i.'j,  afp  +  XJ, bfp -\-  \ m"- afp  ). 


2  '^'/'  =  —  2       ^'^ '■'^ "'> "*"  ''''  ^'^' ~  '' "'' "''' ^' 


SUR  l'Équilibre  dune  masse  fluide  en  rotation.  76 

On  lire  de  là 

(2)  DoH-E„-2B;,(D,,h-E,,)  =  SB^A,/.M«,>+6,7.), 

el  d'autre  pari 

Do+  E„-  SB^(D,,-i-  E^)  =  C. 

Les  coefficients  A,-  sont  essentiellement  positifs.  Si  donc  les  l^  sont  tous 
r(^els,  le  second  membre  de  (2)  est  essentiellement  positif.  Mais  nnus  avons  vu 
que  C  peut  devenir  négatif  à  moins  que  la  forme  U  ne  soil  définie  positive.  Si 
donc  cette  forme  n'est  pas  définie  positive  (au  moins  tant  que  le  système  est 
assujetti  à  rester  de  révolution)  il  ne  peut  y  avoir  stabilité. 

Cette  démonstration  se  trouve,  sauf  la  forme  et  les  notations,  dans  la  Méca- 
nique céleste  de  Laplace  (Livre  i\',  Chap.  II,  n°  lA). 

On  doit  donc  conclure  que  si  un  système  affecte,  à  l'état  d'éijuilibre  relatif, 
une  figure  de  révolutiou,  cet  équilibre  ne  jouira  pas  même  de  la  stabilité 
ordinaire,  si  l'équilibre  du  système  n'est  pas  stable  quand  on  supprime  la  force 
centrifuge  composée  et  qu'on  introduit  des  liaisons  assujettissant  le  système  à 
rester  de  révolution  autour  de  l'axe  des  z.  II  faut  toutefois  observer  à  quelle 
condition  ce  théorème  de  Laplace  est  applicable.  II  pourrait  se  faire  que  l'un 
des  1  fût  nul  et  alors  le  raisonnement  précédent  tomberait  de  lui-même.  Il 
pourrait  y  avoir  encore  stabilité  en  ce  sens  que  la  figure  extérieure  du  système 
demeurerait  toujours  très  peu  différente  de  la  figure  primitive;  mais  les  divers 
parallèles  tendraient  à  tourner  avec  des  vitesses  différentes. 

Il  reste  à  examiner  si  les  théorèmes  établis  dans  les  paragraphes  précédents 
subsistent  encore  dans  le  cas  de  l'équilibre  relatif.  Le  premier  d'entre  eux, 
d'après  lequel,  si  un  des  coefficients  de  stabilité  change  de  signe  quand  on 
suit  une  série  linéaire  de  figures  d'équilibre,  la  forme  correspondante  est  de 
bifurcation,  subsiste  évidemment,  car  le  mouvement  de  rotation  et  la  force 
centrifuge  composée  ne  changent  pas  les  conditions  d'équilibre  et  n'ont 
d'influence  que  sur  les  conditions  de  stabilité. 

Quant  au  second  théorème,  c'est-à-dire  au  principe  de  l'échange  des  stabi- 
lités, il  subsiste  encore  en  ce  qui  concerne  la  stabilité  séculaire  dont  les  condi- 
tions ne  sont  pas  non  plus  changées  par  la  force  centrifuge  composée. 

Il  subsiste  même  en  ce  qui  concerne  la  stabilité  ordinaire,  mais  seulement  à 
la  condition  qu'un  seul  des  coefficients  de  stabilité  s'annule  à  la  fois.  Nous 
avons  vu  en  effet  qu'il  ne  peut  y  avoir  même  stabilité  ordinaire  quand  un  seul 
coefficient  de  stabilité  (ou  plus  généralement  un  nombre  impair  de  ces  coeffi- 
cients) est  positif  et  les  autres  négatifs. 


76  SUR  l'équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation. 

VIII.  —  Fonctions  de  Lamé. 

Après  ces  longs  prolégomènes,  j'arrive  à  l'objet  principal  de  ce  travail. 

Nous  nous  occupons  de  délerininer  la  forme  d'équilibre  d'une  masse  lliiide 
homogène  dont  toutes  les  molécules  s'attirent  d'après  la  loi  de  Newton  et  qui 
est  animée  d'un  mouvement  de  rotation  uniforme  autour  de  l'axe  des  z.  Si  nous 
ne  nous  occupons  que  des  conditions  d'équilibre  en  laissant  de  côté  la  question 
de  stabilité,  nous  n'avons  pas  à  tenir  compte  de  la  force  centrifuge  composée, 
et  nous  pouvons  traiter  le  problème  comme  s'il  s'agissait  de  l'équilibre  absolu 
d'une  masse  ILiide  soumise  seulement  à  l'attraction  nowlonienne  et  à  la  force 
centrifuge  ordinaire. 

Nous  connaissons  déjà  plusieurs  séries  linéaires  réelles  de  ligures  d'équi- 
libre, ce  sont  les  ellipsoïdes  de  révolution  et  les  ellipso'ides  de  Jacobi.  La  figure 
de  ces  ellipso'ides  dépend  de  la  vitesse  angulaire  de  rotation  w  qui  jouera  ici  le 
même  rôle  que  jouait  le  paramètre  k  dans  les  paragraphes  II,  IH  et  IV. 

Nous  pouvons,  sans  restreindre  la  généralité,  imposer  à  notre  masse  fluide 
certaines  liaisons.  L'axe  de  révolution  que  nous  avons  pris  pour  axe  des  z,  peut 
être  regardé  comme  fixe.  Nous  regarderons  également  comme  fixe  le  centre  de 
gravité  de  la  masse.  Cela  ne  suffit  pas  encore  pour  notre  objet;  si  l'on  se 
bornait  là  en  effet,  on  pourrait  faire  tourner  l'ellipso'ide  de  Jacobi  d'un  angle 
quelconque  autour  de  l'axe  des  s  sans  que  l'équilibre  cesse.  Ou  aurait  donc  pour 
chaque  valeur  de  w  une  infinité  d'ellipso'ides  à  trois  axes  inégaux  qui  satisfe- 
raient à  la  question.  Afin  d'éviter  cette  circonstance,  qui  sans  pouvoir  causer 
de  véritables  difficultés,  nous  gênerait  dans  l'exposition,  nous  assujettirons 
notre  système  à  une  liaison  de  plus,  en  supposant  que  le  plan  des  xz  soit  un 
des  trois  plans  principaux  d'inertie.  11  résultera  de  cette  hypothèse  que  si  un 
ellipso'ide  à  trois  axes  inégaux  satisf;iil  à  la  f[uestion,  ses  trois  axes  d  inertie 
seront  les  trois  axes  de  coordonnées,  cl  de  plus  le  même  ellipso'ide  satisfera 
encore  à  la  question  quand  on  l'aura  fait  tourner  de  90°  autour  de  l'axe  des  z. 

Dans  ces  conditions,  voici  les  résultats  bien  connus  de  la  discussion  des 
équations  d'équilibre. 

Quand  w'-  croît  depuis  zéro  jusqu'à  47rXo,0()3,  il  y  a  quatre  ellipso'ides  qui 
satisfont  à  la  fjueslion,  à  savoir  doux  ellipsoïdes  de  révolution  et  deux 
ellipsoïdes  de  .Jacobi.  Ces  deux  derniers  ne  dilTcrenl  l'un  de  l'autre  que  par 
leur  position,  et  l'on  passe  de  l'un  à  l'autre  par  une  rotation  de  r)o°  autour  de 
l'axe  des  s. 


SUR  l'Équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation.  77 

Pour  0)2=  4^1  X  0,093,  les  deux  ellipsoïdes  de  Jacobi  se  confondeal  entre  eux 
el  avec  un  des  deux  ellipsoïdes  de  révolution  que  nous  appellerons  l'ellipsoïde  E. 

Quand  co^  croît  de  /^n  x  0,0098  à  471  X  0,112,  il  y  a  deux  ellipsoïdes  de 
révolution  qui  satisfont  à  la  question. 

Pour  co2^47'XO)'i2  les  deux  ellipsoïdes  de  révolution  se  confondent  en 
un  seul  E'. 

Pour  Cl)- >  4^^  X  o,  I  12,  il  n'y  a  plus  d'ellipsoïde  satisfaisant  à  la  question. 

Pour  parler  le  langage  des  premiers  paragraphes,  il  y  a  quatre  séries 
linéaires  de  figures  réelles  d'équilibre  depuis  w-^o,  jusqu'à  ci)'-  =  47r  X  0,09; 
il  n'y  en  a  plus  que  deux  depuis  to-  =  4^  X  0,09  jusqu'à  w-  =  ^n  x  0,0 1 1 ,  et 
il  n'y  en  a  plus  du  tout  à  partir  de  cette  dernière  valeur. 

L'ellipsoïde  E'  est  une  forme  limite  puisque,  en  faisant  croître  to-,  on  voit  les 
deux  ellipsoïdes  réels  de  révolution  se  confondre  a\ec  E'  pour  devenir  ensuite 
imaginaires. 

L'ellipsoïde  E  est  à  la  fois  une  forme  de  bifurcation,  (puisqu'il  appartient  à 
la  fois  à  la  série  des  ellipsoïdes  de  révolution  et  à  la  série  des  ellipsoïdes  de 
Jacobi  et  une  forme  limite,  (puisque,  en  faisant  croître  w-,  on  voit  les  deux 
ellipsoïdes  réels  de  Jacobi  se  confondre  avec  E  pour  devenir  ensuite 
imaginaires). 

(  )utre  les  ellipsoïdes,  on  sait  qu'il  existe  des  figures  annulaires  d'équilibre, 
dont  nous  avons  parlé  dans  le  paragraphe  V.  Nous  nous  proposons  de 
rechercher  s'il  existe  en  outre  des  séries  linéaires  de  figures  convexes  d'équi- 
libre non  ellipsoïdales.  Pour  cela  nous  chercherons  à  reconnaître  si  parmi  les 
ellipsoïdes  de  révolution  et  ceux  de  Jacobi,  il  y  a  des  formes  de  bifurcation. 

Pour  arriver  à  ce  résultat,  il  faut  calculer  les  coefficients  de  stabilité  de  ces 
ellipsoïdes  et  rechercher  dans  quels  cas  ils  s'annulent.  On  verra  plus  loin  que 
ces  coefficients  dépendent  des  fonctions  de  Lamé,  mais  nous  allons  d'abord 
rappeler  les  résultats  si  remarquables  des  travaux  de  Lamé  el  de  Liouville  au 
sujet  de  ces  fonctions. 

Nous  emploierons  dans  ce  qui  va  suivre  les  notations  de  Liouville  dans  ses 
lettres  à  Brachet  (/.  Math,  pures  et  appl.,  1™  série,  t.  11,  1846).  Rappelons 
ces  notations. 

On  donne  à  l'équation  de  l'ellipsoïde  considéré  la  forme 

^    -f-       ■/".,    -4-        /"      ,    =1  (C2>62) 

p2         pi —  0-        f- —  c- 


78  SUR  l'équilibre  d"une  masse  fluide  en  rotation. 

el  l'oii  dëlinit  la  posilioii  d'un  point  sur  cet  elli])S(jïc]e  par  les  deux  autres  coor- 
données elliptiques  p.  et  v. 

Une  fonction  de  Lame  d'ordre  n  est  une  fonction  R  de  l'une  des  quatre 
formes 

R  =  P„,         R  =  ^,y_6=p„_,,         R  =  v'f-i-c-^P,,-,,         R  =  \/{f'-b-^){f--c-^)  P„_2 

(où   P„  désigne  un  polynôme  de  degré    n  en  p)  et  satisfaisant  à  l'équation 
différentielle 

(>)  (P— 6^)(P— c=)2+(2p-^-6^-c=)p^  =[«(«+i)p-^-B]R 

(B  étant  une  constante  convenablement  choisie). 

Avant  d'aller  plus  loin,  indiquons  quelles  sont  les  diverses  formes  qu'il  peut 
être  utile  de  donnera  l'équation  (i). 

Nous  poserons 

pi  =  y/p- — 6-,         p2  =  V'p- — c- ; 
R  =  pTo=  p[Ti  =  p2T2=  p,  P2U0  =  PP2U1  =  ppi  U2. 

L'équation  peut  alors  se  mettre  sous  la  forme  générale 

(1')  (<!'-+- /"J' +  9) -^  +  (^''+ PO' ^  =(lla"--t-K)V. 

Dans  celte  équation  générale,  cr  représente  l'une  des  variables  p,  pi   ou  pa, 
et  V  l'une  des  sept  fonctions  R,  ï  ou  U.  On  a  d'ailleurs 

a  =  2,         Il  =  «(/i  +  i)  si     V  =  R; 

ï  =  4,         H  =  „(„H-,)_2         si     V  =  T; 
a  =  6,         Il  =  /i(/i-i-i)  —  2         si     V  =  U. 

D'autre  part 

/>  =  —  (6-+C-),  q  =  b'-c'-  si  <T  =  p  ; 

p  =  ib- — C-,  q  =— b-{c-— b'-)  si  'j=pi; 

p  =  2C-  —  b-,  q  =  c'-{c-^b'-)  si  a  =  po. 

Si  par  exemple  cr  =  p,  on  obtient  : 

^  =  p,  si  V  =  R, 

'^  =  p  —  le'-.  si  V  =  Ti, 

p  =  3/),  si  V  =  U. 
Enfin  on  trouve 

K=— B,  si  V  =  R,  !i  =  p; 

K=  — (B  — c2),  si  V  =  T|,  "  =  ?; 

K=-(B-9),  si  V  =  Uo,  a==p; 

K  =  — [H -+- n(/î -Hi)^2],  si  V  =  R,  1  =  pi,  


SUR  l'Équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation.  79 

Pour  achever  de  définir  la  fonction  R,  nous  supposerons 

lira  —  =  I  pour     p  =  00. 

A  chaque  fonclion  R  correspondent  deux  fonctions  M  et  N  que  l'on  obtient 
en  changeant  dans  R,  p.  y/p- —  b-  et  ^p'-  —  c-  en  p.,  ^p.- —  b-  et  y/C- —  fx-^  en 
ce  qui  concerne  M,  et  en  v,  y/6'- —  v-',  y/c- — v'-  en  ce  qui  concerne  N. 

A  chaque  fonclion  R  correspondra  en  outre  une  fonction  S  de  p  définie  par 
l'équation 

S  =  (2«  +  i)R  f ''^ 


et  satisfaisant  comme  R  à  l'équation  (i). 
Liouville  pose  de  plus 

P  h 


1  = 


P  v/(p2-6'-)(p---c-^)         v'(P'-6'^)(p--c-)         v^(p---K-)(p''— v'O 


P  est  la  distance  du  centre  de  l'ellipsoïde  au  plan  tangent. 
Liouville  trouve  ainsi  les  équations  suivantes  : 

rrl'WW  d<,y'  _  4-RSiVlN 

Dans  celle  équation  (2)  on  considère  deux  points  de  l'ellipso'ïde  ayant  pour 
coordonnées  elliptiques  p,  }!.,  v  et  p,  p.'  et  v';  M,  N  et  /  sont  les  fonctions  définies 
plus  haut  de  [x  et  de  v;  M',  N'  et  l'  sont  des  fonctions  correspondantes  de  p.'  et 
de  v';  A  est  la  distance  des  deux  points  p,  v  et  p.'',  v';  rftij'  est  un  élément  de  la 
surface  de  l'ellipso'ïde  ayant  pour  centre  le  point  p',  v'  et  l'intégrale  est  étendue 
à  tous  les  éléments  diJ  de  l'ellipso'ïde. 

Liouville  trouve  encore 
(3)  /J'/Mi\M,Nir/oj  =  o, 

où  (io)  est  un  élément  de  l'ellipsoide;  /,  M,  N,  Mi  et  N,  les  fonctions  définies 
plus  haut  des  coordonnées  p.  et  v  du  centre  de  cet  élément.  M  et  N  sont  deux 
fonctions  de  Lamé  conjuguées;  Mi  et  Nj  sont  deux  autres  fonctions  de  Lamé 
également  conjuguées,  mais  qui  doivent  être  différentes  des  premières. 

Liouville  démontre  de  plus  que  la  fonction  R  est  constamment  positive  et 
croissante  quand  p  varie  depuis    +c  jusqu'à   +00.   Pour  les  valeurs  p  =  o, 

p  =  ±6,  />=  i:c,  une  des  deux  fonctions  R  ou  -7-\/'{^'- —  b-)  (p'-'  —  c'-')  doit 
s'annuler. 


8o  SUR  l'équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation. 

Il  me  reste  à  parler  des  équations  qui  diitcrminent  la  conslanle  15. 

CKerclioas  quelle  est  la  condition  pour  que  l'équation  (i')  soit  satisfaite  par 
un  polvnome  de  degré  A,  (où  X  =  «,  si  V  =  R;  ou  n  —  i  si  V  =  T;  on  n  —  2 
siV  =  U). 

Posons  à  cet  effet 

\'  =  a^  -I-  Y i  a'~-  -H  y»  s'"''  -H  •  .  •  +  ".'x  cr^'"-"- 

Nous  prendrons  X^2/.  si  1  est  pair  et  À  =  2/.  +  i  si  A  est  impair.  Nous 
trouverons  alors  en  substituant  ce  polynôme  à  la  place  de  V  dans  l'équation  (  1') 
et  idenliliant  les  deux  membres 

<I>7,,-, -t-(/.'r—  k)-;i-\-  î 87,-1  =  o 

il>  =  (  ),  —  2  £  —  2  )  (  À  —  2  J  -t-  a  —  3  )  —  H 
(4)  {  I  [i\  ('  =  0,  I,  2,  ...,x). 

1'  =/>(>■  -  2î')  y-  -  2  j  -  n-  j-  j 

\   e  =(>.  —  2t  -t-  2)(X  —  2t  -m; 

L'équation  (4)  est  une  sorte  de  relation  de  récurrence  qui  permet  de  calculer. 
de  proche  en  proche  les  coefficients  y,  en  parlant  des  valeurs  initiales  "u^  ', 
Y_j^o.  On  trouve  ainsi  yt  sous  la  forme  d'un  pol_ynome  de  degré  i  en  A". 
Comme  on  doit  avoir  -'x*  1  ^  o,  la  valeur  de  k  (et  par  conséquent  celle  de  B)  se 
trouve  donnée  par  une  équation  algébrique  de  degré  x  +  i. 

Nous  avons  vu  plus  haut  que  la  fonction  R  peut  prendre  l'une  des  quatre 

formes 

K=I'„,         R=  v/F^^6^P,,-,, 


A  ces  quatre  formes  correspondront  quatre  équations  en  B  qui  seront  respecti- 
vement de  degré 


si  n  est  pair,  et  de  degré 


n 

n 

n 

—  t 

et 

2 

2 

2 

I  n- 

—     et     — 


si  n  est  impair,  et  (jue  j'appellerai  pour  abréger  (Ej),  (Eo),  (E;,)  et  (E..,). 
Pour  former  l'une  de  ces  quatre  équations,  on  formera  l'équation  (i')  de  façon 
que  la  fonction  V  doive  être  un  polynôme  entier  et  l'on  en  déduira  les  équa- 
tions (4)  correspondantes.  Il  est  à  remarquer  que  chacune  de  ces  quatre 
équations  peut  être  ainsi  construite  de  trois  manières   différentes.  En  ellel, 


SUR  l'Équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation.  8i 

pour  chacune  de  ces  quatre  formes  de  la  fonclionRon  peut  écrire  l'équation  (i) 
de  trois  manières  différentes,  selon  que  l'on  choisit  pour  variable  indépen- 
dante p,  Pi  ou  P2. 

Lamé  a  démontré  que  ces  quatre  équations  (E)  ont  toutes  leurs  racines 
réelles.  Liouville,  en  rappelant  ce  résultai,  ajoute  que  la  méthode  de  Sturm  y 
aurait  conduit  plus  rapidement.  Comme  il  ne  donne  pas  d'autre  détail,  il  ne 
sera  peut-être  pas  inutile  d'éclaircir  sa  pensée  par  quelques  explications. 

Si  l'on  revient  aux  équations  (4),  on  verra  que  le  coefficient  O  y  est  toujours 
négatif  et  le  coefficient  0  toujours  positif.  Si  donc  on  suppose  que  q  soit 
négatif,  les  fonctions  y,-  qui  sont,  comme  on  l'a  vu,  des  polynômes  entiers  de 
degré  /  en  B,  jouissent  de  la  propriété  caractéristique  des  fonctions  de  Slurm, 
c'est-à-dire  que,  quand  •-,  s'annule,  y,+i  et  yi'-i  sont  de  signes  contraires.  On 
voit  de  plus  que  si  le  coefficient  de  /.'  dans  yj  est  positif,  le  coefficient  de  A'*' 
dans  y,_Hi  sera  négatif  et  réciproquement.  On  peut  donc  appliquer  le  raison- 
nement de  Sturm  à  la  suite  yx+i,  yx,  •  •  •>  '{-i,  yii  yn-  Mais  on  peut  toujours 
supposer  que  q  est  négatif;  il  suffit  pour  cela  de  prendre  pi  pour  variable  indé- 
pendante. C'est  ainsi  que  la  méthode  de  Sturm  est  applicable  aux  équations  qui 
nous  occupent. 

D'ailleurs,  si  q  est  négatif,  et  si  l'on  élimine  les  y  entre  les  équations  (4)  par 
le  moyen  d'un  déterminant,  l'équation  (E)  ainsi  obtenue  aura  la  même  forme 
que  «  l'équation  en  S  »  que  l'on  rencontre  quand  on  recherche  les  axes 
principaux  d'une  surface  du  deuxième  ordre. 

Voici  une  autre  démonstration  du  même  théorème,  que  je  crois  nouvelle  et 
qui  pourra  nous  être  utile. 

Dans  le  cas  de  h-  =  c-,  on  a  ainsi  que  Liouville  l'a  montré  : 

]i  =  [n{n  ~\-  i)  —  i'^]c'         (i  =  o,  i ,  2,  .  .  .,  n), 
i 

_  _  ( p'-  —  c" )- rf'+"(p2— c')" 

~  ln{2n  —\) .  .  .{n  —  '  -(-  i  )  rt'p'+'' 

Dans  le  cas  de  b-  =  o,  on  a 

B  =  j2  c  -  (  J  =  o,    I  ,   J  ,...,«  ), 

i 

j(^  (pl-^c-y di+"{fl-\-c"-) 

iniyin  —  :)...(«  —  f-Hi)  f/p'  *-" 

Ainsi  pour  6-=  c^  les  racines  des  équations  (Ei)  et  (E,-, )  sont 

/l(/l-Hl)c-,      [«(«  -hl)  —  4]c-,      ...,     [«(«  H- i)  —  4^"-]c-  (2A-^«), 

H.  p.  —  VII.  II 


/03fc7 


82  SUR    LÉQUILIBKE    D'UNE    MASSE    FLUIDE    EN    ROTATION. 

ei  celles  des  équations  (E^)  el  (E;,  )  soûl 

( /)(« -H  O  —  i]c-.     f  n(«,  H- i)  —  i)|c- I /M  n -H  r  1  —  (■iA- -+- I  )■- |c-         (■>  /i  -h  i  -_:^  n). 

Ainsi  si  l'ou  envisage  seulement  les  équations  (Ei)  et  (E^)  par  exemple,  les 
racines  de  ces  deux  équations  seront  toutes  réelles  et  se  sépareront  mutuel- 
lement. 

Faisons  varier  b-  d'une  manière  continue  depuis  su  limite  supérieure  c- 
jusqu'à  sa  limite  inférieure  zéro.  Les  racines  des  deux  équations  (E,)  et  (Ej) 
varieront  d'une  manière  continue.  Pour  qu'elles  cessassent  d'être  toutes  réelles, 
il  faudrait  que  deux  racines  de  (Ei)  ou  deux  racines  de  (E,)  devinssent  égales. 
-Mais  pour  que  cela  fût  possible,  il  faudrail  d'abord  que  les  racines  des  deux 
équations  cessassent  de  se  séparer  mutuellement.  Pour  qu'elles  cessassent  de  se 
séparer,  il  faudrait  (|ue  l'une  des  racines  de  (E|  )  devint  égale  à  ime  des  racines 
de(Eo:). 

Or  je  dis  que  cela  est  impossible.  Soit  en  ellét  B  une  racine  que  nous 
supposons  appartenir  à  la  fois  à  (E,)  et  à  (Ej)  et  envisageons  l'écjuation  (i) 
correspondante. 

Celte  équation  admeltia  deux  intégrales,  l'une  de  la  forme  1',,,  l'autre  de  la 
forme  \/ o- ^  c-  l'/,^i.  Soient  11  el  lii  ces  deux  intégrales.  On  peut  former  uue 
équation  linéaire  du  troisième  ordre,  à  coefficients  rationnels  et  admettant  pour 
intégrales  les  cari-és  des  intégrales  de  (i).  Un  système  fondamental  d'inlégrales 
sera  R-,  RRi  et  R^.  Cette  équation  admettrait  donc  comme  intégrales  deux 
polynômes  entiers  R-  et  Pif  essentiellement  distincis. 

Mais  l'équation  (i)  admet,  oulre  l'intégrale  R,  l'intégrale  S  définie  plus  haut 

el  qui  est  telle  que 

liniSp"''  =  i  pour     i  =  x. 

L'équation  du  Iroisiéuie  ordre  dont  nous  venons  de  parler  .ulmeltra  donc 
comme  système  fondamental  d'intégrales  R-*,  RS,  S-.  Si  nous  convenons  de 
dire  qu'une  fonction  F  de  p  est  de  degré/»  en  p  si  le  rapport  de  F  à  p''  tend  vers 
une  limite  finie  quand  p  croit  indéfiniment,  il  résulle  de  ce  qui  précède  que  les 
trois  intégrales  R-'.  RS  el  S-  sont  respectivement  de  degré  2/(,  —  i  et 
—  (2/1  +  2).  Une  intégrale  quelconque  de  l'équation  du  troisième  ordre  sera 
uue  combinaison  linéaire  de  K-,  RS  et  S'-';  elle  sera  donc,  à  moins  d'être  identi- 
•juement  nulle,  de  l'un  des  trois  degrés  2 n,  — 1  et — (2/4  +  2). 

Or  R- — -RJ  qui  est  une  de  ces  intégrales,  ne  peut  être  ni  de  degré  —  1 ,  ni  de 
degré  — (2/1  +  2)  puisque  c'est  un  polynôme  entier;  ni  de  degré  2/i,  puisque 


SUR  l'Équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation.  83 

le  premier  terme  de  R-  esl  p-"  de  même  ((ue  le  premier  Icrme  de  R^,  de  sorte 
que  les  termes  de  degré  2.11  disparaissent  dans  R-  —  R^.  Il  faut  donc  que 

li^—  h;  =  o        (.11        U  =  Ki, 

ce  tjui  esl  impossible  et  contraire  aux  h\potliéses  faites  plus  Laul.  Nous  devons 
donc  conclure  que  les  racines  des  écpiations  (E,)  et  (E2)  sont  toutes  réelles  et 
se  séparent  mutuellement,  (pielle  que  soit  la  valeur  dt^  b-. 

Cela  va  nous  permettre  de  distinguer  les  unes  des  autres  les  diverses 
fonctions  R. 

Nous  écrirons  R,*,.  L'indice  supérieur  /,  sera  égal  à  1,  2,  3  ou  4  selon  que  R 
sera  de  la  forme 


P„,     ou     \  p'- — 6-P„-_i,     ou     v'p" — «-''-r',,— 1,     ou     y/(p- — 6'-,)(p-  —  c-)l'„_2. 

L'indice  n  indiquera  le  degré  de  la  fonction  R,  cnlin  l'indice  /  devra  être  choisi 
de  telle  sorte  que  R,,,-  se  réduise  à 

A  (p-  —  c-  )-  U''+"  (  p-  —  c-  )"         pour     b"  =  c-, 

A  désignant  un  coefiicient  constant  dont  on  Irouvera  plus  haut  la  valcm-,  et  le 
signe  D'^"  exprimant  qu'on  doit  elVecluer  « '+  71  dilVérentiations  par  rapport  à  p. 
On  voit  aisément  d'après  ce  qui  précède  que  la  fonction  R',f|  est  parfaitement 
déterminée.  Pour  b- ^  o  on  trouve 

Ht,V,=  A(pS-c-^f  D/+''(pi  +  c=)", 

oii  j  a  une  valeur  que  nous  allons  déterminer. 

On  voit  aisément  que  i  est  pair  si  A'  =1  ou  4  et  impair  si  A"  =^  2  ou  3;  tandis 
que  j  est  de  même  parité  que  n,  si  A  =  i  ou  2  et  de  parité  différente  si  k  =  3 
ou  4-  De  plus,  pour  une  même  valeur  de  A",  les  valeurs  dey  devront  croître 
quand  celles  de  i  décroîtront.  On  a  donc  : 

si  A'  =  I   ou  3   :     1  -t-y  =  «  ; 
si  A:  =  2  ou  \   :     i  -h  J  =  n  -+-i. 

Nous  pouvons  déduire  de  là  quelques  propriétés  des  fonctions  R.  Combien 
l'équation 

(5)  iv/;',=  o 

[où    le    preuiier  membre  est  supposé  débarrassé  du  facteur  radical  y'p- — b', 
y^p-  —  c-  et  y/(p^ —  ^^)  {p^ —  (^')'  qu'il  pourrait  contenir,  ainsi  que  du  fadeur  p 


84  SUR  l'équilibre  dune  masse  fluide  en  rotation. 

s'il  Y  1*  lii'iij  auia-l-elle  de  racines  réelles  et  conimenl  ces  racines  seront-elles 
distribuées?  Nous  prendrons  pour  inconnues  p-  et  non  pas  p.  Faisons  d'abord 
6'=c-.  Ou  verra  que  l'éiiualion  admettra  l  racines  égales  à  c-  et  n  racines 
comprises  entre  zéro  et  c'-. 

Si  nous  faisons  ensuite  b'^o,  on  verra  que  rétiualion  admelira  ï'  racines 
égales  à  zéro  et  yj'  comprises  entre  zéro  et  c-'. 

Les  valeurs  des  nombres  5,  t),  ^'  et  r/  noiis  seront  données  par  le  tableau 
suivant,  où  la  première  colonne  donne  la  valeur  de  /.',  la  seconde  le  reste  de  n 
à  2  et  les  ([iiatre  autres  les  valeurs  des  quatre  nombres  :  i — ai;,  n — i — 2/), 


/  — 2^',  n—j  —  in. 


I  .  o.  (I.  11.  (1.  o  ; 

I  .  1  .  o.  I  ,  I ,  o; 

:>..  o,  I,  I.  ■<,  ci; 

2,  I,  I,  I),  I,  o; 

3,  ".  1 ,  I .  I ,  I  ; 
,3 ,  I ,  I ,  (I ,  o .  I  ; 

4,  o,  2,  o,  I,  i; 
4,  I,  2,  1,  >,  I. 


Ce  tableau  montre  que  l'on  a  toujours 

Qu'arrive-L-il  maintenant  pour  les  valeurs  de  b-  comprises  entre  zéro  et  c^  ? 
Pour  une  pareille  valeur,  l'équation  ne  peut  avoir  de  racine  multiple,  car  si 

pour  une  certaine  valeur  de  p,  R  et  -3-  s'annulaient  à  la  fois,  le  coefficient 

/2  R 

de  —7^  dans  l'équation  (1)  devrait  être  nul  également,  ce  qui  entraînerait 

(j-  =  /;-     ou     C-. 

D'autre  part  aucune  des  racines  de  l'équation  ne  peut  être  égale  à  zéro,  à  b'^  ou 
à  C-;  car  si  l'on  forme  l'équation  déterminante  de  l'équation  (i)  pour  les 
points  p  =  ±  6,  p  =±  c,  on  trouve  que  les  racines  de  cette  équation  détermi- 
nante  sont  zéro  et  -•    D'ailleurs,   comme  on  a  supposé  qu'on  enlevait  dans 

l'équation  (5)  le  facteur  p  s'il  s'y  trouvait,  il  ne  pourrait  arriver  qu'il  y  restât 
ensuite,  que  s'il  y  entrait  au  carré  avant  qu'on  ne  l'eût  enlevé.  Or  nous  venons 
de  voir  que  cela  ne  peut  être. 

On  doit  donc  conclure  que  lorsque  b-  décroît  depuis  c-  jusqu'à  zéro, 
l'équation  (5)  aura  ci  racines  réelles  entre  zéro  et  />-  et  /)i  racines  réelles  entre 
6^  et  c^  et  que  ces  deux  nombres  ^j  et  yj,  demeureront  invariables. 


SUR    L'ÉQUILIBRE    D'UNE    MASSE    FLUIDE   EN    ROTATION.  85 

l'oiir  6-^  c-',  il  arrivera  que  les  rn  racines  comprises  entre  b-  et  c-  devien- 
dront égales  à  c-;  on  pourrait  supposer  aussi  qu'un  certain  nombre  de  racines 
d'abord  imaginaires,  ou  non  comprises  entre  6-  et  c-  tendent  aussi  vers  c- 
quand  h-  tend  vers  c-,  de  sorte  qu'on  aurii 

Quant  aux  l,  racines  comprises  entre  zéro  et  b-,  elles  resteront  comprises 
entre  zéro  et  c';  on  pourrait  supposer  toutefois  que  quelques-unes  d'entre  elles 
se  réduisent  à  r-';  on  aura  donc 

Supposons  maintenant  que  b-  tende  vers  zéro;  il  arrivera  que  les  tj  racines  et 
peut-être  d'autres  tendront  vers  zéro,  et  (pie  les  rn  racines  resteront  comprises 
entre  zéro  et  c-,  quelques-unes  d'enire  elles  pouvant  se  réduire  à  zéro.  (  )n 
aura  donc 

Mais  si  d'autre  part  un  observe  que  l'on  a 
on  verra  qu'on  doit  avoir  constamment 

'^ii  —  ;  —  ^  r  41  —  ç   =  r,. 

Il  en  résulte  que  l'équation  (5)  a  toujours  toutes  ses  racines  réelles  et  comprises 
entre  zéro  et  c-;  quant  au  nombre  de  racines  comprises  entre  zéro  et  6-,  ou 
entre  //-  et  r- .  il  est  donné  par  le  tableau  précédent. 

Si  pai'  exemple  n  est  pair,  l'équation  RJ/!=o  aura  — —  racines  comprises 

entre  zéro  et  b-  et  -  comprises  entre  6-'  et  c-  ('). 

Je  ne  veux  pas,  pour  le  moment  du  moins,  m'étendre  plus  longtemps  sur  les 
propriétés  générales  des  fonctions  de  Lamé;  je  me  bornerai  à  rappeler  les  deux 
résultats  suivants  qui  sont  bien  connus. 

En  premier  lieu,  B  est  toujours  compris  entre  zéro  et  n(n  -+-  i)c'-. 

En  second  lieu,  une  fonction  quelconque  de  y.  et  de  v,  pour  les  valeurs  de  v 
comprises  entre  zéro  et  b-  et  pour  celles  de  p.  comprises  entre  b-  et  c-,  peut 


C)  Ces  résultats  ont  clé  donnés  par  M.  Klein,  i|ui  y  a  été  conduit  par  des  considérations  un 
peu  diOrérentes. 


86  SUR    L'EQUILIBRE    DUNE   MASSE   FLUIDE   EN    ROTATION. 

luijoiirs  l'-tro  (ltWelop|)(^e  en  une  séri(>  de  la  forme  iA,M,N,,  où  A,  désigne  nii 
coeflicieul  constant,  pendant  que  M,  et  N,-  désignent  doux  fondions  de  Lamé 
conjuguées  de  fx  et  de  v. 

IX.  —  Détermination  des  coefficients  de  stabilité. 

Considérons  un  ellipsoïde  fluide  et  homogène  en  équilibre  sous  l'action  de 
l'altraclion  newtonienne  et  de  la  force  centrifuge.  Supposons  qu'il  subisse  une 
déformation  infiniment  petite,  sans  que  son  volume  change,  et  cherchons  à 
évaluer  le  travail  des  forces  qui  agissent  sur  le  corps  pendant  cette  déformation 

infiniment  petite.  Soit 

X'-  r-  :■- 


p-  p2  —  /y-  p-  —  c- 

l'ellipsoïde  envisagé  et  soient  ;j.  et  v  les  coordonnées  elliptiques  qui  définissent 
la  position  d'un  point  sur  cette  surface.  .Soit  Ç  la  distance  de  l'ellipsoïde  à  la 
surface  déformée  comptée  sur  la  normale  à  l'ellipsoïde;  soit  ^  la  résultante  de 
l'attraction  el  do  la  force  centrifuge  en  un  point  de  la  surface  de  l'ellipsoïde  à 
l'étal  d'('quilibro;  cette  résultante  est  comme  on  sait  normale  à  l'ellipsoïde. 
Soit  enfin  d'j)  un  élément  cpielconque  de  la  surface  de  l'ellipsoïde.  Pendant  la 
déformation,  une  molécule  quelcon((ue  peut  être  regardée  comme  soumise  à 
trois  forces  :  à  l'attraction  de  l'ellipsoïde  supposé  fixe,  à  l'attraction  du  bourrelet 
infinitésimal  formé  par  la  dillérencc  entre  la  surface  déformée  et  l'ellipsoïde,  el 
à  la  force  centrifuge.  Si  nous  considérons  un  point  matériel  (pelconque  de 
masse  i  et  que  nous  appelions  A  sa  distance  à  Lin  éloineut  (pielcon(|ue  dm'  de  la 
masse  de  l'ellipsoïde  et  r  sa  distance  à  l'axe  dos  j;  si  nous  posons  (') 


/"  '//ti        (')-  /■'- 


la  variation  de  V  mesurera  précisément  le  travail  des  forces  agissant  sur  ce 
point  matériel  et  ducs  à  l'attraction  de  l'elli()soïde  et  à  la  force  centrifuge,  en 
laissant  de  côté  l'attraction  du  bourrelet  dont  nous  venons  de  parler. 

Il  résulte  des  hypothèses  faites,  (pie  sur  toute  la  surface  de  l'ellipsoïde,  la 
fonction  V  a  uuo  valeur  constante  fpie  nous   appellerons  V,,.  Si  au  lieu  d'un 


(')  On  remarquera  que  je  désigne  par  w  la  vitesse  de  rotation  et  par  rfio  un  clément  île 
rcllipsoïde;  par  \i.  une  des  coordonnées  elliptiques  et  par  d[i.  un  élément  du  bourrelet.  Il  n'en 
peut  résulter  aucune  confusion,  puisr|uc  les  iliirerentielles  de  w  el  de  \i.  nVnlrcnt  p.is  rians  li' 
calcul. 


SUR    L'ÉQUILIBRE    D'UNE   MASSE    FLUIDE   EN    ROTATION.  87 

point  situe  sur  l'ellipsoïde,  nous  envisageons  un  point  M  intiniment  voisin  de 
cette  surface,  nous  abaisserons  du  point  M  sur  l'ellipsoïde  une  normale  MM'  de 
longueur  infiniment  petite  1.  La  valeur  de  la  fonction  g  au  point  M  sera  préci- 
sément aussi  la  valeur  de  la  dérivée  de  la  fonction  \,  estimée  suivant  la 
nt)rmali'.  (  )n  aura  donc  au  point  M,  en  négligeant  les  inliniinent  petits  du 
deuxième  ordre 

Quelle  est  maintenant  l'énergie  potentielle  totale  de  la  niasse  fluide  déformée  ? 

,,,.,,,,               .               ,                                           .1     rrdtndin       ,  ,     , 

L  énergie  due  a  1  attraction  seule  aura  pour  expression  -   // dm  et  dm 

étant  deux  éléments  quelconques  de  la  masse  lluide  et  A  la  dislance  de  ces  deux 

éléments.   L'énergie    due   à    la    force   centrifuge   sera    /  ~r'-dm,   r   étant    la 

distance  de  l'élément  dm  à  l'axe  des  .:.  r..e  double  de  l'énergie  potentielle  totale 
sera  donc 

y.  \\   =   // /    ft'r-i/iii. 

J'appellerai  W,,  la  valeur  de  W  dans  l'étal  d'équilibre,  c'est-à-dire  quand  la 
figure  de  la  masse  fluide  se  réduit  à  l'ellipsoïde. 

Mais  nous  devons  distinguer  parmi  les  éléments  de  la  niasse  fluide,  les 
éléments  de  l'ellipsoïde  que  j'appellerai  dm  et  dm' ,  et  les  éléments  du  bourrelet 
que  j'appellerai  rffjt  et  d[i.' .  Parmi  ces  éléments,  il  j  en  aura  de  négatifs,  puisque, 
le  volume  ne  changeant  pas  pendant  la  déformation,  on  doit  avoir 

On  a  donc 

,,,        (Tdmdni         {T  dm  du!         (T  dm  d\x         fP  du.  dii.'        T    „    ,    ,  C 

.^V^„=ffËIIll!!!^^f,y.,.dm, 

ce  fpii  peut  s'écrire 

«r         -ixr            H' dm' d\x         r    .    ,    ,  /r^'!^'^.^ 

2  W  =  2  Wo  +  2  |/   ■—-  -!-  /   to-  r-  d[x  -^  Il  , 

OU  puisque 

„         f"  dm'        (')-  r- 

on  aura 

'  dix  d'x' 


)  \N   =  o  VV„  -I-  9  I    \'  d\x  —  Il 


88  SUR  l'équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation. 

Considérons  un  élf^monl  (|uelconque  d(<i  île  la  surface  de  l'ellipsoïde.  Menons 
par  les  divers  points  de  cet  élément  des  iioriimles  à  l'ellipsoïde.  Nous  aurons 
ainsi  déterminé  une  sorte  de  cylindre  inliniiiienl  délié  et  dans  lequel  nous 
découperons  une  tranche  infiniment  mince  en  le  coupant  par  deux  plans  situés 
à  des  dislances  À  et  >.  -j-  d'i.  du  cenlie  de  l'élément  d(^  et  parallèles  au  plan  de 
cet  élément.  Si  ')■  est  compris  entre  zéro  et  i^,  la  tranche  ainsi  découpée  dans  ce 
cylindre  appartiendra  à  notre  bourrelel;  co  sera  un  de  nos  éléments  c?p.,  de 
sorte  que  nous  pourrons  écrire 

Nous  écrirons  de  même 

iNous  aurons  donc  pour  trouver  1  expression  de  VV  à  calculer  les  deux  intégrales 

'  '/À  (Al)  li'h'  </(!)' 


fvdXcho     et      jj  '■ 


Mais  ?i  étant  très  petit,  on  a  comme  on  a  vu 

ce  qui  donne  pour  la  première  intégrale 

/  Vu  dix  —  f  S  '■  "''  ^"• 

Le  premier  terme  est  nul;  le  second  peut  s'écrire 


-  \   s  "'"^  /      '■  "''■         ou  bici]         —  I  è>  v 


(fu). 


Il  reste  à  calculer  la  seconde  intégrale.  Nous  remarquerons  que  \  et  ^'  étant 
très  petits,  on  peut  considérer  A  comme  représentant  non  pas  la  distance  des 
éléments  dp.  et  rfp.',  mais  celle  des  éléments  du  et  dw  qui  en  didère  très  peu. 
A  est  alors  indépendant  de  \  et  de  /.'  et  l'on  peut  écrire 

fP  djj.  dix'  ^   jV  dM  f/oj'     ;"^^^    f^  d)'=   if  ''^"  '^"''  ''''' 

Il  reste  donc  finalement 

\v       w         ^     r     y.    I      ,     '     (rdi,idM'tX: 

w  =  w„ --js^- ''"'  +  -  jj  — ^—  ■ 

Avant  d'aller  plus  loin,  il  faut  calculer  g.  La  force  g  peut  être  décomposée 
en  trois  composantes  dirigées  suivant  les  trois  axes  des  x^  des  y  et  des  z.  La 
composante  parallèle  à  l'axe  des  x  par  exemple,  est  parallèle  à  la  coordonnée  x 
du  point  d'application.  De  mêmi'  pour  les  >\v\\\  autres  composantes. 


SUR   l'équilibre   d'une   masse    fluide   en   rotation.  fi.) 

Si  donc  on  appelle  a,  5,  y  les  cosinus  directeurs  de  la  normale  cl  A',  A',  A" 
trois  constantes,  on  aura 

gy.  =  kx,         i^H  =  k'y,         g";  =  k"  z. 
Mais  l'équation  de  l'ellipso'ide  est 


ce  qui  donne 


b-       0-  —  c- 


a  =  :î  p         B  = - p 


p  = 


/ 


On  a  donc 


S-    1 


Arp-:  _  k'(p-^—ù')  _  k"{'S^—c-) 


Si  nous  reprenons  les  notations  du  paragraphe  précédent  et  que  nous  écrivions 

/=      ,  ''      =, 

p  \/p-  —  6- )  (  p-  —  c-  ,1 

il  viendra 


K.  étant  nue  nouvelle  constante  ne  dépendant  que  de  &,  b  et  c. 

Il  reste  à  déterminer  cette  constante.  Pour  cela  il  suffit  de  calculer  l'expression 
de  ^  à  l'exlrémité  de  l'axe  des  z\  dans  ce  cas,  ^  se  réduit  à  l'atlraclion  dt^ 
l'ellipsoïde  et  peut  s'écriic 

II-  du 


4rpv/p^-6HV-'^^  / 


\  [ p-  —  c- -I-  ( c-  —  6- ) u- ]  ( p'-  —  c2  H-  c- u-  ) 
D'ailleurs  on  trouve  aisément 

1=  '  ■ 

Il  vient  donc,  par  une  transformation  simple  de  l'intégrale, 

^/  =  4-(p-— f-)  /      ,     '  '  ^=- 

La  fonction  \/p- —  c-  est  une  fonction  de  Lamé  que  nous  appellerons  R,  ;  c'est 
d'ailleurs  la  fonction  que  nous  avions  désignée  dans  le  paragraphe  précédent 
par  la  notation  plus  compliquée  :  R',",-  Nous  chercherons  à  éviter  les  triples 

H.  P.  —  VII.  12 


1)0  SUR  l'Équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation. 

indices  toutes  les  fois  qu'il  ne  seront  pas  nécessaires  et  nous  rangerons  les 
fonctions  de  Lamé  dans  un  ordre  quelconque;  nous  les  appellerons  R|, 
U.j R, Nous  poserons  donc 


Si  d'autre  part,  nous  envisageons  la  fouclion  Si  conjuguée  de  Ri,  nous  aurons 

r  '  ,11 

iîi  =  3  V  -/-  —  c-  /      .  • 

On  a  donc  à  l'extréinilé  de  l'axe  des  ;  : 

et  comme  nous  avons  vu  plus  haut  que  l;1  est  une  constante,  nous  pourrons 
conclure  que  gl  conserve  celle  valeur  sur  toute  la  surface  de  l'ellipsoïde. 

y 

Développons  maintenant  ^  qui  est  une  fonction  de  ;j.  et  de  v  en  une  série 

convergente  de  la  forme  suivante  :  2A,M,N,-,  A,  étant  des  constantes  et  M,,  >i, 
des  fonctions  de  Lamé.  Cela  est  loujonrs  possible,  comme  nous  l'avons  dit  à  la 
lin  du  paragraphe  précédent.  Nous  aurons  donc 

C  =  i;\,Mi,-.N,-, 
et  de  même 

r'=  2a,7'm;  n;. 
On  tire  de  là 

j  g  ';^  rfo)   =  2]  T"  y  é'^'  ''"'  -^'^  ^'f  -*-]^  A  ,■  A  <.      ^  gn  Ck,^  M,  N,  Mi  N;(. 

y,ç--^%/io=2^'^l'MSiy/M?!Vfrf<o-^2A(A*|;:R,S.y/MiN,MiNx^/w. 
Si  l'on  observe  que 

il  reslc 

Cg^di^i^  ^rRiS.SA;-  /"mfN,-^/a). 


ou 


ou 


SUR  l'Équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation. 
On  Iroiive  d'autre  pari 


JE4^  =  ..v.u/ 


A 
lus  Jeux  indices  i  et  A  pouvaiU  cire  égaux  ou  dillerenls.  Mais  on  a 

J  A  ~         -'n  -h-i 

On  a  donc 

.  //  A  J  ?  n  -^  1 

Si  «  esl  différent  de  A",  on  aura 

Il  reste  donc 

JJ  A  '  J         '     '  2  "  H-  I 

On  arrive  donc  fiaalement  à  l'expression  suivante  pour  VV  : 

■>  '  ,  '      \       i  ■'.  Il  -h  l  f 

n  est  bien  entendu  le  degré  de  la  lonclioii  de  Laïué  R,. 

Nous  pouvons  considérer  la  foruie  de  la  surface  déformée  comme  définie  par 
les  coefficients  A,.  Les  coefficients  de  stabilité  seront  alors 


-'"/(^-îî^)  »■.-.•■ 


Pour  qu'un  des  ellipsoïdes  puisse  être  une  forme  de  bifurcation,  il  faut  que 
l'un  de  ces  coefficients  s'annule,  c'est-à-dire  que  l'on  ait 

H,  S,  H,S,- 


3  2 «  -f-I 

pour  l'une  des  fonctions  R,. 

D'après  cela,  il  y  a  un  des  coefficients  qui  est  toujours  nul,  c'est  celui  qui 
correspond  à  j  =  i.  Cela  était  aisé  à  prévoir.  En  effet  on  peut  déplacer  l'ellip- 
soïde parallèlement  à  lui-même  et  parallèlement  à  l'axe  de  révolution  sans 
changer  l'étal  d'équilibre.  Si  l'on  imprime  ainsi  à  l'ellipsoïde  un  mouvement  de 
translation  infiniment  petit  et  parallèle  à  l'axe  des  -,  et  si  l'on  appelle  Ç  la 
distance  des  deux  ellipsoïdes  infiniment  voisins  comptée  suivant  la  normale, 
on  a  eu  négligeant  les  infiniment  |)etils  du  deuxième  ordre  : 

r=A,/M,N,. 


ç)2  SUR  l'Équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation. 

A,-  étaut  une  consliinle.  Coinnie  lo>  deux  ellipso'idos  sont  des  surfaces  d'équi- 
libre, il  faul  donc  bien  que  le  coetficicul  de  stabilité  qui  correspond  à  i -^  i 
s'annule.  \  a-t-il  des  cas  où  d'autres  coefficients  de  stabilité  s'annulent  '.'  c'est 
ce  que  nous  csaminerons  dans  les  paragraphes  suivants. 

On  peut  arriver  à  l'équation  (i)  par  une  autn;  voie  un  peu  plus  simple  et 
que  j'aurais  même  préférée  si  je  ne  me  réservais  d'e\amineiplus  loin  la  f|uestion 
de  stabilité. 

Supposons  que  l'on  ajoute  à  l'attraction  newlonienne  et  à  la  force  centrifuge 
qui  agissent  sur  la  masse  fluide,  des  forces  perturbatrices  quelconques,  mais 
très  petites.  La  masse  fluide  prendrai  alors  une  forme  d'équilibre  très  peu  difle- 
rente  de  l'eliipso'ide.  Celte  forme  sera  unique  si  aucun  des  coefficients  de 
stabilité  ne  s'annule;  elle  sera  mal  déterminée  en  général,  si  l'un  de  ces  coeffi- 
cients est  nul. 

Nous  reprendrons  les  mêmes  notations  que  plus  haut  et  nous  définirons  la 
surface  d'équilibre  déformée  par  la  valeur  de  t  que  nous  développerons  en 
série  comme  précédemment  : 

les  A,-  étant  des  coefficients  infiniment  petits  qu'il  s'agit  de  déterminer  pour 
définir  la  nouvelle  forme  d'équilibre.  Soit  comme  plus  haut  V  le  potentiel  dû 
à  l'aliraction  de  l'ellipsoïde  et  à  la  force  centrifuge,  c  le  potentiel  dû  à  l'attrac- 
tion du  biiurrelet,  i'  le  potentiel  ilTi  aux  forces  perturbatrices.  On  devra  avoir 
sur  toute  la  nouvelle  surface  d'équilibre  : 

Ca)  V -H  r -f- 1-' =  const. 

Mais  on  a,  puisque  X.  est  infiniment  petit, 

et  de  plus 

■  XI  dw 


=/^ 


A  étant  la  distance  d'un  point  quelcon(|iie  '\y\  bourrelet  au  |)()iul  envisagé  de  la 
nouvelle  surface  libre;  mais  comme  Ç  est  infiniment  petit,  on  peut  remplacer 
ces  deux  points  par  leurs  projections  sur  l'eliipso'ide.  A  est  alors  la  distance  de 
deux  points  de  l'eliipso'ide  et  l'on  a 

'■  =iu ^ 'J  — Â —  =  ' "2;    ■.»  +  ,    • 


SUR  l'Équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation.  93 

Nous  pouvons  écrire  d'ailleurs 

les  B,  t'iani  des  coefficienls  très  petits  que  l'on  peut  regarder  comme  donnés. 
L'équation  (2)  pourra  alors  s'écrire,  et  remplaçant^  et  Ç  par  leurs  valeurs, 

_  If  BiS.y  A;M,N,^-4;ry  A;R,S,M,N,  ^V B;Mil\',  =  consl. 

i  ZU  ^        ->  n  ■+-  I  .^W 

Nous  identifierons  dans  les  deux  iiiemlircs  les  coefficients  de  M,-N,  et  il  viendra 

\      .!  :>  n  -hl  / 

Ces  équations  détermineront  complètement  les  coetficieiits  A,  et  par  consé- 
quent lu  nouvelle  forme  d'équilibre,  à  moins  qu'on  n'ait 

,    ,  Kl  S,  R;Si 

C'est  donc  là  aussi  la  condition  pour  que  l'un  des  coefficienls  de  stabilité 
s'annule. 

X.  —  Discussion  de  l'équation  fondamentale. 

Nous  avons  maintenant  à  rechercher  si  l'équation 

,    ,  H, S,  l-v,S, 

(•)  -3-  -  777^^7  =  "' 

où  p-  est  rincoiinue  admet  des  racines  comprises  entre  +  lï-  et  +00. 
Parlons  d'abord  de  l'équation  plus  générale 

Ht  Si  RiS,- 


(2)  F  = 


2  m  +  1  -       r>.n-i-i 


n  et  m  étant  les  degrés  des  fonctions  R,  et  R^.  Le  premier  membre  F  tend  vers 
zéro  quand  p  croît  indéfiniment,  car  les  fonctions  R^Sa  et  R,Sj  sont  de  degré 
—  i   en  p,  comme  on  l'a  vu  dans  le  paragraphe  précédent.  Si  Ra  et  R,  con- 
tiennent en  facteur  y/p-  —  r-,  F  s'annule  encore  pour  p-  =  c^. 
On  a  d'ailleurs 

F  ^  St       1      _  Ri'  ^  __! 

R^.       R/,  ^m-hi        Kl  R,-  2/?  -t-i" 

Les  racines  de  l'équation 

F 

'"  R!=" 


94  SUR    L'ÉQUILIBRE    D'UNE    MASSE    FLUIDE    EN    ROTATION. 

qui  sont  siipéi-ieures  à  c-  soni  le>  nuMiics  que  celles  de  l'équation  (a);  en  ellel 
R*  peut  s'annuler  pour  &-'=  c-,  niais  jaumis  pour  p-  >  r-. 

Si  nous  voulons  séparer  les  racines  de  l'équalion  (3),  il  suffit  d'appliquer  le 
ihéorénic  de  RoUe  et  d'écrire  que  la  dérivée  du  premier  uicnibrc  de  (3)  est 
nulle.  On  olilieni  aiu'-i  l'é<[ualion 

d_  Si IV  y  Si  S,-  V    H"  _ 

da   (  ■>  m  -+-  I  )  Ux-         R|    rfp   (-.'n  -hi  )  H,        (-.ui  -h  i  )  H,   f/p    H'i  ~ 

-Mais  on  a,  d'après  la  définition  uicuie  des  fondions  b  : 
(/Si  —  1  ,/  S,  —  I 


rh  (2  m  -I-  I  )  Ha        k^  V  ^?-  —  ^-MP'  —  c- j  "'?  ('•  "~'>  ''"'        H  r  v/  (p-  —b-^)  (i2  —  C-) 

Il  reste  donc 


7  k; 

=  o, 


ce  qui  e.\j)rinie  que  le  rapport  —-  passe  par  un  tuaxiniuiii  ou  minimum,  car  S 
ne  peut  s'annuler. 

Nous  pouvons  donc  énoncer  le  résultai  suivant  : 

Les  racines  de  l'équalion  (a)  supérieures  à  c-,  en  laissant  de  côté  la  racine  c- 
si  elle  existe,  sont  séparées  par  les  racines  de  l'équation 


dp  R|  -  "' 
ce  qui  peut  encore  s'écrire 

(4)  h;  H*  -  H',.  H;  =  o, 

où 


u;.=  '-^-,     3=r-_±_ 


(jherclioiis  luainlcnnnt   à  séparer  les  racines  de  l'équation  (4)  elle-iiicmc. 
Pour  cela  annulons  la  dérivée  du   premier  membre  par  rapport  à  £.  11  viendra 

(  j)  H"  1{/ —  U/,  H,  =  o, 

où 

iMais  l'équation  (  i  )  du  paragraphe  VUl  peut  s'écrire 

en  ce  qui  concerne  1«,  cl 

l'i'^,  =  \  rni  m  -t-  i)p-  —  Kx  |  li/, 


SUR    L'EQUILIBRE    DUNE    MASSE    FLUIDE    EN    ROTATION.  ()5 

en  ce  qui  concerne  R/,.  L'équation  (5)  devient  ainsi,  en  supprimant  le  facteur 
lîjli/,  qui  ne  peut  s'annuler  pour  les  valeurs  supérieures  à  c-  ; 

(6)  \  n(n  -hi)  —  /«(///  -t-  i)]p-~  13,+  B/,.=  o. 

Il  est  clair  qu'une  pareille  o(jualion  no  peut  avoir  qu'une  racine  supérieure 
à  c'^.  L'équation  (4)  aura  donc  au  plus  deux  racines  égales  ou  supérieures  à  c-, 
et  l'équation  (2)  aura  au  plus  trois  racines  supérieures  à  c-  (sans  y  comprendre 
la  racine  c-  si  elle  existe,  mais  en  y  comprenant  la  racine  00  ). 

Si  l'équation  (4)  n'a  aucune  racine  supérieure  à  <■-,  le  rapport  |^  est  toujours 
croissant  ou  toujours  décroissant  quand  p'  croît  de  c-  à  l'infini. 
Supposons  par  exemple  qu'il  soit  toujours  croissant.  On  aura  alors 

7i^nj>"'         ''^'"         '7pR|<°' 

l'expression  ki  est  donc  toujours  décroissante  etcomme  elle  tend  veis  zéro  [imir 

p  =  00,  elle  doit  toujours  être  positive.  On  a  donc  F  >  o. 
Revenons  en  particulier  à  l'équation  (  1  )  et  supposons 


Kt=  K,=  v'r-- 


Supposons    d'abord   que   1'»,    contienne   ou    lacleur  yp-  —  c-,    nous    pourrons 
écrire 


'"T" 


o  étant  un  facteur  qui  pourra  être  p,  p  \' p" — ■  b-  ou  y  p-* —  b-  et  F,  étant  un 
polynôme  entier  en  p-.  L'équation  P,=:o  n'est  autre  que  l'équation  [S)  du 
paragraphe  VIII,  débarrassée  des  facteurs  que  nous  sommes  convenus  tle  lui 
enlever.    Nous    avons    vu   que    cette    équation    a   toutes  ses   racines  réelles  et 

(|u'elles  sont  comprises  entre  zéro  et  c'-.  L'équation         '    ^  o  aura  donc  aussi 

toutes  SOS  racines  réelles  et  comprises  entre  zéro  et  c'-' ;  d'où  il  résulte  ([ue,  p- 
croissant  de  r-'  à  +  00 ,  P,-  sera  constamment  croissant.  Il  en  est  de  même  de  p 

et  de  \/p^  —  b-  et  par  conséquent  de  o  et  de  7-^  =  cp  P,-.  11  en  résulte  que  si  R, 

contient  ^p^  —  c'  en  facteur,  l'équation  (i)  n'a  aucune  racine  supérieure  à  c- 
et  que  son  premier  membre  est  toujours  positif. 

Supposons  maintenant  que  R,  ne  contienne  pas  y/p^  —  c^  en  facteur.  Quand 

0  est  très  grand,  on  peut  regarder  -  comme  un  infiniment  petit  du  pi'emier 
ordre. 


gfi  SUR   L'ÉQUILIBRE   DUNE   MASSE   FLUIDE   EN   ROTATION. 

On  a  alors  en  négligeant  les  infiniment  petits  du  deuxième  ordre  : 

HiSi=R(S/=-)         d'où         — =  -\ô~- "■ 

p  i  ■.>  /;  -H  I  p   \  û         ■'  «  -H  I  / 

Le  premier  membre  de  (  i  )  est  donc   toujours  positif,  à  moins  que  n  ne  soit 
ésral  à  i . 

Pour  p-=zc-,  Ui  S|  s'annule  et  par  hypothèse  R,S;  ne  s'annule  pas;  le 
premier  membre  est  donc  négatif.  Ainsi-la  substitution  de  p-:=r'-'  et  d'une 
valeur  de  p-  |)ositive  et  très  grande  donne  des  résultais  de  signe  contraire;  le 
nombre  <lcs  racines  de  l'équation  (  i  )  supérieures  à  r-  et  finies  sera  donc 
impair. 

Ornons  avons  vu  (juc  le  nombre  des  rarines  supérieures  à  r-  étail  au  plus 
égal  à  ô.  en  y  comprenant  la  racine  p-'i=a)  ;  si  l'on  ne  tient  pas  compte  de 
cette  racine,  le  nombre  des  racines  sera  au  plus  égal  à  2;  et  comme  il  doit  être 
impair,  il  faut  qu'il  soit  égal  à  i . 

Nous  avons  laissé  de  côté  le  cas  où  /i  =  i  auquel  correspondent  deux  fonc- 
tions R/,  à  savoir 

R,.=  P,         R,=  v/p°— 6'^ 

Il  est  aisé  de  voir  que  quand  p^  croît  depuis   r-  jusqu'à  +00,    les   rapports 


et     '      vnni  toujours  en  décroissant.  On  doit  donc  conclure  que 

y?'  —  c-        v'p-  —  c- 

l'équation  (  i  )  n'a  aucune  racine  finie  et  plus  grande  que  c-,  et  que  son  premier 
membre  est  toujours  négatif. 

Voici  donc  en  résumé  quel  est  le  nombre  des  racines  de  l'équation  (  i  )  finies 
et  supérieures  à  c-  : 

R,  divisible  par  y/p- —  c-';  pas  de  racine;  premier  membre  positif; 
R,  non  divisible  par  \/p-  —  c^  ;  «  >  i  ;  une  racine; 

Ri  non  divisible  par  yp-  —  c^;  n  =  i;  pas  de  racine;  premier  membre 
négatif. 

Revenons  maintenant  au  cas  général,  et  cessons  de  supposer  que  R/=  R(  ; 
qu'arrive-t-il  alors  de  l'équation  (2)  ? 

Soit  d'abord  «  >  to,  et  supposons  que  R,  soit  divisible  par  ^p-  —  c-  et  que 
R/,  ne  le  soit  pas.  On  voit  alors  tout  do  suite  que  F  est  positif  pour  p"=  c'-  et 
pour  p^  très  grand  et  positif.  L'équation  (2)  n'a  donc  pas  de  racine  finie  et 


SUR  l'Équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation.  97 

supérieure  à  c-,  ou  bien  elle  en  a  deux.  Quant  au  rapport  jr-')  il  est  nul  pour 

p-^c'  et  infini  pourp-  =  co  ;  il  est  donc  croissant  pour  les  valeurs  de  p^  très 
peu  supérieures  à  c-  et  pour  les  valeurs  très  grandes.  Donc  dans  les  cas  où 
l'équation  (2)  a  deux  racines,  il  doit  en  être  de  même  de  l'équation  (4)  elle 

rapport  5^  doit  présenter  un  maximum  et  un  minimum. 


Supposons  maintenant  que  R/,  soit  divisible  par  y  p- —  c^  sans  que  R,  le  soit. 
Alors  pour  p- ^  c-,  on  a 

F<o; 

pour  p-  positif  et  très  grand, 

F>  o; 

il  y  a  donc  un  nombre  impair  de  racines,  et  comme  ce  nombre  ne  peut 
dépasser  2,  il  faut  qu'il  soit  égal  à  i . 

Supposons  maintenant  que  R^,  et  R/,  soient  tous  deux  divisibles  par  y/p-  —  c- 
ou  ne  le  soient  ni  l'un  ni  l'autre;  on  aura  alors  pour  p-  =  c-  : 

Il  est  possible  que  cette  même  équation  (4)  puisse  avoir  une  autre  racine  supé- 
rieure à  c'-,  mais  elle  n'en  peut  avoir  qu'une.  Pour  qu'elle  en  ait  une,  il  faut 
d'abord  que  l'équation  (6)  en  ail  une,  c'est-à-dire  que 

(7)  •  B,-— Bi>  [«(rt -Hi)  —  m(m  +  i)]c^ 

Cette  condition  est  d'ailleurs  suffisante.  Si  cette  condition  est  remplie  l'équa- 
tion (2)  pourra  avoir  une  racine.  Dans  le  cas  contraire  elle  n'en  aura  aucune. 
D'ailleurs  il  en  est  encore  de  même  si,  la  condition  (7)  n'étant  pas  remplie,  R, 
est  divisible  par  ^p- — c-  sans  que  Ra  le  soit. 

Dans  le  cas  de  71  := //i,  qu'il  nous  reste  à  examiner,  l'équation   (6)  qui  se 

réduit  à 

B,-Bi,=  o 

ne  peut  avoir  aucune  racine.  L'équation  (4)  ne  peut  donc  en  avoir  qu'une  et 
l'équation  (2)  en  aura  également  une  au  plus. 

Si  de  plus  R,  et  Pi/,  sont  tous  deux  divisibles  par  y/p-  —  c-,  ou  ne  le  sont  ni 
l'un  ni  l'autre,  le  premier  membre  de  (4)  s'annule  pour  p'-=:c-  et  ne  peut 
avoir  d'autre  racine.  L'équation  (2)  n'en  a  donc  aucune. 

Si  R,  est  divisible  par  yp-  —  c-  et  que  R*  ne  le  soit  pas,  il  peut  y  avoir  zéro 
ou  une  racine.  Il  n'y  en  a  pas  si  ~  est  plus  petit  que  i  pour  p  positif  et  très 
H.  P.  —  VII.  ,3 


98  SUR  l'équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation. 

grand.  11  v  eu  a  une  dans  le  cas  contraire;  car  alors  pour  les   valeurs   très 
grandes  de  p,  F  est  négatif,  et  pour  p'-^c-,  on  voit  aisément  que  F  est  positif. 
En  résumé  on  a 

si  rt  >  /«  :  R/  div.  R<-  non  div.  o  ou  2  racines; 

si  n  >  m  :  R,  non  div.  R^  div.  i  racine; 

si  n  >  m  :  Rj  div.  R^  div.  o  ou  i  racine; 

si  n  >  m  :  R;  non  div.  Rj  non  div.  o  ou  i  lacine; 

si  n  =  m  :  R(  div.  R^  non  div.  o  ou  i  racine; 

si  n  =  m  :  R,  non  div.  Ri  div.  o  ou  i  racine; 

si  n  =  m  :  R/  div.  R^;  div.  o  racine  ; 

si  n  =  ni  :  R/  non  div.  Rj  non  div.  o  racine. 

XL  —  Ellipsoïdes  de  révolution. 

Parmi  les  ellipsoïdes  aplatis  de  révolution  qui  sont  des  figures  d'équilibre 
de  notre  masse  fluide,  j  en  a-t-il  qui  sont  des  figures  de  bifurcation  ? 

Pour  étudier  ces  ellipsoïdes   nous   prendrons  pour  variable  indépendante 


\/e-' —  c-*  que  nous  appellerons  A"  à  l'exemple  de  Liouville  et  non  plus  p^i,  afin 
d'éviter  l'indice  2.  Nous  prendrons  c  pour  unité  de  longueur,  de  telle  sorte  que 

c-  =  I .  On  aura  alors 

i 
Rj  „=  A(A:-+ i)'-D/+"(A-+ i)",         où         (-(-y'=/i     ou     /i-ni, 

A  étant  une  constante  et  D  un  indice  de  dérivation  par  rapport  à  A". 
A  une  même  fonction 

(i)  A(A-'^-t-i)-D-'+«(A-5-+-i)" 

correspondent  en  général  deux  fonctions  de  Lamé  distinctes,  à  savoir  : 
R/'/-/',»i     et     RJ+,_y^„         si     /--(-"  est  pair 

et 

R«-/,n     et     R^+i_/^„         SI    J  -t- n  est  impair. 

A  chaque  fonction  (i)  correspondront  donc  deux  coefficients  de  stabilité  que 
j'appellerai  pour  abréger  By„  et  Cy,„.  Il  y  a  exception  quand  j  =  o.  Dans 
ce  cas  en  efTet,  à  une  fonction  (i)  ne  correspond  qu'une  seule  fonction  de 
Lamé  R,'  „  si  n  est  pair  et  R^  ^  si  n  est  impair,  et  par  conséquent  ne  correspond 
qu'un  seul  coefficient  de  stabilité. 

Quand  on  fait  croître  w  depuis  zéro  jusqu'à  une   certaine   valeur  w,,,    on 
trouve  comme  figures  d'équilibre  deux  ellipsoïdes  de  révolution  qui   se  con- 


SUR  l'Équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotatIdn.  99 

fondent  pour  w  =  W(,  et  disparaissent  pour  (•>  >  0)0.  A  chaque  valeur  de  w  <  wo 
correspondent  donc  deux  valeurs  de  k  el  il  est  aisé  de  voir  que  pour  to  =  o,  ces 
deux  valeurs  sont  A"  =  o  el  A'  =  00.  Pour  co  =  coq,  ces  deux  valeurs  se  confondent 
en  une  seule,  Ao.  11  j  a  donc  deux  séries  linéaires  ^  et  -'  de  formes  d'équilibre 
réelles,  la  série  i  comprenant  les  ellipsoïdes  tels  que  A<;A"o,  el  la  série  ^', 
les  ellipsoïdes  tels  que  A  >  Ao- 

L'ellipsoïde  A  =:  A'o  est  une  forme  limite. 

Si  l'on  fait  varier  A  depuis  zéro  jusqu'à  +  ao  ,  on  voit  l'ellipsoïde,  d'abord 
infiniment  aplati,  se  rapprocher  ensuite  indéfiniment  de  la  sphère.  En  même 
temps  w  croît  d'abord  de  zéro  à  Uq  et  décroît  ensuite  de  to„  à  zéro. 

Si  en  suivant  la  série  i  ou  la  série  i',  on  voit  un  des  coefficients  de  stabilité 
changer  de  signe,  l'ellipsoïde  correspondant  sera  une  forme  de  bifurcation. 
Les  deux  coefficients  de  stabilité  Bj^n  et  Cy,n  que  je  viens  de  définir  sont 
toujours  égaux  entre  eux.  Quelle  est  la  condition  pour  que  ces  coefficients 
s'annulent  ?  L'équation  By_n=o  n'est  autre  que  l'équation  (i)  du  paragraphe 
précédent.  D'après  la  discussion  de  ce  paragraplie,  on  voit  que  le  coefficient 
Bj^n  s'annulera  pour  une  certaine  valeur  de  A,  si  j  -+-  n  est  pair  et  si  n  est  plus 
grand  que  1,  et  ne  s'annulera  jamais  si  celte  condition  n'est  pas  remplie.  Cette 
même  discussion  montre  que  ce  coeHicient  change  de  signe  en  s'annulanl. 
Donc  l'ellipsoïde  correspondant  est  de  bifurcation. 

Ainsi  à  tout  système  de  nombres  j  et  n  tels  que 
(2)  y  = '*     (moda),         n>i 

correspond  une  valeur  de  A  qui  annule  deux  coefficients  de  stabilité  et  par 
conséquent  un  ellipsoïde  de  bifurcation. 

Il  v  a  exception  pour  le  système 

y  =  o,        n  =  2. 

L'ellipsoïde  correspondant  est  l'ellipsoïde   oj  ^  co„.   A"  =  Ao    dont   nous  avons 
parlé  plus  haut.  C'est  une  forme  limite  et  non  une  forme  de  bifurcation. 
Un  autre  système  intéressant  est  le  suivant  : 

J  =  2,         n  =  2. 

L'ellipsoïde  correspondant  est  celui  qui  appartient  à  la  fois  à  la  série  des  ellip- 
soïdes de  révolution  el  à  celle  des  ellipsoïdes  de  Jacobi. 

Soient  deux  nombres  y  el  n  quelconques,  satisfaisant  aux  conditions  (2); 
soit  Ky,„  la  valeur  de  A  qui  annule  le  coefficient  By,,,  et  iîy_„  la  valeur  de  co  cor- 
respondante. 


tOO  SUR    L  EQUILIBRE    DUNE    MASSE    FLUIDE   EN    ROTATION. 

Faisons  mainionaul 

W  =  !>/,„ -t-£, 

£  élanl  une  quantité  iufiniiuoni  petite;  à  cette  valeur  de  w  correspondront  deux 
formes  d'équilibre,  nu  ellipsoïde  de  révolution  E  et  une  figure  <!>  très  peu  diffé- 
rente. Eludions  de  plus  près  colle  lîj^ure  <I>.  Nous  définirons  cette  figure  de  la 
fitçon  suivante  :  menons  à  l'ellipsoïde  E  nue  normale  quelconque.  Nous  défi- 
nirons le  point  lie  l'ellipsoïde  qui  esl  le  pied  de  celte  normale  par  deux  coor- 
données o  et  ^;  cp  sera  l'angle  formé  par  le  plan  qui  passe  parle  point  considéré 
et  l'axe  des  z  avec  le  plan  des  xz,  et  p.  sera  la  deuxième  coordonnée  elliptique 
comprise  entre  6-  =  o  et  c-  ==  i .  Je  prendrai  sur  cette  normale  une  longueur  Ç. 
La  position  d'un  point  dans  l'espace  sera  ainsi  définie  par  les  trois  coordonnées 
Ç,  fx  (!t  ©,  et  c'est  dans  ce  système  de  coordonnées  que  je  vais  écrire  l'équation 
de  la  figure  •!•.  Au  système  de  nombres  y*  et  n  correspondent  deux  fonctions  de 
Lamé  ainsi  ([u'on  l'a  vu  : 

RI    .111   3       p.        [(•   .lU  i. 

auxquelles  il  faut  adjoindre  leurs  conjuguées  : 

/  Ml  "u  :)      pt      M-  ""  *. 
,3s  )    '"«-/,«       "^^      '"«+!-/,«' 

^    '  )  N'  "!'  ■•'     et     N-  ""  *■ 

Les  deux  fonctions  M  sont  égales  cuire  elles   et  s'obtiennent  en  remplaçant 


dans  la  fonction  R  correspondante  A'  par  \/i  —  p.-,  et  les  deux  fondions  N  sont 
égales,  l'une  à  cosjw,  l'autre  à  siny'cp. 

L'équation  de  la  figure  >b  pourra  alors  s'écrire 

Ç  =  /(A,M,N,-+- AîMîN.,) 

en  négligeant  les  infiniment   petits    du  deuxième   ordre  (s  étant  du  premier 
ordre).   Dans  cette  équation  /  a  le  même  sens  que  dans  le  paragraphe  VIII; 
Ml,  N,,  M2  et  No  sont  les  fonctions  (3);  A,  et  A.,  sont  dtiux  constantes  infini- 
ment petites  du  premier  ordre  et  dont  le  rapport  est  arbitraire. 
Posons 

A|  =  Ooos),,         A«=0.sinX, 

0  étant  une  constante  infiniment  petite  dépendante  de  £,  et  1  étant  une  constante 
arbitraire;  il  viendra,  en  remplaçant  M,,  N|,  M^  et  N-,  par  leurs  valeurs  : 

(4;  ï  =  o/cos(y?-/.)M, 

la  fonction  M  s'oblenant  comme  je  l'ai  dit  plus  haut. 


SUR  l'Équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation.  ioi 

Si  l'équation  (4)  élail,  l'équation  exacte  de  la  (igure  «I»,  celte  équation  prou- 
verait que  la  figure  «ï»  jouirait  des  symétries  suivantes  : 

1°  Si  y  :=  G,  la  figure  •&  serait  de  révolution  autour  de  l'axe  des  z. 

2°  Sij  n'est  pas  nul,  la  figure  <I>  ne  changerait  pas  quand  on  la  ferait  tourner 

autour  de  l'axe  des  z  d'un  angle  ^";  elle  admettrait  y  plans  de  sjmétrie  passant 

par  l'axe  des  -,  de  façon  que  l'angle  dièdre  de  deux  de  ces  plans  de  symétrie 

consécutifs  soit  -"-• 

y 

3°  Goinmey-l-rt  est  toujours  pair,  le  plan  des  x)'  serait  aussi  un  plan  de 
symétrie. 

4°  Enfin  si  y  est  pair,  l'axe  des  z  serait  un  axe  de  symétrie,  et  l'origine  un 
centre  de  symétrie. 

Mais  l'équation  (4)  n'est  qu'une  équation  approximative  de  la  figure  <I>.  Pour 
l'établir,  nous  avons  négligé  les  infiniment  petits  du  deuxième  ordre;  de  sorte 
qu'on  peut  se  demander  si  ces  diverses  symétries  subsisteront  encore  quand  on 
étudiera  l'équation  exacte  de  la  figure  <I>  et  qu'on  tiendra  compte  des  termes 
d'ordre  supérieur.  La  réponse  à  cette  question  doit  être  affirmative. 

Pour  s'en  assurer,  voici  quel  artifice  on  doit  employer.  Supposons  qu'on 
introduise  dans  le  système  des  liaisons  auxiliaires  et  qu'on  assujettisse  la  masse 
fluide  à  présenter  les  symétries  que  nous  venons  d'énumérer.  Je  dis  que,  même 
avec  ces  liaisons  supplémentaires,  l'ellipso'ide  qui  correspond  à  la  valeur  lS.j,n 
de  /{  et  à  la  valeur  i2y  „  de  w  sera  encore  une  forme  de  bifurcation. 

En  elTet  nous  avons  vu  au  paragraphe  IX  qu'une  surface  très  peu  différente 
de  cet  ellipsoïde  peut  être  définie  par  la  dislance  Ç  d'un  point  de  cette  surface 
à  l'ellipsoïde  (comptée  sur  la  normale  à  l'ellipsoïde)  et  que  cette  dislance  Ç 
elle-même  est  donnée  en  fonction  des  coordonnées  elliptiques  sous  la  forme 
d'une  série  convergente 

Mp  et  N/,  étant  des  fonctions  de  Lamé,  de  telle  sorte  que  la  surface  en  question 
sera  déterminée  par  la  connaissance  des  coefficients  A^.  INons  avons  vu  ensuite 
dans  le  même  paragraphe  que  l'énergie  potentielle  totale  W  pouvait  s'écrire, 
en  négligeant  les  cubes  des  coefficients  Ap  : 

(5)  W=\V„+i:A;,Bp, 

les  Bp  étant  les  coefficients  de  stabilité;  de  plus,  avons-nous  dit,   pour  que 


102  SUR  l'Équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation. 

l'ellipsoïde  soil  une  figure  de  bifurcation,  il  faut  et  il  sulTil  que  l'un  des  By, 
s'annule. 

Qu'arrive-t-il  maintenant  quand  on  introduit  des  liaisons  dans  le  système? 

Supposons  d'abord  qu'on  assujettisse  la  masse  fluide  à  être  de  révolution 
autour  de  l'axe  des  z  et  symétrique  par  rapport  au  plan  des  xy.  Comment  ces 
conditions  s'exprimeront-elles  analytiquemenl?  Elles  signifieront  que  tous  les 
coefficients  A^  sont  assujettis  à  être  nuls,  sauf  ceux  qui  correspondent  à  une 
fonction   Mp   dont    les   nombres    caractéristiques  ji    et   n,    satisfassent    à   la 

condition 

j\  =  o,        /ii==o        (mod2). 

Que  faut-il  maintenant  pour  que  l'ellipsoïde  soit  de  bifurcation  quand  on 
envisage  l'équilibre  d'une  masse  fluide  assujettie  à  ces  liaisons?  Il  suffit  que 
dans  l'expression  (5),  le  coefficient  Bp  de  l'un  des  termes  AJ^  qui  ne  sont  pas 
assujettis  à  être  nuls,  change  de  signe. 

Nous  avons  supposé  que  pour  l'ellipsoïde  k  =Ky^„,  le  coefficient  de  stabilité 
défiai  par  les  deux  nombres  y  et  n  s'annulait;  si  nous  avons 

j  =  o,        /!  =  o        (  mod  2  ) 

ce  coefficient  de  stabilité  est  un  de  ceux  qui  multiplient  un  terme  A^  non 
assujetti  par  les  liaisons  à  être  nul. 

Si  donc  on  envisage  l'équilibre  du  système  soumis  aux  liaisons  que  nous 
venons  d'énumérer,  l'ellipsoïde  A"=  K,,,,,  sera  encore  une  figure  de  bifurcation. 
Pour  la  valeur  de 

(D  =  £!„,„-)-£ 

on  aura  donc  deux  formes  d'équilibre  du  système  à  liaisons,  à  savoir  un 
ellipsoïde  et  une  figure  <!•'  très  peu  difTérente. 

La  figure  <&',  à  cause  des  liaisons  mêmes  auxquelles  elle  est  supposée  assu- 
jettie, sera  de  révolution  et  symétrique  par  rapport  au  plan  des  xy.  Mais  par 
suite  de  la  nature  même  de  ces  liaisons,  la  figure  <I>'  qui  est  en  équilibre  en 
tenant  compte  des  liaisons,  restera  en  équilibre  quand  on  les  supprimera.  Ce 
ne  peut  donc  être  que  la  figure  <!•  elle-même  qui  se  trouve  ainsi  être  de  révolu- 
tion quand  j  est  nul. 

Supposons  maintenant  que  y  ne  soit  pas  nul. 

Assujettissons  le  système  aux  liaisons  suivantes;  la  masse  devra  admettre 
pour  plans  de  symétrie  le  plan  des  xy  et  les  y  plans  : 

i  =^s-r       (A  =  o,  1,2,  ...,  J  —  1). 


SUR  l'Équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation.  io3 

Ces  conditions  Iraduiles  analytiqueinent  signifient  que  tous  les  coefficients  A,, 
sont  assujettis  à  être  nuls,  sauf  ceux  qui  correspondent  à  une  fonction  Myj  dont 
les  nombres  caractéristiques y'i  et  rii  satisfont  à  la  condition 

j\^o    (mody),        y'i -h  «isa  o    (mod2). 

De  plus  nous  avons  vu  que  parmi  les  fonctions  N,  les  unes  sont  de  la  forme 
cosy'cp  et  les  autres  de  la  forme  sinja;  les  coefficients  de  ces  dernières  seront 
tous  assujettis  à  être  nuls. 

Pour  que  l'ellipsoïde  soit  de  bifurcation  quand  on  considère  l'équilibre  d'une 
masse  soumise  à  ces  liaisons,  il  faut  et  il  suffit  qu'on  voie  s'annuler  l'un  des 
coefficients  de  stabilité  B^,  qui  multiplie  un  terme  A^  que  les  liaisons  n'assu- 
jettissent pas  à  être  nul. 

Pour  l'ellipsoïde  A'^Ky,,,  les  deux  coefficients  de  stabilité  définis  par  les 
deux  nombres  J  et  n  s'annulent  ;  or  l'un  d'entre  eux  multiplie  un  terme  A^  que 
les  liaisons  n'obligent  pas  à  s'annuler. 

Donc,  même  dans  le  système  à  liaisons,  l'ellipsoïde  Ky,„  sera  une  forme  de 
bifurcation.  Si  l'on  fait 


on  aura  deux  formes  d'équilibre  du  système  à  liaisons,  à  savoir  un  ellipsoïde  et 
une  figure  $'  très  peu  différente. 

La  figure  <b',  en  vertu  de  ses  liaisons  mêmes,  aura  y  4-  i  plans  de  symétrie. 
Mais  ces  liaisons  sont  de  telle  nature  que  l'équilibre  de  la  figure  <b'  subsistera 
quand  on  les  supprimera.  La  figure  <ï>'  n'est  donc  autre  chose  que  la  figure  $ 
elle-même  qui  doit  ainsi  avoir  y  -+-  i  plans  de  symétrie. 

Je  vais  maintenant  expliquer  pourquoi  les  liaisons,  dont  il  vient  d'être 
question,  sont  telles  que  si  une  masse  fluide  est  en  équilibre  en  tenant  compte 
de  ces  liaisons,  l'équilibre  subsistera  encore  quand  on  les  supprimera. 

Pour  simplifier  l'exposition,  je  supposerai  un  seul  plan  de  symétrie  P  qui 
pourra  être,  soit  le  plan  des  xy,  soit  un  plan  passant  par  l'axe  des  z. 

La  condition  d'équilibre  de  la  masse  fluide  supposée  libre,  c'est  que  le 
potentiel  V,  dû  à  l'action  de  toutes  les  forces  qui  agissent  sur  une  molécule  du 
fluide,  soit  constant  sur  toute  la  surface  libre. 

Si  l'on  assujettit  la  masse  fluide  à  être  symétrique  par  rapport  au  plan  P, 
cette  condition  se  trouve  un  peu  modifiée.  Soient  V  le  potentiel  en  un  point 
quelconque  de  la  surface  libre,  V  le  potentiel  en  un  autre   point   de   cette 


:o4  SUR  l'équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation. 

surface,  svmélri(]iie  ilii  premier  par  rapport  au  plan  1';  la  nouvelle  condition 

d'équilibre  sera 

V  +  V"=  consl. 

Supposons  que  cette  condition  soit  remplie  et  que  la  masse  fluide  se  trouve 
en  équilibre  sous  l'action  des  forces  extérieures  et  des  liaisons,  et  soit  par 
conséquent  symétrique  par  rapport  au  plan  P.  Si  les  forces  extérieures  se 
réduisent  à  l'attraction  et  à  la  force  centrifuge,  elles  seront  elles-mêmes  symé- 
triques par  rapport  au  plan  P  et  l'on  aura  par  conséquent  V  =  V,  d'où  l'on 
déduit  V  =  consl.  Cette  condition  montre  que  l'équilibre  subsistera  encore 
quand  on  supprimera  les  liaisons.  c.   q  f.   u. 

Il  résulte  de  cette  discussion  que  les  symétries  que  nous  avions  été  conduit 
à  attribuer  à  la  surface  <t,  en  partant  de  l'équation  (4)  qui  n'était  qu'approxi- 
mative, lui  appartiennent  rigoureusement,  même  quand  on  tient  compte  des 
termes  d'ordre  supérieur  qui  entrent  dans  son  équation  exacte. 

Nous  allons  nous  occuper  maintenant  de  démontrer  un  résultat  qui  nous 
sera  utile  dans  la  suite. 

Si  k  est  positif  et  très  grand,  l'ellipso'ide  est  très  voisin  de  la  sphère  et  tous 

les  coefficients  de  stabilité  sont  négatifs.  Si  l'on  fait  décroître  A",  il  arrivera  un 

moment  où  un  ou  deux  de  ces  coefficients  s'annuleront.  Quel  sera  le  premier 

de  ces  coefficients  qui  changera  ainsi  de  signe?  Je  dis  que  ce  sera  celui  qui 

correspond  aux  nombres 

y  =  2,        n  =  2. 

Appelons  en  effet  R2  la  fonction  de  Lamé  correspondante  et  Sn  sa  conjuguée. 
Nous  aurons 

Soit  maintenant  R,-  une  autre  fonction  de  Lamé  et  S,-  sa  conjuguée.  Nous  aurons 

/' 
R,=  \{k'--hifDJ+''{k"--hi)", 

A  étant  une  constante.    Nous  supposerons  que  j  +  n  est  pair,   sans   quoi   le 

coefficient  correspondant  à  R,-  ne  s'annulerait  jamais. 

Il  s'agit  de  démontrer  que  la  racine  Ko  2  de  l'équation 

H,  S,        R,So 
— 5-  =° 

est  plus  grande  que  la  racine  Ky,„  de  l'équation 

R.S,         R/S, 


SUR  l'Équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation.  io5 

R  S          ri  ■  S 
Pour  cela  il  suflit  de  démontrer  que  l'expression     '."''' '-^-^  csl  louiours 

positive,  ou  bien  encore  que  le  quotient  p-'  est  toujours  croissant. 

Nous  distinguerons  trois  cas. 
i"  Supposons  d'abord  y  >  I . 
Il  vient  alors 

^  =  A(A-2  +  i)  -  D/+"(A=-+-i)". 

A  est  une  constante  positive;  (A-+  i)  '  se  réduit  à  i  ou  est  toujours  croissant; 
enfin  le  dernier  facteur  DJ^"(k- -\-  \)"  est  un  polynôme  entier  en  /:  dont  tous 
les  coefficients  sont  positifs  et  est  par  conséquent  toujours  croissant. 

c.    Q.    F.    D. 

2"  Supposons  maintenanty  =o;  71  =:  2/). 
Il  vient  alors 

R,  (A-'-Hi) 

La  dérivée  logarithmique  du  premier  membre  est  doue 

D-^/'+'(k'--\-iy-r  -ik 

■'D=F(FTTp        k- -H  i  ■ 

Je  veux  démontrer  qu'elle  est  positive,  c'esl-à-dire  que 

F  =  ( A--  -H  I )  DV^+i  —  2  A-  DV'  >  o, 

où  D-/'  et  D'-'-"*'  désignent  les  dérivées  d'ordre  2/>  et2/>  +  i  de  (A-+  a)-''.  On 
trouve 

(/,2+l)V>=^^^,^yj_^^,/c^/  (y  =  o,    1,2,    ...,2/-.), 

d'où 

Von!  'yn  \ 

jL^  q\  {■!])  — q)\(}.q —  ■>p)\  ^'        ^''  ' 

Nous  écrirons  pour  abréger 

D2/'=  Zi\,ik"-i-"-P 
et  il  viendra 

F  =  (k"--\-  i)7:\^(->q  —lp)k'-l-V'-i  —  ikZk^k-'J--l'. 

Le  coefficient  de  k"-i~'-P'^^  dans  F  sera  donc 

(2g'  —  2/)—  2)A^-f-(2g'  —  2/7-f-  2)A,+i. 

Pour  que  F  soit   toujours  positif,   il   suffit  que  tous   ces   coefficients    soient 
H.  P.  —  YII.  i4 


io6  SUR  l'équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation. 

positifs,  (^r  comme  tous  les  A,,  sont  positifs,  il  ne  peut  y  avoir  de  doute  que 
si  20  —  2p  —  2  est  négatif,  c'est-à-dire  pour  q  -  p.  Le  coefficient  de  F  devient 
alors 

2A;:,+1—  2A;,. 

Si  nous  écrivons  iju'il  est  positif,  il  viendra 

A/j  +  l    >    A;, 


ou  bien 


?./)  !  (2yO  -I-  2)  !  1p\lp\ 

i  ^ 


(/)+i)!(/)-i)!2!         P'-P'- 
ou  bien  encore 

(2/>  +  2)(2y0-l-l)  l_ 

MP  +  l)  P       . 

011  enfin 

p(2p  +  l)>ï, 

ce  qui  est  évident  ;  donc  F  est  toujours  positif.  c.  q.   f.   d. 

3°  On  peut  supposer  enfin 

y  =  i,        n  =  2p-i-i. 
Il  viendra 

ou  en  désignant  simplement  par  D'^  la  /,'""'"  dérivée  de  (A--+-  i)-''"^* 

R ,  _  Kir^p+-- 

dont  la  dérivée  logarithmique  est 

DV+3  A- 


Uip+i        A-2  -I-  1  ' 

pour  qu'elle  soit  positive,  il  faut  que 

F  =(A-2-+-i)D2/'+3— /irD2/'+2  >o. 
Or  on  a 

^  '  ^  q\{2p  -^l~  q)\         ' 

d'où 

D=.- =y  A,A-.-.- =y  —, — (^p^^y-^f'- k^.,-.,,. 

jLà      '  ^Uq\{ip  -^\  —  q)\{lq  —  ip  '—■1)\ 

(q  =p  +  1,  p-\-ï,  ...,  ip  +  i). 

Il  vient  donc 

F  =  (A-=-(-  I  )i;  Ay(25r  —  ip  —  ■i)k^i-''-n-^  —  Â-SAyA-^-V'-ï. 


SUR    L'ÉQUILIBRE    DUNE    MASSE   FLUIDE    EN    ROTATION.  107 

Le  coefficient  de  /;-'i--i'-'  dans  F  sera  donc 

K,,{iq  —  ip  —  'i)  +  kri  +  i{'iq  —  2p). 

Ce  coefficient  ne  pourrait  être  négatif  que  si  l'on  avait 

2  <7  —  ?.j»  —  3  <  o, 

ce  qui  ne  peut  avoir  lieu  (jue  pour  q  ^ p  -\-  i . 
Le  coefficient  de  F  devient  alors 

Ecrivons  que  ce  coefficient  est  positif,  il  viendra 

^  (2/)  ^i)!  (-.'p  -h  2)  !       ^  (2p  H-i)!  (ip  ■+-  4)  ! 
"  (p^i)lpl  ^^(p-hiy.{p-i)\2l 


ou 


3    _^(2/>-t-3)(2/>-f-4) 


p  p-^'^ 

ou 

/)(2/>  +  3)(2/)-)-4)  —  3(/?-l-2)>0 

ou 

4/)-|-+-i4/-2+9/)  — 6>o, 

inégalité  qui  est  vérifiée  même  pour  y?  =  i. 

Donc  F  est  encore  positif.  c.   q.   f.   d. 

Nous  devons  conclure  de  cette  discussion  que  si  l'on  fait  décroître  k  depuis 
+  00  jusqu'à  zéro,  de  façon  que  l'ellipsoïde  d'abord  très  voisin  d'une  sphère 
s'aplatisse  de  plus  en  plus,  on  rencontrera  une  infinité  d'ellipsoïdes  qui  appar- 
tiendront à  d'autres  séries  linéaires  de  figures  d'équilibre.  Le  premier  que  l'on 
rencontrera  ainsi  sera  celui  qui  appartient  à  la  série  des  ellipsoïdes  de  Jacobi 
et  qui  correspond  au  cas  dey  =  /t  =  2, 

Xn.  —  Ellipsoïdes  de  Jacobi. 

Nous  allons  rechercher  maintenant  si  parmi  les  ellipsoïdes  de  Jacobi  il  y  a 
des  formes  d'équilibre  de  bifurcation. 

Nous  poserons  comme  dans  le  paragraphe  précédent 

p-  =  k'-h  c-,  c-  =  l 

et  nous  ferons  varier  b-  depuis  zéro  jusqu'à  c-=  i . 

A  chaque  valeur  de  b-  correspondra  une  valeur  de  k,  que  j'appellerai  H  et 


lojj  si'R  l'Équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation. 

qui   sera  telle  que  l'ellipsoïde  dont  les  axes  sont  /»,  y/A'-+c-  —  b-  el  y/A- + 
soit  un  ellipso'ide  de  Jacobi. 

^^)yous  quelle  relation  lie  b'  à  II. 

Parmi  les  fonctions  de  Laine  du  deuxième  ordre,   je  citerai  la  suivante 


py,''p'-  —  6'-.  Nous  l'appellerons  R3;  eu  ell'et  si  l'on  l'ait  6-'=o,  elle  se  réduit 
à  A"-H-i  ;  c'est  donc  bien  une  des  deux  fonctions  que  nous  avons  appelées  R» 
dans  le  paragraphe  précédent  el  qui  se  réduisaient  toutes  deux  à  A-+  1  pour 
6*:=o;  nous  réserverons  la  notation  Rj  à  la  seule  fonction  p\p" — 6",  à 
laquelle  correspondront  une  fonction  So  et  deux  fonctions 
Mo  =  ;ji  v/jA-i— 6^,         N.;  =  V  \,lb-—  V-. 

Si  l'on  fait  tourner  l'ellipso'ide  E  d'un  angle  infiniment  petit  autour  de  l'axe 
des  z,  de  façon  à  lui  faire  occuper  la  position  E';  puis  que  Ion  ai)pelle  Ç  la 
distance  des  deux  ellipso'ides  E  et  E'  comptée  normalement  à  l'un  d'eux,  on 
trouvera  aisément 

Ao  étant  une  constante  inlinimeut  petite. 

Mais  si  l'ellipso'ide  E  est  un  ellipso'ide  de  Jacobi,  son  équilibre  sera  indif- 
férent et  ne  sera  pas  altéré  quand  on  fera  tourner  la  figure  d'un  angle 
quelconque  autour  de  l'axe  des  z.  L'équilibre  subsistera  quand  on  fera  varier  Ao 
d'une  manière  quelconque.  Donc  le  coefficient  de  stabilité  correspondant  devra 
être  nul,  c'est-à-dire  que  l'on  devra  avoir 

P.,  S,       R,S, 

Telle  est  l'équation  qui  lie  H  à  b-  et  qui  exprime  que  l'ellipsoïde  E  est  un 
ellipsoïde  de  Jacobi. 

Cela  montre  qu'à  chaque  valeur  de  b-  correspond  une  valeur  de  II  et  une 
seule.  Lorsque  b-  tend  vers  c-,  cette  valeur  de  H  tend  vers  zéro.  On  sait  en 
effet  que  quand  oj  tend  vers  zéro,  le  rapport  du  petit  axe  au  mojcn,  dans 
l'ellipsoïde  de  Jacobi,  tend  vers  l'unité  et  que  le  rapport  du  petit  axe  au  grand 
tend  vers  zéro. 

l'our  qu'un  ellips(jïde  de  Jacobi  soit  de  bifurcation,  il  faut  qu'un  autre  de  ses 

coefficients  de  stabilité  s'annule,  ce  qui  exige  que  l'on  ait 

R,S,       R2S2         R,S, 
(2)  — - — = — i^ —  = ) 

n  étant  l'ordre  de  la  fonction  R,. 


SUR   L'EQUILIBRE   D'UNE   MASSE   FLUIDE    EN    ROTATION.  I09 

L'équation 

(3)  5:ili__ML  =  o 

^    '  i  in  -h  1 

aura  une  racine  que  j'appellerai  K,,  pourvu  que  R,  ne  soit  pas  divisible  par 

y/p- — c'\ 

Les  équations  (2)  se  réduiront  donc  à  H  =  K,.  Pour  6-=o,  on  revient  au 
cas  du  paragraphe  précédent,  et  l'on  a  vu  à  la  fin  de  ce  paragraphe  que  H>K,-, 
car  la  plus  grande  des  valeurs  de  k  pour  lesquelles  un  coefficient  de  stabilité 
s'annulait  était  précisément  Ko, 2  c'est-à-dire  H. 

Voyons  maintenant  ce  qui  se  passe  pour  ^-  :=  c-  =  i . 

'1  ■ 
La  fonction  R;  se  réduit  à  A(p'- —  i)-D'^"^"(p- — i)",  h  élanl  un  entier  plus 

petit  que  n.  En  particulier  Rj  se  réduit  à  (p- — i)'.  Il  résulte  de  là  que  si  h 
n'est  pas  nul,  l'équation  (3)  est  satisfaite  pour  p- z=  i .  Par  conséquent  pour 
b- =z  c-,  K;  devient  nul  el  égal  à  H. 

Au  contraire  si  /(  =  o,  R,-  se  réduit  à  AD"(p- — i)"  et  R,  est  positif  et  par 
conséquent  plus  grand  que  H. 

Si  donc  h  est  nul,  l'équation  H  =  K;  est  satisfaite  au  moins  une  fois,  el 
certainement  un  nombre  impair  de  fois. 

Nous  pouvons  discuter  également  l'équation 

,,,  n,s,        R,S,- 

(4)  —- =  o. 

0  2/1-1-1 

Nous  devons  rechercher  d'abord  dans  quels  cas  le  rapport  ^  est  toujours 

croissant. 

Si  nous  laissons  de  côté  comme  il  convient  les  fonctions  Pi,  divisibles  par 
y/p^ — c-,  la  fonction  R,  peut  afTecter  quatre  formes  différentes,  à  savoir 

^i=  (p-—«i)(p'—  «2)- ••(?=—='/>), 

si  /i  =  2p,  et 

R/=  p(?-— «i)(p-  —  «2  )■■•(?-— a/,), 


R;=  v/p^-^^(p^-3;,)(f5-ao)...(p^-ï;,) 

si  n  =  ip  -\-  I .  Les  a  sont  des  quantités  positives  comprises  entre  zéro  et  c-  el 
que  je  suppose  rangées  dans  l'ordre  décroissant. 

Tous  les  a  étant  plus  petits  que  c-,  tous  les  facteurs  p- —  a  seront  croissants 
quand  p-  croîtra  de  c-  à  +00.  De  même  tous  les  a.  élanl  positifs,  le  rapport 


no  SUR   L'ÉQUILIBRE   D'UNE   MASSE   FLUIDE  EN   ROTATION. 

sera  conslammenl  croissant.  Enfin  le  rupporl  spra  croissant  si  a 

est  plus  grand  que  b-. 

Dans  les  quatre  cas  possibles,  nous  pourrons  écrire 

H/  p-—  «1      p-—  «2  ,    .,  ,        ,    „  . 

o 

p;  =(p-  — «^(p'— «i)--  ■i?-—^p-i)> 

R,-  p-  —  «1    ,  „  >       ,   „  s 

R-  =  -7^^=(P — «O-'-Cp-— «/-). 
\  ?'  —  " 

R ,■        p-— g  1      „  V      /   „  V 

j^_  =  -^-(p— ='0..-(p— V)- 

Tous  ces  facteurs  seront  croissants  si  a^  est  plus  grand  que  6-,  ou  bien  encore 

si  R,  est  divisible  par  y/p- —  b-.  Dans  ces  deux  cas  le  rapport  ^  sera  toujours 
croissant. 

11  suit  de  là  que  l'équalion  (4)  ne  pourra  avoir  de  racine  que  si  R,  n'est 

pas  divisible  par  yp- — b-  et  a  tous  ses  zéros  inférieurs  à  b-.  Les  seules  fonc- 
tions R,- qui  satisfassent  à  ces  conditions,  sont  celles  que  nous  avons  représentées 
par  la  notation  RJ  „  et  qui  pour  b- =  c-=  i  se  réduisent  à  AD"(p- —  i)".  Les 
équations  (2)  ne  peuvent  donc  être  satisfaites  si  R/  n'est  pas  égala  RJ,  „,  et 
si  R,=  RJ  „,  nous  avons  vu  qu'elle  peuvent  toujours  l'être. 

Il  resterait  à  établir  qu'elles  ne  peuvent  l'être  que  d'une  seule  manière. 

Bien  que  diverses  raisons  me  fassent  penser  qu'il  en  est  probablement  ainsi, 
je  n'ai  pu  encore  le  démontrer  rigoureusement.  Il  y  aurait  surtout  intérêt  à 
établir  cette  proposition  en  ce  qui  concerne  In  plus  simple  de  toutes  les  fonc- 
tions RJ  „,  c'est-à-dire  en  ce  qui  concerne 


jp[ôf-—2{b'--hc°-)-h  \/ib'  —  yO-c--h  4c»]. 


Il  faudrait  pour  cela  des  calculs  qui  seraient  sans  doute  fort  longs,  mais  qui  ne 
seraient  pas  inextricables. 

Soit  Cn  le  coefficient  de  stabilité  qui  s'annule  quand  les  équations 

R.S,  ^  RîS^  ^  Ri,nSi,„ 
3  5  J  n  -H  I 

sont  satisfaites. 

Supposons    que  b-   croisse    depuis  zéro  jusqu'à    i  ;    nous  verrons    tous   les 
coefficients  €„  s'annuler  successivement. 


SUR  l'Équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation.  m 

On  peut  se  demander  quel  est  celui  qui  s'annule  le  premier.  Je  vais  démontrer 
que  c'est  Gj. 

Il  suffira  pour  montrer  qu'il  en  est  ainsi,  d'établir  que  le  rapport  rj^ (où  n>/)) 
est  toujours  croissant  quand  p-  croît  de  c-  à  l'infini. 

On  le  vérifie  aisément  quand  b'-^  o  et  quand  6-  =  c'-. 

Supposons  maintenant  que  b-  soit  quelconque.  Soient  B,i  et  B^  les  valeurs 

R' 
de  B  qui  correspondent  aux  fonctions  RJ^  et  RJ,,,.  Pour  que  le  rapport— -f^  ne 

fût  pas  constamment  croissant,  il  faudrait,  comme  on  l'a  vu  au  paragraphe  X, 
que  l'équation  en  p- 

<];  =  [/!(«  -h  I) -/)(/)+ I)]?'- (B„- B^)  =  o 

eût  une  racine  supérieure  ù  c-.  Je  dis  que  cela  est  impossible. 
En  eflel  l'expression  suivante  : 

s'annule  pour  p-  :=  b-  et  pour  p-  =  c-  ;  car  ces  valeurs  annulent  à  la  fois       °'" 

et^. 
de. 

Il  faut  donc  que  dans  l'intervalle  compris  entre  b-  et  c-,  l'expression 

„  t       "''^o.n  _  n  1       '(-^l,p    _  ,1,  r.  I       RI 
Oi/^        -7--'  "^O.n        ~T7%        —  V*'u,«''o,/; 

s'annule  au  moins  une  fois.  Or  RJ  „  et  RJ  ne  peuvent  s'annuler  puisque  tous 
leurs  zéros  sont  inférieurs  à  b- .  Donc  4'  devra  s'annuler  pour  une  valeur  de  p- 
comprise  entre  6-  et  c-;  cette  expression,  qui  est  du  premier  degré  en  p-  nu 
pourra  donc  pas  s'annuler  pour  une  valeur  p-  plus  grande  que  c-. 

c.    Q.    F.    D. 

JNous  devons  donc  conclure  que  C;,  est  le  premier  coefficient  qui  s'annule. 

Les  ellipsoïdes  de  Jacobi  pour  lesquels  un  des  coefficients  Cn  s'annule  sont 
des  ellipsoïdes  de  bifurcation.  A  chacun  de  ces  coefficients  correspond  donc 
une  nouvelle  série  linéaire  de  formes  d'équilibre.  Que  savons-nous  sur  les 
figures  qui  font  partie  de  ces  différentes  séries  linéaires? 

Soit  (On  la  valeur  de  la  vitesse  angulaire  pour  laquelle  le  coefficient  G» 
s'annule;  soit  t  une  quantité  infiniment  petite.  Pour  la  vitesse  angulaire  co„  +  £, 
il  y  aura  deux  figures  d'équilibre  possibles,  à  savoir  un  ellipsoïde  et  une 
surface  S  qui  en  diffère  infiniment  peu  et  qui  a  pour  équation 

(5)  ^  =  8/mi,,n;,,. 


112  SUR  l'Équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation. 

Dans  celle  équation,  Ç,  0  et  /  ont  la  même  signification  que  dans  le  paragra])lie 
précédent,  et  MJ  „,  N^^  sont  les  fonctions  conjuguées  de  ,RJ  „.  La  fonc- 
tion M^  „  ne  contient  en  facteur  ni  \/c-  —  p.-  ni  \/p-- — 6-';  de  même  la  fonc- 
tion NJ  „  ne  contient  en  facteur  ni  y/c'-'  —  v-  ni  y/6-  —  v-.  Donc  Ç  ne  change  pas 
quand  un  de  ces  quatre  radicaux  change  de  signe,  c'est-à-dire  quand  y  se 
change  en  • —  i',  ou  bien  z  en  —  z. 

Gela  veut  dire  que  les  plans  des  xz  et  des  xj  sont  des  plans  de  symétrie  de 
la  surface  S. 

Si  maintenant  n  est  pair,  MJ  „,  NJ  „,  et  par  conséquent  Ç  ne  changent  pas 
quand  on  change  fj.  en  — p.  ou  v  en  — v;  cela  revient  à  dire  que  Ç  ne  change  pas 
quand  on  change  a;  en  —  ar  ou  que  la  surface  S  est  symétrique  par  rapport  au 
plan  des_)'^. 

Cette  symétrie  n'a  pas  lieu  si  n  est  impair;  Ç  se  change  alors  en  —  Ç  quand  a; 
se  change  en  —  .r. 

Ainsi  la  surface  S  admet,  si  n  est  pair,  les  mêmes  plans  de  symétrie  que 
l'ellipsoïde  dont  elle  dérive,  et  si  n  est  impair,  elle  n'est  symétrique  que  par 
rapport  aux  plans  qui  sont  perpendiculaires  au  petit  axe  et  à  l'axe  moyen.  Dans 
tous  les  cas,  elle  est  symétrique  par  rapport  au  grand  axe. 

Ce  grand  axe  n'est  pas  l'axe  de  rotation  et  si  n  est  impair,  la  surface  S  n'est 
pas  symétrique  par  rapport  à  l'axe  de  rotation.  Il  est  vrai  que  l'équation  (5) 
sur  laquelle  nous  venons  de  nous  appuyer  pour  établir  ces  résultats  n'est 
qu'approximative  et  qu'on  y  a  négligé  les  quantités  de  l'ordre  do  0'-'.  Mais  on 
montrerait  par  un  raisonnement,  de  tout  point  semblable  à  celui  du  paragraphe 
précédent,  que  les  symétries  auxquelles  nous  conduit  l'équation  approxima- 
tive (5)  subsisteraient  encore  si  on  la  remplaçait  par  l'équation  exacte  de  la 
surface  S. 

Cette  surface  a  donc  rigoureusement  deux  plans  de  symétrie  si  n  est  impair, 
et  trois  si  n  est  pair. 

Parmi  les  surfaces  S,  nous  distinguerons  la  surface  ij  qui  correspond  au 
coefficient  de  stabilité  C3.  Quelle  est  son  intersection  avec  l'ellipsoïde  dont  elle 
dérive?  Pour  avoir  celte  courbe,  il  suffit  d'écrire  que  Ç  esl  nul,  ou  que 

Ml,,  =  o,        NJ_,  =  o, 
ce  qui  donne 

/  =  o,  ■/  =  +  !/ 


j,^„_         ..  _-^.,  c-)-  s/46'-7  6--^c--^-i-4c\ 


SUR  l'Équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation.  ii3 

Celle  inlerseclion  se  compose  donc  de  l'ellipse  principale,  section  de  l'ellipsoïde 
par  le  plan  des  yz,  el  de  deux  lignes  de  courbure  de  cet  ellipsoïde. 
Cela  n'est  vrai,  bien  entendu,  qu'approximativement  et  en  négligeant  le  carré 
de  0. 

La  figure  représente  en  projection  sur  l'un  des  deux  plans  de  symétrie  la 
surface  -j  et  l'ellipsoïde  dont  elle  dérive. 

Le  contour  apparent  de  l'ellipsoïde  est  représenté  en  trait  pointillé,  le  contour 
apparent  de  i.i  el  l'interseclion  des  deux  surfaces  en  trait  plein.  On  a  couvert 
de  hachures  la  portion  de  la  surface  ^3  qui  est  vue  à  travers  l'ellipsoïde. 


Fig.   I. 


On  voit  d'après  cette  figure  comment  on  passe  de  l'ellipsoïde  de  Jacobi  à  la 
surface  2a-  La  plus  grande  portion  de  la  matière  semble  se  rapprocher  de  la 
forme  sphérique,  tandis  que  la  plus  petite  portion  de  celte  même  matière  sort 
de  l'ellipsoïde  par  l'cxlrémilé  du  grand  axe,  comme  si  elle  voulait  se  séparer  de 
la  masse  principale.  Qu'on  me  pardonne  d'employer  un  langage  aussi  dépourvu 
de  précision  mathématique. 

XI IL  —  Petits  mouvements  d'un  ellipsoïde. 

Imaginons  d'abord  une  masse  fluide  homogène  rapportée  à  des  axes  fixes;  et 
supposons  que  ses  molécules  s'attirent  suivant  la  loi  de  Newton  el  que  chacune 
d'elles  soit  soumise  en  outre  à  une  force  dont  les  composantes  suivant  les  trois 
axes  soient  ocx,  j3  y  et  y^.  Les  coefficients  a,  (3  et  y  devront  être  choisis  de  telle 
sorte  que  la  masse  soit  en  équilibre  absolu  sous  la  forme  de  l'ellipsoïde 


c-i—b-^ 


Supposons  maintenant  que  la  masse  soit  dérangée  de  cette  position  d'équilibre, 
H.  P.  —  VII.  i5 


Il4  SUR    L'ÉQUILIBRE    D'UNE    MASSE    FLUIDE    EN    ROTATION. 

de  telle  façon  t\\\ù  les  coordonnées  de  la  molécule  {x,  y,  z)  deviennent  x-\-Sx, 
y -h  oy,  z  -+-  oz.  Nous  imaginerons  que  ôx,  ô}',  ô;  sont  tels  que 

àx  d.f  -h  5  y  cl  Y  -h  oz  t/z  =  (/a 

soit  une  dillérenlielle  exacte  el  que 

.^  </o  .,  dm  ,  (/ta 

OX  —   ~-,  0)-  =   -p-)  ÙZ  =    ^'   ■ 

dx  '         dy  ilz 

Pour  l'équation  de  continuité,  nous  devons  avoir 

d-  o        d'-z>        d-  5 
dx-        d}-        dz- 

de  sorte  que  nous  pourrons  écrire 

les  E  étant  divers  coefficients  constants  et  R,  M,  N  étant  les  fonctions  de  Lame. 
Les  composantes  de  la  vilesse  de  la  molécule  (x,  }',  z)  sont 

d-  o                        d-  zi                         d-  o 
"  — —  -  p  =  -; — —  1  w  =  —  - 


dxdt'  dydl  dzdt 

La  demi-force  vive  T  aura  alors  pour  expression 

-    (   (  H  -  -I-  r-  -(-  II'-  )  dx  dy  dz, 

l'intégrale  étant  étendue  à  tous  les  éléments  du  volume  de  l'ellipsoïde.  Mais  en 
vertu  du  tiiéorème  de  Green,  celte  intégrale  peut  (5lre  remplacée  par  la  sui- 
vante : 

-    /    -^  (u  dy  dz  -H  V  dx  dz  ■+-  iv  dx  dy  ) 
■}.  J    dl 

en  tenant  compte  de  l'équation  de  continuité,  ou  bien  encore 

Ijdl    dt  du 

Dans  cette  expression  d'ii  désigne  un  élément  quelconque  de  la  superficie  de 

l'ellipsoïde  et  —, — ^dn  est  l'accroissement  de  la  fonction  -i^  quand  le  point  cor- 
'  lit  dn  dt    '  ' 

respondanl  subit  un  déplacement  dn  dans  une  direction  normale  à  l'ellipsoïde. 

Cherchons  à  évaluer  -; — 7--  Nous  trouverons 
dt  du 

d-i      V '/E  ,.,,.,  d-o        x:' '/E  ,.,, '/li  dp 

-7-  =  >     ,  liMN         et         -r^  =  >  -^  MN  -; r-- 

dt        ^U  dt  lit  dn       ^  dt  r/p    dn 


SUR  l'Équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation. 


Or  on  a 


dti 


=  / v/(  ?■-- 6- j(p-^ -'•••'), 


l  ayant  la  même  signification  que  dans  les  paragraphes  précédents. 
On  en  conclut 

la  fonction  de  Lamé  Mi  pouvant  être  identi(jue  on  non  identique  à  la  fonction  M 
et  la  sommation  indiquée  par  le  signe  —  s'étendant  à  tous  les  systèmes  de  fonc- 
tions de  Lamé  M  et  Mi. 

Mais  si  l'on  tient  compte  de  l'équation 

r/MNiM,N,r/(o  =  o         (M>M,), 
il  viendra  simplement 

Soit  inainlenant  U  l'énergie  potentielle  de  la  masse  fluide  dans  une  position 
quelconque  et  Uo  la  valeur  de  celte  énergie  dans  la  position  d'équilibre.  Nous 
avons  vu  au  paragraphe  IX  que  l'on  a 


U  =  Uu -  ■).  -1  A-  /  A' /  -  ^  '^^     \  f  l  U^  N2 


Ao. 


Ici  n  désigne  Tordre  de  la  fonction  1\,  g  est  la  force  normale  qui  agit  en  un 
point  quelconque  de  la  surface  de  l'ellipsoïde.  Enfin  on  suppose  que  le  dépla- 
cement d'une  molécule  quelconque  de  cette  surface,  estimé  normalement  à 
l'ellipsoïde  a  pour  expression  — A/MN.  Dans  le  cas  qui  nous  occupe,  ce  dépla- 

,       ,   .    </s  . 

cernent  est  égal  u  V  ou  a 

"^  lin 


d'où 


et 


</R 


"^  =  ^77^  v'Cf-^ -'!'■' )(?—'■■') 


de,-  '  \  'in  -i-  \  /  J 


Les  équations  du  mouvement  seront 


(/T 


■'vm\  ■" 


ii6  SUR  l'équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation. 

ce  qui  donne 


(0 


giR=-4:rÇ^v'(P=-*^)(P'^-«'-)(o-' 


•.>  n  -+-  I 


Celte  O(|u;ition  inonlre,  ce  que  nous  savions  déjà,   que  l'équilibre  est   stable 

pourvu  que  tous  les  coefficients  ^Z —  ; soient  positifs,  et  elle  nous  apprend 

en  même  leaips  à  calculer  les  périodes  des  oscillations  inlininienl  petites  de 
notre  masse  lluide. 

Avant  d'aller  plus  loin,  nous  allons  calculer  en  restant  dans  l'hjpollièse  pri'- 
cédenle  le  moment  de  la  quantité  de  mouvement  par  rapport,  à   l'axe  des  ;. 
Nous  représenterons  ce  moment  par  la  lettre  DTi. 
Nous  aurons 

où 

■'"'■  '  =  /  (  '■  -T^,  —  •^'  ~r-^,  )  "'■^  ''.►'  ^''"' 

J     \      dx  dt  dy  dl  I 

.m«=  /      V   -!-^ r   -T-T  \dxdydz. 

J    \  dy  dx  dt        dx  dy  dt  j 

Le  premier  terme  JRi  peut  se  calculer  immédiatement.  Le  théorème  de  Green 

donne  en  effet 

/d^ 
-'  dw (  )-  cos a  —  X  cos  [ii ), 

d(jô  désignant  toujours  un  élément  de  la  surface  de  l'ellipsoïde,  et  cosa,  cos[3, 
cosy  étant  les  cosinus  directeurs  de  la  normale. 

On  trouve  alors 

r  cosa:  —  .-koosIj  =  A71VI»l\o, 

où  Mj  el  N.j  désignent  comme  dans  le  paragraphe  précédent  deux  fonctions  de 
Lamé  conjuguées  :  p-yy-'' —  b'^  et  v  yb-  —  v-  et  k  un  coefficient  dépendant  seu- 
lement de  p  et  égal  à  —  c  y/c- —  b-  y/p-  —  c-. 

Si  l'on  appelle  ^2  le  coefficient  de  R^M-jN^  dans  l'expression  de  co,  il  reste 
simplement 

DM,=—k^  R»  r;MSN:î  dM. 
dt       J  ■     - 


Calculons  maintenant.  Jll.j  ;  le  théorème  de  Green  nous  donnera  encore 

,,,  1'  dz>         1  c/o  c/9  \ 

.IR.,  =   /    -r^  dw     -r  cosa ^  cos  [i  ). 

'      J    dt         \dy  dx        '  / 


SUR    L  EQUILIBRE    D  UNE    MASSE    FLUIDE    EN    ROTATION. 


Nous  allons  nous  occuper  de  calculer  le  facteur 

^       dzi  da       ,^ 

F  =    -r^    COS  a 7^    COS  iJ. 

dv  dx 

Nous  remarquerons  pour  cela  que  si  l'on  pose  avec  Liouville 

P  =  /p  s/p-—b'  \Jf—c-, 
on  a 

P  X  V  Y  V  z 

COS  ï  =    — —  1  COS  fj  =    -;; ^—r^  )  COS  Y    =    — 


- —  0-  p —  c- 

ce  qui  donne 


■dv 


v/p°-  —  62  «'•z^ 


Nous  pouvons  encore  exprimer  F  d'une  autre  manière.  Donnons  à  x,  y  et  ^ 
des  accroissements 


X 


OX  =  —  os ■ r-)  oy=os--i  ÙZ  =  o, 

p-— 6-  •  p- 


il  en  résultera  pour  la  fonction  tp  un  accroissement  ôtp  et  l'on  aura 


F  =  Ip  \/{o--b-){(,-^—c-)^- 

11  importe  de  remarquer  que  si  le  point  (x,  y,  z)  est  sur  l'ellipsoïde,  il  en  est 
de  même  du  point  infiniment  voisin  [x-\-èx,  y  -\- oy,  z  4-  oz). 

Nous  allons  maintenant  utiliser  une  remarque  de  Liouville,  grâce  à  laquelle 
les  fonctions  de  Lamé  peuvent  être  ramenées  aux  fonctions  sphériques. 

Soit  9  =  RMN  le  produit  de  trois  fonctions  de  Lamé  conjuguées  d'ordre  n. 
Changeons  de  variables  en  posant 

X=-,  Y  =        ■'''  Z  = 


P  ^p-^-6=  vp'-c- 

Si  le  point  (j-,  )•,  :;)  se  trouve  sur  l'ellipsoïde 


X- 


p-        p- —  b-        p-  —  c-         ' 
le  point  correspondant  (X,  Y,  Z)  se  trouvera  sur  la  sphère 

et  pour  tous  les  points  de  cette  sphère,  la  fonction  cp  sera  égale  à  une  constante 
multipliée  par  une  fonclion  sphérique  de  degré  n.  Nous  pourrons  écrire  cp  =;=  t<i^, 
<\i  étant  un  poljnome  homogène  de  degré  n  en  X,  Y  et  Z  et  satisfaisant  à  l'équa- 
tion 

d-  <h        d- 1}/        d'-ij 


n8  SUR  l'équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation. 

el  £  étant  une  fonction  do  X,  \  et  /  ([iii  osl  coiislaiilo  ini  tous  les  points  de  la 
sphère  de  rnyon  i . 

Nous  aurons  d'autie  part 

o.v  =  —  = —  os  ■ 


et  de  nième 


0  1   =  05 :=^=:=r  )  O/.  =:  O. 


p  s'p-— 6- 
On  aura  dans  les  mêmes  conditions 


ot  =  i),  5?  =  E  0']/  =  £  (  -T^  6.\  -+-  -^,  0  V 


'/•!>  ...       '/■\' 


d'oi 


o:. 


et  enfin 

Il  est  aisc^  de  vérifier  que  si  '^  est  un  polynôme  homogène  de  degré  ii  en  x,  y 
el  z,  satisfaisant  à  l'équation 


il  en  sera  de  même  de 


(i\-    '    (/\-^    '    d7J       "' 


Il  en  ri''sulte  que  si  cp  est  égal  à  une  cimslanle  multipliée  par  le  produit  de  trois 
fonctions  de  Lamé  conjuguées  et  d'ordre  n,  F  sera  de  la  forme  suivante  : 

F  =  /(ai  M',  X,  -4-a.M2N', -t-...-4-a/,IM;,N'„). 

Dans  cette  expression,  c.,,  a.,,  .  .  . .  a.,,  sont  des  quantités  qui  restent  constantes 
sur  toute  la  surface  de  notre  ellipsoïde  et  M', ,  N',  ;  M',,  N',,  ...  ;  M'^,,  NJ,  sont 
des  systèmes  de  fonctions  de  Lamé  conjuguées  ei  qui  sont  toutes  d'ordre  n. 
i\ous  dirons  pour  abréger  qu'une  somme  de  la  forme 

a, AI',  ^', -1-  z.2M2N'2  +  . ..-f- x/,m;,n'„ 

est  une  somme  de  Lamé  d'ordre  n. 

.Si  alors  nous  avons,  comme  nous  l'avons  supposé  plus  haut 

il  viendra 


SUR  l'Équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation.  119 

H,  étant  une  somme  de  Lamé  de  même  ordre  que  les  fonctions  R,  M,  N.  Ainsi 
les  coefficients  d'une  même  indéterminée  c,  seront  de  même  ordre  dans  l'expres- 
sion de  tp  et  dans  celle  de  F. 
II  \  ienl  alors 

OM,  =Jf  J  «''■'  =  s  Ri?  i'-^fl»i  >U  N,  rfco. 

Remarquons  que  l'intégrale  /  /H,M/,Na-  rfto  est  nulle  si  les  sommes  H,-  et  M/cN^ 
ne  sont  pas  de  même  ordre. 

Nous  dirons  pour  abréger  que  l'indéterminée  ;,  est  de  rang  n  si  les  fonc- 
tions R/,  M,  et  N,  sont  d'ordre  n. 

Il  résulte  de  ce  qui  précède  que  l'on  a 

dit 

les  A,7,  étant  des  coefficients  constants  qui  sont  nuls  si  les  indéterminées  ^,  et  Ey, 
ne  sont  pas  de  même  rang. 

Nous  ne  nous  sommes  occupés  jusqu'ici  que  des  petits  mouvements  absolus 
d'un  ellipsoïde  rapporté  à  deux  axes  fixes.  Passons  maintenant  an  cas  des  petits 
mouvements  relatifs  d'un  ellipsoïde  fluide  rapporté  à  un  système  d'axes  mobiles 
tournant  avec  une  vitesse  uniforme  oi  autour  de  l'axe  des  z. 

Envisageons  les  équations  générales  de  l'Hydrodynamique  : 

du  du  du  du  dp 

dt  dx  dy  d}z  dx 

où  u,  1',  w  désignent  les  composantes  de  la  vitesse;  X,  Y,  Z  les  composantes 

de  la  force;  p  la  pression,  et  où  la  densité  de  lluide  est  prise  pour  unité.  Nous 

aurons  d'ailleurs 

..       d\  ,.       rfV  ^       d\ 

dx  dy  dz 

OÙ  V  représente  le  potentiel  des  forces  et  où  — ',iv  et  oju  sont  les  composantes 
de  la  force  centrifuge  composée.  Si  nous  posons 

¥-/>  =  .{. 

et  si  nous  négligeons  le  carré  de  m,  c,  w  en  observant  que  les  mouvements 
doivent  être  très  petits,  il  viendra 

,    .  du  d'h  di'  di/  dw        dii 

^^^  5F^^"''=5x'        dt -'"'''  =  dp' 


in 

-\- 

Hz  " 

o. 

d 

■iv- 

:4 

.d^'^ 
"^^J' 

lio  SUR  l'équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation. 

avec  ri>([ii;ilioii  «le  coiilnuillt'' 

0\\  en  lire  aisément 
(3) 

Cette  équation  ne  suffit  pas  pour  déterminer  la  fonction  i];.  11  faut  pour  achevei* 
de  connaître  cette  fonction,  tenir  compte  de  cette  circonstance  que  la  pression 
doit  être  nulle  sur  toute  la  surface  libre.  On  doit  donc  avoir  sur  cette  sur- 
face ■!>  =  V. 

Pour  pousser  plus  loin  cette  analyse,  envisageons  séparément  un  des  mouve- 
ments élémentaires  dans  lesquels  on  peut  décomposer  tous  les  petits  mouve- 
ments de  l'ellipsoide.  Soient  ox,  ny.  èz  les  déplacements  inlininient  petits 
d'une  molécule  et  écrivons 

àx  =  e"'  I,  oy  =  e"'  r,,  6c.  =  e''''  ^  ; 

^.  Y}  et  ^  ne  dépendent  que  de  .2',  y  et  z.  Les  équations  (2)  et  (.3)  deviendront 
alors 

'  — i  K- -\- 1  II)  l  Kri  =  —l— 

ax 

—  T|À-  -I-  2  (0  ;  /.  Ç  =  -j- 

(4)  {  ';,'  ('}=e".'^,); 


dx-  dy- 


.i'o'-\r^'>, 


OÙ  4*1  ne  dépend  que  de  x.  y  et  z. 

Voyons  maintenant  ce  que  devient  la  condition  relative  à  la  surface  libre. 

Soient  cos  a,  cos[3,  cosy  les  trois  cosinus  directeurs  de  la  normale  en  un  point 
de  l'ellipso'ide  et  supposons  que  l'on  ait  en  tous  les  points  de  cette  surface 
ç  cosa  -)-  T|  cosTi  -1-  ij  cosy  =  2  A^  /iM/Nx-, 

le  second  membre  étant  une  série  développée  suivant  les  produits  M/,N/,  de 
deux  fonctions  de  Lamé  conjuguées.  Une  formule  du  paragraphe  IX  nous 
donnera,  en  tous  les  points  de  la  surface  libre, 

L'équation  ■.!>  =^  V  se  réduit  donc  à 

(5)  ç„  =  _.5,vA,/lli:^__!!ilLyM,N.. 


SUR  l'Équilibre  dune  masse  fluide  en  rotation. 
D'aiilrc  part  les  équations  (4)  nous  donnent 


—r-  ).  -f-  2  -7-  (1)  i 
^             dx               dy 

■'■|  =- 

dy              dx 

d6, 

riz 

d'où 

— -! f  r  COS  a  -H  T.  COS  S  -+-  î  ce 

)st') 

/ 


rr/'];!    coscz         d'h,   COS  8         rfJ>i  /  nj'-\cos-'l  .  F  ^'ii   COS  a         rf'ii    COS  fi  "1 

Mais  nous  avons  trouvé  plus  haut 

P0S2  /— ; 7--     /— ! r   X 

—f-  =?\/?-—b'V?-  —  c'--,' 


cosfj 


/    -pvV-6=v/?=^^T7r67' 


-^  =  ,M/p— 6-v'p— c-^^-^ 
d'où 

X(4"'' X-)  ,  .  O  V 

:  (  Ç  COS  a  -1-  T,  COS  I J  +  î=  COS  Y  ) 


Ip  \/p- —  b-  v/p- —  c- 

\_dx   p-        rf)-    p-— 6=        dz  \  A-/P  —  c   J  L  <''»■    P  "-^    P        ''  J 

ou  enfin 

[_(/>■    p-         dx    p-—à-\        p  ^p<-—b!-  ^P'—C 

Le  problème  est  donc  ramené  à  la  recherche  d'une  fonction  tpi  qui  satisfasse 
à  la  dernière  des  équations  (4)  à  l'intérieur  de  l'ellipsoïde  et  aux  équations  (5) 
et  (6)  sur  la  surface  de  l'ellipsoïde. 

Supposons  donc  d'abord  que  w  soit  nul;  la  dernière  équation  (4)  se 
réduira  à  A'];,  ^=  o,  de  sorte  que  nous  satisferons  à  la  fois  aux  équations  (4)  et 
(5)  en  faisant 

6,  =  4.1  A,  (^-^  -  __j  — j^^ — 

Dans    cette    expression    RjJ    est   la    valeur   que   prend   R/,    sur   la   surface   de 
l'ellipsoïde. 

De  cette  expression,  on  déduira  pour  tous  les  points  de  la  surface  de 
l'ellipsoïde  : 


dR 


k 


dx    p-        dy    p- — o-         dz    p- — c-  V     3  2/1-1-1/    p  K^- 

H.  P.  —  VII.  16 


122  SUR    L  EQUILIBRE    DUNE    MASSE    FLUIDE    EN    ROTATION. 

de  sorle  que  l'oqualioii  (6)  se  rtHluil  à 

—  .\-AS\k —5—  MiNi=  — ^^==^^=1^=  IAa- i^U•l^'y^. 
\        i                  ■.'.«  +  1/     pR*  p    ^,(pJ_i'i)(p2_c2) 

Pour  (jiie  celle  équation  soit,  satisfaite,  il  faut  et  il  suffit  que  tous  les 
coefficieals  A<  soient  nuls,  excepté  un  que  nous  appellerons  Ay,,  et  que  X 
satisfasse  à  l'équation 

On  est  donc  ainsi  conduit  pour  les  périodes  des  diverses  petites  oscillations 

possibles  aux  mêmes  valeurs  que  par  l'équation  (i). 

Nous  allons  maintenant  supposer  que  to  n'est  pas  nul. 

Posons 

4  to-        ^ 

la  dernière  des  équations  (4)  deviendra 

rf-'L,         fZ-^'l,         il'^'h, 

-TTT  +  -rr  ■+-  -j-^  =  "• 
ctx-  ay-  nz  - 

Quand  le  point  [x,  y,  :•)  décrira  l'ellipsoïde  E  qui  a  pour  équation 

X-  y-  z-      _ 

■^  "^  p5— 6=  "^  f-  -  c°-  ~'' 

le  point  {x,  v ,  2')  décrira  l'ellipsoïde  E'  qui  a  pour  équalion 

x'-  r-  X- z'"    _ 

p-        f-—b-       p- — c- 

.Xous  appellerons  R',  M'  et  N'  les  fonctions  de  Lamé  formées  à  l'aide  de 
l'ellipsoïde  E',  et  /'  la  quantité  qui  joue  par  rapport  à  l'ellipsoïde  E'  le  même 
rôle  que  /joue  par  rapport  à  l'ellipsoïde  E. 

Nous  appellerons  cosa',  cos^',  cosy'  les  cosinus  directeurs  de  la  normale  en 
un  point  de  la  surface  de  E'.  Nous  poserons  de  même 


•  c 


f2-c'^=ii— 5—         ei         P'=/>  y/(p2_6-^)(p"--c'2), 
de  même  (jue  l'on  a,  d'après  les  notations  de  Liouville  : 

I'  =  /;.  y/(p2—  bi  )((<-—  C-). 


SUR  l'Équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation. 
Il  viendra  alors  pour  un  point  de  la  surface  de  E'  : 


x 


P'  p2'  p'  f—b-i  P'  p2— c"-'        f—c--' 

d'où 

dii^    X        d'h\        Y  din      i-z            i    /d'b^          ,       rfJ/,  „,       d'h\  A 

dx    p-         fl'r   p-— 6-  dz    p-— c-  P   \  o'.r                  rfj-'  '  dz            J 

r/'ii    a;  f/'ii         1-  I    f dii\  ,       rfJ^i  ,A 

(//    p-  dx    p^— 6-  P   \  ^j'                   dx  j 

Considérons  maintenant  un  point  quelconque  de  l'ellipsoïde  E  ayant  pour 
coordonnées  elliptiques  fx  et  v  et  pour  coordonnées  ordinaires  x.  y  et  z;  consi- 
dérons ensuite  le  j)oint  correspondant  de  l'ellipsoïde  E'  ayant  pour  coordonnées 

ordinaires   x,  y   et   ;';=  ~   et  pour  coordonnées  elliptiques  [j!  et  v'  (dans  le 

système  dérivé  de  l'ellipsoïde  E').  Soit  M'^  une  fonction  quelconque  de  Lamé 
de  la  coordonnée  p.'  et  N'  la  fonction  conjuguée  de  la  coordonnée  v'.  A  chaque 
point  de  E  correspond  comme  nous  l'avons  vu  un  point  de  E'  et  réciproquement. 
A  chaque  système  de  valeurs  de  p.  et  v  correspond  donc  un  système  de  valeurs 
de  p'  et  v'  et  réciproquement,  de  sorte  que  le  produit  JM[^N'^  f[ui  dépend  de  p.' 
et  v'  pourra  aussi  être  regardé  comme  fonction  de  [x  et  v;  à  ce  titre,  il  pourra 
être  développé  en  une  série  ordonnée  suivant  les  produits  de  Lamé  M^N/, 
dérivés  de  l'ellipsoïde  E.  Ou  aura  donc 
(7)  M;iV;=SBt,,/MA-N<.. 

Nous  allons  maintenant,  à  l'aide  do  la  remarque  de  Liouville  dont  nous  avons 
déjà  fait  usage  plus  haui,  montrer  que  dans  le  second  membre  de  l'identité  (7) 
n'milrcnt  ipie  des  fonctions  de  Lamé  de  même  ordre  que  M',^. 

En  elTcl,  d'après  celle  remarque  de  Liouville,  si  l'on  pose 

X=-,  Y  =         ^'        ,  Z=         ' 


\/p-  —  b-  v'p-  —  c-        V  p'-  —  c- 

le  produit  M'  N'   sera  sur  la  sphère 

une  fonction  sphériquc  de  même  ordre  que  M'  et  le  produit  M^N/,  une  fonction 
sphérique  de  même  ordre  que  M^-.  L'identité  (7)  ne  peut  donc  subsister  que  si 
toutes  les  fondions  de  Lamé  qui  entrent  dans  le  second  membre  sont  de  même 
ordre  que  M'^. 

Ce  second  membre  n'est  donc  pas  une  série  infinie,  mais  un  polynôme  formé 
d'un  nombre  fini  de  termes. 


12.1  SUR  l'Équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation. 

De  plus  dans  ce  second  membre  ne  peuveiiL  entrer  (|ue  des  fonclious  de 
Lame  présenlanl  les  mêmes  symétries  que  M|^.  Si  par  exemple  M'^  est  divisible 
par  y/fi'-  —  6'-,  il  devra  en  être  de  même  de  toutes  les  fonctions  M/;. 

Nous  renverserons  l'idenlilé  (7)  en  écrivant 

La  fonction  'h,  devant  satisfaire  à  la  dernière  des  équations  (4)  pourra  s'écrire 

les  D,,  étant  des  coefficients  constants  et  les  R'^,  M'^,  N|^  étant  des  fonctions  de 
Lamé  dérivées  de  l'ellipso'ide  E'. 

A  la  surface  de  cet  ellipso'ide,  nous  aurons 

en  tenant  compte  de  (7),  de  sorte  (jue  l'équation  (5)  se  ramènera  auxéquations 

On  a  d'autre  part  à  la  surface  de  E'  : 

D'autre  pari  il  résulte  de  l'analyse  faite  plus  haut  à  propos  des  moments  des 
quantités  de  mouvement  (|ue  l'on  a  sur  toute  la  surface  de  E'  : 

les  F  étant  des  constantes  el  les  M'y.  et  N|(.  des  fonctions  de  Lamé  de  même  ordre 
<[ue    M'^,   mais    ne    présentant   pas   les    mêmes   symétries.   Si  M'^  contient  en 
facteur  \ [>■'-  —  c'-,  il  en  est  de  même  de  M'/^  et  réciproquement,  mais  si  M' 
contient  en  facteur  \J \''-- —  6''-,  M'^  ne  le  contiendra  pas  et  inversement. 
Nous  écrirons  en  tenant  compte  de  (7) 


ce  qui  donnera  enfin 

d'h  1    X       d'h  I 


Si:D,,G,,x.M/.NA.. 


dy   p-        dx    ç,''  —  b 
L'équation  (6)  se  ramène  alors  aux  égalités 

(9)  ^7====r— ===  =X>   D,,Ba.,„— r  +  20Ui.,;D,,G,,i•. 


SUR  l'Équilibre  dune  masse  fluide  en  rotation.  125 

II  s'agit  mainlenanl  de  disposer  de  X,  des  Dg  et  des  A/,  de  façon  à  satisfaire  aux 
égalités  (8)  et  (9). 

Or  on  pourra  arriver  à  ce  résultat  en  supposant  d'abord  que  tous  les  A/,  et 
tous  les  Dq  sont  nuls,  sauf  cens  qui  se  rapportent  à  des  fonctions  de  Lamé  d'un 
certain  ordre,  d'ordre  n  par  exemple.  11  restera  alors  an  +  i  équations  (8)  et 
2n  +  i  équations  (9)  entre  1,  les  2n-{-i  coefficients  A/,  et  les  2/1-+- i  coeffi- 
cients D^  qui  se  rapportent  aux  fonctions  de  Lamé  d'ordre  n  et  qui  par  consé- 
quent ne  sont  pas  nuls,  d'après  la  convention  précédente.  Cela  fait  en  tout 
4«-i-2  équations  linéaires  et  homogènes  par  rapport  aux  4  «  + 2  coefficients  A^ 
et  Dç. 

Si  l'on  élimine  ces  4^1  +  2  coefficients  entre  ces  ^n-\-i  équations  par  le 
moyen  d'un  déterminant,  on  obtiendra  une  équation  qui  déterminera  les 
périodes  /.  des  oscillations  infiniment  petites  de  l'ellipsoïde.  11  importe  de 
remarquer  que  \  n'entrera  pas  dans  cette  équation  seulement  explicitement, 

/yR' 
mais  que  les  coefficients  B/,  ,,,  Gy_/,,  —~^-,  R'^  qui  entrent  également  dans  celle 

équation  dépendent  de  \.  Néanmoins,  même  en  tenant  compte  de  cette  cir- 
constance, l'équation  est  algébrique  en  \. 

Il  j  aura  une  infinité  de  pareilles  écjuations  en  À  que  l'on  obtiendra  en  consi- 
dérant successivement  les  fonctions  de  Lamé  du  deuxième,  du  troisième,  .  .  ., 
du  rt"""^  ordre,  etc.  Pour  la  stabilité  il  faut  et  il  suffit  qu'aucune  de  ces  équations 
n'ait  de  racine  imaginaire. 

Ce  qu'il  faut  surtout  retenir,  c'est  que  dans  un  même  système  d'équations 
(8)  et  (9)  n'entrent  que  les  coefficients  qui  se  rapportent  aux  fonctions  de  Lamé 
d'un  même  ordre. 

Si  donc  nous  écrivons  la  valeur  de  <]>  relative  à  une  oscillation  infiniment 
petite  obtenue  en  considérant  l'une  des  solutions  d'un  système  d'équations  (8) 
et  (9),  on  trouvera 

■j;  =  e'-«2:D^M;N;R;. 

Dans  la  somme  du  second  membre  n'entrent  que  des  fonctions  de  Lamé  d'un 
même  ordre,  d'ordre  n  par  exemple.  Une  pareille  oscillation  infiniment  petite 
s'appellera  un  mouvement  harmonique  d'ordre  n. 

Il  résulte  de  ce  qui  précède  que  deux  mouvements  harmoniques  d'ordres 
différents  sont  indépendants  l'un  de  l'autre,  c'est-à-dire  que  l'on  peut  imposer 
à  la  masse  fluide,  comme  liaison,  la  condition  de  ne  pouvoir  éprouver  d'autres 


ia6  SUR  l'équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation. 

déplacements  ijuc  des  mouveineuts  liarnioniques  d'ordre  n  sans  que  les  in-\-\ 
mouvements  harmoniques  d'ordre  n  possible  soient  altérés. 

Nous  pouvons  encore  énoncer  ce  résultat  d'une  autre  manière. 

Dans  un  mouvenienl  liarmonique  d'ordre  «,  on  a  sur  la  surface  de  l'ellip- 
soïde de  E  : 

V  =  'i  =  e'-'')i\t^\k'^k, 

M/t  et  Njt  étant  des  fonctions  de  l.,auié  d'ordre  n  et  les  A/,  des  coofllcients 
constants.  Sixr  la  surface  de  cet  ellipsoïde,  le  potentiel  V  s'exprime  donc  par 
une  somme  de  Lamé  d'ordre  n. 

Imposons-nous  donc  la  liaison  suivante  :  que  les  déplacements  de  notre 
masse  lluide  soient  toujours  tels  que  le  potentiel  s'exprime  à  la  surface  libre 
par  une  somme  de  Lamé  d'ordre  n.  En  tenant  compte  de  cette  liaison,  on 
trouvera  <|ue  certaines  petites  oscillations  de  la  masse  sont  possibles.  On 
cherchera  tous  les  systèmes  d'oscillations  possibles  en  supposant  (|ue  la  valeur 
de  \'  à  la  surface  soit  assujettie  à  être  une  somme  de  Lamé  d'ordre  2,  3,  .  .  ., 
/(,  ...  ;  on  composera  ensuite  tous  ces  systèmes  d'oscillations,  d'après  la  règle 
ordinaire  de  la  composition  des  petits  mouvements,  et  l'on  obtiendra  de  la 
sorte  tous  les  petits  mouvements  possibles  du  système,  en  le  supposant  délivré 
de  toutes  ses  liaisons. 

Mais  il  y  a  plus.  J'ai  dit  que  dans  une  même  équation  (8)  ou  dans  une  même 
équation  (y)  ne  peuvent  entrer  ([ue  des  coefficients  Aj  et  D,y  se  rapportant  à 
des  fonctions  de  Lamé  d'un  même  ordre.  On  peut  ajouter  que  dans  une  même 
équation  (8)  ou  dans  une  même  équation  (9)  ne  peuvent  entrer  que  des  A/,  et 
des  D,y  se  rapportant  tous  à  des  fonctions  de  Lamé  (|ui  ont  comme  facteur 
\/ c- —  fji^  ou  \/c'- — p-''-' ;  ou  bien  des  A^  et  des  D,,  se  rapportant  tous  à  des 
fonctions  de  Lamé  (jui  n'admettent  pas  ce  facteur.  Si  la  fonction  M/,  ne  contient 


pas  le  facteur  yc- — p.'-,  le  produit  M^N^  est  symétrique  par  rapport  au  plan 
des  xy  (c'est-à-dire  (|u'il  ne  cliange  pas  quand  on  change  ^  en  —  ;),  il  ne  l'est 
pas  dans  le  cas  contraire. 

Voici  quelle  est  la  conséquence  de  ce  fait.  Supposons  ([ue  Ion  ciierche  à 
trouver  tous  les  mouvements  liiirmonii|ues  possibles  d'ordre  n  que  nous  appel- 
lerons H.  Imposons-uous  d'idjord  la  liaison  suivante  :  f|ue  la  vnleur  superficielle 
de  V  soit  une  somme  de  Lamé  d'ordre  n  et  symétrique  par  rapport  au  plan 
des  xy.  Nous  trouverons  qu'en'  tenant  compte  de  cette  liaison,  il  y  a  certaines 
oscillations  possibles  H'.  Imposons-nous  maintenant  une  autre  liaison  :  que  la 


SUR    L'ÉQUILIBRE   D'UNE   MASSE   FLUIDE   EN    ROTATION.  127 

valeur  superficielle  de  V  soil  une  somme  de  Lamé  d'ordre  n  et  change  de  signe 
avec  Z-.  En  tenant  compte  de  cette  liaison,  il  y  aura  certaines  oscillations 
possibles  H*.  Si  nous  composons  ensuite  les  oscillations  IF  et  H"  d'après  la 
règle  ordinaire  de  la  composition  des  petits  mouvements,  nous  aurons  tous  les 
mouvements  H  possibles. 

Ces  règles  permettent  d'envisager  séparément  les  mouvements  harmoniques 
d'ordre  n  sans  tenir  compte  des  mouvements  harmoniques  d'ordre  di fièrent  qui 
pourraient  exister  simultanément. 

Un  cas  particulier  oii  les  équations  (8)  et  (g)  se  simplifient  considérablement, 
c'est  celui  où  l'ellipso'ide  E  et  par  conséquent  l'ellipso'ide  E'  sont  de  révolution. 
Il  arrive  alors  que  tous  les  coefficients  Vn^,i  soni  nuls  quand  /.  est  dillérenl  de  q 
et  que  l'on  peut  prendre 

l'X-,/.  =  I,         G,^,A  =  F,,,x-. 

Une  dernière  remarque  :  pour  que  l'analyse  précédente  puisse  s'appliquer, 
il  faut,  à  ce  que  l'on  croit  d'abord,  que  l'on  ait 

ce  qui  obligerait  \  à  rester  compris  entre  certaines  limites.  Cependant  il  est 
aisé  de  voir  que  ces  résultats  subsistent  quelle  que  soit  l'hypothèse  faite  sur  la 
valeur  de  \.  En  eiïel  il  semble  d'abord  que  les  fonctions  de  Lamé  IV,  M'  et  N'ne 
sont  définies  que  lorsque  les  axes  de  l'ellipsoïde  E',  d'où  elles  dérivent,  sont 
réels  et  si  l'axe  des  z  est  le  petit  axe  dans  E'  comme  dans  E.  Mais  le  produit 
R'M'N'  est  un  polynôme  entier  en  x-,  j  et  j  qui  est  parfaitenn^nt  défini  dans 
tous  les  cas  possibles  et  qui  jouit  toujours  des  mêmes  propriétés. 

Si  même  A  >  2co,  c'est-à-dire  si  t-  est  négatif  et  si  l'un  des  axes  de  E'  devient 
imaginaire,  les  résultats  de  l'analyse  précédente  subsistent  encore. 

XIV.  —  Stabilité  des  ellipsoïdes. 

Pour  reconnaître  si  un  ellipso'ide  de  révolution  ou  un  ellipsoide  de  Jacobiest 
stable,  il  faut  se  reporter  au  paragraphe  VII.  D'après  la  règle  de  ce  paragraphe, 
qui  était  soumise,  je  le  rappelle,  à  certaines  restrictions,  une  figure  d'équilibre 
ne  peut  jouir  de  la  stabilité  séculaire  ([u'à  la  condition  que  tous  les  coefficients 
de  stabilité  soient  négatifs.  Si  cette  règle  était  applicable  sans  modifications  à 
l'ellipsoïde  de  Jacobi,  celte  figure  n'aurait  jauiais  la  stabilité  séculaire,  car  un 


liS  SUR    L  EQUILIBRE    DUNE    MASSE    FLUIDE    EN    ROTATION. 

de  ses  coeflicicnls  do  slabililé  esl  loujoiirs  positif;  c'est  celui  qui  se  rapporte  à 
la  fonction  R„  ..  Mais  la  règU;  du  paragraphe  VII  n'est  applicable,  comme  nous 
l'avons  vu,  que  si  dans  tous  les  mouvements  possibles  le  travail  des  résistances 
passives  est  toujours  négatif  sans  pouvoir  jamais  être  nul.  Ce  n'est  pas  le  cas  si 
l'on  envisage  une  masse  fluide  isolée  dans  l'e-space,  car  si  une  pareille  niasse  se 
déplace  sans  se  déformer,  il  n'y  a  pas  de  résistance  passive.  Si  au  contraire  la 
rotation  de  la  masse  fluide  était  déterminée  par  celle  d'un  axe  rigide  qui  la 
traverserait  de  part  en  part  et  qui  l'entraînerait  par  frottement  (comme  dans  les 
expériences  de  Plateau  par  exemple),  tout  déplacement  produirait  une  résis- 
tance passive  et  l'ellipsoïde  de  Jacobi  serait  toujours  instable. 

Mais  ce  cas  est  sans  intérêt.  Envisageons  donc  une  masse  isolée  dans  l'espace 
et  voyons  comment  doit  être  modifiée  la  règle  du  paragraphe  Vil. 

Considérons  deux  systèmes  d'axes  :  un  système  fixe  et  un  système  mobile 
tournant  avec  une  vitesse  angulaire  constante  w  autour  de  l'axe  des  :;.  Supposons 
que  la  masse  fluide  ait  une  position  d'équilibre  relatif  dans  laquelle  elle  soit 
animée  d'une  vitesse  de  rotation  w  par  rapport  aux  axes  fixes,  et  par  conséquent 
en  repos  par  rapport  aux  axes  mobiles.  Soit,  dans  cette  position,  lo  son  moment 
d'inertie  par  rapport  à  l'axe  des  s  et  Uq  son  énergie  potentielle  par  rapport  aux 
axes  fixes.  Considérons  maintenant  une  configuration  de  la  masse  fluide  voisine 
de  la  figure  d'équilibre  et  telle  que  celte  masse  cesse  d'être  en  repos  par 
rapport  aux  axes  mobiles.  Soient,  dans  celte  nouvelle  position,  I  et  U  les 
valeurs  du  moment  d'inertie  et  de  l'énergie  potentielle.  Soil  T  la  demi-force 
vive  relative  par  rapport  aux  axes  mobiles;  soit  m  la  masse  d'un  des  points  du 
fluide;  r  sa  distance  à  l'axe  des  :;,  et  w  +  ôeo  sa  vitesse  angulaire  autour  de  cet 
axe.  Les  équations  de  la  conservation  de  l'énergie  et  de  la  conservation  des 
moments  des  quantités  de  mouvement  nous  donneront 

■I-  V  «    ~  "'"'  Il  W'Io  ,,  ,  1       ,      V  o    -  t 

1  -H  1112.11)1-  o(o  H h  U  =  -t-  Un -H  A,  (0  I  -f-  z.mr-  0(0  =  wlo 

(/i  étant  une  constante  qui  est  très  petite  si  les  déplacements  initiaux  et  les 
vitesses  initiales  sont  très  petits  ce  que  nous  supposons),  d'où 


Mais  on  a 
d'où 


1-  u  =  Uo (-  II. 


Tv^     'v  .-      ,~^      '     (-'«'--So))-  0)2    (I   —  Io)'- 


2  ■}.         2  mr-  •).  I 


u-u„-^|(i-ro)+Çll^<A. 


SUR  l'équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation.  129 

Si  donc  ou  a  pour  toules  les  configurations  Lrés  voisines  de  la  ligure  d'équilibre 

(.)  U-L:„-Ç(.-I„)-'f  ^^>o, 

on  sera  certain  que  l'écjuilibre  est  stable.  S'il  y  a  des  résistances  passives,  /(  ne 
sera  pas  une  constante,  mais  ira  constamment  en  diminuant;  donc  a  fortiori, 
il  y  aura  encore  stabilité  si  la  condition  (i)  est  remplie.  Cette  condition  est 
donc  suffisante  pour  qu'il  y  ait  stabilité  séculaire. 

D'après  la  règle  du  paragraphe  VII,  la  condition  nécessaire  et  suffisante  pour 

la  stabilité  séculaire  était  que  l'expression  V fût  minimum,  c'est-à-dire 

que 

Lj-Uc-  — (r-ro)>o. 
2 

On  voit  que  la  règle  actuelle  est  plus  favorable  à  la  stabilité. 

D'ailleurs  la  condition  (i)  peut  encore  s'énoncer  d'une  autre  manière.  Elle 
signifie  que  l'expression 

^  21 

doit  être  minimum  pour  la  ligure  d'équilibre  [cf.  Tait  et  Thomson,  Treatise 
on  Nattiral  Pliilosophy,  i;  778"  [y']  et  [A]). 

Il  faut  voir  maintenant  si  cette  condition  (1)  est  nécessaire  pour  qu'il  y  ail 
stabilité  séculaire.  Nous  avons  vu  au  paragraphe  V^II  que  les  déplacements  infi- 
niment petits  Xi  des  diverses  molécules  d'un  système  à  partir  d'une  position 
d'équilibre  relatif  pouvaient  s'exprimer  de  la  façon  suivante  : 

les  A,„  ('lant  des  constantes  arbitraires  d'intégration,  tandis  que  les  [<,  /»  ]  et 
les  Im  sont  des  constantes  dépendant  des  équations  difTérentielles  données. 

Pour  qu'il  y  ail  stabilité  séculaire,  il  faut  que  tous  les  ?.  aient  leur  parlie 
réelle  nulle  ou  négative. 

Plaçons-nous  d'abord  dans  les  conditions  où  la  règle  du  paragraphe  VII  est 
applicable,  c'est-à-dire  oii  tout  déplacement  entraîne  une  résistance  passive. 
Tous  les  }.  ilovronl  alors  avoir  leur  partie  réelle  négative,  et  tous  les  ,r,  tendre 
vers  zéro  quand  t  croîtra  indélinimenl.  L'expression  suivante  : 


<I>  =  ÏH-U-U„— — (I-l„) 


H.  P.  —  VU. 


i3o  SUR  l'équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation. 

(si  l'on  néglige  les  cubes  des  xi,  ou  ce  qui  revient  au  même  les  cubes  des  A,„) 
est  une  forme  quadratique  par  rapport  aux  A,„. 

Celle  forme  doit  tendre  vers  zéro  quand  /  croît  indéfiniment.  Mais  d'après  la 
nature  même  des  résistances  passives,  cette  forme  doit  aller  constamment  en 
diminuant.  Il  faut  donc  que  sa  valeur  initiale  soit  toujours  positive  quelles  que 
soient   les  constantes  arbitraires  A,„.    La  forme  <!•  est  donc   toujours    définie 

positive,  c'esl-à-dire  que  U 1  doit  être  minimum  dans  la  position  d'équi- 
libre. C'est  là  la  démonstration  de  la  règle  du  paragraphe  VII. 

Supposons  maintenant  que  cette  règle  ne  soit  plus  applicable,  c'est-à-dire 
que  certains  déplacements  n'entraînent  pas  de  résistances  passives.  11  pourra 
arriver  alors  s'il  y  a  stabilité  séculaire  que  parmi  les  }.„,,  il  y  en  ait  un  certain 
nombre  que  j'appellerai  les  1/,  et  dont  la  partie  réelle  est  nulle,  pendant  que 
d'autres  que  j'appellerai  les  1,,  auront  leur  partie  réelle  négative. 

D'après  cela  la  forme  •!•  ne  tendra  pas  vers  zéro,  en  général,  quand  t  croîtra 
indéfiniment;  elle  partira  de  sa  valeur  initiale  0„  et  tendra  vers  une  certaine 
valeur  limite  O)  que  l'on  obtiendra  en  remplaçant  dans  <I>o  tous  les  A,/  par  zéro  et 
en  conservant  aux  A^,  leurs  valeurs  initiales..  Comme  la  forme  <I>  doit  aller 
constamment  en  diminuant,  qn  devra  avoir  ^f)>'^\  quelles  que  soient  les 
valeurs  des  constantes  arbitraires  A^,  et  A^.  Pour  cela  il  faut  que  la  forme  qua- 
dratique <t  soit  la  somme  de  deux  autres,  la  première  ne  contenant  que  les  A^,, 
la  seconde  définie  positive  et  ne  contenant  que  les  Ary. 

Si  donc  dans  la  forn)e  $o  on  annule  tous  les  h.,,,  cette  forme  deviendra  définie 
positive. 

Dans  le  cas  qui  nous  occupe,  et  si  nous  supposons  que  le  centre  de  gravité 
de  notre  masse  soit  fixe,  il  n'y  a  que  trois  déplacements  (jui  n'entraînent  pas  de 
résistance  passive,  ce  sont  les  rotations  autour  des  trois  axes.  Il  y  a  donc  au 
plus  six  des  /„  dont  la  partie  réelle  est  nulle;  en  d'autres  termes,  il  y  a  au  plus 
six  Kp.  En  réalité,  il  n'y  a  que  quatre  A^,.  On  obtiendra  tous  les  mouvements 
pour  lesquels  tous  les  A,/  sont  nuls,  en  supposant  que  les  diverses  molécules  d(! 
la  masse  fluide  tournent  d'un  mouvement  uniforme,  à  la  façon  des  diflérenles 
parties  d'un  même  corps  solide,  autour  d'un  axe  quelconcpie  et  avec  une  vitesse 
quelconque.  On  obtiendra  tous  les  mouvements  pour  les(|uels  tous  les  A^  sont 
nuls,  en  considérant  les  déplacements  de  la  masse  fluide  qui  sont  tels  <|iic  le 
moment  de  la  quantité  de  mouvement  relatif  par  rapport  aux  axes  mobiles  soit 
nul.   {•ont-  qu'il  y  ait  stabilité  séculaire,  il  faul  que  la  forme  «t  soit  toujours 


SUR  l'Équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation.  i3i 

positive  quand  les  dcplacemeuls  initiaux  et  les  vitesses  initiales  des  diverses 
molécules  sont  telles  que  tous  les  A^,  soient  nuls,  c'est-à-dire  que  le  moment  de 
la  quantité  de  mouvement  soit  nul.  Or  i!  est  aisé  de  voir  que  cela  ne  peut  avoir 
lieu  que  si  l'expression  (2)  est  un  minimum. 

C'est  donc  là  la  condition  nécessaire  et  suffisante  de  la  stabilité  séculaire. 

L'expression 

U„-U-  ^(I„— I)  =  T-<I. 


2 


est  aussi  une  forme  quadratique  par  rapport  aux  A,„  quand  on  néglige  les  cubes 
de  ces  quantités.  Celte  forme  peut  être  réduite  en  une  somme  de  carrés  et  ce 
sont  les  coefficients  de  ces  carrés  que  nous  avons  appelés  jusqu'ici  coefficients 
de  stabilité.  D'après  ce  qui  précède,  il  convient  maintenant  d'envisager  la 
forme 

2  2  I 

Celte  forme  peut  anssi  être  réduite  en  une  somme  de  carrés  et  j'appellerai  les 
coefficients  de  ces  carrés  coefficients  de  stabilité  corrigés.  Ils  devront  être  tous 
négatifs  pour  la  stabilité  séculaire. 

Supposons  que  la  forme  d'équilibre  rolalif  soit  un  ellipsoïde  et  que  la  ligure 
troublée  soit  définie  par  la  distance  Ç  d'un  point  de  sa  surface  à  l'ellipso'ide 
comptée  normalement  à  l'ellipso'ide. 

Si  l'on  a 

nous  avons  vu  au  paragraphe  IX  que  les  coefficients  de  stabilité  s'écrivent 


■J.  J    \     s  2/1  +  1/ 


Il  est  aisé  de  voir  que  si  l'on  néglige  le  cube  des  A,-  il  viendra 

2  I  ^  ' 

B  et  B'  étant  des  coefficients  qui  ne  dépendent  que  des  axes  de  l'ellipsoïde 
pendant  que  A  et  A'  sont  les  coefficients  de  /MJ  „NJ  ,  el  /M."  .,  N^  ,  dans  l'ex- 
pression de  Ç. 

Il  résulte  de  là  que  les  coefficients  de  stabilité  corrigés  ne  différeront  pas  des 
coefficients  de  stabilité  primitifs,  si  l'on  excepte  ceux  qui  se  rapportent  aux 
fonctions  de  Lamé  RJ  ^  et  RI  „.  Or  si  l'im  se  reporte  au  paragraphe  pTécédenI, 
on  verra  que  nous  pouvons  envisager  séparément  les  mouvements  harmoniques 


,3>  SUR  l'équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation. 

des  divers  ordres,  el  que  pour  qu'il  j  ail  slabililé,  il  l'aul  et  il  sulTil  que  celle 
stabililé  existe  à  l:i  tois  en  ce  ([ui  concerne  les  mouvenienis  li:irmoniques  de 
chac|ue  ordre. 

Mais  d'après  ce  (jue  nous  venons  de  dire  des  coefficients  de  sl.ibilité,  la  rc^le 
du  paragraphe  VII  s  appliquera  aux  mouvements  harmoniques  de  tous  les 
ordres  si  l'on  excepte  le  second. 

Pour  qu'il  y  ail  stabililé  séculaire  en  ce  qui  concerne  les  mouvements  du 
pleine  Qpt^re,  il  faut  et  il  suffit  que  les  coefficients  de  slabililé  corrigés  qui  se 
rapportent  aux  fonctions  de  Lamé  du  n""'  ordre  soient  tous  négatifs;  or  ils  ne 
diflerent  pas  des  coefficients  primitifs  si  n  >  2. 

Considérons  d'abord  les  mouvements  du  deuxième  ordre;  ils  ne  seront  pas 
altérés,  comme  nous  l'avons  vu,  si  nous  nous  imposons  comme  liaison  la 
condition  que  ces  mouvements  soient  seuls  possibles.  Cela  revient  à  assujettir 
la  figure  de  la  masse  fluide  à  la  condition  de  rester  toujours  ellipsoïdale. 

Pour  que  la  stabilité  soit  séculaire,  en  tenant  compte  de  cette  liaison,  il  faut 
el  il  suffit  que  l'expression 

soit  plus  grande  pour  un  ellipsoïde  quelconque  que  ])our  l'ellipsoïde  d'équilibre. 

L'expression  01 1,,  est  le  moment  de  la  quantité  de  mouvement;  c'est  une 
donnée  de  la  question.  Les  quantités  qui  définiront  l'ellipsoïde  seront  deux  des 
axe»,  a  el  6;  le  troisième  axe  par  rapport  auquel  on  prendra  les  moments 
d'inertie  sera  fonction  des  deux  premiers,  puisque  le  volume  est  supposé 
donné. 

\  tout  .système  de  valeurs  positives  de  a  el  //  correspond  une  valeur  de  (2) 
qui  tend  vers  une  limite  nulle  ou  positive  quand  l'un  des  axes  a  ou  h  tend  vers 
zéro  ou  vers  l'infini  d'une  manière  quelconque. 

Si  donc  on  appelle  Dît,  dlo  el  ^^Ij  le  nombre  des  minima  négatifs  de 
l'expression  (2),  celui  des  maxima  négatifs,  el  celui  des  ellipsoïdes  d'équilibre 
qui  correspondent  à  une  valeur  négative  de  (2)  qui  n'est  ni  un  maximum  ni  un 
minimum,  on  aura  par  simple  raison  de  conliuuilé  el  en  vertu  des  principes 
bien  connus  de  V Analysis  Sil.us  : 

Ci)  t)l,-h0t.,~-3t,  =  i,        c%,  >o. 

Pour  les  valeurs  deoil,,  qui  sont  inférieures  à  une  certaine  limite,  il  n'y  n 


SUR    L'ÉQUILIBRE    D'UNE    MASSE    FLUIDE    EN    ROTATION.  133 

qu'un  seul  ellipsoïde  d'équilibre  qui  est  de  révolution.  SI  les  axes  de  cet  ellipsoïde 
sont  0,  p  et  \/p- —  c'-',  ces  valeurs  de  o  satisferont  à  l'inégalité 

J'appellerai  un  pareil  ellipsoïde  :  ellipsoïde  peu  aplati  pour  le  distinguer  de 
ceux  qui  ne  satisfont  pas  à  l'inégalité  (4)- 

Puisque  nous  n'avons  qu'une  seule  figure  d'équilibre,  les  inégalités  (3)  ne 
peuvent  subsister  que  si  cette  figure  correspond  à  un  minimum. 

Les  ellipsoïdes  pou  aplatis  sont  donc  stables  en  ce  qui  concerne  les  mouve- 
ments du  deuxième  ordre. 

Pour  les  valeurs  plus  grandes  de  wl,,,  il  a  trois  figures  d'équilibre  :  un 
ellipsoïde  de  révolution  ne  satisfaisant  pas  à  l'inégalité  (4)  (jo  dirai  qu'il  est 
très  aplati)  et  deux  ellipsoïdes  de  Jacobi  égaux  entre  eux  et  ne  diflérant  l'un 
de  l'autre  que  par  la  permutation  de  a  et  de  h.  Il  faut  donc  que  les  deux 
ellipsoïdes  de  Jacobi  correspondent  tous  deux  à  un  minimum  de  (a)  ou  que 
cela  ne  soit  vrai  d'aucun  des  deux.  Dans  ces  conditions,  les  inégalités  (3)  ne 
peuvent  subsister  que  si  les  ellipsoïdes  de  Jacobi  correspondent  à  un  minimum 
et  si  l'ellipsoïde  de  révolution  ne  correspond  ni  à  un  maximum,  ni  à  un 
minimum. 

Donc  en  ce  qui  concerne  les  mouvements  du  deuxième  ordre,  les  ellipsoïdes 
de  Jacobi  sont  toujours  stables  et  les  ellipsoïdes  très  aplatis  toujours  instables. 

Si  par  conséquent  nous  imposons  à  la  figure  de  la  masse  fluide  la  condition 
de  rester  ellipsoïdale,  les  ellipsoïdes  peu  aplatis  et  ceux  de  Jacobi  seront 
stables,  pendant  que  les  ellipsoïdes  très  aplatis  seront  instables  {cf.  Tait  et 
Thomson,  Natural  Pliilosopliy,  §  778"  [/])• 

Voyons  maintenant  si  la  stabilité  séculaire  subsiste  encore  lorsqu'on  considère 
les  mouvements  harmoniques  d'ordre  supérieur. 

Cela  est  évident  en  ce  qui  concerne  les  ellipsoïdes  peu  aplatis.  Considérons 
en  effet  un  ellipsoïde  de  révolution  qui,  se  réduisant  d'abord  à  une  sphère, 
aille  ensuite  en  s'aplatissant  de  plus  eu  plus,  de  façon  que  si  ses  axes  sont  p  cl 

y/p'- — c'-',  p  décroisse  +00  à  c.  Nous  avons  vu  au  paragraphe  XI  que  tous  les 
coefficients  de  stabilité  sont  d'abord  négatifs;  puis  qu'un  certain  nombre 
d'entre  eux  s'annulent  successivement  pour  devenir  positifs.  A  la  (in  de  ce  même 
paragraphe,  nous  avons  démontré  que  le  premier  de  ces  coefficients  qui 
s'annule  ainsi  est  celui  (pii  corres])ond  à  la  fonction  de  Lamé  RJ  ,qui  se  réduit 


i'54  SUR  l'équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation. 

à  p-  pour  6'-':=  G.  Si  ilouc  ce  coeUlcienl  esL  ui'galit',  c'esl-à-dirc  si  l'c-f^alilé  (4) 
csl  satisfaite,  tous  les  autres  coefllcients  seront  aussi  négatifs.  L'ellipsoïde  peu 
aplati  est  donc  stable  {rf.  loc.  cit.,  Jj  778"  (  l>]). 

Quand  à  l'ellipsoïde  de  Jncojji,  il  sera  stable  en  ce  qui  concerne  les  inouve- 
inenls  liarinoniques  du  n"-'""'  ordre,  pourvu  que  les  coeflicienls  de  stabilité 
(corrigés  ou  non,  cela  revient  au  même  si  «  >  a)  qui  affectent  des  fonctions  de 
Lamé  du  n''''""  ordre  soient  tous  négatifs.  Or  nous  avons  vu  au  paragraphe  XII 
que  tous  les  coefficients  de  stabilité  du  /t"'""'  ordre  restent  tous  négatifs  pour 
tous  les  ellipsoïdes  de  Jacobi,  à  l'exception  du  coeflicient  ([ui  se  rapporte  à  la 
fonction  Ri  „  et  que  nous  appellerons  cooflicii'nl  princi|)al  du  /i''""  ordre.  Ce 
coeflicient  principal,  d'abord  n(''galif  pour  les  valeurs  suflisamment  petites 
de  —1  linit  par  s'annuler  et  par  devenir  positif  quand  on  fait  croître  —,  • 

Nous  disons  que  l'ellipsoïde  de  .Tacobi  est  peu  allongée  si  -^  est  assez  petit 
pour  que  tons  les  coefficients  principaux  soient  négatifs,  et  très  allongé  si  — 

est  assez  grand  pour  que  l'un  au  uioins  des  coeflicienls  principaux  soit  positif. 
D'après  ce  que  nous  avons  vu  au  paragraphe  XII,  il  est  certain  que  le 
premier  de  ces  coefficients  principaux  qui  s'annule  est  celui  du  troisième 
ordre,  de  sorte  que  l'ellipsoïde  limite  qui  sépare  les  ellipsoïdes  peu  allongés 
des  ellipsoïdes  très  allongés  est  celui  dont  les  axes  satisfont  à  la  relation 

KiS|  _  Ri,,Si,, 
37"" 

D'après  ce  qui  précède,  les  ellipsoïdes  peu  allongés  seront  stables  et  les 
ellipsoïdes  très  allongés  instables  en  c(^  qui  concerne  les  mouvements  harmo- 
niques d'ordre  supérieur  au  second. 

En  résumé,  si  la  figure  de  la  masse  fluide  n'est  assujettie  à  aucune  con- 
dition, les  ellipsoïdes  de  révolution  peu  aplatis  et  les  ellipsoïdes  de  Jacobi 
peu  allongés  jouiront  de  la  stabilité  séculaire,  pendant  cjue  les  ellipsoïdes  de 
révolul ion  très  anlatis  et  les  ellipsoïdes  de  Jacobi  très  allongés  n'en  jouiront 
pas. 

Ces  derniers  pourraient  toutefois  jouir  de  la  stabilité  ordinaire  sans  jouir  de 
la  stabilité  séculaire.  Il  nous  reste  à  exauiiner  s'il  en  est  ainsi. 

Occupons-nous    d'abord    des    petits    mouvements    harmoniques    du    second 


SUR  l'Équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation.  i35 

ordre  des  ellipsoïdes  de  révohilion.  Supposons  donc,  ce  qui  n'allére  pas  ces 
mouvements,  que  la  figure  de  la  masse  fluide  soit  assujettie  à  rester  ellipsoïdale. 

D'après  le  paragraphe  précédent,  nous  pouvons  même  (sans  altérer  les 
petits  mouvements  qu'il  s'agit  d'étudier)  supposer  que  la  valeur  superficielle 
du  potentiel  V  est  assujettie  non  seulement  à  être  exprimée  par  une  somme 
de  Lamé  du  deuxième  ordre,  mais  encore  soit  à  être  svmélrique  par  rapport  au 
plan  des  xr,  soit  au  contraire  à  changer  de  signe  avec  z. 

La  seconde  hypothèse  est  sans  intérêt;  elle  nous  conduirait  simplemeni  à  une 

sorte    de    mouvement    de    précession.    Tenons-nous    donc   à   la    première   et 

supposons  que  la  figure  de  la  masse  fluide  est  assujettie  à  être  toujours  un 

ellipsoïde  ayant  un  axe  dirigé  suivant  l'axe  des  ;. 

Soit 

x'-        y"-  z^- 

p-        p-       p-—  I 

l'ellipsoïde  envisagé.   iVous  aurons  à  considérer  les  trois  fonctions  de  Lamé 


Ro  =  p  \  p"  —  b'-^  p-,  Y{'„  ,  et  RI  „.  Nous  poserons  donc 
P,  =  R.,M«N.  =  a;7, 

p„  _    D  1        \I  I        \  1        _    r2 1-2 

P,=  R;..,M.i,,N.!,,=  ■3.i---4-3j-  — 6-'-— 2. 
Nous  poserons  de  plus 

-.         H,  S,        R,S,        R,S,        R,',,.,S,',,.,  ,.        R,S,        R},,S.J,., 

J^  1  ^  — -. — : =  — 7. ■ : I  Ko  =  — • 


Nous  reprendrons  d'ailleurs  les  notations  du  paragraphe  précédent. 
La  fonction  ']ii  devant  satisfaire  a  l'équation 


dx-         r/r-  dz 

nous  l'écrirons 


o, 


b,=  K{x---y^^-^■ 


Bxj-  +  cix-'-^y'-—  ^  j  -4-  D, 


A,  B,  C  et  D  étant  des  coefficients  constants  qu'il  s'agit  de  délermiiier  ei  qui 
jouent  le  même  rôle  que  les  D,/  du  paragraphe  précédent. 
L'équation  (5)  du  paragraphe  précédent  devient 

.i,=— 4;:[A'K,(.r-^  — ^■■i)  +  B'Kiar)--)-  G'K,(3.2:'^-|- Sj^— 6  3^— 2)], 

A',  B',  C  étant  des  coefficients  constants,  et  elle  doit  devenir  une  identité  en 
tenant  compte  de  l'équation  de  l'ellipsoïde. 


i36  SUR  l'équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation 

On  trouve  d'aillours 


—^    =  2  A  : — 


2B^    -H  2C(   -^ ; ) 

p'  V     p'  p-— 1/ 


(/y   fi-         dx    p'- — ft-  0'-  p'- 

de  sorle  que  l'équation  (6)  du  paragraphe  précédent  devient 

Î1I1^(2A>.  -+-  :>l!<.)n-t-  •^'(2l5/.  -  SA<of)-l-  aC).  ('""'"^■'''' j^ '^ 

p-     ^  ?■'  V     p''  p'— 1/ 


À(4oj2— >.2) 


p-  VP'- 


[  A'(.r-  — j)-2)  +  B'.T)-  -+-  C'i'ix-^-  j_r-—  6j=—  2)1 


et  elle  doit  être  une  identité  en  tenant  compte  de  l'équation  de  l'ellipso'ide.  On 
doit  donc  avoir 


I  A  =  -1-A'K,,         B=  — 4;iIVK,. 

(8)     I    „       D  .     „,.-   /..        2  \  aC  D 


et  d'autre  part 


P-- 


2C'k.\ 


=    OCK.-.^),, 


2  A X  +  2 B ,0 ,■  =  '■(^'-'~'-)  A'  2 B X  -  8  A .., ,'  =  '■(^'^z}')  r', 


(9) 


s/p^ 

2C  = 


\/?--~l 


*  {"(i  - 

v/^ï^^    A       p= 


Ce   sont    là   les  équations  (8)  et  (y)  du  paragraphe  précédent.   On    peut   y 
satisfaire  : 

1°  en  supposant  que  C,  D  et  C  sont  nuls,  ce  qui  donne  en  éliminant  A,  B, 

A',  B'  : 

4  "'" —  '■■ 


2  W  ( 


4-K,  s/p°-  —  I 


OU 


ou 


.  4(02—  /,2         \5 

/.-(  2  H ■ ^=^  1  —  :()t')-^  =  o 

4-K,  v/p^-i 


4  0)2—  y.  5 
A  I  2  H ^=   I  =  3=  'i  (0. 


i-K,  \/p''^  — I 

Celle  équation  a  toujours  ses  trois  racines  réelles  si  Kj  est  positif;  l'ellipso'ide 
jouit  donc  alors  de  la  stahilité  ordinaire,  ce  que  l'on  pouvait  prévoir:  car  si  K, 


SUR  l'équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation.  187 

est  positif,  rfUipsoïde  est  peu  aplati  et,   ayant  la   stabilité  séculaitc,  il  doit 
a  fortiori  \ou'\v  de  la  stabilité  ordinaire. 

Dans  tous  les  cas,  on  trouve  en  prenant  le  signe  +  par  exemple  : 


À(X-f-2lo)  —  ,S:;Ki  V^?-  —  1  =  0, 

avec  ^  :=  2to  pour  la  troisième  racine. 

La  condition  de  réalité  des  racines  est  donc 


K,>- 


3-2- v'p-— I 

Il    résulte    de   là   qu'alors   même   que   K,    devient  négatif  et  que  l'ellipsoïde 
devenant  très  aplati  cesse  de  posséder  la  stabilité  séculaire,  il  jouit  encore 
pendant  un  certain  temps  de  la  stabilité  ordinaire. 
Cela  a  lieu  bien  que  l'expression 

ne  soit  ni  minimum,  ni  maximum  et  qu'elle  soit  un  «  minimas  »  pour  employer 
une  expression  consacrée  en  Angleterre  (c/.  loc.  cit.,  i^  778"  [_/])• 

2"  Supposons  maintenant  que  A,  B,  A',  B'  soient  nuls  et  que  C,  D  et  C  ne 
le  soient  pas. 

D'après  la  forme  même  des  équations  (8)  et  (g)  que  nous  venons  de  former, 
il  existera  un  mouvement  harmonique  du  deuxième  ordre  qui  satisfera  à  ces 
conditions.  11  résulte  également  de  la  forme  de  ces  équations,  que  ce  mouve- 
ment harmonique  ne  sera  pas  altéré  si  l'on  astreint  la  masse  fluide  à  alVecter  la 
figure  d'un  ellipsoïde  de  révolution. 

Mais  si  Fou  introduit  celte  liaison,  l'ellipsoïde  de  ré\'(jlution,  quel  que  soit 
son  aplatissemenl,  jouira  non  seulement  de  la  stabilité  ordinaire,  mais  de  la 
stabilité  séculaire  (c/.  loc.  cit.,  §  778"  [n]). 

Ainsi  certains  ellipsoïdes  très  aplatis  possèdent  encore  la  stabilité  ordinaire. 
Il  en  est  probablement  do  même  de  certains  ellipsoïdes  de  Jacobi  très  allongés. 

Ne  nous  occupons  plus  maintenant  que  de  la  stabilité  séculaire  et  ciierchons 
quelles  sont,  parmi  les  figures  d'équilibre  non  ellipsoïdales  dont  nous  avons 
démontré  l'existence,  celles  qui  possèdent  cette  stabilité.  A  cet  effet  nous 
pourrons  appliquer  le  principe  de  1  échange  des  stabilités,  ce  que  nous  ne 
pourrions  pas  faire  pour  la  stabilité  ordinaire. 

Soient  S  et  S'  deux  séries  linéaires  de  figures  d'équilibre  et  F  une  figure  de 
H.  P.  —  \I1.  iS 


l38  SUR    L'EQUILIBRE    D'UNE    MASSE   FLUIDE    EN    ROTATION. 

bifurcalion  comiuuiie  à  ces  deux  séries.  Si  pour  celte  ligure,  tous  les  coelTi- 
cienls  de  slabililé  sont  négatifs,  excepté  un  qui  est  nul,  il  y  aura  en  général 
tant  dans  la  série  S  que  dans  la  série  S',  des  ligures  très  peu  différentes  de  F 
qui  seront  stables.  Si  pour  la  ligure  F  il  y  a  des  coefficients  de  slabililé  positifs, 
toutes  les  figures  de  S  et  de  S'  très  peu  différentes  de  F  seront  instables. 

Nous  avons  considéré  diverses  séries  linéaires  de  ligures  d'équilibre,  à 
savoir  :  la  série  S  des  ellipsoides  de  révolution;  la  série  S'  des  ellipsoïdes  de 
Jacobi;  les  séries  !•  qui  ont  une  figure  commune  <I>  avec  la  série  S;  les  séries  .S3, 
Si,  .  .  .,  S„,  .  .  .  qui  ont  respectivement  une  ligure  commune  F;,,  F^,,  .... 
F„,  .  .  .  avec  la  série  S'.  La  figure  F„  sera  un  ellipsoïde  de  Jacobi  pour  lequel 
on  aura 

3  2«   +  1 

D'après  ce  qui  précède,  toutes  les  figures  $  seront  des  ellipsoïdes  de  révo- 
lution très  aplatis,  pour  lesquels  le  coefficient  de  stabilité  relatif  à  la  fonction  de 
Lamé  Rô  .,-,  sera  posllif.  Donc  toutes  les  figures  des  séries  1  n'auront  pas  la 
stabilité  séculaire;  c'est-à-dire  qu'elles  seront  instables  pourvu  que  le  fluide 
soit  visqueux  et  si  peu  qu'il  le  soit.  Cela  n'est  vrai  toutefois  que  pour  celles  de 
ces  figures  qui  diflèrent  irè*  peu  de  l'ellipsoïde  et  qui  sont  les  seules  dont  nous 
sachions  quelque  chose.  Il  n'est  pas  impossible  que  les  séries  i  contiennent  des 
figures  stables  très  différentes  de  l'ellipsoïde. 

Toutes  les  ligures  F;,,  F,.  .  .  .  sont  des  ellipsoïdes  très  allongés  pour le.squels 
un  certain  nombre  de  coeflicients  de  stabilité  sont  positifs.  Un  seul  est  excepté; 
c'est  l'ellipsoïde  limite  qui  sépare  les  ellipsoïdes  très  allongés  des  ellipsoïdes 
peu  allongés  et  pour  lequel  tous  les  coefficients  de  stabilité  corrigés  sont 
négatifs  excepté  un  qui  est  nul. 

Nous  avons  vu  an  paragraphe  XII  que  cet  ellipsoïde  limite  n'est  autre 
que  F:,. 

Donc  les  figures  peu  différentes  de  l'ellipsoïde  sont  iastables  (séculairement) 
dans  les  séries  .S,,  S;,,  ....  S,;;  et  stables  dans  la  série  S;,. 

La  forme  d'équilibre  représentée  dans  la  figure  page  i  i3  est  donc  une  forme 
d'équilibre  stable  (*). 

f  '  )    Voir  aux  iNotes,  Figures  piri/onncs. 


SUR  l'Équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation.  iSg 

XV.  —  Conclusions. 

Les  ellipsoïdes  ne  sont  pas  les  seules  figures  d'équilibre  que  puisse  allecler 
une  masse  fluide  homogène  dont  toutes  les  molécules  s'attirent  d'après  la  loi  de 
Newton  et  qui  est  animée  d'un  uiouvemenl  de  rolation  uniforme  autour  d'un 
axe.  Si  on  laisse  de  côté  certaines  formes  d'équilibre  où  la  masse  en  question 
se  subdivise  en  deux  ou  plusieurs  corps  isolés,  et  d'autres  où  elle  prend  une 
configuration  annulaire,  il  existe  encore  une  infinité  de  séries  de  figures 
d'équilibre. 

Toutes  ces  figures  sont  symétriques  par  rapport  à  un  plan  perpendiculaire  à 
l'axe  de  rolation.  En  outre  elles  ont  un  certain  nombre  do  plans  de  symétrie 
passant  par  l'ase  (elles  en  ont  toutes  au  moins  un)  et  certaines  d'entre  elles 
sont  de  révolution. 

Parmi  ces  séries  de  figures,  il  n'y  en  a  qu'une  qui  est  stable  et  elle  a  deux 
plans  de  symétrie  seulement  (voir  la  figure  p.  1 13). 

Les  ellipsoïdes  de  révolution  sont  stables  s'ils  sont  moins  aplatis  que  celui 
qui  est  en  même  temps  un  ellipsoïde  de  Jacobi  ;  les  ellipsoïdes  de  Jacobi  sont 
stables  s'ils  sont  assez  peu  allongés. 

Dans  ces  conditions  la  stabilité  subsiste  quand  même  le  fluide  est  visqueux. 

Les  ellipsoïdes  de  révolution  qui  sont  plus  aplatis  que  celui  qui  est  en  même 
temps  un  ellipsoïde  de  Jacobi,  mais  dont  l'aiilalisseuTent  reste  inférieur  à  une 
certaine  limite,  sont  stables  si  le  fluide  est  parfaitement  dépourvu  de  viscosité; 
ils  ne  le  sont  plus  si  le  fluide  est  visqueux  et  si  peu  qu'il  le  soit. 

Considérons  une  masse  fluide  homogène  animée  originairement  d'un  mou- 
vement de  rotation;  imaginons  que  cette  masse  se  contracte  en  se  refroidissant 
lentement,  mais  de  façon  à  rester  toujours  homogène.  Supposons  que  le  refroi- 
dissement soit  assez  lent  et  le  frottement  intérieur  du  fluide  assez  fort  pour  que 
le  mouvement  de  rotation  reste  le  même  dans  les  diverses  portions  du  fluide. 
Daus  ces  conditions  le  fluide  tendra  toujours  à  prendre  une  figure  d'équilibre 
séculairement  stable.  Le  moment  de  la  quantité  de  mouvement  restera  d'ailleurs 
constant. 

Au  début,  la  densité  étant  très  faible,  la  figure  de  la  masse  est  un  ellipsoïde 
de  révolution  très  peu  différent  d'une  sphère.  Le  refroidissement  aura  d'abord 
pour  elVet  d'augmenter  l'aplatissement  de  l'ellipsoïde,  qui  restera  cependant  de 

révolution.  Quand  l'aplatissement  sera  devenu  à  peu  près  égal  ù  ji  l'ellipsoïde 


,  ;„  SUR  l'équilibre  d'i'ne  masse  fluide  en  rotation. 

cessera  d'èlre  de  n'-voluliou  et  deviendra  un  ellii)soïde  de  Jacobi.  Le  refroidis- 
seinenl  coiiliuuanl,  la  masse  cessera  d'être  ellipsoïdale;  elle  deviendra  dissy- 
métrique par  rapporl  au  plan  des  )•:;  et  elle  alVectera  la  l'orme  représenléc  dans 
la  ligure  pa^c  1 13.  (jomme  nous  l'avons  fait  observer  à  propos  de  cette  figure, 
l'ellipsoïde  semble  se  creuser  légèrement  dans  sa  partie  moyenne,  mais  plus 
près  de  l'un  des  deux  sommets  du  grand  axe;  la  plus  grande  partie  de  la 
matière  tend  à  se  rapprocher  de  la  forme  sphérique,  pendant  que  la  plus 
petite  partie  sort  de  l'ellipsoïde  par  un  des  sommets  du  grand  axe,  comme  si 
elle  cherchait  à  se  détacher  de  la  masse  principale. 

il  est  diflîcile  d'annoncer  avec  certitude  ce  ([ui  arrivera  ensuite  si  le  refroi- 
dissement continue,  mais  il  est  permis  de  supposer  que  la  masse  ira  en  se 
creusant  de  plus  en  plus,  puis  en  s'ctranglant  dans  la  partie  moyenne  et  finira 
par  se  partager  en  deux  corps  isolés. 

On  pourrait  être  tenté  de  chercher  dans  ces  considérations  une  conlirmalion 
ou  une  réfutation  de  l'iiypothèse  de  Laplace,  mais  on  ne  doit  pas  oublier  que 
les  conditions  sont  ici  très  diflerenles,  car  notre  masse  est  homogène,  tandis 
que  la  nébuleuse  de  Laplace  devait  être  très  fortement  condensée  vers  le 
centre. 

J'ai  cru  néanmoins  devoir  exposer  ici  ce  qui  arrive  d'une  masse  homogène 
qui  se  contracte  lentement  et  incessamment,  car  c'était  le  meilleur  moyen  de 
résumer  sous  une  forme  un  peu  plus  concrète  les  principaux  résultats  de  ce 
long  Mémoire  et  de  faire  comprendre  quel  intérêt  il  y  aurait  à  combler  les 
lacunes  que  j'y  ai  laissé  subsister. 


SUR 

L'ÉQUILIBRE  D'UNE  MASSE  FLUIDE 
EN  ROTATION 


Coin  pics  rendus  de  /'Académie  des  Sciences,  t.  I0'2,  p.  970-972  (27  avril  1886). 


La  Nolc!  de  M.  Mallliiessen,  iuséréc  aux  Comptes  rendus  du  12  avril  dernier, 
appelle  de  ma  pari  quelques  explications.  J'ai  lu  les  Mémoires  cites  ('  )  dont  je 
n'avais  pas  connaissance,  et  j'ai  reconnu  que  M.  ^lallliiessen  avait  sit;nal6  avant 
MM.  Tait  et  Thomson  l'existence  des  ligures  annulaires  d'équilibre. 

Je  dois  toutefois  faire  observer  que  la  méthode  du  savant  professeur  de 
Koslock  ne  permet  qu'une  approximation  limitée  :  elle  est,  par  conséquent, 
inférieure  à  Cfdle  qu'à  employée  d'abord  M""'  de  Kowalewski,  et  que  j'ai  reprise 
ensuite. 

Pour  uiieuv  faire  comprendre  la  dilFérence  des  deux  méthodes,  que 
l'Académie  veuille  bien  me  permettre  de  signaler  une  erreur  commise  par 
M.  Matthiessen  et  qu'il  n'eût  guère  pu  éviter  avec  les  ressources  analytiques 
dont  on  disposait  il  y  a  quinze  ans. 

Ce  géomètre  distingue  deux  sortes  d'anneaux  :  l'anneau  a,  dont  la  section 
méridienne  dilYère  très  peu  d'un  cercle  et  où  le  rayon  de  la  section  méridienne 
est  très  petit  par  rapport  au  rayon  de  Téquateur  (c'est  le  seul  dont  je  me  sois 
occupé  et  dont  j'aie  démontré  l'existence),  et  l'anneau  [3  dont  l'épaissenr  est 
très  petite  par  rapport  au  rayon  de  réquate<ir,  pendant  que  le  rayon  intérieur 
de  l'équateur  est  très  petit  par  rapport  au  rayon  extérieur. 


('}  On  Irouvira  la  Irsie  du  ces  Mémoires  diiiis   le    Tmilé  de   Méeiiiiique   cétesle   de   'I  IssEiiAND 
I.  2,  p.   iilj.  (.1.1..)- 


ijo  SUR    L'EQUILIBRE    D'UNE    MASSE    FLUIDE    EN    ROTATION. 

M.  Mallhiesseii  suppose  que  la  seclioa  inéiidleune  de  ranneau  (3  diflere  très 
peu  d'une  ellipse  1res  aplalie.  Or  on  peut  dàmonlrer  que  l'anneau  (3,  à  supposer 
qu'il  existe,  a  une  section  méridienne  très  difl'érente  de  l'ellipse;  carie  maximum 
de  l'épaisseur,  loin  de  se  trouver  au  milieu  de  la  largeur  de  l'anneau,  se  trouve, 
au  contraire,  toul  prés  du  bord  extérieur. 

M.  Malthiessen  dit  également  avoir  signalé  avant  moi  les  déformations  que 
subissent  les  ellipso'ides  par  condensation  ou  expansion.  Cela  pourrait  faire 
croire  qu'il  connaissait  les  figures  d'équilibre  qui  font  l'objet  de  mon  dernier 
Mémoire  {Acta  Math.,  t.  7,  p.  345)  (').  H  n'en  est  rien.  M.  Matthiessen  a 
seulement  classé  les  figures  qu'il  connaissait  (ellipsoïdes  cl  anneaux),  en  clier- 
ehant  celles  qui  correspondaient  aux  dilïérentes  valeurs  du  moment  de  rota- 
tion: mais  il  ne  s'est  pas  préoccupé  de  leur  stabilité.  Il  n'a  donc  nullement 
montré  comment  se  comporterait  une  masse  fluide  qui  se  condenserait  en 
restant  homogène,  puisqu'une  pareille  masse  ne  pourrait  prendre  que  des 
formes  stables.  Il  ne  pouvait  d'ailleurs  le  faire,  puisqu'une  des  figures  que 
prendrait  celte  masse  en  se  condensant  ne  lui  était  pas  connue. 

.Te  profilerai  de  l'occasion  pour  signaler  un  Mémoire  de  M.  Liapounoff,  de 
Kazan,  publié  en  i884,  et  où  le  géomètre  russe  m'a  devancé  sur  quelques 
points.  Absolument  ignorant  de  la  langue  russe,  je  ne  connais  encore  ce  travail 
que  par  une  analyse  qu'en  a  donnée  récemment  M.  Radau  dans  le  Bulletin 
astronomique.  Je  ne  puis  donc  que  renvoyer  à  celle  analyse,  mais  je  mo 
réserve  de  revenir  plus  tard  sur  ce  sujet,  si  l'Académie  veut  bien  le  permettre. 

(')  (JEuvres  de  11.  Poincarè,  ce  Tome  p.  lia. 


SUR 

UN  THÉORÈME  DE  M.  LIAPOUNOFF 
RELATIF  A  L'ÉOUILIBUE  D'UNE  MASSE  FLUIDE 


Comptes  rendus  de  l'Académie  des  Sciences,  t.  lO'i,  p.  622-6^5  (7  mars  1887). 


Lorqu'une  masse  fluide  homogène,  sans  mouvement  de  rotation,  est  soumise 
à  la  loi  de  Newton,  il  est  évident  qu'une  des  figures  d'équilibre  est  la  sphère; 
mais  nous  ne  savons  pas  jusqu'à  présent  s'il  en  existe  d'autres. 

Nous  ne  savons  même  pas  démontrer  que  la  sphère  est  la  seule  figure  d'équi- 
libre stable  (  '  ). 

Il  faut,  pour  l'équilibre  stable,  que  l'intégrale 

d-  (h' 


S~- 


atteigne  un  maximum,  [j'inlégralion  doit  être  étendue  à  toutes  les  couibinaisons 
de  deux  éléments  dz  et  dz'  du  volume  de  la  masse  fluide,  et  r  désigne  la  dis- 
tance de  ces  deux  éléments. 

Pour  démontrer  que  la  sphère  est  la  seule  ligure  d'équilibre  stable,  il 
faudrait  donc  établir  qu'elle  est  la  seule  qui  corresponde  à  un  maximum  relatif 
de  W.  On  ne  sait  pas  le  faire,  mais  M.  Liapounoff  a  dernièrement  démontré, 
dans  les  Mémoires  de  V Université  de  KharAow,  que  la  sphère  correspond  au 
maximum  absolu  de  VV. 

(  '1    loir  aux  Notes,  Masses  Jluides  en  rotation  {résultats  divers). 


1  i4  Sl'R    UN   THÉORÈME    DE    M.    LIAPOUNOFF. 

Je  crois  i]ii  il  esl  possible  de  simplilier  li(!aiicoii|)  la  démouslrnlioii  de 
'SI.  Liapounoir,  par  riulroduclioii  de  considérations  ein[)runlées  à  l'Eleclrosla- 
tique,  et  cesl  là  l'objel  de  la  présenle  Note. 

\"  Il  faiil  d'abord  démontrer  que  West  susceptible  d'un  maximum  absolu; 
pour  cela,  je  me  bornerai  à  faire  voir  que,  si  l'on  se  donne  le  volume  T  de  la 
ligure,  on  peut  trouver  une  limite  supérieure  de  W.  En  eflel,  on  a 

V  désignant  le  potentiel  de  la  masse  lluide  par  rap|)ort  au  centre  de  gravité  de 
l'élément  dr. 

Or  V  est  munifestemenl  plus  petit  que  le  potentiel  d'une  sphère  de  volume  T 
par  rapport  à  son  centre.  On  a  donc 

V<i;:K-^; 

en  posant  ^ttR'^^  T,  on  en  déduit 

W<rR5T. 

W  a  donc  un  maximum  absolu.  Nous  nous  contenterons  de  cet  aperçu  pour 
établir  ce  premier  point,  que  M.  LiapounolT  avait  laissé  de  côté. 

a"  Nous  allons,  avant  de  di'montrer  le  théorème  de  M.  LiapounofF,  établir  la 
proposition  suivante  : 

De  Ions  les  cotiducleurs  de  même  volume  T,  c'est  la  sp/tèrc  qui  a  la  plus 
petite  capacité  électrique. 

Pour  cela,  je  ferai  voir  d'abord  que  la  capacité  électrique  C  admet  un 
minimum. 

Considérons,  on  lîHet,  un  conducteur  quelconque  de  volume  T  et  imaginons 
d'abord  qu'une  quantité  d'éleclricito,  égale  à  T,  soit  répandue  uniformément  à 
l'intérieur  du  volume  du  conducteur.  L'énergie  potentielle  sera  alors 


W 


-p 


Si  maintenant  cette  quantité  d'électricité  T  se  met  (;n  état  d'équilibre  élec- 
trostatique à   la  surface  du    conducteur,    celte  énergie   potentielle  deviendra 

T- 

—p;  couiine  l'équilibre  électrique  est  toujours  stable,  ou  devra  avoir 

T2  l'ï  T 

W  >  ~  d'oM  C  > 


Donc  <',  admet  une  limite  iiifé'rieuie.  c.   q.   f.    p. 


SUR    UN    THÉORÈME    DE    M.    LIAPOUNOFF.  l45 

3"  Je  dis  maintenant  que  le  minimum  absolu  de  C  correspond  à  la  sphère.  En 
effet,  pour  que  C  soit  minimum,  il  faut  d'abord  que  sa  première  variation  soit 
nulle.  Or,  supposons  que  le  conducteur  se  déforme  infiniment  peu,  de  façon 
que  Ç  soit  la  distance  de  deux  points  correspondants  du  conducteur  avant  et 
après  la  déformation,  distance  estimée  suivant  la  normale.  Si  la  charge  du 
conducteur  est  M,  et  que  p  soit  la  densité  électrique  en  un  point  de  la  surface 
du  conducteur,  la  variation  dC  de  la  capacité  sera  donnée  par  la  formule 


-ç7—  =4^-1   p-Çow, 


l'intégrale  étant  étendue  à  tous  les  éléments  dfj>  de  la  surface  du  conducteur. 
On  a,  d'autre  part, 

(/T  =  A  f/to. 

Il  faut  que,  si  la  variation  dT  du  volume  est  nulle,  la  variation  dC  le  soit 
également.  Pour  cela,  il  faut  et  il  suffit  que  p  soit  une  constante,  c'est-à-dire 
que  la  distribution  électrique  à  la  surface  du  conducteur  soit  uniforme.  On  ne 
sait  pas  s'il  existe  d'autre  conducteur  que  la  sphère  satisfaisant  à  cette 
condition. 

Mais  il  nous  suffira,  pour  notre  objet,  de  comparer  les  capacités  des  conduc- 
teurs qui  y  satisfont  et  de  montrer  que  celle  de  la  sphère  est  la  plus  petite. 

Supposons  que  le  conducteur  subisse  une  déformation  qui  altère  son  volume. 
On  aura,  p  étant  une  constante, 

i^-  =  4  -p'^  fc  (h.,  =  4  -'/-  dT 

ou  bien 

S-^dC 


C- 


=  47trfT, 


S  désignant  la  surface  totale  du  conducteur.  Si  le  conducteur  se  déforme  en 
restant  semblable  à  lui-même,  la  capacité  sera,  par  raison  de  similitude,  pro- 
portionnelle à  la  racine  cubique  du  volume,  de  sorte  que  l'on  aura 


On  en  déduit 


Ainsi,   pour  tous  les  conducteurs  à   distribution   uniforme,    la  capacité  est 
H.  P.  -  Vit. 


dC 

I 

dT 

G 

3 

T 

s-^ 

"C 

= 

12 

;:r, 

l46  SUR    UN    THÉORÈME    DE    M.    LIAPOUNOFF. 

proportionnelle  au  carré  de  la  surface.  Or,  Steiner  a  démontré  que,  de  toutes 
les  figures  de  même  volume,  c'est  la  sphère  qui  a  la  plus  petite  surface;  c'est 
donc  elle  qui  a  la  plus  petite  capacité. 

4°  Je  dis  maintenant  que  la  sphère  correspond  au  maximum  absolu  de  W. 
En  efTet,  pour  que  W  atteigne  ce  maximum,  il  faut  d'abord  que  sa  variation 
soit  nulle  quand  la  figure  subit  une  déformation  qui  n'altère  pas  le  volume.  Or, 
la  variation  de  \\   a  pour  expression 

o'\V=   A  ?</<■). 

Pour  que  cetle  variation  soit  nulle  eu  mémo  temps  que  clT,  il  faut  et  il  suffit 

que  V  soit  une  constante  en  tous  les  points  de  la  surface,  ce  qui  a  lieu  pour  les 

surfaces    d'équilibre.    Mais    alors    ou  a,    pour   une    déformation   qui    allére  le 

volume, 

dW  =  \dT. 

Si  l'on  suppose,  en  particulier,  que  la  figure  se  déforme  en  restant  semblable 

à  elle-même,  W  est  proportionnel  à  la  puissance  ^  de  T  ;  on  a  donc 

d\V        5  clT  3 

Mais  l'attraction  d'une  figure  d'équilibre  sur  un  point  extérieur  est  la  même 
que  celle  d'une  masse  d'électricité  égale  à  T,  répandue  à  la  surface  de  cette 
figure,  regardée  comme  un  conducteur;  on  a  donc 

T  3   T2 

G  D    G 

On  voit  ainsi  que  W  est  inversement  proportionnel  à  C,  et  que  la  sphère, 
qui  correspond  an  minimum  de  G,  doit  correspondre  au  maximum  de  W. 
5"  Dans  le  cas  où  la  masse  fluide  est  animée  d'un  mouvement  de  rotation  de 

vitesse    angulaire    n,    la    condition    d'équilibre    est    que    Vh —  soit   une 

constante  en  tous  les  points  de  la  surface,   ou  que   la  première  variation  de 

WH — ;— soit  nulle.   Nous  désignons  par  p  la  distance  d'un   point  à  l'axe  de 


rotation,  el  par  I  le  moment  d'inertie.  On  trouve  alors 


W+^=^('v-t-^^)T. 


SUR 

L'ÉQUILIBRE  D'UNE  MASSE  HÉTÉROGÈNE 

EN  KOTATION 


Comptes  rendus  de  /'Académie  des  Sciences,  t.   106,  p.  1.Î71-1574  (4  juin  '888). 


Dans  une  remarquable  Thèse  (')  présentée  il  y  a  un  an  à  la  Faculté  des 
Sciences  do  Paris,  M.  Hanij  a  obtenu  le  résultat  suivant  : 

Si  une  masse  fluide  animée  d'un  mouvement  de  rotation  est  composée  de 
couches  de  densités  différentes,  il  ne  peut  pas  arriver  que  les  surfaces  de  sépa- 
ration de  deux  couches  consécutives  soient  toutes  des  ellipsoïdes. 

Pour  établir  cette  proposition,  M.  Hamj  commence  par  démontrer,  à  titre 
de  lemmo,  le  tliéoréinc  suivant  : 

Si  toutes  les  sur/aces  de  séparation  étaient  des  ellipsoïdes^  tous  ces  ellip- 
soïdes seraient  homofocaux .  , 

Ce  leuime  est  susceptible  d'une  généralisation  qui  peut  présenter  quelque 
intérêt,  moins  peut-être  en  raison  du  résultat  lui-même  que  de  la  méthode  qui 
me  l'a  fait  obtenir,  et  qui  est  tout  à  fait  diflérente  de  celle  de  M.  Ilamy. 

Supposons  un  noyau  solide,  dont  la  densité  intérieure  0  varie  d'une  manière 
tout  à  fait  quelconque;  imaginons  que  ce  nojau  soit  recouvert  de  deux  couches 
fluides  superposées;  la  première  intérieure,  de  densité  p),  recouvrant  entière- 
ment le  noyau  solide,  la  seconde  extérieure,  de  densité  po,  recouvrant  entière- 
ment la  première.  Tout  le  système  sera  animé  d'un  mouvement  de  rotation 
commun.  Je  dis  que,  si  les  surfaces  extérieures  de  ces  deux  couches  fluides 
sont  toutes  deux  des  ellipsoïdes,  ces  ellipsoïdes  seront  homofocaux. 

(')  Journal  de  Matliéniatiijues  pures  et  appliquées,  t.  6,  1890,  p.  69-193. 


i48  SUR  l'équilibre  d'une  masse  hétérogène  en  rotation. 

Si  j'ai  supposo  le  in)vaii  solide,  ce  n'es!  pns  ipie  le  résultai  ne  soil  eucoie  vrai 
si  ce  noyau  est  tluide  eu  lolalilé  ou  en  partie.  Mais,  si  le  nojaii  élail  lluide,  sa 
densité  inléricure  ne  pourrait  pas  varier  d'une  façon  quelconque  et  devrait 
satisfaire  aux  équations  d'équilibre.  Je  n'ai  donc  supposé  le  nojau  solide  que 
pour  donner  au  résultat  toute  sa  généralité. 

Soient 
X,  y  et  ;  les  coordonnées  rectangulaires  d'un  point  ([uelconque; 
co  la  vitesse  de  rotation; 
r  la  dislance  du  point  (^,  i-,  j)  à  l'axe  de  relation. 

Soient  Fa  leilipsoïde  qui  limite  extérieurement  la  deuxième  couche  lluide  et 
par  conséquent  tout  le  s^'stème  et  E|  l'ellipso'ide  qui  sépare  la  première  couche 
fluide  de  la  seconde. 

Soient  /,  p.,  V  les  coordonnées  elliptiques  d'un  point  de  l'espace  par  rapport 
à  l'ellipso'ide  Ei  ;  ')' ^  \i! ,  v'  les  coordonnées  elliptiques  de  ce  même  point  par 
rapport  à  l'ellipso'ide  E^. 

Le  potentiel  newlonicn  total  du  système  se  composera  : 

i"  du  potentiel  de  l'ellipsoïde  E,  (supposé  plein,  homogène  et  de  densité  p.,): 
nous  l'appellerons  Vj); 

2"  du  potentiel  d'une  couche  comprise  entre  l'ellipso'ide  E,  et  la  surface  du 
noyau  solide  avec  la  densité  pi  —  pn  ; 

3"  du  potentiel  d'une  matière  attirante  remplissant  le  noyau  solide  avec  la 
densité  variable  p  —  p.j. 

Nous  appellerons  V]  la  somme  des  deux  dernières  parties,  de  sorte  que  le 
potentiel  total  sera  égal  à  V,  +  V.j. 

On  doit  remarquer  que  la  fonction  V,  à  l'intérieur  de  Ei  n'est  pas  la  conti- 
nuation analytique  de  la  fonction  V)  à  l'extérieui-  de  Ej  ;  de  même  V^  est  repré- 
senté par  deux  fonctions  analyti(|ues  différentes  à  l'intérieur  et  à  l'extérieur 
deE,. 

L'équation  d'équilibre  s'écrit 

V|  H-  VsH ^ —   =  consl., 

et  elle  doit  être  satisfaite  (avec  deux  valeurs  difTérenles  de  la  constante)  à  la 
surface  de  E,  et  à  celle  de  E,. 

La  fonction est  un  polynôme  du  second  degré  x,  y ,  z;  la  fonction  V.j  est 


SUR  l'Équilibre  d'une  masse  hétérogène  en  rotation.  lig 

égale  aussi  à  un  poljnoine  du  second  degré  en  x,  y,  z  à  i'inlérleur  et  à  la  sur- 
face de  Eo. 

Nous  devons  conclure  que  Vi  se  réduit  à  un  polynôme  du  second  degré  en 
X,  y,  z  à  la  surface  de  Ei  et  un  autre  polynôme  du  second  degré  en  x,  y,  z  à  la 
surface  de  E.,. 

En  partant  de  rellipso'ide  Ei  et  des  coordonnées  ellif'tiques  >,,  p.,  v,  on  peut 
former  une  suite  indélinie  de  fonctions  de  Lomé  :  R„,  R,,  .  .  . ,  R„;  R„  sera  un 
polynôme  en  X,  y//-  —  b-,  y//,-' —  r-  (  b-  et  <■'-  conservant  le  sens  habituel  donné 
à  ces  notations  dans  la  théorie  des  fonctions  de  Lamé).  A  R„  correspondront 
deux  fonctions  conjuguées  M„  et  N„  obtenues  en  remplaçant,  dans  R„,  A  par  [j. 
et  par  v,  et  la  fonction 

S,  =  R,    f  ^' 

Il  y  a  une  seule  fonction  de  Lamé  de  degré  zéro  qui  est  R„=  i  :  nous  lui 
donnerons  l'indice  zéro  ;  il  y  en  a  trois  de  degré  i  :  nous  leur  donnerons  les 
indices  i,  2,  3;  il  y  en  a  cinq  de  degré  2  :  nous  leur  donnerons  les  indices  4, 
5,6,7,8. 

Avec  l'ellipso'ide  E2  et  les  coordonnées  elliptiques  V,  fx',  v',  on  formera  de 
même  les  fonctions  de  Lamé  R',„  M^,,  N',^.  S'„. 

De  ce  que  V,  est  égal  à  la  surface  de  Ei  à  un  polynôme  du  second  degré  en 
X,  y,  z,  on  conclut  qu'on  a  à  l'extérieur  de  Ei  : 

v,=2a„s„m„n„, 

ri  ^(1 

les  A„  étant  des  coefficients  conslanls. 

De  même,  Vi  élant  encore  égal  à  un  polynôme  du  second  degré  à  la  sur- 
face E2,  on  devra  avoir  à  l'extérieur  de  Ej  : 


V,=2a'„S'„M'„N'„, 


les  A'„  étant  de  nouveaux  coefficients  constants. 
On  a  donc  l'identité 


(I)  2|A«s„m„!\„=2a'„s;,m'„n',„ 

et  c^esl  celle  identilé  qui  ne-peut  avoir  lieu  que  si  E^  et  E3  sont  homofocaux. 


l5o  SUR    L'ÉQUILIBRE   D'UNE    MASSE   HÉTÉROGÈNE   EN    ROTATION. 

A  vrai  dire,  l'ideulilo  [  i  )  n'est  démontrée  que  pour  les  valeurs  réelles  de  x,  y 
et  -,  et  quand  le  point  {x,  y,  z)  est  extérieur  à  E,.  Mais,  quand  deux  fonctions 
analytiques  sont  identiques  tout  le  long  d'une  ligne  conlinue,  elles  resteut 
identiques  pour  toutes  les  valeurs  réelles  et  imaginaires  des  variables.  L'iden- 
tité (  I  )  '^"^  soudVe  donc  aucune  exception. 

Gela  posé,  observons  que  le  premier  membre  de  (  i  )  n'est  pas  une  fonction 
uniforme  de  x,  y  et  z,  mais  qu'il  admet  une  infinité  de  valeurs,  lesquelles 
s'échangent  entre  elles  quand  le  point  {x,^',  z)  appartient  à  la  dcveloppable 
circonscrite  aux  ellipso'ides  homofocaux  à  Ei. 

De  même,  le  second  membre  de  (  i  )  admettre  une  infinité  de  valeurs  qui 
s'échangeront  entre  elles  quand  le  point  {x,y,  z)  appartiendra  à  la  dévelop- 
pable  circonscrite  aux  ellipso'ides  homofocaux  à  Eo. 

Mais,  les  deux  membres  de  (  i  )  devant  être  identiques,  ces  deux  dévelop- 
pables  devront  co'incider,  ce  qui  prouve  que  Ei  et  E2  sont  homofocaux.  La 
réponse  doit  être  affirmative. 

c.    Q.    F.    D. 

Une  question  se  pose  alors  naturellemeul.  Est-il  possible  d'imaginer  à  l'inté- 
rieur du  novau  solide  une  distribution  de  la  densité  telle  que  les  deux  couches 
fluides  prennent  effectivement  la  foruie  de  deux  ellipso'ides  homofocaux  ?  La 
réponse  doit  être  affirmative. 

Le  résultat  obtenu  dans  celte  Note  peut  être  généralisé  de  la  façon  suivante. 
Si  un  noyau  solide  quelconque  est  recouvert  de  n  couches  fluides  superposées, 
et  que  tout  le  système  soit  animé  d'un  mouvement  de  rotation  commun,  si  la 
surface  extérieure  de  la  dernière  couche  fluide  ainsi  que  les  surfaces  de  sépa- 
ration de  deux  couches  fluides  consécutives  sont  toutes  des  ellipsoïdes,  tous  ces 
ellipso'ides  sont  homofocaux. 


SUR  L'ÉQUILIBRE  D'UN  FLUIDE 

EN  ROTATION 


Bulletin  astronomique,  t.  IG,  p.   161-169  (mai  iSgj). 


Dans  ce  qui  va  suivre,  je  considérerai  l'équilibre  d'une  masse  fluide  homo- 
gène en  rotation,  obéissant  à  la  loi  de  Newton.  La  masse  étant  homogène,  je 
prendrai  sa  densité  pour  unité,  de  telle  sorte  que  le  potentiel  V  s'écrira 


rh' 


r  étant  la  distance  de  l'élément  de  volume  rfr'  au  point  attiré. 
J'appellerai  W  l'énergie  potentielle 


w  =  ;/v 


o't, 


l'intégration  étant  étendue  à  tous  les  éléments  de  volume  dz  delà  masse  fluide; 
le  travail  virtuel  de  l'attraction  sera  égal  à  la  variation  oW. 

Si  o  est  la  vitesse  de  rotation  et  que  l'axe  de  rotation  soit  l'axe  des   z,  je 
poserai 

de  telle  sorte  qu'on  aura 

AU  =  2W-— 4::. 

La  condition  d'équilibre  est  que  l'on  ait  à  la  surface 

U  =  Uo, 


i52  SUR  l'equilibrk  d'un  fluide  en  rotation. 

Ug  olant  uuo  conslaule.  Dans  le  cas  où  il  113  a  pas  de  rolalion,  oj  esl  nul  et  l'on 

doil  avoir  à  la  surface 

V  =  \',„ 
Vo  étant  une  constante. 

Si  l'on  suppose  u  ^  o,  on  sait  que  la  sphère  est  une  figure  d'équilibre  ;  mais 
on  ne  sait  pas  si  c'est  la  seule  ligure  d'équilibre  possible  ('  );  on  ne  sait  même 
pas  si  c'est  la  seule  figure  stable  possible,  c'osl-à-dire  si  W  n'a  pas  d'autre 
niaxiiuuiu  relatif  que  celui  qui  coircspond  à  la  sphère.  En  revanche 
M.  Liapounoll  a  démontré  que  la  sphère  correspond  au  maximum  absolu 
de  W.  Je  voudrais  d'abord  rappeler  rapidement  la  forme  simjde  que  j'ai 
donnée  à  la  démonstration  du  théorème  de  Liapounoll'. 

Je  désignerai  par  T  le  volume  de  la  masse  fluide. 

i"  Le  potentiel  d'un  volume  quelconque  par  rapport  à  un  point  quelconque 
est  plus  petit  que  le  potentiel  d'une  sphère  de  même  volume  par  rapport  à  son 
centre;  on  aura  donc 

V  <  2  ;t  R'-, 
en  posant 


2"  On  aura 


W 


=  i    rVo-K  ;tR2T. 


Donc  l'énergie  potentielle  W  d'une  masse  tluide  de  volume  T  a  un  maximum. 
Il  reste  à  démontrer  que  ce  maximum  ne  peut  être  atteint  que  pour  la  sphère. 

3"  Je  dis  maintenant  que  la  capacité  électrostatique  C  d'un  conducteur  de 
volume  T  a  un  minimum.  Chargeons  en  effet  ce  conducteur  d'une  charge  élec- 
trique égale  à  T,  on  aura 

;iJ:<W<-R^T,        d'où        C>.^,  C>^R. 

2L.  27cR-  3 

Il  reste  à  montrer  que  ce  nnnimum  ne  peut  être  atteint  que  pour  la  sphère. 
/^"  Soit,   en  effet,   M  la  charge  du  conducteur,  jjl  la  densité  électrique  sur 
l'élément  de  surface  «/cr,  de  telle  façon  que 


M 


-.fl.d.. 


{')  Voir  aux  Notes,  Masses  Jluides  en  rotation  {résultats  dii>ers). 


SUR    L'ÉQUILIBRE    D'UN    FLUIDE    EN    ROTATION.  l53 

Supposons  que  le  conducteur  se  déforme  de  telle  façon  que  le  centre  de 
gravité  de  l'élément  dij  subisse  un  petit  déplacement  dont  la  projection  sur  la 
normale  à  l'élément  dv  sera  égale  à  Ç;  alors  la  capacité  et  le  volume  subiront 
des  accroissements  dC  et  d!T  et  l'on  aura 

WdC 


'~  =  fi  -a'  Ç  t/T  ;  ,n  =   Ci:,  rfa. 


Gomme  je  suppose  G  minimum,  l'équation  dT  ^  o  doit  entraîner  <iC  ^  o, 

et  l'on  doit  avoir 

M 

Lt  =  consl.  =  -^) 

S  étant  la  surface  du  conducteur;  d'où  si  dT  n'est  pas  nul, 

— — —  =  4  îti-t'  «1        ou  p„     =  4  ^  "  I  • 

Mais  si  le  conducteur  se  dilate,  en  restant  semblable  à  lui-même,  la  capacité 

varie  en  raison  directe  de  la  racine  cubique  du  volume,  en  sorte  que 

dC  _id'T 
^  '  ^  G   ~  3  "T  ■ 

On  en  déduit 


C  = 


i2:tT 


Or,  parmi  tous  les  corps  de  même  volume,  celui  qui  a  la  plus  petite  surface 

est  la  sphère;  donc  celui  qui  a  la  plus  petite  capacité  est  la  sphère. 

\ 

C.     Q.     F.     D. 

On  a  donc 

C>R. 

5"  Les  formules  précédentes  supposent  que  la  capacité  est  minimum.  Si  elle 
n'a  pas  atteint  son  minimum,  /j.  ne  sera  plus  une  constante,  mais  si  [>.u  et  /jtj 
représentent  la  plus  grande  et  la  plus  petite  valeur  de  fji,  on  aura 

4  nfji  r  oTT  <        ,     <  4'^(j^ô  «T. 

Si  le  corps  est  une  forme  d'équilibre,  de  telle  sorte  qu'à  la  surface  on  ait 

V  =  v„, 

on  aura 

T  =  CV„. 

Si  je  désigne  par  Fo  et  Fj  la  plus  grande  et  la  plus  petite  valeur  de  l'attrac- 
tion à  la  surface  du  corps,  on  aura,  en  supposant  M  =:  ï, 

4:t!J.o=  Fo,         4"|J-i  =  f"i  ; 
H.  P.  —  VII.  20 


i;,4  SUR  l'Équilibre  d'un  fluide  en  rotation. 

d'où 


F?rfT<^-iLgf]^<FSrfT, 


ou,  à  cause  de  la  relation  (i), 


F;<|;tV„<F5. 


6"  iVous  avons  vu  cjue  W  a  ua  maximum;  je  veux  mainlenant  démontrer  que 
ce  maTimum  ne  peut  être  atteint  que  pour  la  sphère  (c'est  le  théorème  de 
M.  LiapounolF). 

Supposons,  en  effet,  que  notre  corps  se  déforme;  nous  aurons 


d\\ 


=  fy^fh,  dT=  j  ^da. 


Pour  que  W  soit   maximum,    il  faut  que   dW  s'annule   toutes   les   fois  (jue 
dT  ^  o;  et,  pour  cela,  il  faut  que  la  valeur  de  V  à  la  surface  se  réduise  à  une 
constante  Vn  ;  c'est  ce  que  nous  savions  déjà. 
Si  maintenant  dT  n'est  pas  nul,  ou  aura 

rAY  =  VorfT. 
D'autre  part,  si  le  corps  reste  semblable  à  lui-même,  W  sera  proportionnel 
à  la  puissance  ^  de  T,  c'est-à-dire  qu'on  aura 

rf\V  _  5  dT 
W    ~  3   T  ' 
d'où 

W=^V„T         ou         W=^Ç. 


De  tous  les  corps  de  volume  T,  la  sphère  ayant  la  plus  petite  capacité  aura  la 
plus  grande  énergie  W.  c.   q.   f.   d. 

Cherchons  maintenant  à  étendre  ces  résultats  au  cas  où  il  y  a  un  mouvement 
de  rotation.  Nous  avons  encore 

=fy,d.. 


d\\ 


D'autre  part,  si  J  est  le  moment  d'inertie,  on  aura 

d.]  =.  fux"--¥-  j2  )  dn,         d'où         ^AV  +  ^'  f/J  =  /  U  î  f/a. 

Pour  qu'il  y  ait  équilibre,  il  faut  que  rfW  -1-  —  rfJ  soit  nul  toutes  les  fois  que 

dl  =  o;  il  faut  donc  que  la  valeur  de  U  à  la  surface  se  réduise  à  une  constante 
Uo;  c'est  ce  que  nous  savions  déjà. 


SUR  l'Équilibre  d'un  fluide  en  rotation.  i55 

Si  alors  dT  n'est  pas  uul,  on  a 

dW  -h~di  =  Uof/T. 

D'autre  part,  si  le  corps  reste  semblable  à  lui-même,  .î  est  comme  W  pro- 

5 
porlionnel  à  la  puissance  7;  de  T,  de  sorte  que 

d\\  -t-  '^  d.]       . 

5  j  ai 


2 


d'où 

(2)  W-^-  -"-'j  =  UoT. 

De  celte  formule  on  peut  tirer  dillérentes  conséquences, 
i"  Soient  V  le  potentiel  dû  à  l'attraction  de  notre  masse  Huide  et  V  celui 
qui  serait  dû  à  une  charge  électrique  égale  à  T  et  ([ui  serait  en  équilibre  à  la 

surface  du  corps  regardé  comme  un  conducteur. 

T 

A  la  surface  du  corps,  V  aura  la  valeur  constante  -p' 

Soit  une  sphère  de  ravon  très  grand  dont  le  centre  sera  fixe,  mais  dont  nous 
ferons  varier  le  rayon.  On  aura,  en  étendant  les  intégrales  à  tous  les  éléments 
d'y  de  la  surface  de  cette  sphère, 


'■  de  =  o. 


On  en  conclut  que  la  valeur  moyenne  de  \  —  \  '  à  la  surface  de  la  sphère  est 
indépendante  du  rayon  de  cette  sphère.  Or,  cette  valeur  doit  s'annuler  à 
l'infini;  donc  cette  valeur  moyenne  est  toujours  nulle.  Donc  V — V  ne  peut 
être  ni  toujours  positif,  ni  toujours  négatif. 

Or,  si  V  —  V  était  toujours  positif  (ou  toujours  négatif)  à  la  surface  du 
corps,  il  serait  toujours  positif  (ou  toujours  négatif)  à  l'extérieur  du  corps. 
Donc  la  valeur  constante  de  V  doit  être  comprise  entre  le  maximum  et  le 
minimum  de  V. 

Soient  l'o  la  plus  grande  distance  du  corps  à  l'axe  de  rotation  et  l'i  la  plus  petite 
distance.  Pour  des  figures  d'équilibre  telle  que  les  ellipsoïdes  de  Mac  Laurin 
et  de  Jacobi  par  exemple,  l'axe  de  rotation  rencontre  la  surface  du  corps  et  r, 
est  nul;  mais  il  n'en  serait  plus  de  même  pour  une  figure  annulaire  d'équilibre. 

On  a  alors  à  la  surface 


l56  SUR    L'ÉQUILIBRE    D'UN    FLUIDE   EN    ROTATION. 

el  par  consoqiienl 

u„-i:^<v<Uo-^:^. 

:>.  2 

Donc,  d'après  le  résullal  oblenii  plus  li:iiit, 

d'où  nous  déduirons  les  inégalités 


-  lO-/' 


5    G         10  2  5    G         lo 


et  dans  tous  les  cas 


3  T-       „, 
5   G   <^^ 


Ce  sont  des  relations  entre  l'énergie  potentielle  du  corps,  son  moment 
d'inertie,  son  volume,  sa  capacité  éleclrostaliqiie,  et  /■„,  c'est-à-dire  ce  qu'on 
pourrait  appeler  le  rayon  de  l'équateur. 

2°  D'après  ce  que  nous  avons  vu  plus  haut.  AU  est  négatif  si  co-  <  27r,  nul  si 
ù>'-  =  2n,  positif  si  oi-'^  2  7T.  Dans  le  premier  cas,  U  peut  avoir  un  maximum, 
mais  pas  de  minimum;  dans  le  second  cas,  U  ne  peut  avoir  ni  maximum  ni 
minimum;  dans  le  troisième  cas,  U  peut  avoir  un  minimum,  mais  pas  de 
maximum. 

J'ai  démontré  ailleurs  (Bull.  as(ron.,  l.  2,  p.  109)  (')  que  dans  les  deux 
derniers  cas  l'équilibre  ne  saurait  être  stable. 

Dans  le  premier  cas,  on  a  U  <  U,,  à  l'intérieur  du  corps  ;  dans  le  second  cas 
on  a  U  ^  Uo,  dans  le  troisième  ou  a  U  >  U,,. 

Or 

Cv  ,/-=  /'vrfa-4-  '^  f(x"--hy-)d^  =  2W+  —  J; 

dans  le  premier  cas,  on  a  donc 

>\\-^  'l'j>UoT; 
dans  le  second  : 


dans  le  troisième  : 


2W-1-  -^.I  =  U„T; 


2Wh J  <UoT. 

2 


(')  Œuvres  de  II.  Poincaré,  ce  Tome,  p.  17. 


SUR  l'Équilibre  d'un  fluide  en  rotation.  167 

En  rapprochnnl  de  la  foruniiilo  (li),  on  voil  <|iie  : 

si  co-  <  2  7r,  on  a 

W>(o^J; 

si  co-  =  27r,  on  a 

si  0)-  >  y.  TT,  on  a 

W<  w,J. 

3"  Je  suppose  que  w  varie  d'une  manière  continue  ainsi  que  la  figure  d'équi- 
libre (le  volume  T  demeurant  conslant  bien  entendu). 

La  figure  devant  satisfaire  à  la  condition  d'c(|uilibre,  on  aura 

(i\y  +  —  (li  =  o, 
2 

et  par  conséquent,  en  dilï'érenliaut  l'équation  (2), 

3 
(oJ  (/m  =  -  T  f/Uo. 

D 

Cela  nous  montre  que  Uq  croît  avise  to. 

Ce  résultat  est  vrai  pour  toutes  les  ligures  d'équilibre,  mais  pour  les 
figures  d'équilibre  qui  rencontrent  l'axe  de  rotation,  il  peut  s'énoncer  autre- 
ment :  le  potentiel  au  pôle  croit  quand  la  vitesse  de  rotation  augmente. 

4"  Pour  les  figures  d'équilibre  qui  rencontrent  l'axe  de  rotation,  U(,  étant  le 
potentiel  au  pôle  est,  d'après  ce  que  nous  avons  vu  au  début,  plus  petit  que 
2  7rR-. 

Donc  U„  ne  peut  croître  indéfiniment,  et  cela  nous  fait  déjà  prévoir  que  co  ne 
peut  non  plus  croître  indéfiniment. 

Pour  le  démontrer,  je  pars  de  l'égalité  suivante,  conséquence  immédiate  de 

celle  que  je  viens  d'établir 

VAo        3T    j'dVo 


J     ">  'j    J    <"-J 

Soit  il  la  plus  petite  valeur  de  co-'J.  il  vient 

J      0)  dm  J  a  12 


Pour  que  w  puisse  croître  indéfiniment,  il  faudrait  que  i2  fût  nul;  c'est-à-dire 
que  quand  00  croît  indéfiniment,  u'-J  tende  vers  zéro. 

Or,  dés  (jue  co  a  dépassé  la  valeur  v/27t,  on  a  W<;w'-J;  donc  W  devrait 
aussi  tendre  vers  zéro.  Donc 


u„=A(w.Çj 


i58  SUR  l'équilibre  d'un  fluide  en  rotation. 

devrait  tendre  vers  zéro.  Mais  cela  n'est  pas  possiljle  puisque  U„  croît  avec  to. 
D'où  la  conclusion  suivante  (')  : 

Quand  on  fera  varier  d'une  manière  continue  la  vitesse  to  ainsi  que  la  figure 
d'équilibre,  de  deux  choses  l'une  :  ou  bien  la  vitesse  w,  après  avoir  crû,  finira 
par  décroître;  ou  bien  la  figure  d'équilibre  cessera  à  un  certain  moment  de 
rencontrer  l'axe  de  rotation. 

C'est  ainsi  que,  si  l'on  suit  la  série  des  ellipsoïdes  de  révolution,  w-  croît 
depuis  zéro  jusqu'à  4^^  X  o,  i  la,  et  décroît  ensuite  jusqu'à  zéro;  de  même  si 
l'on  suit  la  série  des  ellipsoïdes  de  Jacobi,  w-  croît  depuis  zéro  jusqu'à 
4?:  X  0,093,  et  décroît  ensuite  jusqu'à  zéro. 

Je  dois  ajouter  que  la  démonstration  qui  précède  n'exclut  pas  l'hypothèse 
suivante  :  w  pourrait  croître  au  delà  de  toute  liiniie  saus  (pie  la  figure  cessât  de 
rencontrer  l'axe  de  rotation,  mais  à  la  condition  de  croître  parune  série  d'oscil- 
lations en  présentant  une  infinité  de  maxima  ou  de  minima. 

J'ajouterai  (pie  si  W  +  —  J  est  maximum  (ce  qui  est  une  condition  suffi- 
sante, mais  non  nécessaire  pour  la  stabilité  de  l'équilibre),  J  va  en  croissant 
avec  (o. 

Soient,  en  effet,  (o  cl  00'  deux  valeurs,  très  voisines,  de  la  vitesse  de  rotation; 
soient  W  et  W,  J  et  J' les  valeurs  correspondantes  de  l'énergie  et  du  moment 

d'inertie.  Comme  W-H  —  J  '^s'^  maximum,  on  aura 

W+-J>W+-J'. 
2  a 

Comme  W'-| — — J'  est  de  son  côté  maximum,  on  aura 

W+!^J<W'+^'j'; 
2  2 

d'où,  en  retranchant  ces  deux  inégalités, 

(o)'-  —  (o'^  ) 


(J'— J)>o  ou  J'>  .1. 


C.    Q.    F.    n. 


(')    Voir  aux  Notes,  Masses  fluides  en  rotation  (résultats  divers). 


SUR 

LA  STABILITÉ  DE  L'ÉQUILIBRE  DES  FIGURES 

PIRIFORMES  AFFECTÉES  PAR  UNE  MASSE  FLUIDE 
EN  ROTATION  O 


Proceedings  of  tlie  Royal  Society  of  London,  vol.  69,  p.  i48-i49  (29  octobre  1901). 


(Résumé.) 


J'ai  public  autrefois  dans  le  Tome  7  A^s  Acia  Mathemalica  un  Mémoire  ('-) 
où  j'étudie  diverses  figures  d'équilibre  nouvelles  d'une  masse  fluide  homogène 
en  rotation.  Presque  toutes  ces  ligures  sont  instables;  une  d'elles  cependant, 
qui  est  piriforme  ( '),  est  très  probablement  stable.  Mais  la  preuve  directe  de 
cette  stabilité  ne  pourrait  être  obtenue  que  par  de  longs  calculs.  Le  but  du 
présent  travail  est  de  faciliter  ces  calculs,  en  donnant  à  la  condition  de  stabilité 
une  forme  analytique  aussi  simple  que  possible.  La  question  cependant  reste 
indécise,  parce  que  les  formules  analytiques  n'ont  pas  été  réduites  en  chiflVes. 

Il  fallait  d'abord  obtenir  une  expression  de  l'énergie  de  gravitation  d'une 
pareille  figure  en  poussant  l'approximation  plus  loin  qu'on  ne  l'avait  fait 
jusqu'ici.  L'emploi  des  fonctions  de  Lamé  peut  conduire  au  résultat,  mais  on 
se  trouve  en  présence  d'une  petite  difficulté.  Le  potentiel  d'un  ellipsoïde,  ou 


(')  Received  October,  29,  ii-ioi. 

C)  Œuvres  de  H.  Poincaré,  ce  Tome,  p.  .^o. 

(')   Voir  aux  Notes,  Figures  piriformes. 


l6o  SUR    LA   STABILITÉ    DE    L'ÉQUILIBRE    DES    FIGURES    PIRIFORMES. 

d'une  couche  ellipsoïdale,  alîccLe  des  formes  analytiques  diflérenles  selon  que 
le  point  envisagé  est  à  l'intérieur  ou  à  l'extérieur  de  l'ellipsoïde.  Il  en  résulte 

que  dans  chacune  des  intégrales  il  faudrait  donner  à  la  fonction  sous  le  signe  /  , 

tantôt  une  forme  pour  les  parties  de  la  surface  piriforme  qui  sont  au-dessous 
de  la  surface  de  l'ellipsoïde,  tantôt  une  autre  forme  pour  les  parties  qui  sont 
au-dessus.  Mais  j'ai  reconnu  que  celte  difficullc  est  purement  artificielle  et 
qu'on  obtiendra  encore  un   résultat  final  correct  eu  donnant  à   ces  fonctions 

sous  le  signe  /  ,  soit  toujours  la  première  forme,  soit  Uni  jours  la  seconde.  En 

opérant  de  la  sorte  on  commet  une  erreur  sur  chacune  des  intégrales,  mais  ces 
erreurs  se  compensent  complètement  dans  la  somme  des  intégrales. 

.le  me  suis  attaché  ensuite  à  écrire  l'inégalité  qui  exprime  la  condition  de 
stabilité,  et  à  réduire  aux  intégrales  elliptiques  les  plus  simples  toutes  les  inté- 
grales qui  figurent  dans  cette  inégalité. 


SUli 

LA  STABILITÉ  DE  L'ÉQUILIBRE  DES  FIGUBES 

PIHIFORMES  AFFECTÉES  PAR  (INE  MASSE  FLUIDE 
EN  ROTATION  O 


Pliilosophiccil  Tinnscictions.  A,  t.   l'jS,  p.  333-373  (29  octobre  1901). 


Introduction. 


J'ai  publié  aulret'ois  dans  le  Tome  7  des  Acla  Malheinalica  (^)  un  Mémoire 
sur  l'équilibre  d'une  masse  lluide  en  rotation.  C'est  à  ce  Mémoire  que  je  ren- 
verrai souvent  dans  la  suite  en  écrivant  simplement  Acta.  Dans  ce  Mémoire  je 
décris  en  particulier  une  figure  d'équilibre  particulière  qui  est  piriforme,  et 
que  pour  cette  raison  on  peut  appeler  la  poire  (pear-shaped  figure). 

Cette  figure  est-elle  stable?  La  question  ne  peut  pas  être  regardée  comme 
entièrement  résolue.  En  effet,  comme  l'a  fait  remarquer  M.  Schwarzschild,  le 
principe  de  l'échange  des  stabilités  ne  peut  pas  être  appliqué  à  ce  cas  sans 
modification  ( '). 

La  condition  de  stabilité  peut  être  présentée  sous  deux  formes  différentes. 
Soient  U  l'énergie  potentielle  de  la  masse  fluide  (ou  plutôt  ce  que  M.  Darwin 
appelle  l'énergie  perdue),  '>i  la  vitesse  de  rotation,  J  le  moment  d'inertie.  La 

quantité  U -f-  -  w'-J  doit  être  minimum,  oj  clant  regardé  comme  donné. 


CJ  Heceived  Oclober  .!i|,  He.Til  iNovember  21,   njoi. 
(-)  Œuvres  de  //.  Poincaré,  ce  Tome,  p.  'jo. 
f)    l'oir  nuN  Notes,  Figures  piri  formes. 

H.  P.  —  VII. 


l62  SUR    LA    STABILITÉ    DE    LÉQUILIBRE    DES    FIGURES    PIRIFORMES. 

Lu  coudilioii  esl  nécessaire  et  sulTisante  poiu-  la  stabilité  s(''culaire,  si  l'on 
suppose  que  la  iiiasso  est  entraînée  |>ar  IVollciiieut  par  uu  axe  <lc  rotation  qui 
la  traverse  de  part  en  |)art  comme  dans  les  expériences  de  Plateau.  Elle  est 
sufiisanle,  mais  elle  n'est  plus  nécessaire,  si  l'on  suppose  que  la  masse  est 
isolée  dans  l'espace  (cf.    tcfa.  p.  29.'?,  agS,  .36-,  36f)). 

Voici  la  seconde  forme.  Soit /a  ^=  w.),  moment  de  rotation  de  la  masse 
lluide,  la  quantité  U —  '-r  devra  être  minimum,  ;j- f'/r//(/ /v^'y/zv/c- co//in?e  (A'«/(i:'. 

La  condition  ainsi  énonciie  est  nécessaire  et  sufiisanle,  si  l'on  suppose  la 
masse  isolée  dans  l'espace. 

Gela  posé,  considérons  la  série  des  ellipsoïdes  de  Jacobi,  et  d'autre  part  la 
série  des  figures  piriformes.  Nous  aurons  une  ligure  de  bifurcation  ([ui  appar- 
tiendra à  la  fois  aux  deux  séries,  et  que  nous  appellerons  le  jacobien  critique. 

Les  ligures  piriformes  n'admeltenl  pas  le  plan  des  xy  pour  plan  de  symé- 
trie; on  doit  donc  regarder  comme  distinctes  deux  de  ces  figures,  symétriques 
l'une  de  l'autre  par  rapport  à  ce  plan.  De  sorte  que  les  ligures  de  la  série  piri- 
torine  sont  symétriques  deux  à  deux,  à  l'exception  bien  entendu  du  jacobien 
critique,  qui  admet  le  plan  des  x^■  pour  plan  de  symétrie.  Il  est  clair  que  pour 
deux  figures  symétriques  les  valeurs  de  oj,  de  J  et  de  U  sont  les  mêmes. 

L'ensemble  des  deux  séries  peut  être  représenté  schématiquement  par  une 
droite  représentant  les  ellipsoïdes  de  Jacobi,  et  par  une  courbe  ayant  cette 
droite  pour  axe  de  symétrie,  et  représentant  les  figures  piriformes.  Le  point 
d'intersection  de  la  droite  et  de  la  courbe  représente  alors  le  jacobien  critique, 
et  deux  pjints  symélri(jues  de  la  courbe  représentent  deux  figures  symétriques. 

Gela  posé,  si  nous  suivons  la  série  des  jacobiens  en  allant  du  moins  allongé 
au  plus  allongé,  nous  savons  que  '>>  va  en  décroissant,  tandis  (|ue  &jj  =  j7.  va  en 
croissant. 

Si  nous  suivons  la  série  piriforme,  il  est  évident  ipie  quand  nous  atteindrons 
le  jacobien  critique,  'j  atteindra,  soit  un  minimum,  soit  un  maximum,  et  il  en 
est  de  même  de  o).I. 

Si  nous  adoptons  le  premier  critère  de  la  stal)ililé  fondé  sur  les  niinima  de  la 

fonction  U -4-  7''>-J,  le  principe  de  l'écliange  des  stabilités  entendu  comme  il 

doit  l'être,  nous  enseigne  ceci. 

La  condition  nécessaire  et  suf'lisante  jiour  la  stabilité  séculaire,  si  l'on  sup- 
posait la  masse  entraînée  par  la  rotation  d'un  axe  fixe  comme  dans  les  expé- 


SUR    LA    STABILITÉ    DE    L'ÉQUILIBRE    DES    FIGURES    PIRIFORMES.  l63 

riences  de  Plateau,  serait  (juo  m  soit  maximum,  c'est-à-dire  plus  grand  pour  le 
jacobien  critique  c[ue  pour  les  autres  ligures  piriforines. 

Si  0)  est  maximum,  on  aurait  pour  une  valeur  donnée  de  oj  supérit'ure  au 
maximum  une  seule  figure  d'équilibre,  un  jacobien  stable;  pour  une  valeur 
donnée  de  «  inférieure  au  maximum  on  en  aura  trois,  un  jacobien  instable  et 
deux  figures  piriforines  stables. 

Si,  au  contraire,  oi  est  minimum,  on  aurait  pour  uue  valeur  donnée  de  ut  supé- 
rieure au  minimum  trois  (Igures  d'équilibre,  deux  piriforines  et  instables,  et 
une  ellipsoïdale  et  stable;  pour  une  valeur  inférieure  au  minimum  on  n'aurait 
plus  qu'une  ligure  d'équilibre  ellipsoïdale  et  instable. 

Si  maintenant  nous  supposons  la  masse  isolée  dans  l'espace,  la  condition 
reste  suffisante,  mais  elle  n'est  plus  nécessaire.  Pour  avoir  une  condition 
nécessaire  et  suffisante,  il  faut  avoir  recours  au  second  critère  fondé  sur  les 

miniina  de  U —  '  ,  •  Le  principe  de  l'échange  des  stabilités  nous  apprend  alors 

que  la  condition  nécessaire  et  suffisanle  de  la  stabilité  séculaire  esl  que  '.i.l 
soit  minimmn ,  c'est-à-dire  plus  petit  pour  le  jacobien  critique  que  pour  les 
autres  figures  piriformes. 

Si  03J  est  minimum  on  aura  pour  une  valeur  donnée  de  o).!  : 

inférieure  au  minimum  :  un  jacobien  i/c/^/c; 

supérieure   au    minimum    :    un  jacobien    inxtdhle,    deux    figures    piriformes, 
stables  et  symétriques  l'une  de  l'autre. 

Si  M.r  est  maxiiiiuiu  on  aura  |)0ur  une  valeur  donnée  de  mJ  : 

inférieure    au    maximum  :   un    jacobien    slable    et    deux    figures    piriformes, 

instables  et  symétriques  l'une  de  l'autre: 
supérieure  au  maximum  :  un  jacobien  instable. 

La  question  à  résoudre  est  donc  de  savoir  si  ojj  est  maximum  ou  minimum; 
mais  elle  ne  peut  être  résolue  que  par  un  calcul  compliqué.  Supposons  qu'une 
masse  fluide  homogène  en  rotation  se  refroidisse  lentement,  elle  prendra  suc- 
cessivement (dans  la  première  hypothèse  w.T  minimum)  la  forme  d'un  ellip- 
soïde de  révolution  de  plus  en  plus  aplati,  puis  celle  d'un  ellipsoïde  de  Jacobi, 
puis  celle  d'une  poire. 

Si,  au  contraire,  on  venait  à  reconnaître  que  mJ  est  maximum  cl  non  minimum, 
on  devrait  conclure  que  cette  masse  après  avoir  pris  la  forme  de  divers  ellip- 


|64  SUR    LA   STABILITÉ    DE    L'ÉQUILIBRE   DES    FIGURES    PIRIFORMES. 

soldes  do  révolulion.  puis  de  divers  ellipsoïdes  de  Jacobi,  el  avoir  alteiiil 
fiualeineul  celle  du  jacobieu  crili(jue,  subira  loul  à  coup  une  déformation 
énorme  et  une  série  d'oscillations,  par  une  sorte  de  catastrophe  subite. 

Diverses  raisons  contribuent  à  rendre  la  première  hypothèse  beaucoup  plus 
vraisemblable;  néanmoins  jusqu'ici  la  preuve  n'est  pas  faite,  et  je  déclare 
loul  de  suite  que  je  ne  l'apporte  pas  encore  dans  le  présent  travail. 

Mais  quelle  que  soit  l'hypothèse  qui  doive  triompher  un  jour,  je  tiens  à 
meltre  tout  de  suite  en  garde  contre  les  conséquences  cosmogoniques  qu'on 
pourrait  en  tirer.  Les  masses  de  la  nature  ne  sont  pas  homogènes,  et  si  l'on 
reconnaissait  que  les  figures  piriformes  sont  instables,  il  pourrait  néanmoins 
arriver  qu'une  masse  hétérogène  fût  susceptible  de  prendre  une  forme  d'équi- 
libre analogue  aux  figures  piriformes,  et  qui  serait  stable.  Le  contraire  pourrait 
d'ailleurs  arriver  également. 

A  la  suite  d'une  correspondance  que  j'ai  eue  avec  M.  Darwin,  nous  nous 
sommes  mis  l'un  et  l'autre  à  étudier  la  question,  et  pendant  qu'il  écrivait 
deux  Mémoires  sur  ce  sujet,  et  que  dans  l'un  de  ces  Mémoires  il  déterminait 
les  axes  du  jacobien  critique,  j'obtenais  des  résultats  qui  sont  l'objet  du  présent 
travail,  .l'ai  formé  l'inégalité  qui  doit  être  satisfaite  pour  qu'il  y  ait  stabilité, 
mais  je  ne  l'ai  pas  traduite  en  chiffres,  parce  que  je  me  défie  de  mou  habileté 
arithmétique,  et  que  je  ne  suis  pas  un  calculateur  assez  sûr. 

Les  notations  dont  je  fais  usage  diffèrent,  malheureusement,  beaucoup  de 
celles  de  M.  Darwin;  elles  se  rapprochent  de  celles  de  mon  Mémoire  des  AcCa 
sans  être  tout  à  fait  identiques,  parce  que  je  rapporte  ici,  pour  plus  de  symétrie, 
les  coordonnées  elliptiques  à  l'ellipsoïde 


i-  —  a-        (■/-  —  b-        p-  —  c"- 
et  non  plus  à  l'ellipsoïde 


f.-        p-  —  b-         p-  —  c- 

comiuu  le  faisaient  Liouville  et  Lamé,  et  comme  je  l'ai  fait  moi-même  dans 
le  Mémoire  des  Acla.  (Je  suppose  de  plus  a-^b-'^c-,  au  lieu  de  sup- 
poser &'-<;  c'-.) 

Les  indices  que  j'attribue  aux  fonctions  de  I>amé  (')  ne  sont  pas  non  plus  les 

P)  Nota  de  M.  G.  H.  Darwin.  In  llie  paper  in  tlie  Aria  tliere  is  a  sliglil  inconsistency  in 
ilie  iiolalion  adoptcd,  for  in  one  pari  of  llie  papcr  Un-  liist  of  tlie  doulilp  suffixes  to  tlie  R's 
dénotes  tlic  dcgree  of  tlie  iiarmonic,  whilc  in  anoUicr  part  it  is  llie  second  wliich   lias  thaï 


SUR    LA   STABILITE    DE   L'EQUILIBRE    DES   FIGURES   PIRIFORMES.  iC5 

mêmes  que  clans  les  .Ida.  Les  fonctions  que  j'appelle  ici  R,,  R^,  R,,  R.,,  R5, 
s'appelaient  dans  les  Acta  :  Ro,  Rt,  RI,,,,  R'o,»!  Ri.o- 

C'est  In  fonction  R'^  ^^^R-,  (jui  est  la  plus  importante,  parce  que  c'est  elle 
qui  sert  à  détinir  la  figure  piriforme;  on  la  désigne  quelquefois  sous  le  nom  de 
«  third  zonal  harmonie  ». 

Les  fonctions  R  sont  toutes  égales,  soit  à  un  polynôme  entier  en  p-,  soit  à  un 
pareil  poljnome  multiplié  par  l'un  des  trois  radicaux  ^(p- — n-),  y/(p-  - —  b'-), 
\/{p-  —  C-),  soit  à  un  pareil  polynôme  multiplié  par  deux  de  ces  radicaux,  soit 
à  un  pareil  poljnome  multiplié  par  ces  trois  radicaux. 

Celles  de  ces  fonctions  qui  sont  égales  à  un  polynôme  en  p-  seront  ce  f[ue 
nous  appellerons  plus  loin  des  fonctions-  tir  Lamé  paires  et  uniformes. 

Calculs  préliminaires. 

Soit 


l'équation  de  l'ellipsoïde  de  Jacobi  de  bifurcation  que  j'appelle  E„  :  soient  p, 
[j.,  V  les  coordonnées  elliptiques  déduites  de  cet  ellipsoïde:  de  sorte  que  p  =  &,, 
est  l'équation  de  E„  en  coordonnées  elliptiques. 
On  aura 

„  ^  (  p-  —  ^f-i  )  (  1^-  —  a-  )  ( y-^  —  a°- ) 
(a"-— /;\)  («•■!— cO  ' 

(le  nièuic  pour  )  -  et  z'-. 
(  >n  en  déduit 

'/./■  ^  _      /  C,a-'— «-■')( v^^— g^) 

dy        ''V    (?■-— a=)(«2_62)(a2_c2)' 

d'où 


(p- —  «-)  (p- —  b-j{ç- —  C- 


meaning.     Tlius,  for  example,   R',,,,  is  sometimes  wiitten   Iio,-2.     Kuillier  I  do  not  lind  that  ri„ 
is  used  explicitly  in  that  paper. 

It  may  be  convenient  to  point  out  the  identities  of  tlie  R's  used  hère  with  my  notation,  as 
used  in  Ellipsoïdal  Harmonies  and  Ttie  pear-sliaped  Figure  0/  Equilibrium.  Tliey  are  as 
follows  : 

R,  =  p„(v)     (a  constant);         R,  =  P](v);         R3=lJ,(v);         R,=  }]5(v);         R.=  lD,(v). 

Tlie  identities  of  tlie  S  functions  wliicli  occur  below  are 


lG6  SUR    LA   STABILITÉ    DE   L'ÉQUILIBRE    DES    FIGURES    PIRIFORMES. 

d'où  [joiir  le  caiTL-  d'un  él{''menl  d';irc  (jnelconijuc 

OÙ  B  el  (î  sont  formés  avec  pt  et  v  comme  A  avec  p. 
Il  vienl  alors  |)oiir  AV  l'oxpression  suivante  : 

'/  /!>'-  'A'  \         '/  /  -VG  d/V\        >/  /Ali  r/V\ 

■^  '"'-'  ^^  =  ,A  (  A-  TT.  )  ^  .7^  (  n   7F.  )  +  d.  \  IV  7F  )  ' 

^ious  désiguerous  les  fonctions  de  Lamé  par  des  indices. 

Ri  se  réduit  à  une  constante;  Ro  à  \/(p-' —  a'-);  R;,  et  R.,  sont  les  deux  poly- 
nômes du  premier  degré  en  p'-' ;  R^  est  la  troisième  «  zonal  harmonie  »  .  Il  J mit 
reminquer  que  les  indices  c/misis  ne  snnl  pas  les  mêmes  ifue  dans  le  Mémmi  e 
des  Acta. 

Les  fonctions  correspondantes  S,  M,  N  porteront  les  mêmes  indices. 

R,"  el  S"  seront  les  valeurs  de  R,  et  S,  poui'  p  ^^^  p,,. 

Nous  introduirons  les  variables  elliplitjues  0,  0,,  Oj  par  les  éijualions 

d^  =  . --^-J T' 

(p--"-j  =  (p--6-)'(p=-c^); 

Oi  et  0^  étant  formés  avec  /ji.  et  v  comme  0  avec  p. 
Il  vient  alors 

ds-=  ■r,dit--i-  jifdil'i-h  J^d^, 

où 

/.^ î ri^  ' /i^ ■    - 

Formules  relatives  au  potentiel  d'une  simple  couche. 

Le  potentiel  à  l'extérieur  aura  pour  expression 

V^SHK^SMIS, 
les  H  étant  des  coefficienls  quelconques,  et  à  l'intérieur 

V  =  SIIHS'-MN. 

Si  nous  considérons  maintenant  les  dérivées  -^  estimées  suivant  la  normale; 

(t/i 

si  nous  convenons  de  ri'présenler  par  des  lettres  accentuées  les  dérivées  prises 
par  rapporta  0,  il  viendra,  puisipie  /=    ,    : 


SUR    LA    STABILITÉ    DE    L'ÉQUILIBRE    DES    FIGURES    PIRIFORMES.  167 

A  l'eslérieiir 


'^  =2HR<'S7MN 
an 


et  à  l'intérieur 

'-P^  =  SHSÛR7MN. 

La  dili'érence   iH(RS' — SR')/MN  représente  4'^'^)   ô  éliial  la  densité  de  la 

simple  couche,  et  comme 

SR'— RS'=  'Il  -f-i, 
on  aura 

InS  =  i:H(2n-i-i);MN. 

Si  donc  la  densité  a  pour  espression  2B/MN,  le  potentiel  à  la  surface  aura 

pour  expression  iB  — ^^  R^SHIN. 
'  '  ■.'  //  -t- 1 

Formules  relatives  au  potentiel  d'une  double  couche. 

Le  potentiel  à  l'extérieur  aura  pour  expression 

V  =  SHSMN 
et  à  l'intérieur 

V  =  SH,RMM 

,/Y 
les  coelTicients  étant  différents.  Comme  la  dérivée  -r-  devra  être  continue,  on 

aura 

i:HS;MN  =  £H,R'„MN. 

Posons  H  :=  KR'„,   Hi  ^  KS^,  ;   la    différence   entre   les  deux  valeurs  de  V 
pour  p  =:  p,,  sera 

—  i:KMN(R'„S„— S'„Hg)=+2KM\(2/i-i-i). 

Ce  sera  —  4  tt  ô,  ô  étant  la  densité  de  la  double  couciie. 

Énergie  de  la  simple  couche. 

Cette  énergie  est  /  -  VS  àrj,  drj  étant  l'élément  de  surface. 
Si 

o  =  SB/MN,  V^SB      '*"     RSMN, 

2  «  -t-  I 

cela  fera 

2;:^ ^ B2J\S  flW-'S''-rh. 

^  2  «  -f-  I  J 


iCS  SUR    LA   STABILITE    DE   L'ÉQUILIBRE    DES    FIGURES    PIRIFORMES. 

Énergie  de  la  double  couche. 
Je  ne  calculerai  ici  tiuune  porllt)n  de  celle  énergie,  à  savoir  linlégrale 

clenduc  à  tous  les  élémenls  cl-  de  l'espace  sauf  ceux  qui  snnl  ciiinpiis  entre 
les  deux  surfaces  infiniment  raisinés  (jui  rnnstitiicnt  la  ddiiblc  couche.  Celle 

portion  est  égale  a  i   -  y-  o  da. 
Si 

S  =  2BMN,  ^  =— IB       '"      H'S'IMN/, 

du  ■>  n  +  i 

d'où 

—  ajiV ^- P.îR'S'  f  lWS^cl<:. 

Lu  ■>.  /(  -t-  1  J 

Définition  de  la  poire. 

Parmi  les  diflérenls  points  de  E,,,  ju  mène  des  lignes  normales  aux  ellip- 
soïdes homofocaux  à  Eo'  c'esl-à-dire  des  lignes  p.  :=  consl.,  v  =  consl.,  el  je  les 
prolonge  jus(ju'à  la  renconlre  avec  la  surface  de  la  poire.  Soil  f/a„  un  élément 
de  surface  de  E,,  el  dv  le  volume  engendré  par  les  lignes  ainsi  menées  par  les 

diflérenls  points  de  f/o-,,,  le  rapport  --^  sera  une  fonction  de  \x  el  de  v  que  je 

pourrai  développer  en  série  de  Lamé  sous  la  forme 

Ce  sont  les  coefficients  E;  ciui  définissent  la  forme  de  la  poire. 
Parmi  ces  coefficients,  je  remarque  : 

i"  ?, ,  qui  est  nul,  parce  que  le  volume  de  la  poire  est  égal  à  celui  de  Eq,  ce 
qui  s'écrit   /  di'^^o. 

2"  f  5,  qui  est  du  premier  ordre. 

3"  ^:,  et  El,  qui  sont  du  second  ordre. 

4°  Les  autres  E;,  qui  sont  du  second  ordre,  si  la  fonction  M,  est  paire,  uni- 
forme, et  d'ordre  supérieur;  el  négligeables  dans  le  cas  contraire. 

Assez  fréquemment,  el  quand  il  n'en  pourra  résulter  aucune  confusion,  je 


SUR    LA   STABILITÉ    DE    L'ÉQUILIBRE   DES    FIGURES    PIRIFORMES.  l6g 

supprimerai  l'inilice  zéro  el  j'écrirai  simplement  cIq  et  -r  «"   Heu  de  dua 

,/v 

et-j-- 

Définition  de  la  simple  couche  C. 

Je  considère  la  couche  attirante  formée  par  tous  les  petits  volumes  dv,  et 
située  par  conséquent  entre  la  surface  de  la  poire  et  celle  de  Eq.  Je  suppose  que 
l'on  concentre  toute  la  masse  attirante  située  dans  celte  couche  sur  la  surface 
de  Ey  ;  nous  aurons  ainsi  une  simple  couche  attirante,  la  densité  de  la  matière 

sur  l'élément  rfo-  étant  précisément  -r- 

L'attraction  de  cette  simple  couche,  que  j'aj)pelle  i,  est  à  très  peu  près  égale 
à  celle  de  la  couche  C. 

Je  puis  considérer  l'attraction  due  à  la  couche  C  moins  l'attraction  due  à  la 
couche  i;  elle  peut  être  considérée  comme  due  à  une  matière  attirante  en 
partie  positive  el  en  partie  négative;  c'est  ce  que  j'appellerai  la  matière  Jïl, 
comprenant  la  couche  C  prise  positivement  et  la  couclie  —  changée  désigne. 

Calcul  du  potentiel. 
Le  potentiel  V  pourra  être  décomposé  en  trois  parties  : 

Vi  potentiel  de  E»;  V3  de  i;  V,  de  J||. 

Voici  quelles  sont  les  expressions  analytiques  de  V ,  el  de  Vn. 
Pour  Vi  : 

à  l'extérieur  de  E,,  : 

V,  =  AiSiMiNi-H  A,S3M,N3-+- A.,S,M..N,, 
à  l'intérieur  de  E,,  : 

V,=  A',  R|MiNi-h  A'3R3M3N3+ A'^RiMiNiH-  A'oH, 

les  A  et  les  A'  étant  des  coefficients  constants  et  H  le  premier  membre  de 
l'équation  de  E,,. 

Rappelons  que  Vi  est  continue  ainsi  que  ses  dérivées  du  premier  ordre;  d'où 
l'on  peut  conclure  d'abord 

A,sî  =  Â',  R»,      A3s;=A',R»,      A,.S2  =  a;r,;. 

Je  puis  poser  de  même 

j2-+-  3"-=  B,RiMiN,-t-  BjRsMjNj-i-  B,RiMiN..+  BoH, 
H.  P.   -  VII.  22 


17»  SUR    LA    STABILITE    DE    L'ÉQUILIBRE   DES   FIGURES   PIRIFORMES. 

<jt  j'aurai  entre  les  coefficients  B  et  A'  les  lelutious  siiiviuites  : 

.\'.  -H  —  tOJ  li  ;  =  A',  -H        u)5lii=o: 
2  "^ 

l!„AII=l:  a;,  Ail  =  AV,=—  1:::  A',, -4- -  1!„  =  u. 

Quant  à  Vo,  nous  aurons  : 
à  l'exlériiHir  de  E„  : 

à  l'intérieur  de  E,,  : 

Calcul  de  l'énergie. 
L'énergie  totale  comprend  . 

1.  L'énergie  due  à  l'allraclion  de  E„  .s7//  lui-même. 

2.  L'énergie  due  fiu  moment  d^ inertie  de  Eq. 

Ces  deux  parties  ensemble  forment  Wq. 

3.  L'énergie  de  £„  par  rapport  à  1  (plus  l'énergie  de  rotation).  Cette 
somme  est  nulle,  car  elle  est  du  premier  ordre  par  rapport  aux  ^,,  et  les  termes 
du  premier  ordre  doivent  disparaître  puisque  E„  est  une  figure  d'équilibre. 

-i.  Lènergie  de  -  par  rapport  à  lui-même^  qui  est,  d'après  le  Mémoire 
des  Acta,  p.  3i8  (')  : 

o.  L'énergie  de  Eq  par  rapport  à  iîl,  plm  Vcnergie  de  rotation  de  iU  ; 
on  en  connaît  les  termes  du  premier  ordre,  qui  sont  nuls;   ceux  du  second 

ordre,  qui   d'après  le  Mémoire  des  Acta,  p.   3i^,  sont  — 27r /^  -  t/RUS^ii,-, 

mais  il  faut  pousser  li?  calcul  plus  loin;  soit  donc   /     Ni  H — '^o  („''  + ■^')    '^'^ 

celle  énergie,  où  dz  représente  l'élément  de  volume  de  ill,  de  sorte  que 

(h  =  M  f/iii  fH\.  V  ~  ( ;ji-  —  p- )  ( p-  —  v2 )  ( V2  —  ^2 ). 

Soit  dcu  un  élément  de  la  surface  de  E,,,  rfo-  l'élénienl  correspondant  de  la 
surface  d'un  ellipsoïde  E  homofocal  à  E„  (jo  considère  deux  éléments  comme 
correspondants  quand  ils  ont  mêmes  coordonnées  elliptiques  [x  et  v). 

(  ' )  'Jfiuvres  de  II.  Poincaré,  ce  Tome,  p.  yi. 


SUR    LA   STABILITÉ    DE    LÉQUILIBRE    DES   FIGURES    PIRIFORMES.  171 

Soil  di.  un  élément  de  la  courLie  /j.  =^  consL,  v  ^=  consl.,  compris  entre  deux 
ellipsoïdes  E  et  E'  inliniment  voisins  et  homofocaux  à  Eo  ;  nous  aurons 


d-  =  d\  di  = 


D'autre  part  l  (la  =  /„  du,,,  où 
I 


/  = 


/„  = 


Si  nous  posons     V( -j-  -  w^  (  )---|-, 


(?i—l^-)-(pî  —  -'-)- 


■    ) 


=  P, 


dH  =  du 


(?ii  — H^-)' (pn  — ''-)'  _  ''■■"'" 


l^-j(i^---'-) 


A, 


et  que  nous  considérions  un  instant  P  comme  fonction  de  m,  nous  remarquerons 
d'abord  que  d-  =  du  ih„. 

Développons  P  par  la  formule  de  Mac  Laurin  : 

P  =  P,i  -I-  ;<  -5-  -t-  -  «2  -^      „..  . 

Il  va  sans  dire  que  la  variable  auxiliaire  u  a  été  délinie  de  façon  à  s'annuler 
pour  p  ^  po,  et  que  dans  P  et  ses  dérivées  on  a  fait  p  =  po.  Notre  variable  u 

variera  donc  de  zéro  à    ,    quand  on  passera  de  la  surface  de  Eq  à  celle  de 
la  poire. 

Alors  nous  avons  pour  la  portion  de  l'énergie  envisagée 


/,.,.„.„,/, ..*„=.,^/f(-)\„„ 


Le  premier  terme  est  nul  (puisque   /  dv^o\,  le  second  nous  donnerait  le 

terme  du  second  ordre  — 27ï'V -^fR" S!!i2,,  dont  j'ai  déjà  donné  l'expression 
d'après  le  Mémoire  des  Acta. 

Le  troisième  va  nous  donner  des  termes  en  ^?;,-,  et  le  quatrième  un  terme 

Je  commence  par  rechercher  les  dérivées  de  P  par  rapport  à  m,  en  fonction 

^        i,   ■    .       dp    d-p 
des  dérivées  -^,  —t^-- 


t-1  Sl'R   LA   STABILITE    DE   L'EQUILIBRE    DES   FIGURES   PIRIFORMES. 

On  a 

-i-    =  —j-   -7-  =  —^  1,         car       ;     =  /         pour     ;  =  p„  ; 
l     du         </U   (/il        f/ti    '  i/u  '  .        .  »  • 

^^'  \  77IF-  ~  M   du-  "^   (/O^  V////  ' 

/  d^  -  '!}!  ^  ^■i 'ji}i  '11  m   'in. i  ''^y 

\  du-  ~  7n  du'  ^  '  T7P"  7ï7i  Thr^  '^  'd¥\du) 

lout  ce  (lue  le  veux  retenir  pour  le  inomeni    est  que-^i  -r-;'  -r-^  sonl  des 
'        •'  '  '        du     du-     du' 

fonctions  de  ;j.-  et  de  v-  symétriques,  paires  et  uniformes  (je  veux  dire  p.ir  ce 

dernier  mot  i|u"elles  ne  eliangent  pas  quand  y.'-  ou  v-    tournent   autour   des 

valeurs  singulières  a-,  b-  ou  c'-).  Leur  développement  en  séries  de  Lamé  ne 

contiendra  donc  que  des  fonctions  de  Lamé  paires  et  uniformes.  Il  en  sera  de 

de,     d-  p     d-'-  p         .         ^         ,    ,  11-  I 

même  pour  -V-'  -r-,i  -r^  T»'  entrent  dans  les  lormules 
'  du     du-    du-    ' 

dP  _  dP  dp^  d-'P  _  dV  d'p    ^    d-'V  /dp  Y 

i/u        dp   du  du-         (/p   du-         dp-  \du  ) 

Nous  supposons  bien  entendu  dans  les  formules  (i)  et  (i  bis)  qu'on  remplace 
partout  p  par  p,,  à  la  lin  du  calcul. 

Une  autre  difliculté  provient  de  ce  que  P  n  a  pas  la  même  expression  analy- 
tique à  l'intérieur  ou  à  l'extérieur  de  Eo. 

Si  la  couche  était  tout  entirre  à  l'intérieur  de  E,,  (ce  qui  ne  pourrait  avoir 

lieu  que  si  l'on  renonçait  à  riiypothèse   /  c/p^o),  nous  pourrions  réduire  1' 
à  If,  à  un  facteur  constant  prrs,  nous  aurions  en  effet  : 

!•  =  iK\  +  ;7<"5P'i)  RiM,N,-+-('a'„-(-  ;|  oij  lio]  II, 

le  premier  terme  se  réduit  à  une  constante  qui  n'a  pas  de  dérivées. 

d\ 

7/: 


Il  est  aisé  de  \oir  que  —.-  se  réduit  à  un  terme  en  p;  de  sorte  que 


f/n  _   (£_n        d-' Il 

dp        ''  dp-  dp'-' 


Nos  intégrales  se  réduiraient  donc,  à  un  facteur  constant  prés,  à 

I  rd^n/d^y     \    à'p     [  dpy-\      i    rdni/d^y     r    d-p        dp  d^p-] 

J'écris  de-  au  liu  de  d'7„,  en  supprimant  l'indice  zéi'o,  devenu  inutile. 

Remarquons  que  les  quantités  entre  crochets  sont  les  dérivées  première  ei 

seconde  de  &-7^- 
'  du 


SUR    LA    STABILITÉ    DE    L'ÉQUILIBRE    DES    FIGURES    PIRIFORMES.  173 

Remarquons  en  outre  que 

(h   du~        i/      -     -' 

do  •  ,  .    7  /  "T'        ^/-ll  .    1 

que  -^  est  proportionnel  a  l,  et  par  conséquent  -j-  et  —p^  a  ..;• 

Les  termes  qui  nous  intéressent  sont  donc  : 

1"  Dans  (^y  les  termes  3r-2ï,M:N:^MjN,/'  qui  donnent 

Il  suffira  de  prendre  les  fonctions  M,N/  qui  sont  paires  et  uniformes,  puisque 

d-  P  . 

les  développements  de  M^N!:,  /■  ^-j- n'en  contiennent  pas  d'autres.  Si  Ion  se 
borne  aux  formules  précédentes,  où  l^  est  regardé  comme  proportionnel  à  II, 
nous  pourrons  poser 


d-V 


=   110  7.,! 


M,i  étant  une  constante;  si  nous  développons  alors 

en  série  de  Lamé,  ou  aura,  pour  les  termes  en  question  :  2.  r^tii'Oi^i- 

Malheureusement  toute  la  masse  iW  n'est  pas  à  l'intérieur  de  E,,,  c'est  donc 
^-'-p^MJjN^    (ju'il   faudrait    développer;    et    cette    expression    n'est    égale    à 

-Mil  -p  (p-~  1  M^N'5  que  pour  les  points  intérieurs  à  E,,. 

2"  Dans^^l^y  le  terme  ï' ^M*  IN*  qui  donne 

±.j  ft}:,j;LL:;i)uiMd.. 
24  \,'  '/?-  '^"-  \  'fil j 

Nous  reviendrons  sur  tous  ces  points  plus  en  détail. 

6.   L'énergie  de  1  par  rapport  à  t\\. 

C'est   I   Vj  c/t  étendu  à  411,  c'est-à-dire  étendu  à  C  en  supprimant  ensuite  les 
termes  du  second  degré;  cela  fait,  puisque 

/v.,../v..,„.=/v.*,„.i/^(*)-,..I/^(*)U, 


174  SUR    LA   STABILITÉ    DE    L'ÉQUILIBRE    DES    FIGURES   PIRIFORMES. 

cela  tail.  ili;;-JL',  puisiiu'on  doil  supprimer  les  lermos  du  second  degré  : 


•  J     <lu    \(hj  (),/      diC-    \<h j 


Les  dérivées  —j-^-  ■  •  se  calculeraieul  comme  -r-  •■•)  et  l'on  v  ferait  à  la  fin  du 
du  au 

calcul  0=^  çt(,. 

Les  termes  qui  nous  inléresscnl  sont  : 

2/-i:f/?:,M5N5M,-Ni    et    /2E=M|Ni; 

(  hianl  à  \  2  nous  devons  distinguer  le  cas  où  Jïi  est  intérieur  à  E,,,  et  celui 
où  i\\  est  extérieur  à  E,,. 

Dans  le  premier  cas  les  termes  intéressants  sont  : 

J         -    j^  au  ^^  J        ■J.n-^\  du 

Dans  le  second  cas  ils  deviennent 

J  7     J^  ■     ■  ■         ■  '    du  jimi  .'  /l   -h  1     '     "  du 


d-,. 


Si  Hi  est  en  partie  extérieure  et  en  partie  intérieure  à  Eo,  il  faudra  eniplojer 
une  formule  mixte. 

7.   V énergie  de  ^^  par  rapport  à  Hl. 

Pour  l'obtenir  il  faut  calculer  le  potentiel  de  Hl  et  d'abord  revenir  sur 
l'étxide  du  potentiel  d'une  double  couche  ('). 

Considérons  une  double  couche  très  mince,  mais  non  infiniment  mince.  Elle 
se  compose  de  deux  surfaces  attirantes,  i  cl  -',  très  peu  différentes  l'une  de 
l'autre.  Je  considère  une  série  de  courbes  que  j'appelle  C,  de  façon  que  par 
chaque  point  de  l'espace  passe  une  courbe  C  et  une  seule.  Ordinairement  on 


P  I  Je  prie  le  lecteur  de  bien  remarquer  que  pendant  quelques  pages,  et  jusqu'il  nouvel  nver- 
ti>seiiient.  beaucoup  de  lellros  n'ont  plus  la  rm'-nic  '^ignifirntion  fjue  dans  ci'  qui  prcccdc  cl  daii-s 
ce  qui  suit. 


SUR    LA   STABILITÉ    DE    L'ÉQUILIBRE    DES    FIGURES    PIRIFORMES.  I75 

prend  pour  les  courbes  C  les  normales  ù  i.  Dans  les  applications  qui  vont 
suivre,  je  prendrai  les  courbes  ;ji.  =  consL,  v  =  consl. 

Deux  points  de  —  et  de  — ',  se  Uouvant  sur  une  même  courije  C,  sont  dits 
correspondants.  L'hypothèse  qui  sert  de  définition  à  la  double  couche  est 
que  les  masses  attirantes  qui  se  trouvent  sur  un  àléuient  de  2  et  sur  l'élément 
correspondant  de  i'  sont  égales  et  de  signe  contraire. 

Gela  posé,  soit  M  un  point  de  i.  M'  le  point  correspondant  de  -,  soient  V 
et  V  le  potentiel  de  la  double  couche  en  1\I  el  en  M'.  Il  s'agit  d'évaluer  la 
différence  V  —  V. 

i"  Dans  le  cas  où  la  double  couche  est  infiniment  miuce.  on  a  par  un  ihéo- 

réme  bien  connu 

V— \"=  ,1-0  iMM'cosY, 

ô  étant  la  densilé  de  la  matière  au  point  M,  M.M'  la  distance  des  deux  points 
correspondants  M  el  M',  ■•  l'angle  de  la  courbe  C  avec  la  normale  à  -. 

Je  rappelle  d'ailleurs  que  si  la  courbe  C  est  normale  aux  deux  surfaces, 

c'est-à-dire   si   -•  =  o,   la   dérivée    normale  —r-  est   continue,  même  quand  on 

'  fin  ' 

franchit  la  double  couche;  et  que  par  conséquent  celle  dérivée  a  même  valeur 
à  des  infiniment  petits  prés  en  deçà  des  deux  surfaces,  et  au  delà  des  doux 
surfaces. 

2"  Supposons  maintenant  que  la  double  couche  soit  1res  mince,  mais  non 
infiniment  mince.  Nous  la  décomposerons  en  une  infinité  de  doubles  couches 
infiniment  minces.  Pour  cela  entre  i  et  i'  nous  ferons  passer  une  infinité  de 
surfaces  2i,  2o,  .  .  . ,  2„  (n  très  grand).  Soit  E  un  clément  de  2,  et  E, ,  Eo,  .  .  . , 
En,  E'  les  éléments  correspondants  de  l^,  1^,  .  .  .,  i„,  i'.  Nous  avons  sur  E 
une  masse  [j.  et  sur  E'  une  masse  — p..  Plaçons  sur  Ei  une  masse  — p.  et  une 
masse  p.  qui  se  détruiront;  faisons  de  même  pour  E^,  E;,,  .  .  .,  E„.  Associons  la 
masse  — p  de  Ej  avec  la  masse  p.  de  E,  faisons  de  même  pour  tous  les  autres 
éléments  de  E,  nous  obtiendrons  une  double  couche  formée  par  les  deux 
surfaces  i  et  i|  ;  je  l'appelle  K,.  De  même  en  combinant  la  masse  — p  de  E2 
avec  la  masse  p.  de  Ei,  j'aurai  une  seconde  double  couche  que  j'appelle  K.,,  et 
ainsi  de  suite  jusqu'à  la  double  couche  K„  due  aux  masses  —  p.  de  En  et  p  de 
En„i,  et  à  la  double  couche  K„+,  due  aux  masses  —  p.  de  E'  et  p  de  E„. 

La  double  couche  proposée  est  donc  remplacée  par  «  +  1  doubles  couches 
élémentaires. 

Soit  alors  r  et  r'  les  potentiels  aux  points  M  el  M'  d'une  double  couche  élé- 


lyG  SUR    LA    STABILITÉ    DE   L'ÉQUILIBRE    DES    FIGURES    PIRIFORMES. 

menlaire  K;  soient  1'  cl  I''  les  poinls  où  la  eourbc  C  ([ui  joiui  M  à  M'  perce  les 
deux  surfaces  de  celle  double  couclie  élémenlaire  K.  Soienl  w  el  ii'  les  polen- 

liels  de  Iv  aux  points  P  el  P'.  Soit  df  un  éléinenl  de  la  ligne  C,  et  '--  la  dérivée 

°  c/f 

du  potentiel  de  K  le  long  de  cette  ligne,  nous  aurons 

ir  —  H''=  4  ~  5i  l'I"'  (;(j«  Yi: 

ô|  étant  la  densité  au  point  P  et  -i  l'angle  de  C  avec  la  normale 
Je  puis  donc  écrire 

parce  que  l'arc  l'P'  est  très  petit  par  rapport  à  MM',  à  la  condition  d'attribuer 

sur  cet  arc  à  -7%  la  même  valeur  qu'au  point  P  en  dehors  de  la  double  couche. 

(  )n  peul  observer  que  si  di  est  uu  élément  de  la  surface  i,  f/(Ti  l'élément  corres- 
pondant de  la  surface  à  laquelle  appartient  P,  on  aura 

0  (h  =  0]  (/ï|. 

Nous  pouvons  donc  écrire 

V  =  l.-,         V'=Xi-': 
d'où 

V  -  V  =  4  T.  51  l'P'  cos  V,  '^-C  y  '^,  '/!. 
'    (hi       ,  /„      ^  (il 

Le  premier  terme  est  de  l'ordre  de  iPP'=MM'.  Le  second  est  de  l'ordre 
de  CMM')-;  car  '''„  est  de  l'ordre  de  PI"  et  V-' de  l'ordre  de  iPI"=MM'. 

'  ^         'Il  ^  -■/; 

Nous  pousserons  l'approximation  jusqu'à  (MM')'-.  Si  comme  nous  le  supposons 
la  courbe  C  est  normale  à  —,  l'angle  -'i  sera  de  l'ordre  de  MM';  nous  pourrons 
donc  remplacer   cosyi    pur    i,   l'erreur  commise  sur   V  —  V    sera   de    l'ordre 

de  (MM')'.  Maintenant   7  -77  sera  sensiblement  constant  el  égal  à  -7-1  c'est- 
^  '  ^  ai  °  lin 

à-dire  à  la  dérivée  de   V  estimée  suivant  la  normale  au  j)oinl  M  el  du  côté 

extérieur  à  la  double  couche  comprise  entre  les  deux  surfaces  —  el  i'. 

Appliquons  cela   à  l'évaluation  du  j)otenliel  de  .iïl.  el  pour  cela  revenons 

encore  à  notre  double  couche  ii';  soit  M"  un  point  de  C  compris  entre  M  cl  M'; 

soit  t""  le  potentiel  de  la  doulile  couche  élémentaire  K  au  point  M".  V"=  2i'"  le 

potentiel  de  la  double  couche  totale. 


SUR   LA  STABILITÉ   DE  L'ÉQUILIBRE   DES   FIGURES   PIRIFORMES.  I77 

Supposons  d'abord  que  M"  soil  enlre  P'  el  M',  nous  aurons 


d'où 

I'  —  v"  =  4  71  Si  PP'  COSV  ,  —   /  —-  ///. 

J,i       dl 


.M"    , 
rtC 


Si  M"  est  entre  M  et  P,  nous  aurons  simplement 
Nous  aurons  donc  encore 


V  -  V"  =  i  ::  0 y  PP'  cos  Y,  -i""-  -  f     y 


M" . 

cil     '' 


mais  avec  cette  condition  que  dans  le  premier  terme  du  second  membre  la 
sommation  ne  doit  être  étendue  qu'aux  doubles  couches  élémentaires  comprises 
enlre  M  et  M".  On  aura  comme  plus  haut 

\dï~'Vn.' 
D'autre  part 


}^^  =  T7r'  '■osi-,  =  l 


d'où  nous  tirerons 

MM'  \7h'  ~^\~  7I7i 


V  —  V"=  i  r.  S  MM"+  ■'-  S  -^:^  \  —  —  ■  I ~  MM". 


Nous  poserons  d'ailleurs 


-r-,  —  I  =  /iMM 
«5 


de  façon  que  A'  soit  fini,  et  que 
\'  —  V"  =4-0 

Si  le  point  M"  est  au  delà  de  M',  on  aura 


\'  —  V"  =  4  -  oMl\l"+  2  - /.-  o(  MM")-^  —  '^  MM". 

an 


V  —  V"=  -i  ::  3MM'-H  irJt  3(  MM')'^—  '^  MM", 


et  s'il  est  en  deçà  de  M  : 


fis 
V  — V"=-  ^MM". 
an 


Cela  posé,  partageons  la  couche  C,  qui  est  comprise  entre  la  surface  de  E,,  et 

celle  de  la  poire,  en  couches  infiniment  minces  par  une  série  de  surfaces  très 

rapprochées,  que  j'appelle  A,,,  A,,  Aj,  .  .  .,  A»;  Ao  coïncidera  avec  E,,  et  A„ 

avec  la  surface  de  la  poire.  J'appelle  Q,  la  couche  comprise  enlre  A;,_i  el  A^. 

H.  P.  —  VII.  23 


1^8  SUR    LA    STABILITÉ    DE    L'ÉQUILIBRE    DES    FIGURES    PIRIFORMES. 

Je  suppose  que  l'on  coucenlre  I;>  masse  de  G,,  sur  E^  en  suivant  les  lignes 
p.,  v=:Consl.,  t[iii  jouent  ici  le  rôle  que  jouaient  tout  à  l'heure  les  courbes  G. 
J'appelle  — ;,  la  simple  couche  ainsi  obtenue.  Alors  2  est  la  somme  de  toutes  les 
simples  couches  —p.  L'attraction  de  G;,,  moins  celle  de  iy,,  est  l'attraction 
d'une  double  couche  D^,  et  il  est  clair  que  Hl  est  équivalent  à  l'ensemble  de 
ces  doubles  couches. 

Soit  (•  le  potentiel  dû  à  l'une  des  doubles  couches  Dp,  soit  0,.  la  densité  de  ^,, 
en  un  point  M  de  E;,  ;  soit  P  un  point  de  A,,  et  M"  un  point  quelconque  de  iïl, 
M'  un  point  de  la  surface  de  la  poire.  Les  quatre  points  M,  P,  M'  et  M"  sont 
supposés  situés  sur  une  même  courbe  p,  v  ^  consl.  Si  alors  c  et  r"  sont  les 
valeurs  de  c  en  M  et  en  M",  nous  aurons 

si  M"  est  entre  M  et  P;  et 

,.  —  f"=  '|;i5,,MP-h2-<'o,,(Mr^)^—  4^  MM" 
'  'an 

si  P  est  entre  M  et  M". 

Soit  M  ^1v  et  V"=  ic"  les  valeurs  du  potentiel  de  ili  en  M  et  en  M",  nous 

aurons 

dS 

V  —  V"  =  4  -  [  S'  o,,  MM"  -4-  1"  S/,  M  P  ]  -4-  1  j:  />■[  i;'  S^f  MM")^  +  2"  S,,(  MP  j=  ]  —  -^  MM". 

Nous  remarquerons  dans  les  parenthèses  du  second  membre  deux  signes  de 
sommation  dilFérents  i'  et  i";  le  premier  i'  s'étendra  à  toutes  les  doubles 
couches  situées  entre  M"  et  la  poire,  le  second  i"  à  toutes  les  doubles  couches 
situées  entre  M"  et  l'ellipsoïde  E,,.  Nous  conserverons  le  signe  i  pour  les  som- 
mations étendues  à  toutes  les  doubles  couches. 

Posons  alors  MP  =  ^,  de  sorte  que  — ây^  «/a  qui  représente  la  masse  de  la 
partie  de  la  couche  Gy,  qui  correspond  à  l'élément  d<7  sera  dai,dl,  dai,  étant 
l'élément  de  A^  qui  correspond  ix  da;  or 

'h                 ,  ,             ,,    .            dis               I  , , 
I  = /,7,          d'où          -;—  =  p;  =1  — A-/; 

«7/,  «3,,  I  -h  Ki 

d'où  enfin 

&y,  =  (l    kl)   itl. 


ï  Oy,MM"=  MM 


i  -  A-(  MM  /2  —  M  M'")  —  {jM  M IM")'  -  M  M"  )  1 . 

v"3^,MP=  iA-(MM")-i—  ^(MM")2, 

,"SrMP)2=  \  A-(MM")*—  \  (MM")», 
4  J 


SUR    LA   STABILITÉ    DE    L'ÉQUILIBRE    DES   FIGURES    PIRIFORMES.  I79 

et  si  nous  posons  un  instant  pour  abréger 

MM'=E,  MM"=;, 

il  viendra 

V- V"=  4<  (~A-£-^-£-  lA-l-^-t-{\ 


.dy 
d,i 


ou 

L'énergie  de  Hl  sur  ^tl  sera  représentée  par  l'intégrale  -  /  (V" — 'W)dz, 
étendue  à  tous  les  éléments  dz  de  C. 

Or  si  par  M"  je  fais  passer  l'une  de  ces  surfaces  très  peu  différentes  de  2,  et 
qui  me  servaient  tout  à  l'heure  à  définir  mes  doubles  couches,  si  j'appelle  c/a" 
l'élément  de  celte  surface  correspondant  à  d(j,  nous  aurons 

,1-  =  i/j"  ,m M"  =  rh"  cl'i         e l         ih"  =ih{i  —  kr,). 

L'intégrale  à  chercher  est  donc 

et  elle  doit  être  prise  par  rapport  à  Ç  entre  zéro  et  e;  on  trouve  ainsi 


^     .    ,       I    ,rfV 
du 


\{^^^-\^k^>^\t^-t^\d.. 


Pour  rendre  la  formule  comparable  à  celles  qui  précèdent,  il  faut  exprimer  £ 


,  ,.  .  ,     dv         .     dn      r/0 

et  /.■  en  lonctions  de  -t-  et  de  -y  i  -^-j  •  •• 

dn  du     du 

Nous  avons  d'abord 

dv  =  l  dz  =  di  r   (i  —  A^)  '/C  =  ^—\  kz"-, 


-*-i*(£y-  -(:;:)'-^(a■. 


d'où 

et  pour  l'intégrale  de  l'énergie  : 

Observons  que  le  calcul  a  été  fait  dans  l'hypothèse  où  la  surface  de  la  poire 


l8o  SUR   LA   STABILITÉ   DE   L'ÉQUILIBRE   DES   FIGURES   PIRIFORMES. 

est  exlt^rieure  à  celle  de  Ej,.  Dans  l'hypollièse  contraire,  il  faudrait  changer  le 
signe  des  deux  premiers  termes  et  écrire 

11  reste  à  calculer  /..  Reprenons  la  lettre  /  dans  son  sens  priniitil',  de  sorte  que 
,_ l ,  _  I 

'  —  i T!  '0—  ■ -, r) 


du        /(, 

Nous  savons  (jue  k  est  défini  par  la  relation 

da" 

si  nous  reprenons  les  notations  employées  plus  haut,  nous  devrons  écrire  u  au 
lieu  de  Ç,  d(7  au  lieu  de  dir"  et  dcr^,  au  lieu  de  du,  et  notre  relation  deviendra 


un  a  donc 


i/g  ,  th         là 

-j—  ~  i  —  Au,         or         — —  =  -, 
ado  d^o         l 


p-  du  du"-         U   du 


1  ^    d:'^     ,^■s 


et  enfin,  puisque  sur  E,,  on  a  /  =  /„  : 

•}.l  du- 

Cela  posé,  dans  notre  intégrale  les  ternies  qui  nous  intéressent  sont 
i"  Dans  (^'^y  les  termes  3^:i?iM^N:M,N, /■',  qui  donnent 

(j'écris  du  en  supprimant  l'indice  zéro  devenu  inutile). 

/  dv  ^ 


î"  Dans  (-/^)    '<-'  terme  ç'/'M'N*  qui  donne 

-t-  r- -?'  f''^jmi^\dG. 
l)        J    du- 


Cj  Je  puis  donc  ici  reprendre  toutes  les  notations  du  début  de  ce  travail,  et  que  j'avais 
abandonaécs  momentanément,  ainsi  qu'il  est  expliqué  dans  la  note  de  la  page  i-)!\.  On  observera 
que  /■  est  une  constante  généralement  négative. 


SUR    LA   STABILITE    DE   L  EQUILIBRE   DES   FIGURES   PIRIFORMES.  lOI 

,■>"  Eufin  dans  (  y  )    ~7~  ^'^    terme    inlércssanl    se    calculera    en    supposant 

tous  les  ^  nuls,  sauf?". 

C'est  la  portion  de  l'énergie  de  la  double  couche  que  nous  avons  calculée  au 
début  de  ce  travail;  nous  n'avons  donc  qu'à  appliquer  la  formule  établie  au 
début. 

D'après  cette  formule,  si  ô  :=  2BMN  est  la  densité  de  la  double  couche,  cette 

portion  de  l'énergie  sera 

—  2T.y  /   /2  MN^  di. 

^4  2n  -h  i  J 

Mais  ici 

Si  donc 

/2  1VI1N?=  SpMN, 

alors  la  portion  cherchée  de  l'énergie  sera 


^'^^  2n-t-i  J 


Unification  des  formules. 

Une  difficulté  provient  do  ce  que  quelques-unes  des  formules  précédentes 
ont  une  forme  analvlique  diflérenle,  suivant  que  l'élément  f/cr  de  la  surface 
de  Eo  est  au-dessous  ou  au-dessus  de  la  poire.  Il  est  permis  toutefois  de  prévoir 
qu'il  doit  y  avoir  compensation,  et  que  dans  la  formule  finale  nous  retom- 
berons toujours  sur  la  même  forme  analytique.  Il  reste  à  voir  comment  se  fait 
cette  compensation. 

Les  termes  d'où  provient  la  difficulté  sont  (outre  ceux  dus  à  l'action  de  i\l 
sur  Ml)  : 

1°  L'énergie  de  E,,  sur  £{1  dont  l'expression  est 
2'-   L'énergie  de  i  sur  J\\  dont  l'expression  est 

J'observe  que  V|,  —r^,  Vj  sont  continus  quand  on  franchit  la  surface  de  E,, 
et  qu'il  est  de  même  de 


l82  SUR    LA   STABILITÉ    DE    L'ÉQUILIBRE    DES   FIGURES   PIRIFORMES. 

et  (le  touU'à  ses  tlcnvées.  bi  donc  i  appelle  L)  -p— i   U-^— -,  D  — ;— i  u —, — -  les 

■'     '  '  (/(/-  t/u'  lia  du- 

sants  brusques  subis  par        .,'  quand  on  franchit  celte  surface;,  du  dedans  au 
dehors,   la   dilKrt'iice  entre  les  deux  formules  qu'il  s'agit  de  comparer  sera 

pour  l'action  de  Eq  sur  JiH,  et 
pour  l'action  de  i  sur  ^il. 


Calcul  de  D 


duP- 


Nous  nous  servirons  pour  ce  calcul  de  l'équation  suivante  : 

puisque  AV|  =  o  à  l'extérieur,  et  —  t\T^  k  l'intérieur. 

Or  si  nous  nous  rappelons  l'expression  de  A\\  et  que  le  D  de  —r^i  —, — ^ 

d\\    d'Vi      ....  ...     f/V,     .,     .      , 

— r-i  —, —  est  nul,  ainsi  que  celui  de  — ;— j  il  vient 

dp  \  A      dp  I         A         dp- 

d'où 

D^^  =  A2DAV,=  4-A"-. 
dpi. 

Donc 


Calcul  de  D^'. 

Calculons  d'abord  D     ,  ,  ;  pour  cela  nous  nous  servirons  de 

dp''      ' 

D  — -, —  =  o. 

dp 

Si  nous  observons  que 

d^W  dV,  d^y,       ,^  d^y, 

«;j.-  a;x  d\xdp  d\x- dp 


SUR    LA   STABILITÉ   DE   L"ÉQUILIBRE    DES    FIGURES   PIRIFORMES.  l83 

el  de  même  pour  les  dérivées  correspondantes  par  rapport  à  -j,  je  puis  écrire 

dp  dp  [abc  dp  \  X     dp  )]' 


Mais  d'ailleurs  on  a 


A  dp  ='^  =  du  j-,         BC  =  H  } , 


H  étant  indépendant  de  o;  nous  pouvons  donc  écrire 

A  l!C  dp  \  A      f/p   /Il  du  \    /-i      ./f<  /  ~    V/î<  \  l-^  du  )  ' 

O  =  D  ; =  là  U  -1—:       -, ;-      )  7T  D  — ;— „     ,      D  ■ 

du  "      du°-  \  i^  du  J  ti       du-'         l' du 


BC  dV^  _  IWo  rfVi 
A       do  (-       du 


i-       du"         l' du       du- 
d'où  enfin 

-«fV,        idl  ,  ,,     , 


dy„ 

Calcul  de  D-I^. 

'/a 


D'après  la  propriété  fondamentale  des  surfaces  attirantes,  on  a 

du  d<s 

Calcul  de  D 


=  o, 


du- 

Pour  ce  calcul  nous  nous  servirons  de 

u^^'        nf      '        d  /  BC  dX.>\l       „  ^   d   /  dX 


/u 


d'où  enfin 


I       d-'X.  _   ïdl      dX.  _ 
l^      "dûF  ""  7^17^   '  ~d^  ~  °' 


f/tt-  "  dn  l  du  ~         "  '  f/7 


En  résumé  la  différence  entre  les  deux  formules  qu'il  s'agit  d'identifier  sera  : 
i"   Pour  l'action  de  E  sur  ilT  : 


|84  SUR    LA   STABILITÉ    DE    L'ÉQUILIBRE    DES    FIGURES    PIRIFORMES. 

2°   Pour  l'action  do  i  sur  iU  : 

5/(^)"»;^-r/(:;;)'"S"'=-"/(:;;)'"-i=/'(;;:)''"- 

3"  Pour  raclion  de  i\\  sur  H\  : 

-/-'4-rf^)"-5-(:;n'-ïS(ï:)'] 

xoit  au  total  zéro. 

Nous  pourrons  donc  employer  indifl'éremment  l'une  ou  l'autre  formule  sans 
nous  inquiéter  de  savoir  si  la  poire  est  au-dessus  ou  au-dessous  de  l'ellipsoïde, 
pourvu  que  l'on  se  serve  des  formules  correspondantes  pour  le  calcul  de  tous 
les  termes. 

Nous  choisirons  désormais  l'hypothèse  intérieure. 

Groupement  des  formules. 

Nous  allons  maintenant  grouper  les  termes  de  même  forme,  afin  d'addi- 
tionner leurs  coefficients. 

Nous  avons  d'abord  à  envisager  les  termes  en  lil^':  ;  le  premier  que  nous  trou- 
vons est 

îa^-f^  U't.)"-'''''-'''""- 

Nous  avons  posé 

«'•  P         Ko 

n„  étant  une  constante.  Nous  avons  d'autre  part 

111  11 

^  =  '^e  î^  =  (  p'  -a-ïH  p-  —  6-  )'-  (  p-  -  c-  )-   (Pô  — l^-)-(P5-v-)-   ^  /(p)  '■- 
fiu        d<>  du  p  (p-  —  [i')(p2 — v^)  f       ta 

en  désignant  pary(p)  une  fonction  de  p  et  par  /„  ce  que  devient  l  pour  p  =r  p„. 
Nous  déduisons  de  là 

'^  l  I 

du\'iu)  =f  ^'^da  h  -^-f^'^-û-  =  T  /ï  +^-^^P^-7r 
et  pour  p  =:  po  : 


à('î)  =  f'--'/'->^ 


du 


SUR   LA   STABILITÉ    DE    L'ÉQUILIBRE    DES    FIGURES    PIRIFORMES.  l85 

(^u  est-ce  mainlenanl  que  -,-  pour  p  ^  po  ' 
On  trouve 

(U  _cn  dp^  _  /(p)  (Il  i-  __  /(p)  di 

(lu        do  du  p       dp   It,  p        dp 

Calculons  encore  la  dérivée  seconde  --j^  (p  ;7~  )  '  Nous  venons  de  trouver 


d   I    dp\  _  ff  /*         lp       dp 


du 
On  trouve  de  même 


V'  du)         p     l'i  ?       Il 


du"- y  du/       dp\  p    )  p   II       \     p'-  p-'  /     /à  p-  /i 


'■-  --"C^y  ,/."î^ 


p-^     ^s 


ou  pour  p  =  p„ 


m^-iiAfy-':^-'i-yfr'i[-m-w\ 


Posons 


ff  f- 


i\i  et  fî  seront  des  constantes  dépendant  seulement  de  p  et  faciles  à  calculer. 
On  aura,  pour  p  =  p,,  : 

du  \    du  I  dp 

Or  nous  avons  posé  plus  haut  : 

et  nous  avons  trouvé  que  le  coefficient  cherché  était  égal  à  if)[îi,-;  nous  avons 
posé  un  peu  plus  loin 

En  rapprochant  toutes  ces  formules,  nous  trouvons 

•r,,  =  ai3,+  î3  5^'. 
dp 

Nous  avons  trouvé  ensuite  comme  terme  en  ^,EJ  :    ' 

7  J  '  (lu  2n.-hi  J  ■"     -  du 

H.  P.  —  VII.  24 


iSli  SUR    LA   STABILITE    DE    LEQUILIBRE    DES   FIGURES    PIRIFORMES. 

,.  ,  r/0  ,   ,     .      ,     ,  , 

^1  nous  observons  que  -j-  se  roduil  a  /  pour  p  ;—  poj  nous  Irouvcrons  pour  le 
coeflicienl  en  question  : 

r:S,D,-  /  ^  R',  S.,  H 2 —  h;  S  A  . 

Enliu  dans  l'énergie  de  ili  sur  Hl  nous  tTVons  encore  un  ternie  en  Lii^,  qui  a 
pour  coefficient 

—  2  n  Tm ?  N?  M,-  N,-  /-i  r/a  =  —  2  -  [i; D,-. 

Je  prends  le  signe  —  parce  que  j'ai  adopté  l'hypothèse  d'après  laquelle  ^H 
est  intérieur  à  £„. 

En  réunissant  tous  ces  termes,  je  trouve  que  le  coefficient  définitif  de  \{i^\  est 

?,o,Y  1,  +  i  - IV,  Ss  +  — ^— - k; S, -+- 2 -)  -f- il ûi 5^' . 

\  7  2  n  -H  I  /  rfp 

Remarquons  encore  que  nous  avons  trouvé 

f/p    du,        i-        (lu  il 

Nous  pouvons  en  déduire 


51,  =- |,:RoSo^',         B=- l^tRoSs-^. 
3  p  3  p 


Je  rappelle  que  ^  tt/  n'est  autre  chose  que  le  volume  de  Eq. 

Passons  maintenant  aux  termes  en  f';  le  premier  que  nous  rencontrons  a 
pour  coefficient  l'intégrale 

24  J     df-       du^ydu/  lf\  J        du^ydnj 

Supposons  que  l'on  veuille  développer  en  série  de  Lamé  la  fonction  /'M^N' 

cl  soit 

/'M3IV?=  ir,M,N,-, 

les  F;  étant  certains  coefficients,  qui  naturellement  dépendront  de  p,  nous  en 
déduirons 

Il  est  clair  alors  que  nous  aurons  pour  le  seul  coefficient  qui  nous  intéresse, 
qui  est  Fr,  et  que  je  désignerai  simplement  par  F  : 

Q,  r,  =  Q ,  r  =  r  /5  M  '':.  N  ',  drs  ; 


SUR    LA   STABILITÉ    DE   L'ÉQUILIBRE   DES   FIGURES   PIRIFORMES.  187 

Cela  nous  montre,  en  rapprochant  de  l'expression  de  -j—,  ip-J^)  ■>  T'o  si  nous 
posons  pour  abréger  : 

24  p  <^?\  ?   /  4«  V  p-        p'  /  4*5  p- 

le  coefficient  du  terme  envisagé  en  ^J  sera 

ap  dù- 

Vient  ensuite  comme  terme  en  ?-  : 


;^^„„„>[„,s.2.«-s.(- )-],.. 


Pour  le  calcul  de  ce  coefficient,  il  nous  faut  -td  quant  à  (  -^  j    c'est  /-'.  Or 
nous  avons 

rfO  _  /2  d^  _  ij.  (U  dp^  _       dl  f 

du        h  du-         (0   dp  du  dp   p 

ce  (jui  nous  donne  en  dclinitive  pour  le  coeflicionl  cherché  : 

21  21  P  «P 

Enfin  dans  l'énergie  de  i\\  sur  i\\,  nous  avons  deux  termes  en  i^l,  le  premier 
a  pour  coefficient 

()    J    du-  12      p   dp 

(je  prends  le  signe  —  à  cause  de  l'hypothèse  intérieure)  et  le  second 

2     ^  2n  +  I 

En  réunissant  tous  ces  termes,  nous  trouvons  finalement  pour  le  coefficient 

rfp-  2      j^  2«  -h  I 

R- 
Observons  que  R"  S^  est  égal  à  R5  S5  au  facteur  constant  prés  ^j  qui  est  égal 

d'après  l'équation  de  Lamé   à    un  polynôme  connu   du  second  ordre  en  p-. 

D'ailleurs  R5S5  est  égal  au  facteur^  près  à  RjSo,  qui  figure  dans  l'expression 


l88  SUR    LA   STABILITÉ    DE    L'ÉQUILIBRE    DES    FIGURES    PIRIFORMES. 

de  II,,,  pt  cela  parce  que  le  coefficient  de  stabilité  correspondant  à  Y{„  doit 
s'annuler  pour  l'ellipsoïde  Eq. 

Calcul  du  moment  d'inertie. 
Le  calcul  de  J  est  plus  facile;  nous  avons  en  effet 

l'intégrale  étant  étendue  à  tous  les  éléments  dr  de  la  poire;  le  moment  d'inertie 
de  l'ellipsoïde  E„  sera 

l'intégrale  étant  étendue  à  tous  les  éléments  dr  de  l'ellipsoïde,  et  la  différence 
J  —  Jo  sera  la  même  intégrale  étendue  à  tous  les  éléments  de  la  couche  comprise 
entre  l'ellipsoïde  et  la  poire.  Posons 


dQ 

gi  =  r'-  +  z-  =  qo  -+-  u 

Nous  aurons 


Il  nous  faut  donc  calculer  Q„  et  -~ -  j  nous  avons  posé  plus  haut 
O  =  R,H,,M,N,+  Br,n3M,,N3-t-  BtRiMvNi-i-  B„n. 

Pour  p  =  po,  II  est  nul  ;  de  sorle  que 

Q„=  B,HÎM,N,+  B3RSM3lN.i-t-B4R;MiN,.. 

Comme  les  fonctions  R  ne  sont  définies  qu'à  un  facteur  constant  près,  nous 
pouvons  supposer  que  K|  =  i,  et  que  le  coefficient  de  p-  dans  R3  et  dans  R.»  est 
égal  à  I . 

On  trouve  d'autre  part 


d  où 


dp 


dO 
du 


>  _  _       r  (,j.2-b"-)(r'--b^-)    ,    (hl^-c"-)(v'=-c-')1 
r  ~'^^   [{'y—  a2 ) ( 62  —  c-^ )  ^  (c2— a2)(c-— 6-^)J' 


SUR    LA    STABILITÉ    DE   L'ÉQUILIBRE    DES    FIGURES    PIRIFORMES.  189 

Celle  expression  peul  fucilemem  se  metlre  sous  la  forme 

du 

OÙ  les  C  sont  des  coefficients  numériques  faciles  à  déterminer. 
Nous  trouvons  d'abord 

dv 


d'où 


d.;  ■'- 


(car  nous  savons  que  ii  est  nul). 
Passons  au  calcul  de 

I    rdQ  /dvy 
9.J    du  \( 

Nous  pouvons  r(''duire  (    .-  )    au  terme  unique 

Le  terme  cherché  se  réduit  donc  à 

'  El  /  Z^M?N.?(C,MiN,-i-C3M,N3-HCiMiN4)«'cr, 

c'est-à-dire  à 

i  E?  (  C,  p,  Q,  -+-  C3  ?,  Q3  +  Cl  p,  o^  ) 

de  sorte  que  finalement 

J  =J„+Ç,B3R2l>,+  c,,B..RÎQj-h  iE;(.C,P.,<>,-l-C3p3'->:,+  G.,j3..Q,). 

Le  calcul  des  coefficients  B^R^iis  et  B^R^iî^  est  aisé. 

Si  en  effet  ai,   b,,   Ci,  sont  les  trois  axes  d'un  ellipsoïde,  on  sait  que  son 
moment  d'inertie  est 

J  =  -^«i6,C|(i;-l-er), 

d'où 

''J        4  "  ,      ,  7  •,       „  s  f/J        4  J'  ., ,  o       ,  d}       4 1 ,      , . ,      „   , 

_   =_è,c,(/.î  +  cr),  _  =  _a.cU36r  +  cr),  —  =  -b,c,{ù-,  +  ic\). 

Si  nous  ajoutons  à  l'ellipsoïde   une  couche    infiniment   mince   d'épaisseur 


igo  SUR    LA    STABILITE    DE    L'EQUILIBRE    DES    FIGURES    PIRIFORMES. 

/;;l^Il^<l.  la  ligure  reste  ellipsiiidale,  mais  les  Irois  axes  subissent  des  accrois- 
sements 

/uiç3M(,"Ny',     /l2>?3MÇ^'Nt-i,     /I5IÇ3M',"N'/', 

où  /l'i,  M.f,  Nf{i^  I,  2,  3)  sont  les  fonctions  /,  M3,  IN3,  où  l'on  a  fait  respec- 
livemeul  : 

pour  i  =  i  : 

\x  =  b,      V  =  c,      p  =  po; 

pour  1  =  2: 

,a  =  a,     v  =  c,     p  =  po; 
pour  j  =  3  : 

;x  =  rt,      \  =  b,       p  =  po. 

On  voit  alors  que 

Dans  les  dérivées  -7^  !  •  •  •  i  on  a  fait  bien  entendu 

(itii 


"1  =  v'ipii  — «-)-       ''1  =  v'(?ii  — ^-)t       c,=  \'{pl-~c^). 
On  trouverait  de  même  l'expression  de  B4RJÎ2.., . 

Conditions  de  la  stabilité. 

Soit  U  l'énergie  de  gravitation  de  la  masse  envisagée,  J  le  moment  d'inertie, 
to  la  vitesse  angulaire;  l'énei-gie  totale  sera  U  +  -w-J. 

Soit  0),,  la  vitesse  angulaire  de  l'ellipsoïde  critique  Eu  et  posons 

W  =  U  -)-  -  (1)5  J ,  10^  =  0)5  -+-  2  £, 

notre  énergie  totale  sera  W  +  eJ. 

Nous  avons  trouvé  plus  haut  le  développement  de  W  et  celui  de  J  jusqu'à 
l'approximation  qui  nous  convient;  nous  avons  d'abord 

W  =  \V„+  SG,??  -+-  Ho?5  -I-  SQ/b?/- 

Nous  avons  appris  à  calculer  les  coefficients  G,,  Ho  et  Q,  ;  nous  remar- 
querons :  1"  que  les  G(  ne  sont  autre  chose  que  les  coefficients  de  stabilité; 
2°  que  G5  est  nul,  et  qu'il  en  est  de  même  de  Q5  ainsi  que  de  tous  les  coeffi- 
cients Q,  qui  ne  se  rapportent  pas  à  une  fonction  de  Lamé  paire  et  uniforme. 


SUR    LA   STABILITÉ    DE   L'ÉQUILIBRE   DES   FIGURES   PIRIFORMES.  I9I 

Comme  H,,  se  compose  de  deux  parlies  qui  joueront  un  rôle  assez  diflôrenl, 
j'écrirai 

Ho=  H  +  H', 

?.     ^  ■?.  n  +  I 


■'I       p      ■  12      p  J  «p 


JNous  avons  d'aulre  part 


j  =  j„-i-  Yo^:^-)-  T^fn-i-  T'.!'. 


et  nous  avons  appris  plus  haut  à  calculer  les  coeflicients  y. 

On  obtiendra  les  équations  qui  définissent  la  poire,   en  écrivant   que   les 
dérivées  de  l'énergie  sont  nulles;  on  trouve  ainsi  : 

i"  [*ar  la  dérivée  par  rapport  à  ^,-,  : 

2°   Par  la  dérivée  par  rapport  à  H;,  : 

2  Oj  |.-i  -I-  Qn  ? I  +  EV3  =  0  ; 
3"  Par  la  dérivée  par  rapport  à  ^,,  : 

2 C... I4 -I-  Qi Ç?  +  Eyi  =  o ; 
4"   Par  la  dérivée  par  rapport  aux  autres  t,  : 

2G<?<-<-  QiH  =  o. 
Le  rapprochement  de  ces  diverses  équations  donne 

L         -J  21.,  j       v       -.'.Uj       2Cj4  / 
La  quantité  dont  il  faut  déterminer  le  signe,  c'est 


Or 


Posons  alors 


OjJ  —  (OoJo  =  tOo(J  —  Jo)  H Jo. 


\  2(j.-i  a(_n  /  \2G5        2 (.4 


n  n  y^_2ll-2ll' 


192  SUR    LA   STABILITÉ    DE    L'ÉQUILIBRE    DES    FIGURES    PIRIFORMES. 

Ou  voit  (lue  la  quaiuiU'  dont  il  faut  déienniner  le  signe  sera 

Il  est  aisé  de  véritier  (|ue  celle  formule  (A)  esl  homogène;  voici  ce  que 
j'enleuds  par  là.  Les  tondions  de  Lamé  M,  ne  sonl  délinics  (ju'à  un  fadeur 
conslanl  prés,  el  nos  formules,  pour  avoir  un  sens,  doivenl  èlre  homogènes  par 
rapport  à  chacun  de  ces  fadeurs  conslanls  arbitraires.  L'intégrale 

0,=  flMfNf  du 

esl  évideiamenl   proportionnelle    à   la    quatrième    puissance    de    ce    fadeur, 
puisque  ce  facteur  entre  également  dans  M,  et  dans  iN,. 

Nous  devons  donc  vérifier  que  la  formule  (A)  esl  homogène  par  rapport 
ù  ili,  et  en  particulier  par  rapport  à  i2;,.  Pour  écrire,  par  exemple,  qu'une 
quantité  (B)  esl  proportionnelle  à  la  a.'"""  puissance  de  il;  el  à  la  p"""'  puis- 
sance de  12,-,,  j'écrirai 

lî  =  [ofQP]. 

Je  trouve  ainsi 

[i,-L),=   r^^M,?N?M;N/f/cr=  [q.,  v^fJ/],  d'où  8,-=r'^l  =  Lfi5t2r^J. 

r,Q,=  f  l^miNlMi?^idG=[  o'q;  J, 

On  trouve  ensuite 

Q,.=  [[i,.t.,]  =  [Q.,  v/û;]; 
H  =  [rQ,]=[Q?]>      ii'=Lp;Qd  =  [«:L      <i,  =  [û/]; 

2|^=[lin'       etenlin  ^^  g  _  :- H  _  .  H' =  [U?  J. 

Les  coefficients  appelés  plus  haut  B,  el  C,  dans  le  calcul  de  J  sont  propor- 
liouneU  à  12,  %  ce  qui  donne 

Y,=  [|ï,0:;|  =  Wih],  Y,=  [15,0,]  =  [y/o;]; 


De  même 


d'où 


SUR    LA   STABILITÉ    DE    L'ÉQUILIBRE    DES    FIGURES    PIRIFORMES.  igS 

D'autre  part 


[?^]=[§;] 


(le  sorte  que  liualement  le  second  membre  de  notre  formule  (A)  est  homogène 
et  de  degré  i  par  rapport  à  0.^,  et  ue  contient  pas  les  autres  i2,. 

Détermination  des  intégrales. 

Dans  les  coefficients  et  les  formules  (jui  précédent  entrent  diverses  intégrales, 
et  nous  devons  chercher  à  les  calculer. 

i"  Les  axes  de  l'ellipsoïde  Eq  élanl  supposés  connus,  on  formera  aisément 
les  diverses  fonctions  R,-,  ce  n'est  (ju'une  affaire  de  calcul  algébrique;  on  a  à 
résoudre  diverses  équations  algébriques,  et  ces  équations  sont  du  second  degré 
pour  toutes  les  fonctions  de  Lamé  d'ordre  o,  1,2,  3,  et  pour  quelques-unes  de 
celles  d'ordre  4  f^l  5. 

Les  fonctions  R,-  étant  formées,  on  aura  immédiatement  les  valeurs  R"  qui 
correspondent  à  p  ::=  p,,  et  aussi  celles  des  dérivées  successives  R),  R-',  .... 

2°  Dans  nos  équations  figurent  les  intégrales  S,  ;  or  le  calcul  de  ces  intégrales 

se  ramène  à  celui  des  intégrales  définies    /      ^P  i  ;r)  5^^' 

Quelle  est  la   forme  de  la  fonction^)  (|ui  figure  sous  le  signe    /  ?  Nous 

allons  l'exprimer  en  fonction  de  l'argument  elliptique  9,  et  nous  emploierons  les 
notations  p  et  i  de  Weierstrass.  Soit  R/=n,n-,  H,-  étant  le  produit  de  o,  i,  2, 
ou  3  des  facteurs  \/(p- — a'-),  ^/(p- — 6-),  \/{p- — c-)  et  II,'  un  produit  de 
facteurs  de  la  forme  p-  —  X|.  Nous  poserons 

p-— «-=  P(6)— ei,  (.'-  —  b^-=p((l)  —  e"-,  p^  — c2=  p(e)  — fi:,,  e,-i-e«-h  e-i=o; 
d'où 

p-—  P(8)  =  «-—  *?!=  b-—  e,  =  C-—  e3=  --(a--hb--i-  c-). 
Nous  avons  d'ailleurs  comme  on  sait 

La  valeur  zéro  de  l'argument  0  correspond  à  p  =00,  et  nous  appelleronsûo 
et  E/c  les  valeurs  qui  correspondent  à  p  ^  po  ou  à  p  =  ^a. 

H.  p.  —  VIT.  25 


194  SUR    LA    STABILITÉ    DE   L'ÉQUILIBRE    DES    FIGURES   PIRIFORMES. 

Considérons  alors  la  l'onclion  -r^  comme  une  fonction  doublement  périodique, 

et  décomposons-la  en  éléments  simples.  Les  éléments  simples  seront 

i"  Un  terme  constant. 
2"  Des  termes  en 

p(0  — co,),      p(0  — lOo),      P((î  — W:i) 

provenant  des  facteurs y/(p- —  a'-),  \/ {p- — b-),  y{p- — c'-'),  qui  peuvent  exister 
dans  R,. 

3"  Des  termes  en 

provenant  des  facteurs  p-  —  l'I. 

Les  coefficients  de  ces  divers  termes,  sauf  le  terme  constant,  peuvent  se 
déterminer  par  un  calcul  purement  algébrique. 

Quant  au  terme  constant,  c'est  une  fonction  linéaire  non  homogène  desÇ(£A), 
fonction  linéaire  dont  les  coefficients  peuvent  se  calculer  algébricjuement. 

L'intégrale  indéfinie  contiendra  donc  des  termes  en 

0,    er(Ei),    ae-io,),    U^-o.u),    ^(e-coa),    iog^l'^l'],    i:(()_£^.)  +  ^(e  +  £,), 

-)  c  —  tx J 

ce  qui  donnera  dans  l'intégrale  définie  des  termes  en 

-I  {''0 — it) 

Le  calcul  de  S,  se  ramène  donc  au  calcul  de  ces  diverses  quantités.  Connais- 
sant S/,  on  aura  immédiatement  Sj  et  S]  par  les  formules 

r;s,—  R/s;=  i/i  +  i,      h;'s,—  H/s;=  o. 

4"  Nous  avons  ensuite  les  intégrales  doubles 


iU=  f  lM}Nf(h. 


M?  est  un    polynôme   entier  connu   en  p{'h)',  N,"  est   le    même    polynôme 
en  j3(02);  nous  avons  d'ailleurs 


Quant  aux  limites  d'intégration,  elles  sont  données  par  les  équations 
a2>|ji'->62>v2>c"-,         d'où         ei>Jj(e,)>e..>p(02)>e3, 
ce  qui  montre  qii  il  faut  faire  xuricr  0,  depuis  d),  —  W;,  jus(ju'à  w,  +  ùj;,  et  Oj 


SUR   LA   STABILITÉ    DE    L'ÉQUILIBRE    DES    FIGURES    PIRIFORMES.  It)5 

depuis  w- — oji  jus<[u'à  to, 4-  w,  le  long  des  côtés  convenables  du  recUingle  des 
périodes. 

Les  limites  ('tant  constantes,  l'intégrale  double  se  ramène  à  une  combinaison 
d'inlcgrales  simples  : 

Ces  intégrales  simples  se  calculent  d'une  façon  1res  simple.  On  peut  par  un 
calcul  algébrique  décomposer  M/  et  M,'jj(Oi)  en  éléments  simples,  c'est-à-dire 
en  polynôme  dont  les  termes  sont  des  multiples  de  jj(Oi)  et  de  ses  dérivées. 
Parmi  ces  termes  nous  retiendrons  seulement  le  terme  constant  et  le  terme 
en  jj(Oi).  Le  premier  donnera  comme  intégrales  gji  et  w,,  le  second  ru  et  y];,  à 
un  facteur  numérique  près. 

Le  calcul  de  12,  est  ainsi  ramené  à  celui  des  périodes  to  et  r). 

5"  Nous  avons  ensuite  les  intégrales 


Qi{ii=  r/-'M?N?M;N,û'a=  V  — I  p-M^\5M,N;[p(e,)  — p(0,)lrfO, 


■m,. 


Ici  encore  M? M;  est  un  polynôme  entier  en  ,p(Oi)  et  N'^N,  (!St  le  même 
polynôme  en  j3(02).  On  a  d'ailleurs 

11= ; = î 

(P5-|^-)(p5-v^l        [p(lii)-p(B„)l[p(0,)-jn"o)J 

Notre  intégrale  double  se  ramène  encore  à  une  combinaison  d'intégrales 
simples 

■'■'  'L.'   P(0.)-Plfo)j     p(0,)-p((i„)      J    p(0,)-p(0„)./     j,(0,)-p(U„)  J' 

Le  calcul  se  fait  de  la  même  manière.  Cliacune  des  fonctions  sous  le  signe  / 
doit  être  décomposée  en  éléments  simples,  ces  éléments  sont  une  constante; 
p(Oi)  ou  ses  dérivées,  et  enlin 

-(^■-"°")-^-("--°°)-^-(°°)=P(.0-p(e„)- 

Les  coefficients  de  celle  décomposition  pouvant  se  calculer  algébriquement, 
l'intégration  introduira,  outre  les  périodes  u  et  rj,  deux  transcendantes  nouvelles, 
qui  seront 

—  4a8o)W:,-Flog— — -— — =  4-n:.flo— 4w:.?(e,), 

7(tO|-f-W;, —   \)o)    3(L<lt  I0:;-I-O|,) 

,,,„  ,           ,      'j'((o-, —  oj| — On ) a'(co ; -f- (0| -H  f)„  ) 
-4C(6o)co,+  log^       '  ' "       ]    ^'  '         "     =4-niB„-4o3i^(9o) 

_l   (  tù;i  +0)1  \J„)  ■!(  O);;  0>|  -|-    0„   ) 

qui  se  ramènent  d'ailleurs  toutes  deux  à  Oq  et  à  ^0„). 


196  SUR    LA   STABILITÉ   DE    L'ÉQUILIBRE    DES    FIGURES   PIRIFORMES. 

6°  Nous  avons  ensuile  l'inlégrale  €1,—  ijui  esl  la  dérivée  de  la  précédenle 

par  rapport  à  p.  (Ici  0  est,  biea  entendu,  pris  égal  à  p,,.) 

Elle  dépend  des  dérivées  par  rapport  à  p  des  quatre  intégrales  simples  qui 
ligurent  dans  l'expressipn  ci-dessus  de  ii,[3,. 

La  dérivée  de  chacune  de  ces  intégrales  simples  se  calcule  d'ailleurs  aisément. 
Chacune  de  ces  intégrales  esl  une  somme  de  produits  où  l'un  des  facteurs  esl  1, 
cj,,  m  ou  ïî,0„  —  6o,Ç(0o)  et  où  l'autre  facteur  esl  un  coeflicient  calculable  algé- 
briquement. 

I^a  dérivée  de  ce  coefficient  par  rapport  à  p,,  sera  ainsi  calculable  algébri- 
quement, et  (piant  à  la  dérivée  du  premier  facteur  elle  sera 

O,        O.        0        mi        T,;  — (0, 


11  ne  s'introduit  donc  aucune  transcendante  nouvelle. 
7°  Considérons  maintenant  l'intégrale 

iNous  aurons 

''^  [p(",)-p(o.,>inp'»-i)-jMO„)]-^' 

d'où 

^       (    7  [p(0,)-  p(9o)J-J  [p(0.)-p(Uo)? 
_  r         Nf.M-,  r     iVi:;p(0i)f/0i     ) 

~J    lp(f).)-p("o)JV    |p(9,')-p(HojJM' 

On  opérerait  toujours  de  la  même  manière  en  décomposant  chaque  fonction 
sous  le  signe /en  éléments  simples.  Les  éléments  simples  seront  ici.  outre 
une  constante  ,p(0|  )  et  ses  dérivées  : 

Ç(0,-hO„)-Ç(0,-6o)-2^0„)     el     ])(0,-t-Û„)  +  p(0,-O„)-?p(e„). 

L'intégration  introduira  donc  les  mêmes  transcendantes  que  dans  le  cas 
de  £2,p,- et  en  outre  (par  l'intégration  du  dernier  élément  simple  que  je  viens 
de  citer)  :  4^/ — '^''>p{^Ki)i  ce  qui  n'est  pas  une  transcendante  nouvelle. 

8"  Il  ne  nous  reste  plus  que  les  intégrales  iîj  ^  i  i^.,  -1-^  qui  sont  les  dérivées 
de  la  précédente. 

r/3- 

Eu  raisonnant  comme  dans  le  cas  de  — pj  on  verrait  que  ces  intégrales 
n'introduisent  pas  de  transcendante  nouvelle. 


SUR    LA   STABILITÉ    DE    L'ÉQUILIBRE   DES   FIGURES    PIRIFORMES.  I97 

Le  calcul  de  ces  trausccndanles  ne  peut  présenter  de  difllcullé  si  l'on 
emploie  les  formules  de  Weierstrass  réunies  et  mises  sous  une  forme  si 
commode  par  les  soins  de  M.  Sclivvarz.  On  n'a  qu'à  employer  des  séries  très 
convergentes  procédant  suivant  les  puissances  de  la  quantité  que  Jacobi 
appelle  q  et  Weierstrass  h.  D'ailleurs  dans  le  cas  de  l'ellipsoïde  Eq,  la  valeur 
de  q  est  si  petite  que  l'on  pourrait  s'arrêter  au  premier  terme.  Ainsi  dans  le 
calcul  dej3,,  de  F,  de  leurs  dérivées  et  de  £2,,  on  ne  rencontrera  aucun  obstacle; 
car  il  ne  s'introduit  qu'un  petit  nombre  de  transcendantes  wj,  o):,,  t)i,  rjj,  ^(Oo),  O». 
Le  calcul  ne  serait  pas  tout  à  fait  aussi  facile  pour  S,,  de  sorte  que,  dans  ce 
cas,  on  pourrait  recourir  avec  avantage  aux  développements  donnés  par 
M.  Darwin  à  la  fin  de  son  Mémoire  Ellipsoïdal  Harmonie  Analysis,  et  qui 
procèdent  suivant  la  quantité  qu'il  appelle  [3. 

Si  les  axes  de  l'ellipsoïde  jacobien  critique  sont  comme  l'a  calculé  M.  Darwin 
dans  son  second  Mémoire  :  o,65o66;  0,81498;  1,88  583;  on  trouve,  sauf 
erreur  de  calcul  de  ma  part  ; 

/M=e~   "»    =— . 
200 

•«1  =  0,53790;  (1J3  =  f  X  o,9o52iS 

T|i=   1,1936;  1:î  =  —  ÎX  0,9080; 

Oo=o, 27501;         Ç(6o)  =  0,71640. 


Nouvelle  expression  des  conditions  de  stabilité. 

La  détermination  de  chacune  des  intégrales  ne  présente  donc  aucune 
difficulté,  et  le  calcul  serait  en  somme  facile  si  ces  intégrales  n'étaient  en 
nombre  infini. 

Rappelons  le  résultat  obtenu  plus  haut.  La  poire  sera  stable  ou  instable, 
suivant  que  Vexpression 

sera  positive  ou  négative. 

Or  nous  pouvons  tout  de  suite  remarquer  que  parmi  les  quantités  qui 
figurent  dans  cette  expression  :  T,  J„,  o^,  --n,  y,,  G;,,  G,,  H  ne  dépendent  que 
d'un  nombre  fini  d'intégrales,  tandis  que 


Vif         el         Il'=i.yl£i!i^'Q 
^^  2  Gf  2     ^  2  n  +  I 


IÇ)8  SUR    LA   STABILITÉ    DE    L'EQUILIBRE    DES    FIGURES   PIRIFORMES. 

dépeudenl  d'une    inflnilé  d'intégrales.   Toute    l;i   dlfliculté    provient  donc  du 
calcul  de  la  quantité 


2  k'/- 
2  G, 


*^^-.H'. 


Heureusement  il  ne  s'agit  pas  de  calculer  la  valeur  exacte  de  cette  quantitc^, 
mais  de  reconnaître  si  elle  satisfait  à  une  certaine  inégalité.  Pour  étudier  cette 
inégalité,  il  faut  que  nous  mettions  en  évidence  le  signe  de  plusieurs  de  nos 
quantités. 

Commençons  par  les  coefdcients  de  stabilité  G,.  Si  nous  suivons  la  série  des 
ellipsoïdes  de  Mac  Laurin,  tous  ces  coefficients  sont  d'abord  négatifs.  Le 
coefficient  G;,  changera  de  signe,  tous  les  autres  restant  négatifs,  f[uand  nous 
arriverons  à  l'ellipsoïde  de  bifurcation,  qui  est  en  même  temps  un  ellipsoïde  de 
Mac  Laurin  et  un  ellipsoïde  de  Jacobi.  Mais  à  partir  de  cet  ellipsoïde  de 
bifurcation,  on  abandonne  la  série  des  ellipsoïdes  do  Mac  Laurin  pour  suivre 
celle  des  jacobiens. 

Pour  celte  série  le  coefficient  G3  est  également  négatif,  en  vertu  du  principe 
de  l'échange  des  stabilités  convenablement  interprété.  Pour  les  premiers 
jacobiens  jusqu'au  jacobien  critique,  tous  les  coefficients  G,  seront  donc 
négatifs  sauf  G;,.  Pour  le  Jacobien  critique,  tous  les  G,  sont  négatifs  sauf  G3, 
qui  est  nul,  et  G^,  qui  est  positif. 

Déterminons  ensuite  le  signe  de 

Y  ^  £0  _  JS t1_  . 

105  2G:i  ^Gt 

Je  renverrai  u  mon  Mémoire  du  Tome  7  des  Acta,  et  au  paragraphe  intitulé 
Stabilité  des  ellipsoïdes.  J'ai  expliqué  dans  ce  paragraphe  que  tous  les 
jacobiens  sont  stables  si  l'on  assujettit  (à  titre  de  liaison)  la  figure  de  la  masse 
fluide  à  rester  ellipsoïdale,  c'est-à-dire  si  l'on  assujettit  tous  les  ^,  à  être  nuls 
sauf  ^3  el  ç,. 

J'ai  exposé  en  même  temps  la  condition  de  la  stabilité,  qui  avec  notre 
notation  actuelle  s'écrit 

W-\V„-"](J-J„)'<o, 
ou  comme  il  s'agit  de  petites  déformations 

w_\v„-i:i!i(j-j„)^<o. 


SUR    LA   STABILITÉ   DE   L'ÉQUILIBRE    DES    FIGURES   PIRIFORMES.  199 

En  supposant  tous  les  ?,  nuls  sauf  ^^s  et  S/,,  et  remplaçant  W  —  Wq  et  J  —  Jq 
par  leurs  valeurs,  nous  trouvons 

G3?.?+Gi??;-^(-r.,?3+T>?0'-<o, 
2  Jo 

ce  qui  entraîne  rinégalilo 


(^'-S^O(^'-^^^^>^.ï^T^ 


"5      .,  \  ^    ^ 


Comme  oj^,  Jq  et  G3  sont  positifs  et  G,  négatif,  l'inégalité  change  de  sens 
quand  on  la  divise  par  yîj  G;, G,,  ce  qui  donne 

\ii)5         2G,/\<»1         2Gv/        4G3G4  W5  \W5         2G3         2G4/ 

OU  enfin  Y  <  o. 

Passons  à  la  détermination  de  signe  de  T.  Pour  cela  nous  allons  envisager  le 
coefficient  G5  pour  un  ellipsoïde  de  Jacobi  très  peu  difl'érent  du  jacobien 
critique. 

Soit  E„  cet  ellipsoïde,  et  ^wj-f-s   la  valeur  de  -w''  correspondante.    Nous 

pourrons  considérer  £  comme  définissant  l'ellipsoïde  E'^  ;  nous  supposons  e  très 
petit. 

Soit  ensuite  S  une  surface  peu  différente  de  Eq  et  de  E'„.  Soit  da'  un  élément 
de  la  surface  de  E'„  et  /'  la  quantité  qui  joue  par  rapport  à  E'„  et  à  d(j'  le  même 
rôle  que  l  par  rapport  à  Eq  et  à  d(7.  Par  les  ditférents  points  de  rfa' je  mène  des 
courbes  normales  aux  ellipsoïdes  homofocaux  à  E'„,  et  je  les  prolonge  jusqu'à 
leur  rencontre  avec  S.  Soit  di>'  le  petit  volume  ainsi  formé.  Je  supposerai  que 
la  surface  S  ait  été  définie  de  telle  sorte  que  l'on  ait 

Tî  étant  un  coefficient  constant  très  petit,  M*  et  N*  les  fonctions  qui  jouent  par 
rapport  à  E',  le  même  rôle  que  M.,  et  N,,  par  rapport  à  Eo. 

Soit  maintenant  da  un  élément  de  Eo,  par  da  menons  des  courbes  p.  =const. 
i>  =  const.  prolongées  jusqu'à  S,  et  soit  du  le  petit  volume  ainsi  engendré.  Nous 
poserons 

de  sorte  que  les  coefficients  Ç,  pourront  servir  à  définir  la  forme  de  S.  Il  est 


aOO  SUR    LA   STABILITE    DE    L  EQUILIBRE    DES    FIGURES    PIRIFORMES. 

clair  i]iie  les  ï,  sont  des  fonclioQs  de  £  et  de  n,  développables  suivant  les 
puissances  de  £  et  de  rj. 

Pour  £  =  o,  l'ellipsoïde  E',  se  réduit  à  E,,,  et  tous  les  5,  s'annulent  à  l'excep- 
tion de  $5,  qui  se  réduit  à  ■/). 

Pourri  =0,  la  surface  S  se  rt-duit  à  E'„  ;  alors  ^:,  et  L  sont  des  quantités  du 
premier  ordre,  e  étant  regardé  comme  de  premier  ordre,  tandis  que  les  autres  ^, 
seront  du  deuxième  ordre. 

Si  donc  £  et  v  sont  regardées  comme  des  quantités  du  premier  ordre,  Ç,  (en 
excluant  les  valeurs  «  =  3,  4,  5)  sera  du  deuxièm»;  ordre,  parce  que  tous  ses 

termes  contiendront  en  facteur  soit  £-',  soit  £r/;  5:,  et  £,  se  réduiront  à  -^  ;  et 

à  --|:^£  à  des  quantités  près  du  deuxième  ordre;  ^5  se  réduira  à  n  à  des  quantités 

près  du  deuxième  ordre. 

Nous  devons  calculer  W+£j. 

Dans  ce  qui  va  suivre,  nous  négligerons  les  quantités  du  quatrième  ordre  et 
en  plus  £^  et  £'-r).  Dans  ces  conditions  nous  pouvons  négliger  d'abord  tous  les 
monômes  du  quatrième  ordre  par  rapport  aux  ^,  et  arrêter  le  développement 
de  W  suivant  les  puissances  des  ^  au  troisième  ordre  inclusivement.  Nous 
pouvons  également  négliger  les  monômes  du  troisième  ordre  multipliés  par  £, 
et  par  conséquent  arrêter  le  développement  de  eS  suivant  les  puissances  des  ^ 
au  deuxième  ordre  inclusivement. 

Nous  négligerons  en  outre  :  les  fj (^i ^é:  3,  4,  5)  qui  sont  du  quatrième  ordre; 
les  monômes  du  troisième  ordre  en  ^:,  et  ^,  qui  sont  au  quatrième  ordre  prés 
égaux  à  un  multiple  de  s';  les  termes  en  ^,Ç/,£y(«  7^  3,  4-  ^:  ^"1  J  =  3,  4i  3)i  q"' 
sont  du  quatrième  ordre;  les  termes  on  i\i{^i ^  3,  4)  5),  qui  pourraient  figurer 
dans  £.1,  parce  qu'ils  contiennent  £-  en  facteur  et  par  consôqunet  sont,  au 
quatrième  ordre  près,  égaux  à  un  multiple  de  £'  plus  uu  multiple  de  t'-rt. 

Dans  ces  conditions  nous  devons  conserver  les  termes  suivants  : 

dans  ^^    : 

W  =  W„-i-  G,?s-i-  G»??-4-  Q-,?1Ç;,+  Qil?^, 

dans  £.J  : 

£j  =  ;.lo-+-  EYo?=  -I-  £Tn?:i-t-  EYi?,, 

d'où 

W-t-£.J  =('W„+sJo)-+-G,t5-hGi?î-i-Q3Ç?$:,+  Q»??^-i-£To?I  +  £T:>b+E;iÇv. 

Pour  Y)  =  o,  celte  expression  se  réduit  à 

W'o  =  (\V„ -H  £. !„)-!-  0.1$=  •+-G;Çj-l-£Y:l?;)H-£Yl?l, 


SUR   LA   STABILITÉ   DE    L'ÉQUILIBRE    DES    FIGURES   PIRIFORMES.  20I 

efl  ses  dérivées  doivent  s'annuler,  puisque  le  jacobien  esL  une  figure  d'équilibre. 

On  aura  donc 

2G3Ç3+  ETs  =  2Gi|t+e-|-i=  o, 

d'où,  à  des  quantités  près  de  l'ordre  de  s-,  ou  de  sr), 
Comme  ^5  se  réduit  à  0,  pour  s  =  o,  on  aura 

en  négligeant  e',  s'-rj,  £/)■',  rj''.  En  faisant  rj  =  o  il  vient 

W;  =  (W.^eJ„)-J(g^g). 

D'autre  part,  comme  v)  joue  par  rapport  à  E',  le  même  rôle  que  ^5  par  rapport 
à  Eo,  on  aura  avec  la  même  approximation 

w  -H£.t  =  w;,  +  G', T,^ 

G',  étant  le  coefficient  de  stabilité  relatif  à  l'ellipsoïde  E'„  et  au  «  third  zonal 
harmonie  ». 
On  aura  donc 

Si  nous  supposons  que  E'„  est  plus  allongé  que  Eu,  £  sera  négatif,  puisque  les 
vitesses  de  rotation  vont  en  diminuant  dans  la  série  des  jacobiens.  D'ailleurs  G'j 
sera  positif,  puisque  le  coefficient  de  stabilité  est  passé  du  négatif  au  positif 
quand  on  a  franchi  l'ellipsoïde  critique.  Donc  T  <  o. 

Revenons  aux  conditions  de  stabilité  de  la  poire. 

Posons 

.^daG,-  (1)5        2Gs        2Gv 

Nous  avons  trouvé 

?fX-+-£T  =  o, 

£  se  rapportant  à  la  poire  et  non  plus  à  E'„. 

loJ  —  co„J„  XY 

-, =  T =-,  Y  <  o,         T<o. 

Pour  la  stabilité,  il  suffit  que  w  soit  maximum,  c'est-à-dire  que  £  soit  négatif; 
il  faut  et  il  suffit  que  uJ  soit  minimum,  c'est-à-dire  que 

wJ  —  (0,1  J„  >  o. 
H.  P.  —  VII.  26 


202  SUR    LA   STABILITÉ   DE   L'ÉQUILIBRE   DES   FIGURES   PIRIFORMES. 

Or  £  <  o,  éniiivaut,  puisque  T  esl  ni^galif,  à  X  <  o.  C'est  donc  là  une  condition 
suffisante  de  la  stabilité. 

T 


\Y 
Supposons  maintenant  X  >-  o;  alors  T  sera  négatif,  -=r  positif,  et  wJ  —  WoJq 


négatif;  il  v  aura  donc  iastal)ilité. 

En  résumé  la  condition  nécessaire  et  suffisante  pour  la  stabilité  est  X  ■<  o,  ou 

ou 

ij^7.n-^-i  ^^20i 

Si  nous  observons  que  R,'  est  positif,  S;  négatif,  les  G,  négatifs  sauf  G;,,  nous 
verrons  que  tous  les  termes  du  premier  membre  sont  positifs  sauf  2  H  et  —  ■;^  ■ 

Si  donc  il  y  a  instabilité,  c'est-à-dire  si  l'inégalité  précédente  n'a  pas  lieu,  il 
suffira  pour  le  constater  de  calculer  un  nombre  fini  de  termes  du  premier 
membre.  Si  au  contraire  il  y  a  stabilité,  on  ne  pourra  s'en  assurer  qu'en 
calculant  la  somme  des  termes  positifs  du  premier  membre  qui  sont  en  nombre 
infini,  ou  en  évaluant  une  limite  supérieure  de  cette  somme. 


LES  FORMES  D'ÉQUILIBRE 
D'UNE  3IASSE  FLUIDE  EN  ROTATION  C) 


JRevue  Générale  des  Sciences,  t.  3,  p.  Sog-Siô  (i5  (Iccembre  1892) 


D'après  les  idées  généralement  admises,  tous  les  astres  ont  été  originaire- 
ment liquides  ou  gazeux,  et  ceux  qui  n'ont  pas  conserve  leur  fluidité  primitive, 
ont  gardé,  en  se  solidiliant,  la  figure  qu'ils  avaient  prise  quand  ils  étaient 
encore  fluides. 

Les  astronomes  ont  ainsi  été  conduits  à  se  poser  le  problème  suivant,  afin 
d'expliquer  la  figure  des  corps  célestes  :  quelles  sont  les  forces  auxquelles 
étaient  soumises  ces  masses  fluides  qui  sont  devenues  les  astres  actuels  et 
quelles  formes  d'équilibre  devaient  prendre  ces  masses  sous  l'influence  de  ces 
forces  ? 

La  première  de  ces  forces  était  l'attraction  newtonienne.  Chaque  molécule 
fluide  était  attirée  par  les  autres  parties  de  la  masse  en  raison  directe  des 
masses  et  en  raison  inverse  du  carré  des  dislances.  La  seconde  était  la  force 
centrifuge  produite  par  la  rotation  de  la  masse.  On  admet  que  cette  rotation 
devait  être  uniforme,  c'est-à-dire  que  toutes  les  parties  de  la  masse  devaient 
effectuer  un  tour  complet  dans  le  même  temps.  Et  en  eff'et,  si  cette  uniformité 
n'existait  pas,  le  frottement  mutuel  des  diverses  parties  du  fluide  l'aurait 
promplement  rétablie. 

Déterminer  la  figure  d'équilibre  dun  fluide  soumis  à  ces  forces  est  un  pro- 
blème d'Hydrostatique.  Ce  problème  est  très  difficile,  et  sa  solution,  quelque 
incomplète  qu'elle  soit  encore,  a  exigé  de  grands  efforts,  que  l'importance  de  la 
question  justifiait  d'ailleurs  pleinement. 

(•)   Voir  aux  Notes,  Masses  fluides  en  rotation  {figures  annulaires  et  résultats  divers). 


2o4  FORMES  d'Équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation. 

Plusieurs  goomèlres  du  siècle  derniur,  parmi  lesquels  ClaiiMul  doit  être  cité 
en  première  ligne,  ont  résolu  le  problème,  en  supposant  que  la  rotation 
est  lente  el  que  la  figure  d'équilibre  diffère  pou  d'une  sphère.  C'est  bien  le 
cas,  en  effet,  pour  toutes  les  planètes  dans  leur  état  actuel;  et  cependant  cela 
ne  saurait  suffire,  car  ou  [leut  se  demander  s'il  en  est  encore  de  même  pour 
certaines  étoiles,  comme  les  étoiles  variables,  par  exemple.  On  peut  aussi  sup- 
poser, comme  le  faisait  Laplace,  que  la  matière,  qui  a  servi  à  former  les 
planètes,  a  d'abord,  en  se  détachant  du  .Soleil,  affecté  une  forme  annulaire  et 
par  conséquent  très  différente  d'une  sphère. 

Dés  qu'on  ne  se  restreint  plus  aux  figures  sphéro'idales,  le  problème  devient 
beaucoup  plus  difficile,  et  il  est  encore  bien  loin  d'être  résolu,  même  en  sup- 
posant, comme  nous  allons  le  faire,  que  la  masse  fluide  considérée  est  homo- 
gène, c'est-à-dire  que  sa  densité  est  constante. 

Mac-Laurin  a  montré  qu'une  des  figures  d'équilibre  (jue  peut  affecter  un 
fluide  homogène  en  rotation  est  un  ellipsoïde  de  révolution  aplati.  Pendant 
longtemps  on  a  pu  croire  que  cette  solution  était  unique. 

Mais  Jacobi,  au  commencement  de  ce  siècle,  a  découvert  une  solution 
vraiment  inattendue  :  certains  ellipsoïdes  à  trois  axes  inégaux,  appelés 
aujourd'hui  ellipsoides  de  Jacobi,  sont  également  des  figures  d'équilibre. 
La  rotation  s'effectue  autour  du  petit  axe. 

Ce  résultat  causa  un  grand  étonnement.  On  s'était  habitué  à  regarder  comme 
évident  que  toutes  les  formes  d'équilibre  devaient  être  des  surfaces  de  révolu- 
lion.  Il  n'v  a  aucune  raison  pour  cela,  el  cette  évidence  apparente  était  vaine. 
L'exemple  n'est  d'ailleurs  pas  rare  dans  les  annal(\s  de  la  Science  et  ce  n'est 
pas  là  le  premier  fantôme  de  ce  genre  qu'on  ait  vu  se  dissiper  ainsi. 

Certaines  personnes  ont  voulu  expliquer  de  la  sorte  la  variabilité  de  certaines 
étoiles  à  courte  période.  Si  ces  astres  ont  la  forme  d'ellipso'ides  de  Jacobi,  ils 
se  présentent  à  nous  tantôt  par  le  grand  axe,  tantôt  par  l'axe  moyen  et  leur 
surface  apparente  doit  varier  périodiquement.  Il  est  impossible  pour  le  moment 
de  se  prononcer  sur  la  valeur  de  celte  explication. 

On  a  fait  une  autre  hypothèse  qui  se  trouve  reproduite  dans  quelques 
Ouvrages,  bien  qu'elle  ne  soutienne  pas  un  instant  d'examen.  A  une  certaine 
époque,  les  géodésiens  avaient  cru  observer  que  l'aplatissement  du  globe  n'est 
pas  le  même  pour  les  différents  méridiens  el  que  la  Terre  affecte  la  forme  d'un 
ellipso'ide  à  trois  axes  inégaux.  On  a  dit  que  cette  figure  devait  être  un  ellip- 
so'ide  de  Jacobi.  C'était  oublier  que  les  ellipso'ides   de  Jacobi   différent  tous 


FORMES    D  EQUILIBRE    DUNE    MASSE    FLUIDE    EN    ROTATION.  2o5 

beaucoup  de  la  sphère  el  que  le  seul  (pii  soit  compatible  avec  la  vitesse  de 
rotation  de  la  Terre  est  une  sorte  d'aiguille  très  allongée. 

Après  la  découverte  de  Jacobi,  on  a  été  naturellement  conduit  à  se  demander 
s'il  n'existait  pas  d'autres  formes  d'équilibre  non  ellipsoïdales. 

Le  problème  a  été  nettement  posé  dans  l'admirable  Traité  de  l'hilosophie 
naturelle  de  Thomson  et  Tait  où  se  trouvent  quelques  pages  éminemment  sug- 
gestives. Ce  sont  ces  pages  qui  ont  inspiré  les  recherches  ultérieures,  parmi 
lesquelles  les  plus  importantes  sont,  sans  contredit,  celles  de  AI.  LiapounofT. 
Les  travaux  de  ce  savant  russe,  ceux  de  M.  Matthiessen,  de  M""'  Kowalevski  et 
les  miens  ont  mis  en  évidence  l'existence  de  nombreuses  formes  d'équilibre  sur 
lesquelles  je  voudrais  donner  quelques  détails. 

L        Formes  nouvelles  d'équilibre. 

Equilibre.  —  Si  l'on  fait  varier  d'une  manière  continue  le  moment  de  rota- 
tion (c'est-à-dire  le  produit  du  moment  d'inertie  par  la  vitesse  de  rotation),  les 
ellipsoïdes  de  Mac-ljauriu,  comme  ceux  de  Jacobi  se  déforment  d'une  manière 
continue. 

Considérons  d'abord  les  ellipsoïdes  de  révolution  de  Mac-Laurin.  Quand  le 
moment  de  rotation  croîtra,  l'aplatissement,  d'abord  très  faible,  croîtra 
constamment  el  finira  par  devenir  très  considérable;  la  vitesse  de  rotation 
croîtra  jusqu'à  un  certain  maximum,  pour  décroître  ensuite  jusqu'à  s'annuler. 

Elle  peut  en  elTet  décroître,  bien  que  le  moment  de  rotation  croisse,  parce 
que  l'autre  facteur,  qui  est  le  moment  d'inertie,  croît  1res  rapidement. 

On  arrive  à  des  résultais  analogues,  ainsi  que  l'a  démontré  Liouville,  en  ce 
qui  concerne  les  ellipsoïdes  de  Jacobi.  Ces  ellipsoïdes  n'existent  que  si  le 
moment  de  rotation  est  supérieur  à  une  certaine  valeur.  Quand  ce  moment  va 
en  croissant  à  partir  de  celte  valeur,  la  vitesse  de  rotation  décroît  et  finit  par 
s'annuler;  le  grand  axe  va  en  croissant  et  le  petit  axe  en  décroissant  sans  cesse; 
l'axe  moyen  décroît  plus  rapidement  encore.  D'abord  il  est  égal  au  grand  axe, 
de  telle  façon  que  l'ellipsoïde  est  de  révolution  autour  du  petit  axe,  c'est-à-dire 
de  l'axe  de  rotation;  au  contraire  quand  le  moment  de  rotation  est  très  grand 
el  la  vitesse  de  rotation  très  petite,  l'axe  moyen  est  presque  égal  au  petit  axe, 
de  telle  sorte  que  la  figure  ressemble  à  un  ellipsoïde  de  révolution  très  allongé. 

On  voit  que  les  deux  catégories  d'ellipsoïdes  forment  deux  séries  continues 
de  figures  d'équilibre.  Mais  il  y  a  une  figure  (jui  est  commune  aux  deux  séries 


2o6  FORMES    D'EQUILIBRE    D'UNE    MASSE    FLUIDE    EN    ROTATION. 

el  qui  esl,  si  l'on  veul  me  pennellre  celle  comparaison,  un  point  de  bifurca- 
tion. Je  veux  parler  de  l'ellipsoïde  de  Jacobi  (pii  correspond  à  la  valeur 
minimum  du  moment  de  rotation;  il  est  en  ellet  en  même  temps,  ainsi  que  je 
viens  de  le  dire,  un  ellipsoïde  de  révolution  aplati. 

Je  l'appellerai  l'ellipsoïde  Ej. 

Les  figures  nouvelles  d'équilibre  dont  il  me  reste  à  parler  forment  de 
même  des  séries  continues;  et  quelques-unes  d'entre  elles,  cpii  appartiennent 
en  même  temps  à  la  série  des  ellipsoïdes  de  Mac-Laurin  ou  à  celle  des  ellip- 
soïdes de  Jacobi,  sont  de  véritables  figures  de  bifurcation  analogues  à  E,. 

Je  vais  chercher  à  faire  comprendre  la  forme  de  ces  figures  nouvelles. 
Prenons  d'abord  pour  point  de  départ  un  ellipsoïde  de  révolution.  Par- 
tageons-en la  surface  en  n  +  i  zones,  en  y  traçant  n  parallèles.  Partageons-la 
de  même  en  ip  fuseaux  égaux  paryo  méridiens  équidislants. 

Ces  parallèles  et  ces  méridiens,  se  coupant  à  angle  droit,  déterminent  une 
sorte  de  damier;  imaginons  maintenant  que  la  surface  de  l'ellipsoïde  se  creuse 
ou  se  soulève,  de  telle  façon  que  les  cases  noires  de  notre  damier  soient  rem- 
placées par  des  montagnes  très  peu  élevées  et  les  cases  blanches  par  des 
vallées  très  peu  profondes;  nous  obtiendrons  ainsi  une  figure  d'équilibre  très 
pou  difTérente  de  l'ellipsoïde. 

Pour  nous  rendre  compte  de  la  forme  des  autres  solides  d'équilibre  de  la 
même  série,  nous  n'avons  qu'à  supposer  que  ces  reliefs  vont  en  s'accentuanl  et 
(pie  les  lignes  qui  séparent  les  dépressions  des  montagnes  se  déforment  peu 
à  peu. 

Il  est  inutile  d'ajouter  (|ue  l'aplatissement  de  l'ellipsoïde  qui  sert  de  point  de 
départ  et  les  latitudes  de  nos  n  parallèles  ne  peuvent  pas  être  choisis  arbitraire- 
ment el  qu'ils  ne  sont  pas  les  mêmes  pour  toutes  les  séries. 

Le  nombre  n  peut  être  nul  de  telle  sorte  que  l'ellipsoïde  soit  seulement  divisé 
en  fuseaux;  le  nombre />  peut  aussi  être  nul,  de  sorte  qu'il  soit  seulement  divisé 
en  zones. 

A  chaque  combinaison  des  deux  nombres  /;  et/)  correspond  une  série  de 
figures  nouvelles  d'équilibre.  Observons  toutefois  que  les  combinaisons 
(n  =  o,  /)  =  I  ),  (n^  i ,  p  =^  o),  (rt  =  1 ,  /j  =  I  )  ne  donnent  que  l'ellipsoïde  de 
Mac-Laurin  déplacé,  mais  non  déformé,  et  que  la  série  qui  correspond  à  la 
combinaison  (^n  =  o.  p  ^=  2)  n'est  autre  chose  que  la  série  des  ellipsoïdes  de 
Jacobi. 

Ces  figures  nouvelles  d'équilibre  admettent  p  plans  de  symétrie  passant  par 


FORMES    d'équilibre    D'UNE    MASSE    FLUIDE    EN    ROTATION.  207 

l'axe  de  rolation.  Si  p  est  nul,  elles  sont  de  révolution  autour  de  cet  axe.  Enfin, 
si  n  est  pair,  elles  ont  un  p  +  i'*""  plan  de  symétrie  perpendiculaire  à  l'axe  de 
rotation. 

Il  existe  d'autres  séries  de  formes  d'équilibre  que  l'on  obtient  en  prenant 
comme  point  de  départ  un  ellipsoïde  de  Jacobi. 

Voici  comment  on  les  obtient  : 

Traçons  à  la  surface  d'un  ellipsoïde  de  Jacobi  n  lignes  convenablement 
choisies  de  façon  à  la  diviser  en  n  +  i  zones,  entourant  les  pôles  du  grand  axe. 
(Ces  lignes  doivent  être  choisies  parmi  celles  que  les  géomètres  appellent  lignes 
de  courbure.  ) 

Imaginons  maintenant  que  la  surface  de  l'ellipsoïde  se  creuse  ou  se  soulève 
de  telle  façon  que  la  première  de  ces  zones  soit  remplacée  par  une  montagne, 


Kig.  I. 


la  zone  suivante  par  une  vallée,  la  suivante  par  une  montagne  et  ainsi  de  suile. 
Nous  obtiendrons  ainsi  une  figure  d'équilibre  très  peu  din"érente  de  l'ellipsoïde. 

Pour  nous  rendre  compte  de  la  forme  des  autres  solides  d'équilibre  de  la 
même  série,  nous  n'avons  qu'à  supposer  que  ces  reliefs  vont  en  s'accentuant. 
Notre  ellipsoïde  déformé  va  présenter  alors  une  suite  de  renflements  et  d'étran- 
glements alternatifs,  formant  comme  une  série  de  plis  transversaux. 

A  chaque  valeur  du  nombre  «,  à  partir  de  «=  3  inclusivement,  correspond 
une  de  ces  séries  de  figures  d'équilibre. 

Toutes  admettent  deux  plans  de  symétrie  rectangulaires,  l'un  perpendicu- 
laire à  l'axe  de  rotation,  l'autre  passant  par  cet  axe.  Les  figures  d'équilibre  qui 
correspondent  à  une  valeur  paire  de  n  admettent  un  troisième  plan  de  symétrie 
perpendiculaire  aux  deux  premiers. 

J'appellerai  particulièrement  l'attention  sur  la  série  qui  correspond  à  «  =  3. 
Je  représente  sur  la  figure  i  l'un  des  solides  d'équilibre  de  celte  série.  Le  trait 
pointillé  est  le  contour  de  l'ellipsoïde  de  Jacobi  qui  a  servi  de  point  de  départ, 
et  le  trait  plein  est  le  contour  de  la  nouvelle  figure  d'équilibre. 


2o8  -FORMES  d'Équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation. 

Parmi  les  figures  do  celle  série,  il  y  en  a  une  qui  esl  en  même  temps  un 
ellipsoïde  de  Jacobi.  Je  l'appellerai  l'ellipsoïde  F^,. 

Stabilité.  —  Tous  ces  solides  sont  des  ligures  d'équilibre,  mais  cel  équilibre 
esl-il  slable  '?  C'est  ce  que  nous  avons  encore  à  examiner. 

Lord  Kelvin  (Sir  W.  Thomson)  et  M.  Tait,  dans  l'Ouvrage  que  j'ai  cilé  plus 
haut,  ont  les  premiers  remarqué  qu'il  y  a  deux  sortes  de  stabilité. 

Observons  d'abord  qu'il  y  a  deux  espèces  d'équilibre.  11  y  a,  en  premier  lieu, 
l'équilibre  absolu  qui  esl  atteint  quand  tous  les  corps  envisagés  sont  en  repos; 
mais  ce  n'est  pas  celui-là  que  nous  avons  à  considérer  dans  le  problème  qui  nous 
occupe,  puisque  noire  masse  fluide  n'est  pas  en  repos  mais  en  rotation.  Seule- 
ment, elle  paraîtrait  en  repos,  à  un  observateur  qui  serait  entraîné  comme  elle 
dans  un  mouvement  de  rotation  uniforme  :  elle  serait  en  équilibre  relatif  par 
rapport  à  cet  observateur. 

Les  lois  de  l'équilibre  absolu  et  celles  de  l'équilibre  relatif  ne  sont  pas  tout  à 
fait  les  mêmes.  L'un  et  l'autre  sont  stables  quand  ils  correspondent  au  minimum 
de  l'énergie  totale  du  système  envisagé.  Il  est  clair  on  effet  que,  pour  faire 
sortir  le  système  de  sa  situation  d'équilibre,  il  faut  lui  fournir  une  certaine 
quantité  d'énergie,  et  qu'il  ne  pourra  s'en  écarter  beaucoup  que  si  cette 
dépense  d'énergie  esl  très  grande. 

Cette  condition,  qui  esl  toujours  suffisanle,  esl  nécessaire  dans  le  cas  de 
l'équilibre  absolu;  elle  ne  l'est  pas  dans  le  cas  de  l'équilibre  relatif;  un  système 
animé  d'un  mouvement  de  rotation  très  rapide  peut  être  on  équilibre  slable 
sans  que  l'énergie  soit  minimum. 

C'est  là  l'explication  d'une  foule  de  paradoxes  dynamiques;  je  n'en  citerai 
qu'un  qui  esl  d'observation  vulgaire  et  qui,  pour  celle  raison,  a  presque  cessé 
de  nous  sembler  surprenant  :  la  toupie,  quand  elle  tourne  assez  vile,  peut  se 
maintenir  debout  sur  la  pointe. 

Ainsi,  quand  même  l'énergie  n'est  pas  mininuim,  un  système  peut  conserver 
son  élat  d'équilibre  relatif  pendant  un  temps  indéfini.  Il  le  pourrait  du  moins  si 
les  frottements  étaient  nuls. 

Mais  Lord  Kelvin  a  démontré  que,  si  les  froUemenls  existent,  quelque 
faibles  qu'ils  soient,  il  n'en  est  plus  de  même  et  que  l'équilibre  finira  par  être 
détruit,  à  moins  que  l'énergie  ne  soit  minimum.  C'est  ainsi,  pour  reprendre 
notre  exemple,  que  la  toupie  finit  par  se  ralentir  et  par  tomber. 

Il  y  a  donc  deux  sortes  de  stabilité  :  la  stabilité  ordinaire,  dont  les  frotte- 


FORMES    D'ÉQUILIBRE    D'UNE    MASSE    FLUIDE    EN    ROTATION.  209 

menu  finissent  par  avoir  raison,  el  la  stabilité  séculaire  que  les  frottemenls  ne 
peuvent  détruire. 

C'est  la  seconde  qui  doit  nous  intéresser  le  plus. 

En  se  plaçant  au  point  de  vue  de  la  stabilité  séculaire,  les  ellipsoïdes  de 
Mac-Laurin,  moins  aplatis  que  Ei,  sont  stables;  les  autres  sont  instables.  Les 
ellipsoïdes  de  Jacobi,  moins  différents  de  l'ellipsoïde  de  révolution  que  Ej, 
sont  stables;  les  autres  sont  instables. 

Enfin  toutes  les  figures  nouvelles  dont  nous  avons  parlé  plus  haut  sont 
instables,  à  l'exception  de  la  série  sur  laquelle  nous  avons  insisté  à  la  fin  du 
paragraphe  précédent  ('). 

C'est  celle  qui  dérive  de  l'ellipsoïde  de  Jacobi  et  qui  correspond  au  cas  de 
/i=:3.  C'est  elle  dont  fait  partie  la  forme  d'équilibre  que  nous  avons  repré- 
sentée plus  haut  sur  la  figure  i. 

II.  —  Conséquences  cosmogoniques. 

On  peut  tirer  de  ce  qui  précède  quelques  conséquences  intéressantes.  Sup- 
posons une  masse  fluide  homogène  animée  d'une  rotation  uniforme.  Imaginons 
que  celte  masse  se  refroidisse  et  se  condense;  supposons  qu'en  se  condensant 
elle  demeure  homogène  el  que  son  refroidissement  soit  assez  lenl  pour  que  les 
frottements  aient  le  temps  de  maintenir  l'uniformité  de  la  rotation. 

Le  moment  de  rotation  de  la  masse  devra  demeurer  constant,  et  comme  son 
moment  d'inertie  va  en  diminuant,  sa  vitesse  de  rotation  ira  au  contraire  en 
augmentant.  Si,  au  début  de  la  condensation,  la  vitesse  de  rotation  est  faible  et 
la  figure  de  notre  masse  fluide  peu  diff'érentc  d'une  sphère,  son  aplatissement 
ira  en  croissant  avec  la  vitesse  de  rotation. 

La  masse  fluide  conservera  pendant  quelque  temps  la  forme  d'un  ellipsoïde 
de  révolution  d'abord  peu  aplati  {fig-  2),  puis  plus  aplati  {^fig.  3). 

(Dans  les  figures  2  à  9  qui  représentent  les  formes  successives  de  la  masse  qui 
se  condense,  chacune  de  ces  formes  est  représentée  par  deux  projections,  l'une 
verticale  dans  la  partie  supérieure  de  la  figure,  l'autre  horizontale  dans  la  partie 
inférieure;  l'axe  de  rotalion  est  supposé  vertical.) 

L'ellipsoïde,  s'aplatissanl  de  plus  en  plus,  cessera  bientôt  d'être  stable,  ou 
du  moins  de  conserver  la  stabilité  séculaire.  Il  est  vrai  qu'il  conservera  encore 

(')  Celle-ci  est  égalemenl  instable.  Voir  aux  Notes,  Figures  piri/onnes. 

H.  P.  —  VII.  ^7 


■jio  FORMES  d'Équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation. 

queliiiie  temps  la  stabilité  ordinaire;  mais  les  figures  d'équilibre  qui  ne  pos- 
sèdent que  celte  sorte  de  stabilité  finissent,  coinine  nous  l'avons  vu,  par  être 
détruites   par  les  frottements.   Si  donc  le  refroidissement  est   assez  lent,  ces 


l'"lS.    2. 


1-ig.  3. 


iMfc..    4. 


Fig.  5. 

ellipsoïdes  ne  pourront  subsister,  et  la  masse  fluide  devra  prendre  la  forme 
d'un  ellipsoïde  de  Jacobi,  d'abord  peu  différent  d'un  ellipsoïde  de  révolution 
{fig-  4)  puis  plus  allongé  (Jig.  5). 

Mais  l'ellipsoïde  de  Jacobi,  cessera,  à  son  tour,  d'être  stable  et  la  masse 
fluide  prendra  des  formes  d'équilibre  appartenant  à  la  série  de  figures  nouvelles 
représentées  plus  haut  {fig-  i)- 


FORMES    D'ÉQUILIBRE    D'UNE    MASSE    FLUIDE    EN    ROTATION.  211 

D'abord  peu  différentes  de  l'ellipsoïde  Eo,  notre  masse  fluide  prendra  pour 
ainsi  dire  la  forme  d'un  œuf  avec  un  gros  et  un  petit  bout. 

Puis   elle  se  creusera   dans  le    voisinage   du   petit  bout  {fig.  6);  ce  relief 


F'g.  :■ 


s'accentuant  peu  à  peu,  il  se  produira  à  cette  place  un  étranglement  {fig-  7) 
qui  fera  présager  la  division  du  fluide  en  deux  masses  distinctes. 

Ces  deux  niasses,  s'élant  séparées,  restent  d'abord  voisines  l'une  de  l'autre. 


d 


Fig.  8. 


Fis 


Chacune  d'elles,  sous  l'influence  de  l'attraction  de  l'autre  masse,  prend  une 
figure  piriforme  {fig-  8). 

Le  refroidissement  continuant,  chacune  des  masses  se  condense,  sa  rotation 
devient  de  plus  en  plus  rapide  et  cesse  d'être  égale  à  la  vitesse  de  révolution 
des  deux  masses  autour  de  leur  centre  de  gravité  commun.  Enfin,  quand  les 


212  FORMES    D  EQUILIBRE    DUNE    MASSE    FLUIDE    EN    ROTATION. 

dimensions  des  deux  niasses  sonl  devenues  suffisamment  petites  par  rapport  à 
la  distance  qui  les  sépare,  leur  figure  se  rapproche  de  l'ellipsoïde  {fig-  q). 

On  pourrait  être  tenté  de  tirer  de  là  des  conséquences  cosmogoniques  et 
d'expliquer  de  celte  manière  l'origine  des  planètes.  Le  Soleil,  en  se  conden- 
sant pou  à  peu,  n'aurait  pas  alors,  comme  le  croyait  Laplace,  abandonné  suc- 
cessivement des  anneaux  d'où  les  planètes  seraient  sorties  ensuite  :  il  se  serait 
au  contraire  déformé  jusqu'à  ce  qu'une  petite  masse,  destinée  à  devenir  une 
planète,  se  détache  d'un  point  quelconque  de  son  équateur.  Mais,  avant 
d'adopter  celte  conclusion,  il  faut  tenir  compte  de  certaines  remarques  qui  lui 
enlèvent  beaucoup  de  probabilité. 

En  premier  lieu,  nous  avons  supposé  notre  masse  homogène;  au  contraire, 
la  nébuleuse,  qui  a  servi  à  former  le  système  solaire,  était  sans  doute  très  hété- 
rogène et  une  grande  partie  de  sa  masse  devait  être  condensée  au  centre.  Il  est 
impossible,  pour  le  moment,  de  se  rendre  compte  des  changements  que  cette 
hétérogénéité  apporterait  dans  nos  résultats. 

En  second  lieu,  les  deux  masses  représentées  dans  la  figure  9  sont  compa- 
rables; la  plus  petite  serait  sans  doute  la  moitié  ou  le  tiers  de  l'autre;  au 
contraire  la  masse  de  Jupiter  n'est  que  la  millième  partie  de  celle  du  Soleil. 

Peut-être  le  processus  que  je  viens  de  décrire  {fig-  2  à  9)  se  rapproche-t-il 
plus  de  celui  qui  a  produit  certaines  étoiles  doubles  que  de  celui  d'où  est  sorti 
le  système  solaire.  Tout  dans  tous  les  cas  reste  hypothétique. 

Anneau  de  Saturne.  —  Les  figures  dont  nous  venons  de  parler  ne  sont  pas 
les  seules  qui  soient  connues.  Il  y  a  longtemps  déjà,  M.  Matthiessen  avait 
entrevu  la  possibilité  des  figures  annulaires  d'équilibre,  et  le  même  résultat 
avait  été  retrouvé  ensuite  par  Lord  Kelvin,  qui  s'est  borné  à  l'énoncer.  Grâce 
aux  travaux  de  M"°  Kowalevski  et  aux  miens,  nous  en  possédons  une  démon- 
stration rigoureuse,  peu  différente  probablement  de  celle  que  Lord  Kelvin  avait 
découverte,  mais  n'a  pas  publiée. 

On  peut  établir  qu'une  masse  lluide  en  rotation,  soustraite  à  toute  action 
extérieure,  peut  prendre  la  forme  d'un  anneau  analogue  à  celui  de  Saturne, 
mais  sans  masse  centrale.  Si  la  vitesse  de  rotation  est  faible,  cet  anneau  sera 
une  sorte  de  tore  très  délié  dont  la  section  méridienne  différera  très  peu  d'une 
ellipse  peu  aplatie;  mais  l'équilibre  de  ces  figures  est  instable. 

Pour  bien  le  faire  comprendre,   le  mieux  est   de  dire  quelques  mots  des 


FORMES  d'Équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation.  2i3 

Iravaux  de  Maxwell  sur  la  stabilité  de  l'anneau  de  Saturne.  On  peut  faire,  au 
sujet  de  la  nature  de  cet  astre,  trois  hypothèses  différentes  : 

1°  L'anneau  est  solide; 

2°  Il  est  formé  d'un  très  grand  nombre  de  satellites  très  petits,  que  le 
télescope  ne  peut  séparer  les  uns  des  autres; 

3"  Il  est  fluide. 

Laplace  avait  fait  voir  depuis  longtemps  que,  si  l'anneau  est  solide,  son 
équilibre  ne  peut  être  stable  si  sa  figure  est  symétrique  et  si  son  centre  de 
gravité  coïncide  avec  son  centre  de  figure.  Mais  il  croyait  qu'il  suffisait,  pour 
rétablir  la  stabilité,  de  supposer  des  irrégularités  peu  importantes  que  les  obser- 
vations ne  pouvaient  déceler. 

Un  savant  anglais,  dont  des  iravaux  d'une  tout  autre  nature  ont  illustré  le 
nom,  le  célèbre  électricien  Clerk  Maxwell,  a  repris  la  question  par  une  analyse 
très  simple.  Il  a  montré  qu'un  anneau  solide  est  instable  à  moins  de  présenter 
des  irrégularités  énormes.  Si  elles  existaient,  le  télescope  nous  les  aurait  fait 
connaître  depuis  longtemps.  Si  j'ajoute  que,  d'après  les  calculs  de  Hirn,  un 
anneau  solide,  plusieurs  milliers  de  fois  plus  résistant  que  l'acier,  se  romprait 
sous  l'effort  des  attractions  subies  par  l'anneau  de  Saturne,  on  conclura  que  la 
première  hypothèse  doit  être  rejetée. 

Passons  à  la  seconde,  qui  a  été  proposée  autrefois  par  Cassini.  Il  serait  trop 
difficile  de  traiter  le  problème  dans  toute  sa  généralité  ;  aussi  Maxwell  s'est-il 
borné  à  quelques  cas  simples;  je  ne  parlerai  que  du  plus  simple  de  tous.  Imagi- 
nons une  couronne  de  satellites  égaux,  également  espacés  sur  une  circonférence 
ayant  pour  centre  Saturne  et  décrivant  cette  circonférence  d'un  mouvement 
uniforme.  Il  est  clair  que  ce  mouvement  peut  se  continuer  indéfiniment  si 
aucune  cause  extérieure  ne  vient  le  troubler.  Mais,  si  une  semblable  cause 
vient  y  apporter  une  perturbation  très  petite,  la  couronne  va-t-elle  finir  par  se 
disloquer,  ou  bien  sa  déformation  restera-t-elle  très  petite  ?End'autres  termes, 
l'équilibre  de  notre  couronne  sera-l-il  stable  ? 

Je  ne  puis,  bien  entendu,  reproduire  ici  l'analyse  du  savant  anglais,  et  je  dois 
me  contenter  d'un  aperçu  grossier.  On  peut  voir  d'abord  que,  si  l'astre  central 
n'existait  pas,  l'équilibre  serait  instable.  Si,  en  effet,  l'un  des  satellites  prend  de 
l'avance  pour  une  cause  quelconque,  il  se  rapproche  du  satellite  qui  est  devant 
lui  et  s'éloigne  de  celui  qui  est  derrière.  Il  est  plus  attiré  par  le  premier  et 


2l4  FORMES    D'EQUILIBRE    D'UNE    MASSE    FLUIDE    EN    ROTATION. 

moins  par  le  secoud  :  sa  niarclie  est  encore  accélérée;  son  avance  tend  à 
s'accroîlre  el  la  couronne  à  se  disloquer. 

Si  nous  supposons  au  contraire  que  les  masses  des  satellites  soient  infiniment 
petites  par  rapport  à  celle  de  Saturne,  chaque  satellite  se  comportera  comme 
s'il  était  seul;  or,  uous  savons  (jue  le  mouvement  d'un  satellite  isolé  est  stable. 

On  peut  donc  prévoir,  sans  qu'il  soit  nécessaire  d'avoir  recours  à  un  calcul 
complet,  que  la  condition  de  la  stabilité  de  notre  couronne  sera  que  sa  masse 
soit  suffisamment  petite  par  rapport  à  celle  de  l'astre  central. 

Le  même  résultat  subsiste  pour  un  système  plus  compliqué  de  satellites; 
c'est  encore  le  même  qu'obtient  Maxwell  dans  la  troisième  hypothèse,  c'est- 
à-dire  en  supposant  la  masse  fluide.  Par  un  calcul  qui  n'est  peut-être  pas 
parfaitement  rigoureux,  il  démontre  qu'un  anneau  fluide  ne  peut  être  stable 
que  si  sa  densité  moj'enne  est  au  plus  égale  à  la  300'  partie  de  celle  de  la 
planète. 

Mais,  on  peut  compléter  le  résultat  de  Maxwell  par  un  raisonnement  qui  est 
assez  court  pour  être  reproduit  ici.  On  sait  que  les  électriciens  se  représentent 
un  champ  électrostatique  comme  sillonné  par  un  très  grand  nombre  de  lignes 
de  force.  Ce  qui  définit  une  de  ces  ligues,  c'est  qu'en  chacun  de  ses  points  la 
tangente  est  la  direction  de  la  force  électrique. 

Cette  image  leur  est  très  précieuse,  car  elle  peut  remplacer  dans  la  piatique 
une  foule  de  formules  mathématiques  qui  sont  abstraites  et  compliquées.  Mais 
ils  usent  aussi  d'une  autre  image;  ils  supposent  chacune  de  ces  lignes  de  force 
remplacée  par  un  petit  canal  qui  est  parcouru  par  un  liquide  fictif  avec  un 
débit  constant  et  dans  le  sens  de  la  force  électrique.  La  quantité  de  ce  liquide 
imaginaire  qui  passe  à  travers  une  surface  quelconque,  s'appelle  le  flux  de 
force  qui  traverse  cette  surf^ice.  Tout  se  passe  alors  comme  si  chaque  molécule 
d'électricité  positive  émettait  continuellement  une  quantité  constante  de  ce 
liquide,  et  si  chaque  molécule  d'électricité  négative  en  absorbait  au  contraire 
continuellement  une  quantité  constante.  On  peut,  en  d'autres  termes,  résumer 
toutes  les  lois  de  l'Electrostatique,  en  disant  que  le  flux  de  force  qui  traverse 
une  surface  fermée  est  proportionnel  à  la  somme  algébrique  des  masses  élec- 
triques contenues  à  l'intérieur  de  cette  surface. 

La  même  règle  peut  s'appliquer  à  l'attraction  newionienne  :  celte  force  suit, 
en  effet,  la  même  loi  que  l'attraction  électrique,  qui  est  la  raison  inverse  du 
carré  des  distances.  Elle  s'applique  encore  quand,  au    lieu    de  considérer  la 


FORMES  d'Équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation.  ?.ij 

gravitation  seule,  on  considère  la  résultante  de  la  gravitation  et  de  la  force  cen- 
trifuge. 

Imaginons  en  efifet  une  matière  fictive  dont  l'action  sur  les  corps  voisins  soit 
conforme  à  la  loi  de  iVewton,  mais  soit  répulsive,  au  lieu  d'être  attractive.  C'est 
ce  que  l'on  peut  exprimer,  si  l'on  préfère,  en  disant  que  la  densité  de  cette 
matière  est  négative. 

Supposons  que  cette  matière  fictive  afTecte  la  forme  d'un  cylindre  de  révolu- 
tion indéfini,  à  l'intérieur  duquel  se  trouvent  tous  les  corps  que  l'on  veut 
envisager,  et  que  sa  densité  soit  proportionnelle  au  carré  de  la  vitesse  de 
rotation.  La  répulsion  exercée  par  cette  masse  fictive  aura  même  grandeur  et 
même  direction  que  la  force  centrifuge.  Pour  obtenir  la  résultante  de  la  gravi- 
tation et  de  la  force  centrifuge,  il  suffira  donc  de  considérer  à  la  fois  l'action 
de  toutes  ces  masses,  tant  réelles  que  fictives. 

Cela  posé,  considérons  notre  masse  fluide  en  rotation  et  une  molécule  super- 
ficielle faisant  partie  de  cette  masse,  et  soumise  par  conséquent  à  la  gravitation 
et  à  la  force  centrifuge.  La  force  totale,  qui  agit  sur  celte  molécule,  doit,  pour 
qu'il  y  ait  équilibre,  être  normale  à  la  surface  de  la  masse;  mais,  pour  que  cet 
équilibre  soit  stable,  il  faut  de  plus  que  cette  force  soit  dirigée  vers  l'intérieur 
de  la  masse  fluide,  sans  quoi  elle  tendrait  à  en  détacher  notre  molécule.  Toutes 
les  lignes  de  force  coupent  donc  normalement  la  surface  de  la  masse,  et  le 
liquide  imaginaire,  qui  est  supposé  les  parcourir,  et  dont  la  vitesse  a  même 
direction  que  la  force  totale,  doit  toujours  traverser  cette  surface  en  allant  du 
dehors  au  dedans.  11  en  résulte  que  le  flux  de  force  total  qui  traverse  cette 
surface  est  positif,  et  comme,  d'après  la  règle  énoncée  plus  haut,  il  est  propor- 
tionnel à  la  somme  algébrique  de  toutes  les  masses,  tant  réelles  que  fictives, 
situées  à  l'intérieur  de  cette  surface,  cette  somme  algébrique  doit  aussi  être 
positive. 

En  d'autres  termes,  la  densité  moyenne  du  fluide  réel  doit  être  supérieure 
en  valeur  absolue  à  la  densité  de  la  matière  fictive,  laquelle,  comme  nous 
l'avons  vu,  est  elle-même  proportionnelle  au  carré  de  la  vitesse  de  rotation. 

Cette  régie,  appliquée  à  l'anneau  de  Saturne,  nous  apprend  qu'un  anneau 
fluide  ne  peut  être  stable  que  si  sa  densité  est  au  moins  égale  à  la  seizième 
partie  de  celle  de  la  planète.  Ce  résultat,  rapproché  de  celui  de  Maxwell,  nous 
amène  à  cette  conclusion  que  l'anneau  ne  peut  être  fluide,  et  nous  force  à 
adopter  l'hypothèse  de  Cassini,  que  les  observations  de  M.  Trouvelot  semblent 
d'ailleurs  confirmer. 


2l6  FORMES    D  EQUILIBRE    DUNE    MASSE    FLUIDE    EN    ROTATION. 

Pour  la  même  raison,  les  figures  annulaires  d'équilibre,  étudiées  par 
M""^  Kowalevski,  ne  peuvent  être  stables. 

Figure  de  la  Terre.  —  Je  ne  dirai  que  quelques  mots  du  cas  beaucoup  plus 
difficile  où  la  masse  en  rotation  est  supposée  hétérogène.  C'est  certainement  ce 
qui  se  passe  pour  la  Terre,  et  ce  qui  complique  encore  la  question,  c'est  que  la 
loi  suivant  laquelle  la  densité  varie  dans  linlérieur  du  globe  nous  est  absolu- 
ment inconnue.  Loin  de  pouvoir  nous  en  servir  pour  calculer  l'aplatissement, 
nous  devons,  au  contraire,  profiter  des  mesures  des  géodésiens,  pour  tcâcher  de 
deviner  cette  loi. 

Nous  disposons  pour  résoudre  ce  problème  d'une  autre  donnée,  qui  est  la 
constante  de  la  précession  des  équinoxes.  On  sait  en  efTet  que  ce  phénomène 
est  dû  à  l'action  du  Soleil  sur  le  renflement  équalorial  du  globe  terrestre,  et 
comme  cette  action  dépend  de  la  façon  dont  varie  la  densité  intérieure,  les 
observations  de  la  précession  peuvent  nous  renseigner  sur  celte  variation. 

Au  premier  abord,  on  serait  tenté  de  croire  que  le  problème  est  non  seule- 
ment toujours  possible,  mais  qu'il  reste  indéterminé  et  qu'on  pourra  trouver 
une  infinité  de  lois  satisfaisant  à  ces  deux  données  d'observation.  Loin  de  là  : 
une  série  de  recherches  récentes,  parmi  lesquelles  celles  de  M.  Radau  sont  les 
premières  en  date  et  en  importance,  ont  montré  qu'on  ne  peut  trouver  aucune 
loi  des  densités  qui  satisfasse  à  la  fois  à  l'aplatissement  mesuré  et  à  la  préces- 
sion observée. 

Les  Géodésiens  concluent  à  un  aplatissement  de  1/292,  tandis  que  l'aplatis- 
sement le  plus  grand  qui  soit  compatible  avec  la  précession  observée  est 
de  1/297. 

II  est  impossible  pour  le  moment  de  se  prononcer  sur  la  valeur  des  nom- 
breuses hypothèses  que  l'on  peut  faire  pour  expliquer  celte  divergence. 

Les  mesures  géodésiqucs  doivent-elles  être  révisées  ?  doit-on  supposer  que 
la  Terre  n'est  pas  un  ellipsoïde  de  révolution  et  que  l'aplatissement  n'est  pas  le 
même  suivant  les  divers  méridiens  ou  dans  les  deux  hémisphères  ? 

Je  ne  crois  pas  que  les  mesures  les  plus  récentes  autorisent  celte  conclusion. 

Admettra-t-on  que  la  Terre,  solidifiée  depuis  longtemps  dans  presque  toute 
sa  masse,  a  conservé  l'aplatissement  dû  à  la  vitesse  de  rolatlon  qu'elle  possédait 
au  moment  de  sa  solidification  et  que  sa  rotation  a  depuis  cette  époque  été 
considérablement  ralentie  par  l'action  des  marées  ? 

Croira-l-on  au  contraire  (jue  la  croûte  solide  est  très  mince  et  que  l'intérieur, 


FORMES    D'EQUILIBRE    D'UNE    MASSE    FLUIDE    EN    ROTATION.  217 

resté  liquide,  esl  le  siège  de  mouveinenls  compliqués  1res  difforenls  de  ceux 
que  peut  prendre  un  corps  solide  ?  Les  calculs  de  Laplace  ayant  été  faits  en 
regardant  la  Terre  comme  un  solide  invariable,  on  conçoit  que  la  précession 
d'un  pareil  système  puisse  être  très  différente  de  la  précession  théorique. 

Enfin,  on  peut  supposer  encore  que  l'aplatissement  primitif  a  été  altéré 
parce  que  les  diverses  couches,  en  se  contractant  par  suite  du  refroidissement 
du  globe,  ont  exercé  les  unes  sur  les  autres  des  pressions  et  se  sont  mutuelle- 
ment déformées. 

Mais  je  m'arrête,  il  esl  inutile  de  multiplier  les  hypothèses  puisque  toutes 
ces  questions  doivent  rester  provisoirement  indécises. 


H.  P.  —  VII.  2S 


SUR  mE  FORME  NOUVELLE  DES  ÉQUATIONS 
DE   LA  MÉCANIQUE 


Comptes  rendus  de  /'.icadèmie  des  Sciences,  t.  132,  p.  36j-3-ji  (iS  février  1901). 


Ayant  eu  l'occasion  de  m'occuper  du  mouvement  de  rotation  d'un  corps 
solide  creux,  dont  la  cavité  est  remplie  de  liquide,  j'ai  été  conduit  à  mettre  les 
équations  générales  de  la  Mécanique  sous  une  forme  que  je  crois  nouvelle  et 
qu'il  peut  être  intéressant  de  faire  connaître. 

Supposons  qu'il  y  ait  n  degrés  de  liberté  et  désignons  par  a?i,  Xj,  .  .  . ,  x,,  les 
variables  qui  définissent  l'état  du  système.  Soient  T  et  U  l'énergie  cinétique  et 
l'énergie  potentielle. 

Envisageons  un  groupe  transitif  continu  quelconque.  Soit  X;(y")  une  substi- 
tution inlinitésimale  quelconque  de  ce  groupe,  telle  que 

Ces  substitutions  formant  un  groupe,  on  devra  avoir 

X/X;t  —  XjXi=^  Clk,sXx. 

Nous  pourrons  poser  (puisque  le  groupe  est  transitif) 

^'(,=  fj  =  ^,xi^+  •„,x^+. . .  + vx;^ 

de  telle  façon  qu'on  puisse  passer  de  l'étal  (xi,  Xo,  .  .  .,  x,,)  du  système  à  l'état 
infiniment  voisin  (xi-\~  x\  df,  .  .  .  ^  t„-\-  x\^dt)  par  la    substitution  infinitési- 
male du  groupe  ^rn  dt'K.il/). 
T,   au   lieu  de  s'exprimer  en  fonction  fies  x'  cl  des  x,  pourra  s'exprimer  en 


FORME    NOUVELLE    DES    ÉQUATIONS    DE    LA    MÉCANIQUE.  2I(J 

fonction  des  vj  et  des  x.  Si  nous  donnons  aux  n  et  aux  x  des  accroissements 
virtuels  oxi  et  ox,  il  en  résultera  pour  T  et  U  des  accroissements 

ol  =  7,  -r— on-i-  >   -p-  oj;;  oU  =   7,  -y-  o;r. 

.é^  a^ï]  ^  r/x  ^^  dx 


Le  groupe  étant  transitif,  je  pourrai  poser 

de  telle  façon  que  l'on  puisse  passer  de  l'état  j?,-  du  système  à  l'étal  infiniment 
voisin  Xi+nxi  par  la  substitution  infinitésimale  du  groupe  2crL),X,(/).  Je 
poserai  ensuite 

Soit  alors  l'intégrale  de  Hamilton 

J  =  Ç  (J  —  V>)di. 
on  aura 

Or  on  trouve  aisément 


Le  principe  de  moindre  action  nous  donne  alors 

</  r/T       v^        f^T 

■  dt  rtf),,      .^.J         rfïi,- 

Les  équations  (1)  comprennent  comme  cas  particuliers  : 

1°  Les  équations  de  Lagrange,  quand  le  groupe  se  réduit  aux  substitutions, 
toutes  permutables  entre  elles,  qui  augmentent  une  des  variables  x  d'une 
constante  infiniment  petite. 

2°  Les  équations  d'Euler  pour  la  rotation  des  corps  solides,  où  le  rôle  des  /), 
est  joué  par  les  composantes  p,  q,  r  de  la  rotation,  et  celui  de  ii.,  parles  couples 
dus  aux  forces  extérieures. 

Elles  sont  surtout  intéressantes  dans  le  cas  où  U  étant  nul,  T  ne  dépend  que 
des  -f). 


SUR  UNE  GENERALISATION 
DE  LA  MÉTHODE  DE  JACOBl 


Comptes  rendus  de  l'Académie  des  Sciences,  t.  149,  p.   tio5-iioS  (i3  décembre  njoj). 


On  sait  que  la  méthode  de  la  variation  des  constantes  permet  de  résoudre  un 
problème  de  Dynamique  quand  on  sait  résoudre  un  autre  problème  de  Dyna- 
mique plus  simple,  mais  très  peu  différent.  Mais  il  est  avantageux  de  résoudre 
ce  problème  approché  simple  par  la  méthode  de  Jacobi,  afin  que  les  équations 
conservent  la  forme  canonique.  On  peut  rencontrer  pour  cela  des  difficultés, 
et  c'est  ce  qui  m'est  arrivé  quand  j'ai  voulu  appliquer  cette  méthode  à  la  théorie 
de  la  précession  et  de  la  rotation  des  corps  solides  ;  j'ai  été  ainsi  conduit  à  géné- 
raliser un  peu  la  méthode  de  Jacobi. 

Soit  un  système  dynamique  à  n  degrés  de  liberté,  dont  la  situation  est  définie 
par  n  coordonnées  .r,-;  nous  appellerons  ï  l'énergie  cinétique,  et  U  l'énergie 

/T" 

potentielle,  T  -f-  U  =  F  l'énergie  totale;  nous  poserons  yt  =  -r-,  et  nous  aurons 

les  équations  canoniques  de  Hamilton 

dx  _  dF  dy  __dV 

*'^  di  ~  d^'  dt  ~^  de' 

Faisons  un  changement  de  variables,  en   exprimant  les  x  en  fonction   de 

n-\-  n!  variables  nouvelles  qu,  en  nombre  plus  grand  que  celui  des  degrés  de 

liberté,  et  posons 

dT 

Nous  reconnaîtrons  qu'on  a  l'identité 

fa)  "Ly  dx='^pdq\ 

que  les  p  sont  liés  par  n!  relations  linéaires,  de  sorte  que  n  seulement  d'entre 


GÉNÉRALISATION    DE   LA    MÉTHODE    DE   JACOBI.  221 

eux  sont  indépendaats;  je  les  appellerai  les/?,,;  les  autres,  que  j'appellerai 
\es  pij,  seront  des  fonctions  des  p„,  des  qa  et  des  cjb-  On  pourrait  se  demander 
alors  si  T  peut  s'exprimer  en  fonction  des  p  et  des  q;  l'égalité  dT=z^qdp, 
qui  a  lieu  quand  on  regarde  les  q  comme  des  constantes,  nous  permet  de 
répondre  affirmativement.  Donc  T  et  F  peuvent  s'exprimer  en  fonction  desp,,, 
des  qa  et  des  qt,  et  l'équation  des  forces  vives  peut  s'écrire 

(3)  F {p„,  Ça,  qi,)  =  conil. 

Soit  maintenant  S  une  fonction  des  qa  et  des  qo,  définie  par  l'équation  aux 
dérivées  partielles 

(4)  F(^^,5,.,  -— j  =  const., 

de  sorte  que 

dS  dS 

dqa  dpb 

et  dépendant  en  outre  de  n  constantes  arbitraires  >')•  (autant  que  de  degrés  de 

liberté)  ;  posons 

(6)  .,=  ^, 

d'où 

(  7 )  "'S  =  y.pa  <lqa  —"^qi,  dpi,  -t-  2 x'  dy'. 

Le  second  membre  de  cette  égalité  est  une  différentielle  exacte,  si  les  yj^  sont 
regardés  comme  des  variables  indépendantes  et,  a  fortiori,  si  les  pi,  sont  sup- 
posés liés  auxjD,,  par  les  relations  linéaires  dont  nous  avons  parlé.  En  rappro- 
chant (^)  de  (2)  on  voit  que 

(  8  )  .  t/S  1  =  2  j  dx  —  Zy'  dx 

est  une  différentielle  exacte;  l'identité  (8)  nous  montre  d'abord  que  S|  est 
fonction  seulement  des  x  et  des  x',  et  qu'on  a 

équations  qui  définissent  les  x'  et  les  y'  en  fonction  des  x  el  des  y.  La  rela- 
tion (8)  montre  que  le  changement  de  variables  est  canonique  el  n'altère  pas 
la  forme  canonique  des  équations  (').  On  aura  donc  pour  le  problème  approché 

simple 

dx^  _rlV__  dy'  _       dV 

dt         dy'  dt  dx' 

CJ    \'oir  aux  Notes,  Principes  de  Mécanique  analytique. 


222  GÉNÉRALISATION    DE    LA    MÉTHODE    DE   JACOBI. 

équations  qui  s'intègrent  immédiatement  puisque  F  ne  dépend  que  des  y',  et 
pour  le  problème  complet  où  F  est  remplacé  par  F*  : 

</x^  _dF^  dy'  _       (l¥' 

(Ù  rly'  f/t  dx' 

Appliquoas  celte  méthode  à  la  théorie  de  la  précession;  nous  prendrons 

F*=T-+-U,        F  =  T, 

parce  que  U  est  petit  par  rapport  à  T.  Nous  avons  trois  degrés  de  liberté,  mais 
nous  prendrons  «+«'=5  coordonnées  analogues  à  nos  variables  q,  qui 
seront  : 

i"  L'angle  o  du  plan  OP^,  passant  par  l'axe  O-  mobile  et  par  un  axe  arbi- 
traire OP  avec  le  plan  O  )'5  des  yz  mobiles  ; 

2°  L'angle  i);  de  l'axe  0^  mobile  et  de  l'axe  OP  ; 

3"  L'angle  /  du  plan  OP-:,  avec  le  plan  OPZ  qui  passe  par  OP  et  par 
l'axe  OZ  fixe; 

4"  L'angle  oj  de  OP  avec  (JZ; 

5°  L'angle  0  du  plan  OPZ  avec  le  plan  OYZ  des  YZ  fixes. 

Les  variables  p  seront 

d:T  ,„       rfT  ,_,       dT  „       d'Y  ^       (TV 

rfç  d>S^  dy^  dti)  du  ' 

elles  représentent  les  moments  de  rotation  par  rapport  à  0^,  à  une  perpendi- 
culaire à  PO-,  à  OP,  à  une  perpendiculaire  à  POZ,  et  enfin  à  OZ.  On  peut 
alors  exprimer  T  en  fonction  de  9,  ']i,  0,  '>>,  ■/_,  <I»,  G,  0;  et,  en  introduisant 
notre  fonction  S  et  no  faisant  pas  varier  les  constantes  )'',  on  aura 

(10)  (^/S  =  <I>  ^/a -t- G  f/^ -f- e  rfO  —  .1;  ar<F  —  o)  n'a. 

Il  faut  alors  déterminer  <l>,  G,  0,  ']/  et  oj  de  façon  que  le  second  membre 
de  (10)  soit  une  différentielle  exacte  et  (pie  T(cp,  1];,  0,  w,  y^,  <1>,  G,  0)  se  réduise 
à  une  constante  ;  la  solution  doit  dépendre  de  trois  constantes  arbitraires.  On  j 
parviendra  en  faisant 

j        '{/ =  consl.,         0)  =  const.,         O  =  consl., 
(  4>  =  G  cos4'  =  const.,         0  =  G  cosco  =  const.  ; 


GÉNÉRALISATION    DE    LA    MÉTHODE    DE   JACOBl.  223 

ce  rjui  ialrùduil  bien  trois  constantes  arljitraires  indépendantes  G,  <I>  et  0,  et 

qui  donne 

r,2        c  A Cl*!»- 

(A  et  G  sont  les  deux  moments  d'inertie  de  la  Terre). 

Les  conditions  (ii)  signilienl  que  OP  est  l'axe  des  moments  de  rotation;  et 
l'on  en  conclut 

<I"=Q  =  o,        S  =  <i>9  +  Cx-H0O. 

Les  variables  <t,  G,  0  jouent  le  rôle  des  y',  donc  o  =  -^,  ;^  et  0  joueront  le 

rôle  des  x';  les  six  variables  forment  donc  un  système  canonique;  et  l'on  a  pour 
une  fonction  F*=  T  +  U  quelconque 


dt  ~ 

dV 

dz,            dV 
dt  ~        f/*  ' 

r/0 
Jt    " 

df 
de' 

dG 
dt  ~ 

rf*            f/F* 
dt              d^  ' 

de_ 
dt  ^ 

d?* 

du  ' 

pour  le  problème  approché  simple  où  F  =:  T,  on  a 

di        d'ï        0  da        dT        A—C  ^  d%        dT 

-fi'  =  -—  =  —  =  consl.,  -—  =  -r-  =  — n=r-  'P  =  const.,  -r-  =  -7—  =  o; 

dt         dO        A  '  dt         da  lAC  '  dt        de 

rfG__nTr_         ^__f^_         ^__;^_ 

~dt  ~  ~  dx  ~  °'  dt   ~        do    ~"'  dt  ~        ^0   ■"  "■ 


SUR   LES   SOLUTIONS   PÉRIODIQUES 
ET  LE  PRINCIPE  DE  MOINDRE  ACTION 


Comptes  rendus  de  l'Académie  des  Sciences,  t.  123,  p.  giâ-giS  (3o  novembre  1896). 


La  théorie  des  soIulIoqs  périodiques  peut,,  dans  certains  cas,  se  rattacher  au 
principe  de  moindre  action. 

Supposons  trois  corps  se  mouvant  dans  un  plan  et  s'atlirant  en  raison  inverse 
du  cube  des  distances  ou  d'une  puissance  plus  élevée  de  ces  dislances;  j'appelle  a, 
b,  c  ces  trois  corps. 

L'énergie  cinétique  T  est  essentiellement  positive  et  il  en  est  de  même  de  la 

fonction  des  forces  U,  qui  est  égale  à  une  somme  de  termes  de  la  forme  — - — > 

où  A-  est  une  constante  positive,  m  et  m'  les  masses  de  deux  des  trois  corps, 
r  leur  distance  et  n  un  exposant  au  moins  égal  à  2. 
L'action  hamiltonienne 


j  =  r  '(T-+-U 


)dl 


sera  donc  essentiellement  positive. 

Considérons  une  classe  de  trajectoires  de  nos  trois  corps  a,  b,  c;  ce  seront 
des  trajectoires  fictives,  c'est-à-dire  ne  satisfaisant  pas  aux  équations  du  mou- 
vement; mais  elles  seront  soumises  aux  conditions  suivantes  : 

1°  A.U  temps  t,  les  distances  des  trois  corps  seront  les  mêmes  qu'au  temps  tu', 
les  vitesses  seront  les  mêmes  en  grandeur  et  feront  les  mêmes  angles  avec  les 
côtés  du  triangle  des  trois  corps;  en  d'autres  termes,  la  figure  formée  par  les 
trois  corps  et  par  les  droites  (|ui  représentent  leurs  vitesses  aura  repris  à 
l'époque  t,    la   même  forme   qu'elle  avait  à  l'époque   t„;   ou  bien  encore  les 


SOLUTIONS  PÉRIODIQUES   ET   PRINCIPE   DE   MOINDRE   ACTION.  225 

distances  de  ces  trois  corps  seront  des  fonctions  périodiques  du  temps  de 
période  <i  —  <o- 

2"  La  droite  bc  aura,  entre  les  époques  t^  et  /i,  tourné  d'un  angle  donné  «i. 

3"  La  droite  ac  aura,  entre  ces  mêmes  épocpies,  tourné  d'un  angle  donné 
t.)i  +  2  K^t:,  K^  étant  un  entier  donné. 

4"  La  droile  ab  aura  tourné  d'un  aiii^le  (o,  +  2K;,7r,  K;,  étant  un  entier 
donné. 

Une  classe  de  trajectoires  fictives  se  trouve  ainsi  définie  par  trois  constantes 
entièrement  arbitraires  ^o^  '1  e'  ^i  Pt  par  deux  entiers  arbitraires  K^  et  Kj. 

Mais  l'action  hamiltonienne,  ne  pouvant  devenir  négative,  admettra  un 
minimum,  et,  en  vertu  du  principe  de  moindre  action,  la  trajectoire  (|ui  cor- 
respondra à  ce  minimum  devra  être  une  trajectoire  elfective  et  satisfaire  aux 
équations  du  mouvement. 

Cette  trajectoire  eirective,  d'après  sa  définition,  correspondra  à  une  solution 
périodique  du  problème  dont  la  période  sera  /,  —  /„. 

Je  me  propose  de  démontrer  que,  dans  chaque  classe  de  trajectoires  fictives, 
il  y  en  a  une  qui  correspond  à  un  minimum  de  l'action  hamiltonienne  et,  par 
conséquent,  à  une  solution  périodique. 

Pour  cela,  il  me  suffit  de  faire  voir  i|u'en  faisant  varier  d'une  manière  continue 
notre  trajectoire  fictive,  elle  no  pourra  passer  d'une  classe  à  l'autre  sans  que 
l'action  hamiltonienne  devienne  infinie. 

En  effet,  le  passage  d'une  classe  à  l'autre  s'eflectuera  lorsque  deux  des 
trois  corps  viendront  à  se  rencontrer.  Si,  par  exemple,  a  et  c  se  rencontrent, 
la  trajectoire  considérée  T  sera  infiniment  voisine  de  deux  autres  T'  et  T"; 
pour  T',  le  corps  a  passera  très  près  de  c,  mais  à  droite;  pour  T",  il  passera 
très  près  de  c,  mais  à  gauche.  Il  est  clair  que  les  valeurs  de  l'entier  K-j.  qui 
correspondent  à  T'  et  à  T",  dlHéreronl  d'une  unité. 

Je  dis  maintenant  que,  si  a  et  c  se  rencontrent,  l'action  est  infinie. 

En  ellet,  l'action  sera   du    même  ordre  de   grandeur  que  /  i\]  dt ,   ou  que 

j  2  ^/i]  dr,  ou  que  ikinni'  i    —  ,  c'est-à-dire  infinie  si  /j  J^  2.  (  )r  on  a  n  r=  2 

;■- 

si,  comme  nous  le  supposons,  l'atiractioii  s'exerce  en  raison  inverse  du  cube 
des  distances. 

Alors,  dans  chaque  classe,  il  doit  y  avoir  un  minimum  de  l'action;  il  doit 
H.  P.  -  VII.  .  29 


226  SOLUTIONS    PÉRIODIQUES    ET    PRINCIPE   DE    MOINDRE    ACTION. 

doue  y  avoir  une  Irajecloire  olVective,  cl  celle  liajecloire  correspond  à  une 
sohilion  périodique  du  problème. 

A  chaque  système  de  valeurs  des  deux  constantes  arbitraires  t^  —  <o  et  wi  et 
des  deux  entiers  Ko  et  K3  correspond  une  solution  périodique. 

Noire  raisonnement  ne  s'applique  évidemment  que  si  l'aUraclion  pour  les 
très  petites  distances  est  du  même  ordre  de  grandeur  que  l'inverse  du  cube  de 
la  dis  lance  ou  d'ordre  plus  grand. 

Dans  tous  ces  cas,  il  y  aura  une  infinité  de  solutions  périodiques. 

Mais,  dans  le  cas  de  la  loi  de  Newton,  l'action  ne  devient  plus  infinie  quand 
les  deux  corps  se  rencontrent;  nous  ne  pouvons  plus  affirmer  qu'il  y  a  une 
solution  périodique  dans  chaque  classe. 

Tout  ce  que  nous  pouvons  dire,  c'est  qu'à  cha(|ue  valeur  de  la  période  t,  —  tu, 
et  à  chaque  valeur  de  l'angle  «1  (en  ne  considérani  pas  comme  distinctes  deux 
valeurs  différant  d'un  multiple  de  27:),  correspond  une  solution  périodique. 

On  pourrait  obtenir  certains  autres  résultats  par  l'artifice  suivant  :  suppo- 
sons que  la  loi  d'allraclion  soit  celle  de  Newton  tant  que  la  dislance  est  supé- 
rieure à  uue  très  petite  (pianlité  £,  et  celle  de  l'inverse  du  cube  des  dislances, 
(|uand  la  distance  est  plus  petite  que  e.  Alors,  les  trajectoires  seront  les  mêmes 
qu'avec  la  loi  de  Newton,  sauf  si  deux  des  corps  s'approchent  beaucoup  l'un  de 
l'autre,  auquel  cas  le  mouvement  serait  troublé  pendant  un  temps  très  court. 
Au  problème  ainsi  modifié,  les  considérations  qui  précèdent  s'appliquent,  mais 
les  résultats,  applicables  au  problème  ordinaire  des  trois  corps,  que  l'on  peut 
obtenir  ainsi,  ne  paraissent  pas  susceptibles  d'un  énoncé  simple. 


SUR  LES  SOLUTIONS  PÉRIODIQUES 

ET  I.E  PRINCIPE  DE  MOINDRE  ACTION 


Comptes  rendus  de  VAcadémie  des  Sciences,  t.  124,  p.  713-716  (5  avril  1897). 


Je  considère  un  point  mobile  dans  un  plan,  les  écjualions  du  niouvenienl 
s'écrironl 

et  celle  des  forces  vives  s'écrira 

,    X  '  l dx'-       dY'-\       ,,       , 

U  étant  la  fonction  des  forces.  Je  me  propose  d'étudier  à  un  point  de  vue  nou- 
veau les  solutions  périodiques  de  ces  équations.  La  trajectoire  qui  correspond 
à  une  solution  périodique  sera  une  courbe  fermée  (T). 

A  chaque  solution  périodique  correspondront  deux  exposants  caractéris- 
tiques^ égaux  et  de  signe  contraire.  Si  ces  deux  exposants  sont  imaginaires,  la 
solution  périodique  sera  stable;  s'ils  sont  réels,  elle  sera  instable.  Mais  la  consi- 
dération du  principe  de  moindre  action  va  nous  conduire  à  pousser  plus  loin 
cette  classification  et  à  distinguer  deux  sortes  de  solutions  instables. 

On  sait,  par  le  principe  de  Mauperluis,  que  l'intégrale 


=/A 


h  ds. 


appelée  action,   est  plus    petite   pour  une    trajectoire   satisfaisant  aux   équa- 
tions (1)  que   pour   une  courbe  inlinimenl  voisine  ayant  mêmes  extrémités. 


228  SOLUTIONS    PÉRIODIQUES    ET    PRINCIPE    DE    MOINDRE    ACTION. 

Cela  est  vrai  si  ces  deux  exlrémilés  sont  1res  voisines  l'une  île  l'auirc;  mais,  en 
général,  tout  ce  que  nous  savons  est  ijue  la  variation  première  ôJ  de  l'inté- 
grale J  est  nulle. 

Gest  là  une  condition  nécessaire,  mais  non  suffisante  pour  (|u'il  y  ait 
minimum. 

Si  l'on  veut  pousser  plus  loin  la  discussion,  il  faut  avoir  recours  à  la  notion 
des  foyers  cinétiques  dont  je  vais  rappeler  la  définition.  Soit  M  un  point  situé 
sur  une  trajectoire  T;  par  ce  point  je  mène  une  autre  trajectoire  infiniment 
voisine  de  T;  si  cette  trajectoire  vient  recouper  T  en  un  point  M',  ce  point  M' 
sera  le  foyer  de  M. 

L'étude  des  foyers  cinétiques,  dans  le  cas  des  solutions  périodiques,  m'a 
conduit  aux  résultats  suivants  : 

Supposons  d'abord  la  solution  périodique  stable;  soient*  l'arc  de  la  trajec- 
toire fermée  (T)  correspondante,  compté  à  partir  d'une  origine  quelconque, 
et  S  la  longueur  totale  de  celte  trajectoire.  Il  existera  une  fonction /(.î)  cons- 
tamment croissante,  augmentant  de  27r  quand  i  augmente  de  S,  de  telle  sorte 

que 

/(.<-t-S)=/(.0H-2;r. 

La  relation  entre  la  valeur  s  de  l'arc  correspondant  à  un  point  M  de  (T)  et 
la  valeur  s'  correspondant  à  sou  foyer  M'  sera 

f{s')  =/( s )  -h  coust. 

Si  la  solution  périodique  est  instable,  dcLix  cas  sont  à  distinguer  : 
La  solution  sera  de  la  première  sorte,  si  aucun  point  de  la  trajectoire  n'a  de 
foyer.  Alors  les  trajectoires  correspondant  aux  solutions  asymptoliques  seront 
des  courbes  spirales  s'enroulant  autour  de  (T)  et  s'en  rapprochant  asymplotique- 
ment.  Les  spires  de  ces  courbes  spirales  ne  coupent  pas  (T)  et  ne  se  coupent  pas 
entre  elles,  au  moins  si  l'on  se  borne  à  la  partie  de  la  courbe  qui  ne  s'écarte 
pas  trop  de  (T). 

Mais  un  autre  cas  peut  se  présenter  et  nous  dirons  alors  que  la  solution 
périodique  instable  est  de  la  seconde  sorte.  La  courbe  fermée  (T)  sera  divisée 
en  un  nombre  pair  d'arcs  ;  soient  2p  ce  nombre  et  Aq,  Ai  ,  ...,  A2/J  t  les  points 
de  division.  Pour  plus  de  symétrie  dans  les  notations,  je  désignerai  indiflerem- 
menl  le  point  A,/  par  les  notations  A,/,  Aq+i,j,  A,/^^4yJ,  .... 

1"  Le  point  A^^  1  sera  le  foyer  de  A,y. 


SOLUTIONS    PÉRIODIQUES    ET    PRINCIPE   DE   MOINDRE    ACTION.  229 

2"  Si  un  point  M  esl  sur  l'arc  A,/Ay.f.i,  son  fojcr  sera  sur  l'arc  A^4  j  A,y^2- 
3"  Soient  M,  le  foyer  de  M,  M-,  le  second  foyer  de  M,  c'esl-à-dire  le  foyer 
de  Ml.  M,,  le  ry'*""  foyer  de  M.  Si  le  point  M  est  sur  l'arc  AoAj.  il  en  sera  de 
même  des  points  Mo/,,  M^^j,  .  .  . ,  Mo/,y,,  ...  et  ces  points  se  rapprocheront  indé- 
finiment et  constamment  de  l'un  des  points  A,,  ou  Ai. 

4"  Il  existera  sur  l'arc  A,,  A,  un  point  B„  qui  coïncidera  avec  son  2 /y'"'"  foyer 
et,  quand  k  tendra  vers  +  00,  le  point  IM^^/,/)  se  rapprochera  indéfiniment 
de  B„. 

Les  solutions  asvmploliques  sont  représentées  alors  par  des  courbes  qui  ne 
présentent  plus  la  même  forme  que  dans  le  cas  précédent  :  elles  coupent  une 
infinité  de  fois  la  courbe  (T),  et  les  points  d'intersection  admettent  comme 
points  limites  le  point  Aq  et  ses  foyers  ou  le  point  Bo  et  ses  foyers. 

Cela  posé,  il  y  a  deux  faits  sur  lesquels  je  veux  appeler  l'attention  : 

i"  La  condition  nécessaire  et  suffisante  pour  qu'une  solution  périodique 
représentée  par  une  courbe  fermée  (T)  corresponde  à  une  action  moindre  que 
toutes  les  courbes  fermées  infiniment  voisines,  c'est  que  celte  solution  soit  une 
solution  instable  de  la  première  sorte. 

2"  Supposons  que  l'on  fasse  varier  d'une  façon  continue  la  fonction  IJ  et  les 
conditions  initiales  du  mouvement  et  que  l'on  envisage  une  solution  périodique 
variant  aussi  d'une  manière  continue.  On  ne  pourra  jamais  passer  directement 
d'une  solution  instable  de  la  première  sorte  à  une  solution  instable  de  la 
deuxième  sorte;  on  pourra  passer  seulement  d'une  solution  instable  de  l'une 
d(^s  deux  sortes  à  une  solution  stable  ou  inversement. 

Ce  ([ue  je  viens  de  dire  s'appliquerait  sans  changement  au  cas  du  mouvement 
relatif  ('). 

Supposons  que  le  point  mobile  soit  rapporté  à  des  axes  mobiles,  animés  d'un 
mouvement  de  rotation  uniforme  de  vitesse  angulaire  w. 

Les  équations  s'écriraient  alors 


d^x  dv        dV  d^  y  dx        d\} 

—ni 2  w  —-  =  -^— ,  —r h  2  OJ  -;-  =  -r- 

dV-  dt        dx  dv-  dl        dy 


eu  comprenant  dans  la  fonction  des  forces  U  le  terme  proveuani  de  la  force 
centrifuge  ordinaire. 

(')   Voir  aux  Notes,  Principes  de  Mécanique  anal)  tique. 


23o  SOLUTIONS    PÉRIODIQUES    ET    PRINCIPE    DE    MOINDRE   ACTION, 

F/éqiialioli  (les  forces  vives  serait  eucore 

et  rexpression  de  raclion  deviendrait 

.1  =  /   [f/s  y'U  -I-  h  -\-  (o(,r  (ly  —y  dx)\. 


LES  IDÉES  DE  HERTZ 
SUR  LA  MÉCANIQUE 


Bévue  Générale  des  Sciences,  t.  8,  p.  73^-743  (oo  septembre  1897). 


En  1890,  le  grand  électricien  Hertz  était  arrivé  à  l'apogée  de  sa  gloire;  toutes 
les  Académies  d'Europe  lui  avaient  prodigué  les  récompenses  dont  elles  dispo- 
saient. Tout  le  monde  espérait  que  de  longues  années  lui  étaient  encore  réser- 
vées et  qu'elles  seraient  aussi  brillantes  que  l'avaient  été  celles  de  ses  débuts. 

Malheureusement,  la  maladie  qui  devait  l'emporter  si  prématurément  l'avait 
déjà  atteint  et  bientôt  ralentissait  et  arrêtait  presque  complètement  son  activité 
expérimentale.  Il  eut  à  peine  le  temps  d'installer  son  nouveau  laboratoire  de 
Bonn;  des  maux  divers  le  privèrent  el  nous  privèrent  des  découvertes  qu'il  se 
promettait  d'y  faire. 

Il  servait  encore  les  sciences  physiques  par  l'influence  énorme  qu'il  exerçait, 
par  les  conseils  qu'il  donnait  à  ses  élèves;  mais  celte  période  n'est  marquée 
que  par  une  seule  découverte  personnelle,  d'une  importance  capitale,  il  est 
vrai,  celle  de  la  transparence  de  l'aluminium  par  les  rayons  cathodiques. 

Mais  s'il  était  ainsi  cruellement  détourné  des  études  qui  lui  avaient  été  si 
chères,  il  ne  demeurait  pas  inactif;  si  ses  sens  le  trahissaient,  son  intelligence 
lui  restait,  el  il  l'employait  à  de  profondes  réflexions  sur  la  philosophie  de  la 
Mécanique.  Les  résultats  de  ces  réflexions  ont  été  publiés  dans  un  Ouvrage 
posthume  et  je  voudrais  les  résumer  et  les  discuter  ici  brièvement. 

Hertz  critique  d'abord  les  deux  principaux  systèmes  proposés  jusqu'ici  et 
que  j'appellerai  le  système  classique  et  le  système  énergétique,  et  il  en  propose 
un  troisième  que  j'appellerai  le  système  hertzien. 


232  LES    IDÉES    DE    HERTZ   SUR    LA    MÉCANIQUE. 


Système  classique. 


I.  Définition  de  la  force.  —  La  première  tenlalive  lio  coordiualidn  des 
fails  mécaniques  est  celle  que  nous  appellerons  le  système  classique  :  c'est,  dii 
Herlz,  «  la  grande  roule  royale  donl  les  principales  stati(3ns  porlenl  les  noms 
d'Arcliimède,  Galilée.  Newlon  et  Lagrange. 

»  Les  notions  fondamentales  que  l'on  trouve  au  point  de  départ  sont  celles 
de  Vespace,  du  temps,  de  la  force  et  de  la  masse.  La  force,  dans  ce  sysième, 
est  regardée  comme  la  cause  du  mouvement;  elle  préexiste  au  mouvement  et 
est  indépendante  de  lui.  » 

Je  vais  chercher  à  expliquer  pour  quelles  raisons  Herlz  n'a  pas  été  satisfait 
de  cette  manière  de  considérer  les  choses. 

Nous  avons  d'abord  les  difficultés  que  l'on  rencontre  (juand  on  veut  définir 
les  notions  fondamentales.  Qu'est-ce  que  la  masse?  C'est,  répond  Newlon,  le 
|)roduit  du  volume  parla  densité.  —  II  vaudrait  mieux  dire,  répondent  Thomson 
et  Tait,  que  la  densité  est  le  quotient  de  la  masse  par  le  volume.  —  Qu'est-ce 
que  [diforce?  C'est,  répond  Lagrange,  une  cause  qui  produit  le  mouvement 
d'un  corps  ou  qui  tend  à  le  produire.  —  C'est,  dira  Kirchholl,  le  produit  de  la 
masse  par  V accélération.  Mais  alors,  pourquoi  ne  pas  dire  que  la  masse  est  le 
quotient  de  la  force  par  l'accélération? 

Ces  difficultés  sont  inextricables. 

Quand  on  dit  que  la  force  est  la  cause  d'un  mouvement,  on  fait  de  la  Méla- 
|)hysique,  et  cette  définition,  si  l'on  devait  s'en  contenter,  serait  absolument 
stérile.  Pour  qu'une  définition  puisse  servir  à  quelque  chose,  il  faut  qu'elle 
nous  apprenne  à  mesurer  la  force;  cela  suffit  d'ailleurs,  il  n'est  nullement 
nécessaire  qu'elle  nous  apprenne  ce  que  c'est  que  la  force  en  soi,  ni  si  elle  est 
la  cause  ou  l'efTet  du  mouvement. 

Il  faut  donc  définir  d'abord  l'égalité  de  deux  forces.  Quand  dira-t-on  que 
deux  forces  sont  égales  ?  C'est,  répondra-t-on,  (juand,  appliquées  à  une  même 
masse,  elles  lui  impriment  une  même  accélération,  ou  quand,  opposées  direc- 
tement l'une  à  l'autre,  elles  se  font  équilibre.  Cette  définition  n'est  qu'un 
Irompe-l'œil.  On  ne  peut  pas  décrocher  une  force  appliquée  à  un  corps  pour 
l'accrocher  à  un  autre  corps,  comme  on  décroche  une  locomotive;  pour  l'atteler 
à  un  autre  train.  11  est  donc  impossible  de  savoir  quelle  accélération  telle  force, 
appliquée  à  tel  corps,  imprimerait  à  l(d  autre  corps,  si  elle  lui  était  appliquée. 


LES  IDÉES  DE  HERTZ  SUR  LA  MÉCANIQUE.  233 

Il  est  impossible  de  savoir  comment  se  coinporleraienl  deux  forces  (|ui  ne  sont 
pas  directement  opposées,  si  elles  étaient  directement  opposées. 

C'est  celte  définition  que  l'on  cherche  à  matérialiser,  pour  ainsi  dire,  quand 
on  mesure  une  force  avec  un  dynamomètre,  ou  en  l'équilibrant  par  un  poids. 
Deux  forces  F  et  F',  que  je  supposerai  verticales  et  dirigées  de  bas  en  haut 
pour  simplifier,  sont  respectivement  appliquées  à  deux  corps  C  et  G';  je 
suspends  un  même  corps  pesant  P  d'abord  au  corps  C,  puis  au  corps  C;  si 
l'équilibre  a  lieu  dans  les  deux  cas,  je  conclurai  que  les  deux  forces  F  et  F' 
sont  égales  entre  elles,  puisqu'elles  sont  égales  toutes  deux  au  poids  du  corps  P. 

Mais  suis-je  sûr  que  le  corps  P  a  conservé  le  même  poids  quand  je  l'ai  trans- 
porté du  premier  corps  au  second?  Loin  de  là,  Je  suis  sur  du  contraire  ;  je 
sais  que  l'intensité  de  la  pesanteur  varie  d'un  point  à  un  autre,  et  qu'elle  est 
plus  forte,  par  exemple,  au  ptMe  qu'à  l'équateur.  Sans  doute  la  différence  est 
très  faible  et,  dans  la  pratique,  je  n'en  tiendrai  pas  compte;  mais  une  définition 
bien  faite  devrait  avoir  une  rigueur  mathématique;  cette  rigueur  n'existe  pas. 
Ce  que  je  dis  du  poids  s'appliquerait  évidemment  à  la  force  du  ressort  d'un 
djnamomètre,  que  la  température  et  une  foule  de  circonstances  peuvent  faire 
varier. 

Ce  n'est  pas  tout;  on  ne  peut  pas  dire  que  le  poids  du  corps  P  soit  appliqué 
au  corps  C  et  équilibre  directement  la  force  F.  Ce  qui  est  appliqué  au  corps  C, 
c'est  l'action  A  du  corps  P  sur  le  corps  C;  le  corps  P  est  soumis  de  son  côté, 
d'une  part  à  son  poids,  d'autre  part  à  la  réaction  R  du  corps  C  sur  P.  En  défi- 
nitive, la  force  F  est  égale  à  la  force  A,  parce  qu'elle  lui  fait  équilibre;  la 
force  A  est  égale  à  R,  en  vertu  du  principe  de  l'égalité  de  l'action  et  de  la  réac- 
tion; enfin,  la  force  R  est  égale  au  poids  de  P,  parce  qu'elle  lui  fait  écpiilibre. 
C'est  de  ces  trois  égalités  que  nous  déduisons  comme  conséquence  l'égalité 
de  F  et  du  poids  de  P. 

Nous  sommes  donc  obligés  de  faire  intervenir  dans  la  définition  de  l'égalité 
de  deux  forces,  le  principe  même  de  légalité  de  l'action  el  de  la  réaction;  à  ce 
compte,  ce  principe  ne  devrait  plus  être  regardé  comme  une  loi  expéri- 
mentale, mais  comme  une  définition. 

Nous  voici  donc,  pour  reconnaître  l'égalité  de  deux  forces,  en  possession  de 
deux  règles;  égalité  de  deux  forces  qui  se  font  équilibre;  égalité  de  l'action  el 
de  la  réaction.  Mais,  nous  l'avons  vu  plus  haut,  ces  deux  règles  sont  insuffi- 
santes; nous  sommes  obligés  de  recourir  à  une  troisième  règle  et  d'admettre 
que  certaines  forces  comme,  par  exemple,  le  poids  d'un  corps,  sont  constantes 
H.  p.  -  VII.  .  3o 


■>34  LES    IDÉES   DE   HERTZ   SUR    LA   MÉCANIQUE. 

en  grandeur  ol  on  direction.  Mai.s  cello  troisième  règle,  je  l'ai  dii,  est  une  loi 
expérimentale;  elle  n'est  qu'approxinialivenieut  vraie;  ('lie  est  une  /nauiiii.se 
lié  finit  itm. 

Nous  sommes  donc  ramenés  à  la  définition  de  Kirchhod  :  la  farce  est  égale 
à  la  masse  multipliée  par  V arcéléralion.  Cette  «  loi  de  Newton  »  cesse  à  son 
tour  d'être  regardée  comme  une  loi  expérimentale,  elle  n'est  plus  qu'une  défi- 
nition. Mais  celle  définition  est  encore  insuffisante,  puisque  nous  ne  savons  pas 
ce  que  c'est  que  la  masse.  Elle  nous  permet  sans  doute  de  calculer  le  rapport 
de  deux  forces  appliquées  à  un  même  corps  à  des  instants  diflérenls;  elle  ne 
nous  apprend  rien  sur  le  rapport  de  deux  forces  appliquées  à  deux  corps 
diUerents. 

Pour  la  compléter,  il  faut  do  nouveau  recourir  à  la  lioisièmo  loi  de  Newton 
(égalité  de  l'action  et  de  la  réaction),  regardée  encore,  non  comme  une  loi 
expérimentale,  mais  comme  une  définition.  Deux  corps  A  et  B  agissent  l'un  sur 
l'autre;  l'accélération  de  A  multipliée  par  la  masse  de  A  est  égale  à  l'action  de  B 
sur  A;  de  même,  le  produit  de  l'accélération  de  B  par  sa  masse  est  égal  à  la 
réaction  de  A  sur  B.  Comme,  par  définition,  l'action  est  égale  à  la  réaction,  les 
masses  de  A  et  de  B  sont  en  raison  inverse  des  accélérations  de  ces  deux  corps. 
Voilà  le  rapport  de  ces  deux  masses  défini  et  c'est  à  l'expérience  à  vérifier  que 
ce  rapport  est  constant. 

Cela  serait  très  bien  si  les  deux  corps  A  et  B  étaient  seuls  en  présence  et 
soustraits  à  l'action  du  reste  du  monde.  Il  n'en  est  rien;  l'accélération  de -A 
n'est  pas  due  seulement  à  l'action  de  B,  mais  à  celle  d'une  foule  d'autres 
corps  C,  D,  ....  Pour  appliquer  la  règle  précédente,  il  faut  donc  décomposer 
l'accélération  de  A  en  plusieurs  composantes,  et  discerner  quelle  est  celle  de 
ces  composantes  qui  est  due  à  l'action  de  B. 

Cette  décomposition  serait  encore  possible,  si  nous  adm.ettions  que  l'action 
de  C  sur  A  s'ajoute  simplement  à  celle  de  B  sur  A,  sans  que  la  présence  du 
corps  C  modifie  l'action  de  B  sur  A,  ou  que  la  présence  de  B  modifie  l'action 
de  C  sur  A;  si  nous  admettions,  par  conséquent,  que  deux  corps  quelconques 
s'attirent,  que  leur  action  mutuelle  est  dirigée  suivant  la  droite  qui  les  joint  et 
ne  dépend  que  de  leur  distance;  si  nous  admettions,  en  un  mol,  V hypothèse 
lies  forces  centrales. 

On  sait  que,  pour  déterminer  les  masses  des  corps  célestes,  on  se  sert  d'un 
principe  tout  dilFérent.  La  loi  de  la  gravitation  nous  apprend  que  l'attraction 


LES    IDÉES    DE    HERTZ   SUR    LA    MÉCANIQUE.  235 

de  deux  corps  esi  proportionnelle  à  leurs  masses;  si  /•  est  leur  distance,  m  el 

,  ,  ,  ,  .  .  kmni 

m   leurs  masses,  k  une  constante,  leur  attraction  sera  — --  • 

r- 

Ge  qu'on  mesure  alors,  ce  n'est  pas  la  masse,  rapport  de  la  force  à  l'accélé- 
ration, c'est  la  masse  attirante  ;  ce  n'est  pas  l'inerlie  du  corps,  c'est  son  pouvoir 
attirant. 

C'est  là  ua  procédé  indirect,  dont  l'emploi  n'est  pas  théoriquement  indis- 
pensable. Il  aurait  très  bien  pu  se  faire  que  l'attraction  fût  inversement  pro- 
portionnelle au  carré  de  la  dislance,  sans  être  proportionnelle  au  produit  des 

masses,  qu'elle  fût  égale  à  ^;  mais  sans  que  l'on  eut 

f  =  kiiim' . 

S'il  en  était  ainsi,  un  pourrait  néanmoins,  par  l'observation  des  mouvements 
relatifs  des  corps  célestes,  mesurer  les  masses  de  ces  corps. 

Mais  avons-nous  le  droit  d'admettre  l'hypothèse  des  forces  centrales  ?  Cette 
hypothèse  est-elle  rigoureusement  exacte?  Est-il  certain  qu'elle  ne  sera  jamais 
contredite  par  l'expérience?  Qui  oserait  l'affirmer?  Et  si  nous  devons  aban- 
donner cette  hypothèse,  tout  l'édifice  si  laborieusement  élevé  s'écroulera. 

Nous  n'avons  plus  le  droit  de  parler  de  la  composante  de  l'accélération  de  A 
qui  est  due  à  l'action  de  B.  Nous  n'avons  aucun  moyen  de  la  discerner  de  celle 
qui  est  due  à  l'action  de  C  ou  d'un  autre  corps.  La  règle  pour  la  mesure  des 
masses  devient  inapplicable. 

Que  roste-t-il  alors  du  principe  de  l'égalité  de  l'action  et  de  la  réaction?  Si 
l'hypothèse  des  forces  centrales  est  rejetée,  ce  principe  doit  évidemment 
s'énoncer  ainsi  :  la  résultante  géométrique  de  toutes  les  forces  appliquées  aux 
divers  corps  d'un  système  soustrait  à  toute  action  extérieure,  sera  nulle.  Ou, 
en  d'autres  termes,  le  mouvement  tlu  centre  de  gravité  de  ce  système  sera 
revtiligne  et  uniforme. 

Voilà,  semble-t-il,  un  mo^en  de  définir  la  masse;  la  position  du  centre  de 
gravité  dépend  évidemment  des  valeurs  attribuées  aux  masses;  il  faudra  dis- 
poser de  ces  valeurs  de  façon  que  le  mouvement  de  ce  centre  de  gravité  soit 
rectiligne  et  uniforme;  cela  sera  toujours  possible  si  la  troisième  loi  de  Newton 
est  vraie,  et  cela  ne  sera  possible  en  général  que  d'une  seule  manière. 

Mais  il  n'existe  pas  de  système  soustrait  à  toute  action  extérieure;  toutes  les 
parties  de  l'Univers  subissent  plus  ou  moins  fortement  l'action  de  toutes  les 


23b  LES    IDEES    DE    HERTZ    SUR    LA    MECA^  IQUE, 

autres  parties.  La  loi  du  mouvement  <lu  centre  île  granité  n^esl  ligoineuse- 
ment  vraie  que  si  on  l'applique  à  V Univers  tout  entier. 

Mais  alors  il  faudrait,  pour  eu  tirer  les  valeurs  des  niasses,  observer  le  mou- 
vement du  centre  de  gruvltt';  de  l'Uuivers.  L'absurdité  de  cette  conséquence  est 
manifeste:  nous  ne  connaissons  cjue  des  mouvements  relatifs;  le  mouvement 
du  centre  de  gravité  de  l'Univers  restera  pour  nous  une  éternelle  inconnue. 

Il  ne  reste  donc  rien  et  nos  efl'orts  ont  été  infructueux;  nous  sommes  acculés 
à  la  définition  suivante,  qui  n'est  qu'un  aveu  d'iuipuissance  :  les  masses  sont 
des  coefficients  qu'il  est  commode  d' introduire  dans  les  crdculs. 

Nous  pourrions  refaire  toute  la  Mécanique  en  attribuant  à  toutes  les  masses 
(les  valeurs  différentes.  Cette  Mécanique  nouvelle  ne  serait  en  contradiction  ni 
avec  l'expérience,  ni  avec  les  principes  généraux  de  la  Dynamique  (principe  de 
l'inertie,  proportionnalité  des  forces  aux  masses  et  aux  accélérations,  égalité  de 
l'action  et  de  la  réaction,  mouvement  rectiligne  et  uniforme  du  centre  de  gra- 
vité, principe  des  aires). 

Seulement  les  équations  de  cette  Mécanique  nouvelle  seraient  m'j«/)^«'/ny;/e5. 
Entendons-nous  bien  :  ce  seraient  simplement  les  premiers  termes  qui  seraient 
moins  simples,  c'est-à-dire  ceux  que  l'expérience  nous  a  déjà  fait  connaître; 
peut-être  pourrait-on  altérer  les  masses  de  petites  quantités  sans  que  les  équa- 
tions complètes  gagnent  ou  perdent  en  simplicité. 

J'ai  insisté  plus  longuement  que  Hertz  lui-même  SLir  cette  discussion;  mais 
je  tenais  à  bien  montrer  que  Hertz  n'a  pas  cherché  à  Galilée  et  à  Newton  une 
simple  querelle  d'Allemand;  nous  devons  conclure,  qu'avec  le  système  clas- 
sique, il  est  impossible  de  donner  de  la  force  et  de  la  masse  une  idée  satis- 
faisante. 

2.  Objections  diverses.  —  Hertz  se  demande  ensuite  si  les  principes  de  la 
Mécanique  sont  rigoureusement  vrais.  «  Dans  l'opinion  de  beaucoup  de  physi- 
ciens, dit-il,  il  apparaîtra  comme  inconcevable  que  l'expérience  la  plus  éloignée 
puisse  jamais  changer  quelque  chose  aux  inébranlables  principes  de  la  Méca- 
nique; et  cependant  ce  qui  sort  de  l'expérience  peut  toujours  être  rectifié  par 
l'expérience.  » 

Après  ce  que  nous  venons  de  dire,  ces  craintes  paraîtront  superflues.  Les 
principes  de  la  Dynamique  nous  apparaissaient  d'abord  comme  des  vérités 
expérimentales;  mais  nous  avons  été  obligés  de  nous  en  servir  comme  de  défi- 
nitions. C'est  par  définition  que  la  force  est  égale  au  produit  de  la  masse  par 


LES   IDÉES    DE    HERTZ    SUR    LA    MECANIQUE.  23^ 

l'accélùralion;  voilà  un  principe  qui  est  désormais  placé  hors  de  l'alteinte 
d'aucune  expérience  ulléi-ieure.  C'est  de  même  par  définition  que  l'aclion  est 
égale  à  la  réaction. 

Mais  alors,  dira-t-on,  ces  principes  invérifiables  sont  absolument  vides  de 
toute  signification;  l'expérience  ne  peut  les  contredire;  mais  ils  ne  peuvent 
rien  nous  apprendre  d'utile;  à  quoi  bou  alors  étudier  la  Dynamique? 

Celle  condamnation  trop  rapide  serait  injuste.  11  n'y  a  pas,  dans  l;i  Nature, 
de  syslème  parfaitement  isolé,  parfaitement  soustrait  à  toute  action  extérieure; 
mais  11  y  a  des  systèmes  à  peu  près  isolés. 

Si  l'on  observe  un  pareil  système,  on  peut  étudier  non  seulement  le  mouve- 
ment relatif  de  ses  diverses  parties  l'une  par  rapport  à  l'autre,  mais  le  mouve- 
ment de  son  centre  de  gravité  pur  rap|)ort  aux  autres  parties  de  l'Univers,  (ju 
constate  alors  que  le  mouvement  de  ce  centre  de  gravité  est  ('/  peu  près  recli- 
ligue  et  uniforme,  conformément  à  la  troisième  loi  de  JNevvton. 

C'est'  là  une  vérité  expérimentale,  mais  elle  ne  pourra  être  infirmée  par 
l'expérience;  que  nous  apprendrait  en  effet  une  expérience  plus  précise?  Elle 
nous  apprendrait  que  la  loi  n'était  quà  peu  prés  vraie;  mais,  cela,  nous  le 
'  savions  déjà. 

On  s' explique  maintenant  comment  V expérience  a  pu  servir  de  hase  aux 
principes  de  la  Mécanique  et  cependant  ne  poui  i  a  jamais  les  contredire. 

Mais  revenons  à  l'argumentation  de  Hertz.  Le  système  classique  est  incomplet, 
car  tous  les  mouvements  qui  sont  compatibles  avec  les  principes  de  la  Dyna- 
mique ne  sont  pas  réalisés  dans  la  Nature,  ni  même  réalisables.  En  effet,  il  est 
évident  que  les  principes  des  aires  et  du  mouvement  du  centre  de  gravité  ne 
sont  pas  les  seules  lois  qui  régissent  les  phénomènes  naturels.  Sans  doute,  il 
serait  déraisonnable  d'exiger  de  la  Dynamique  qu'elle  embrassât  dans  une 
même  formule  toutes  les  lois  que  la  Physique  a  découvertes  ou  pourra 
découvrir.  Mais  il  n'en  est  pas  moins  vrai  qu'on  doit  regarder  comme  incomplet 
et  insuffisant  un  système  de  Mécanique  où  le  principe  de  la  conservation  de 
l'énergie  est  passé  sous  silence. 

«  Notre  système,  conclut  Hertz,  embrasse,  il  est  vrai,  tous  les  mouvements 
naturels,  mais  il  en  embrasse  en  même  temps  beaucoup  d'autres  qui  ne  sont 
pas  naturels.  Un  système  qui  exclura  une  partie  de  ces  mouvements,  sera  plus 
conforme  à  la  nature  des  choses  et  constituera  par  conséquent  un  progrès.  » 
Tel  sera,  par  exemple,  le  système  énergétique  dont  nous  parlerons  plus  loin  et 


238  LES    IDÉES    DE    HERTZ    SUR    LA    MÉCANIQUE. 

dans  lequel  le  principe  fondamental  de  la  conservation  do  l'cuergle  s'introduit 
tout  uauirellement. 

Peut-èlro  ne  coinprendra-t-on  pas  très  bien  ce  qui  empêche  d'annexer  tout 
simplement  ce  principe  fondamental  aux  autres  principes  du  système  classique. 

Mais  Hertz  se  pose  encore  une  atilre  question  : 

Le  système  classique  nous  donne  une  image  du  monde  extérieur.  Cette  image 
est-elle  simple  ?  y  a-t-on  épargné  les  traits  parasites,  introduits  arbitrairement 
à  côté  des  traits  essentiels?  Les  forces  que  nous  sommes  conduits  à  introduire 
ne  sont-elles  pas  de  véritables  rouages  inutiles,  tournant  à  vide? 

Sur  cette  table  repose  un  morceau  de  fer;  un  observateur  non  prévenu 
croira  que,  puisqu'il  n'y  a  pas  de  mouvement,  il  n'y  a  pas  de  force.  Combien 
il  se  tromperait  !  La  Physique  nous  enseigne  que  chaque  atome  du  fer  est  attiré 
par  tous  les  autres  atomes  de  l'Univers.  De  plus,  chaque  atome  du  fer  est 
magnétique  et  par  conséquent  soumis  à  l'action  de  tous  les  aimants  de  l'Univers. 
Tous  les  courants  électriques  du  inonde  agissent  aussi  sur  cet  atome.  J'allais 
oublier  les  forces  électrostatiques,  les  forces  moléculaires,  etc. 

Si  quelques-unes  de  ces  forces  agissaient  seules,  leur  action  serait  énorme; 
le  morceau  de  fer  volerait  en  éclats.  Heureusement  elles  agissent  toutes  et  elles 
se  conlrebalancenl,  de  sorte  qu'il  ne  se  passe  rien  du  tout.  Votre  observateur 
non  prévenu,  (jui  ne  voit  qu'une  chose,  un  morceau  de  fer  en  repos,  conclura 
évidemment  que  toutes  ces  forces  n'existent  que  dans  votre  imagination. 

Sans  doute,  toutes  ces  suppositions  n'ont  rien  d'absurde,  mais  un  système 
qui  nous  en  débarrasserait  serait,  par  cela  seul,  meilleur  que  le  nôtre. 

11  est  impossible  de  n'être  pas  frappé  de  la  portée  de  cette  objection.  Pour 
montrer,  d'ailleurs,  qu'elle  n'est  pas  purement  artificielle,  il  me  suffira  de  rap- 
peler le  souvenir  d'une  polémique  qui  a  eu  lieu,  il  y  a  quelques  années,  entre 
deux  savants  tout  à  fait  éminents,  von  Helmhollz  et  M.  Bertrand,  à  propos  des 
actions  mutuelles  des  courants.  M.  Bertrand,  cherchant  à  traduire  dans  le  lan- 
gage classique  la  théorie  de  von  Helmholtz,  se  heurtait  à  des  contradictions 
insolubles.  Chaque  élément  du  courant  devait  êlre  soumis  à  un  couple;  mais 
un  couple  se  compose  de  deux  forces  parallèles,  égales  et  de  sens  contraire. 
M.  Bertrand  calculait  que  chacune  de  ces  deux  composantes  devait  être  consi- 
dérable, assez  grande  pour  amener  la  destruction  du  fil,  et  il  concluait  au  rejet 
de  la  théorie.  Au  contraire,  von  Helmholtz,  partisan  du  système  énergétique, 
ne  voyait  là  aucune  difficulté. 


LES  IDÉES  DE  HERTZ  SUR  LA  MÉCANIQUE.  sSg 

Ainsi,  d'après  Hertz,  le  système  classique  doit  être  abandonné  : 

i"   parce  qu'une  lionne  définition  de  la  force  est  impossible; 

2"  parce  qu'il  est  incomplet; 

3"  parce  qu'il  introduit  des  hypothèses  parasites  et  que  ces  hypothèses 
peuvent  engendrer  souvent  des  difficultés  purement  artificielles  et  assez  grandes 
cependant  pour  arrêter  les  meilleurs  esprits. 

II.  —  Système  énergétique. 

I .  Objections  diverses.  — -  Le  système  énergétique  a  pris  naissance  à  la  suite 
de  la  découverte  du  principe  de  la  conservation  de  l'énergie.  C'est  von  Helmholtz 
qui  lui  a  donné  sa  forme  définitive. 

On  commence  par  définir  deux  quantités  qui  jouent  le  rôle  fondamental  dans 
cette  théorie.  Ces  deux  quantité  sont  :  d'une  part,  Vénergie  cinétique  ou  force 
vive;  d'autre  part,  Vénergie  potentielle. 

Tous  les  changements  que  peuvent  subir  les  corps  de  la  nature  sont  régis  par 
deux  lois  expérimentales. 

i"  La  somme  de  l'énergie  cinétique  et  de  l'énergie  potentielle  est  une  cons- 
tante. C'est  le  principe  de  la  conservation  de  l'énergie. 

2°  Si  un  système  de  corps  est  dans  la  situation  A  à  l'époque  t^  et  dans  la 
situation  B  à  l'époque  <,,  il  va  toujours  de  la  première  situation  à  la  seconde 
par  un  chemin  tel  que  la  valeur  moyenne  de  la  dilTérence  entre  les  deux  sortes 
d'énergie,  dans  l'intervalle  de  temps  qui  sépare  les  deux  époques  tu  et  l^,  soit 
aussi  petite  que  possible. 

C'est  là  le  principe  de  Hainilton,  qui  est  une  des  formes  du  principe  de 
moindre  action. 

La  théorie  énergétique  présente  sur  la  théorie  classique  les  avantages  sui- 
vants : 

i"  Elle  est  moins  incomplète;  c'est-à-dire  que  les  principes  de  la  conserva- 
tion de  l'énergie  et  de  Hamilton  nous  apprennent  plus  que  les  principes  fonda- 
mentaux de  la  théorie  classique  et  excluent  certains  mouvements  que  la  Nature 
ne  réalise  pas  et  qui  seraient  compatibles  avec  la  théorie  classique; 

2"  Elle  nous  dispense  de  l'hypothèse  des  atomes,  qu'il  était  presque  impos- 
sible d'éviter  avec  la  théorie  classique. 


24o  LES   IDÉES  DE  HERTZ   SUR   LA   MÉCANIQUE. 

Mais  elle  soulève  à  son  loiir  de  nouvelles  difficultés;  avant  ile  parler  des 
objections  de  Hertz,  j'en  signale  deux  qui  nie  viennent  à  l'esprit  : 

Les  définitions  des  deux  sortes  d'énergie  soulèveraient  des  difficultés  presque 
aussi  grandes  que  celles  de  la  force  et  de  la  masse  dans  le  premier  sjstème. 
Cependant  on  s'en  tirerait  plus  facilenieiil,  au  moins  dans  les  cas  les  plus 
simples. 

Supposons  un  système  isolé  formé  d'un  certain  nombre  de  points  matériels; 
supposons  que  ces  points  soient  soumis  à  des  forces  ne  dépendant  que  de  leur 
position  relative  et  de  leurs  dislances  muluelles  et  indépendantes  de  leurs 
vitesses.  En  vertu  du  principe  de  la  conservation  de  l'énergie,  il  devra  y  avoir 
une  fonction  des  forces. 

Dans  ce  cas  simple,  l'énoncé  du  principe  de  la  conservation  de  l'énergie  est 
d'une  extrême  simplicité.  Une  certaine  quantité,  accessible  à  l'expérience,  doit 
demeurer  constante.  Celle  quantité  est  la  somme  de  deux  termes  :  le  premier 
dépend  seulement  de  la  position  des  points  matériels  et  est  indépendant  de 
leurs  vitesses;  le  second  est  proportionnel  au  carré  de  ces  vitesses.  Celte 
décomposition  ne  peut  se  faire  que  d'une  seule  manière. 

Le  premier  de  ces  termes,  que  j'appellerai  U,  sera  l'énergie  potentielle;  le 
■  second,  que  j'appellerai  T,  sera  l'énergie  cinétique. 

Il  est  vrai  que  si  T  -t-  U  est  une  constante,  il  en  est  de  même  d'une  f(jnctiun 
quelconque  de  T  +  U,  cp(ï  -f-  U). 

Mais  celle  fonction  (p(T-|-U)  ue  sera  pas  la  somme  de  deux  termes,  l'un 
indépendant  des  vitesses,  l'autre  proportionnel  au  carré  de  ces  vitesses.  Parmi 
les  fonctions  qui  demeurent  constantes,  il  n'y  en  a  qu'une  qui  jouisse  de  cette 
propriété,  c'est  T  +  U  (ou  une  fonction  linéaire  de  T  +  U,  ce  qui  ne  fait  rien, 
puisque  celte  fonction  linéaire  peut  toujours  être  ramenée  àT  +  U  par  un 
changement  d'unité  et  d'origine).  C'est  alors  ce  que  nous  appellerons  l'énergie; 
c'est  le  premier  terme  que  nous  appellerons  l'énergie  potentielle  et  le  second 
qui  sera  l'énergie  cinétique.  La  définition  des  deux  sortes  d'énergie  peut  donc 
être  poussée  jusqu'au  bout  sans  aucune  ambiguïté. 

U  eu  est  de  même  de  la  définition  des  masses.  L'énergie  cinétique  ou  force 
vive  s'exprime  très  simplement  à  l'aide  des  masses  et  des  vitesses  relatives  de 
tous  les  pcjinls  matériels,  par  rapjjorl  à  l'un  d'entre  eux.  Ces  vitesses  relatives 
sonl  accessibles  à  l'observalion,  et,  quand  nous  aurons  l'expression  de  l'énergie 
cinétique  en  fonction  de  ces  vitesses  relatives,  les  coefficients  de  cette  exj)res- 
sion  nous  donneront  les  masses. 


LES  IDÉES  DE   HERTZ  SUR  LA   MÉCANIQUE  24l 

Ainsi,  daas  ce  cas  simple,  on  peut  définir  les  notions  fondamentales  sans 
difficulté.  Mais  les  difficultés  reparaissent  dans  les  cas  plus  compliqués  et,  par 
esemple,  si  les  forces,  au  lieu  de  dépendre  seulement  des  distances,  dépendent 
aussi  des  vitesses.  Par  exemple,  Weher  suppose  ([ue  l'action  mutuelle  de 
deux  molécules  électriques  dépend  non  seulement  de  leur  distance,  mais  de 
leur  vitesse  et  de  leur  accélération.  Si  les  points  matériels  s'attiraient  d'après 
une  loi  analogue,  U  dépendrait  de  la  vitesse,  et  il  pourrait  contenir  un  terme 
proportionnel  au  carré  de  la  vitesse. 

Parmi  les  termes  proportionnels  aux  carrés  des  vitesses,  comment  discerner 
ceux  qui  proviennent  de  T  ou  de  U?  Comment,  par  conséquent,  distinguer  les 
deux  parties  de  l'énergie? 

Mais  il  y  a  plus,  comment  définir  l'énergie  elle-même?  Nous  n'avons  plus 
aucune  raison  de  prendre  comme  définition  T  +  U  plutôt  que  toule  autre 
fonction  de  T  +  U,  quand  a  disparu  la  propriété  qui  caractérisait  T  +  U,  celle 
d'être  la  somme  de  deux  termes  d'une  forme  particulière. 

Mais  ce  n'est  pas  tout,  il  faut  tenir  compte,  non  seulement  de  l'énergie 
mécanique  proprement  dite,  mais  des  autres  formes  de  l'énergie,  chaleur, 
énergie  chimique,  énergie  électrique,  etc.  Le  principe  de  la  conservation  de 
l'énei'gie  doit  s'écrire 

T  -I-  U  -+-  O  =  consi., 

où  T  riiprésonlerait  l'énergie  cinétique  sensible,  U  l'énergie  potentielle  de 
position,  dépendant  seulement  de  la  position  des  corps,  Q  l'énergie  interne 
moléculaire,  sous  la  forme  tlicrmiqiie,  chimique  ou  électrique. 

Tout  irait  bien  si  ces  trois  termes  étaient  absolument  distincts,  si  T  était 
proportionnel  au  carré  des  vitesses,  U  indépendant  de  ces  vitesses  et  de  l'état 
des  corps,  Q  indépendant  des  vitesses  el  des  positions  des  corps  et  dépendant 
seulemeat  de  leur  état  interne. 

L'expression  de  l'énergie  ne  pourrait  se  décomposer  que  d'une  seule  manière 
en  trois  termes  de  cette  forme. 

Mais  il  n'en  est  pas  ainsi;  considérons  des  corps  électrisés  :  l'énergie  élec- 
trostatique due  à  leur  action  mutuelle  dépendra  évidemment  de  leur  charge, 
c'est-à-dire  de  leur  état;  mais  elle  dépendra  également  de  leur  position.  Si  ces 
corps  sont  en  mouvement,  ils  agiront  l'un  sur  l'autre  électrodjnamiquement  et 
l'énergie  électrodynamique  dépendra  non  seulement  de  leur  état  et  de  leur 
position,  mais  de  leurs  vitesses. 

H.  P  -  Vit.  3i 


242  LES  IDÉES   DE   HERTZ  SUR   LA   MÉCANIQUE. 

Nous  n'avons  donc  plus  aucun  moyen  de  faire  le  triage  des  lermes  qui  doivent 
faire  partie  de  T,  de  U  et  de  Q  et  de  séparer  les  trois  parties  de  l'énergie. 
Si  (T  +  U  +  Q)  est  constant,  il  en  est  de  même  d'une  fond  ion  quelconque 

^rr  +  u-t-Q)- 

Si  1"  +  IJ  +  Q  était  de  la  forme  parliculiére  que  j'ai  envisagée  plus  haut,  il 
n'en  résulterait  pas  d'ambiguïté;  parmi  les  fonctions  ^(T  +  U  +  Q)  qui 
demeurent  constantes,  il  n'y  en  auiait  qu'une  qui  serait  de  cette  forme  parti- 
culière, et  ce  serait  celle-là  que  je  conviendrais  d'appeler  énergie. 

Mais  je  l'ai  dit,  il  n'en  est  pas  rigoureusement  ainsi;  parmi  les  fonctions 
(|ui  demeurent  constantes,  il  n'y  en  a  pas  qui  puissent  rigoureusement  se 
mettre  sous  cette  forme  particulière;  dés  lors,  comment  choisir  parmi  elles  celle 
qui  doit  s'appeler  l'énergie?  Nous  n'avons  plus  rien  qui  puisse  nous  guider 
dans  notre  choix. 

Il  ne  nous  reste  plus  qu'un  énoncé  pour  le  principe  de  la  conservation  de 
l'énergie;  il  y  a  quelque  chose  qui.  demeure  constant.  Sous  celte  forme,  il  se 
trouve  à  son  tour  hors  des  atteintes  de  l'expérience  et  se  réduit  à  une  sorte  de 
tautologie.  Il  est  clair  que  si  le  monde  est  gouverné  par  des  lois,  il  y  aura  des 
quantités  qui  demeureront  constantes.  Comme  les  principes  de  Newton,  et 
pour  une  raison  analogue,  le  priacipe  de  la  conservation  de  l'énergie,  fondé 
sur  l'expérience,  ne  pourrait  plus  être  infirmé  par  elle. 

Cette  discussiou  montre  qu'en  passant  du  système  classique  au  système 
énergétique,  on  a  réalisé  un  progrés;  niais  elle  montre,  en  même  teaips,  que  ce 
progrès  est  insuffisant. 

Une  autre  objection  me  semble  encore  plus  grave;  le  principe  de  moindre 
action  est  applicable  aux  phénomènes  réversibles;  mais  il  n'est  nullement  satis- 
faisant en  ce  qui  concerne  les  phénomènes  irréversibles;  la  tentative  de  von 
Helmholtz  pour  l'étendre  h  ce  genre  de  phénomènes  n'a  pas  réussi  et  ne  pouvait 
réussir;  sous  ce  rapport  tout  r(!ste  à  faire. 

Ce  sont  d'autres  objections,  d'ordre  presque  métaphysique,  que  Hertz  déve- 
loppe le  plus  longuement. 

.Si  l'énergie  est  pour  ainsi  dire  matérialisée,  elle  devra  être  toujours  positive. 
Or,  il  y  a  des  cas  oh  il  est  difficile  d'éviter  la  considération  de  l'énergie  néga- 
tive. Considérons,  par  exemple,  .lupiler  tournant  autour  du  Soleil;  l'énergie 

totale  a  pour  expression  ac-  —      +  c,  où  «,  b,  c  sont  trois  constantes  positives, 

V  la  vitesse  de  Jupiter;  /•  sa  distance  au  .Soleil. 


LES   IDÉES   DE    HERTZ   SUR    LA^MÉCANIQUE.  243 

Comme  nous  disposons  de  la  conslante  c,  nous  pouvons  la  supposer  assez 
grande  pour  que  l'énergie  soil  positive;  il  y  a  déjà  là  quelque  chose  d'arbitraire 
qui  choque  l'esprit. 

Mais,  il  y  a  plus.  Imaginons,  maintenant,  qu'un  corps  céleste  d'une  masse 
énorme  et  d'une  vitesse  énorme  vienne  à  traverser  le  système  solaire;  quand  il 
aura  passé  et  qu'il  se  sera  éloigné  de  nouveau  à  d'immenses  distances,  les 
orbites  des  planètes  auront  subi  des  perturbations  considérables.  Nous  pouvons 
imaginer,  par  exemple,  que  le  grand  axe  de  l'orbite  de  Jupiter  soit  devenu 
beaucoup  plus  petit,  mais  que  cette  orbite  soit  restée  sensiblement  circulaire. 
Quelque  grande  que  soit  la  constante  c,  si  le  nouveau  grand  axe  est  très  petit, 

l'expression  cn'- ,  +  c  sera  devenue  négative,  et  l'on  verra  reparaître  la  diffi- 
culté que  nous  avions  cru  éviter  en  donnant  à  c  une  grande  valeur. 

En  résumé,  nous  ne  pouvons  pas  assurer  que  l'énergie  demeurera  toujours 
positive. 

D'autre  part,  pour  matérialiser  l'énergie,  il  faut  la  localiser;  pour  l'énergie 
cinétique,  cela  est  facile,  mais  il  n'en  est  pas  de  même  pour  l'énergie  poten- 
tielle. Où  localiser  l'énergie  potentielle  due  à  l'attraction  de  deux  astres? 
Est-ce  dans  l'un  des  deux  astres  ?  Est-ce  dans  les  deux?  Est-ce  dans  le  milieu 
intermédiaire  ? 

L'énoncé  même  du  principe  de  moindre  action  a  quelque  chose  de  choquant 
pour  l'esprit.  Pour  se  rendre  d'un  point  à  un  autre,  une  molécule  matérielle, 
soustraite  à  l'action  de  toute  force,  mais  assujettie  à  se  mouvoir  sur  une  sur- 
face, prendra  la  ligne  géodésique,  c'est-à-dire  le  chemin  le  plus  court. 

Celte  molécule  semble  connaître  le  point  où  l'on  veut  la  mener,  prévoir  le 
temps  qu'elle  mettra  à  l'atteindre  en  suivant  tel  et  tel  chemin,  et  choisir  ensuite 
le  chemin  le  plus  convenable.  L'énoncé  nous  la  présente  pour  ainsi  dire  comme 
un  être  animé  et  libre.  Il  est  clair  qu'il  vaudrait  mieux  le  remplacer  par  un 
énoncé  moins  choquant,  et  où,  comme  diraient  les  philosophes,  les  causes 
finales  ne  sembleraient  |)as  se  substituer  aux  causes  efficientes. 

2.  Objection  de  la  boule  (').  —  La  dernière  objection,  qui  paraît  être  celle 
qui  a  le  plus  frappé  Hertz,  est  d'une  nature  un  peu  diflerente. 

Ou  sait  ce  qu'on  appelle  un  système  à  liaisons;  imaginons  d'abord  deux 

(')   Voir  aux  Notes,  Principes  de  Mécanique  attalytique. 


244  l-ES  IDÉES  DE  HERTZ  SUR  LA  MÉCANIQUE. 

points  réunis  par  iiuo  Irini^le  rigide  de  façon  que  leur  dislanco  soil  maintenue 
invariable  ;  ou,  plus  généralement,  supposons  qu'un  mécanisme  quelconque 
maintienne  une  relation  entre  les  coordonnées  de  deux  ou  plusieurs  points  du 
système.  C'est  là  une  première  sorte  de  liaison  qu'on  appelle  «  liaison  solide  ». 

Supposons  maintenant  qu'une  splière  soil  assujettie  à  rouler  sur  un  plan.  La 
vitesse  du  point  de  contact  doit  être  nulle;  nous  avons  donc  une  seconde  sorte 
de  liaison  qui  s'exprime  par  une  relation  non  plus  seulement  entre  les  coor- 
données des  divers  points  du  système,  mais  entre  leurs  coordonnées  et  leurs 
vitesses. 

Les  systèmes  où  il  y  a  des  liaisons  de  la  seconde  sorte  jouissent  d'une  pro- 
priété curieuse  que  je  vais  cherclier  à  expliquer  sur  l'exemple  simple  que  je 
viens  de  citer,  celui  d'une  boule  roulant  sur  un  plan  horizontal. 

Soit  O  un  point  du  plan  horizontal  et  C  le  centre  de  la  sphère. 

Pour  bien  définir  la  situation  de  la  sphère  mobile,  je  prendrai  trois  axes  de 
coordonnées  fixes  O.c,  Oy  et  0-3,  les  deux  premiers  situés  dans  le  plan  hori- 
zontal sur  lequel  roule  ^la  sphère;  et  trois  axes  de  coordonnées  invarialilement 
liées  à  la  sphère  GÇ,  Cn  et  Cç. 

La  situation  de  la  sphère  sera  entièrement  définie  quand  on  se  donnera  les 
deux  coordonnées  du  point  de  contact  et  les  neuf  cosinus  directeurs  des  axes 
mobiles  par  rapport  aux  axes  fixes.  Soit  A  une  position  de  la  sphère  où  le  point 
de  contact  est  en  O  à  l'origine  et  où  les  axes  mobiles  sont  parallèles  aux  axes 
fixes. 

Les  coordonnées  du  point  de  contact  sont 

X  =  o,       y  =  o 

et  les  neuf  cosinus  directeurs  : 

I,  o,  o; 

o,  I,  o; 

o,  o,  I . 

Donnons  à  la  sphère  une  rotation  infiniment  petite  £  autour  de  l'axe  C^;  elle 
viendra  dans  une  f)Osition  B  où  les  coordonnées  du  point  de  contact  deviennent 

x  =  o,       y  =  o 

et  les  neuf  cosinus  : 

I,  o,  o; 

o,  cosï,     sin£; 

o,     —  siiiô,     cos£. 

Mais  cette  rotation  est  impossible  puibcju'elle  ferait  glisser  et  non  rouler  la 


LES    IDÉES    DE    HERTZ    SUR    LA    MÉCANIQUE.  2iJ 

sphère  sur  le  plan.  11  est  donc  impossible  de  passer  de  la  posilion  A  à  la  posi- 
tion infiniment  voisine  B  directement,  c'est-à-dire  par  un  mouvement  infiniment 
petit. 

Mais  nous  allons  voir  que  ce  passage  peut  se  faire  indirectement,  c'est-à- 
dire  par  un  mouvement  fini. 

Parlons  de  la  position  A.  Faisons  rouler  la  sphère  sur  le  plan  de  telle  façon 
que  l'axe  instantané  de  rotation  soit  situé  dans  le  plan  horizontal  et  à  chaque 
instant  parallèle  à  l'axe  Oy,  et  arrêtons-nous  quand  l'axe  C^  sera  devenu 
vertical  et  parallèle  à  O^.  Nous  serons  arriv(''s  dans  une  position  D  où  les 
coordonnées  du  jjoinl  de  contact  seront  devenues 

j:  =  -  R,  r  =  <), 

2 

R  étant  le  ra^'on  de  la  sphère  et  les  neuf  cosinus  : 

o,    o,     —  i; 

o,     I,         o; 

-Hi,    o,         o. 

Dans  la  posilion  D  le  point  de  contact  est  à  l'extrémité  de  l'axe  C?  qui  est 
vertical. 

Imprimons  à  la  sphère  une  rotation  £  autour  de  l'axe  C^;  cette  rotation  est 
un  pivotement  autour  de  l'axe  vertical  passant  par  le  point  de  contact,  elle  ne 
comporte  aucun  glissement,  elle  est  donc  compatible  avec  les  liaisons. 

La  sphère  est  venue  alors  dans  une  position  E  où  les  coordonnées  de  contact 
sont 

a;  =  -  R,         r  =  o, 

?, 

et  les  cosinus  : 


0, 

o, 

—  I  ; 

sin£, 

cose, 

o; 

cose, 

—  sine. 

o. 

Faisons  maintenant  rouler  la  sphère  de  façon  que  l'axe  instantané  de  rotation 
reste  constamment  parallèle  à  Oy  et,  par  conséquent,  que  le  contact  ait  tout  le 
temps  lieu  sur  l'axe  Ox.  Arrêtons-nous  quand  le  point  de  contact  sera  revenu  à 
l'origine  O.  Il  est  aisé  de  voir  que  nous  sommes  arrivés  à  la  position  B. 

On  peut  donc  aller  de  la  position  A  à  la  position  B  en  passant  par  l'inlerraé- 
dlaire  des  positions  D  et  E. 

Hertz  appelle  liolonomes  les  systèmes  tels  que,  si  les  liaisons  ne  permettent 


■^46  LES  IDÉES  DE  HERTZ  SUR  LA  MÉCANIQUE. 

pas  de  passer  directement  d'une  certaine  position  à  une  autre  infiniment  vol- 
siae,  elles  ne  permettent  pas  non  plus  de  passer  de  l'une  à  l'autre  indirectement. 
Ce  sont  les  systèmes  où  il  n'y  a  que  des  liaisons  solides. 

On  voit  que  notre  sphère  n'est  pas  un  système  holonome. 

Or,  il  arrive  ceci  que  le  principe  de  moindre  action  n'est  pas  applicable  aux 
systèmes  nonholonomes. 

En  effet,  on  peut  passer  de  la  positon  A  à  la  position  B  par  le  chemin  que  je 
viens  de  dire,  et  sans  doute  par  beaucoup  d'autres  chemins;  parmi  tous  ces  che- 
mins il  y  en  a  évidemment  un  qui  correspond  à  une  action  plus  petite  que 
tous  les  autres;  la  sphère  devrait  donc  .'pouvoir  le  suivre  pour  aller  de  A  en  B; 
il  n'en  est  rien;  quelles  que  soient  les  conditions  initiales  du  mouvement,  la 
sphère  n'ira  jamais  de  A  en  B. 

Il  y  a  plus,  si  la  sphère  va  effectivement  delà  position  A  à  une  autre  position 
A',  elle  ne  prendra  pas  toujours  le  chemin  qui  correspond  à  l'action  minimum. 

Le  principe  de  moindre  action  n'est  plus  vrai. 

«  Dans  ce  cas,  dit  Hertz,  une  sphère  qui  obéirait  à  ce  principe,  semblerait 
un  être  vivant  qui  poursuivrait  consciemment  un  but  déterminé,  tandis  qu'une 
sphère,  qui  suivrait  la  loi  de  la  Nature,  offrirait  l'aspect  d'une  masse  inanimée 
roulant  uniformément...  Mais,  dira-t-on,  de  semblables  liaisons  n'existent  pas 
dans  la  Nature;  ce  prétendu  roulement  sans  glissement  n'est  qu'un  roulement 
avec  un  petit  glissement.  Ce  phénomène  rentre  dans  les  phénomènes  irréver- 
sibles tels  que  le  frottement,  encore  mal  connus  et  auxquels  nous  ne  savons 
pas  encore  appliquer  les  vrais  principes  de  la  Mécanique. 

«  Un  roulement  sans  glissement,  répondrons-nous,  n'est  contraire  ni  au 
principe  de  l'énergie  ni  à  aucune  des  lois  connues  de  la  Physique;  ce  phéno- 
mène peut  être  réalisé  dans  le  monde  visible  avec  une  telle  approximation  qu'on 
a  pu  s'en  servir  pour  construire  les  machines  d'intégration  les  plus  délicates 
(planimétres,  analyseurs  harmoniques,  etc.).  Nous  n'avons  aucun  droit  de 
l'exclure  comme  impossible;  mais  le  serait-il  et  ne  pourrait-il  se  réaliser 
qu'approximativement  que  les  difficultés  ne  disparaîtraient  pas.  Pour  adopter 
un  principe,  nous  devons  exiger  qu'appliqué  à  un  problcmc  dont  les  données 
sont  approximativement  exactes,  il  donue  aussi  des  résultats  approximative- 
ment exacts.  Et  d'ailleurs  les  autres  liaisons,  les  liaisons  solides  ne  sont  aussi 
qu'approximativement  réalisées  dans  la  Nature;  on  ne  les  exclut  pas  cepen- 
dant... ». 


LES    IDEES    DE    HERTZ    SUR    LA    MÉCANIQUE.  247 

III.  —  Système  hertzien. 

Voici  mainteuant  quel  est  le  syslème  que  Hertz  propose  de  substituer  aux 
deux  tliéories  qu'il  critique.  Ce  système  repose  sur  les  hypothèses  suivantes  : 

1"  Il  n'y  aurait  dans  la  Nature  que  des  systèmes  à  liaisons,   mais  soustraits  à 

l'action  de  toute  forte  extérieure  ; 

2"  Si  certains  corps  nous  paraissent  obéir  à  des  forces,  c'est  qu'ils  sont  liés 
à  d'autres  corps  qui,  pour  nous,  sont  invisibles. 

Un  point  matériel  qui  nous  semble  libre  ne  décrit  pas  cependant  une  trajec- 
toire rectiligne;  les  anciens  mécaniciens  disaient  qu'il  s'en  écarte  parce  qu'il 
est  soumis  à  une  force;  Hertz  dit  qu'il  s'en  écarte  parce  qu'il  n'est  pas  libre, 
mais  lié  à  d'autres  points  invisibles. 

Cette  hypothèse  semble  étrange  au  premier  abord  :  pourquoi  en  dehors  des 
corps  visibles  introduire  des  corps  invisibles  hypothétiques?  Mais,  répond 
Hertz,  les  deux  anciennes  théories  sont  obligées  également  de  supposer  en 
dehors  dos  corps  visibles,  je  ne  sais  quels  êtres  invisibles;  la  théorie  classique 
introduit  les  forces,  la  théorie  énergétique  introduit  l'énergie;  mais  ces  êtres 
invisibles,  force  et  énergie,  sont  d'une  nature  inconnue  et  mystérieuse  :  les  êtres 
hypothétiques  que  j'imagine  sont,  au  contraire,  tout  à  fait  de  même  nature  que 
les  corps  visibles. 

N'est-ce  pas  plus  simple  et  plus  naturel  ? 

On  pourrait  discuter  sur  ce  point  et  soutenir  que  les  entités  des  anciennes 
théories  doivent  être  retenues  précisément  à  cause  de  leur  nature  mystérieuse. 
Respecter  ce  inystère,  c'est  un  aveu  d'ignorance;  et  puisque  notre  ignorance 
ostoertaine,  ne  vaut-il  pas  mieux  l'avouer  que  la  dissimuler? 

Mais  passons,  et  voyons  quel  parti  tire  Hertz  de  ses  hypothèses. 

Les  mouvements  des  systèmes  à  liaisons,  sans  force  extérieure,  sont  régis  par 
une  loi  unique. 

Parmi  les  mouvements  compatibles  avec  les  liaisons,  celui  qui  se  réalisera 
sera  celui  qui  sera  tel  que  la  somme  des  masses  multipliées  par  le  carré  des 
accélérations  soit  minimum. 

Ce  principe  équivaut  à  celui  de  la  moindre  action  si  le  système  est  holonome, 
mais  il  est  plus  général,  car  il  s'applique  aussi  aux  systèmes  non  holonomes. 

Pour  bien  nous  rendre  compte  de  la  portée  de  ce  principe,  prenons  un 
exemple  simple  :  celui  d'un  point  assujetti  à  se  mouvoir  sur  une  surface.  Ici 


•JlS  LES    IDEES    DE    HERTZ    SUR    LA    MÉCANIQUE. 

nous  n'avons  qu'un  seul  point  uiaUhiel;  racccMc^ralion  doit  donc  êlreniininium  ; 
pour  cela,  il  faut  que  l'accélération  langenlielle  soit  nulle;  or,  celle  accélération 

est  égale  à  -^  >  ('  étant  la  vitesse  et  t  le  temps  ;  donc  i'  est  une  constante,  et  le 
mouvement  du  point  est  uniforme;  il  faut,  de  plus,  que  l'accélération  normale 
soit  minimum;  or  elle  est  égale  à  —i  p  étant  le  rayon  de  courbure  de  la  trajec- 
toire, ou  à  .- 1  R  élaiit  le  rayon  de  courbure  de  la  section  normale  à  la  sur- 

H  cos  ç  •' 

face,  et  9,  l'angle  du  plan  osculateur  à  la  trajectoire  avec  la  normale  à  la 
surface. 

Or  la  vitesse  est  supposée  connue  en  grandeur  et  en  direction.  Donc  (^  et  R 
sont  connus. 

Il  faut  donc  que  coscp^  i,  c'est-à-dire  que  le  plan  oscillateur  soit  normal  à  la 
surface;  c'est-à-dire  que  le  point  mobile  décrive  une  ligne  géodésique. 

Pour  faire  comprendre  maintenant  comment  peut  s'expliquer  le  mouvement 
des  systèmes  qui  nous  paraissent  soumis  à  des  forces,  je  prendrai  encore  un 
eiemple  simple,  celui  du  régulateur  à  boules.  Gel  appareil  bien  connu  se  com- 
pose d'un  parallélogramme  articulé  ABCD  :  les  angles  opposés  B  et  D  de  ce 
parallélogramme  portent  des  boules  dont  la  niasse  est  notable  ;  l'angle  supé- 
rieur A  est  fixe;  l'angle  inférieur  G  porte  un  anneau  qui  peut  glisser  le  long 
d'une  tige  verticale  fixe  AX;  tout  l'appareil  est  animé  d'un  mouvement  de  rota- 
tion rapide  autour  de  la  tige  AX.  A  l'anneau  G  est  suspendue  une  tringle  T. 

La  force  centrifuge  tend  à  écarter  les  boules  et  par  conséquent  à  soulever 
l'anneau  G  et  la  tringle  T.  Gette  tringle  T  est  donc  soumise  à  une  traction  qui 
est  d'autant  plus  forte  que  la  rotation  est  plus  rapide. 

Supposons  maintenant  un  observateur  qui  voit  seulement  celte  tringle  et 
imaginons  que  les  boules,  la  lige  AX,  le  parallélogramme,  soient  faits  d'une 
matière  invisible  pour  lui.  Get  observateur  constatera  la  traction  exercée  sur  la 
tringle  T;  mais  comme  il  ne  verra  pas  les  organes  qui  la  produisent,  il  l'attri- 
buera à  une  cause  mystérieuse,  à  une  "  force  »,  à  une  attraction  exercée  par  le 
point  A  sur  la  tringle. 

Eli  bien,  d'après  Hertz,  toutes  les  fois  que  nous  imaginons  une  force,  nous 
sommes  dupes  d'une  illusion  analogue. 

Une  question  se  pose  alors  :  peut-on  imaginer  un  système  articulé  qui  imite 
un  système  de  forces,  défini  par  une  loi  quelconque  ou  en  approchant  autant 
qu'on  voudra?  La  réponse  doit  être  affirmative;  je  me  contenterai  de  rappeler 
un  théorème  de  M.  Kœnigs  qui  pourrai!   servir  de  base  à  une  démonstration. 


LES  IDÉES  DE  HERTZ  SUR  LA  MÉCANIQUE.  249 

Voici  ce  théorème  :  On  peut  foujours  imaginer  un  système  articulé,  tel 
qu'un  point  de  ce  système  décrive  une  courbe  ou  une  surface  algébrique 
quelconque  ;  ou,  plus  généralement,  on  peut  imaginer  un  système  articulé 
tel  qu^en  vertu  de  ses  liaisons,  les  coordonnées  des  divei  s  points  du  système 
soient  assujetties  à  des  relations  algébriques  données  quelconques. 

Seulement,  les  hypothèses  auxquelles  on  serait  conduit  pourraient  être  très 
compliquées. 

Ce  n'est  pas  d'ailleurs  la  première  tentative  que  l'on  faisait  dans  ce  sens.  Il 
est  impossible  de  ne  pas  rapprocher  les  hypothèses  de  Hertz  de  la  lliéorie  de 
lord  Kelvin  sur  l'élasticité  gyroslatique. 

Lord  Kelvin,  on  le  sait,  a  cherché  à  expliquer  les  propriétés  de  l'éther  sans 
faire  intervenir  aucune  force.  -11  a  même  donné  une  forme  définitive  à  son 
hypothèse  et  représente  l'éther  par  un  de  ces  modèles  mécaniques  comme  les 
aiment  les  Anglais.  Les  savants  anglais,  satisfaits  d'avoir  donné  un  corps  à  leurs 
idées,  de  les  avoir  rendues  tangibles,  ne  sont  pas  efi'rayés  par  la  complication 
de  ces  modèles  où  l'on  a  multiplié  les  tringles,  les  bielles,  les  coulisses,  comme 
dans  un  atelier  de  mécanicien. 

Décrivons,  pour  en  donner  une  idée,  le  modèle  qui  représente  l'éther  gyro- 
statique.  L'éther  serait  formé  d'une  sorte  de  réseau.  Chaque  maille  de  ce  réseau 
est  un  tétraèdre.  Chacune  des  arêtes  de  ce  tétraèdre  est  formée  de  deux  tiges, 
l'une  pleine  et  l'autre  creuse,  coulissant  l'une  dans  l'aulre;  cette  arête  est  donc 
extensible,  mais  non  flexible. 

Dans  chaque  maille  se  trouve  un  appareil  formé  de  trois  lignes  invariable- 
ment fixées  l'une  à  l'autre  et  formant  un  Irièdre  Irirectangle.  Chacune  de  ces 
trois  tiges  s'appuie  sur  deux  des  arêtes  opposées  du  tétraèdre;  enfin,  chacune 
d'elles  p.orte  quatre  gyroscopes. 

Dans  le  système  que  je  viens  de  décrire,  il  n'y  a  pas  d'énergie  potentielle; 
mais  seulement  de  l'énergie  cinétique,  celle  des  tétraèdres,  et  celle  des  gyro- 
scopes. Cependant,  un  milieu  ainsi  constitué  se  comporterait  comme  un  milieu 
élastique;  il  transmettrait  des  ondulations  transversales  absolument  comme 
l'éther. 

J'ajouterai  une  chose  encore  :  avec  des  systèmes  articulés  de  ce  genre,  con- 
tenant des  gyroscopes,  on  peut  non  seulement  imiter  toutes  les  forces  que  nous 
trouvons  dans  la  Nature,  mais  encore  en  imiter  d'autres  que  la  Nature  ne  sau- 
rait réaliser  ;  c'est  précisément  là  le  but  que  lord  Kelvin  se  proposait;  il  voulait 
H.  P.  —  VIT.  32 


230  LES    IDÉES    DE    HERTZ    SUR    LA    MÉCANIQUE. 

expli([uer  certaines  pro[3ri('>lés  de  l'iUlicr  dont  les  hypothèses  ordinaires  lui 
paraissaient  incapables  de  rendre  compte. 

On  sait  que  l'axe  du  gyroscope  tend  à  conserver  une  direction  fixe  dans 
l'espace;  quand  il  en  est  écarté,  il  tend  à  y  revenir  comme  s'il  était  sollicité  par 
une  force  dirigeante.  Celle  force  apparente  qui  tend  à  maintenir  la  direction  du 
gyroscope,  n'est  pas,  comme  les  forces  réelles,  contrebalancée  par  une  léaclion 
égale  et  contraire.  Elle  esldonc  affranchie  de  la  loi  de  l'action  et  de  la  réaction, 
et  de  ses  conséquences  telles  que  la  loi  des  aires,  auxquelles  sont  soumises  les 
forces  naturelles. 

On  conçoit  donc  que  l'hypothèse  gyrostatique,  où  l'on  est  affranchi  de  cette 
règle  restrictive,  ail  rendu  compte  de  faits  que  ne  pouvaient  expliquer  les 
hypothèses  ordinaires  qui  y  restent  assujetties. 

Que  doit-on  penser,  en  définitive,  de  la  théorie  de  Hertz?  Intéressante  à 
coup  sûr,  elle  ne  me  satisfait  pas  entièrement  parce  qu'elle  fait  la  part  irop 
grande  à  l'hypothèse. 

Hertz  s'est  mis  à  l'abri  de  quelques-unes  des  objections  qui  l'avaient  tour- 
menté ;  il  ne  paraît  pas  les  avoir  écartées  toutes. 

Les  difficultés  que  nous  avons  longucmtrnt  disculées  au  début  de  cet  article 
pourraient  se  résumer  ainsi  : 

On  a  exposé  les  principes  de  la  Dynamique  de  bien  des  manières;  mais 
jamais  on  n'a  suffisamment  distingué  ce  qui  est  définition,  ce  qiii  est  vérité 
expérimentale,  ce  qui  est  théorème  malhéinatique.  Dans  le  système  hertzien,  la 
distinction  n'est  pas  encore  parfaitement  nette,  et,  de  plus,  un  quatrième  élé- 
ment est  introduit  :  l'hypothèse.  Néanmoins,  par  cela  seul  qu'il  est  nouveau, 
ce  mode  d'exposition  est  utile  :  il  nous  force  à  réfléchir,  à  nous  affranchir  de 
vieilles  associations  d'idées.  Nous  ne  pouvons  pas  encore  voirie  monument  tout 
entier  :  c'est  quelque  chose  d'en  avoir  une  perspective  nouvelle,  prise  d'un 
point  de  vue  nouveau. 


SUR  CERTAINES  SOLUTIONS  PARTICULIÈRES 
DU  PROBLÈME  DES  TROIS  CORPS 


Comptes  rendus  de  l'Académie  des  Sciences,  t.  97,  p.  aSi-aSa  (23  juillet  i883) 


M.  Kronecker  a  présenté  à  l'Académie  de  Berlin,  en  1869,  un  Mémoire  sur 
les  fondions  de  plusieurs  variables;  on  y  trouve  un  important  théorème  d'où 
il  est  aisé  de  déduire  le  résultat  suivant  : 

Soient  ^1,  i^,  .  .  . ,  ;,i«  fonctions  continues  de  n  variables  x,,  Xo,  .  .  . ,  x„:  Isl 
variable  Xi  est  assujettie  à  varier  entre  les  limites  +  «,•  et  — •  a,-.  Supposons  que, 
l)Our  Xi^di,  ;,  soit  constamment  positif,  et  pour  a;,  =  —  o,  constamment  négatif; 
je  dis  qu'il  existera  un  système  de  valeurs  des  x  pour  lequel  tous  les  >  s'annu- 
leront. 

Ce  résultat  peut  s'appliquer  au  problème  des  trois  corps  et  montre  que  ce 
problème  admet  une  infinité  de  solutions  particulières  jouissant  de  propriétés 
remarquables  que  nous  allons  exposer.  Nous  nous  restreignons,  bien  entendu, 
au  cas  où  les  masses  de  deux  des  corps  sont  très  petites. 

Le  mouvement  est  périodique,  c'est-à-dire  que,  lorsque  le  temps  augmente 
d'une  période  constante,  les  trois  corps  reprennent  la  même  position  relative. 
A  la  fin  d'une  période,  les  distances  des  trois  corps  reprennent  leur  valeur 
initiale,  ainsi  que  les  vitesses  relatives  estimées  soit  dans  la  direction  du  rayon 
vecteur,  soit  dans  la  direction  perpendiculaire.  Le  système  entier  a  seulement 
tourné  d'un  certain  angle  autour  du  centre  de  gravité,  supposé  fixe. 

Les  excentricités  sont  très  petites  et  de  l'ordre  des  masses;  mais  les  inclinai- 
sons peuvent  avoir  des  valeurs  quelconques. 


SUR    CERTAINES   SOLUTIONS    PARTICULIERES. 


Dans  la  solution  parliculière  envisagi'o,  il  resle  encore,  si  les  trois  corps 
sont  assujettis  à  se  mouvoir  dans  un  plan,  quatre  paramètres  arbitraires;  s'ils  se 
meuvent  dans  l'espace,  il  en  reste  huit.  Ainsi,  dans  l'un  comme  dans  l'autre 
cas,  il  faut  imposer  quatre  conditions  aux  éléments  initiaux  du  mouvement  pour 
que  ce  mouvement  présente  cette  périodicité  dont  nous  venons  de  parler. 

Quand  nous  aurons  disposé  arbitrairement  de  huit  des  douze  éléments  ini- 
liauï.  notre  solution  particulière  ne  sera  pas  encore  complètement  déterminée. 
Projetons,  en  elTet,  les  deux  rayons  vecleurssur  le  plan  du  maximum  des  aires. 
Après  une  période,  la  jirojection  du  premier  rayon  vecteur  aura  décrit  un 
angle  (>,  la  projection  du  second  vecleur  aura  décrit  un  angle  c  +  anTr;  nous 
pou\ons  encore  nous  donner  arbitrairement  le  nombre  entier  n,  après  quoi  la 
solution  jiarticulière  sera  parfaitement  définie. 


SUR  CERTAINES  SOLUTIONS  PARTICULIERES 
DU  PROBrlME  DES  TROIS  CORPS 


Hutlcllii  aslronoiiùque,  t.   I,  p.  60-74  (février  1884 ). 


But  de  ce  travail. 

La  solulion  générale  du  problème  des  trois  corps  est  encore  à  trouver,  et, 

liien  qu'on  ait,  dans  ces  derniers  temps,  donné  des  développements  purement 

trigonométriques  des  distances  mutuelles,  ces  séries,  qui  peuvent  rendre  des 

services  dans  la  pratique,  ne  sont  pas  théoriquement  satisfaisantes,  parce  que 

la  convergence  n'en  est  rien  moins  que  démontrée.  Il  y  a  cependant  certaines 

solutions  particulières  pour  lesquelles  ces  diftîcultés  relatives  à  la  convergence 

n'existent  pas  :  ce  sont  celles   où  les  distances  mutuelles  sont  des  fonctions 

périodiques  du  temps  et  que  l'on  pourrait  appeler  solutions  périodiques. 

Je  considère  en  effet  trois  masses,  M,  m  et  m',  et  je  suppose. que  les  rapports 

m        m!        •  -  •         T  11  il 

^  et  irr  soient  très  petits.  Je  suppose  de  plus  que  les  deux  petites  masses  m  et 

to'  soient  rapportées  à  la  grande  masse  M,  de  sorte  que,  quand  je  parlerai  de 
la  position  et  de  la  vitesse  des  petites  masses,  j'entendrai  leur  position  et  leurs 
vitesses  relatives  par  rapport  à  M. 

Je  dirai  que  les  trois  masses  sont  en  conjonction  symétrique  si  leurs  vitesses 
sont  perpendiculaires  à  leur  plan.  Dans  le  cas  particulier  où  les  inclinaisons 
sont  nulles  et  où  les  trois  masses  restent  constamment  dans  un  même  plan,  je 
dirai  qu'elles  sont  en  conjonction  symétrique  si  elles  sont  en  ligne  droite  et  de 
façon  que  leurs  vitesses  soient  perpendiculaires  à  la  droite  qui  les  joint. 


■.•:>1  SUR   CERTAINES   SOLUTIONS    PARTICULIERES. 

Supposons  maiulenaiit  qu'à  l'époque  f,,  il  v  ail  conjonction  syrnélrique;  les 
dislances  muluelles  des  Irois  masses  seront  alors  les  rncnies  aux  Lenips  t^-j-hel 
t„ —  h.  Supposons  qu'à  ré|ioque  f,  il  y  ail  encore  conjonction  symétrique;  les 
dislances  mutuelles  reprendront  les  mêmes  valeurs  aux  temps  /i  +  h  et  t^  —  /(. 
Ces  dislances  mutuelles  seront  donc  des  fonctions  périodiques  du  temps  avec 
la  période  2(/i —  ^i).  Après  une  période,  le  système  se  retrouve  dans  la  même 
situation  relative;  il  a  seulement  tourné  d'un  certain  angle  dans  l'espace.  .le 
choisirai  l'origine  et  l'unité  du  temps  de  telle  façon  que 

/„=  O,  /i  =   X, 

et  que  la  période  soit  27r.  Je  prendrai  pour  plan  des  :ry  un  plan  perpendiculaire 
à  la  fois  au  plan  des  trois  corps  aux  deux  époques  zéro  et  u  :  ce  sera  évidem- 
ment le  plan  du  maximum  des  aires.  Je  prendrai  l'axe  des  x  dans  le  plan  des 
trois  masses  à  l'époque  zéro.  11  en  résulte  qu'à  l'époque  zéro  les  longitudes  de 

m  el  m'  sont  zéro,  celles  des  périhélies  zéro  et  celle  des  nœuds  -•  Dans  le  cas 

des  inclinaisons  nulles,  je  prendrai  pour  plan  des  x}'  le  pian  commun  des 
orbites  et  pour  axe  des  x  la  droite  qui  joint  les  trois  masses  à  l'époque  zéro. 

Existe-t-il  de  pareilles  solutions,  au  moins  pour  le  cas  dans  lequel  je  me  ren- 
fermerai et  où  deux  des  masses  sont  su|>posées  très  petites  ?  Je  me  propose  de 
faire  voir  qu'il  y  en  a  de  trois  sortes  ; 

Première  sorte  :  inclinaisons  nulles,  excentricités  très  petites; 
Deuxième  sorte  :  inclinaisons  nulles,  excentricités  finies; 
Troisième  sorte  :  inclinaisons  finies,  excentricités  très  petites. 

Je  ferai  voir  ensuite  quel  parti  on  peut  en  tirer. 

Formule  de  M.  Kronecker. 

M.  KronecUer  a  donné,  dans  les  Monalsberichte  (18G9),  une  formule  qui 
donne  le  nombre  des  solutions  de  n  ('qualions  à  /;  inconnues  qui  satisfont  à  des 
inégalités  données.  Nous  ferons  l'application  suivante  de  celte  formule  : 

Soient  Xi,  X-.,,  ...,  X„  n  jonctions  cnnlinues  des  n  variables  ,ri,  a-.j,  ...,  x„. 
Supposons  rjue  X;  soit,  toujours  positif  pour  Xi^=  a,  el  toujours  négatif  pour 
Xi  =  —  a,-.  Il  existera  au  moins  un  système  de  valeurs  des  x  qui  satisfera 
aux  inégalités 


SUR    CERTAINES   SOLUTIONS    PARTICULIÈRES.  255 

et  aux  équations 

(a)  \,  =  \s  =  ..  .=  X„=  o. 

Les  équations  (2)  auront  donc  loujours  une  solution. 

Pour  faire  comprendre  comment  on  peut  démontrer  ce  théorème,  supposons 
que  nous  n'ayons  que  deux  variables  x^  et  x-^_,  que  nous  regarderons  comme 
les  coordonnées  d'un  point  dans  un  plan.  Alors  les  inégalités  (i)  signifient  que 
ce  point  est  à  l'intérieur  d'un  certain  carré  ABCD  dont  les  côtés  ont  pour 
équations 

Al!:     .i:|=ai,         CD:     Xi  =  — ai,         L!G  :     Xî=a2,         DA  :    .0^2  =  —  «2- 

La  courbe  X2:=  o  pari  alors  d'un  point  du  côté  AB  pour  aboutir  à  un  point 
de  CD;  de  même  la  courbe  X4  =  o,  parlant  d'un  point  de  BC  pour  aboutira 
un  point  de  DA,  doit  forcément  rencontrer  la  première  à  l'intérieur  du  carré. 

Méthode  générale. 

On  voit  immédiatement  l'avantage  que  peut  présenter  l'application  de  ce 
théorème.  Pour  démontrer  rigoureusement  que  certaines  équations  peuvent 
être  satisfaites,  il  suffit  d'étudier  le  signe  de  certaines  fonctions.  Or,  si  les 
masses  sont  très  petites,  les  signes  de  ces  fonctions  seront  les  mêmes  que  quand 
ces  masses  sont  nulles,  c'est-à-dire  dans  le  cas  du  mouvement  keplérien. 

J'ai  supposé  qu'au  temps  zéro  les  longitudes  des  masses  et  des  périhélies 

sont  nulles  et  celles  des  nœuds  —  •  Il  reste  comme  éléments  initiaux  arbitraires 

2 

les  moyens  mouvements  n  et  «',  les  excentricités  e  et  e',  les  inclinaisons  i  et  i' . 
Soient  maintenant  X,  Y,  Z,  ...  un  certain  nombre  de  fonctions  des  coor- 
données et  des  vitesses  de  m  et  de  m'  au  temps  tt.  Nous  prendrons  trois  fonc- 
tions seulement  pour  fixer  les  idées;  ce  seront  des  fonctions  des  éléments 
initiaux  et  des  masses.  Si  les  masses  sont  assez  petites,  on  démontre  aisément 
que  ces  fonctions  peuvent  être  développées  en  séries  suivant  les  puissances 
croissantes  des  masses,  de  sorte  qu'on  a,  par  exemple, 

X  =  X„-+-X,-4-X.>-4-...~~X„-i-..., 

X„  désignant  l'ensemble  des  termes  d'ordre  /;  par  rapport  aux  masses. 

Considérons  trois  des  éléments   initiaux  comme  constants  et  faisons  varier 


256  SUR  CERTAINES   SOLUTIONS    PARTICULIÈRES. 

les  trois  autres,  .le  suppose  que  l'on  puisse  choisir  ces  derniers  éléments  de 
telle  façon  que 

Xo=  Vn=  /o=  f>, 

et  que  le  délcrmiaaul  fonctionuel  de  X,,,  '^u,  'f^a  l^nr  rapport  aux  trois  éléments 

variables  ne  soit  pas  nul.  je  dis  qu'où  pourra  choisir  ces  mêmes  élémenls  de 

façon  que 

X  =  Y  =  y,  =  o. 

l'.n  clli'l,  si  le  déleruiinanl  lonclionnrl  eu  question  n'est  pas  nul,  on  pourra, 
en  donnant  aux  éléments  initiaux  des  valeurs  voisines  de  celles  qui  annulent 
X„,  Y„  et  Z„.  obtenir  pour  ces  trois  fonctions  tous  les  systèmes  de  valeurs 
satisfaisant  aux  inégalités 

X5<rtî,  y5<«|,  Zl-Cnl, 

si  «1.  rtj  et  rt;,  sont  assez  petits.  On  |)ourra  alors  considérer  X,  Y  el  Z,  comuie 
des  fonctions  de  X„,  Y,,  el  Z„,  et  il  est  clair  que,  si  les  masses  sont  assez 
petites  par  rapport  à  ai,  a^,  et:,,  ou  aura 

X>o         pour     Xo  =  «I  ;         X<o         jiour     Xo  =  — 0|, 

et  de  uiêuie  pour  Y  el  pour  Z.  C'est  dire  qu'où  pourra  appliquer  le  théorème  de 
M.  Kronecker  et  que  les  élémenls  initiaux  pourront  être  choisis  de  telle  façon 
que 

X  =  Y  =  7,  =  o.  c.   Q.   F.   D. 

Ce  théorème  ne  s'appliquerait  pas  si  Xo  était  identiquement  nul,  parce 
qu'alors  le  déterminant  fonctionnel  serait  nul;  mais  dans  ce  cas  il  suffirait  de 
remplacer  Xq  par  X,,  qui  donne  alors  son  signe  à  X  quand  les  masses  sont 
assez  petites.  Nous  en  verrons  plus  loin  des  exemples. 

Solutions  de  la  première  sorte. 

Supposons  i  et  i'  nuls,  e  et  e'  très  petits.  Soient  maintenant  X  la  différence 
de  longitude  de  m  et  de  m'  au  temps  tt;  Y  et  Z  les  dérivées,  par  rapport  au 
temps,  des  rayons  vecteurs  de  m  et  de  m!  ù  cette  même  époque  rr. 
Si  l'on  a 

e  =  e'  =  o,         /(  —  /(=  I , 
on  a 

Xo  =  I  0  =  ^0  =^  o, 


SUR   CERTAINES   SOLUTIONS    PARTICULIERES.  257 

et  11  est  aisé  de  voir  que  le  déterminant  fonctionnel  n'est  pas  nul.  On  a  donc, 
pour  des  valeurs  très  petites  de  e  et  de  e', 

X  =  Y  =  Z  =  o. 

Ces  équations  signifient  qu'au  temps  tî  les  trois  masses  se  retrouvent  en 
conjonction  symétrique  :  il  j  a  donc  des  solutions  périodiques  de  la  première 
sorte;  il  y  en  a  même  une  quadruple  infinité.  En  effet,  renonçons  momenta- 
nément au  choix  d'unités  et  d'axes  que  nous  avons  fait  plus  haut  et  supposons 
des  unités  et  des  axes  quelconques.  Nous  pouvons  alors  choisir  arbitrairement 
les  époques  ^o  et  /,  de  la  première  et  de  la  seconde  conjonction  symétrique,  et 
les  longitudes  «o  et  «i  de  w  à  ces  deux  époques.  On  doit  cependant  exclure 
tout  choix  tel  que  aj  —  a,,  soit  multiple  de  tt,  parce  qu'alors  notre  déterminant 
fonctionnel  ne  serait  plus  nul  ;  il  ne  faut  même  pas  que  la  différence  entre 
otj  —  d-i,  et  un  multiple  de  tt  soit  de  même  ordre  (jue  les  masses. 

Il  en  résulte  que  les  distances  mutuelles  des  trois  corps  peuvent  se  déve- 
lopper en  séries  ordonnées  suivant  les  cosinus  des  multiples  de  t.  Quant  aux 
coefficients  de  cospt,  ils  peuvent  eux-mêmes  être  développés  en  séries  ordon- 
nées suivant  les  puissances  croissantes  des  masses,  et  convergentes  pourvu  que 
ces  masses  soient  assez  petites. 

La  difficulté  était  de  démontrer  rigoureusement  l'existence  de  la  solution 
périodique  et  d'écarter  ainsi  à  l'avance  tous  les  embarras  que  pourraient  nous 
causer  les  questions  de  convergence.  On  peut  ensuite  calculer  les  coefficients 
par  des  approximations  successives.  Donnons  ici  la  première  approximation, 
en  négligeant  les  carrés  des  masses.  Si  les  masses  étaient  nulles,  on  aurait  la 
solution  du  problème  en  donnant  à  a  et  a',  n  et  n'  des  valeurs  convenables,  et 
avec  des  excentricités  nulles  et  des  longitudes  zéro  au  temps  zéro,  on  aur 
n  —  7t'  =  I . 

Posons 

1  a 

R  =     ^ eosl  =  SAy  cosy7         (j  =  —  =<=••■ —  i,  o,  i,  . . . ,  x) 

y''a-+  a'- —  2aa  cosl        " 

et 

B,  =  2«A /-(- a  — ^  ,  0/=  3«  A,-t- 2a  — ;— • 

'  da  '  '  da 


On  trouvera,  pour  les  coordonnées  polaires  de  la  première  petite  masse, 

a-n  ^,,    [      i  I      \  cos/i 

H  '\n-i-j        n~jj      2 

«  V    -n     /       I  ■       \     ■      •  <"!  X^  C;     .      . 

V  =  nt  -\ >    ;  B,     ;  -t-  r     sin//  H >   -4-  sin  it. 

'  l'-^mi-'     '  \n  -+-y         n  —j)        ^  u.    ^U  J         ■'  ' 


H.  P.  —  VU.  33 


258  SUR  CERTAINES  SOLUTIONS  PARTICULIÈRES. 

/A  étant  un  coefficient  dépendant  des  masses,  et  de  même  pour  la  seconde  petite 
masse. 

Ces  formules  ne  s'appliquent  pas  au  cas  où  n  est  un  nombre  entier. 

Solutions  de  la  deuxième  sorte. 

Supposons  encore  les  inclinaisons  nulles,  mais  ne  supposons  plus  les  excen- 
tricités très  petites.  Soient  /,  /',  tn  et  xjs'  les  longitudes  des  deux  masses  m  et  m' 
et  celles  de  leurs  périhélies  au  temps  tt.  Soient 

X  ^  HT  —  ct',         y  =  /  —  w,         Z  ^  /'  —  Tn'. 

Ici  Xq  est  identiquement  nul;  pour  de  petites  valeurs  des  masses,  c'est  donc 
Xi  qui  donne  son  signe  à  X.  Il  faut  donc  démontrer  que  l'on  peut  choisir  les 
éléments  initiaux  de  telle  façon  que 

X,  =  Y„  =  Z„=o. 

On  peut  évidemment  choisir  les  moyens  mouvements  n  et  n'  de  telle  façon 
que  Yq  et  Zo  soient  nuls.  Il  s'agit  maintenant  de  faire  voir  que,  n  et  n'  étant 
désormais  regardés  comme  déterminés,  on  peut  choisir  e  et  e'  de  telle  façon  que 

(3)  X,  =  o, 

Or  cette  équation  peut  s'écrire 

m'ûim  =  //i  S|  tn', 
en  posant 

a/n/i  — e2    r"^  dK    ,  ^      ,  a' n'  s/ 1  -e-    f'^  d^' 


»l  0 1  cj  =  — 


■  r    ûfR  j  .     ,  r//iVi-e-    r"dK  , 

■  I      —r-  at,         m  0,  m  = -, /      —r-r  ai 


de  sorte  qu'on  peut  écrire 

/n'e  OiCT  =  A  -l-  Me  -h  Ce'  -+■... ,         me'  Oi  ra'  =  A'  -f-  B' e  -i-  C  e' -H  . .  . , 

les  seconds  membres  étant  des  séries  ordonnées  suivant  les  puissances  de  e  et 
de  e'  et  convergentes  pour  les  petites  valeurs  de  ces  quantités.  Nous  suppo- 
serons d'abord  que  ces  excentricités  sont  assez  petites  pour  qu'il  y  ait  conver- 
gence. Cela  nous  suffira  pour  montrer  la  possibilité  de  satisfaire  à  l'équa- 
tion (3).  Si  n  n'est  pas  multiple  de  n  —  n',  A  et  A'  sont  nuls.  Si  n  n'est  pas 

multiple  de >  B,  C,  B',  C  se  réduisent  aux  termes  dits  séculaires.  Nous 

supposerons  que  ces  conditions  sont  remplies,  puisque  notre  but  est  seulement 
d'établir  la  possibilité  de  satisfaire  à  l'équation  (3). 


SUR    CERTAINES   SOLUTIONS    PARTICULIERES. 

L'équation  (3)  peut  alors  s'écrire 


269 


0=      1,0     e--i- ee'[(o,  i) — (i)0)]  —  e'-     0,1 


cp  se  composant  de  termes  d'ordre  plus  grand  que  deux  par  rapport  aux  excen- 
tricités. Si  l'on  considère  e  et  e'  comme  les  coordonnées  d'un  point  dans  un 
plan,  l'équation  (3)  représente  une  courbe  présentant  un  point  double  à  l'ori- 
gine. Nous  nous  proposons  de  démontrer  que  cette  courbe  est  réelle,  et,  pour 
cela,  il  nous  suffit  de  taire  voir  que  les  tangentes  au  point  double  sont  réelles; 
or  ces  tangentes  sont  données  par  l'équation 


(4) 

Mais  on  a 


ee'[(o,i)  — (1,0)]  — e"- 

0, 1 

■,o 

= 

ni  Ja 
m    J" 

Donc  l'équation  (4)  a  ses  coefficients  extrêmes  de  signe  contraire;  donc  elle  a 
des  racines  réelles.  Donc  par  l'origine  passent  deux  branches  réelles  de  courbe 
que  l'on  pourra  suivre  jusqu'à  une  distance  finie  de  l'origine.  Donc  l'équa- 
tion (3)  peut  être  satisfaite  par  des  valeurs  finies  des  excentricités.  En  répétant 
le  raisonnement  fait  plus  haut,  on  conclurait  de  là  qu'on  peut  donner  aux 
éléments  initiaux  des  valeurs  qui  annulent  à  la  fois  X,  Y  et  Z,  ce  qui  démontre 
l'existence  des  solutions  périodiques  de  la  deuxième  sorte. 

Le  raisonnement  serait  en  défaut  si  les  excentricités  étaient  infiniment  petites 
de  l'ordre  des  masses. 


Solutions  de  la  troisième  sorte. 

Supposons  les  inclinaisons  finies  et  les  excentricités  très  petites. 
Soient  /,   /',  0  et  0'  les  longitudes    des  deux  masses  et  de  leurs  nœuds  au 
temps  71.  Posons 


X  =  i 


Y  =  /-0-t- 


z  =  r- 


Soient  maintenant  T  et  U  les  dérivées  des  rayons  vecteurs  de  m  et  de  m'  par 
rapport  au  temps,  à  l'époque  71.  Ici  encore  Xo  est  identiquement  nul,  et  c'est 
Xi  qui  donne  son  signe  à  X.  Si  l'on  annule  e  et  e'  et  si  l'on  choisit  convenable- 
ment n  et  «',  on  aura 

Yo  =  Zo  =  To  =  Uo  =  o. 


abO  SUR   CERTAINES   SOLUTIONS   PARTICULIERES. 

Il  resle  à  montrer  que  e,  e',  n  el  ri'  étant  supposés  désormais  déterminés,  on 
peut  choisir  i  et  i'  de  façon  à  satisfaire  à  réquation  Xi  =  o.  Cela  est  toujours 
possible,  car  celte  équation  signifie  simplement  que  le  plan  des  jcy  est  le  plan 
invariable.  On  n'a  qu'à  répéter  le  raisonnement  déjà  fait  plus  haut  pour  voir 
que  l'on  peut  choisir  les  éléments  initiaux  de  telle  sorte  que 

X  =  Y  =  Z  =  T  =  U=o, 

ce  qui  démontre  l'existence  d'une  infinité  de  solutions  périodiques  de  la 
troisième  sorte. 

Solutions  de  la  quatrième  sorte. 

Il  est  passible  qu'il  existe  des  solutions  de  la  quatrième  sorte,  où  les  excen- 
tricités et  les  inclinaisons  sont  finies  à  la  fois  ;  mais  je  n'ai  pu  encore  démontrer 

leur  existence  que  pour  certaines  valeurs  du  rapport  —.• 

Application  des  solutions  périodiques.  —  Il  semble  au  premier  abord  que 
ces  s(jlntions  périodiques  ne  puissent  être  d'aucune  utilité  pratique,  puisqu'elles 
correspondent  à  des  valeurs  particulières  des  éléments  initiaux,  valeurs  dont 
la  probabilité  est  nulle.  Mais,  si  les  éléments  initiaux  sont  très  voisins  de  ceux 
qui  correspondent  à  une  solution  périodique,  on  pourra  rapporter  les  positions 
véritables  des  trois  masses  aux  positions  qu'elles  occuperaient  dans  cette  solu- 
tion périodique  et  se  servir,  par  conséquent,  de  cette  solution  comme  d'une 
orbite  intermédiaire.  Appelons  r,  c,  /',  v'  les  coordonnées  polaires  de  m  et 
de  m'  sur  cet  orbite  intermédiaire,  r  -{-  p,  t'  +  w,  z,  r' -j-  p',  i''  +  w',  s'  les  coor- 
données semi-polaires  de  ces  mêmes  masses  sur  leur  orbite  réelle;  les  quantités 
p,  (Mi,  z,  ...  sont  très  petites  au  moins  pendant  un  certain  temps.  Nous  pourrons 
alors  écrire  les  équations  du  mouvement  sous  la  forme  suivante  : 

(5)  S  =  H, 

Pi  étant  une  série  ordonnée  suivant  les  puissances  de  p,  w,  z,  p',  w',  z'  et  de 

leurs  dérivées  du  premier  ordre  et  dont  les  coefficients  dépendent  de  r.  r'  et 

V  —  v',  et  sont  par  consé(]uent  des  fonctions    périodiques  du    temps  avec   la 

période  2r..  Il  faut  y  ajouter  cinq  équations  de  même  forme  qui  donnent  les 

,  ,    d^M     d^z     d^p'     d''o>'     d^z'     ,.  ,.  .  .        .•  1 

valeurs  de-^i   -^-^j  -y^i  -7^7-'  -7777"  ^''^  pcu^  appliquer  a  ces  équations  les 


SUR   CERTAINES   SOLUTIONS    PARTICULIERES.  261 

méthodes  de  M.  Lindstedt  et  d'antres  encore  qui  conduisent  à  des  résultats  sur 
lesquels  je  reviendrai  plus  tard. 

Aujourd'hui  je  supposerai  que  p,  to,  .  .  . ,  qui  sont  de  l'ordre  des  excentricités 
et  des  inclinaisons,  soient  assez  petits  pour  ([u'on  puisse  négliger  leurs  carres; 
les  équations  se  réduiront  à  des  équations  linéaires  (5)  admettant  pour  coef- 
ficients des  fonctions  périodiques  du  temps  avec  la  période  2  7r. 

L'intégrale  générale  de  l'équation  (5)  est  do  la  forme 

p  =  F  +  /*, 

où  F  et  <I»  sont  des  séries  irigonométriques.  Le  dernier  terme  est  séculaire  : 
mais  on  peut  toujours  choisir  V orbite  intermédiaire  de  façon  que  ce  terme 
soit  nul.  Les  différences  p,  u,  ^,  ...  sont  alors  exprimables  par  des  séries 
Irigonométriques. 

Voici  quelle  me  semble  pouvoir  être  l'utilité  de  l'étude  des  équations  (5). 
Dans  le  calcul  des  variations  séculaires  des  excentricités,  on  est  conduit  à  des 
équations  qui  sont  linéaires  comme  les  équations  (5),  mais  où  les  coefficients 
sont  des  séries  trigonométriques  de  plusieurs  arguments  (deux,  dans  le  cas  de 
trois  corps).  On  supprime  ensuite  tous  les  termes  périodiques  pour  ne 
conserver  que  les  termes  constants.  Il  n'est  pas  sûr  qu'on  ne  commette  pas 
ainsi  une  erreur  considérable;  car,  si  l'on  faisait  l'intégration  en  tenant 
compte  des  termes  périodiques,  les  approximations  successives  introduiraient 
des  termes  à  petit  argument  qui  pourraient  exercer  une  influence  appréciable 
sur  la  valeur  de  la  période  des  excentricités.  Au  contraire,  en  étudiant  les 
équations  (5),  on  ue  rencontrera  pas  celte  difficulté,  puisque  les  coefficients 
ne  dépendent  que  d'un  seul  argument.  L'étude  de  cette  équation  permettra 
donc  de  se  rendre  compte  de  la  grandeur  de  l'erreur  commise  par  la  méthode 
ordinaire. 


SUR  LE  PROBLÈME  DES  TROIS  CORPS 
ET  LES  ÉQUATIONS  DE  LA  DYNAMIQUE  O 


Acta  Mathematica,  t.  13,  p.  1-270  (28  avril  1890). 


TABLE    DES    MATIERES. 


Piiges. 

Introduction 263 

PREMIÈRE  PARTIE. 

GÉNÉRALITÉS. 

Chapitre  I.  —  Propriétés  générales  des  équidinns  différentielles. 

1.  Notations  et  définitions 265 

i.  Calcul  des  limites ; 270 

3.  Applications  du  calcul  des  limites  aux  équations  aux  dérivées  partielles 280 

4.  Intégration  des  équations  linéaires  à  coefficients  périodiques 291 

Chapitre  II.  —  Théorie  des  invariants  intégraux . 

0.   Propriétés  diverses  des  équations  de  la  Dynamique 295 

6.  Définition  des  invariants  intégraux 3oo 

7.  Transformation  des  invariants  intégraux 3o8 

8.  Usage  des  invariants  intégraux 3i3 

Chapitre  III.  —  Théorie  des  solutions  périodiques. 

9.  Existence  des  solutions  périodiques 33i 

10.  Exposants  caractéristiques 338 

(')  Mémoire  couronné  du  Prix  de  S.  M.  le  roi  Oscar  II  de  Suède  le  21  janvier  1883. 


SUR    LE    PROBLÈME    DES   TROIS   CORPS.  263 

Pages. 

11.   Solutions  périodiques  des  liqualions  de  la  Dynamique 343 

13.  Calcul  des  exposants  caractéristiques SSg 

13.  Solutions  asymptotiques 370 

14.  Solutions  asymptotiques  des  équations  de  la  Dynamique 379 


DEUXIEME  PARTIE. 

ÉQUATIONS    DE    I.A    DYNAMIQUE    ET    PKOBI.ÈME    DES    n    CORPS. 

Chapitre  I.  —  Etude  des  cas  où  il  n'y  a  que  deux  degrés  de  liberté . 

lo.   Représentations  géométri(|ue5  diverses 396 

Chapitre  II.  —  Etudes  des  surfaces  asymptotiques . 

16.  Exposé  du  problème 407 

17.  Première  ap|)roximation 4io 

18.  Deuxième  approximation 421 

19.  Troisième  approximation 437 

Chapitre  III.  —  Résultats  divers. 

20.  Solutions  périodiques  du  deuxième  genre 445 

21.  Divergence  des  séries  de  M.  Lindsteld 462 

22.  Non-existence  des  intégrales  uniformes 470 

Chapitre  IV.  —  Tentatives  de  généralisatiim. 

23.  Problème  des  n  corps 476 


Introduction. 


Le  travail  qui  va  suivre  et  qui  a  pour  objet  l'étude  du  problème  des  trois 
corps  est  un  remaniement  du  Mémoire  que  j'avais  présenté  au  Concours  pour 
le  prix  institué  par  Sa  Majesté  le  Roi  de  Suède.  Ce  remaniement  était  devenu 
nécessaire  pour  plusieurs  raisons.  Pressé  par  le  temps,  j'avais  dû  énoncer 
quelques  résultats  sans  démonstration;  le  lecteur  n'aurait  pu,  à  l'aide  des  indi- 
cations que  je  donnais,  reconstituer  les  démonstrations  qu'avec  beaucoup  de 
peine.  J'avais  songé  d'abord  à  publier  le  texte  primitif  en  l'accompagnant  de 
notes  explicatives;  mais  j'avais  été  amené  à  niulliplier  ces  notes  de  telle  sorte 
que  la  lecture  du  Mémoire  serait  devenue  fastidieuse  et  pénible. 

J'ai  donc  préféré  fondre  ces  notes  dans  le  corps  de  l'Ouvrage,  ce  quia  l'avan- 
tage d'éviter  quelques  redites  et  de  faire  ressortir  l'ordre  logique  des  idées. 

Je  dois  beaucoup  de  reconnaissance  à  M.  Phragmén  qui  non  seulement  a 
revu  les  épreuves  avec  beaucoup  de  soin,  mais  qui,  ayant  lu  le  Mémoire  avec 


264  SUR    LE    PROBLÈME    DES   TROIS   CORPS 

altention  et  en  ayant  pénétré  le  sens  avec  une  grande  finesse,  m'a  signalé  les 
points  où  des  explications  complémentaires  lui  semblaient  nécessaires  pour 
faciliter  l'entière  intelligence  de  ma  pensée.  Je  lui  dois  la  forme  élégante  que  je 
donne  au  calcul  de  S"'  et  de  T'"  à  la  fin  du  paragraphe  12.  C'est  même  lui  qui, 
en  appelant  mon  attention  sur  un  point  délicat,  m'a  permis  de  découvrir  et  de 
rectifier  une  importante  erreur. 

Dans  (juelques-unes  des  additions  que  j'ai  faites  au  Mémoire  primitif,  je  me 
borne  à  rappeler  certains  résultats  déjà  connus;  comme  ces  résultats  sont 
dispersés  dans  un  grand  nombre  de  recueils  et  que  j'en  fais  un  fréquent  usage, 
j'ai  cru  rendre  service  au  lecteur  en  lui  épargnant  de  fastidieuses  recherches; 
d'ailleurs  je  suis  souvent  conduit  à  appliquer  ces  théorèmes  sous  une  forme 
différente  de  celle  que  leur  auteur  leur  avait  d'abord  donnée  et  il  était  indis- 
pensable de  les  exposer  sous  cette  nouvelle  forme.  Ces  théorèmes  acquis,  dont 
quelques-uns  sont  même  classiques,  sont  développés,  à  côté  de  quelques  propo- 
sitions nouvelles,  dans  le  Chapitre  I  (I"  Partie). 

Je  suis  bien  loin  d'avoir  résolu  complètement  le  problème  que  j'ai  abordé.  Je 
me  suis  borné  à  démontrer  l'existence  de  certaines  solutions  particulières 
remarquables  que  j'appelle  solutions  périodiques,  solutions  asjmptotiques,  et 
solutions  doublement  asymptotiques.  J'ai  étudié  plus  spécialement  un  cas 
particulier  du  problème  des  trois  corps,  celui  où  l'une  des  masses  est  nulle  et 
où  le  mouvement  des  deux  autres  est  circulaire;  j'ai  reconnu  que  dans  ce  cas 
les  trois  corps  repasseront  une  infinité  de  fois  aussi  près  que  l'on  veut  de  leur 
position  initiale,  à  moins  que  les  conditions  initiales  du  mouvement  ne  soient 
exceptionnelles. 

Comme  on  le  voit,  ces  résultats  ne  nous  apprennent  que  peu  de  chose  sur  le 
cas  général  du  problème;  mais  ce  qui  peut  leur  donner  quelque  pris,  c'est 
qu'ils  sont  établis  avec  rigueur,  tandis  que  le  problème  des  trois  corps  ne 
paraissait  jusqu'ici  abordable  que  par  des  méthodes  d'approximation  successive 
où  l'on  faisait  bon  marché  de  celte  rigueur  absolue  qui  est  exigée  dans  les 
autres  parties  des  Mathématiques. 

Mais  j'attirerai  surtout  l'allenlion  du  lecteur  sur  les  résultats  négatifs  qui 
sont  développés  à  la  fin  du  Mémoire.  J'établis  par  exemple  que  le  problème 
des  trois  corps  ne  comporte,  en  dehors  des  intégrales  connues,  aucune  intégrale 
analytique  et  uniforme.  Bien  d'autres  circonstances  nous  font  prévoir  que  la 
solution  complète,  si  jamais  on  peut  la  découvrir,  exigera  des  instruments  ana- 
lytiques absolument  différents  de  ceux  (jue  nous  possédons  et  infiniment  plus 


ET    LES   ÉQUATIONS    DE    LA    DYNAMIQUE.  265 

compliqués.  Plus  on  réfléchira  sur  les  propositions  que  je  démontre  plus  loin, 
mieux  on  comprendra  que  ce  problème  présente  des  difficultés  inouïes,  que 
l'insuccès  des  ellorts  antérieurs  avait  bien  fait  pressentir,  mais  dont  je  crois 
avoir  mieux  encore  fait  ressortir  la  nature  et  la  grandeur. 

J'ai  fait  voir  également  que  la  plupart  des  séries  employées  en  Mécanique 
céleste  et  en  particulier  celles  de  M.  Lindstedt  qui  sont  les  plus  simples,  ne 
sont  pas  convergentes.  Je  serais  désolé  d'avoir  par  là  jeté  quelque  discrédit  sur 
les  travaux  de  M.  Lindstedt  ou  sur  les  recherches  plus  profondes  de  M.  Gyldon. 
Rien  ne  serait  plus  éloigné  de  ma  pensée.  Les  méthodes  qu'ils  proposent 
conservent  toute  leur  valeur  pratique.  On  sait  en  effet  le  parti  qu'on  peut  tirer 
dans  un  calcul  numérique  de  l'emploi  des  séries  divergentes  et  la  série  fameuse 
de  Stirllng  en  est  un  exemple  frappant.  C'est  grâce  à  une  circonstance  analogue 
que  les  développements  usités  en  Mécanique  céleste  ont  rendu  déjà  de  si  grands 
services  et  sont  appelés  à  en  rendre  de  plus  grands  encore. 

L'une  des  séries  dont  je  ferai  usage  plus  loin  et  dont  je  démontrerai  d'ailleurs 
la  divergence,  offre  une  grande  analogie  avec  un  développement  proposé  par 
M.  Bohlin  à  l'Académie  de  Stockholm  le  9  mai  1888.  Comme  son  Mémoire  n'a 
été  imprimé  que  quelques  mois  plus  tard,  je  n'en  avais  pas  connaissance  à 
l'époque  de  la  fermeture  du  concours,  c'est-à-dire  le  1°'' juin  1888.  Je  n'ai  donc 
pas  cité  le  nom  de  M.  Bohlin,  je  m'empresse  de  lui  rendre  ici  la  justice  qui  lui 
est  due.  (Cf.  Supplément  aux  Comptes  vendus  de  V Académie  de  Stockholm, 
t.  14  et  Astronomische  Nachrichten,  n"  2883.  ) 


PREMIERE  PARTIE. 

GÉNÉRALITÉS. 


CHAPITRE   I. 

PROPRIÉTÉS    GÉNÉRALES    DES    ÉQUATIONS    DIFFÉRENTIELLES. 

1.  —  Notations  et  définitions. 
Considérons  un  système  d'équations  dilTérentielles  : 

H.  P.  -  VII.  34 


266  SUR   LE   PROBLEME    DES   TROIS   CORPS 

OÙ  t  représente  la  variable  indépendanie  que  nous  appellerons  le  temps, 
.ri,  .r-j,  ...,  Xn  les  fonctions  inconnues,  où  enfin  Xi,  X^,  ...,  X„  sont  des 
fondions  données  de  x^,  x-i,  ...,  x„.  Nous  supposons  en  général  que  les 
fonctions  Xi,  Xo,  .  .  . ,  X„  sont  analytiques  et  uniformes  pour  toutes  les  valeurs 
réelles  Ae  X{,  x.^,  .  . .,  x„. 

Si  Ion  savait  intégrer  les  équations  (i),  on  pourrait  mettre  le  résultat  de 
l'intégration  sous  deux  formes  différentes;  on  pourrait  écrire 

a;i  =  ç,(^  Cl,  C,,  ...,  C„),         ;ro=  cp2(<,  C,  Cî,  ...,  C„),         ..., 


(2) 

(  -î'/i  =  ?«(',  t'i,  Co,  . . .,  C„) 

C|,  Cj,  .  .  . ,  C,  désignant  les  constantes  d'intégration. 

On  pourrait  écrire  encore,  en  résolvant  par  rapport  à  ces  constantes  : 

ICi  =  Fi  {t,  Xi,  Xi,  .  .  .,  Xn), 
Gi  =  F2(t,  xi,  X.,  ...,  x„), 
) 
C,,  =  Fn(t,  X,,  Xi,   ..  .,  Xn)- 

Pour  éviter  toute  confusion,  nous  dirons  que  les  équations  (2)  représentent 
la  solution  générale  des  équations  (i)  si  les  constantes  C  j  restent  arbitraires 
et  qu'elles  représentent  une  solufion  particulière  si  l'on  y  donne  aux  C  des 
valeurs  numériques.  Nous  dirons  d'autre  part  que  dans  les  équations  (3),  Fi, 
F2,  ...,  F/i  sont  n  intégrales  particulières  des  équations  (1).  Le  sens  des 
mots  solution  et  intégrale  se  trouve  ainsi  entièrement  fixé. 

Supposons  que  l'on  connaisse  une  solution  particulière  des  équations  (i)  qui 
s'écrira 
(4)  a:, =  !>,(<),         :r2=cp2(0,  ■■•,         :e„=9„(0- 

On  peut  se  proposer  d'étudier  les  solutions  particulières  de  (i)  qui  diilcrent 
peu  de  la  solution  (4).  Pour  cela  posons 

^i=?iH-?i,  .^,=  90+^2,  ...,  .;:•„=  Ç„-H|n, 

et  prenons  pour  nouvelles  fonctions  inconnues  Çi,  ^2,  •  •  •>  in-  Si  la  solution  que 
l'on  veut  étudier  diffère  peu  de  la  solution  (4),  les  Ç  sont  très  petits  et  nous  en 
pouvons  négliger  les  carrés.  Les  équations  (i)  deviennent  alors,  en  négligeant 
les  puissances  supérieures  des  i  : 

Dans  les  dérivées  -j-^^  les  quantités  Xi,  3:2,  ■  .  .,  Xn  doivent  être  remplacées 


ET    LES    ÉQUATIONS    DE    LA    DYNAMIQUE.  267 

par  cpi(î),  92(^),  •  •  -,  <p«('))  de  sorte  que  ces  dérivées  peuvenL  être  regardées 
comme  des  fonctions  connues  du  temps. 

Les  équations  (5)  s'appelleront  les  équations  aux  variations  des  équa- 
tions (i).  On  voit  que  les  équations  aux  variations  sont  linéaires. 

Les  équations  (i)  sont  dites  canoniques  lorsque  les  variables  x  sont  en 
nombre  pair  n  =  2yP,  se  répartissant  en  deux  séries  Xi,  Xo,  .  .  . ,  Xp,  Vi,  y^,  . . ., 
Yp^  et  que  les  équations  (i)  peuvent  s'écrire 

dXi        r/F  dvi  d¥  ,  . 

-dI  =  7i^C  iiT=-dI,  (^  =  .,  2,  ...,/>). 

Elles  ont  alors  la  forme  des  équations  de  la  Dynamique  et  nous  dirons,  à 
l'exemple  des  Anglais,  que  le  système  d'équations  (6)  comporte  p  degrés  de 
liberté. 

On  sait  que  ce  système  (6)  admet  une  intégrale  dite  des  forces  vives  : 
F^const.  et  que  si  l'on  en  connaît />  —  i  autres,  on  peut  considérer  les 
équations  canoniques  comme  complètement  intégrées. 

Considérons  en  particulier  le  cas  de  «  ^  3  ;  nous  pourrons  alors  regarder  a", , 
x-i  et  Xa  comme  les  coordonnées  d'un  point  V  dans  l'espace.  Les  équations 

dx^  dx.  dx-, 

^^)  ^-^"       ^=^-^'       -7h=^' 

définissent  alors  la  vitesse  de  ce  point  P  en  fonction  de  ses  coordonnées.  Consi- 
dérons une  solution  particulière  des  équations  (i) 

^l=?l(0>  ■Z^2=?2(<),  a:3=Ç3(<). 

Lorsque  nous  ferons  varier  le  temps  /,  le  point  ['  décrira  une  certaine  courbe 
dans  l'espace;  nous  l'appellerons  une  trajectoire.  A  chaque  solution  particu- 
lière des  équations  (i)  correspond  donc  une  trajectoire  et  réciproquement. 

Si  les  fonctions  Xi,  X2  et  X3  sont  uniformes,  par  chaque  point  de  l'espace 
passe  une  trajectoire  et  une  seule.  Il  n'y  a  d'exception  que  si  l'une  de  ces  trois 
fonctions  devient  infinie  ou  si  elles  s'annulent  toutes  les  trois.  Les  points  où  ces 
cas  d'exception  se  présenteraient  s'appelleraient /JOtrt^i  singuliers. 

Considérons  une  courbe  gauche  quelconque.  Par  chacun  des  points  de  cette 
courbe  passe  une  trajectoire;  l'ensemble  de  ces  trajectoires  constitue  une 
surface  que  j'appellerai  surface-trajectoire. 

Comme  deux  trajectoires  ne  peuvent  se  couper  sinon  en  un  point  singulier, 
une  surface-trajectoire  qui  ne  passe  en  aucun  point  singulier  ne  peut  être 
coupée  par  aucune  trajectoire. 


2()8  SUR    LE    PROBLÈME    DES   TROIS   CORPS 

Nous  aurons  fréquemment  dans  la  suite  à  uoiis  occupci-  de  la  ([ueslion  de  la 
stabilité.  Il  y  aura  stabilité  si  les  trois  quantités  j,,  Xo,  a'^  restent  inférieures  à 
certaines  limites  quand  le  temps  t  varie  depuis  — oo  jusqu'à  +00;  ou  en 
d'autres  termes,  si  la  trajectoire  du  point  P  reste  tout  entière  dans  une  région 
limitée  de  l'espace. 

Supposons  (|u'il  existe  une  sui'face-lrajectoire  fermée  S;  cette  surface  parta- 
gera l'espace  en  deux  régions,  l'une  intérieure,  l'autre  extérieure,  et  aucune 
trajectoire  ne  pourra  passer  d'une  de  ces  régions  dans  l'autre.  Si  donc  la 
position  initiale  du  point  P  est  dans  la  région  intérieure,  ce  point  y  restera 
éternellement;  sa  trajectoire  sera  tout  entière  à  l'intérieur  de  S.  11  y  aura  donc 
stabilité. 

Ainsi  la  question  de  stabilité  se  ramène  à  la  recherche  des  surfaces  Irajec- 
loires  fermées. 

On  peut  varier  ce  mode  de  représentation  géométrique;  supposons  par 
exemple  que  l'on  pose 

.Ti  =  '\ii(z,,  :,,  zs),        a;2=  ij<2(-i,  -2,  =.i)i         ■2-3= '^3(21,  -2,  ^3), 

les  4'  étant  des  fonctions  de  z  (jui  sout  uniformes  pour  toutes  les  vale\irs  réelles 
des  z.  Nous  pourrons  considérer  non  plus  Xi,  x.^,  X;t,  mais  z^ ,  s,,  ^3  comme  les 
coordonnées  d'un  point  dans  l'espace.  Quand  on  connaîtra  la  position  de  ce 
point,  on  connaîtra  z,,  z^,  z-,^  et  par  conséquent  Xt,  x-,,  x,^.  Tout  ce  que  nous 
avons  dit  plus  haut  reste  exact. 

Il  suffit  même  (jue  les  trois  fonctions  4'  restent  uniformes  dans  un  certain 
domaine,  pourvu  (|u'on  ne  sorte  pas  de  ce  domaine. 

Si  n  >  3,  ce  mode  de  représentation  ne  peut  plus  être  employé  en  général,  à 
moins  qu'on  ne  se  résigne  k  envisager  l'espace  à  plus  de  trois  dimensions.  Il  est 
pourtant  un  cas  où  la  difficulté  peut  être  tournée. 

Supposons  par  exemple  que  «  =  4  et  qu'on  connaisse  une  des  intégrales  des 
équations  (i).  Soit 
(7)  V{x^,  Xo,  Xs,  Xi)  =  G 

cette  intégrale.  Nous  regarderons  la  constante  d'intégration  C  comme  une 
donnée  de  la  question.  Nous  pourrons  alors  tirer  de  l'équation  (7)  une  des 
quatre  quantités  Xi,  x^,  x.^,  x,,  en  fonction  des  trois  autres,  ou  bien  encore 
trouver  trois  variables  auxiliaires  Zi,  z^,  z-^,  telles  qu'en  faisant 

X,  =  tJ-iCai,  32,  -3),         ■'■:i=  ^-iizu  -s,  33), 


ET    LES   ÉQUATIONS   DE    LA   DYNAMIQUE.  ïClJ 

on  satisfasse  à  l'(^quallon  ('7)  quelles  que  .soient  les  valeurs  de  -i,  -o,  .:•,.  Il 
arrivera  souvent  qu'on  pourra  choisir  ces  variables  auxiliaires  z  de  façon  que 
les  quatre  fonctions  ']/  soient  uniformes,  sinon  pour  toutes  les  valeurs  rebelles 
des  s,  au  moins  dans  un  domaine  d'où  on  n'aura  pas  à  sortir. 

On  pourra  alors  représenter  la  situation  du  système  par  un  point  dont  les 
coordonnc^'es  dans  l'espace  seront  5i,  z^  et  ^;,. 

Supposons  par  exemple  que  l'on  ail  des  équations  canoniques  avec  deux 
degrés  de  liberté  : 

rit  ~  7/77'        TTT  "~  rtV7' 

clt  <lx\  dl  fixi 

Nous  aurons  quatre  variables  xi,  ajoi  J'i)  .,)•.>>  mais  ces  variables  seront  liées 
par  l'équation  des  forces  vives  :  P^  =  G,  de  sorte  que  si  nous  regardons  la 
constante  des  forces  vives  G  comme  connue,  il  n'y  aura  plus  que  trois 
variables  indépendantes  et  que  la  représentation  géométrique  sera  possible. 

Nous  distinguerons  parmi  les  variables  X\^,  x«,  . . .,  x„,  les  variables  linéaires 
et  les  variables  angulaires.  Il  pourra  arriver  que  les  fonctions  Xi,  X»,  ...,  X„ 
soient  toutes  périodiques  par  rapport  à  l'uue  des  variables  ar,-  et  ne  changent 
pas  quand  celle  variable  augmente  de  2-1:.  La  variable  xi  el  celles  qui  jouissent 
de  la  même  propriété  seront  alors  angulaires;  les  autres  seront  linéaires. 

Je  dirai  que  la  situation  du  système  n'a  pas  changé  si  toutes  les  variables 
angulaires  ont  augmenté  d'un  multiple  de  27r,  et  si  toutes  les  variables  linéaires 
ont  repris  leurs  valeurs  primitives. 

Nous  adopterons  alors  un  mode  de  représentation  ici  que  le  point  représen- 
tatif P  revienne  au  mcnio  point  de  l'espace  quand  une  ou  plusieurs  des  variables 
angulaires  aura  augmenté  de  27t.  Nous  en  verrons  des  exemples  dans  la  suite. 

l'armi  les  solutions  particulières  des  équations  (1),  nous  distinguerons  les 
solutions  périodiques.  Soit 

une    solution    particulière    des    équations    (i).    Supposons    qu'il    existe    une 
quantité  /*  telle  que 

quand  Xi  est  une  variable  linéaire  el 

^i{t  -h  h)  =  'Si{t  )  -i-  2  kx:         (A-élanl  entier) 


270  SUR  LE  PROBLEME  DES  TROIS  CORPS 

quand  jr,-  est  une  variable  angulaire.  Nous  dirons  alors  que  la  solution  consi- 
dérée est  périodique  et  que  h  est  la  période. 

Si  l'on  ado[)le  un  mode  de  représentation  géométrique  tel  que  le  point 
représentatif  reste  le  même  quand  une  dos  variables  angulaires  augmente  de  271, 
toute  solution  périodique  sera  représentée  par  une  trajectoire  fermée. 

2.  —  Calcul  des  limites. 

L'une  des  plus  belles  découvertes  de  Cauchy  {C.  R.  Acad.  Se,  I-4,  p.  1020), 
quoiqu'elle  ait  été  peut-être  peu  remarquée  de  son  temps,  est  celle  qu'il  a 
appelée  le  calcul  des  limites  et  à  laquelle  nous  conserverons  ce  nom,  quelque 
mal  justifié  qu'il  puisse  être. 

Considérons  un  système  d'équations  difTérenlielles 

(I)  È=-^''(^'->''^)'     â;=-^^(*''->''^^- 

Si /i  et /^  peuvent  être  développés  suivant  les  puissances  croissantes  de  x,  y 
et  :;,  ces  équations  admettront  une  solution  de  la  forme  suivante  : 

j-  =  9,(a;),         z  =  <f,{x), 

çi  et  92  étant  des  séries  développées  suivant  les  puissances  croissantes  de  x  et 
s'annulant  avec  x. 

l^our  le  démontrer,  Cauchy  remplace  les  deux  fonctions  J\  et  /'o  par  une 
expression  de  la  forme 

.,,  .       M 

en  choisissant  M,  a,  ,3,  y  de  façon  que  cliaque  terme  de/'  ait  un  plus  grand 
coefficient  (en  valeur  absolue)  que  le  terme  correspondant  de  yi  el  de  f.,.  En 
remplaçant  ainsi  fi  et  f-,  [)ar  y,  on  augmente  les  coefficients  de  cpj  et  de  cf^  et 
comme  ces  deux  séries  sont  convergentes  après  ce  changement,  elles  devaient 
l'être  également  avant  ce  changement. 

Tel  est  le  principe  fondamental  du  calcul  des  limites  dont  Cauchy  a  fait 
d'ailleurs  beaucoup  d'autres  applications  et  que  plusieurs  géomètres  ont  nota- 
blement perfectionné  depuis. 

Le  plus  grand  de  ces  perfectionnements  est  dû  à  M.  Weierstrass  qui  a 
remplacé  la  fonctiony'(a?,  y,  z)  de  Cauchy  par  une  autre  plus  simple  qui  peut 
jouer  le  même  rôle. 


ET   LES   ÉQUATIONS   DE   LA   DYNAMIQUE.  27I 

•     Écrivons  les  équations  (i)  sous  la  forme 

(i')  -^  =/i(^.  J-) -):  J  =/2(a;,  7,  -3),  -^^   =f{x,Y,  z)  =  \. 

Remplaçons-y  ensuite/",  fi  e\.  f-<  par  la  fonction  de  M.  Weierslrass  : 

M 


f'{3:,y,  z)  = 
s  deviendront 

r 

(2') 


I  —  Ol.{X  -H  J-  -t-  ^)' 

elles  deviendront 

dx  _  dy  _  dz  _  M 

dt         dt         dt        I  —  a  ( x  -i-  _}•  -I-  -  ) 


Les  équations  (i')  sont  satisfaites  formellement  par  des  séries 

x  =  9(0  =  ',        .v  =  9i(0.         -  =  Ç2(0- 

développées  suivant  les  puissances  croissantes  de  l  et  s'annulant  avec  t. 
De  même  les  équations  (2')  seront  satisfaites  par  des  séries 

^  =  v'(0>      j'  =  ?'i(0>       3  =  <f'2(<; 

développées  suivant  les  puissances  croissantes  de  t  et  s'annulant  avec  t.  [On 
voit  facilement  d'ailleurs  que  o'(')  ^  o',  {t)  =^  tp'^  (<).] 

Si  M  et  a  sont  convenablement  choisis,  les  coefficients  des  séries  9' sont  plus 
grands  que  ceux  des  séries  o;  or  les  séries  cp'  convergent;  donc  les  séries  cp 
convergent  également.  c.   q.   f.   d. 

Je  n'insiste  pas  sur  ces  démonstrations  qui  sont  devenues  tout  à  fait 
classiques  et  qui  se  trouvent  développées  dans  tous  les  traités  un  peu  complets 
d'Analyse,  par  exemple  dans  le  Cours  d' Analyse  de  M.  Jordan  (t.  3,  p.  87). 

Mais  on  peut  aller  plus  loin. 

Théorème  I.  —  Imaginons  que  les  fonctions  f,  et  f.,  dépendent,  non 
seulement  de  x,  )',  et  3,  mais  d'un  certain  paramètre  arbitraire  p.  et 
qu'elles  puissent  se  développer  suivant  les  /missances  croissantes  de  x,  y,  z 
et  [L.  Ecrivons  alors  les  équations  (i)  sous  la  forme 

dx  dy  dz        ,  ,  ^ 

On  peut  trouver  trois  séries 

^  =  fit,  ,'■'1  ^0,  Xo,  Zo)  =  t  -i-Xo,         y  =  ?i(/,  [^,  a;o,  ^'o,  =0),  z  =  ?o(;,  ^i,  Xa,  .ro,  s») 

qui  satisfassent  formellement   aux  équations  (i"),  qui  soient  développées 
suivant  les  puissances  croissantes  de  t,  de  n  et  de  trois  constantes  d'inté- 


272  SUR    LE    PROBLEME   DES   TROIS   CORPS 

gration  Xa,  jj'o,  ^o  et  qui  enfin  se  réduisent  respectivement  à  Xo,  yo  et  z-o 
pour  t^=  o. 

Je   dis  que   ces  séries  convergent  jtourvu   que   t,  p.,  Xa,  J'o  et  Za  soient 
suffisamment  petits. 

En  eflet  remplaçons/,  J\  elf-i  par  la  fonction 

M 


f'(^,y,  =,  1^)  = 


(1  —  |i,a)[l  —  x{x-hy-hz)} 

Celle  fonction/'  peut  être  développée  suivant  les  puissances  de  x,  y,  z  et  |j.. 
On  peut  prendre  M,  a  et  3  assez  grands  pour  que  chaque  terme  de/'  soit  plus 
grand  que  le  terme  correspondant  de/,  de/i  et  de/a. 

Nous  obtiendrons  ainsi  les  équations 

,  f/x  _  dy  _  dz  _  M 

^^  '  ~dt~'~dt~di~  (\  —  \^\>.)[\  —  a{x  +  y  ^  z)\ 

On  peut  trouver  trois  séries 

^  =  ?'('>  !-'!  ^0,  >'o,  So),         y  =  o',  (^  ;i,  a:o,  Jt'o,  ^o),  ;  =  ?2(?,  |^,  Xo,  Vo,  s») 

développées  suivant  les  puissances  de  <,  p.,  jTo,  jKo,  -qi  satisfaisant  aux  équa- 
tions (2")  et  se  réduisant  respectivement  à  x»,  j'u,  ^0  pour  <  =  o. 

En  raisonnant  comme  le  faisait  Cauchj,  on  démontrerait  que  chaque  terme 
des  séries  '^'  est  plus  grand  que  le  terme  correspondant  des  séries  cp.  Or  les 
séries  ta'  convergent,  si  t,  p.,  j;„,  y,,  et  z„  sont  assez  petits.  Donc  les  séries  © 
convergent  également.  c.   q.   f.   n. 

On  peut  tirer  de  là  diverses  conséquences. 

Théorème  II.  —  Nous  venons  dé  voir  que  x,  y  et  z  peuvent  être  développés 
suivant  les  puissances  de  t,  pi,  x^  ya  et  z»  pourvu  que  ces  cinq  variables, 
y  compris  l,  soient  suffisamment  petites. 

Je  dis  que  x,  y  et  z  pourront  encore  être  développées  suivant  les  puissances 
des  quatre  variables  p.,  x„,  ya,  et  Za  quelque  grand  que  soit  t  pourvu  que 
les  quatre  variables  p.,  Xo,  y  a,  et  z^  soient  assez  petites  (*). 

11  y  a  toutefois  un  cas  d'exception  sur  lequel  je  reviendrai. 

En  effet  nous  trouvons  d'abord  trois  séries 

^  =  ?(',  H.  ^0,  70,  -0),         y  =  zi{t,  [X,  Xa,  y„,  zo),         z  =  ^^{t,  \i.,  Xo,  yo,  s^) 
{')   Voir  aux  Notes,  Séries. 


ET    LES    ÉQUATIONS    DE    LA    DYNAMIQUE.  278 

qui  définissent  ar,  }'  el  z  pour  les  valeurs  suffisamment  petites  de  p.,  Xa,  Vu,  ^n, 
et  quand  j  <  |  <  p,  p  étant  le  rayon  de  convergence  de  ces  séries.  Si  donc  (,  est 
un  point  intérieur  au  cercle  de  convergence  et  si  x,,  y,  et  Zi  sont  les  valeurs 
dex,  7  et  G  pour  t  =  <i,  on  voit  que  Jîi,  j'i  et  Cl  sont  des  fonctions  holomorphes 
de  [x,  Xo,  J'u  et  z„,  c'est-à-dire  développables  suivant  les  puissances  de  ces 
variables  si  elles  sont  assez  petites. 

Soient  ensuite  j;%  y"  et  z"  les  valeurs  de  x, ,  j',  et  Zi  pour 

iji  =  Xo  =  J'o  =  Zo=  o. 

Cela  posé,  on  aura  dans  le  voisinage  du  point  t  ^  tf 

i    a;  =  ?'(«  — ^,  ,u,  xi— xj,  7,— /?,  =1— ^î), 

(3)  I  .x  =  ç',(<-<i>  K, -^i-^î.  ri-rî. -i-3Ï)> 

(    -  =  'r'-i((  —  'i>  1^1  ^1  — •'^î>  Xi—  y^i,  -zi—  =?)• 

Les  séries  cp',  cp',  el  cp'„,  tout  à  fait  analogues  aux  séries  (y,  91  et  cp^,  sont  définies 
comme  il  suit. 

Elles  satisfont  aux  équations  différentielles;  elles  sont  développées  suivant 
les  puissances  de  t  —  tt,  p.,  Xi  —  x%  y,  — y"  el  z,  —  c"  ;  elles  se  réduisent  àx\, 
y\  et  Zi  pour  t  ^=  ti. 

Elles  convergeront  si  fi,  Xi  —  xi,  y, — yl,  z, —  5°  sont  assez  petits  et  si 
\  t  —  <i  I  <  pi,  p(  étant  le  raj'on  du  nouveau  cercle  de  convergence  Ci. 

Si  t  est  un  point  intérieur  à  ce  nouveau  cercle  de  convergence  C),  on  voit 
que  x,  y  el  z  seront  fonctions  holomorphes  de  ft,  x^  —  ^',',  JKi  — y"  et  5,  —  s°. 
Mais  Xi  —  x'',  )i  — yl,  s,  — z'I  sont  déjà  fonctions  holomorphes  de  p.,  Xu,  j'o,  ~o- 
Donc,  pour  tout  point  t  intérieur  au  cercle  Ci,  les  trois  quantités  x,  y  el  z 
sont  des  fonctions  holomorphes  de  p,  Xg,  jKo  ^0  développables  selon  les 
puissances  de  ces  variables  si  elles  sont  assez  petites. 

Supposons  maintenant  que  le  point  C  soit  extérieur  au  cercle  Ci,  le  théorème 
sera  encore  vrai;  il  est  clair  en  effet  qu'il  suffit  pour  le  démontrer  pour  une 
valeur  quelconque  de  t,  de  répéter  le  raisonnement  précédent  un  nombre 
suffisant  de  fois,  pourvu  que  les  rayons  pi,  p;,,  .  .  .  des  cercles  de  convergence 
envisagés  successivement  restent  supérieurs  à  une  quantité  donnée. 

Cette  convergence  sera  d'ailleurs  uniforme  pour  toute  valeur  de  t  inférieure 
à  ta,  quelque  grand  que  soit  <o- 

On  ne  serait  arrêté  que  dans  un  cas. 

Le  théorème  de  Cauchy  cesse  d'être  vrai  si  les  fonctions/,  el/3  ne  sont  plus 
H.  P.  —  VII.  35 


2^4  SUR    LE    PROBLÈME    DES    TROIS   CORPS 

holomorphes  en  x,  y,  -;  par  exemple  si  elles  deviennent  infinies,  ou  cessent 
d'être  uniformes. 

Si  l'on  ne  peut  pas  développer  les  fonctions/,/!  et/^  suivant  les  puissances 
croissantes  de  fx,  de  x  —  x",,  r — yl,  s  —  s",  il  n'existera  pas  en  général  trois 
séries  cp',  (f\  et  cp!,  de  la  forme  (3)  satisfaisant  aux  équations  différentielles. 

On  dit  alors  que  le  point 

est  un  point  singulier. 

Si  donc,  en  faisant  variera,  on  voyait  le  point  mobile  (x.  y,  z)  passer  par  un 
point  singulier,  notre  théorème  serait  en  défaut.  Si  t  variant  depuis  t  =  o 
jusqu'à  t  :=  t„,  le  point  mobile  {x,  y,  z)  ne  passe  par  aucun  point  singulier,  le 
rayon  de  convergence  de  la  série  de  Cauchy  ne  pourra  s'annuler  et  l'on  pourra 
lui  assigner  une  limite  inférieure,  de  sorte  que  les  trois  fonctions  a",  y,  z  seront 
développables  suivant  les  puissances  de  /ji,  x„,  y^,  z„  pour  toute  valeur  de  t 
inférieure  à  ^o-  Mais  si  pour  t  =  to,  le  point  (x,  y,  z)  se  confond  avec  un  point 
singulier,  le  théorème  cessera  d'être  vrai  pour  les  valeurs  de  t  supérieures  à  ^i,. 

Notre  théorème  comporte  donc  un  cas  d'exception.  Mais  ce  cas  ne  se 
présentera  pas  dans  le  problème  des  trois  corps  et  nous  n'avons  pas  à  nous  en 
inquiéter.  Soient  en  effet  {x,,  y^,  z.,  ),  {x^,  y.,,  Zo),  {x,,,  y,,,  5;,)  les  coordonnées 
des  trois  corps,  /••.:!,  /'m,  /'io  leurs  distances  mutuelles,  rtii,  m.,  et  m^  leurs 
masses.  Les  équations  du  problème  seront  de  la  forme  suivante  : 

dt-    ~  rï',  r~{. 

Le  second  membre  de  cette  équation  ne  pourrait  cesser  d'être  holomorphe 
en  Xi,  yi,  Si,  Xi,  y-i,  Sa,  x.,,  j:,,  Zn,  que  si  l'une  des  trois  distances  T;;,,  /'i^,  ru 
venait  à  s'annuler,  c'est-à-dire  si  deux  corps  venaient  à  se  choquer.  Or  nous 
n'appliquerons  jamais  notre  théorème  que  quand  on  sera  certain  qu'un  pareil 
choc  ne  peut  se  produire. 

Le  même  résultat  peut  encore  être  établi  d'une  autre  manière.  Reprenons  les 
équations 

dx       j.,  ,         dv       ,  dz        .  . 

^  =/(-^,  7,  2.  H-),      ^  = /i(^>,y> ->  h),       ^  =/(a;,  r,  z,  (^)- 

Les  fonctions  /,  /i,  [2  pourront  en  général  être  développées  suivant  les  puis- 
sances croissantes  Ae  x  —  x,,,  j  —  jo,  3—3,,,  f-t  — po  pour  les  valeurs  de  x,  y, 
z  et  (A  suffisamment  voisines  de  :ro,  y^,  z»  et  /jl,,-  S'il  existe  un  système  de 


ET  LES  ÉQUATIONS  DE  LA  DYNAMIQUE.  276 

valeurs  de  Xo,  y»,  Zo,  i-i-i,  pour  lequel  cela  n'ail  pas  lieu,  je  dirai  que  ce  système 
de  valeurs  est  un  des  points  singuliers  de  nos  équations  différentielles. 

Cela  posé,  ces  équations  admettront  une  solution  telle  que  x,  y  et  z 
s'annulent  avec  t;  et  cette  solution  dépendra  manifestement  de  fi.  boit 

cette  solution.  Il  résulte  de  la  définition  même   de  cette  solution  que  l'on  a, 

quel  que  soit  ^j.  : 

to,(o,  ix)  =  (02(0,  n)  =  0)3(0,  ji)  =  o. 

Dans  la  plupart  des  applications,  on  pourra  effectuer  l'intégration  pour  fx  ^  o, 
de  telle  sorte  que  les  fonctions  oj,(;,  o),  r^y^it,  o),  ^^^{t,  o)  seront  connues.  Je 
suppose  que,  pour  aucune  des  valeurs  de  t  comprises  entre  zéro  et  Ci,  le 
système  de  valeurs  c.)i(^,  o),  wa(<,  o),  ('>j{t,  o),  o  ne  soit  un  point  singulier  de 
nos  équations  différentielles. 

Pour  employer  un  langage  incorrect,  mais  commode,  je  dirai  que  la  solution 
particulière 

x=  M,(t,  o),  y  =  0>i{t,  o),  z  =  l»3{t,  o), 

ne  passe  par  aucun  point  singulier. 

Si  cela  n'avait  pas  lieu,  nous  nous  trouverions  dans  le  cas  d'exception  dont 
j'ai  parlé  plus  haut. 

Si  au  contraire,  cela  a  lieu,  ce  que  je  supposerai,  je  dis  que  les  expressions 
wi('i,  (J-),  W2('i,  i^),  W;i(<i,  f)  sont  des  fonctions  de  p.  développables  suivant 
les  puissances  croissantes  de  cette  variable. 

Posons  en  effet 

X  =  ^  ~i-   Uii(t,    o),  y  =  7)  -t-  W2(<,    o),  3   =   Ç  -H  W3(/,   o), 

les  équations  différentielles  deviendront 

(4)      ^  =  9(5. -i,  î,  <,  |i),        -^  =  ?i(l,  ■'•il  ç,  <,  1^),        -^]  =  9'-(^, -n,  l,  t,  II). 

Il  résulte  de  l'hypothèse  que  nous  avons  faite  que  pour  toutes  les  valeurs 

de  t  comprises  entre  zéro  et  t, ,  les  fonctions  9,  cp,  et  cp^  peuvent  être  développées 

suivant  les  puissances  de  ^,  0,  Ç  et  jn,  les  coefficients  du  développement  étant 

des  fonctions  du  temps. 

J'observe  de  plus  que  pour  |j.  =  o,  les  équations  différentielles  doivent  être 
satisfaites  pour 

ç  =  ^  =  ^  =  o. 


276  SUR   LE   PROBLÈME    DES   TROIS   CORPS 

es  qui  veut  dire  que  9,  91  el  92  s'annuleul  quand  |j:,  5-  'n,  K  s'aanulenl  à  la  fois. 
On  pourra  alors  trouver  deux  nombres  positifs  M  et  a  tels  que,  pour  toutes 
les  valeurs  dut  comprises  entre  zi^ro  ct^i,  chaque  coefficient  du  développement 
de  o,  9i  ou  93  suivant  les  puissances  croissantes  de  f,  v,  K  et  p.  soit  plus  petit 
en    valeur    absolue    que     le    coefficient    correspondant    du    développement 

,         M(E -4-T, -I- ^  +  u)  /•      ,  •       ■  1  cr    ■       .  j       .     j 

de ^77 y         ,  ou    a    jorttori    que    le    cuetlicient   correspondant   du 

I  3t(Ç-l-T,  -I-Q-I-IX)  •'  1  ^ 

développemcut  de 


.\(K  ^  V  ..N_  M(g -t--n ■+-;-i-[x)[i-i-a(E  +  -n  + ; -H g.)] 


Comparons  donc  les  équations  (4)  aux  suivantes  : 

(5)  3  =  j  =  ^=«=,„,., 

La  solution  des  équations  (4).  qui  est  telle  que  4;  'n  el  K.  s'annulent  à  la  fois 
pour  f  :=  G,  s'écrit 

5  =  (0,(/,  u )  —  (.),(/,  o),  7)  =  w,  (?,   u)  —  iM-i(t,  o),  ;  =  0)3(Z,  (Jl)  —  ^^H{t,  o). 

Dun  autre  côte  les  équations  (à)  admettent  une  solution 

telle  que  ;,  /),  t,  s'annulent  avec  t. 

En  raisonnant  comme  l'a  fait  Gauchj,  on  verrait  que  si  (•)'(/,  p)  est  dévelop- 
pable   suivant   les  puissances  croissantes  de  p,   il  doit  en  être  de  même   de 

(i),(<.  p.)  —  wi  (^,  o),  ti)2  (<,  /J-)  —  f^-i{t-,  o),  '■-.),,(<,  p.)  —  &>:;(<,  o),  et  que  chaque 
coefficient  du  développement  de  ces  trois  dernières  fonctions  est  plus  petit  en 
valeur  absolue  que  le  coefficient  correspondant  de  w'(f,  p.),  au  moins  pour 
toutes  les  valeurs  de  t  telles  que  o<  <  <C  'i-  Or  les  équations  (5)  sont  faciles  à 
intégrer  et  l'on  vérifie  aisément  que  tij'(z,  p)  peut  se  développer  suivant  les 
puissances  de  p.  Donc  |,  0  et  Ç  sont  également  développables  suivant  les 
puissances  de  p.  pourvu  que  o  <  ^  <  '<•  c.   q.   f.  d. 

TiiÉORiiME  III.  —  Cela  posé,  so/t 

X  =  M,{t,  ;x,  Xo,  y,„  z„),        y  =  '<>^(t,  }!,  Xo,  j'o,  Zo,)        s  =  "'ait,  1^,  ^0,  J'o,  -so) 
celle  des  solutions  île  nos  équat/nns  différentielles,  ijui  est  telle  que 

X  =  xo,      y==yo!      z  =  zi) 

/lour  t  =  o. 


ET    LES    ÉQUATIONS   DE   LA    DYNAMIQUE.  277 

Considérons  les  fonctions 

(Oi(Zi-f-  -,  [X,  Xa,  fo,  So),  (i>«(ti-i-T,  [X,  Xo,  fo,  So),  0J:,(<i-4-  T.  ix,  x„,   )  „,  ^0  )• 

Je  dis  gabelles  sont  développables  suivant  les  jniissances  de  p.,  x^,,  Vo,  -o  s'  '^ 
pounni  que  ces  quantités  soient  suffisamment  petites. 

Posons  en  effet 

,'1-1-  - 

X  =  X  -\-  Xa,        |-  =  >•  -H  j'o,       z  =  z  -^  za,        t  =  t   —, 

'1 


Nos  équations  deviendront 

^  =  M  +  ^J  /(j'-l-.ro,.)'-+-Jo,  z' -{-Zi,,  \x), 


ctx 

w 

lu 


f  1+  M.ACj'-I-^o,  /'  +  Jo,  ^'+-0,  J^). 


Ces  équations  contiennent  cinq  paramétres  arbitraires,  à  savoir  p.,  x„,}\fi  z„,  z. 
Considérons  donc  la  soUuion  de  ces  équations  qui  est  telle  que  -c',  y',  z' 
s'annulent  avec  t'  ;  soit 

x'  =  i-'i'iU' ,  \x,  x„,  yt,,  Zu,x),  y  =  m',{1' ,  [x,  x„,  yo,  z„,-z),  z'=m'-(1',  ji,  Xo,  yo,  ^o,  t), 
Il  résulte  de  ce  que  nous  venons  do  voir  c|uo  si  l'on  fait  ?'=  ti  les  expressions 

to',(/,,  u,  Xo,  .)o,  z„,  t),  lo'-ii'i,  IX,  Xo,  fo,  Zo,  -),  oi'r.i'ij  l^>  -^'oi  ,)o>  ~'>i  ~) 

sont  développables  suivant  les  puissances  de  p.,  Xa,  y„,  Zo  et  t.  Mais  il  est 
manifeste  que  l'on  a 

(    "-"'iCb  !-')  "«^o,  .)  u,  =0,  -)  =  tO|(<, -t-T,  ;J.,  Xo,  J'c,  ^o)- 
(6)  l  o)o(<i,  fi,  Xo,  Jo,  :;o,  -)  =  w.,(?i-(--,  jx,  j;o,  Jo,  =0), 


|J.,  Xo,  ,)  0,  ;o,  ")  =  w.-i(']  +  t,  IJ.,  -ro,  Jo,  -o)- 


Donc  les  seconds  membres  des  équations  (6)  sont  également  développables 
suivant  les  puissances  de  p,  Xo,  j'o,  ^o  fl  "•  c.  q.  f.   d. 

Théorème  IV.  —  Caucliy  a   tiré  du  calcul  des  limites   un  autre  théorème 
d'une  extrême  importance. 
Voici  quel  est  ce  théorème  : 

Si  l'on  a  n  -{- p  quantités  yi,  y-i;  •  •  • ,  J'«,  Xi,  x->,  .  .  . ,  Xp  entre  lesquelles 
ont  lieu  n  relations 

i   /'(fu  }'■!,    ••■:  .Vn,  3:,,  Xi,    ...,  Xf,)  =  0, 
,     ,  )    /^(/l,  y2,    .  ■■,  Xn,  ^h  X-i,    ...,  X,,)  =  O, 

/nifi)  fit  •  •  •  !  J'ni  -^Ii  ^2,    •  ■  •  j  Xy,)  =  o; 


278  SUR  LE  PROBLÈME  DES  TROIS  CORPS 

s/  les  f  sont  déi'eloppables  siiivanl  les  puissances  des  x  cl  des  y  et 
s'annulent  avec  ces  n  +  p  variables; 

si  enfin  le  déterminant  fonctionnel  des  /  j>ar  rapport  aux  y  n'est  pas 
nul  quand  les  x  et  les  y  s'annulent  à  la  fois; 

on  pourra  tirer  des  équations  (7)  les  n  inconnues  y  sous  la  forme  de 
séries  développées  suivant  les  puissances  croissantes  de  Xi,  x^,  ■  ■  ■ ,  Xjj. 

Considérons  en  effet  ^j  comme  la  seule  variable  indépendanle,  x-xtX.^,  •■■iXp 
comme  des  paramètres  arbitraires,  nous  pourrons  remplacer  les  équations  (7) 
par  les  n  équations  différentielles  : 

(8)  -T^  -i ^  i^  -, ^•••-^  77^  TT^  +  77^  =0         (J  =  i,  2,  ...,  n). 

rt>i   dx^        avi   tixi  dy„   dx\        dxi 

Nous  sommes  ainsi  ramené  au  cas  dont  nous  venons  de  nous  occuper. 

En  particulier  si  f{y,  Xi,  Xn,  . . .,  x,,)  est  une  fonction  développable  suivant 
les  puissances  de  y,  Xi,  x^,  .  .  . ,  x„  ;  si  quand  les  x  et  y  s'annulent  à  la  fois, 
on  a 

si   enfin    )-   est   défini   par  l'égalité  f=o,  y   sera    développable   suivant   les 
puissances  de  x. 

Il  nous  resterait  à  examiner  ce  qui  se  passe  quand  le  déterminant  fonctionnel 
des  /  par  rapport  aux  y  est  nul.  Cette  question  a  fait  l'objet  de  recherches 
nombreuses  sur  lesquelles  je  ne  puis  insister  ici,  mais  au  premier  rang 
desquelles  il  convient  de  citer  les  travaux  de  M.  Puiseux  sur  les  racines 
des  équations  algébriques.  J'ai  eu  moi-même  l'occasion  de  m'occuper  de 
recherches  analogues  dans  la  première  partie  de  ma  Thèse  inaugurale  (Paris, 
Gauthier-Villars,  1879)  (').  Je  me  bornerai  donc  à  énoncer  les  théorèmes 
suivants,  en  me  bornant  à  renvoyer  pour  les  démonstrations,  soit  aux  traités 
classiques,  soit  à  ma  thèse. 

Théorème  V.  —  Soit  y  une  fonction  de  x  définie  par  V équation 

(9)  /(,ri-»)  =  o, 

oii  f  est  développable  suivant  les  puissances  de  x  et  de  y. 
(')  Œuvres  de  II.  Poincaré,  t.  I,  p.  n.. 


ET   LES    EQUATIONS    DE   LA   DYNAMIQUE.  271) 

df      d-  f  rf™— 1  f 

Je  suppose  que  pour  x  =y  ^  o,  /s'annule  ainsi  que  --,-  >  -r^i  •  •  •  >    ,  ^_,i 

dm  f 

mais  que  -r^  ne  s'annule  pas. 

Il  existera  m.  séries  de  la  forme  suivante  : 

1  2  n 

(10)  y  =  aix" -\- anx" -h  a^x" -^- . . . 

(où  n  est  un  entier  positif  et  où  O),  «o  ...  sont  des  coefficients  constants)  qui 
satisferont  à  l'équation  (g). 

Corollaire  I.  —  Si  la  série  (lo)  satisfait  il  l'équation  (g)  il  en  est  de  même 
de  la  série 

y  =  a^ax"  ■+■  an^-x"  ■+-  ar^a^x"  -h.  . ., 

OÙ  a  est  une  racine  n^'"'"  de  l'unité. 

Corollaire  II.  —   Le  nombre    des  séries  de  la  forme  (lo)    développées 

1 
suivant  les  puissances   de  x"  (sans    pouvoir    être    développées   suivant  les 

1 
puissances  de  a?'',  p  <C.  n)  est  divisible  par  n. 

Corollaire  III.  — ■  Si  A\ni  est  le  nombre  des  séries  (lo)  développables 

1 
suivant  les  puissances  de  a:"',  si  k^n.,  est  le  nombre  des  séries  (lo)  dévelop- 

1 
pables  suivant  les  puissances  de  x"',  ....  si  kj,np  est  le  nombre  des  séries  (lo) 

développables  suivant  les  puissances  de  x"p,  on  aura 

A',  /i I  +  A'» «2  -H . . .  +  kpHf,  =  m, 

d'où  l'on  conclut  que  si  m  est  impair,  l'un  au  moins  des  nombres  n^,  n,.  .  .  • 
np  est  aussi  impair. 

Théorème  VI.  —  Si  l'on  a  les  équations 

i/iiyuyi,  ■■■■,  yp-  ^)  =  o, 
/--{y^yu  ■■■,yp,  x)  =  o, 
fp(ru.n,  ■■■, yp,  x)  =  o, 

dont  les  premiers  membres  sont  développables  suivant  les  puissances  des  y 
et  de  X  et  s'annulent  avec  ces  variables ,  on  pourra  toujours  éliminer  entre 
ces  équations y^,  y^,  .  .  . ,  y^  et  arriver  à  une  équation  unique  fi^y^,  a;)  =  o 
de  même  forme  que  l'équation  (9)  du  théorème  précédent. 


28o  SUR    LE   PROBLÈME   DES   TROIS   CORPS 

11  n'y  aiirail  d'excej>tion  que  si  les  (^(jualions  (i  i)  cessaient  d'iHre  dislincles. 

CoROLLAlRK    DES    TIIÉOUÈMES   V   ET  VI.    —    Lc    iflCOVCUle   IV   s'upplujUe   tOUteS 

les  fois  que  le  déterminant  fonctionnel  des  f  n'est  pas  nul,  c'est-à-dire 
toutes  les  fois  que  quand  les  x  s'annulent,  les  équations 

(7)  /.=./".  =  ...=/„  =  o 

admettent 

Vi=  r2  =  . .  .  =  j)'„  =  o 

comme  une  solution  simple. 

II  résulte  des  théorèmes  V  et  VI  et  de  leurs  corollaires  énoncés  plus  haut  que 
le  théorème  IV  est  encore  vrai  si  cotte  solution  est  multiple,  pourvu  que 
l'ordre  de  inultiplicilé  soit  impair. 


3.  —  Applications  du  calcul  des  limites  aux  équations 
aux  dérivées  partielles. 

Cauchy  avait  déjà  appliqué  le  procédé  du  calcul  des  limites  aux  équations 
aux  dérivées  partielles.  M""'  Kowalevski  a  considérablement  simplifié  la 
démonstration  de  Cauchj  et  a  donné  au  théorème  sa  forme  définitive. 

Voici  en  quoi  consiste  le  théorème  de  M""-'  Kowalevski  (^Journal  de  Crelle, 
t.  80). 

Considérons  un  système  d'équations  aux  dérivées  partielles  définissant 
n  inconnues  zi,  Sn,  .  .  . ,  5„  en  fonction  de  p  variables  indépendantes. 

Supposons  que  ce  système  s'écrive 

r/z,  '  .    I  r/z,  fizi  ./;,  \ 

dxi  \  ax.2  dx:i  '/■i'iij 

riz.  (  riz,  rlzi  ,lz,  \ 

(l)                               <  (Ixi  \  fix-i  rix)  ilxp  I 


c1z„  l  (Izi     rlzi  rizi 

axt  \  rlxi     dx,  rlx^, 

f  if  fil  ■  •  -1  fn  étant  développés  suivant  les  puissances  de  .r, ,  x-^,  .  .  . ,  t,,  el  des 

-j «,7,  (<  prend  les  valeurs  i ,  2,  ...,  n\  k  les  valeurs  2.3,  .  .  . ,  p\  enlin  les  a,/, 

sont  des  constantes  quelconques). 
Soit  maintenant 

••}'l(«2,   J^n,     ..  .,   a^/,))       <}'2(-^2l   ^3,    .  .  .,   ^Z-),        ••■,       ■i^niX^i,   Xi,    .  ..,   Xp) 


ET   LES   ÉQUATIONS    DE   LA   DYNAMIQUE.  281 

n  fonctions  données  quelconques,  développées  suivant  les  pjiiissances  crois- 
santes de  a?2,  373,  .  .  . ,  Xp  et  telles  que 

-f—  =  i^ik  pour     Xi=  X:i  =  .  .  .=  Xp=  o. 

Il  existe  n  fonctions 

développables  suivant  les  puissances  de  Xi,  x-j,  ....  Xp,  qui  satisferont  aux 
équations  (i)  et  qui  se  réduiront  respectivement  à  ili,  ^2,  •••)  '^npour  Xi=  o. 

J'ai  moi-même  cherché  à  étendre  les  résultats  obtenus  par  M""  Kowalevski 
[Thèse  inaugurale  ('),  Paris,  Gauthier- Villars,  1879)  el  j'ai  étudié  en  détail  les 
cas  que  la  savante  mathématicienne  avait  laissés  de  côté. 

Je  me  suis  attaché  en  particulier  à  l'équation 

(Iz  dz  dz 

^  f/j-i  dx«  dj„ 

OÙ  Xi,  X2,  .  .  . ,  X„  sont  développés  suivant  les  puissances  de  x^,  x^,  .  .  . ,  Xn', 
je  suppose  de  plus  que  dans  le  développement  de  X(,  Xo,  .  .  .,  X„,  il  n'y  ait 
pas  de  terme  tout  connu  el  que  les  termes  du  premier  degré  se  réduisent  res- 
pectivement à  liXi,  l^x-x,  ....  y.nXn,  de  telle  sorte  que 

X,=  X,j-,— Y,, 

Y,  désif^nant  une  suite  de  termes  du  deuxième  degré  au   moins  par  rapport  à 

•^ \  j  •^i  î  *  •  •  ï  '^ n  • 

J'ai  démontré  qu'à  certaines  conditions  cette  équation  admet  une  intégrale 
holomorphe  développable  suivant  les  puissances  de  Xi,  x-2,  .  .  . ,  Xn- 

Pour  que  celte  intégrale  existe,  il  suffit  : 

1°  que  le  polygone  convexe  qui  contient  les  n  points  li,  1-2.  ...,  )h  ne 
contienne  pas  l'origine; 

2°  que  l'on  n'ait  aucune  relation  de  la  forme 

/««Xo-f-.  .  .-t-  /«„X„=  Xi, 
oii  les  m  sont  des  entiers  positifs  dont  la  somme  est  plus  grande  que  i  (-'). 


(')  Œuvres  de  If.  Poincaré,  t.  I,  p.   11., 

(-)  Dans  ma  thèse,  je  n'énonce  pas  cette  restriction  et  je  ne  suppose  pas  que  la  somme  des  ai 
soit  plus   grande    que    i.    Il    semblerait  donc  que   le    théorème  est  en  défaut   quand  on  a   par 
H.  P.  —  VII.  36 


282  SUR   LE    PROBLÈME   DES   TROIS   CORPS 

Je  vais  chercher  à  généraliser  le  résultat  obtenu  dnns  ma  thèse. 
Au  lieu  de  l'équation  (2)  envisageons  l'équation  suivante  : 

fiz  f^z  dz  dz 

dt        '     dx\       '  '  dx^       '"'         "  dx„ 

Nous  avons  encore 

X(=  '/.iX,  —  \i, 

Y,-  désignant  une  fonction  développée  suivant  les  puissances  Xi,  x^,  .  .  . ,  x„  et 
ne  comprenant  que  des  termes  du  deuxième  degré  au  moins  par  rapport  à 
ces  n  variables.  Mais  Y,-  ne  dépendant  pas  seulement  des  j:,  il  dépend  aussi  do  C, 
de  sorte  que  les  coefficients  du  développement  de  Y,  suivant  les  puissances 
des  X  sont  des  fonctions  de  t.  Nous  supposerons  que  ce  sont  des  fonctions 
périodiques  de  t  de  période  2  tt  développées  suivant  les  sinus  et  cosinus  des 
multiples  de  t. 

Je  me  propose  de  chercher  dans  quel  cas  l'équation  (3)  admettra  une  inté- 
grale holomorphe  développée  suivant  les  puissances  de  a?,,  x^,  .  .  . ,  a;„  et  telle 
que  les  coefficients  du  développement  soient  des  fonctions  périodiques  de  t. 

Voyons  d'abord  quelle  va  être  la  forme  de  Y,-.  Nous  allons  développer  Y, 
suivant  les  puissances  croissantes  de  Xi,  x^,  ...,  x„;  considérons  le  terme 
en  wC^'Xj' .  .  .  T^". 

Le  coefficient  de  ce  terme  étant  une  fonction  périodique  de  t  pourra  se  déve- 
lopper suivant  les  sinus  et  cosinus  des  multiples  de  t,  ou  ce  qui  revient  au 
même  suivant  les  puissances  positives  et  négatives  de  e'^~'. 

Nous  pourrons  donc  écrire 

Yi=  S  C-.p. ,,«„..«„  e?'\^'x'i'xf- . . .  xl". 

Les  C  sont  des  coefficients  constants;  (3  est  un  entier  positif  ou  négatif;  aj, 
Ko,  ■  .  ■ .  <Xn  sont  des  entiers  positifs  tels  que 

ai  H-  oo -I- .  .  . -I-  «„  ^  2. 

exemple  >.j=  >.,.  Il  n'en  est  rien.  Si  l'on  avait 

ni,).,-H. . .-)-  /»„).„=  X,         (m,-+-  «13-1-. .  .-t-  »i„>  1)1 

A  .  . 

certains  coefficients  du   dcveloppement   prendraient  la   forme  —  et  deviendraient   infinis.   C'est 

pour  celte  raison  que  nous  avons  du  supposer  qu'une  pareille  relation  n'a  pas  lieu.  Si  l'on  avait 

au  contraire  À,  =  À,  certains  coefficients  prendraient  la  forme  -• 


ET    LES    ÉQUATIONS    DE    LA    DYNAMIQUE.  283 

J'écrirai  aussi  quelquefois  en  supprimant  les  indices 

Y,=  SCe3'»'^a:î'.rî'...:r^. 
Posons  maintenant 

el  envisageons  l'équation  suivante  : 

(4)         (v,x,_y'.)^+(//.^«.-y',)^-^...  +  (>4^.-y;,)|^  =  x'.z. 

Dans  cette  équation  -^  n'entre  plus;  nous  pouvons  donc  regarder  l  comme 
un  paramétre  arbitraire  et  Xi,  Xj,  .  .  .,  Xn  comme  les  seules  variables  indé- 
pendantes. Si  donc  les  quantités  X',,  A',,  .  .  .,  X'„  satisfont  aux  conditions  que 
nous  avons  énoncées  plus  haut,  l'équation  (4)  [cjui  est  de  même  forme  que 
l'équation  (2)]  admettra  une  intégrale  holomorphe. 

Nous  supposerons 

X',  =  /.;  =  ...=  >,;,. 

Nous  supposerons  de  plus  \\  réel  el  positif. 
Cela  posé,  soit 

(5)  =  =  i:A;ia,,,..«„e?'>'=î./-î'.r?=...,r^ 

une  série  satisfaisant  formellement  à  l'équation   (3).    Comment   pourra-l-on 
calculer  les  coefficients  A  par  récurrence  ? 
En  écrivant  l'équation  (3)  sous  la  forme 

dz        .  dz  .  dz         ,  „    dz        „     dz  .,     dz 

-j-  +  Aia;i-j h. .  .-+-  K„x„-j A,  3  =  Y,  -; h  \._- h. . .+  \,i-r~ 

ai  dXi  dx„  dx\  dxi  dx„ 

et  en  identifiant  les  deux  membres,  on  trouve 

Ap. «,:<,. ..a„[p  v'-^-t-'^ai-l-  X,»., -I- ... -f- X„  «„—),,  ]  =  P[C,  A], 

P[C,  A]  étant  un  polynôme  entier  à  coefficients  positifs  par  rapport  aux  C  et 
aux  coefficients  A  déjà  calculés. 
Soit  maintenant 

(6)  ;  =  ï  Ap.„,a,...<x„  e^-^?'x'',^xf. . .  xl" 

une  série  satisfaisant  à  l'équation  (4).   Pour  calculer  les  coefficients  A'  nous 
écrirons  l'équation  (4)  sous  la  forme 

^ ,         dz        ,  ,         dz  ,  dz  dz  dz  d^ 

X',  a;,  -=—  +  X'j  rrs  -5—  -4- . . .  -H  X'„ x„  -j^  -  X',  :  =  Y',  ^  -+-  Y'„  -Ç^  + . .  .  -h  Y'  i^ . 
dxi  dx^  "       dx„  '  dxi  -  dx-,.  "  dx,, 


■iS4  SUR    LE   PROBLÈME    DES   TROIS   CORPS 

En  ideatillanl  les  dou\  membres,  nous  trouverons 

\'i.x,y^,...a„p-'<^'-+- À2  3ij  +  ----i->.;,x„—  À', I  =  P[ ; ci,  A']. 

P[  C  ,,  A']  ne  dili'ore  de  P[C,  A]  que  parce  que  les  C  sont  remplacés  par  leurs 
modules  et  les  A  par  les  A'. 

Les  V  étant  réels  positifs  ainsi  que  les  coeflicients  du  poljnouie  P,  les  A' 
seront  ainsi  réels  et  positifs. 

Pour  que  Ion  ait  ensuite 

I  "^li.ct,tt,...x„  \  <!  \p.a,o(....a,.j 

11  suflit  que  Ion  ait  toujours 

.  .-I-   X;,2„—  X',  <   I   p  V'—  I  +   XiOi-l-  ),2a.2  4-.  .  .-h  X„3(„—  ),1  I 


A ,  «i  -I-  /,.,  a.2 


(7) 


[3  V/—  I  -)-).,(«,  —  l)  -4-  X2«2-t--  •  •+  X„0!„ 

(ai  —  1)  + a» -»-...  +  «„ 


Si  l'on  a  choisi  >,',  de  façon  à  satisfaire  à  l'inégalité  (7),  on  aura  donc 
1A|<A'. 

Or  la  série  (6)  converge,  donc  il  en  sera  de  même  de  la  série  (5). 

Ainsi  donc  pour  que  la  série  (5)  converge,  il  suflit  qu'on  puisse  trouver  une 
quantité  positive  À',  satisfaisant  à  l'inégalité  {'j)  pour  toutes  les  valeurs  entières 
et  positives  des  «,  et  pour  toutes  les  valeurs  entières  positives  et  négatives  de  (3. 

Commençons  par  remarquer  que  le  second  membre  de  l'inégalité  (7)  est 
toujours  plus  grand  que 

\/—  I  -1-  X I  (  a I  —  I )  -+-  X.  a.  -I-  .  .  .  -I-  X „  a„  ' 


(8) 


IM  +  («i 


i)  -f-  ao- 


II  suffira  donc  que  }.',  soit  plus  petit  que  l'expression  (8).  Or  cette  expres- 
sion (8)  est  le  module  d'une  certaine  quantité  imaginaire  représentée  par  un 
certain  point  G.  Or  11  est  aisé  de  voir  que  ce  point  G  n'est  autre  chose  que  le 
centre  de  gravité  des  n-\-2  niasses  suivantes  : 

1°  n  masses  égales  respectivement  à  «i,  a^,  .  .  . ,  a,i  et  situées  respectivement 
aux  points  )^i,  ).2)  •  •  •  1  ^-n  ', 

2°  une    masse   égale   à  |  (3 1   et   située  soit  au  point  +  v' — •    soit  au  point 

-v/— ; 

3°  une  masse  égale  à  —  i  située  au  point  It. 

Toutes  ces  masses  sont  positives  à  l'exception  de  la  dernière. 


ET    LES    ÉQUATIONS    DE    LA   DYNAMIQUE.  .  285 

Il  faut  chercher  la  condition  pour  que  la  distance  OG  soit  toujours  supé- 
rieure à  une  certaine  limite  A',. 

Composons  d'abord  les  ii  +  i  premières  masses;  nous  obtiendrons  une 
masse 

M  =  a ,  +  a.,  -t- .  .  .  -1-  a„  -(-  ]  P  ] . 

située  en  un  certain  point  G'  et  comme  ces  n  -+- 1  premières  masses  sont  posi- 
tives, le  point  G'  sera  situé  à  l'intérieur  de  l'nn  ou  de  l'autre  des  deux 
polygones  convexes  qui  enveloppent,  le  premier  les  «  +  i  points  :  /i,/2,  ...,^./i 
et  -\-^/ —  I ,  et  le  second  les  n  +  i  points  :  Xj,  A,,  .  .  . ,  1„  el  —  y^ —  '  • 

Si  aucun  de  ces  polygones  convexes  ne  contient  l'origine,  on  pourra  assigner 
à  la  distance  OG'  une  limite  inférieure  p  et  écrire  OG'>/jl. 

Il  reste  à  composer  la  masse  M  située  en  G'  et  la  masse  —  i  située  en  >.,. 
On  obtiendra  ainsi  une  masse  M  —  i  située  en  G.  On  aura  évidemment 


OG>OG'-GG',        GG'=#^<    ^^'  °'" 


d'où 


M  —  I   "  M  —  I       M  —  r 


OG>OG'^l^-^>.^'-'         '''■' 


Si  donc 


iM  —  I        M  —  I  ^  '   M 


iM  >  hL±i^ 


l'inégalité 

(y;  0G>;^ 

sera  satisfaite. 

Il  n'y  a  donc  (ju'un  nombre  fini  de  combinaisons  des  nombres  entiers  : 
«I,  a.j,  .  .  . ,  a„,  (3  pour  lesquelles  l'inégalité  (g)  pourrait  ne  pas  être  satisfaite. 

Si  pour  aucune  de  ces  combinaisons  OG  n'est  nul,  nous  serons  certain  de 
pouvoir  assigner  à  OG  une  limite  inférieure  /.i. 

Nous  sommes  donc  conduit  à  la  règle  suivante  : 

Pour  que  Véquation  (3)  admette  une  intégrale  développable  suivant  les 
puissances  des  x  et  périodique  par  rapport  à  t,  il  suffit  : 

\"  qu  aucun  des  deux  polygones  convexes  circonscrits,  le  j)remier  aux 
points  Ài,  A2,  .  .  .,  \,i  et  -\-\/ —  i,  le  second  aux  points  Ai,  Ao,  .  .  .,  }„  e< 
— \J — I,  ne  contienne  Vorigine, 


28(i  SUR    LE    PROBLÈME    DES    TROIS   CORPS 

2"  qu^il  lî  V  ait  entre  les  quantités  1  aucune  relation  de  la  forme    • 

,3  y/ —  I  -H  ^1  Ài  -\-  a-^X,  + .  .  .-h  a„X„  =  Xi, 

les  X  étant  entiers  positifs  et  (3  entier  positif  ou  négatif. 

C'est  là  une  géuéralisation  du  lliéoréuie  démontré  dans  ma  Thèse.  Or  de  ce 
théorème  découlaient  un  certain  nombre  de  conséquences.  Voyons  si  l'on 
pourra  en  tirer  de  semblables  du  théorème  généralisé. 

Nous  allons  pour  cela  suivre  absolument  la  même  marche  que  dans  la  thèse 
citée. 

Considérons  l'équation 

,      ,  dz       ,.     dz        ..     dz  „     dz 

(10)  :77-'-^l-7 ^-^2-7 \-...-^\n-i =  O, 

dt  dX\  dxt  dx„ 

obtenue  en  supprimant  le  second  membre  de  l'équation  (3). 
Considérons  en  outre  l'équation 


O) 

dz       ^.     dz        ^.    dz 
dl              dxi             dx-i 

dx„ 

et  l'équation 

(■U 

dz        .,,     dz        ^     dz 

-y-    +  \l  -; h  X,  -; H  .  . 

dt              dxi             dXi 

UXn 

Si  les  >.  satisfont  aux  conditions  que  nous  venons  d'énoncer,  l'équation  (3) 
admettra  une  intégrale  z  =  Ti,  où  T)  est  ordonné  suivant  les  puissances  des  x 
et  périodique  par  rapport  à  t. 

De  même  l'équation  (11)  admettra  une  intégrale  z  ^  T.j,  où  T2  est  de  même 

forme  que  T,. 

1     _  j^ 

On  en  conclut  <|uu  l'équation  (10)  admet  une  intégrale  particulière  T/T,    '. 

Comme  on  peut  dans  le  second  membre  de  (3)  remplacer  successivement  If  z 
par /..,2,  l.iZ,  ...,  X„  3  et  qu'on  obtient  ainsi  «  —  1  équations  analogues  à  l'équa- 
tion (il),  on  peut  conclure  que  l'équation  (10)  admet  n  —  1   intégrales  parti- 

j^ 1^         1^         1^  _L_L 

culières  T','T,  '',  Tj'T,    ',  . . .,  T^'T,,  '",  où  T3,  T,,   .  .  .,  T„  sont  de  même 
forme  que  Tj. 

Pour  avoir  l'intégrale  générale  de  (10),  il  faudrait  posséder  encore  une  n'*"" 
intégrale  particulière.  Pour  cela  considérons  l'équation 

,     ^  dz       ..    dz  -.     dz 

('")  dî^^'di;-^--^^"di:  =  '- 

Cette  équation  admettra  comme  intégrale  particulière  2  =  e'. 


ET    LES   ÉQUATIONS   DE   LA   DYNAMIQUE.  287 

Nous  en  conclurons  que  l'équation  (lo)  admet  comme  intégrales  particulières 
T,  e^''',  To  e"'''',  .  .  . ,  T„  e~''"',  de  sorte  que  l'intégrale  générale  de  celte  équa- 
tion (10)  sera 

;  =  fonction  arbitraire  de  (Ti  £-'•>',  To  e-*"'',  ....  T^  e-''»'). 

En  d'autres  termes  les  équations  différentielles 

,         dxi        dxi  dxn 

Xi  X2  X„ 

admettront  comme  intégrale  générale 

T,=  K,e'-i',  T2=K2e'-.',         ....         T„  =  K„  e''"', 

K),  Ko,  .  .  . ,  K„  étant  n  constantes  d'intégration. 

Ce  tfiéorcme  peut  être  regardé  comme  la  généralisation  de  celui  que  j'ai 
démontré  à  la  page  70  de  ma  Thèse. 

Supposons  maintenant  que  nous  cherchions  à  déterminer  les  p  premières 
variables  x  à  savoir  x^,  Xo,  .  .  . ,  Xp  ^ïv  fonction  des  n  — p  autres  à  savoir  Xp^^. 
Xp^t,  .  .  . ,  a.-„  et  de  t,  à  l'aide  des  équations  suivantes  : 

dxi         ,  dxi  dx\  Y    dx\ 

-jT  +  ^P+'^  -jZ. '^  ^P^"-  -;jz 1-  ■  ■  •  +  A„  -T—  =  A,, 

Cil  ClXp-^\  (XXp^i  ^'■X  n 


dxi         ,  dxi  ,  dxi  „    dx 

,    „  ,  ;   —jr    ■+-  A/i+1  -} H  Xn+2  -} 1-  .  .  .  +  An  —j— 

(l3)  ^      dt  '  dXp^s,  '^         dXp^ï  dXn 


Xp-l-l  —j-^ h  Xp+2  -j-^ 1-  .  .  .  +  An     ,_      — ■  A, 

î^  +  X    +,     '^'^''      -I-  X    +.,     '^^''      -H  .  .  .  -I-  Xn  ^  =  X    . 

dt  ^      dxp^  I        '  P    -  dXp^'i       '  "  dXn  '"' 

Il  est  aisé  de  voir  que  l'intégrale  générale  des  équations  (i3)  s'écrira 

(l4)  Ç,=   Ç2=.  ..=   Çp=  G, 

tpi,  cp2>   •  ■  ■•  9p  représentant  p  fonctions  arbitraires  de  Tj  e^'^'',  T.,  e^'"',   .... 
Prenons  en  particulier 

Les  équations  (i4)  s'écriront 
(i4')  T,  =  T.,=  ...=  T^=o. 

Des  équations  (i4')  01  pourra  tirer  Xi^  x^,  .  ..,  Xp  en  fonction  de  Xp^^, 
Xp^^,  .  .  . ,  Xn  et.  t  el  l'on  verra  que  ce  sont  des  fonctions  holomorphes  par 
rapport  à  Xp^,,  Xp^^,  .  .  . ,  j;„  et  périodiques  par  rapport  à  t. 


288  SUR    LE    PROBLÈME    DES   TROIS   CORPS 

Donc  les  équations  (i3)  admellenl  une  solulion  développable  suivant  les 
puissances  croissantes  de  Xp+i^  ^p+»i  •  •  ■■,  oc,,  cl  suivant  les  sinus  et  cosinus  des 
multiples  de  t. 

Ce  théorème  est  démontré  quand  les  X  satisfont  aux  conditions  énoncées 
plus  liaut;  voyons  comment  on  pourra  l'étendre  aux  cas  où  ces  conditions  ne 
sont  pas  remplies.  Je  suivrai  pour  cela  la  même  marche  que  dans  la  IV"  Partie 
de  mes  recherches  sur  les  courbes  définies  par  les  équations  différentielles 
{Journal  de  Lioiiville,  ^'  série,  t.  2,  p.  i56-i5'j)  (  '  ). 

Proposons-nous  de  calculer  les  coeflicients  de  l'intégrale  holomorphe  des 
équations  (i3)  (à  supposer  que  cette  intégrale  existe)  et  à  cet  ellet  écrivons  ces 
é<|ualions  (i3)  sous  la  forme  suivante  : 

l/.lpf-l  (l.lp^-2  "J-li 

Soit 

une  (juelconque  des  fonctions  Yi,  \_.,  .  .  .,  \„,  ainsi  que  nous  l'avons  supposé 
plus  haut,  et  proposons-nous  de  calculer  les  p  fonctions  x,,  x^,  .  .  .,  Xp  sous 
la  forme 

Pour  calculer  les  coeflicients  A  par  récurrence,  substituons  les  séries  (i:)) 
dans  les  équations  (i3')  et  identifions  les  deux  membres.  Nous  aurons  pour 
calculer  A; 'j-xj^^o:^  l'équation  suivante  ; 

A,-.3.ïp^,x^,,...a„(>  V^— ^-+-  «/^t-i  A/<+i-+- a/5+2  V+2-»-.-  --t-anX»  — X,-)  =  P  [  C,  (—  C),  A], 

P[G,  ( — C),  A]  étant  un  polynôme  entier  à  coefficients  positifs  [)ar  rapport 
aux  coefficients  C  de  ^ii+u  ^i,+i,  •  •  • ,  Y,;,  aux  coefficients  C  de  \',-  changés  de 
signe  et  aux  coeflicients  A  déjà  calculés. 

Pour  qu'aucun  des  coeflicients  A  ne  devienne  infini  nous  devons  donc 
supposer  qu'il  n'y  ait  entre  les  \  aucune  relation  de  la  forme 

Cl6)  '^  v^— I -i- «/,+,  X/,+1 -t- «^4..,  X/;+2 -H  .  .  .-H  a„).„—  /.(=  o, 

où  les  y.  soient  entiers  positifs  et  [3  entier  positif  ou  négatif. 

C)  Œuvres  de  //.  l'oincaré,  t.  I,  p.  172. 


ET    LES    ÉQUATIONS   DE    LA   DYNAMIQUE.  289 

Cela  posé  soit  /.'  une  quantité  positive  que  nous  déterminerons  plus  complè- 
tement dans  la  suite. 
Soit  ensuite 


V,  =  J:|C;.;l=c,a,...^Je':î^-'.r^.r^ 


pour     I  =y>  -H  I, 


et 


^(   — —  —  ;  C-i.^.î.a,...» 

Formons  les  équations 


e'iis->.v^'xl'...j;i 


pour     (  =  I, 


P- 


(i3")      À'.i-p-, 


dj-. 


dx 


/'+' 


dx 


=  V' 


dXi 


''*'  dx 


v;, 


dxi 


/)+! 


*"  dx,, 


,       dxi 

dXn 
Y'   ^f^  - 

"dx' 


y: 


(i  =  i,  2,  ...,/))• 


Cherchons  à  satisfaire  aux  équations  (i3")  à  l'aide  des  séries  de  la  forme 
suivante  : 

Les  coefficients  B  nous  seront  donnés  par  les  équations  suivantes  : 

B,-.p.a^^,3:,,_,...j„[À'{a,,+  ,-l-a,,+.,-t--.--+-ï„— Ij]  =  P(  !  C  j,  1  C  j,  B  |, 

OÙ  P[|C],  |C'|,  B]  diffère  de  P[C,  (  —  C),  A]  en  ce  que  les  coefficients  C  et 
—  C'  y  sont  remplacés  par  leurs  modules,  et  les  coefficients  A  par  les  B  corres- 
pondants. 

On  en  conclut  que  tous  les  B  sont  positifs  et  que  chaque  B  est  plus  grand 
que  le  module  du  A  correspondant. 

Il  suffit  pour  cela  d'une  seule  condition,  c'est  que 

À'(0( /,+  !-(-  Z,,+.2-|-.  .  .-+-  2„—  l)<   I   [j  \/'—l  -h  Xp+x'/./.  +  i^  ■J.f,^.i'/.,,^..+.  .  .+  a„/.„—  /.,■  |. 

Si  cette  condition  est  remplie  chacun  des  termes  de  la  série  (i5)  sera  plus 
petit  que  le  terme  correspondant  de  la  série  (i5')  et  comme  cette  dernière 
converge,  la  série  (  i5)  convergera  également. 

Il  suffit  pour  cela  que  l'on  puisse  trouver  une  quantité  positive  X'  assez  petite 
pour  que  l'on  ait  toujours 


A'< 


■^/i  '^11 


c'est-à-dire,  d'après  ce  que  nous  avons  vu  plus  iiaul,  qu'aucun  des  deux  poly- 
gones convexes  circonscrits,  le  premier  aux  points  X^+i,  "kp+^i  .  .  . ,  X„  et  -f-  \J —  r , 

le  second  aux  points  ?iy,+, ,  t^p+^i  •  •  ■  i  'u  et  —  \  —  i ,  ne  contienne  l'origine. 
H.  p.  ~  VII.  37 


ago  SUR  LE  PROBLÈME  DES  TROIS  CORPS 

5t  donc  aucun  de  ces  deux  poly icônes  convexes  ne  contient  r origine,  s'il 
n'y  a  entre  les  '/^aucune  relatiim  df  f/i  fornie  { 16),  les  équations  {i.i)  admet- 
tront une  intégrale  particulière  de  la  forme  suivante  : 

Xi  =  9i(:ry;H-i.  J^/;-i-'j,  •  •  •,  x,i,  t), 

^2  ^  ?2  (^/;+iî   ^/;-t'2)    ■  •  ■  •   -t^iii   t  ), 


les  o  étant  développables  suivant  les  puissances  de  Xp^i,  Xp+i,  .  .  . .  Xn  et  les 
sinus  et  cosinus  des  multiples  de  t. 

Cela  posé,  envisageons  les  équations 

Ces  équations  sont  de  nicnie  tonne  que  les  équations  (10');  la  seule  dillé- 
rence,  c'est  que  les  À  n'ont  pas  des  valeurs  qui  satisfont  au:x  conditions  suffi- 
santes énoncées  plus  haut  pour  que  l'équation  (  1  3)  ait  une  inléj^rale  holomorphe. 

Nous  allons  nous  proposer  de  trouver  non  pas  la  solution  générale  des 
équations  (10"),  mais  une  solution  contenant  n  — p  constantes  arbitraires. 

Parmi  les  équations  (10"),  je  considère  en  particulier  les  suivantes  : 

,       ,  dXft^^   _  dx,,^i  _  d.r„  _ 

(17)  ~-J^ ^\/>+i>       ■  —^i         •'^/'+-^>        •••'  ,//  --^"• 

J'écris  en  outre  les  équations 

les  cp;  étant  les  intégrales  liolomorplies  des  équations  (i3)  définies  plus  haut. 

Il  est  évident  que  si  X\.  x^,,  .  .  .,  x,,  sont  /t  fonctions  de  t  qui  satisfont  aux 
équations  (l'j)  et  (  18),  elles  satisferont  également  aux  équations  (10"). 

Dans  les  équations  (17)  substituons  à  la  pince  de  Xi,  x^,  ■■■,  x^  leurs 
valeurs  (18),  ces  équations  deviendront 

.         ,        flX p^\  .  .--  f<X j,-,i  ,  „  '^'Xi,  ,  „ 

(19)        Yt —  =^  ^■/'+1'^ /)+'"*"  ^/'+li       Yi ^  '•p+1^lJ+l~^  tj/i+i,  ...,  ,      —  /■iiXn-^  i-nt 

Tjp^i,  Ziyj^o,  .  .  . ,  /.„  étant  des  séries  d(''veloppées  suivant  les  puissances  de  Xp+i. 
Xp^2i  ■  •  •  •  Xn,  lient  tous  les  termes  sont  du  deuxième  degré  au  moins  et  dont  les 
coeflicients  sont  des  (onctions  périodiques  de  t. 

Ces  équations  (  19)  sont  de  la  même  forme  que  les  équations  (  10');  leur  inté- 
grale générale  sera  donc  de  la  forme  suivante  : 


ET   LES   ÉQUATIONS    DE   LA    DYNAMIQUE.  291 

OÙ  K,,^i K„  soul  des  conslantes  d'intégration,  où  T^,^,,  .  .  . .  T^  sont  des 

séries  développées  suivant  les   puissances  des  x  et  les  sinus  et  cosinus  des 
multiples  de  /. 
Les  équations 

(20)         T,  =  o     fi' =  I,  2,  .  .  ,,  /)),         T,'/=  Iv,e''i'     (7  =/) -H  1, /) -t- 2,  .  .  .,  «), 

nous  donnent  donc  une  intégrale    des  équations  (lo")   dépendant  des  n — p 
constantes  arbitraires  K^^.,,  K^+j,  ....  K„. 

Pour  obtenir  celte  intégrale  sous  forme  explicite,  il  faut  résoudre  ces  équa- 
tions (20)  par  rapport  à  a"i,  Xj.  .  .  . ,  x,,  ;  on  trouve  ainsi 

xx  =  'il  i7,  K/,+1,  . . .,  K„), 
Xi  =  'ijtil,  K/,.-,,  ...,  K„), 


Xn—  'knii.  K/,+  i,  ...,  K„). 

les  cp  étant  dos  séries  développées  suivant  les  puissances  de  K^j+ieV-  ■',  ^p^^e'f-', 
....  K„e'"'  et  suivant  les  sinus  et  cosinus  des  multiples  de  t. 

Ces  séries  sont  convergentes.  pourv\i  qu'aucun  des  deux  polygones  convexes 
circonscrits,  le  premier  aux  points  /.,,  ^i.  À,,  ..j,  .  .  . ,  )i„  et  +v —  i,  et  le  second 
aux  points  /y,+  i;  À,, |_.j,  ...,/,„  cl  —  \  —  i .  ne  conlienne  l'origine  et  qu'il  n  y  ait 
entre  les  >,  aucune  relation  de  la  forme  (  16). 

Cette  démonstration  fait  ressortir  l'analogie  de  ce  théorème  avec  ceux  que 
j'ai  énoncés  dans  ma  Thèse  et  en  particulier  avec  celui-ci  : 

Dans  le  voisinage  d'un  point  singulier,  les  solutions  d'une  équation  diffcren- 
liello  sont  développables  suivant  les  puissances  de  <,  /'',  /'%  .  .  . ,  V". 

J'avais  d'abord  démontré  ce  théorème  (que  j'ai  ensuite  rattaché  aux  idées 
générales  qui  ont  inspiré  ma  Thèse)  par  une  voie  assez  différente  dans  le 
45°  Cahier  du  Journal  de  V Ecole  Polytechnique  (')  et  M.  Picard  y  avait  été 
conduit  indépendamment  par  d'autres  considérations  (C  R.  Acad.  Se,  1878). 

h^.  —  Intégration  des  équations  linéaires  à  coefficients  périodiques. 

On  sait  qu'une  fonction  de  x  périodique  et  de  période  271  peut  se  développer 

en  une  série  de  la  forme  suivante  : 

(1)  /(.r')  =  Ao-(-A|Co?j:-!-Ao  COS2.2;  -i-  .  .  .  -1-  A„  cos/i.f  -f- .  .  . 

-I-  lîi  fin  X  -i-  B^  fin  2X  -H  .  .  .  -1-  B„  sin  nx  -\-  .  .  . 

(')  Œuvres  de  II.  Poincaré,  t.  1,  p.  xxx\i. 


aga  SUR    LE   PROBLÈME    DES   TROIS   CORPS 

J'ai  moniré  dans  le  Bulletin  astronomique  (novembre  1886)  (')  que  si  la  fonc- 
ùon  J\t)  esl  finie  et  continue  ainsi  que  ses  p  —  2  premières  dérivées  et  si  sa 
(^-|-i  )''"""'  dérivée  est  finie,  mais  peut  devenir  discontinue  en  un  nombre 
limité  de  points,  on  peut  trouver  un  nombre  positif  K  tel  que  l'on  ait,  quel  que 

soitTi. 

\nPX„\<K,         In^B„l<K. 

Si/(j)  est  une  fonction  analytique,  elle  sera  finie  et  continue  ainsi  que  toutes 
ses  dérivées.  Ou  pourra  donc  trouver  un  nombre  K  tel  que 

ln=A„l<K,         ]«"-B„[<K. 

Il  résulte  de  là  que  la  série 

I  Ao  1  +  I  A,  I  +  I  A,  1 +...-+- 1  A„  I +...-(- 1  B,  i  +  I  B.,  I +...+ I  B„  I -H.  .  . 

converge  et  par  conséquent  que  la  série  (1)  est  absoluineiil  et  uniformément 
convergente. 

Cela  posé,  considérons  un  système  d'équations  différentielles  linéaires  : 


(2) 


Les  n-  coefficients  cp,./,  sont  des  fonctions  de  t  périodiques  et  de  période  271. 
Les  équations  (2)  ne  changent  donc  pas  quand  on  change  t  en  t  -\-2Tt.  Cela 

posé,  soient 

ix,=  <h,,i(t),         X2= '!^,,i{t),  ...,  j;„  =  'i/|.„(0, 
>  •  •  ■  )  ) 
^1  =']'«. 1(0;            -^1=  '^n.lO^  •■•'  ^n=  '\>„.n(t), 

n  solutions,  linéairement  indépendantes,  des  équations  (2). 

Les  équations  ne  changent  pas  quand  on  change  t  en  t  +  2n  el  les  n  solu- 
tions deviendront 

x,=  'l,.i{t  -h2r.),  ....         a,v,=  i}'i.„(<  +  2-), 


<lxs 

dt  -  î'- 

dx, 

dt  -  ?- 

1-Cl-l-  Çl.2i-2-^-  • 

dt  ~  ■^"• 

1.Ï-I  +  ^,,.1-rl-*-- 

■■-t-  vn. ;!■'•«• 

^•■1= '^/(.iC -1- 2;;;,  ...,  j;„  =  ij/„.„(/ -h  2,-T| 


(')  Œuvres  de  H.  Poiiicaré,  t.  IV. 


ET   LES   ÉQUATIONS   DE   LA    DYNAMIQUE.  298 

Elles  devroni   donc  être  des  combinaisons  linéaires  des  n  solutions  (3)  de 
sorte  qu'on  aura 

/    ij;,.,  (;  -H  2-)  =  A,.,  'i-i.iCO  +  A,.,  J;,  ,(?)-H.  .  .-f-  A,.„  'in.lCOi 

,,,  1  J/2.i(«  +  2;t)  =  a.,.,  4-1. , (Oh- A2.2'J>-2.i(0 +•••-)- Ao.,,  <!>„., (0, 

\  4„.,(<-t-2r)  =  A„.,6,.i(0-H  A„.oi!/2.,(Oh-.---)-  A„.„J;„,,(0, 

les  A  étant  des  coefficients  constants. 

On  aura  d'ailleurs  de  même  (avec  les  mêmes  coefficients) 

J/,.o(«-t-2;i)  =  A,.,'ii2(0-^-  A,. ,'1,2.2(0 -^... -H  A,.„6„.2(0, 

Cela  posé  formons  l'équation  en  S  : 


(5) 


Ai.i  —  S         Al. 2 
A-)  1         A.  -1 —  S 


A,,., 


A  ,,.2 


Ai.„ 

A2./, 

A„.„  — 

S 

Soit  S|  l'une  des  racines  de  celte  équation.  D'après  la  théorie  des  substitu- 
tions linéaires,  il  existera  toujours  n  coefficients  constants  Bi,  Bj,  .  .  . ,  Bn  tels 
que  si  l'on  pose 

0,.,(O)  =  B)'i>,.,(/)-i-B2<!/2.i(O-H---+R/.']'".i(O 
et  de  même 


on  ait 

et  de  même 

Posons 
il  viendra 


0,.,(O  =  B,6,.,(/)+B2'K.(O-i--.-+R/,'J'„.,(O 
0,.,(<-+-2-)  =SiO,.i(0 

ei.,(?-(-2-;  =  Sie,.,(0- 

«-=.('+'-")  e,.,(«  +  2-)  =  S,e-5».'^e-='-.'e,.,(0  =  e-='.'0|.i(O- 


Cette  équation  exprime  que  e~*''Oi.,(i)  est  une  fonction  périodique  que  nous 
pourrons  développer  en  une  série  trigonométrique  ).|.i  (<). 

Si  les  fonctions  périodiques  (»,■./,(<)  sont  analytiques,  il  en  sera  de  même  des 
solutions  des  équations  difl'érentielles  (2)  et  de  /i  ,(/).  La  série  )i.i(i)  sera 
donc  absolument  et  uniformément  convergente. 

De  même  e~^''0,.,(<)  sera  une  fonction  périodique  qu'on  pourra  représenter 
par   une  série  trigonométrique  >.,,i(^). 


394  SUR    LE    PROBLÈME    DES    TROIS    CORPS 

^ious  avons  donc  une  solution  parliculière  îles  équalions  (2)  qui  s'ccrit 

A  cliaijue  racine  de  lénualion  (5)  correspond  une  solution  de  la  forme  ((J). 
Si  l'équation  (5)  a   loules  ses  racines  distinctes,  nous  aurons   n   solulions 
de  celle  forme  linéairemenl  indépendantes  et  la  solution  générale  s'écriia 

,    ,  ]  .r,  =  r.,<.'.'X,.»(O-4-<^-2e*''/-,2(O-<----^-'v,e^"'À„.,(0, 

'"  ) 

\  .r„=  C,e=<.'X,.„(^)  -H  (•.,e='='X,.„(0  +.  .  .+  r.„e^'.'l „,„{(). 

Les  C  sont  des  constantes  d'intégration,  les  a  sont  des  constantes  et  les  À  sont 
des  séries  trigonométriques  absolument  et  uniformément  convergentes. 

Voyons  maintenant  ce  qui  arrive  quand  l'équation  (5)  a  une  racine  double, 
par  exemple  quand  «i  =  y.-,.  Reprenons  la  formule  (7),  faisons-y 

et  faisons-v  tendre  c-j  vers  xi.  11  vient 

X,  =  e«.'[C,  X, .  I  (  ^)  +  G,  el'o-'.l'  Xs. ,  ( 0] 

ou  en  posant 

C, 
Cl  =  Cl  —  C->,        C-2  =  ^ —  î 

il  viendra 

Xi  =  e'i'    C'i  X,,,(0  -+-  Co • 

Il  est  clair  que  la  différence  'A,.i{t) — ^t.t{i)  s'annulera  pour  x.,z=(x^.  Nous 
pourrons  donc  poser 

"/••>., (0  =  '-i.i(0  +  (='2~  «i)'-'(0- 
11  vient  ainsi 


r  eï,-5.,i'— I  T 

.'    C,  X,.,-+-G'oXi.,       ^   _^        +C',X'(Oe<*=-''" 


et  à  la  limite  (pour  c.^:^  ai); 

x\=  c,  e«.'Xi.,-(-C',  e«''[/X,,,H-limX'(0]. 

On  verrait  que  la  limite  de  À'(<)  pour  x-,  =  x,  est  encore  une  série  trigono- 
mélrique  absolument  et  uniformément  convergente. 

.<\.insi  l'effet  de  la  présence  d'une  racine  double  dans  l'équation  (5)  a  été 
d'introduire  dans  la  solution  des  ternies  de  la  forme  suivante  :  e^''tl{f).  ?.(<) 
étant  une  série  Irigonomélrique. 


ET    LES   ÉQUATIONS   DE    LA    DYNAMIQUE.  296 

Ou  verrail  sans  peine  qu'une  racine  triple  introduirait  des  termes  de  la  tonne 
e^^'t-}.(t)  et  ainsi  de  suite. 

Je  n'insiste  pas  sur  tous  ces  points  de  détail.  Ces  résultats  sont  bien  connus 
par  les  travaux  de  MM.  Floquet,  Callandreau,  Bruns,  Stieltjes,  et  si  j'ai  donné 
ici  la  démonstration  //(  extenso  pour  le  cas  général,  c'est  quo  son  extrême  sim- 
plicité me  permettait  de  la  faire  en  quelques  mots. 

CHAPITRE  II. 

THÉORIE    DES    INVARIANTS    INTÉGRAUX. 

5 .  —  Propriétés  diverses  des  équations  de  la  Dynamique . 

Soit  F  une  fonction  d'une  double  série  de  variables  :  X\^  x.^,  . . . .  x,,',  Xi-, 
j'.,,  .  .  . ,  -)'„  et  du  temps  t. 

Supposons  que  l'on  ait  les  équations  différentielles  : 

Considérons  deux  solutions  infiniment  voisines  de  ces  équations  : 

Xi,    Xi,     ...,    x„\    yu    fi,     r„; 

x,-i-$i,     x-i-t-i^-2,      ■■■,     .'•„+?„,    ,Vi-4-T|,,    yi-h-t]2,     .r„-i--ti„, 

les  t  et  les  ri  étant  assez  petits  pour  que  l'on  puisse  négliger  leurs  carrés. 
Les  ^  et  les  tj  satisferont  alors  aux  équations  différentielles  linéaires 


^'  _  V'    "  ''    ï      y    < 

lU       ^•àdvidxk^'        ^d\' 


iVi  dvk 
'   drti 


dt 


■y     f/-F     ^       yi     d-^  F 

jmU  dXi  dx/c  '        ^d  dxi  dvk  '  ' 


qui  sont  les  équations  aux  variations  des  équations  (  i  ). 

Soit  ^^ ,  rî-  une  autre  solution  de  ces  équations  linéaires  de  sorte  que 

'dt~      Zi  dvi  dxk  ■'  '"  ^  jU  dy-i  dvk  "^^  ' 
(2  ) 


1  ^■  =  _V_^L^-_V_i(i5Lr' 

/    dt  jLidxidxi^''     ZddXidvk  "'' 


agC 


SUR    LE   PROBLEME   DES   TKOIS   CORPS 


Multiplions  les  équalious  (2)  el  (:'.')  respccliveiiienl  par  /;•,  — i,,  —  r;,-,  ;,■  et 
faisons  la  soiiunc  cU'  toutes  eus  é([uations,  il  viendra 


'A  '  '    i7,     777 
''.Vi  '0  < 


?/:■?; 


?/?'/, 


dxi  dxL 


■'\k  ç; 


dxi  dvk 


Çrr, 


,  _d^V_\ 
"'dxidykl 


OU 

ou  enlin 
(3) 


2iw?'-^;^'i  =  " 


Vi  El  — ?'i^i  + Vîb— Ç'ï'l!-t--  •■  + 'fl'. ?«—?'« 'Ih  =  const. 


\"oilà  une  ri;lation  (jui  lie  entre  elles  deux  solutions  (juelconques  des  équations 
linéaires  (2). 

11  est  aisé  di!  trouver  d'autres  relations  analogues. 

Considérons  (juatre  solutions  des  équations  (?. )  : 

?/i    li>    ?/>    ?/")        '\i,    ■''ii'i    'OÏi    'l"'- 
Considérons  ensuite  la  somme  des  déterminants  : 


12 


1/  ç;  e;  ?"' 

''ù  '%  •fi'(  '^r 

?<■  II-  i"k  i"k 

■n*  'l'c  'Kk  'Kl 


où  les  indices  /  et  A'  varient  depuis   i  jusqu'à  n.  On  vérifierait  sans  peine  que 
cette  somme  est  encore  une  constante. 

Plus  généralement  si  l'on  forme  à  l'aide  de  2/»  solutions  des  équations  (2)  la 
somme  de  déterminants  : 


cette  somme  sera  une  constante. 

En  particulier,  le  déterminant  formé  par  les  valeuj-s  des  in  quantités  ^  et  r; 
dans  2«  solutions  des  équations  (2)  sera  une  constante. 

Ces  considérations  permettent  de  trouver  une  solution  des  équations  (2) 
quand  on  en  connaît  une  intégrale  et  réciproquement. 


ET   LES    EQUATIONS   DE    LA   DYNAMIQUE.  297 

Supposons  en  efiei  que 

?<■=  =</>        '1/=  ?/ 

soil  une  solution  p.irliculiore  des  éijualions  (2)  et  désignons  par  ti  et  r;;  une 
solution  (juelconque  de  ces  mêmes  équations.  On  devra  avoir 

-?i?i—  ■n/3:/  =  coilsl., 

ce  qui  sera  une  intégrale  des  équations  (2). 
Réciproquement  soit 

i:A,?,-i-i:rî,r,,  =  consi. 
une  intégrale  des  équations  (  2  ),  on  devra  avoir 

i  1  '  L    '•       "  *  "  J 

d'où  en  idenliliiuil 


Z^  dxi  dxk^'  ~^2d  dxi  dvk  ''''     ~  "' 
*  *"  "         J 


dt  ^Êdd\  I;  (Ixi  Jm^dXkdXi 

k        '  k 

d/  ladvkdvi'   ''^Zu,: 

ce  qui  montre  que 


k 

r/ll,  v^     d.V     .        yi    ,r^v    Wk, 

vk"yi         ^^dxkdvi 

k        '  '  k 


est  une  solution  particulière  des  équations  (2). 

Si  maintenant 

<I>(j.,,  j(,  t)  =  const. 


est  une  intégrale  des  équations  (  1  ), 


sera  une  intégrale  des  équations  (2),  et  par  conséquent 

r/*  _      d<^ 

sera  une  solution  particulière  do  ces  équations. 

Si  4>  ^=  const.,  <l>i  =  const.  sont  deux  intégrales  des  équations  (i),  on  aura 

(d^d'\\       d^d'^^ 


^Lmà  \dxi  dyi 


dyi  dxi 

C'est  le  théorème  de  Poisson. 

H.  r.  -  vn. 


=  consl. 


agS  SUR    LE    PROBLÈME    DES   TROIS    CORPS 

Consiclorons  le  cas  [);irUcnliei'  où  les  x  désigiieiit  les  coordonnées  reclangu- 
laires  de  n  points  dans  l'espace;  nous  les  désignerons  par  la  notation  à  double 
indice  Xu,  ^i>i,  ^';ii,  1<-'  premier  indice  se  rapportant  aux  liuisaxes  rectangulaires 
do  coordonnées  et  le  second  indice  aux  n  points  iimtériels.  Soit  m,  la  masse 
du  /"'""'  point  matériel.  On  aura  alors 

dKr,.i  d\ 

dt-  (f.i-/,, 

V  étant  la  fonction  des  forces. 

On  aura  alors  pour  l'équation  des  forces  vives  : 


=2;^(^v-v=co„st. 


yki=  »h 

djck, 
'    dt    ' 

-  V  =  const. 

dxki        dV 

dt    "  dvk,' 

dtu               dF 
d/                d.,:t, 

Posons  ensuite 
d'où 
et 

Soit 

(5)  xk,=  <!iia{t),         rki=  mi-ù'i,,{t) 

une  solution  de  ces  équations  (  i'),  une  autre  solution  sera 

■ri.i=  ^ki(t  -r-  h),  Yki=  "ii'i'uit  -+-  h), 

Il  étant  une  constante  quelconque. 

En  regardant  h  comme  infiniment  petit,  on  obtiendra  une  solution  des  équa- 
tions(2')  qui  correspondent  à  (i')  comme  les  équations  (a)  correspondent  à(i  )  : 

lki=  /'i'kiC)  =  h-^,  •ni;=  /(m,(pl,(0  =  /i  4— 5 

fil  i  f/,t  k  i 

h  désignant  un  facteur  constant  très  petit  que  l'on  peut  supprimer  quand  on  ne 
considère  que  les  équations  linéaires  (2'). 

Connaissant  une  solution 

,       V  dW 

5   =    —  ,  T|  =    — - 

m  dx 

de  ces  équations,  on  peut  déduire  une  intégrale 


Zj,  m        Z^dx'- 


ET    LES    EQUATIONS    DE    LA    DYNAMIQUE.  299 

Mais  celle  même  intt^grale  s'obtienl  très  aisàmenlen  diflérenlianl  l'équation  des 
forces  vives  (4)- 

Si  les  poinls  malériels  sont   soustraits  à  toute  action   extérieure,   on  peut 
déduire  de  la  solution  (5  )  une  autre  solution  : 

h  ei  A  étant  des  constantes  quelconques.  En  regardant  ces  constantes  comme 
inliniment  petites,  on  obtient  deux  solutions  des  équations  (2')  : 

?li=  I,  î-li  =  hi=  ■'■|l/=  'f|2(  =  ■^-li  =  o, 

?!/  =  <,  ?ii!=   ;:;/=  T|2;=  T|:,,-=  O,  T,, ,=   «!;. 

On  obtient  ainsi  deux  intégrales  de  (2')  : 


onst. 


On  peut  obtenir  ces  intégrales  en  différentiant  les  équations  du  mouvement 
du  cenlre  de  gravité  : 

i/rt,-.*-!,  =  «Siii-f-  const..         lj'i,=  const. 

Si  l'on  fait  tourner  la  solution  (.j)  d'un  angle  co  autour  de  l'ase  des  :■,  on 
obtient  une  autre  solution  : 

•>•!,■  ,  ,  . 

./■|;  =  ;,,  cos  (0  —  ;.i,sincj.  "—     =c,,cosoj  —  c.,,?in(o, 

//(,■ 

^•o,=  sii  sin  (0  -i-  c-i;  ces  ta.  —  =  :  ,;  sni  (o  -+-  c,  ces  o). 

nii 

En  regardant  w  comme  infiniment  petit,  on  trouve  comme  solution  de  (2')  : 

Çu  =  —  ■Z'îi,         ■'■|i!  =  —  .i'2;, 

il(=  o,  Tl3(=  O, 

d'oti  l'intégrale  de  (2')  : 


^(^11^12;— ri(?2(— xo/Ti,,--4- r!,?i()  =  const. 


que  l'on  pouvait  obtenir  aussi  en  différentiant  l'intégrale  des  aires  de  (  1')  : 

-{^uy-ii=  -c-iiVii)  =  const. 


3oo  SUR    LE    PROBLÈME    DES    TROIS    CORPS 

Supposons  maintenant  (\in)  la  fonction  V  soit  homogène  et  de  degré  —  i  par 
rapport  aux  x,  ce  qui  est  le  cas  de  la  nature. 

Les  équations  (i')  ne  changeront  pas  quand  ou  multipliera  t  par  /■',  les  x 
par  X-  et  \es y  par  X-',  A  étant  une  constante  quelconque.  De  la  solution  (4)  on 
déduira  donc  la  solution  suivante  : 


J:^,  =  '---  ?*<■  U-,    > 


(r»)'     •'•*'■=■'•"' """^'(jj.) 


Si  l'on  regarde  /.  couime  très  voisin  de  l'unité,  on  obtiendra  comme  solution 
des  équations  (a'j  : 


ou 


,,.-  .  n,  ri.-i  .,,  ^A' 

d'où  l'intégrale  suivante  des  équations  (2'),  laquelle,  à  la  différence  de  celles 
que  nous  avons  envisagées  jusqu'ici,  ne  peut  être  obtenue  en  différenlianl  une 
intégrale  connue  des  équations  (  1')  : 


6.  —  Définition  des  invariants  intégraux. 

Considérons  un  système  d'équations  dilFérentielles  : 

Xi  étant  une  fonction  donnée  de  Xf ,  x-^,  .  .  . ,  x,,-  Si  l'on  a 

V{xi,  .r.,,  .  .  .,x„)  —  const., 

cette  relation  s'appelle  une  intégrale  des  équations  données,  f^e  premier  membre 
de  celte  relation  peut  s'appeler  un  invariant  puisqu'il  n'est  pas  altéré  quand  on 
augmente  les  xi  d'accroissements  infiniment  petits  dx;  compatibles  avec  les 
équations  différentielles. 

Soit  maintenant  x\,  .r',,    ...,  x\^   une  autre  solution  des  mêmes  équations 
différentielles,  de  telle  façon  que  l'on  ait 

'dt  -  ^" 


ET    LES   ÉQUATIONS    DE    LA    DYNAMIQUE.  3oi 

X',   étant  une  fonction  formée  avec  x\,  x'.-,,  ...,  x'^  comme  X;  l'était  avec  Xi. 

Xoj    •  •  •  :   Xfj  . 

Il  pourra  se  faire  qu'on  ait  entre  les  2/1  quantités  x  et  x'  une  relation 

Fi(x],  X,,  . .  .,.r„,  j;\,x'„,  . . .,  a;'„)  =  consl. 

Le  premier  membre  Fi  pourra  encore  s'appeler  un  invariant  de  nos  équations 
différentielles,  mais  au  lieu  de  dépendre  d'une  seule  solution  de  ces  équations, 
il  dépendra  de  deux,  solutions. 

On  peut  supposer   que   Xi,  x^ Xn   représentent  les  coordonnées   d'un 

point  dans  l'espace  à  n  dimensions  et  que  les  équations  différentielles  données 
définissent  la  loi  du  mouvement  de  ce  point.  Si  l'on  considère  deux  solutions 
de  ces  équations,  on  aura  deux  points  mobiles  différents,  se  mouvant  d'après 
une  même  loi  définie  par  nos  équations  différentielles.  L'invariant  F,  sera  alors 
une  fonction  des  coordonnées  de  ces  deux  points,  qui  dans  le  mouvement  de 
ces  deux  points  conservera  sa  valeur  initiale. 

On  pourrait  évidemment  de  même,  au  lieu  de  deux  points  mobiles,  en  envi- 
sager trois  ou  même  un  plus  grand  nombre. 

Supposons  maintenant  que  l'on  considère  une  infinité  de  points  mobiles  et 
que  les  positions  initiales  de  ces  points  forment  un  certain  arc  de  courbe  C  dans 
l'espace  à  n  dimensions. 

Quand  on  se  donne  la  position  initiale  d'un  point  mobile  et  les  équations  dif- 
férentielles qui  définissent  la  loi  de  son  mouvement,  la  position  du  point  à  un 
instant  quelconque  se  trouve  entièrement  déterminée. 

Si  donc  nous  savons  que  les  points  mobiles,  en  nombre  infini,  forment  à 
l'origine  des  temps  un  arc  C,  nous  connaîtrons  leurs  positions  à  un  instant  t 
quelconque  et  nous  verrons  que  les  points  mobiles  à  l'instant  t  forment  dans 
l'espace  à  n  dimensions  un  nouvel  arc  de  courbe  C.  Nous  sommes  donc  en  pré- 
sence d'un  arc  de  courbe  qui  se  déplace  en  se  déformant  parce  que  ses  différents 
points  se  meuvent  conformément  à  la  loi  définie  par  les  équations  différentielles 
données. 

Supposons  maintenant  que  dans  ce  déplacement  et  cette  déformation  l'inté- 
grale suivante  : 

A  Y,  f/.r,  -h  Y,  r/jTo  H-  ,  .  .  -)-  Y„  dx„  )  =  /  -  ^' i  ''f'i 

(où  les  Y  sont  des  fonctions  données  des  x  et  qui  est  étendue  à  tout  1  arc  de 
courbe)  ne  change  pas  de  valeur.  Celte  intégrale  sera  encore  pour  nos  équa- 


3o2  SUR    LE   PROBLÈME   DES   TROIS   CORPS 

lions  dillV'Teiilielles  un  invariant,  dépendanl  non  plus  d'un,  de  deux  ou  de  trois, 
mais  d'uae  infinité  de  points  mobiles.  Pour  indiquer  cpielle  eu  est  la  forme,  je 
l'appellerai  un  invariant  intégral. 

De  mémo  on  pourrait  imaginer  qu'une  intégrale  de  la  forme    /  \  —  ^  ,kdxidxii^ 

étendue  à  tout  lare  de  courbe,  demeure  invariable;  ce  serait  encore  un  inva- 
riant intégral. 

On  peut  imaginer  également  des  invariants  intégraux  qui  soient  définis  par 
des  intégrales  doubles  ou  multiples. 

Imaginons  qu'on  considère  un  fluide  en  mouvement  permanent  et  de  telle 
sorte  que  les  trois  composantes  X,  \  ,  Z  de  la  vitesse  d'une  molécule  quel- 
conque soient  des  fonctions  données  des  trois  coordonnées  x^  }',  z  de  cette 
molécule.  Alors  on  pourra  dire  que  la  loi  du  mouvement  d'une  quelconque  des 
molécules  du  fluide  est  définie  par  les  équations  différentielles 

fix  _  dv  _ ,,  à't,  _ 

On  sait  que  l'équation  aux  dérivées  partielles 

(f\       d\       M  _ 
dx        dy        dz 

exprime  que  le  fluide  est  incompressible.  Supposons  donc  que  les  fonctions  X, 
Y,  Z  satisfassent  à  cette  équation  et  considérons  un  ensemble  de  molécules 
occupant  à  l'origine  des  temps  un  certain  volume.  Les  molécules  se  déplace- 
ront, mais,  en  vertu  de  l'incompressibilité  du  fluide,  le  volume  qu'elles  occu- 
peront demeurera  invariable.  En  d'autres  termes  le  volume,  c'esl-à-dire  l'inté- 
grale Iripje    ///  dx  dy  dz  sera  un  invariant  intégral.  Plus  généralement  si  l'on 

envisage  les  équations 

dxi 


et  que  l'on  ait  la  relation 


dl    ^  ■^"  <''='.  2,  .  .  .,  n) 


2r/\, 


l'intégrale  d'ordre  n  :    /  dxi  dx-,.  ■  .'rfjrnqueje  continuerai  à  appeler  le  volume, 
sera  un  invariant  intégral. 


ET    LES    ÉQUATIONS    DE    LA    DYNAMIQUE.  3o3 

C'est   ce    qui    arriver;)   en    particulier    |iour   les    équations    générales    de  la 
Dynamique;  car  si  l'on  considère  ces  équations 


il  est  aisé  de  voir  que 


Mais  en  ce  qui  concerne  ces  équations  ^'éuérales  de  la  Dynamique,  il  y  a 
outre  le  volume,  un  autre  invariant  intégral  qui  nous  sera  encore  plus  utile. 
Nous  avons  vu  en  ellet  que 

^(h'^i'i  —i'i  ■'■u)  =C(insi. 


dx,       dF 
dt    ~~  dy-i 

î 

dy'i  _       dF 
dt             dxi 

Zj       dx, 

*2 

"(-£) 

'/>-, 

Cela,    traduit   dans    notre    nouveau  langage,    signifie    que  l'intégrable  double 
2,(ijri  dyt  est  un  invariant  intégral,  ainsi  que  jo  le  démontrerai  plus  loin. 


/ 


Pour  exprimer  ce  résultat  d'une  autre  manière,  prenons  le  cas  du  problème 
des  n  corps. 

Nous  représenterons  la  situation  du  système  des  n  corps  par  la  position  de 
3/i  points  dans  un  plan.  Le  premier  point  aura  pour  abscisse  l'ardu  premier 
corps  et  pour  ordonnée  la  projection  sur  l'axe  des  a;  de  la  quantité  de  mouve- 
ment de  ce  corps;  le  second  point  aura  pour  abscisse  1')'  de  ce  même  corps  et 
pour  ordonnée  la  projection  sur  l'axe  des  y  do  sa  quantité  de  mouvement  et 
ainsi  de  suite. 

Imaginons  une  double  infinité  de  situations  initiales  du  système.  A  chacune 
d'elles  correspond  une  position  de  nos  3rt  points  et  si  Ion  considère  l'enseiiible 
de  ces  situations,  on  verra  que  ces  3/1  points  remplissent  3n  aires  planes. 

Si  maintenant  le  système  se  déplace  conformément  à  la  loi  de  l'attraction,  les 
3;i  points  qui  représentent  sa  situation  vont  aussi  se  déplacer;  les  3«  aires 
planes  que  je  viens  de  définir  vont  donc  se  déformer,  mais  leur  somme 
demeurera  conslanle. 

Le  théorème  sur  la  conservation  du  volume  n'est  qu'une  conséquence  de 
celui  qui  précède. 

Il  y  a  dans  le  cas  du  problème  des  n  corps  un  autre  invariant  intégral  sur 
lequel  je  veux  attirer  l'attention. 

Considérons  une  simple  infinité  de  positions  initiales  du  système  formant  un 
arc  de  courbe  dans  l'espace  à  6n  dimensions.  Soient  Co  el  Ci  les  valeurs  de  la 


3o4  SUR  LE  PROBLÈME  DES  TROIS  CORPS 

constante  des  forces  vives  aux  deux  exliéiiiilt's  de  cel  arc.  Je  déuioulrerai  plus 
loin  que  l'expression 

/    1(2  Xi  dji  4-  _>-,•  f/^i  )  -H  3  (  Cl  —  C)  )  < 

(où  l'intégrale  est  étendue  à  l'arc  de  courbe  tout  outier  et  où  le  temps  n'entre 
plus  si  C|  =  G„)  est  encore  un  invariant  intégral;  on  peut  d'ailleurs  en  déduire 
aisément  les  autres  invariants  intégraux  dont  il  a  été  question  plus  haut. 

Nous  dirons  qu'un  invariant  intégral  est  du  premier  ordre,  du  deuxième 
ordre  ....  ou  du  n"'"''  ordre  selon  qu'il  sera  une  intégrale  simple,  double,  .  .  . 
ou  d'ordre  n. 

Parmi  les  invariants  intégraux  nous  distinguerons  les  invariants  positifs  que 
nous  définirons  comme  il  suit. 

L'invariant  intégral  d'ordre  n  :    j  M  c?.?',  dx>.  .  .dx„  sera  un  invariant  positif 

dans  un  certain  domaine,  si  M  est  une  fonction  de  Xu  x.,,  ....  ./■„  qui  reste 
positive,  finie  et  uniforme  dans  ce  domaine. 

Il  me  reste  à  démontrer  les  divers  résultats  que  je  viens  dénoncer;  cette 
démonstration  peut  se  faire  par  un  calcul  très  simple. 

.Soit 

r/Xi  dx-i  dx„ 

(')  ■;â  =  -^"     i?r  =  -^-^'      •■•'      -dr  =  ^" 

un  système  d'équations  différentielles  où  Xi,  X;.  . . . ,  X„  sont  des  fonctions  de 
a^i,  .r.,,  .  .  . ,  Xn  telles  que 

dx\         dx«  '       dx„ 

Soit   une  solution  de  ce  système   d'équations  dépendant    de    ii  constantes 
arbitraires  :  a, ,  cf..,,  ....  a„. 
Cette  solution  s'éci-ira 

a.'i=  ?i(^,  a,,  «2,   .  .  .,  a„), 
X-i=  02(/,  «1,   Xf,    .  .  .,  «„), 


Il  s'agit  de  démontrer  que  l'intégrale 

.)  =   /  dXidX'.  .  .dxn^  I  \dy.i  d:/.;,.  .  .dj.,,, 


ET   LES   EQUATIONS   DE   LA   DYNAMIQUE. 


3o5 


ou 


A  = 


(IX\ 

dx.. 

dXn 

<h., 

rfa.        ■ 

dai 

dx, 

dx. 

dx„ 

dai 

d:c,       ■ 

■      doi. 

dxi 

dx. 

dx„ 

r/a„ 

da-n 

da„ 

est  une  conslante 
On  a,  en  eliet, 

M 
dt 


J     dt 


dy.1  dy.«  .  .  .du,,  el 


dt 


A, -H  Aa -+-...  A„, 


dxk 


A/,  élant  le  détermiuant  A  dans  la  là"""  colonne  duquel  on  a  remplacé-^» 


(ixk 


'/'-X/,        d'-x/, 


da^  dy.,i  '    "   dxj  dt     dy.2  dt  ' 


d-^xt 


•  Mais  on  a 


d'où 


=  x*, 


d-Xk         d\i  dxi        d\/i  dx-i 


dS-i  dx„ 
da-i  dt        dxi    d^i         dxi    dy-i    '  '  '  '       dx^    do-i 

On  déduit  de  là 


A^=A 


dxk  ' 


d'où 


d.\        r 

-j   =  I  (Al  -I-  Aj-l-.  .  .  +  A„)  r/a,  r/x,.  .  .d-j.^ 


r  /d\k        dX,  cfS.„\  ...  , 

=     /         -; 1 -, h...-)--; )  Ùidi,doLi...dj.,t=  O  C.  Q.  K.  D. 

J    \  dxi         dx-i  dXn  I 


(2') 


Supposons  maintenant  qu'au  lieu  de  la  relation  (2)  nous  ayons 
rfMX,        r/MX.  rfMX,, 


dx  1 


</.(■ 


dXn 


O, 


M  étant  une  fonction  quelconque  de  Xi,  x^.,  .  .  . ,  x„. 
Je  dis  rjue 

J  =   /  M  r/.ci  dx-i .  .  .  dxn  =  /  M  Arfai  da.« . . .  rfa„ 

est  une  constante. 
On  a,  en  efifet, 

di 


di        ff.dM       ,,  ^A\    ,      ,  . 

-7-  =  ;      A — ; 1-  i\I  — ;-  1  dy-i  «20.  .  .dx„. 

dt      J    \      dt  dt  } 


H.  P.  -  VII. 


39 


3o6  SUR  LE  PROBLÈME  DES  TROIS  CORPS 

11  faut  moulier  que 

A  — ; h    M  — ;-  =  O. 

dt  dt 

On  a  on  effet  [en  vertu  des  équations  (  i  )] 

(M  _'      ^       X    'I^  \    — 

dt         '     dx\        '  '  dxi  "  dXn 

et  (d'après  ce  que  nous  venons  de  voir)  : 

(j\_     i,rs^       dX-,  d\„\ 

dt  \dxi         dxn        '  '  '       dx„  I 

11  vient  donc 

d\\       ,,d\       ./^MX,        dMX.,  dMX„\ 

A  — ;-    -t-  M   -r-     =  A       — ; 1 ; -'    -h  .  .  .  -. -, =0.         C.  Q     F.   D. 

dt  dt  \    dxi  dx2  dx,i    I 

Passons  maintenant  aux  équations  de  la  Dynamique. 
Soient  les  équations 

dxi         d?  dvt  dV  ,  .  , 

Soit  une  solution  contenant  deux  constantes  arbitraires  a  cl  [3  et  s'écrivant 
Je  dis  que 

est  une  constante. 
Il  vient,  en  effet, 

di  _   f  "^  I  'l-'i    'lyi         'l-yt    dXj  _   d-x,    dy,  d-Vj    dx,  \ 

dt  ~J   2j  XdTdi.  If^  ^  dt  d'{j  777  ~"  dt  d{j  da  ~  dt  d-j.  77p  /  ^ "    '" 

Il  vient  ensuite 

d-Xi  _      •^      d-¥      dxk       ■^      d-V      dyk 

dt  d-j.  ^^  dvi  dxk    dy.        ^U  dyi  dyk    da. 

k       '  k       '         ' 

d'^Xj  _      ■^     (-/-F      dxk      \r<     d-i'      dvk 
dt  d';.  "      jLJ  dfi  dxk   'df'    '^ ^mi  dyi  dyk    'd^' 


d\y,   __  _j^     d^V      dxk  _-^     d^V      dyk 
dt  d-j.  Jmà  dXi  dxk    dy.        ^êà  dxi  dyk    dy. 

k  k 

d-Yi  'V      d'V       dXk        'V'      d'V       rlvk 

dt  d!;.  ~  ^ ^  dxi  dXk    d\i       Zd  dx[  dyk  ~dj  ' 


ET    LES    ÉQUATIONS    DE    LA    DYNAMIQUE.  807 

On  conclut  de  là  que 

'  d'-U-i    dyi         d-Yi    dxi^ 


21  d'-J-i    dji         d'Vi    dxi 
\dt7h.  in  ~  dt  d-j.    TTjj" 


■^  ■^  /    d'-V      dxk  dy'i         d-F      dvt  dyi  d'-F     dxn  dxi         d'-F      dxt  d}j,- 

^^Xdy'idxk    di.     d'p    '   dyidvk    d^    d'f       dxidxk    da.     d^  ~^  dxidyk   d'^i    da. 

Le  second  membre  ne  change  pas  quand  on  permule  a  el  |3,  on  a  donc 

■^  /  r/-Xi    dvi  ^   d'y,    d.iA  _  '^  /  '^'-■''i    '^.Vî  _   à'Yi    dx,  \ 
.— J  \  (/<  d:t.     d\1,    ~  dt  (h.  'd^  )  ~  ^^  \d1  d'^j  ~fh.   ~  dt  d''j   Th.   )  ' 

Celte  égalité  exprime  que  la  quantité  sous  le  signe    /    dans  l'expression  de 

-j   est  nulle  et  par  conséquent  que 

di 

-r:    =  O.  C.    0.    F.    n. 

dt 

Il  me  reste  à  envisager  le  dernier  des  invariants  intégraux,  qui  se  présente 
dans  le  cas  du  problème  des  n  corps. 

Reprenons  les  équations  de  la  Dynamique,  mais  en  posant 

F  =  T  +  U, 

T  ne  dépendant  que  des  )•  et  U  des  x  seulemenl.  De  ()lus  T  est  homogène  de 
degré  2  et  U  homogène  de  degré  —  i . 
Prenons  une  solution 

X,  =  o,(/,  2  ).  y,=  iiji t,  y.) 

ne  dépendant  que  d'une  seule  constante  arbitraire  a. 
Considérons  l'intégrale  simple 

Cl  et  C(i  étant  les  valeurs  constantes  de  la  l'onction  F  aux  extrémités  de  l'arc  le 
long  duquel  on  intègre. 
Il  vient 


r/.l 
dt 


Il  vient 


<^  _  rfF   _  r/T    .         dvi  __  r/U 

dt    ~  dy,  "  dV,''  'dî  ^~  d7i' 

-X,   _'yi      i/-T      dvk  d-vi   _      ■^      d-\\       dxk 

'  dx       ^^  dy  i  dvk    d-J.  dt  da.  â^  dxi  dxk    da. 


3oS  SUR   LE  PROBLÈME   DES   TROIS  CORPS 

il"  OÙ 

dt      J   jLd^\    <hi  <U  (lytdyk    ffy^        d^   dxi  </Si<i.Ck    <iy- / 

Mais  en  vorlii  du  llu'orénie  des  fonctions  homogènes  on  a 

rf-^T  dT  -^  d'-\}  rfU 


d"où 

dt 


^  •'  '  (/fi  dvk  ~  dfl  '  ^  ■'  '  f/j-,  f/j-A-  ~       "  dxk  ' 

J    ^  \    dft    da.  dXi    d3.  / 


ou 

d] 


^  =  3  A  ,lï  -4-  rfU  )  +  3  (  C ,  -  C„  ). 

Or  d'après  la  dèfinilion  de  C,  cl  G,,  on  a 

C„—  C,  =  Ç'IV  =  Ç(dT  -H  d\}). 


Il  vient  donc 


,      =  O.  c      0.    F.    D. 

dt 


1.  —  Transformation  des  invariants  intégraux. 

Reprenons  les  équations  difïérenticUes 

dj:i  d.r,  •  dxn  _  ^ 

et  supposons  que  l'on  ait 

•  ./(MX,)    ,    f/(MX,)    ,  ,    ./(MX,.)_ 

de  telle  sorte  que  l'intégrale  d'ordre  n 

J   =    /  M  c/a;|  dx-i.  .  .dXn 

soit  un  invariant  intégral. 

Changeons  de  variables  en  posant 

x\  =  ii(5),  ;»,  . . .,  ;„)) 

^^  I    ' 


ET    LES    ÉQUATIONS   DE    LA    DYNAMIQUE.  OOg 

et  appelons  A  le  délerniinanl  fonctionnel  des  n  fonctions  'h  par  rapport  aux 
n  variables  :. 

Nous  aurons  après  le  changement  de  variables  : 


-J'^ 


\dzs  flz....dz„. 


Si  l'invariant  J  était  positif  avant  le  changement  de  variables,  il  restera  positif 
après  ce  changement,  pourvu  que  A  soit  toujours  positif,  fini  et  uniforme. 

Comme  en  permutant  deux  des  variables  s,  on  change  le  signe  de  A,  il  nous 
suffira  de  supposer  que  A  est  toujours  de  même  signe  ou  qu'il  ne  s'annule 
jamais.  Il  devra  de  plus  être  toujours  fini  et  uniforme.  Cela  arrivera  si  le  chan- 
gement de  variables  (.3)  est  doublement  univocjue,  c'est-à-dire  si  dans  le 
domaine  considéré  les  x  sont  fonctions  uniformes  des  z  et  les  z  fonctions  uni- 
formes des  X. 

Ainsi  après  un  changement  de  variables  doublement  univoque,  les  invariants 
positifs  restent  positifs. 

Voici  un  cas  particulier  intéressant  : 

Supposons  que  l'on  connaisse  une  intégrale  des  équations  (  i  )  : 

F(j;i,  Xn,  . .  .,  x„)  =  G. 

Prenons  pour  variables  nouvelles  z,i^  C  d'une  part  et  d'autre  part  n  —  i  autres 

variables  -i,  z-> .;,i_i.  H  arrivera  souvent  qu'on  pourra  choisir  z^,Z2■,  ■■■,  Zn-i 

de  telle  sorte  que  ce  changement  de  variables  soit  doublement  univoque  dans 
le  domaine  considéré. 

Après  le  changement  de  variables,  les  équations  (i)  deviendront 

Z|,  Z2.  ...,  Z„_,  étant  des  fonctions  connues  de  ^i,  .s^.,  ...,  Zn-  Si  l'on 
regarde  la  constante  C  =  s„  comme  une  donnée  de  la  question,  les  équations 
sont  réduites  à  l'ordre  7i  —  1  et  s'écrivent 

(4)  it-^"     ■■■'      -~dr-  "-" 

les  fonctions  Z  ne  dépendant  plus  que  de  -1,  z-^,,  .  .  . ,  s„_t  puisque  ;;„  y  a  été 
remplacé  par  sa  valeur  numérique. 


3lO  SUR    LE    PROBLÈME    DES   TROIS   CORPS 

Si    les  oquations   (i)  aJiueUeul    iia   iuvai'iaiil    [losilif    j  M  ilx^  dxj .  .  .(/x„, 
les  équations  (.j)  ailineltroiit  égaleiiiL'ul  un  invariant  posilil  ; 

Je  (lis  niainteuanl  (jue  lus  équations  (/j')  qui  sont  d'ordre  ri    -[   adnieltenl 
également  un  invariant  intégral  positif  (|ui  devra  être  d'ordre  n  —  i. 
En  eflet,  dire  ([ue  J  est  un  invariant  intégral  c'est  dire  que 

r/(|JL/i)         r/((jLZo)  r/(,aZ„)  ^  ^^ 

dzi  (fz-i  '  '  '  dz,i 

on  puisque  Z„  est  nul, 


clzt  dz^,  '  '  '  riz,, 


—  u, 


ce   qui    prouve    que  l'intégrale  d'ordre   n  —  i  :    /  [jd  z^  dz-^.  .  .dzn-\    est    un 
invariant  pour  les  équations  (4')- 

Jusqu'ici  nous  avons  fait  porter  les  changements  de  variables  sur  les  fonc- 
tions inconnues  Xi,  x-,-,  ■  ■  ■■  x,i,  mais  nous  avons  conservé  le  temps  t  qui  est 
notre  variable  indépendante.  Nous  allons  supposer  maintenant  i(ue  l'on  pose 

1  =  0(10 

et  que  nous  prenions  /,  comme  nouvelle  variable  indépendante. 
Les  équations  (i)  deviennent  alors 

(^)  -dr,-^>  =  ^'7it=^-^w,     (,  =  .,2,  ....0. 

Si  les  équations  (  i  )  ont  un  invariant  intégral  d'ordre  n  :  /M  dx\  dx^ .  .  ,  dx,, 
on  devra  avoir 

ce  qui  peut  s'écrire 

Cela  montre  que  /  M  -^  dxt  dx^.  .  .dx,,  est  un  invariant  intégral  pour  les 
équations  (5). 

Pour  que  cette  transformation  puisse  être  utile,  il  faut  que  t  et  /,  soient  liés 

de  telle  sorte  que  -^  puisse  être  regardé  comme  une  fonction  connue,  finie, 

continue  et  uniforme  de  a?i,  x■^^   ■  ■  -,  x„. 


ET    LES   ÉQUATIONS   DE    LA    DYNAMIQUE.  3ll 

Supposons  par  exemple   que  nous   prenions  pour  nouvelle    variable  indé- 
pendante : 


11  vient  alors 


X,i  —  ?i. 


et  les  équations  (5)  s'écrivent 

'/.i-i  _  X|  'ix-2  _  Xo  dx,i—\  _  X„_i  dx,.  _ 

;777-x;;'      TF.-y^n''      ■■■'      inr^^f^''      w,^'' 

et  elles  admettent  comme  invariant  intégral  : 

/  MX,,  tlxi  dx,. .  .dx„. 

De  même  si  nous  prenons  pour  nouvelle  variable  indépendante  : 

'i  ^  6( Xi,  Xi,  .  .  . ,  x„), 

0  étant  une  fonction  quelconque  de  x^jXi,  •  •  • ,  .2",i,  le  nouvel  invariant  intégral 
s'écrira 


/ 


,,  /  de  ^.       de  ^.  de  ...  ,     , 

M     -T— X,  -H  -r—  X.;  +  .  .  .-!-  -r—  X„     dx ,  dx. .  .  . dx „ . 
\  axi  dxi  a.Ci, 


Il  est  à  remarquer  que  la  forme  et  la  signification  d'un  invariant  intégral  sont 
beaucoup  plus  profondément  modifiées  quand  on  change  la  variable  indépen- 
dante appelée  temps  que  quand  le  changement  de  variables  porte  seulement  sur 
les  fonctions  inconnues  a7|,  x-i^  ■  ■  -,  ^/i,  car  alors  les  lois  du  mouvement  du 
point  représentatif  P  se  trouvent  complètement  transformées. 

Supposons  «  ;=  3   et  regardons   x,,    x-^,   x^,   comme   les   coordonnées  d'un 
point  P  dans  l'espace.  L'équation 

8(xi,  Xo,  Xt.)  =  o 

représentera  une  surface.  Considérons  une  portion  quelconque  de  cette  surface 
et  appelons  S  cette  portion  de  surface. 

Je  supposerai  qu'en  tous  les  points  de  S  on  a 


de  „       de  ^.       de  .,, 

-j— Xi-(-  -j— X,-i-  -7— X 
axi  axi  dx:\ 


Il  eu  résulte  que  la  portiou  de  surface  S  n'est  tangente  à  aucune  trajectoire. 
Je  dirai  alors  que  S  est  une  surface  sans  contact. 

Soit  Po  un  point  de  S;  par  ce  point  passe  uue  trajectoire.  Si  cette  trajectoire 


3l2  SUR    LE    PROBLEME    DES   TROJS   CORPS 

prolongée  vient  iocoii|)or  S  en  nn  poinl  l'i,  je  dirai  ([ue  l*i  esL  le  ronséquenl 
(Je  l'„.  A  son  lour  l'i  peut  uvoii'  un  conséquent  i'j  (pic  j'nppelierui  le  second 
conséquent  de  Po  el  ainsi  de  suite. 

Si  l'on  considère  une  courbe  C  Iracée  sur  S,  les  «'"""'  conséquents  des 
divers  points  de  celte  courbe  formeront  une  autre  courbe  (V  que  j'appellerai  la 
«"■""'  conséquente  de  C.  On  définirait  de  la  même  façon  l'aire  qui  est  In  n''""' 
conséquente  d'une  aire  donnée  faisant  partie  de  S. 

Cela  posé,  soit  une  portion  de  surface  sans  contact  S  ayant  pour  équation 
0  =  0;  soit  C  une  courbe  fermée  tracée  sur  cette  surface  et  limitant  une  aire  A; 
soient  C  et  A'  les  premières  conséquentes,  C"  et  A"  les  /(""'"  conséquentes  de 
C  el  de  A. 

Par  chacun  des  points  de  C  passe  une  trajectoire  que  je  prolonge  depuis  sa 
rencontre  avec  C  jusqu'à  sa  rencontre  avec  C.  L'ensemble  de  ces  trajectoires 
formera  une  surface  trajectoire  T. 

Je  considère  le  volume  V  limité  par  la  surface  trajectoire  T  et  par  les  deux 
aires  A  et  A'.  Supposons  qu'il  v  ait  un  invariant  positif 


.)  =   /  I\I  dxi  (Ix-i  dx-i. 


J'étends  cet  invariant  au  volume  V  et  j'écris  que  -r  est  nul. 

Soit  (/w    un  élément  de   l:i   surface    S.   Menons  la   normale  à  cet  élément, 
prenons  sur  cette  normale  une  longueur  infiniment  petite  dn.  Soit  &  -\-  -r-  dn 

la  valeur  de  0  à  l'extrémité  de  cette  longueur.  Si  l'on  a  mené  la  normale  dans 

le  sens  des  0  croissants,  on  aura 

dB 


=  H, 


dn 

Posons 

de  ^,       de  ^.      de  ^. 

-7—  Xi  -1-     -;—   X2+   -; X:, 

dx,             dx-.            dx-i 

de 

du 

1  aura  alors 

^;  =  AiH^Ao-rM. 

la  première  intégrale  étant  étendue  à  l'aire  A'  et  la  seconde  à  l'aire  A. 

L'intégrale    /  MH  rfw  conserve  la  même  valeur  (pi'(jn  l'élende  à  l'aire  A,  ou 
à  A',  ou  par  conséquent  à  A".  C'est  donc  un  invariant  inti'gral   d'une  nature 


ET    LES   ÉQUATIONS    DE    LA    DYNAMIQUE.  3l3 

particulière  (|ui  conservu  la  même  valeur  pour  une  aire  quelconque  ou  pour 
l'une  de  ses  conséquentes. 

Gel  invariant  est  d'ailleurs  positif,  car  par  hvpoliièse.  M,  H  et  par  conséquent 
Mil  sont  positifs. 

8.  —  Usage  des  invariants  intégraux. 

Ce  (|ui  fiiit  l'intérêt  des  invariants  intégraux,  ce  sont  les  théorèmes  suivants 
dont  nous  ferons  un  fréquent  usage. 

Nous  avons  défini  plus  haut  la  stabilité  en  disant  (jue  le  point  mobile  P  doit 
restera  distance  finie;  on  l'entend  quelquefois  dans  ini  autre  sens.  Pour  (ju'il  ■ 
y  ait  stabilité,  il  faut  que  le  point  P  revienne  au  bout  d'un  temps  suffisamment 
long  sinon  à  sa  position  initiale,  du  moins  dans  une  position  aussi  voisine  que 
l'on  veut  de  cette  position  initiale. 

C'est  dans  ce  dernier  sens  que  Poisson  entendait  la  stabilité.  Lorsqu'il  a 
démontré  que,  si  l'on  tient  compte  des  secondes  puissances  des  masses,  les 
grands  axes  des  orbites  demeurent  invariables,  il  s'est  seulement  attaché  à 
établir  (jiie  les  développements  de  ces  grands  axes  en  séries  ne  contiennent  que 
des  termes  périodiques  de  la  forme  sina/  ou  cosa^,  ou  des  termes  mixtes  de  la 
forme  t  sinc.t  o\i  tcosy.t.  sans  contonii-  aucun  terme  séculaire  delà  forme  t 
ou  t'-.  Cela  ne  signifie  pas  que  les  grands  axes  ne  peuvent  jamais  dépasser  une 
certaine  valeur,  car  un  terme  mixte  tcos7.t  peut  croître  au  delà  de  toute 
limite;  cela  veut  dire  seulement  que  les  grands  axes  repasseront  une  infinité  de 
fois  par  leur  valeur  primitive. 

La  stabilité,  au  sens  de  Poisson,  peut-elle  appartenir  à  toutes  les  solutions  ? 
Poisson  ne  le  croyait  pas,  car  sa  démonstration  suppose  expressément  ([ue  les 
moyens  mouvements  ne  sont  pas  commensurables  ;  elle  ne  s'applique  donc  pas 
qu(!lles  que  soient  les  conditions  initiales  du  mouvement. 

L'existence  des  solutions  asymptotif[ues,  c[ue  nous  établirons  plus  loin, 
montre  suffisamment  que  si  la  positiou  initiale  du  point  P  est  convenablement 
choisie,  ce  point  P  ne  repassera  pas  une  infinité  de  fois  aussi  prés  que  l'on 
voudra  de  cette  position  initiale. 

Mais  je  me  propose  d'établir  que,  dans  un  des  cas  particuliers  du  problème 
des  trois  corps,  on  peut  choisir  la  position  initiale  du  point  P  (et  cela  d'une 
infinité  de  manières),  de  telle  façon  que  ce  point  P  repasse  une  infinité  de  fois 
aussi  près  que  l'on  voudra  de  sa  position  initiale. 

H.  P.  —  VII.  4<) 


3l4  SUR    LF.    PROBLÈME    DES    TROIS   CORPS 

Eli  il'aiilrcs  leriues,  il  y  uura  iiuo  inliiiilt'  de  soliilions  parliculières  dvi  pro- 
blème ijni  110  jouiront  pas  île  la  slaliililé  au  second  sens  du  mol,  c'est-à-dire  au 
sens  de  Poisson;  mais  il  y  en  aura  une  infinité  qui  en  jouiront.  J'ajouterai  que 
les  premières  peuvent  être  regardées  comme;  exceptionnelles  et  je  chercherai 
plus  loin  à  faire  comprendre  le  sens  précis  que  j'attache  à  ce  mol. 

Supposons  n  =  3  et  imaginons  que  X\,  u-,.  .r,,  représentent  les  coordonnées 
d'un  point  P  dans  l'espace. 

Tiii^oRKME  1.  —  Sii/>posons  que  le  jioint  P  reste  à  distance  finie,  et  que  le 

volume  j  clx,  d.i-,dx:t   soit    un   invariant  intégral:  si   Von   considère    une 

région  r„  quelconque.,  quelque  jietile  que  soit  cette  région,  il  r  aura  des 
trajectoires  qui  In  traverseront  une  infinité  île  fois. 

En  effet  le  point  P  restant  à  distance  finie,  ne  sortira  jamais  d'une  région 
limitée  R.  J'appelle  V  le  volume  de  cette  région  R. 

Imaginons  maintenant  une  région  très  petite  /'o,  j'appelle  c  le  volume  de  cette 
région.  Par  chacun  des  points  de  /'o  passe  une  trajectoire  que  l'on  peut  regarder 
comme  parcourue  par  un  point  mobile  suivant  la  loi  définie  par  nos  équations 
différentielles.  Considérons  donc  une  infinité  de  points  mobiles  remplissant  au 
temps  zéro  la  région  /•„  et  se  mouvant  ensuite  conformément  à  cette  loi.  Au 
temps  T  ils  rempliront  une  certaine  région  r,.  au  temps  2t  une  région  To,  etc., 
au  temps  n-  une  région  /„.  Je  puis  supposer  que  t  est  assez  grand  et  r,,  assez 
petit  pour  que  /„  et  r^  n'aient  aucun  point  commun. 

Le  volume  étant  un  invariant  intégral,  ces  diverses  régions  r,,,  r^.  .  .  .,  r„ 
auront  même  volume  ^'.  Si  ces  régions  n'avaient  aucun  point  commun,  le 
volume  total  serait  plus  grand  que  nv;  mais  d'autre  part  toutes  ces  régions  sont 
intérieures  à  R,  le  volume  total  est  donc  plus  petit  que  V.  Si  donc  on  a 

V 

n  >  -  ) 

V 

il  faut  que  deux  au  moins  de  nos  régions  aient  une  partie  commune.  Soient  r^ 
et  Ty  ces  deux  régions  (q  ^ />)•  Si  r,,  et  /',;  ont  une  partie  commune,  il  est  clair 
que  r„  et  r,,-f,  devront  avoir  une  partie  commune. 

Plus  généralement,  si  l'on  ne  pouvait  trouver  /.■  régions  ayant  une  partie 
commune,  aucun  point  de  l'espace  ne  pourrait  appartenir  à  plus  de  /." —  i  des 


ET    LES    ÉQUATIONS    DE    LA    DYNAMIQUE.  3l5 

régions  r„,  l'i,  ....  /■„.  Le  volume  total  occupé  par  ces  régions  serait  donc  plus 
grande  que  j Si  donc  on  a 


n  >  {A-  —  11  —  1 
r 


il  faut  que  l'on  puisse  trouver  /.  ré^'ions  ayant  une  partie  commune.  Soient 
r^,^,  r^,^,  ....  /•/,,  ces  régions.  Alors  ?■„,  '/,.-/,,;  ''p,-p,y  ■  ■  ■  ■  ''/n-/',  auront  aussi  une 
partie  commune. 

Mais  reprenons  la  question  à  un  autre  point  de  vue.  Par  analogie  avec  la 
nomenclature  du  paragraphe  précédent  nous  conviendrons  de  dire  que  la 
région  r»  est  la  /i'*""'  conséquente  de  r„  et  que  r,,  est  la  n^'""'  antécédente  de  r„. 

.Supposons  alors  que  r^  soit  la  première  des  conséquentes  successives  de  i\ 
qui  ait  une  partie  commune  avec  /„.  Soit  ;•'„  cette  partie  commune;  soit  s'^  la 
p""""  antécédente  de  ;''„  qui  fera  aussi  partie  de  /■„,  puisque  sa/)"'"'"  conséquente 
fait  partie  d(;  Fp. 

Soit  ensuite  r'^,^  la  première  des  conséquentes  de  /•'„  qui  ait  une  partie  com- 
mune avec  r'„  ;  soit  /•,',  cette  partie  commune;  sa  (/)i )'"'""  antécédente  fera  partie 
de  r'g  et  par  conséquent  de  r,,,  et  sa  (p  +/>i  )''""°  antécédente  quej'appellerai  s"„ 
fera  partie  de  s',  et  par  conséquent  de  /■„. 

Ainsi  si  fera  partie  de  /•„  ainsi  que  ses  p'*'""'  el  {p  +  p\  )'''""  conséquentes. 

Et  ainsi  de  suite. 

Avec  l'I  nous  formerons  i\  comme  nous  avons  formé  l'I  avec  r'„  et  /•'„  avec  r„  ; 
nous  formerons  ensuite  ;'|,^ r',l 

.le  supposerai  que  la  première  des  conséquentes  successives  de  r'û  qui  ait  une 
partie  commune  avec  r",  soit  celle  d'ordre/?,,. 

J'appellerai  s",  l'antécédente  d'ordre  /'  -f-/'i  4-/'i  + .  .  •  +/>/,_ i  de  /•". 

Alors  5"  fera  partie  de  /■„  ainsi  que  ses  n  conséquentes  d'ordre 

De  plus  $1  fera  partie  de  s'l'\  s'I'^  de  s"„'' ■,  .... 

Il  y  aura  alors  des  points  qui  appartiendront  à  la  fois  aux  régions  r,,,  s\, 
s„,  .  .  . ,  s'I,  .vil  ' .....  L'ensemble  de  ces  points  formera  une  région  a  qui  pourra 
d'ailleurs  se  réduire  à  un  ou  à  plusieurs  points. 

Alors  la  région  a  fera  partie  de  r„  ainsi  que  ses  conséquentes  d'ordre 

p,      P-i-Pu       ••■■      /'  -l-/'l  -H..  .  +  /)„,      /'  -H/' 1 -H.  .  .-4- /<„-!- /*„+!,       

En  d'autres  termes,  toute  trajectoire  issue  d'un  des  points  de  u  traversera 
un((  infinité  de  fois  la  région  /•„.  c.   q.   f.   d. 


3l6  SUR    LE    PROBLÈME   DES   TROIS   CORPS 

GoROLLAiiiE.  —  //  résulte  de  ce  qui  iir<''cède  qu'il  existe  une  infinité  de 
trajectoires  qui  Irai-ersent  une  infinité  de  fois  la  région  /•„  ;  mais  il  peut  en 
exister  d'autres  qui  ne  traversent  celle  région  qu'un  nombre  Jini  de  fois.  Je 
me  propose  maintenant  d'expliquer  pourquoi  ces  dernières  trajectoires 
peuve?it  être  regardées  comme  excejitionnelles. 

Celle  expression  n'ayant  par  ellc-niênie  aucun  sens  précis,  je  suis  obligé 
d'abord  d'en  conipléler  la  définition. 

Nous  conviendrons  de  dire  que  la  probabilité  pour  que  la  position  initiale  du 
point  mobile  V  appartienne  à  une  certaine  région  /■„  est  à  la  probabilité  pour 
(|ue  celte  position  initiale  appartienne  à  une  autre  région  r[,  dans  le  même 
rapport  que  le  volume  de  /'o  au  volume  de  r'„. 

Les  probabilités  étant  ainsi  définies,  je  me  propose  d'établir  que  la  probabi- 
lité pour  qu'une  trajectoire  issue  d'un  point  de  /"o  ne  traverse  pas  celte  région 
plus  de  A"  t'ois  est  nulle,  quelque  grand  que  soit  k  et  quelque  petite  que  soit  la 
région  /■„.  C'est  là  ce  que  j'entends  quand  je  dis  que  les  trajecloires  qui  ne 
traversent  Tq  qu'un  nombre  fini  de  fols  sont  exceptionnelles. 

Je  suppose  que  la  position  initiale  du  point  P  appartienne  à  /■„  et  je  me 
propose  do  calculer  la  probabilité  pour  que  la  trajectoire  issue  de  ce  point  ne 
traverse  pas  /.■  +  i  fols  la  région  r,,  depuis  l'époque  zéro  jusqu'à  l'époque  nr. 

Nous  avons  vu  que  si  le  volume  i>  de  ;•(,  est  tel  que  n  >  -^^ — j  on  pourra  trouver 

/.■ -|- I  réglons  que  j'appellerai  r,,,  r,_,  r^.,  ...,  /'a,  et  qui  auront  une  partie 
commune.  Soit  ^^^  cette  partie  commune,  soit  s„  son  antécédente  d'ordre  a/,;  et 
désignons  par  S/,  la  y>''""'  conséquente  de  s^. 

Je  dis  que  si  la  position  initiale  du  point  P  appartient  à  s„,  la  trajectoire 
issue  de  ce  point  traversera  A"  +  i  fois  au  moins  la  région  r„  entre  l'époque  zéro 
et  l'époque  nz. 

En  ellet,  le  point  mobile  (|ul  décrit  celle  trajectoire  se  trouvera  à  l'époque  zéro 
dans  la  région  i,,,  à  l'époque  pz  dans  la  région  Sp,  à  l'époque  nz  dans  la 
région  s,,-  Il  traversera  donc  nécessairement,  entre  les  époques  zéro  et  nz,  les 
régions  suivantes  :  s„,  .faj_ï,_,,  «aj-ïj-,-  •••)  -îj,  -=c,î  ■^ai-a,!  ^y.i-  Or  je  dis  que  toutes 
ces  régions  font  partie  de  /•„.  En  effet  .^3,1  fait  partie  de  /'o  par  définition;  s^  fait 
partie  de  /'„  parce  que  sa  (a/,)''"'"  conséquente  i^j  fait  partie  de  r^p  et  en 
général  i2,_j.,  fera  partie  de  r»  parce  ipie  sa  (a,)'"""^  conséquence  s^.^  fait  partie 
de  r, . 


ET   LES   ÉQUATIONS    DE   LA   DYNAMIQUE.  Siy 

Donc  le  point  mobile  traversera  /> -f- i  fois  au  moins  la  région  i\,. 

c.   <j.   F.    n. 

Soit  maintenant  o-,,  la  portion  de  /■„  cjui  n'appartient  ni  à  s^.  ni  à  aucune 
région  analogue,  de  telle  façon  que  les  trajectoires  issues  des  divers  points  de  cr„ 
ne  traversent  pas  la  région  /•„  au  moins  k  -+-  i  fois  entre  les  époques  zéro  et  nz. 
Soit  w  le  volume  de  cr„. 

La  probabilité  cherchée,  c'est-à-dire  la  probabilité  pour  que  notre  trajectoire 

ne  traverse  pas  k  -+-  i  fois  r„  entre  ces  deux  époques  sera  alors 

Or  par  hypothèse  aucune  trajectoire  issue  de  (7^  ne  traverse  /•  -f-  i  fois  /•„  ni 
a  fortiori  a,,  entre  ces  deux  époques.  On  a  donc 

n 

■                k\' 
et  notre  probabilité  sera  plus  petite  que Quelque  grand  (jue  soil /.',  quelque 

petit  que  soit  v,  on  pourra  toujours  prendre  n  assez  grand  pour  que  celte 
expression  soit  aussi  petite  que  nous  le  voudrons.  Donc  il  y  a  une  probabilité 
nulle  pour  que  notre  trajectoire,  que  nous  savons  issue  d'un  point  de  /•„, 
ne  traverse  pas  cette  région  plus  de  /.'  fois  depuis  l'époque  zéro  jusqu'à 
l'époque +c».  c.    q.    f.   d. 

Extension  du  théorème  I.  —  Nous  avons  supposé  : 

1  "  que  71  =  3  ; 

2"  que  le  volume  est  un  invariant  intégral; 

3"  que  le  point  P  est  assujetti  à  rester  à  distance  finie. 

Le  théorème  est  encore  vrai  si  le  volume  n'est  pas   un   invariant  intégral, 
pourvu   qu'il   existe  un  invariant   positif  quelconque   /  M  dxi  dx^  dx,,.  Il  est 

encore  vrai  si  n  >  3,  s'il  existe  un  invariant  positif  /  Mdxi  dx->  .  .  .  dx,,,  et 

SI  ^1,  a".j,  .  .  .,  .r„,  coordonnées  du  point  P  dans  l'espace  à  /i  dimensions,  sont 
assujetties  à  rester  finies. 

Mais  il  y  a  plus.  Supposons  que  .r,,  x-,,  .  .  .,  x,,  ne  soient  plus  assujetties  à 

rester  finies,  mais  que  l'invariant  intégral  positif  /  M  dxi  dx-.  .  .  .  dxa  étendu  à 

l'espace  à  n  dimensions  tout  entier  ait  une  valeur  finie.  Le  théorème  sera 
encore  vrai. 


3l8  SUR    LE    PROBLÊME    DES    TROIS   CORPS 

\  oici  lui  cas  qui  se  présenlcra  plus  fréquemment. 
Supposons  que  l'on  connaisse  une  intégrale  des  équations  (i) 

F(a:i,  X,,  .  .  . .  x„)  =  consl. 

Si  F  =  const.  est  l'équation  générale  d'un  système  de  surfaces  fermées  dans 
l'espace  à  n  dimensions,  si  en  d'autres  termes  F  est  une  fonction  uniforme  qui 

devient  infinie  quand  une  quelconque  des  variables  x,,  a,\., r„  cesse  d'être 

finie,  il  est  clair  que  x'i,  x.,,  ....  x,,  resteront  toujours  finies,  puisque  F 
conserve  une  valeur  constante  finie;  on  se  trouve  donc  dans  les  conditions  de 
l'énoncé  du  théorème. 

Mais  supposons  que  les  surfaces  F  =  const.  ne  soient  pas  fermées;  il  pourra 

se  faire  néanmoins  que  l'invariant  intégral  positif  /  M  dx^  dx^  ■  ■  ■  dx,,  étendu 
à  tous  les  systèmes  de  valeurs  des  x  tels  que 

C,  <  F  <  G., 

ail  une  valeur  finie;  le  théorème  sera  encore  vrai. 

C'est  ce  qui  arrive  en  particulier  dans  le  cas  suivant. 

M.  Hill  dans  sa  théorie  de  la  Lune  a  négligé  dans  une  première  approximation 
la  parallaxe  du  Soleil,  l'excentricité  du  Soleil  et  l'inclinaison  des  orbites;  il  est 
ainsi  arrivé  aux  équations  suivantes  : 


dx 

dx-             ,    , 

dy 
-d}=>' 

dy'             ,  . 
■  dt=     ^"■^' 

qui  admettent  l'intégra 

le 

F  — 

x 

-  + ,)''-            [Jl 

_  v'(.^--*-.r')" 


\n"X 


'i     , 
n"-  .K-  =  const. 


2  ^x-^  H 

et  l'invariant  intégral   /  dxdydx'dr'- 

Si  l'on  regarde  x,y,  .//  et  j-'  comme  les  coordonnées  d'un  point  dans  l'espace 
à  quatre  dimensions,  l'équation  F  =  const.  représente  un  système  de  surfaces 
qui  ne  sont  pas  fermées.  Mais  l'invariant  inlégral  étendu  à  tous  les  points 
compris  entre  deux  de  ces  surfaces  esl  fini,  comnie  nous  allons  le  montrer. 

f^e  théorème  I  est  donc  encore  vrai;  c'est-à-dire  (ju'il  existe  des  triijectoires 
qui  traversent  une  infinité  de  fois  toute  région  de  l'espace  à  quatre  dimensions, 
quelque  petite  que  soit  cette  région. 


ET   LES   ÉQUATIONS   DE   LA    DYNAMIQUE.  Sig 

Soit  donc  à  calculer  l'intégrale  quadruple 


J  =   /   dx  dy  dx  dy' , 


cette  intégrale  étant  étendue  à  tous  les  systèmes  de  valeurs  tels  que 

C,<F<C2. 
Changeons  de  variables  et  transformons  notre  intégrale  quadruple,  en  posant 

x'  =  cos  o  ^1  r,        y  =  sin  s  y/y  r, 
X  =  p  cos  (0,  J'  =  ?  sin  oj  ; 

cette  intégrale  devient 

i  =  j   p  dp  dr  c/to  ds , 
et  il  vient  d'autre  part 

F  =  /-  — n-p-  cos-  oi. 

p  2 

Nous  devons  intégrer  d'abord  par  rapport  à  cp  entre  les  limites  zéro  et  2  7ï,  ce 
qui  donne 

}  =  î-  j  p  dp  dr  dt<) , 

et  l'intcgrallon  doit  être  étendue  à  tous  les  systèmes  de  valeurs  de  p,  ;•  et  w  qui 

satisfont  aux  inégalités 

(i)  /■  >  o,         r  >  Ci-+- -  -t- -  «'-B-cos'-w,         r  <cCî-h   -  -h  -  n'^p-cos'-M. 

^  '  p         2  p         2        ' 

De  ces  inégalités  on  peut  déduire  la  suivante  : 

r         l^        '^     '..    ..        o      ^ 
C»  -I-  -  H —  n  -0-  cos-  (0  >  o. 

?         ^ 

Regardons  p  et  gj  comme  les  coordonnées  polaires  d'un  point  et  construisons  la 

courbe 

C.1  -I-  — I —  n-p-  cos-  (0  =  o. 
P        '-i 

Nous  verrons  que  si  G2  est  plus  petit  que  —  -  (r)«'pi)^  cette  courbe  se  compose 
d'une  ovale  fermée  située  tout  entière  à  l'intérieur  du  cercle 


et  de  deux  branches  iniinies  situées  tout  entières  à  l'extérieur  de  ce  cercle. 
Le    lecteur    fera    facilement   celte   construction;    s'il   y   éprouvait  quelque 


320  SUR    LE    PROBLÈME    DES    TROIS   CORPS 

difficulté,  je  le  renverrais  au  Méiuoire  original  de  M.  Hill  dans  le  Tome  I  de 
V American  Journal  of  Mathematics. 

M.  Hill  conclul  (le  là  que  si  le  poiul  p,  to  est  à  l'origine  des  lumps  à  l'inlérieur 
de   cette  ovale  fermée,  il  y   restera   toujours;   que  par  conséquent   p   restera 

toujours  j)lus  petit  quei/-^-  Aiusi  si  l'on  négligeait  la  parallaxe  du  Soleil, 

son  excentricité  et  les  inclinaisons,  il  serait  permis  d'assigner  une  limite  supé- 
rieure au  rayon  vecteur  de  la  Lune.  En  ce  qui  concerne  la  Lune,  en  elfet,  la 

constante  Gj  est  plus  petite  que (Q/f'f-i.)'. 

C'est  ce  remarquable  résultat  de  M.  Hill  que  je  me  propose  de  compléter  en 
montrant  que,  dans  ces  conditions,  la  Lune  jouirait  également  de  la  stabilité  au 
sens  de  Poisson;  je  veux  dire  par  là  que,  si  les  conditions  initiales  du  mouve- 
ment ne  sont  pas  exceptionnelles,  la  Lune  repassera  une  infinité  de  fois  aussi 
près  que  l'on  voudra  de  sa  position  primitive.  C'est  pour  cela,  comme  je  l'ai 
expliqué  plus  haut,  que  je  me  propose  de  démontrer  que  l'intégrale  J  est  finie. 

Comme  p  est  plus  petit  que  i/t^  fï'  pai'  conséquent  limité,  l'intégrale 


=  ../p./p 


://■  dw 


ne  peut  devenir  infinie  que  si  r  croît  indéfiniment,  et  r  ne  peut  devenir  infini, 
en  vertu  des  inégalités  (r),  que  si  p  s'annule. 
Posons  donc 

J  =  J'-+-J", 

.1'  représentant  l'intégrale  étendue  à  tous  les  systèmes  de  valeurs  tels  que 

(2)  r>o,         p>p„,         Ci<F<C,, 

et  J"  représentant  l'intégrale  étendue  à  tous  les  systèmes  de  valeurs  tels  que 

(3)  r>o,        p<p„,        C,<F<Co. 

Quand  les  inégalités  (a)  sont  satisfaites  p  ne  peut  s'annuler;  donc  /•  ne  peut 
devenir  infini.  Donc  la  première  intégrale  J'  est  finie. 

Examinons   maintenant  .)".  .le  puis  supposer  que  pd  a  été  pris   assez  petit 
pour  que 

C.-^!^>o. 


ET    LES   ÉQUATIONS   DE   LA    DYNAMIQUE.  321 

Les  inégalités  F  >  Ci ,  p  <  po  entraînenl  alors  /•  >  o.  Nous  devons  donc  intégrer 
par  rapport  à  /•  entre  les  limites 


Il  vient  alors 


Cl  -h  -  H —  n  -p-  cos-oj     et     Ci  -t-  ' — i —  n-a^  cos-w. 
p        2        '^  -        p        2        '^ 

J"=  2JC(C.—  Cl)    /         dM   j         p  rfp  =  2Jt'-p5(Cî—  C). 


J"  et  par  conséquent  J  est  donc  fini.  c.   q.   f.   d. 

M.  Bohlin  a  généralisé  de  la  manière  suivante  le  résultai  de  M.  Hill.  Consi- 
dérons le  cas  particulier  suivant  du  problème  des  trois  corps.  Soit  A  un  corps 
de  masse  i — p^,  B  un  corps  de  masse  p.  et  C  un  corps  de  masse  infiniment 
petite.  Imaginons  que  les  deux  corps  A  et  B  (dont  le  mouvement  doit  être 
képlerien,  puisqu'il  n'est  pas  troublé  par  la  masse  de  C)  décrivent  autour  de 
leur  centre  de  gravité  commun  supposé  (ixe  deux  circonférences  concentriques, 
et  que  C  se  meuve  dans  le  plan  de  ces  deux  circonférences.  Je  prendrai  pour 
unité  de  longueur  la  distance  constante  AB,  de  telle  façon  que  les  rayons  de 
ces  deux  circonférences  soient  i  —  ;jl  et  p.  Je  supposerai  que  l'unité  de  temps 
ait  été  choisie  de  telle  sorte  ([ue  la  vitesse  angulaire  des  deux  points  A  et  B  sur 
leurs  circonférences  soit  égale  à  i  (ou  ce  qui  revient  au  même  que  la  constante 
de  Gauss  soit  égale  à  i). 

Choisissons  alors  deux  axes  mobiles  ayant  leur  origine  au  centre  de  gravité 
des  deux  masses  A  et  B;  le  premier  de  ces  axes  sera  la  droite  AB,  et  le  second 
sera  perpendiculaire  au  premier. 

Les  coordonnées  de  A  par  rapport  à  ces  deux  axes  sont  —  p.  et  zéro,  celles 
de  B  sont  i  —  p.  et  zéro;  quant  à  celles  de  C  je  les  appelle  x  ol  y;  j'ai  alors  pour 
les  équations  du  mouvement  : 

dx         ,  dx'  ,      d\ 


en  posant 

On  a  d'ailleurs 


dv         ,  dv'  ,      dV 

-7-  =  y  ,  -T-  =  —  2X  -\ — r- 

dt       -^  '  dt  dy 


V  =  ■  ~  f^    .     ^ 


AC         BC 


AC    =(ar-HtJi)2+ r2,         BC  =  (.c  +  jji  — 1)2-4- y2. 
Ces  équations  admettent  une  intégrale 

2  2 

II.  P.  -  VII. 


322  SUR    LE    PROBLÈME   DES    TROIS   CORPS 

el  un  invariant  intégral 


J  =;    /   iIjc  dy  c/x'  dy' . 


M.  Bohlin,  dans  le  Tome  10  des  Acta  Mathenialica,  a  généralisé  le  résultat 

de  M.  lliU,  en  montrant  que  si  la  constante  K  a  une  valeur  convenable  (ce  que 

nous  supposerons)  et  si  les  valeurs  initiales  de  x  el  de  j  sont  assez  petites,  ces 

quantités  x  el  y  resteront  limitées. 

Je  me  propose  maintenant  de  montrei'  que  l'intégrale  J  étendue  à  tous  les 

systèmes  de  valeurs  tels  que 

K,<F<K2 

est  finie;  d'où  nous  pourrons  conclure,  comme  nous  l'avons  fait  plus  haut,  que 
la  stabilité  au  sens  de  Poisson  subsiste  encore  dans  ce  cas. 

Si  les  constantes  Ki  et  K;.  sont  convenablement  choisies,  le  théorème  de 
M.  Bohlin  montre  que  x  et  )•  seront  limités.  Quant  à  x'  et  )'  ils  ne  pourront 
devenir  infinis  ([ue  si  V  devient  infini,  c'est-à-dire  si  AC  s'annule,  ou  si  BC 
s'annule. 

Posons  alors 

J  =J' -H  .)"+]"', 

l'intégrale  J'  étant  étendue  à  tous  les  systèmes  de  valeurs  tels  que 

K,<F<K,,        ÂC''>P6,         Bg'>P5         (p°<^)' 
l'intégrale  J"  à  tous  les  systèmes  de  valeurs  tels  que 

K,<F<K2,        Âc'<p2        (d'où  BcVpi), 

et  l'intégrale  J'"  à  tous  les  s^'stèmes  do  valeurs  tels  que 

K,<F<K2,         Bc'<pS         (d'oùÂG'>p§). 

Comme  pour  aucun  des  systèmes  de  valeurs  auxquels  l'intégrale  J'  est  étendue, 
AC  ou  BC  ne  s'annule,  cette  intégrale  J'  est  finie. 

Examinons  maintenant  l'intégrale  J".  Je  puis  supposer  que  po  ail  été  choisi 
assez  petit  pour  que 

-f-  k,  >  o, h  K,  >  o. 

po  po 

r-v  x'^-i-  y'-  1         !•       • 

Dans  ce  cas ;-^ —  peut  varier  entre  les  limites 

I  • —  u  u.  2  ,,  I  —  u  iJ.  ;r-  -(-  r^        , 

L.  =  K,  -t-  -—f  -)-  ^  -H  -— — ,         el         K2-H  -r-^  +  -57;  H r^  =  '--> 

A  G  BG       x--^y-  AG  BG  2 

car  la  plus  petite  de  ces  deux  limites  est  positive. 


ET   LES    ÉQUATIONS   DE   LA   DYNAMIQUE.  323 

Posons  alors  comme  plus  haut  : 

/ —                      ,        / —    •                 ,.    .                  x'--h  ■)■'- 
X  =  v^arcosif,         y  =  \/2r  sinç,         d  ou         r  =  ■ — ; 

l'intégrale  deviendra 

J  "  =  /   (ix  dy  dr  f/o , 

et  l'on  devra  intégrer  par  rapport  à  cp  entre  les  limites  zéro  et  2  7r  et  par  rapport 
à  r  entre  les  limites  L|  et  Lo  ;  il  viendra  donc 

J"=  2Jr(K2— Kl)  jdxdy. 

L'intégrale  double   /  dx  <1y  devra  être  étendue  à  tous  les  systèmes  de  valeurs 

tels  que  AG  <  p^  ;  elle  est  donc  égale  à  tt.-.J  ;  de  sorte  qu'il  vient 

J"=  i-^ù%{K,—  Kl). 

J"  est  donc  fini,  et  il  en  est  de  même  de  J"  et  de  J.  c.  q.  f.  d. 

Nous  devons  donc  conclure  que  (si  les  conditions  initiales  du  mouvement  ne 
sont  pas  exceptionnelles  au  sens  donné  à  ce  mot  dans  le  corollaire  du  théo- 
rème l)  le  troisième  corps  C  repassera  une  infinité  de  fois  aussi  près  que  l'on 
voudra  de  sa  position  initiale. 

Dans  le  cas  général  du  problème  des  trois  corps,  on  ne  peut  plus  affirmer 
qu'il  en  sera  encore  de  même. 

Théorème  II.  —  Si  n  =z  3  et  que  Xi,  x.^,  x,.,  représentent  les  coordonnées 
d'un  point  dans  Vespace  ordinaire,  et  s'il  y  a  invariant  positifs  il  ne  peut 
pas  y  avoir  de  surface  fermée  sans  contact. 

Soit,  en  efl'el, 

J  =  /  M  dxi  dxi,  dxn, 

un  invariant  intégral  positif.  Supposons  qu'il  existe  une  surface  S  fermée  et 
sans  contact,  avant  pour  équation 

F(a;i,  Xi,  X3)  =:  o. 

Soit  V  le  volume  limité  par  cette  surface;  nous  étendrons  l'invariant  J  à  ce 
volume  tout  entier. 

La  surface  S  étant  sans  contact,  l'expression 

dF  ^.         dF  ^,         dF  ^. 
-;— X,-+--7— Xo-H  -7— Xa 
dxi  dx-i  dxi 


324  SUR    LE   PROBLÈME   DES   TROIS   CORPS 

ne  pourra  s'annuler  el  par  conséquent  changer  de  signe;  nous  la  supposerons 
positive  |>our  fixer  les  idées. 

Soit  rfeo  un  élément  de  la  surface  S;  menons  la  normale  à  cet  élément  du  côté 
des  F  croissants;  prenons  sur  celte  normale  un  segment  infiniment  petit  dn. 

Soit  -y- dn  la  valeur  de  F  à  l'extrémité  de  ce  segment.  On  aura 
an  ° 

dF  ^ 

J  étant  un  invariant,  on  devrait  avoir 

di 


dt^""- 


Mais  nous  trouvons 


d¥  .,        d¥  ^.        d¥  ^, 

dt        J 


d¥_ 
dn 

L'intégrale  du  second  membre,  étendue  à  toute  la  surface  S,  est  positive,  puisque 

la  fonction  sous  le  signe   /  est  toujours  positive. 

Nous  arrivons  donc  à  deuï  résultats  contradictoires  et  nous  devons  conclure 
qu'il  ne  peut  exister  de  surface  fermée  sans  contact. 

Extension  du  théorème  II.  —  Il  est  facile  d'étendre  ce  théorème  au  cas 
de  rt>  3;  il  suffit  pour  cela,  puisque  la  représentation  géométrique  n'est  plus 
possible,  de  la  traduire  dans  le  langage  analytique  el  de  dire  : 

S'il  Y  a  un  invariant  intégral  positifs  il  ne  peut  pas  exister  une 
fonction  uniforme  F(ari,  .r^,  •  •  -,  x,,)  qui  soit  positive,  qui  devienne  infinie 
toutes  les  fois  que  l'un  des  x  cesse  d'être  fini  et  qui  soit  telle  que 

dF        dF  ^,        ^F  ^  dF  ^ 

-jT  =  -Y-  A 1  -H  -7—  A.  + ...  -I-  -, —  .X„ 
lit         ft.i\  dxi  dx,i 

soit  toujours  de  même  signe  quand  F  est  nul. 

Pour  faire  comprendre  l'importance  de  ce  théorème,  je  me  bornerai  à  faire 
observer  que  c'est  une  généralisation  de  celui  dont  je  me  suis  servi  pour 
démontrer  la  légitimité  de  la  belle  méthode  de  M.  Lindstedl. 

Je  préfère  toutefois,  au  point  de  vue  des  applications  ultérieures,  lui  donner 
une  forme  un  peu  différente  en  v  introduisant  une  notion  nouvelle,  celle  des 
courbes  invariantes. 


ET    LES    ÉQUATIONS    DE    LA    DYNAMIQUE.  3'i5^ 

Nous  avons  à  la  fin  du  paragraphe  précédent  envisagé  une  portion  de 
surface  S,  définie  par  l'équation 

B(x,,  xo,  a-j)  =  o 
et  telle  que  l'on  ait  pour  tous  les  points  de  S  : 

-;— X,-!-    -;— \,+   -;—  \:,>0, 

axi  nxi  rlx-i 

de  telle  sorte  que  S  soit  une  portion  de  surface  sans  contact. 

Nous  avons  défini  ensuite  ce  qu'on  doit  entendre  par  le  n'"""'  conséquent 
d'un  point  de  S  ou  par  la  /i'»"'^'  conséquente  d'une  courbe  ou  d'une  aire  appar- 
tenant à  S.  J'entends  maintenant  cl  j'entendrai  désormais  le  mot  conséquent, 
dans  le  sens  du  paragraphe  précédent,  et  non  dans  le  sens  employé  plus  haut 
dans  la  démonstration  du  théorème  1. 

Nous  avons  vu  que  s'il  existe  un  invariant  positif  ///  Wdxi  ilx-,  dx.i,  il  existe 

également  une  autre  intégrale  /  IMH  c?w  que  l'on  doit  étendre  à  tous  les  élé- 
ments rfco  d'une  aire  appartenant  à  S  et  qui  jouit  des  propriétés  suivantes  : 

i"  La  quantité  sous  le  signe   /  )  MH  est  toujours  posisive. 

2°  L'intégrale  a  la  même  valeur  pour  une  aire  quelconque  appartenant  à  S 
et  pour  toutes  celles  de  ses  conséquentes  qui  existent. 

Gela  posé;  j'appellerai  courbe  invariante  du  n'*""'  ordre,  toute  courbe  tracée 
sur  S  et  qui  coïncidera  avec  sa  w'*""  conséquente. 

Dans  la  plupart  des  questions  de  Dynamique  il  entre  certains  paramétres 
très  petits,  de  sorte  qu'on  est  naturellement  conduit  à  développer  les  solutions 
suivant  les  puissances  croissantes  de  ces  paramètres.  Telles  sont  les  masses  en 
Mécanique  céleste. 

Nous  imaginerons  donc  que  nos  équations  différentielles 

dx\  dxi        _,  dx^        ^ 

~dt  ~   ''      ~dt  ~~  '  -'     Tir  ~  ' 

dépendent  d'un  paramètre  p.  Nous  supposerons  que  X,,  Xo,  X;,  sont  des 
fonctions  données  de  x^,  Xn,  x^  et  jjl,  susceptibles  d'être  développées  selon  les 
puissances  croissantes  de  p.,  et  que  p.  est  très  petit. 

Considérons  alors  une  fonction  quelconque  de  p^;  je  suppose  que  cette 
fonction  tende  vers  zéro  quand  p  tend  vers  zéro,  de  telle  façon  que  le  rapport 


3i6  SUR    LE    PROBLÈME    DES    TROIS   CORPS 

de  celle  fouclioii  à  p."  lenilo  vers  une  limile  finie.  Je  dirai  cjue  celle  fonclioa 
de  /i.  est  une  quanlilé  1res  pclile  du  «''""'  ordre. 

Il  importe  de  rem;uquer  qu'il  n'est  pas  nécessaire  que  cette  fonction  de  p. 
soit  susceptible  d'être  développée  suivant  les  puissances  de  p.. 

Cela  posé,  soient  A,,  et  B,,  deux  points  d'une  surface  sans  contact  S,  et 
soient  A)  et  Bi  leurs  conséquents.  Si  la  position  de  Aq  et  Bo  dépend  de  p. 
suivant  une  loi  quelconque  il  eu  sera  de  même  de  la  position  de  Ai  etB(.  Jeme 
propose  de  démontrer  les  lemmes  suivants  : 

Lem.me  I.  —  ^i  l'on  envisage  une  portion  de  surface  sans  contact  S, 
passant  par  le  point  aa,  bo,  f  o  ",  ■«  ^»,  .To  ^d  -^o"'  '^•^  coordonnées  d'un  point 
de  S  et  SI  x^,  Vi,  Zi  sont  les  coordonnées  de  son  conséquent,  on  pourra 
développer  Xi,  ji,  zi  suivant  les  puissances  de  Xo  —  a.f,,  y„  —  bn,  z^ —  c„  et  p 
pourvu  que  ces  quantités  soient  suffisamment  petites. 

Je  puis  toujours  prendre  pour  origine  le  point  a,,,  65,  C(,  de  telle  façon  que 

«0=  60=  Co=  o. 

Si  alors 

z  =  's{x,y) 

est  l'équation  de  la  surface  S,  celle  surface  passera  par  l'origine  O  et  l'on  aura 

9(0,  o)  =  o. 

Je  supposerai  de  plus  qu'en  tous  les  points  de  la  |3orlion  de  surface  S 
envisagée  la  fonction  '^{x,  y)  est  holomorphe.  Par  l'origine  O  passe  une 
trajectoire;  imaginons  que  quand  p  =  o  celle  trajectoire  vienne  au  temps  t  =  z 
recouper  la  surface  S  en  un  point  P  dont  les  coordonnées  seront  : 

X  =  a,         y  =  b,         z  ^  c. 

D'après  la  terminologie  que  nous  avons  adoptée,  le  point  P  sera  quand  on 
suppose  p  =^  o  le  conséquent  du  point  O. 

Soil  maintenant  x»,  y^,  -s„  un  point  A  très  voisin  de  O  et  appartenant  à  la 
surface  S.  Si  l'on  fait  passer  par  ce  point  A  une  trajectoire,  si  l'on  suppose 
que  p  cesse  d'être  nul,  niais  resie  très  petit,  on  verra  que  celle  trajectoire 
viendra,  à  une  époque  t  très  peu  diliércnte  de  z,  couper  la  surface  S  en  un 
point  B  très  voisin  de  P. 

Ce  point  B  dont  j'appellerai  les  coordonnées  Xi,  }'i,  Zji  sera  d'après  notre 
terminologie  le  conséquent  du  point  A. 


ET   LES   ÉQUATIONS   DE   LA   DYNAMIQUE.  Sîy 

Ce  que  je  me  propose  de  démontrer,  c'est  que  Xi,  j'i,  -i  peuvent  se  déve- 
lopper suivant  les  puissances  croissantes  de  x^,,  j',,,  r,,  et  p.. 

•En  effet,  d'après  le  théorème  III  (§  2),  si  x.  y,  :  sont  les  coordonnées  au 
temps  <  du  point  mobile  qui  décrit  la  trajectoire  issue  du  point  A,  si  de  plus  a?,,, 
y„,  3(1,  p.  et  <  —  T  sont  suffisamment  petits,  on  aura 

!x  =  iii(t  —  z,  11,  Xo,  yo,  Zo), 
y=  <)>2(«  — T,  II,  Xo,  ya,  ^o), 
z  =  'ii^{t  —  -,  IX,  x„,  jo,  3o), 

i];i,  <]^2  ettj;,  étant  des  séries  ordonnées  suivant  les  puissances  de  t  —  t,  p,  x^, 
Ces  séries  se  réduiront  respectivement  à  a,  6,  c  pour 

/  —  -c  =  ;Ji  =  a:,i  =  _>o  =  ;o  =  o. 

Comme  cf{x,  y)  est  développable  suivant  les  puissances  àc.  x  —  aetj'- —  b, 
si  x  —  a  et  j'  —  b  sont  assez  petits,  nous  aurons  également 

<!}{x,  y)  =  ■i/i(^  — x,  [X,  Xo,  Va,  -So), 

ij/4  étant  une  série  de  même  forme  que  i|i,  <\i-^  et  ip:!- 

Écrivons  que  le  point  x,  y,  z  se  trouve  sur  la  surface  S,  nous  aurons 

(5)  ^.=  >l/w 

La  relation  (5)  peut  être  regardée  comme  une  équation  entre  t  —  t,  p,  Xo,  ^'o 
et  2o  c''  l'on  peut  chercher  à  la  résoudre  par  rapport  à  <  —  t. 
Pour 

t  —  -  =  [ji  =  jTo  =  y  M  =  ;o  =  o, 

celte  relation  est  satisfaite,  car  on  a 

D'après  un  théorème  de  Cauchy,  que  nous  avons  démontré  dans  un  des 
paragraphes  qui  précèdent,  ou  pourra  tirer  de  la  relation  (5)  t —  t  sous  la 
forme  suivante  : 

(6)  <  — -  =  e(,a,  .co,  j-o,  So), 

9  étant  une  série  ordonnée  suivant  les  puissances  de  p,  a",,,  i'„  et  z„. 
Il  n'y  aurait  d'esception  que  si  pour 

t  —  T  =  ij.  =  Xo  =  .Vo  =  ;o  =  o,' 
on  avait 

~di  "  ~dt' 


3i8  SUR    LE    PROBLÈME   DES   TROIS   CORPS 

Or  celte  équation  exprime  (jue  la  li'njecloire  issue  du  point  O  pour  j7.  :^  o  va 
toucher  la  surface  S  an  point  P. 

Mais  il  n'en  sera  pas  ainsi,  parce  que  nous  supposerons  lonjours  que  S  est 
une  surface  ou  une  portion  de  surface  sans  contact. 

Dans  les  équations  (4)  remplaçons  t — t  par  0  et  x,  >',  :;  par  Xi,  l'i,  ;i  ;  il 
viendra 

Xi=  e,(n,  Xt,,  .lo,  =o),  J'i  =  ^■l{\>-,  ^0,  J'o,  So),  -1=  63(H,  ^0,  .)'o,  So), 

0i,  02  et  0;,  étant  des  séries  développées  selon  les  puissances  de  p.,  x„,   Yg 
et  ;„.  c.   y.  F.    D. 

Lemme  II.  —  Si  In  distance  de  deux  points  A„  et  B„  appartenant  à  la 
portion  de  surface  sans  contact  S  est  une  quantité  très  petite  d'ordre  n,  il 
en  sera  de  même  de  la  distance  de  leurs  conséquents  A)  et  Bj. 

Soient  en  eflfet  ai,  a,,  as  les  coordonnées  d'un  point  (iie  Po  de  S  très  voisin 
de  Ao  et  de  B,,;  a',,  a',,  a,  les  coordonnées  de  son  conséquent  P(. 

Soient  xi,  Xi,  x^;  x\,  x'.,,  x',',  yi,  y^,  y3\  y\,  y'^,  y',  les  coordonnées  deA(,, 
Aj,  B„  et  Bi. 

D'après  le  lemme  I,  x\  —  a\,  x',  —  a',,  x\ — a',  peuvent  se  développer  selon 
les  puissances  croissantes  de  Xs  —  a^.,  x<x  —  a^,  x,y —  a-i  et  p.. 

L'expression  de  ij  —  a';,  y', —  a'j,  y\^  —  d.  en  fonctions  de  j)',  —  ai,  y-,  —  ao, 
j)'3  ^  a-i  et  fjt.  sera  évidemment  la  même  que  celle  de  x\  — a',,  x„  —  a',,  x\  —  a\  en 
fonctions  de  x^  —  a, ,  x<,  —  «o,  x^  —  a^  et  \j.. 

On  déduit  de  là  que  l'on  peut  écrire 

1  ^\  —y\  =  (*•!  — „'i) Fi  -^ {x-i  —  yi) F2  +  (3:3— j'3) F,, 

(7)  \  x\—y\  =  (,Xi—yi)Y\-\-{x.  —  y.)V\-^(x:,  —  y-i)Y\, 

(  00',- y\  =  (Ti- V-,)  F';  +  (x.-y.,)  FI  +  (.rj-.)',)  F'i, 

les  F  étant  des  séries  développées  suivant  les  puissances  de 

jji,     x^— a^,     X2 — «2,     X:i—a3,     Vi  — «i,     y->— a^,    y-j— a,. 

Les  quantités  F),  Fo,  etc.  sont  finies;  si  donc  Xi — y,,  x-^  —  j'o  et  x^  —  y-^ 
sont  des  quantités  très  petites  d'ordre  n,  il  en  sera  de  même  de  x\  — }', , 
x,  —  y\,  X, —  >■,.  c.    Q.    F.    D. 

Théorème  IIL  —  Soit  AjAMBjB  une  courbe  im'ariante,  de  telle  façon 
que  A,  et  Bi  soient  les  conséquents  de  A  et  B. 

Je  suppose  que  les  arcs  AXi  et  1515)  soient  très  petits  (c'est-à-dire  tendent 
vers  zéro  avec  p.)  mais  que  leur  courbure  soit  finie. 


ET    LES   ÉQUATIONS   DE   LA    DYNAMIQUE.  329 

Je  suppose  que  cette  courbe  invariante  et  la  position  des  points  A  e/  B 
dépendent  de  ij.  suivant  une  loi  quelconque.  Je  suppose  qu'il  existe  un 
invariant  intégral  positif.  Si  la  distance  AB  est  très  petite  du  «"■""■  ordre 
et  que  la  distance  AA,  ne  soit  pas  très  petite  du  n'^"'"  ordre,  l'arc  AA, 
coupe  l'arc  BB,. 

Je  puis  toujours  joindre  les  points  A  et  B  par  un  arc  de  courbe  AB  situé  tout 
entier  sur  la  portion  de  surface  sans  contact  S  et  dont  la  longueur  totale  soit 
du  même  ordre  de  grandeur  que  la  dislance  AB,  c'est-à-dire  une  quantité  très 
petite  du  n""°  ordre.  Soit  Ai  B(  un  are  de  courbe  qui  soit  le  conséquent  de  AB, 
il  sera  aussi  très  petit  du  n'*""^  ordre  d'après  le  Icmme  II. 


Fis.  I.  Fig.  2. 


Voici  maintenant  les  diverses  hypothèses  que  l'on  peut  concevoir  : 

Première  hypothèse.  —  Les  deux  arcs  AA|  et  BBi  se  coupent.  Je  me 
propose  d'établir  que  c'est  cette  hypothèse  qui  est  réalisée. 

Deuxième  hypothèse.  —  Le  quadrilatère  curviligne  AA,  B,  B  est  tel  que  les 
quatre  arcs  qui  lui  servent  de  côtés  n'ont  d'autre  point  commun  que  les  quatre 
sommets  A,  A|  B  et  B, .  C'est  le  cas  de  la  figure  i . 

Troisième  hypothèse.  —  Les  deux  arcs  AB  et  AiBi  se  coupent  en  un 
point  D.  C'est  le  cas  de  la  figure  2. 

Quatrième  hypothèse.  —  L'un  des  arcs  AB  ou  Ai  B,  coupe  l'un  des  arcs  AAi 
ou  BBi  ;  mais  les  arcs  AAi  et  BB)  ne  se  coupent  pas,  non  plus  que  les  deux 
arcs  AB  et  AiBi. 

S'il  y  a  un  invariant  positif,  il  existera  d'après  le  paragraphe  précédent  une 

certaine  intégrale    /  MH  c?oj  dont  tous  les  éléments  seront  positifs  et  qui  devra 

avoir  la  même  valeur  pour  l'aire  ABBiMA  et  pour  sa  conséquente  AA,B,MA. 
Cette  intégrale  étendue  à  l'aire 

ABAiB,=  AA,B,MA  —  ABB.MA 
H.  P.  —  VII.  4a 


33o  SUR    LE    PROBLÈME    DES   TROIS   CORPS 

iloit  donc  èlrfi  uiiUe  cl  comme  tous  les  éléments  do  l'iulégrale  son!  positifs,  la 
disposition  ne  peut  lMpc  celle  de  la  figure  i  où  l'aire  AlL\iBi  est  convexe. 

La  seconde  hypothèse  doit  donc  être  lejetée. 

La  disposition  ne  peut  non  plus  être  celle  de  la  figure  a. 

En  effet,  dans  le  triangle  ADAi,  les  distances  AD  et  A|D  sont  très  petites 
du  «'*""■  ordre  car  elles  sont  plus  petites  que  les  arcs  AD  et  Aj  D,  lesquels  sont 
plus  petits  que  les  arcs  AB  et  A,Bi  qui  sont  du  n'""""  ordre.  De  plus  on  a 

AAi<  AD-t-  A,D. 

La  distance  AAi  devrait  donc  être  une  quantité  très  petite  du  /i'*"""  ordre,  ce 
qui  est  contraire  à  l'énoncé  du  théorème. 

La  troisième  hypothèse  doit  donc  être  rejetée. 

Je  dis  que  la  quatrième  hypothèse  ne  peut  non  plus  être  acceptée.  Supposons 
en  eflct  par  exemple  que  l'arc  AB  coupe  l'arc  AAj  en  un  point  A'.  Soit  ANAi 
la  portion  de  l'arc  AB  qui  va  de  A  en  A';  soit  APA'  la  portion  de  l'arc  AAj  qui 
va  de  A  en  A'. 

Je  dis  qu'on  pourra  remplacer  l'arc  ANA'B  par  l'arc  APA'B;  et  que  le 
nouvel  arc  APA'B  sera  comme  l'arc  primitif  ANA'B  une  quantité  très  petite  du 
«''"^  ordre. 

En  effet  l'arc  ANA'  est  plus  petit  que  AB,  il  est  donc  du  /i'*""  ordre;  la 
dislance  AA.'  est  donc  elle-même  du  n"""  ordre;  l'arc  APA'  est  plus  petit 
que  AA,  qui  est  très  petit,  c'est-à-dire  qui  tend  vers  zéro  avec  jji;  l'arc  APA'  est 
donc  très  petit  et  sa  courbure  est  finie;  on  peut  donc  assigner  une  limite  au 
rapport  de  l'arc  APA' à  sa  corde  AA';  ce  rapport  est  fini  et  AA'  est  du  n'*""^ 
ordre  ;  donc  APA' est  du  7i"'""  ordre.  c.  q.   f.   d. 

D'ailleurs  le  nouvel  arc  APA'B  ne  coupe  plus  l'arc  AA,,  il  a  seulement  avec 
lui  une  partie  commune  APA'. 

On  retombe  donc  sur  la  deuxième  hypothèse  qui  a  déjà  été  rejetée. 

La  première  hypothèse  est  donc  seule  acceptable  et  le  théorème  est  démontré. 

Remarque.  —  Nous  avons  supposé  dans  l'énoncé  du  théorème  que  les 
arcs  AAj  et  BBi  sont  très  petits  et  que  leur  courbure  est  finie.  En  réalité  nous 
ne  nous  sommes  servis  de  cette  hypothèse  que  pour  montrer  que  si  la 
corde  AA'  est  très  petite  du  n^"""  ordre,  il  en  est  de  même  de  l'arc  APA'. 

Le  théorème  sera  donc  encore  vrai  quand  même  l'arc  AAi  ne  serait  pas  très 
petit  et  sa  courbure  finie,  pourvu  qu'on  puisse  assigner  une  limite  supérieure 
au  rapport  d'un  arc  quelconque  (faisant  partie  de  iWi  ou  de  BBi)  à  sa  corde. 


ET    LES    ÉQUATIONS    DE   LA    DYNAMIQUE.  33l 

CHAPITRE  III. 

THÉORIE    DES    SOLUTIONS    PÉRIODIQUES. 

9.  —  Existence  des  solutions  périodiques. 

Considérons  un  système  d'équations  différentielles 
(')  -^  =X,-         <i=  I,  2,  ...,  n) 

où  les  X  sont  des  fonctions  des  x  el  d'un  paranièlre  [j-.  Les  X  pourront  aussi 
dépendre  de  ^,  mais  ce  seront  alors  des  fonctions  périodiques  de  cette  variable 
et  la  période  sera  271. 

Supposons  que  pour  la  valeur  zéro  du  paramétre  p.,  ces  équations  admettent 
une  solution  périodique,  de  telle  sorte  que 

cp,-  étant  une  fonction  périodique  du  temps  dont  la  période  sera  par  exemple  au. 
Posons 

Xt=   3/-I-  |( 

et  cherchons  pour  les  valeurs  très  petites  de  fx  à  trouver  les  valeurs  des  Ç  que 
nous  supposerons  également  très  petites,  il  viendra 

r/t  aïk        ^U      axk 

Dans  les  dérivées  partielles  des  X  lesx,  sont  remplacés  par  les  fonctions  pério- 
diques cp/.  Les  1,  sont  ainsi  déterminés  par  des  équations  linéaires  à  second 
membre  dont  les  coefficients  sont  des  fonctions  périodiques. 
Deux  cas  peuvent  se  présenter. 

i"   Les  équations  sans  second  membre  : 

^     '  dt    --"'«'.^7 

n'admettent  pas  de  solution  périodique  de  période  in. 

Dans  ce  cas  les  équations  à  second  membre  en  admettent  une  que  j'écrirai 

4^  étant  une  fonction  périodique  de  période  271. 


332  SUR    LE   PROBLÈME   DES   TROIS   CORPS 

2"  Les  équations  sans  second  membre  admetteul  une  solulion  de  période  27r. 

Alors  les  équations  à  second  membre  peuvent  ne  pas  avoir  de  sohition 
périodique,  de  (elle  façon  qu'en  t^éni'rul  nous  trouverons  une  solution  de  la 
forme  suivante  : 

^ci=}U'\,,j(t)-hix'laj{t), 

les  'Il  tant  toujours  des  fonctions  périodiques,  ou  même  dans  certains  cas 

Plaçons-nous  dans  le  premier  cas  et  voyons  la  chose  de  plus  près. 
Cherchons  à  former  une  solution  périodique  et  à  la  développer  suivant  les 
puissances  de  |jl;  posons  par  conséquent  : 

.r,-=  3,-+  iJ-^i.i-h  ;J.-<?2.i-l- 

Quand  on  substituera  à  la  place  des  ^,-  ces  valeurs  dans  les  X,,  on  trouvera 

X;=  Xo.,--+-  JJlXi.(+  ÎJ.-X2.i+.  .  .. 

Il  est  clair  que  les  Xq.,-  ne  dépendent  que  des  cp/,  les  Xi.,-  des  cp,-  et  des   91.,, 
les  Xo.,- des  (pi  ,■  et  descpo.,-,  etc.  De  plus  si  les  cp„.,- sont  des  fonctions  périodiques 
de  t  de  période  27;,  il  en  sera  de  même  des  Xn.i- 
Nous  avons  de  plus 

^''•' =2.^  =?"•*+ ^"■'■■ 
Dans  le  second  membre,  dans  les  dérivées  -^t  on  doit  substituer  les  m,-  à  la 

place  des  Xi  ainsi  que  nous  l'avons  fait  plus  haut.  De  plus  Y„  ,  ne  dépendra 
que  des  o,-,  des  91.,-,  des  cpj.,,  ...,  des  9n_i.,;  mais  ne  dépendra  plus  des  Çn./- 
Cela  posé  on  est  conduit  aux  équations  suivantes  : 

,,>  '^■■^n.i      V  ^^>  ,   V 

k 

Supposons  qu'on  ait  déterminé  les  quantités  91,,-,  ©2.1!  •  ■  •  ■>  9n_)  /  à  l'aide  des 
équations  précédentes  sous  forme  de  fonctions  périodiques  de  l;  on  pourra 
ensuite  à  l'aide  des  équations  (3)  déterminer  les  cp,,.,-. 

Ces  équations  (3)  sont  des  équations  linéaires  à  second  membre  et  les 
coefficients  sont  périodiques. 

Par  hypothèse  les  équations  sans  second  membre 

k 


ET    LES    ÉQUATIONS    DE    LA   DYNAMIQUE.  333 

qui  ne  sonl  autres  que  les  équations  (2),  n'ont  pas  de  solution  périodique; 
donc  les  équations  (3)  en  admettent  une. 
Il  résulte  de  là  qu'il  existe  des  séries 

dont  les  coefficients  sont  périodiques  et  qui  satisfont  formellement  aux  équa- 
tions (  I  ). 

Il  resterait  à  démontrer  la  convergence  de  ces  séries.  Nul  doute  que  celte 
démonstration  ne  puisse  se  faire  directement;  je  ne  le  ferai  pas  toutefois,  car 
je  vais,  en  reprenant  la  question  à  un  point  de  vue  dilTérent,  démontrer  rigou- 
reusement l'existence  des  solutions  périodiques,  ce  qui  entraîne  la  convergence 
de  nos  séries.  Nous  n'aurons  en  ellet  qu'à  nous  appuyer  sur  les  principes  les 
plus  connus  du  «  calcul  dos  limites  ». 

Soit  cp,(o) -^- (3,-  la  valeur  de  xt  pour  t^o.  Soit  cp,(o)-l-Y,  '^  valeur  de  Xi 
pour  f  =  271.  Les  y,-  dépendront  évidemment  de  p.  et  des  valeurs  initiales  des 
variables  et  elles  s'annuleront  avec  elles. 

Gela  me  permet  d'écrire 

les  rt,  les  b  et  les  [?/t,  p^,  p.,,  .  •  ■ ,  pn\  étant  des  coefficients  constants. 

On  obtiendra  les  solutions  pciiodiques  de  période  2  7r  en  cherchant  les  cas 
oùy/=(3,.  On  peut  donc  considérer  y.  comme  une  donnée  de  la  question  et 
chercher  à  résoudre  par  rapport  aux  ii  inconnues  (3  les  équations 

Nous  savons  que  les  'j;  sont  des  fonctions  holomorphes  de  p.  et  des  |3  s'annulant 
avec  les  variables.  (  Voir  théorème  III,  §  2.) 

Si  le  déterminant  fonctionnel  des  'j'  par  rapport  aux  (3  (c'est-à-dire  le  déter- 
minant des  bik)  n'est  pas  nul,  on  peut  résoudre  ces  n  équations  et  l'on  trouve 
comme  solution 

p.  =  9,(1^), 

les  0,  étant,  d'après  un  théorème  bien  connu,  des  fonctions  holomorphes  de  \)- 
s'annulant  avec  p..  {Voir  théorème  IV,  §  2.) 

C'est  le  cas  que  nous  avons  étudié  plus  haut  et  où  les  équations  (2)  n'ont 
pas  de  solution  périodique. 

On  doit  en  conclure  que  pour  les  valeurs  de  p  suffisamment  petites,  les 
équations  (1)  admettent  une  solution  périodique. 


334  SUR    LE   PROBLÈME    DES    TROIS   CORPS 

Supposons  mainteiianl  ((iie  lo  diilcrmiiiani  fouclioiiiiel  des  <\)  soil  nul;  nous 
pourrons  alors,  en  vertu  du  théorème  VI  (J;  2),  éliminer  entre  les  équations  (4) 
(3|,  |3o,  .  .  . ,  (3„_i  ;  nous  arriverions  ainsi  à  une  équation  unique  «I>  =^  o  dont  le 
premier  membre  sera  développé  suivant  les  puissances  de  fx  et  de  [3,i. 

11  n'y  aurait  d'exception  que  si  les  équations  (4)  n'étaient  pas  distinctes; 
mais  dans  ce  cas  nous  leur  adjoindrions  une  autre  équation  choisie  arbi- 
trairement. 

Si  l'on  regarde  /j.  et  '^n  comme  les  coordonnées  d'un  point  dans  un  plan, 
l'équation  $  =:  o  représente  une  courbe  passant  par  l'origine.  A  chacun  des 
points  de  cette  courbe  correspondra  une  solution  périodique,  de  sorte  que  pour 
étudier  les  solutions  périodiques  qui  correspondent  aux  petites  valeurs  de  p.  et 
des  p,  il  nous  suffira  de  construire  la  partie  de  cette  courbe  qui  avoisine 
l'origine. 

Si  le  déterminant  fonctionnel  des  ij;  est  nul.  on  aura  (pour  f;i  ^  [3n  =  o)  : 

d^  _ 

En  d'autres  termes,  la  courbe  »l>  =  o  sera  tangente  à  l'origine  à  la  droite  p.=o, 
ou  bien  encore  pour  fx  =  o,  l'équation  <i>  :=  o  sera  une  équation  en  [3„  qui 
admettra  zéro  comme  racine  multiple;  j'appelle  m  l'ordre  de  multiplicité  de 
celte  racine. 

En  vertu  du  théorème  V  (§  2)  on  pourra  trouver  m  séries  développées 
suivant  les  puissances  fractionnaires  et  positives  de  |j^,  s'annulant  avec  p.  et  qui 
substituées  à  la  place  de  (3„  satisfassent  à  l'équation  <I>  =  o. 

Considérons  l'intersection  de  la  courbe  «I>  ^  o  ou  plutôt  de  la  portion  de 
celle  courbe  qui  avoisine  l'origine  avec  deux  droites  p- ^  e,  p=  —  £  très 
voisines  de  la  droite  p  =  o.  On  obtiendra  les  points  d'intersection  en  faisant 
/ji  =  t,  puis  fx  =  —  £  dans  les  m  séries  dont  je  viens  de  parler. 

Soit  m,  le  nombre  des  points  d'intersection  de  <I>  =  o  et  /ji  =  4-£  réels  el 
voisins  de  l'origine.  Soit  m,  le  nombre  des  points  d'intersection  de  O  =  o  et 
p.  =  —  £  réels  et  voisins  de  l'origine. 

Les  trois  nombres  m,  /«i  et  m-2  seront  de  même  parité. 

Si  donc  m  est  impair,  rni  el  rn-j  seront  au  moins  égaux  à  i.  Donc  il  existera 
des  solutions  périodiques  pour  les  petites  valeurs  de  p,  tant  positives  que 
négatives. 

Gomment  une  solution  périodique  peut-elle  disparaître  quand  on  faitvarierp 


ET    LES    ÉQUATIONS   DE    LA    DYNAMIQUE.  335 

d'une  manière  coniinue?  Gomment  peut-il  se  faire  que  le  nombre  des  solutions 
pour  p.  ^  +£  soit  plus  petit  que  pour  fi  ^  —  J,  que  rrii  <  m^  ? 

J'observe  d'abord  qu'une  solution  périodique  ne  peut  disparaître  quand  |j. 
passe  de  la  valeur  — e  à  la  valeur  +  £  que  si  pour  |jl  =  o,  l'équation  <I>  =  o 
admet  une  racine  multiple;  en  d'autres  termes  uue  solution  périodique  ne 
peut  disparaître  qu'après  s'être  confondue  avec  une  autre  solution  pério- 
diciue.  De  plus  nii  et  ni.<  étant  de  même  parité,  la  difTérence  m^ — nii  est 
toujours  paire. 

Donc  les  solutions  périodiques  disparaissent  par  roupies  ii  la  façon  des 
racines  réelles  des  équations  algébriques.  . 

Un  cas  particulier  intéressant  est  celui  où  pour  p.  =  o,  les  équations  dille- 
rentielles  (i)  admettent  une  infinité  de  solutions  périodiques  que  j'écrirai 

a;i=  Œ>,(<,  /(),         ar2=92(<,  A),  ...,         Xn=  ^n{t,  It), 

Il  étant  une  constante  arbitraire. 

Dans  ce  cas  les  équations  (4)  ne  sont  plus  distinctes  pour  p.  =  o  et  4> 
contient  p.  en  facteur,  de  sorte  que  nous  pouvons  poser 

<ti  étant  liolomorphe  en  p„  et  p.;  d'ailleurs  «I»,  dépendra  aussi  de  h.  La 
courbe  $  =  o  se  décompose  alors  en  deux  autres,  à  savoir  la  droite  p.  =:  o  et 
la  courbe  $i  :=  o;  c'est  cette  dernière  courbe  qu'il  convient  d'étudier. 

La  courbe  $^  o  passe  forcément  par  l'origine;  il  n'en  est  pas  toujours  de 
même  de  <I>i:=o;  il  faudra  d'abord  s'arranger  pour  l'y  faire  passer,  en  dispo- 
sant convenablement  de  h.  Une  fois  qu'on  l'y  aura  fait  passer,  on  l'étudiera 
comme  on  a  fait  de  la  courbe  <I>  =  o. 

Si  pour  p  =1  p„  =  o,  -777-  n'est  pas  nul  (ou  plus  généralement  si  pour  p.  ^  o. 

l'équation  <I>i  =  o  admet  (3„==o  comme  raciue  multiple  d'ordre  impair),  il  y 
aura  encore  des  solutions  périodiques  pour  les  petites  valeurs  de  p.. 

Il  arrivera  souvent  que,  même  avant  l'élimination,  quelques-unes  des 
fonctions  <]fi  contiennent  p  en  facteur.  Dans  ce  cas  on  commencerait  par  diviser 
par  p.  les  équations  correspondantes. 

Si  les  équations  (i)'admctlent  une  intégrale  uniforme 

¥{xi,  Xi,  . . .,  j;„)  =  const. 


336  SUR    LE    PROBLÈME   DES   TROIS   CORPS 

les  équations  (4)  »e  seront  pas  distinctes  à  moins  que  l'on  n'ait  à  la  fois 

rfF  _  ^  _       _   (IF_  _ 

dxi        dx-i       '  '  '       t/x„ 

pour 

a^i=?i(o),         a-2=cf2(o),         ...,       x„=cp„(o). 

En  effet  il  viendra  identiquement 

F[ç,.(o)+p,+  ^,]  =  F[ç,(o)  +  [ii]. 

Si  par  exemple  pour  ir,-  =  cp,(o),  -,-^  n'est  pas  nul;   on  pourra  tirer  de  cette 
équation  : 

©2,  O:,,  ...,  0„  étant  des  séries  ordonnées  suivant  les   puissances  croissantes 
de  ,3,,  (3,,   .  .  .,  (3,„  .I;,,  .l;3,   .  .  .,  •]^„. 

La  première  des  équations  (4)  est  donc  alors  une  conséquence  des  n  —  i 
dernières.  On  la  supprimera  alors  pour  la  remplacer  par  une  autre  équation 
choisie  arbitrairement. 

Dans  ce  qui  précède,  nous  avons  supposé  que  les  fonctions  Xi,  Xj,  .  .  .,  X„ 
qui  entrent  dans  les  équations  différentielles  (i)  dépendent  du  temps  l.  Les 
résultats  seraient  modifiés  si  le  temps  t  n'entre  pas  dans  ces  équations. 

Il  V  a  d'abord  entre  les  deux  cas  une  différence  qu'il  est  impossible  de  ne 
pas  apercevoir.  Nous  avions  supposé  dans  ce  qui  précède  que  les  X,  étaient  des 
fonctions  périodiques  du  temps  et  que  la  période  était  2 tt;  il  en  résultait  que, 
si  les  équations  admettaient  une  solution  périodique,  la  période  de  cette  solu- 
tion devait  être  égale  à  27:  ou  à  un  multiple  de  271.  Si  au  contraire  les  X,  sont 
indépendants  de  t,  la  période  d'une  solution  périodique  peut  être  quelconque. 

En  second  lieu,  si  les  équations  (i)  admettent  une  solution  périodique  (et  si 
les  X  ne  dépendent  pas  de  t),  elles  en  admettent  une  infinité. 

Si  en  effet 

a;, =  9,(0,         372=  92(0,  ■■•,         3-„=9„(0 

est  une  solution  périodique  des  équations  (1),  il  en  sera  de  même  (quelle  que 
soit  la  constante  h)  de 

Xi=  Zi(t  -h  h),  Xi=z  Z,2{t  -h  h),  ...,  X„=   -^nit  -h  /l). 

Ainsi  le  cas  sur  lequel  nous  nous  sommes  étendus  d'abord  et  dans  lequel 
pour  p.  =  o,  les  équations  (i)  admettent  une  solution  périodique  et  une  seule, 
ne  peut  se  présenter  si  les  X  ne  dépendent  pas  de  C. 


ET   LESj ÉQUATIONS   DE    LA    DYNAMIQUE.  33y 

Plaçons-nous  donc  dans  le  cas  où  le  temps  t  n'entre  pas  explicitement  dans 
les  équations  (i)  et  supposons  que  pour  ^u  =;  o,  ces  équations  admettent  une 
solution  périodique  de  période  T  : 

Soit  Oi(o)  +  [3,  la  valeur  de  Xi  pour  t  =  o;  soit  0,(0)+-;-,  la  valeur  de  Xj 
pour  <  =  T  +  7.  Posons  ensuite,  comme  nous  Tavons  fait  plus  haut, 


Les  '^,  seront  des  fonctions  holomorphes  de  p.,  de  pi,  (3.,,  ....  |3„  et  de  r 
s'annulant  avec  ces  variables. 

Nous  avons  donc  à  résoudre  par  rapport  aux  11  ^-  i   inconnues  |3,,  (3,.  .  .  ., 
[3„,  z  les  n  équations 

(5)  'i|  =  J/,  =  .  ..=  .!;„=  o. 

Nous  avons  une  inconnue  de  trop,  nous  pouvons  donc  poser  arbitrairement 

par  exemple 

(3„=o. 

Nous  tirerons  ensuite  des  équations  (5),  ^i,  |3o,  .  .  .,  [3„_,  et  z  en  fonctions 
holomorphes  de  ,u.  s'annulant  avec  jjl.  Cela  est  possible  à  moins  que  le  déter- 
minant 


Mi 

d<l, 

d\Ji,—\ 

M  2 

d'h. 

d'I, 

r/i, 

d'{.i 

d^.,       ■ 

• •       dpn-> 

dl 

dXn 

d'l„ 

difn 

d'\„ 
d- 

ne  soit  nul  pour  [j.  =  (3,  =  t  =  o. 

Si  ce  déterminant  était  nul,  au  lieu  de  poser  arbitrairement  |3„  ::=  o,  on  pose- 
rait par  exemple  |3;^  o,  et  la  méthode  ne  serait  en  défaut  que  si  tous  les  déter- 
minants dans  la  matrice 


d'h.  d'I. 

d^i  d^l 

d-l„  d6„ 

dp\  dp-i 


di)  I  dAi  I 
'âfn  'd^ 
dii-,      d'il  1 


(M/n      d>h„ 
d'in       dx 


11.  P.  -  VII. 


338  SUR    LE    PROBLEME    DES    TROIS   CORPS 

éuienl  nuls  à  la  fois.  (11  esL  à  remarquer  que  le  déterminant  obtenu  en  suppri- 
mant la  dernière  colonne  de  celte  matrice  est  toujours  nul  pour  p.  =  (3,=  t  =  o). 
Comme  en  général  tous  ces  déterminants  ne  seront  pas  nuls  à  la  fois,  les 
équations  (i)  admettront,  pour  les  petites  valeurs  de/i,  une  solution  périodique 
de  période  T  +  r. 

10.  —  Exposants  caractéristiques. 
Reprenons  les  équations 

et  imaginons  qu'elles  admettent  une  solution  périodique 

Formons  les  équations  aux  variations  (voir  Chap.  l)  des  équations  (i)  en 
posant 

et  négligeant  les  carrés  des  ?. 

Ces  équations  aux  variations  s'écriront 

Ces  équations  sont  linéaires  par  rapport  aux  c,  et  leurs  coofficienls  -y—'  [quand 

on  y  a  remplacé  x;  par  cp/(0]  sont  des  fonctions  périodiques  de  t.  Nous  avons 
donc  à  intégrer  des  équations  linéaires  à  coefficients  périodiques. 

On  sait  (juelle  est  en  général  la  forme  des  solutions  de  ces  équations;  on 
obtient  n  solutions  particulières  de  la  forme  suivante  : 

,-  )  ?,  =  e'VS,2,         f.,=  e»-.'S,, E„=e=<.'S„.>, 

"  I •• 

les  a  étant  des  constantes  et  les  .S,/,  des  fonctions  périodiques  de  t  de  même 
période  que  les  (fi{l)- 

Les  constantes  a  s'apiielU-nt  les  exposants  caracti'-iislifjues  de  la  siilmion 
périodique. 

Si  «  est  purement  imaginaire  de  fa<;ou  que  son  carré  soit  négatif,  le  module 
de  e*'  est  constant  et  égal  à  i.  Si  au  contraire  a.  est  réel,  ou  si  a.  est  complexe 
de  telle  façon  que  son  carré  ne  soit  pas  réel,  le  module  e*'  tend  vers  l'infini 


ET    LES   ÉQUATIONS   DE   LA   DYNAMIQUE.  339 

pour  t^  +  'JD  OU  pour  t  =  —  <x>.  Si  donc  tous  les  y.  ont  leurs  carrés  réels  et 
négatifs,  les  quantités  Çi,  'î^.,,  .  .  . ,  ï^n  resteront  finies;  je  dirai  alors  que  la  solu- 
tion périodique  Xi=  (i>i{t)  est  stable;  dans  le  cas  contraire,  je  dirai  que  cette 
solution  est  instable. 

Un  cas  particulier  intéressant  est  celui  où  deux  ou  plusieurs  des  exposants 
caractéristiques  a  sont  égaux  entre  eux.  Dans  ce  cas  les  solutions  des  équa- 
tions (2)  ne  peuvent  plus  se  mettre  sous  la  forme  (3).  Si  par  exemple  ai  =  «o, 
les  équations  (2)  admettraient  deux  solutions  particulières  qui  s'écriraient 

|,-=e='.'S,.,         et         f,=  <e='''S;.i-i-e^.'S,-.2, 

les  Sj.i  et  les  S,,2  étant  des  fonctions  périodiques  de  t. 

Si  trois  des  exposants  caractéristiques  étaient  égaux  entre  eux,  on  verrait 
apparaître,  non  seulement  t,  mais  encore  t-  en  dehors  des  signes  trigonomc- 
triques  et  exponentiels. 

Supposons  que  le  temps/  n'entre  pas  explicitement  dans  les  équations  (i)  de 
telle  sorte  (jue  les  fonctions  X,  ne  dépendent  pas  de  cette  variable;  supposons 
de  plus  que  ces  équations  (i)  admettent  une  intégrale 

(4)  F(r,,.r,.  ...,.r„)  =  C. 

Il  est  aisé  de  voir  que  dans  ce  cas  doux  des  exposants  caractéristiques  sont 
nuls. 

On  se  trouve  donc  alors  dans  le  cas  d'exception  que  nous  venons  de  signaler; 
mais  il  n'en  résulte  pas  de  difficulté;  il  est  aisé  en  efl'el  à  l'aide  de  l'intégrale  (4), 
d'abaisser  d'une  unité  l'ordre  des  équations  (i).  Il  n'y  a  plus  alors  que 
n  —  I  exposants  caractéristiques  et  il  n'y  en  a  plus  qu'un  qui  soit  nul. 

Nous  allons   maintenant  envisager  un  cas  particulier  qui  est  celui  où  les 

équations  (t)  ont  la  forme  des  équations  de  la  Dynamique.  Ecrivons-les  donc 

sous  la  forme 

,  ,,  dxi       dF  dyi  dF         ,. 

('^  rfr  =  Â^.'     -dr=-d^^     (.  =  1,2,  ....n), 

F  étant  une  fonction  <|uelconque  de  x,,  .r,,  .  .  .,  Xn,  Vi,  J'n,  ■  •  -,  JK«  •  nous 
pourrons  supposer,  soit  que  F  est  indépendant  de  t;  soit  que  F  dépend  non 
seulement  des  x  et  des  j',  mais  encore  de  /,  et  que  par  rapport  à  cette  dernière 
variable,  c'est  une  fonction  périodique  de  période  271. 

Supposons  que  les  équations  (i')  admettent  une  solution  périodique  de 
période  271  : 

•^i=?i(0,      .yi='T'i{t), 


o.lo  SUR    LE    PROBLÈME    DES   TROIS   CORPS 

el  formons  les  équations  aux  variations  eu  posant 

Nous  avons  vu  dans  le  Chapitre  II  que  l'intégrale  double 


,//■< 


(/.Vi  (/]■,  -t-  <iX2  f/l'î- 


-h  (/xn  dy„  ) 


est  un  invariant  intégral,  ou  (ce  qui  revient  au  même)  que  si  Ç,,  m  et  Ç,',  rjj 
sont  deux  solutions  particulières  ([uelconques  des  équations  aux  variations, 
on  a 

n 

2(?/^;— Shi)  =  const. 

Je  dis  qu'il  en  résulte  que  les  exposants  caractéristiques  sont  deux  à  deux  égaux 
et  de  signe  contraire. 

Soient  en  efTet  ^  et  rj"  les  valeurs  initiales  de  £;  et  de  rj;  pour  t  =  o  dans  une 
des  équations  aux  variations;  soient  ^,'  et  ■/)■  les  valeurs  correspondantes  de  Ç,  et 
de  rti  pour  <  :=  271.  Il  est  clair  que  les  ^'  et  les  rj,'  seront  des  fonctions  linéaires 
des  t^"  et  des  rj"  de  telle  sorte  que  la  substitution 


rt-2 


«2/,,!        a-in.i        •  .  •        "2//.-J/1 

le  tableau  des  coefficients  de  cette  substitution  linéaire. 
Formons  l'équation  en  1 


sera  une  substitution  linéaire. 

Soit 

"11 

(7,« 

«21 

«22 

«11  — 

A 

0,2 

«1.2n 

«:i 

«22 À 

«2.2« 

Les  2n  racines  de  celte  équation  seront  ce  qu'on  appelle  les  2/i  multiplicateurs 
de  la  substitution  linéaire  T.  Mais  cette  substitution  linéaire  T  ne  peut  pas  être 
quelconque.  Il  fiiul  qu'elle  n'altère  pas  la  forme  bilinéaire  2(£/V},' — E;v),).  Pour 
cela,  l'équation  en  1  doit  être  réciproque.  Si  donc  on  pose  X  =:e"^"',  les  quan- 
tités a  devront  être  deux  à  deux  égales  et  de  signe  contraire. 


ET  LES  ÉQUATIONS  DE  LA  DYNAMIQUE.  34l 

Il  y  aura  donc  en  général  n  quantités  '/.'-  distinctes.  Nous  les  appellerons  les 
coejjficients  de  stabilité  do  la  solution  périodique  considérée. 

Si  ces  n  coefficients  sont  tous  réels  et  négatifs,  la  solution  périodique  sera 
stable,  car  les  quantités  ç;  et  rj,-  resteront  inférieures  à  une  limite  donnée. 

Il  ne  faut  pas  toutefois  entendre  ce  mot  de  stabilité  au  sens  absolu.  En  effet, 
nous  avons  négligé  les  carrés  des  ^  et  des  v)  et  rien  ne  prouve  qu'en  tenant 
compte  de  ces  carrés,  le  résultat  ne  serait  pas  changé.  Mais  nous  pouvons  dire 
au  moins  que  les  ^  et  r;,  s'ils  sont  originairement  très  petits,  resteront  très 
petits  pendant  très  longtemps.  Nous  pouvons  exprimer  ce  fait  en  disant  que  la 
solution  périodique  jouit,  sinon  de  la  stabilité  séculaire,  du  moins  de  la  stabi- 
lité temporaire. 

On  peut  se  rendre  compte  de  cette  stabilité  en  se  reportantaux  valeurs  des  \i\ 
on  trouve  en  effet,  pour  la  solution  générale  des  équations  aux  variations, 

les  A/v  étant  des  coefficients  constants  et  les  S,/,  des  séries  trigonométriques. 
Or  si  cf-i  est  réel  négatif,  on  trouve 

6="!'  =  cosi  y/ —  o;|  -I-  (  sin  t  \j —  tz| , 

de  sorte  que  ^,  s'exprime  trigonométriquement. 

Au  contraire  si  un  ou  plusieurs  des  coefficients  de  stabilité  devient  réel 
positif  ou  imaginaire,  la  solution  périodique  considérée  ne  jouit  plus  de  la 
stabilité  temporaire. 

On  voit  aisément  en  ertet  que  ;,  est  alors  représenté  par  une  série  dont  le 
terme  général  est  do  la  forme  A  e''"  cos(/.<  +  int  +  /),  où  {h-\-  ik)'  est  un  des 
coefficients  de  stabilité,  où  rn  est  un  entier  et  /  et  A  des  constantes  quel- 
conques. Le  défaut  de  stabilité  se  trouve  ainsi  mis  en  évidence. 

Si  deux  des  coefficients  de  stabilité  deviennent  égaux  entre  eux,  ou  si  l'un 
d'eux  devient  nul,  on  trouvera  en  général  dans  la  série  qui  représente  ^,-  des 
termes  de  la  forme 

Xt  e''' cos{fcl -h /lit -i- /)     ou     Xt  cos(mt -h /). 

En  résumé,  ^j  peut  dans  tous  les  cas  être  représenté  par  une  série  toujours 
convergente.  Dans  cette  série  le  temps  peut  entrer  sous  le  signe  sinus  ou  cosinus, 
ou  par  l'exponentielle  e'",  ou  enfin  en  dehors  des  signes  trigonométriques  ou 
exponentiels. 

Si  tous  les  coefficients  de  stabilité  sont  réels,  négatifs  et  distincts,  le  temps 


342 


SUR    LE   PROBLEME   DES   TROIS   CORPS 


ii'npparaîtra  qiio  sous  les  signes  sinus  et  cosiiuis  el  il  y  aura  sUiLililé  lem- 
|)oi'aire. 

Si  l'un  des  coetlîcieuls  esl  posililou  iriiai;inaiie,  le  lenips  apparaîtra  sous  un 
signe  exponentiel;  si  deux  des  coeflicienls  soûl  égaux  ou  (|ue  l'un  d'eux  soil 
nul,  le  lenips  apparaît  en  dehors  de  tout  signe  Irigonoméliique  ou  exponentiel. 

Si  donc  tous  les  coeflicienls  ne  sont  pas  réels,  négatifs  et  distincts,  il  n'y  a 
pas  en  général  de  stabilité  temporaire. 

Toutes  les  fois  que  F  ne  dépend  pas  du  temps  I,  l'un  des  n  coeflicienls  de 
stabilité  est  nul;  car  d'une  part  le  temps  n'enlre  pas  explicitement  dans  les 
équations  ditlérenlielles;  d'autre  part  ces  équations  admettent  une  intégrale 


F(xi,  j-,.. 


Xn-,  y\,  ,}'■>,  ....  J'«)  =  const. 


Nous  nous  trouvons  donc  dans  le  cas  dont  nous  avons  parlé  plus  haut  el  où 
deux  des  exposants  caractéristiques  sont  nuls.  Mais,  comme  nous  l'avons  dit, 
cela  ne  peut  créer  une  difficulté  parce  que  l'on  peut,  à  l'aide  de  l'intégrale 
connue,  abaisser  à  2/1 — i  l'ordre  des  équations  (i').  Il  n'y  a  plus  alors  que 
2n  —  1  exposants  caractéristiques  ;  l'un  d'eux  est  nul  et  les  211  —  2  autres,  aux 
carrés  desquels  on  peut  conserver  le  nom  de  coefficients  de  stabilité,  sont  deux 
à  deux  égaux  el  de  signe  contraire. 

Reprenons  le  déleruiinant  que  nous  avons  eu  à  envisager  dans  le  paragraphe 
précédent. 

Nous  avons  dans  ce  paragraphe  envisagé  d'abord  le  cas  où  les  équations  (i) 
dépendent  du  temps  t  et  d'un  paramètre  [x,  et  admetleul  pour  jj.  :=;  o  une  solu- 
tion périodique  et  une  seule.  Nous  avons  vu  que  si  le  déterminant  fonctionnel 


àil 


■.P") 


les  équations  admettront  encore  une  solution  périodique  pour  les  petites  valeurs 
de  p.. 

Ce  déterminant  peut  s'écrire 


A  = 


dy, 

<3, 

d'il 

d'^„ 

fl-t„ 

'/•(n 

ET   LES    EQUATIONS    DE   LA    DYNAMIQUE. 

Or  les  exposants  caractéristiques  y.  sont  donnés  par  l'équation 


343 


d^n 


—  e^ï" 

"'t. 

d-u 

4^1 

dr.     , 
dp. 

d^i„ 
d'i, 

d~!n 

d'u 

1^ 

d'^n 
d'{.„ 


■■■        d^„  " 

Dire  que  A  est  nul,  c'est  donc  dire  que  l'un  des  exposants  caracli-risliques 
est  nul,  de  sorte  que  nous  pouvons  énoncer  de  la  façon  suivante  1(;  premier  des 
théorèmes  démontrés  au  paragraphe  précédent. 

Si  les  équations  (i)  (jui  dépendent  d'un  paramètre  ^  admettent  pour 
p.  =  o  une  solution  périodique  dont  aucun  des  exposants  caractéristiques 
ne  soit  nul,  elles  admettront  encore  une  solution  périodique  pour  les  petites 
valeurs  de  [j.. 


11. 


Solutions  périodiques  des  équations  de  la  Dynamique. 


dx, 

dt 

dF 

dx-:             dF 
dt    "       dy.^ 

dx::  dF 
dt    ~       dy3 

dy, 
dt 

d¥ 

dxi 

dy.             d¥ 
dt    ~       dx.' 

dy-,  dF 
dt              dx-. 

Je  prendrai,  pour  fixer  les  idées,  les  équations  de  la  Dynamique  avec 
trois  degrés  de  liberté,  mais  ce  que  je  vais  dire  s'appliquerait  évidemment  au 
cas  général.  J'écrirai  donc  mes  équations  sous  la  forme 


(0 


F  étant  une  fonction  uniforme  quelconque  des  x  et  des  y,  indépendante  de  t. 

Je  supposerai  ensuite  que  Xi,  x-2  et  x-,  sont  des  variables  linéaires,  mais 
que  Vi,  Vi  et  y,  sont  des  variables  angulaires,  c'est-à-dire  que  F  est  une  fonc- 
tion périodique  de  y,,  Y2  etjKa  avec  la  période  arr,  de  telle  façon  que  la  situa- 
lion  du  système  ne  change  pas  quand  une  ou  plusieurs  des  trois  quantités  y 
augmente  d'un  multiple  de  arr.  (Cf.  Cliap.  I.) 

Je  supposerai  de  plus  que  F  dépend  d'un  paramètre  arbitraire  p.  et  peut  se 
développer  suivant  les  puissances  croissantes  de  ce  paramètre  de  telle  sorte  que 
l'on  ail 

F  =  Fo-+-  jjiri-Hii=Ft!-i-(x3F3H- 


344  SUR    LE   PROBLÈME    DES   TROIS   CORPS 

Je  supposerai  enlin  ijuc  l'\i  ne  dépend  que  des  x  et  esl  indépendani  des  j'  de 

telle  sorte  que 

d¥„  _  d\\,  _  c/Fu  _ 

dyx    ~  r/r;         dy.:   ~ 

Rien  n'est  plus  simple  alors  que  d'intégrer  les  ('quations  (i)  quand  ii.=io; 
elles  s'écrivent  en  efl'el 


dt          dt          dt 

), 

dy, 
dt 

dV„ 

dy,             dV„ 
dl              dx.  ' 

dy-, 
dt 

f/F„ 
dx% 

Ces  équations  montrent  d'abord  que  x\,  x-.  et  x-^,  sont  des  constantes.  On  en 

1     .  "'l' u  dVa  d¥ {)         ■  1,1  1 

conclut  que  —  j— »  —  — — >  —  -j-^  qui  ne  dépendent  que  de  J",,  x-i  et  x-i.  sont 

aussi  des  constantes  que  nous  appellerons  j)our  abréger  n,,  n^  et  /i,  et  qui  sont 
compléteuient  définies  quand  on  se  donne  les  valeurs  constantes  dexi,a^.>  etX:,. 
Il  vient  alors 

j'i  = /i]  ^ -^  rai,         j'o  =  «2^ -I- rao,         j)-;,  = /i;, / -H  ru:;, 

HTi,  nj.,  et  m-i  étant  de  nouvelles  constantes  d'intégration. 

Quelle  esl  la  condition  pour  que  la  solution  ainsi  trouvée  soit  périodique  et 
de  période  T.'  Il  faut  que  si  l'on  change  <  en  <  -I-  T,  y,,  y.,  et  y-i  augmentent 
d'un  multiple  de  2  71,  c'est-à-dire  que  «|T,  «oT  et  /ijT  soient  des  multiples 
de  27:. 

Ainsi  pour  que  la  solution  que  nous  venons  de  trouver  soit  périodique,  il 
faut  et  il  suffit  que  les  trois  nombres  «i,  «2  et  n^  soient  commensurables  entre 
eux,  du  moins  à  un  même  facteur  prés. 

Nous  exclurons,  au  moins  provisoirement  de  nos  recherclies,  le  cas  où  les 

.      ■    <•       ,•         l'/Fo    rfPo     .  rfFo  .  j'         1.      i>  jii.        c- 

trois  lonclions  -; — 1  —, —  et  —, —  ne  sont  pas  indépendantes  1  une  de  1  autre,  bi  on 
dxi     dx-i       dxz  '  ' 

laisse  ce  cas  de  côté,  on  peut  toujours  choisir  Xi,  a",  et  x.,  de  telle  façon  que  n, , 

n-j  et  n.t  aient  telles  valeurs  que  l'on  veut,  au  moins  dans  un  certain  domaine. 

Il  y  aura  donc  uue  infinité  do  choix  possibles  pour  les  trois  constantes  x^,  x-j 

et  X;;  qui  conduiront  à  des  solutions  périodiques. 

Je  me  propose  de  rechercher  s'il  existe  encore  des  solutions  périodiques  de 
période  T  lorsijue  p.  n'est  plus  égal  à  zéro. 

Pour  le  prouver  je  vais  employer  un  raisonnement  analogue  à  celui  du  para- 
graphe 'J. 


ET  LES  ÉQUATIONS  DE  LA  DYNAMIQUE.  345 

Supposons  que  ;/  cesse  d'êlre  nul,  el  imaginons  que,  dans  une  cerlaiae  solu- 
tion, les  valeurs  des  x  et  des  y  pour  <  =  o  soient  respectivement  : 

Xl  =  CLi  -f-  S«|,  cT»  =  «2  -H  SMo,  X:;  =  a-,  -¥-  3«a, 

ri  =  îû|  -1-  Scî|,  1  2  =  Tn-j -I-  Scî; ,  Vs  =  ra:;+  3tî!3. 

Supposons   que.    dans    cette  même   solution,    les    valeurs    des   x   et  des  y 

pour  <  =  T  soieni 

xi  =  «)  ^  8«|   -i-A«i, 

a;o=e/2-+-  Bw»  -h  Aa.,, 

^3 — "3-1-  Swj    -H  A«:i, 

_rj  =  cTi  -+-  /i|  T  +  Snji  -I-  Aîiîi, 

_)o  =  roo-h  n-iT  -h  Sin.j -H  Aro-i, 

_J-3  =  1x73  -f-  «3  T  -*-  ÛCTj  -I-  AnJ:,. 

La  condition  pour  f|ue  cette  solution  soit  périodique  de  période  T  est  que 
l'on  ait 

(■.'.)  Aff  1  =  A«o  =  \a-^  =  Arai  =  Acj.i  ^  Ara-  =  o. 

Les  six  équations  (2)  ne  sont  pas  distinctes.  En  effet,  comme  F  =  const.  est 
une  intégrale  des  équations  (i),  et  que  d'ailleurs  F  est  périodique  par  rapport 
aux  ->',  on  a 

V  {a^-y-  ouj,  ra,-f-  Sra/)  =  F(o,-<-  S'/,-t-  A«,,  ra,-H  n/ï  ■+-  ora,  H-  Ara,) 
=  F(c(,-i-  ort;-i-  Aa,-,  ra,-i-  ora, -h  Ara,). 

Il  nous  suffira  donc  de  satisfaire  à  cinq  des  équations  (2).  Je  supposerai  de  plus 

rai  =  ûrai  =^  o, 

ce  qui  revient  à  prendre  pour  origine  du  temps  l'époque  où  ji  est  nul.  11  est 
aisé  de  voir  que  les  An,  et  les  Aro,  sont  des  fonctions  holomorphes  des  p.,  desort, 
el  des  ÔM,-  s'annulant  quand  toutes  ces  variables  s'annulent. 

11  s'agit  donc  du  démontrer  que  l'on  peut  tirer  des  cinq  dernières  équa- 
tions (2)  ôa,,  da'2.  Sa,,,  ôw-.  et  0W3  en  fonctions  de  p.. 

Remarquons  que  quand  p  est  nul,  on  a 

A'/i  =  Artî  =  A«:i  =  o. 

Par  conséquent  A«i,  A«-,  et  Acr,,  développés  suivant  les  puissances  de  p., 
des  ô«,  et  des  ocj,,  contiennent  p  en  facteur.  Nous  supprimerons  cefacteur  p., 
et  nous  écrirons  par  conséquent  les  cinq  équations  (2)  que  nous  avons  à 
résoudre  sous  la  forme 

(i)  =  =  Arai  =  Ara»  =  Ara,  =  o. 

H.  P.  —  VIT.  44 


46  SUR    LE    PROBLÈME    DES   TROIS   CORPS 

Il  lions  faut  (léU'rmiucr  Wj  ot  tH;  de  luUe  tni'ou  que  ces  iM|u;ilioiis  soient  satis- 
faites pour 

(4)  [-i  =  Sra..>  =  Sro:!  =  0((|  =  o»;  =  or(;|  =  o. 

Voyous  ce  que  clevieuiieni  les  pieinicrs  nieinljirs  îles  équations  (3)  quand  on  y 
fait  fi  --  o. 
Il  vient 

/i,T  H- Ara,  =  -(-  /      -^//t=^  clt  =  ~\ ; i/t. 


il' OÙ 


Ara  I  =  —  T  (  -r-^  -+-  ii 


et  de  même 

Ara-,  =  — T     -; h/i.    ,  Ara:,  =  — T    -; h  n.,). 

\ '/.'■»  /•  \dx,.  ! 

Il  importe  d'observer  que  dans  F,,  il  faut  remplacer  ari,  x-^  cl  x,;  par  «i  +  oai, 
o-i-\-  oa.,,  a;i+  oa-i',  en  effet  pour  /j.  ;=  o,  F  se  réduit  à  F,,  et  Xi,  x^;,  x-j  à  des 
constantes  qui  restent  constamment  égales  à  leurs  valeurs  initiales  rti  +  ôai, 

rto-f-Ôrt.j,    «;,-!-  oa:t. 

Il  vient  d'autre  part 

Art»      I    r  ''  r/.i-.,  ,       i    r'^  dF  , 

— ^  =        /      -r^d(=  -    i      -^dt 
V-  \'- ..'        '''  V-  J       dVi 

ou  puisque  Fg  ne  dépend  pas  de  Ta 
ou,  pour  p.=z  o  : 


Il  l. 


Supposons  que  /j.,  les  ors  et  les  ort  soient  nuls  à  la  fois;  il  faudra  alors  faire 
dans  F,  : 

F,  deviouJra  alors  une  fonction  périodique  de  l  de  période  T.  et  une  fonction 
périodique  de  cjo  et  de  bj;,  de  période  27:. 

Soit  <i^  la  valeur  moyenne  de  Fj  considérée  comme  fonction  périodique  de  t. 

Il  viendra 

A«,         /-'  '/!•,    ,,      „,  '/•!/ 
=   /       - —  dl  =  I  - —  , 


ET    LES   ÉQUATIONS    DE    LA   DYNAMIQUE.  34; 

et  de  inènie 

Nous  (luvous  (Jonc  rlioisir  ro^  cl  nr,;  de  façon  à  satisfaire  aux  é(|uations 

Cela  est  toujours  possible;  en  effet  la  fonction  'i  est  périodique  enro^et  en  cj^ 
et  elle  est  finie;  donc  elle  a  au  moins  un  maximum  et  un  minimum,  pour  les- 
quels ses  deux  dérivées  doivent  s'annuler.  Quand  on  aura  choisi  de  la  sorte  cr^ 
et  ro:i,  on  verra  que  les  équations  (3)  sont  satisfaites  quand  on  y  fait  à  la  fois 

Nous  pourrons  donc  tirer  des  équations  (3)  les  cinq  inconnues  ôa,-  et  dm, 
sous  la  forme  de  fonctions  holomorphes  de  jj-,  s'annulanl  avec  ^.  11  n'v  aurait 
d'exception  que  si  le  déterminant  fonctionnel 


f) 


)  )  arji,  Aro-i.  AiTT.; 

V    l-"^         '■'■  '  ■ 

à(ùa,,  8f(.>,  5a«,  Snio,  Sxn-j) 

était  nul.   Mais  pour   |jl  =  o,   Aroi,  Aetj  et  Aot;,  sont  indépendants  de  ou;-,  et 
de  ôtn,,  de  sorte  que  ce  déterminant  fonctionnel  est  Je  produit  de  deux  autres 


/A'(2      A«:i 


.■^(Attti,  Ara»,  Ara:i) 
eL        ^  " 


Si  l'on  supprime  les  facteurs  T-  et  — T',  le  premier  de  ces  déterminants  est 
égal  au  hessien  de  ij;  par  rapport  à  ro^  et  thi  et  le  second  au  hessien  de  F,,  par 
rapport  à  x",,  x'!,  et  .r". 

Si  donc  aucun  de  ces  deux  Jiessiens  n'est  nul,  il  sera  possible  de  satisfaire 
aux  cinq  équations  (3)  et  par  conséquent  pour  des  valeurs  suffisamment 
petites  de  y-,  il  existera  une  solution  périodique  de  T.  c.  q.   f.   n. 

Nous  allons  maintenant  chercher  à  déterminer,  non  plus  seulement  les 
solutions  périodiques  de  période  T,  mais  les  solutions  de  période  peu  diffé- 
rente de  T.  Nous  avons  pris  pour  point  de  départ  Jes  trois  nombres  rti,  n-,,  «.,  ; 
nous  aurions  pu  tout  aussi  Ijien  choisir  trois  autres  nombres  7i\.  n'„,  n\, 
pourvu  qu'ils  soient  commensurables  entre  eux,  et  nous  serions  arrivés  à  une 
autre  solution  périodique  dont  la  période  T  aurait  été  le  plus  petit  commun 


,     .      ,  ,        27:       2K       'ITZ 

multiple  de  — r  )  — r  >  — T  • 


348  SUR  LE  PROBLKME  DES  TROIS  CORPS 

Si  nous  prenons  en  particulier 

n\  —  fl, (l-r-  s),  «'„  =  «.(l-T-S),  /(',  =  «3(1  +  e), 

les  trois  nombres  n\,  n'.,,  li.  seront  comniensurables  entre  eux,  puisqu'ils  sont 
proportionnels  aux  trois  nombres  «1,  «^  et  «3. 

Il  nous  conduiront  donc  à  uue  solution  périodique  de  période 

de  telle  façon  que  nous  aurons 

(0)  .r,=  Oi{t,'x,i),         r,=  9^(/,  [a,  £), 

les  o;  elles  9I  étant  des  fonctions  développablcs  suivant  les  puissances  de  p.  et 
de  £,  et  périodiques  en  t,  mais  de  façon  que  la  période  dépende  de  t. 

Si  daus  F  nous  remplaçons  les  xi  et  les  ->-,-  par  leurs  valeurs  (4),  F  doit 
devenir  une  constante  indépendante  du  temps  [puisque  F  =  const.  est  une  des 
intégrales  des  équation  (1)].  Mais  cette  constante  qui  est  dite  constante  des 
forces  vives,  dépendra  de  [j.  et  de  £  et  pourra  être  développée  suivant  les  puis- 
sances croissantes  de  ces  variables, 

Si  la  constante  des  forces  vives  B  est  une  donnée  de  la  question,  l'équation 
F(fi,  e)  =  B  peut  être  regardée  comme  une  relation  qui  lie  £  à  f/.  Si  donc  nous 
nous  donnons  arbitrairement  B,  il  existera  toujours  une  solution  périodique 
quelle  que  soit  la  valeur  choisie  pour  cette  constante,  mais  la  période  dépendra 
de  £  et  par  conséquent  de  p.. 

Un  cas  plus  particulier  que  celui  que  nous  venons  de  traiter  en  détail  est 
celui  où  il  n'y  a  que  deux  degrés  de  liberté.  F  ne  dépend  alors  que  de  quatre 
variables  x^,  ),,  x-,,  j'^  et  la  fonction  d/  ne  dépend  plus  que  d'une  seule 
variable  njj.  Les  relations  (5)  se  réduisent  alors  à 

et  le  hessien  de  <h  se  réduit  à  -r-v-  D'où  cette  conclusion  : 

'  f/ro  5 

A  chacune  des  racines  simples  de  l'équation  [j)  correspond  une  solution 
périodique  des  équations  (i),  (jui  existe  pour  toutes  les  valeurs  de  p.  suffi- 
samment petites. 

Je  pourrais  même  ajouter  qu'il  en  est  encore  de  même  pour  chacune  des 
racines  d'ordre  impair  ainsi  que  nous  l'avons  vu  au  paragraphe  9,  et  que  celte 
équation    admet   toujours  de  pareilles   racines,   puisque   la  fonction   iL    a  au 


ET   LES   ÉQUATIONS   DE   LA    DYNAMIQUE.  349 

moins  un  maximum  qui  ne  peut  correspondre  qu'aux  racines  impaires  de 
l'équation  (7). 

Revenons  au  cas  où  l'on  à  trois  degrés  de  liberté,  et  où  la  période  est 
constante  et  égale  à  T. 

Je  dis  que  x,,  Xj,  X;, .  yi,  );>,  y^  peuvent  se  développer  suivant  les  puissances 
croissantes  de  p..  En  effet,  en  vertu  du  théorème  IH  (§  2),  les  x  et  les  j'  peuvent 
être  développés  suivant  les  puissances  de  fjt,  et  de  ô«i,  dun,  oci:;.  ôjso  elèrn-i.  Mais 
imaginons  que  l'on  ait  déterminé  les  oa  et  les  ôro  de  façon  que  la  solution  soit 
périodique  de  période  T.  On  tirera  alors  les  ôa  et  les  ôcj  des  équations  (3) 
sous  la  forme  de  séries  ordonnées  suivant  les  puissances  de  p.,  de  sorte  que  les 
X  et  les  y  seront  finalement  ordonnées  suivant  les  puissances  de  p.. 

La  solution  devant  être  périodique  de  période  T  quel  que  soit  p.,  les  coeffi- 
ficients  des  diverses  puissances  de  p.  seront  des  fonctions  périodiques  de  t. 

Remarquons  de  plus  que  l'on  peut  toujours  supposer  que  l'origine  du  temps 
ait  été  choisie  de  telle  sorte  quej»'i  s'annule  avec  t,  et  que  cela  ait  lieu  quel  que 
soit  p.  Alors  pour  t  =  o  on  aura 

L'existence  et  la  convergence  de  ces  séries  étant  ainsi  établie,  je  vais  déter- 
miner les  coefficients. 

Pour  cela,  je  vais  chercher  ù  satisfaire  nux  équations  (i)  en  faisant  (') 

Xi  =  .l'î  -I-  [ixl  +  ,u.--r;  -!-..., 

x-y  =  :cS  -f-  }J.j;l  -h  jx-x3  -f-.  .  . , 

,  X3  =  j-"!  -+-  i±x\  -h  u.-xl  -H.  .  .  , 
(S)  ,     j  .....       r      .. 

y--  =  .!■?  -+-  -^yl  -+-  !i- ji  -H . . . , 

Dans  ces  formules  r",  x'I,  x",  désignent  les  valeurs  constantes  que  j'avais  été 
conduit  plus  haut  à  attribuer  à  Xi,  x^  et  x^  quand  je  supposais  p  =  o  et  qui  sont 
telles  que 


^Fo(x;,  xt,  xl!  )=-«,,  ;5^  F„(-cï,  xi,  xl)=- 

d 


-^^Y,{x\,x\,xl^ 


(')  Les  chiffres  placés  eu  liaut  des  lettres  x  et  y  dans  les  équations  (!S)  sont  des  indices  et 
non  des  exposants. 


35o  SUR  LE  PROBLÈME  DES  TROIS  CORPS 

On  a  de  plus  (  '  ) 

1  ;'  =  /),/;- M,. 

Enfin  les  xj ,  les  v,',  les  .r,",  lesyf,  elc.  sont  des  l'unclions  du  temps  qu'il  s'agira 
de  délenniuer  et  i[ui  devront  être  périodiques  de  période  T. 

Dans  F,  à  la  place  des  x  et  des  y,  substituons  leurs  valeurs  (8),  puis  déve- 
loppons F  suivant  les  puissances  croissantes  de  p.  de  telle  sorte  (juc  l'on  ait 

F  =  (1>„  +  ;jhI>  ,  +  [^2  <I>o    ! 

11  est  clair  que 

.i.„=F„(.r?,,r!;,^:]) 

ne  dépend  que  des  a"  ;  que 

ne  dépend  que  des  x" ,  àv.s,  y"  (;t  des  x]  ;  cpic  tl>2  ne  dépend  ipie  des  x^ ,  des  j'", 
des  x] ,  des  }-,'  et  des  r,%  etc. 

Plus  généralement,  je  puis  écrire 

i/x"  lix"  dxl 

OÙ  0/,  dépend  seulement  des  ;rj,  des  a,',  ...  et  desrf  ',  des  j",  des  j-,' .  ...  et 
desjf-. 

Je  puiï  ajouter  ipie  par  rapport  à  y\i  y'I-,  y'I  la  fonction  Q/^  est  une  fonction 
périodique  de  période  an.  L'équation  (9)  montre  ipie  0)  :=  Fj. 

Gela  posé  les  équations  difTérentiolles  peuvent  s'écrire,  en  égalant  les  puis- 
sances de  même  nom  de  ,a  : 

rit  7ît    ~  ~dt    ~  "'  ~dï  "~  "''  ~7it    ~  "-'  dl    "  "'■ 

On  trouve  ensuite 

>ir\    _'IV_^  flf\   _,r?^  Hx\   _  </Fi 

^'°^  lit    ~  Ttyi'  ,11    ~r/jll'  dt    ^  dyl 

et 


(")  -^n---^Tzr^ 


d\  \  ___fl^  'jA  _      ^  ^ly}.  _      'j^ 

dt    ~  ^  r/.r"  '  dt    ~~  d^,'  'dt    ~~  dë^. 


f'j    In    changement   convenalWe    de    varinbles  permcl    ( .)/élhod/-s   imin-e//es,    t.    I,  S   i'i)  des 
rendre  nuls  n,  et  Wj  et  de  simplifier  diluai   la  détermination  eUeclive  des  coefficients  des   série 

[J.L.]. 


ET   LES   EQUATIONS   DE   LA  DYNAMIQUE. 

et  plus  généralement 

et 

<Kf     '       rl<^k             'A-l/,           ;      '/-Fo             ,.     rf-Fo 

,     ^/-^Fo 

<"    ^                  r/<     ~         r/.,°    ~         f/x-"          "^  '   ,/^-»  r/a-"          •^'dx'idxf 

•"'rfxfirfj.» 

3ôi 


Intégrons  d'abord  les  équations  (lo).  Dans  F,  nous  remplacerons  rî,  J'",  J'° 
par  leurs  valeurs 

Puisque  y1  doit  s'annuler  avec  t,  usi  sera  nul.  Alors  les  seconds  membres 
des  équations  (lo)  sont  des  fonctions  périodiques  de  t  de  période  T;  ces 
seconds  membres  peuvent  donc  être  développés  en  séries  procédant  suivant  les 

sinus  et  les  cosinus  des  multiples  de  -TTr--  Pour  que  les  valeurs  de  x\,  xl  el  xi 

tirées  des  équations  (lo)  soient  des  fonctions  périodiques  de  t,  il  faut  et  il  suffit 
que  ces  séries  ne  contiennent  pas  de  termes  tous  connus. 
■le  puis  écrire  en  elTet  : 

F,  =  1  A  siii  (  nt,^  "  -+-  rn-^y'i  ■+-  /":;,)"  -+-  A  ), 

OÙ  m,,  m,,  m3  sont  des  entiers  positifs  ou  négatifs  et  où  A  et  /<  sont  des  fonc- 
tions de  xi,  xl,  xl.  J'écrirai  pour  abréger  : 

F|  =  S  A  sin  (o 

en  posant 

(0  =  Toi  ij  +  Ttiiy",  +  nii,y\  -t-  /(. 

.le  trouverai  alors 

—r-r,   =  i.A//!i  cosu),  —r-r,   =  lA«i.  cosc),  ,    „   =  lAwiiCOSto 

et 

to  =  /(  1)1  \  «I  T-  TO2/?2  -H  TO:-n,i)  +  h  +  »!2T!T2H-  «ijCTn. 

Parmi  les  termes  de  ces  séries,  je  distinguerai  ceux  pour  lesquels 

m ,  ni-\-  m,  «.> -H  m~  n-,-.  =  o 

et  qui  sont  indépendants  de  t.  Ces  termes  existent  puisque  nous  avons  supposé 
que  les  trois  nombres  rii,  n-,  et  «;,  sont  commensurables  entre  eux. 
.le  poserai  alors 

'i  =  V  A  sin  cj         (  «)i  «1  —  in-in :-T-  m^iii^^  o,  to  =  /(-)-  iiiim,  ~  m^cja), 


352  SUR    LE    PROBLÈME    DES   TROIS   CORPS 

la  soiniiinlion  roprosenU'e  par  le  sigue  ^  s'élendanl  à  tous  les  tenues  de  Fi  pour 
lesquels  le  coelTicienl  de  t  est  nul.  Nous  aurons  alors 

-7-^  =  X  A  "'î  L'osto,  -H-  =  X  A  m-i  co,«(o. 

Si  donc  on  a 

,     ,  f/'i         d'\j 

(12)  -  -H-=— i-=0, 

il  viendra 

(i3)  X  A /«l  costo  =  o.  X  A '"2  costo  =  o,  X  A  "(3  OOSC)  =  o. 

La  première  des  équations  (11)  est  en  effet  une  conséquence  des  deux  autres, 
puisque  en  vertu  de  la  relation  riions  +  /«j  «2+ «tu /(:,  =0,  on  a  identiquement 

«1   X  A  '"1  COS  10  -)-  «2  X  A  "!■>  COSO)  +  «3  X  A//!;;  COS  (0  =  O. 

Si  donc  les  relations  (12)  sont  satisfaites,  les  séries  iA/?î,  cosw  ne  contiendront 
pas  de  terme  tout  connu,  et  les  équations  (10)  nous  donneront 

,      v^              A»(i  sin  to                   ^,               ,      ^^              ,\/«isin(0  _, 

.r    =  7 1-  C  ,  x\  =  > h  CJ , 


■^  Anir.  sinw 


I  III t  iii-î-  m«  rin-v-  m?.  11,', 


Ci, 


C,',  Cj,  Cl  étant  trois  nouvelles  constantes  d'intégration. 

Il  me  reste  à  démontrer  que  l'on  peut  choisir  les  constantes  cto  et  îH;,  de  façon 
à  satisfaire  aux  relations  (10).  La  fonction  ^  est  une  fonction  périodique  de  ro-j 
et  de  57;,  (|ui  ne  change  pas  quand  l'une  de  ces  deux  variables  augmente  de  2.n. 
De  plus,  elle  est  finie,  elle  aura  donc  au  moins  un  maximum  et  un  minimum. 
Il  y  a  donc  au  moins  deux  manières  de  choisir  m.,  et  sî;,  de  façon  à  satisfaire  aux 
relations  (12). 

Je  pourrais  même  ajouter  (pi'il  y  en  a  au  moins  quatre,  sans  pouvoir  toute- 
fois affirmer  (ju'il  en  est  encore  de  même  quand  le  nombre  de  degrés  de  liberté 
est  supérieur  à  trois. 

Je  vais  maintenant  chercher  à  déterminer  à  l'aide  des  équations  (11)  les  trois 
'onctions  y,'  et  les  trois  constantes  C,' . 

Nous  pouvons  regarder  comme  connus  les  x"  et  les  y"  ;  les  a-/  sont  connus 
également  aux  constantes  prés  C,' .  Je  puis  donc  écrire  les  équations  (i  1)  sous  la 
forme  suivante  : 


dt  '  'dx'idxl'  'dxldjo'l  "  dxl  dx'l  ' 


ET   LES    ÉQUATIONS   DE   LA    DYNAMIQUE.  353 

OÙ  les  H,  représentent  des  fonctions  entièrement  connues  développées  en  séries 
suivant  les  sinus  et  cosinus  des  multiples  de  -7f--  Les  coefficients  de  Cî,  CJ  et 
CJ  sont  des  constantes  que  l'on  peut  regarder  comme  connues. 

Pour  que  la  valeur  de yj  tirée  de  cette  équation  soit  une  fonction  périodique 
de  t,  il  faut  et  il  suffit  que  dans  le  second  membre  le  terme  tout  connu  soit  nul. 
Si  donc  H°  désigne  le  terme  tout  connu  de  la  série  Irigonométrique  Hj,  je 
devrai  avoir 

^'^'  •-''  cU-'l  dx»  ^  ^'  dxl  dxl  ^  ^=  dxl  dx^  ~  "■  ■ 

Les  trois  équations  linéaires  (i 5)  déterminent  les  trois  constantes  G) ,  Çj\  et  Cl. 

Il  n'y  aurait  d'exception  que  si  le  déterminant  de  ces  trois  équations  était 
nul;  c'est-à-dire  si  le  hessien  de  Po  par  rapport  à  .r°,  x\  et  x\  était  nul;  nous 
exclurons  ce  cas 

Les  équations  (i4)  me  donneront  donc 

y\  =  -^\  +  k\,  yl=r,\  +  k\,  y\,  =  r,\  +  k\, 

les  -fil  étant  des  fonctions  périodiques  de  L  entièrement  connues  s'annulant 
avec  t,  et  les  kl  étant  trois  nouvelles  constantes  d'intégration. 

Venons  maintenant  aux  équations  (lo')  en  y  faisant  A-=2et«'=i,  2,3  et 
cherchons  à  déterminer  à  l'aide  des  trois  équations  ainsi  obtenues,  les  trois 
fonctions  xj  et  les  trois  constantes  k]. 

Il  est  aisé  de  voir  que  nous  avons 

^       ^  ,  rfF,  ,  d¥,         ,  «'F, 

où  iîs  dépend  seulement  des  x%  des  )•,"  et  des  xl  et  où  l'on  a,  comme  plus 
haut 

-r-H"  =  S  A  m;  COS  (0. 

Les  équations  (  lo')  s'écrivent  alors 

dxf  _  dù^      ■yi     ,     d--Vi 
~dt    ~  dff  '^2j^'k  dyl  dyf 


dx- 
(i6)        —7-^  =  H;  —  k\  Z  Xmimi  sinu  —  k\  2  A  ^2»!,  sin  o)  —  A'  S  Ams/??;  sinio, 

HJ  étant  une  fonction  périodique  de  t,  que  l'on  peut  regarder  comme  entiére- 
H.  P.  —  Vit.  45 


355  SUR    LE    PROBLÈME   DES    TROIS   CORPS 

menl  connue.  Pour  que  l'on  puisse  lirer  de  celte  àqualion  x"i  sous  la  forme 
d'une  fonction  p(W'iodique,  ri  faut  et  il  suffit  que  les  seconds  membres  des 
équalions  (16"),  développés  en  séries  irigonomélriques,  ne  possèdent  pas  de 
termes  tout  connus.  Nous  devons  donc  disposer  des  quantités  !(]  de  manière  à 
annuler  ces  termes  tout  connus.  Nous  serions  ainsi  conduits  à  trois  équations 
linéaires  entre  les  trois  quantités  A/  ;  mais  comme  le  déterminant  de  ces  trois 
équations  est  nul,  il  y  a  une  petite  difficulté  et  je  suis  forcé  d'entrer  dans 
quelques  détails. 

Comme  yj  s'annule  avec  t,  on  doit  avoir  A|  =  o;  nous  n'aurons  plus  alors 
que  deux  inconnues  k\  et  k\  et  trois  équations  à  satisfaire;  mais  ces  trois 
équations  ne  sont  pas  distinctes  comme  nous  allons  le  voir. 

Appelons  en  effet  E,-  le  terme  tout  connu  de  H| ,  ces  trois  équations  s'écriront 

El  =  X  J  V  A  ni:  m  1  sin  to  -+-  Ai  V  A  ni;  m  1  sin  eu, 
(17  )  }  E,  =  A J  C  A  m  l  sin  w       +  AJ  C  A  ; 

Ej  =  A:J  V  A  in-i  ni:;  sin  oj  +  ki  V 


.  /«:i  nli  SUl  (iJ, 


A  ml  sin  oj, 


en  conservant  au  signe  de  sommation  v  le  même  sens  que  plus  haut.  Je  ne  con- 
sidérerai d'abord  que  les  deux  dernières  des  équations  (17)  que  j'écrirai 

De  ces  deux  équalions  on  peut  tirer  AJ  et  AJ,  à  moins  que  le  hessien  de  '^  par 
rapport  à  w^  et  thii  ne  soit  nul.  Si  l'on  donne  aux  A,  les  valeurs  ainsi  obtenues, 
les  deux  dernières  équalions  (16)  nous  donneront  x;  et  ar,  sous  la  forme 
suivante  : 

les  E,'  étant  des  fonctions  périodiques  de  l  entièrement  connues  et  les  Cf  étant 
de  nouvelles  constantes  d'intégration. 

Pour  trouver  x]  nous  pouvons,  au  lieu  d'employer  la  première  des  équa- 
tions (  16),  nous  servir  des  considérations  suivantes  : 

Les  équations  (i)  admettent  une  intégrale  F  =  B,  B  étant  \ine  constante 
d'intégration  qu(!  je  supposerai  développée  suivant  les  puissances  de  p  en 
écrivant 

B  =  B„+  iJtB,-i-ix2Ho-4-..., 


ET    LES    ÉQUATIONS    DE   LA    DYNAMIQUE.  355 

de  sorle  que  l'on  a 

<î>o=B„,        <I>,=  B,,        ^i=B.,         ..., 

Bd,  Bi,  B2,  etc..  L'iant  auliinl  de  conslantes  dirtéientes. 

Le  premier  membre  de  l'équalion  <I)2=B2  dépend  des  :r°,  des  if,  desx/, 
des  )-?,  de  xl  et  de  xi  qui  sont  des  fondions  connues  de  t  et  de  ^i,  lequel  nous 
n'avons  pas  encore  calculé.  De  celte  équation,  nous  pourrons  donc  tirer  xj  sous 
la  forme  suivante  : 

^r  =  l?  +  C?. 

l]  sera  une  fonction  périodique  de  t  entièrement  déterminée  et  C;  est  une 
constante  qui  dépend  de  Bo,  de  C!;  et  de  G'^. 

Nous  pouvons  conclure  de  là  que  la  première  des  équations  (17)  doit  être 
satisfaite  et  par  conséquent  que  ces  trois  équations  (17)  ne  sont  pas  distinctes. 

Prenons  maintenant  les  équations  (  i  i')  et  faisons-y  /,•  =  2  ;  nous  obtiendrons 
trois  équations  qui  nous  permettront  de  déterminer  les  conslantes  C|,  C^  et  G', 
et  d'où  l'on  tirera  en  outre  les  r/  sous  la  forme 

J  ï  =  -n ;  -H  /,•; ,  yl  =  ï,i  -f-  Ai ,  j^  =  -r);  H-  A-j , 

les  Y)  étant  des  fonctions  périodiques  de  t  entièrement  connues  et  les  kf  étant 
trois  nouvelles  constantes  d'intégration. 

Reprenons  ensuite  les  équations  (  10')  en  y  faisant  A-  =  3;  si  nous  supposons 
A*,  =:  o,  nous  pourrons  tirer  des  trois  équations  ainsi  obtenues,  d'abord  les 
deux  constantes  A^  et  A3,  puis  les  x'  sous  la  forme 

les  f  étant  des  fonctions  périodiques  connues  de  t  et  les  G,'  étant  trois  nouvelles 
constantes  d'intégration. 

Et  ainsi  de  suite. 

Voilà  un  procédé  pour  trouver  des  séries  ordonnées  suivant  les  puissances 
de  fx,  périodiques  de  période  T  par  rapport  au  temps  et  satisfaisant  aux  équa- 
tions (  I  ).  Ce  procédé  ne  serait  en  défaut  que  si  le  hessien  de  Fopar  rapport 
aux  x"  était  nul  ou  si  le  hessien  de  ']>  par  rapport  à  m-;,  et  cj:,  était  nul. 

Ge  que  nous  venons  de  dire  s'applique  en  particulier  à  une  équation  que 
l'on  rencontre  quelquefois  en  Mécanique  céleste  et  dont  plusieurs  géomètres  se 
sont  déjà  occupés.  Gette  équation  est  la  suivante  : 

(18)  ■^+/i=p-hmp'=fzR(p,  0- 


d?        dF 

di 

dF 

'^ 

dF 

dt  ~    da  ' 

dt  "    ' 

--d-p' 

dt 

,/ri 

306  SUR    LE    PROBLÈME    DES   TROIS   CORPS 

n  et  m  sont  des  constantes,  f^  est  un  paramètre  très  petit  et  R  est  unefonction 
de  p  et  de  t,  développée  suivant  les  puissances  croissantes  de  p  et  périodique 
par  rapport  à  t. 

Pour  bien  nous  en  rendre  compte,  il  faut  d'abord  ramener  l'équation  (  i8)  à 
la  forme  canonique  des  équations  de  la  Dynamique.  Cela  se  fera  en  posant 

?  =  <>         ,?<       ''         ^^-^'^—T'', !•'/  '-(p.  ?)°^P  +  -n, 

;  et  /)  étant  deux  nouvelles  variables  auxiliaires  et  l'intégrale  /  R(p,  ^)  c?p  étant 
calculée  en  regardant  Ç  comme  une  constante.  On  trouve  alors 

(19) 

auxquelles  nous  pourrons  adjoindre  (iq  étant   restée  jusqu'ici    complètement 

arbitraire)  l'équation  suivante  : 
,    ,,  rfïi  dF 

qui  complète  un  système  canonique. 

Quand  [j.  —0  l'intégrale  générale  de  l'équation  (  1 8)  s'écrit 

(2o)  p  =  A  sn(^^ -h  tît),         a  =  hg  cn{g-t  +  m)àn(gt +  Tn), 

OÙ  o-  et  57  sont  deux  constantes  d'intégration  et  où  /«,  ainsi  que  le  module  du 
sinus  amplitude,  sont  deux  fonctions  de  g  faciles  à  déterminer. 

Nous  allons  changer  de  variables;  nous  prendrons  au  lieu  de  ^,  y),  p  et  cr, 
quatre  variables  x^,  y,,  x^,  y^,  définies  comme  il  suit.  Nous  aurons  d'abord 

Des  équations  (20)  qui  donnent  p  et  o-  en  fonction  de  g  ei  de  gt  -+-  xs  pour 
jjL  ^  o,  on  peut  tirer  g  el  gt-\-Ts  en  fonctions  de  p  et  de  a.  Il  vient 

é'  =  7.i(p,  î),  ^;  +  ra  =  7,(o,  a). 

Nous  prendrons  alors  pour  x,  une  certaine  fonction  de  Xi  (p>  0)  et  pourj',  : 

k  désignant  la  période  réelle  de  sn(,c). 

Si  alors  Xi   a  été  convenablement  choisi  en  fonction  de  iit   ^es  équations 
conserveront  leur  forme  canonique 


dy, 

dF 

dy,         d.F 

dx  1 

dF 

dx. 

dF 

dt 

dx\ 

dt    ~  dx.i 

dl 

dy,' 

dt    ~ 

dy.. 

ET   LES   ÉQUATIONS   DE    LA    DYNAMIQUE.  357 

Il  est  clair  d'ailleurs  que  pour  ;jl  =:  o,  F  ne  dépend  que  de  Xi  el  de  x^  et,  non  de 
j't  et  de  j'o. 

Nous  nous  trouvons  donc  bien  dans  les  conditions  énoncées  au  début  de  ce 
paragraphe. 

L'équation  (  i8)  a  surtout  été  étudiée  par  les  géomètres  dans  le  cas  où  m^o; 
il  semble  au  premier  abord  qu'elle  est  alors  lieaucoup  plus  simple.  Ce  n'est 
qu'une  illusion;  en  effet,  si  l'on  suppose  m  =  o,  on  se  trouve  dans  le  cas  où  le 
hession  de  Fo  est  nul  et  ce  que  nous  avons  dit  dans  ce  paragraphe  n'est  plus 
applicable  sans  modification. 

Ce  n'est  pas  que  les  particularités  que  présente  l'équation  (  i8)  dans  le  cas 
général  ne  soient  encore  vraies  pour  m=o,  toutes  les  fois  du  moins  que  fx 
n'est  pas  nul.  La  seule  différence,  c'est  qu'on  ne  peut  les  mettre  en  évidence 
par  un  développement  suivant  les  puissances  de  fx.  L'apparente  simplification 
qu'a  reçue  ainsi  l'équation  (  i8)  n'a  fait  qu'augmenter  les  difficultés.  11  est  vrai 
qu'on  est  conduit  quand  m  =  o,  à  des  séries  beaucoup  plus  simples  que  dans 
le  cas  général,  mais  ces  séries  ne  convergent  pas  comme  nous  le  verrons  dans 
la  suite. 

La  méthode  exposée  dans  ce  paragraphe  s'applique  également  à  un  cas  parti- 
culier du  problème  des  trois  corps. 

Supposons  une  masse  nulle  C  attirée  par  deux  masses  mobiles  A  et  B  égales 
l'une  à  I  —  |J.  et  l'autre  à  fx  et  décrivant  d'un  mouvement  uniforme  deux  circon- 
férences concentriques  autour  de  leur  centre  de  gravité  commun  supposé  fixe. 
Imaginons  de  plus  que  la  masse  C  se  meuve  dans  le  plan  de  ces  deux  circon- 
férences. 

Nous  verrons  plus  loin  que  dans  ce  cas  les  équations  du  mouvement  peuvent 
se  mettre  sous  la  forme  suivante  : 


(0 


On  désigne  par  Xi  la  vitesse  aréolaire  du  point  C,  par  x-^  la  racine  carrée  du 
grand  axe  de  l'orbite  de  C,  par  yi  la  différence  de  la  longitude  du  périhélie 
de  C  et  de  la  longitude  de  B,  par  j'^  l'anomalie  moyenne. 

D'ailleurs  F  peut  être  développée  suivant  les  puissances  de  pt  et  l'on  a 

Fo  =  a^i  -H  - — ;  • 

1X7. 


dxi 
dt    ~ 

dF 

dy,' 

dx^.             d^ 

dt    ~       dy. 

dy, 

dF 

dy.  _        dF 

dt 

dxt 

dt              dx. 

dxi         o'(F)oT 
dt    "  a>'(C)o'j,' 

dyi 
dt 

d    r  9(F)] 
~  dVi      9(C)_   ' 

dyi 
dt 

358  SUR    LE    PROBLÈME   DES    TROIS   CORPS 

Il  esl  aisé  de  voir  que  lt«  hessien  de  Fq  par  rapport  à  x,  et  à  x-,  est  nul.  11 
semble  donc  d'abord  que  les  mélliodes  du  présent  paragraphe  sont  en  défaut. 
Il  n'en  est  rien  et  un  artifice  très  simple  permet  de  tourner  la  difficulté.  Les 
équations  (  i  )  admettent  comme  intégrale  F  =  C.  Considérons  la  constante  C 
comme  une  donnée  de  la  question. 

Si  alors  <p(F)  est  une  fonction  quelconque  de  F  et  C}''(F)  sa  dérivée,  on  aura 

* 

f(F)  =  9'(C) 

et  les  équations  (  i  )  pourront  s'écrire 

<s'(F)rfF 
^\Ç.)dXi 

OU 

dxj  d   r?(F)-|  dy'i  _        r/    [-^(F)-] 

^^  '  ^''^    ~  <)-/L9(C)J'  dt  dxXo\Q.)\ 

En  général,  le  hessien  de  '  ;  °  ne  sera  pas  nul.  C'est  ce  qui  arrive  en  particulier 
quand 

,(f„)  =  f;  =  .î+|  +  ^. 

Les  solutions  des  équations  (  i  )  qui  correspondent  à  la  valeur  particulière  C  de 
l'intégrale  F  appartiennent  aussi  aux  équations  (  i'). 

Considérons  maintenant  une  solution  des  équations  (i)  qui  soit  telle  que 
l'intégrale  F  soit  égale  à  une  constante  Ci  dilTérenle  de  C. 

Je  dis  que   cette  solution  appartiendra   encore  aux  équations    (i')    pourvu 

qu'on  y  change  t  en  f  ^ ^ '   •  On  a  en  effet 

dxi  _  dF^  (fZ!  _       dF 

dt         dvi  dt  dxt'' 

si  l'on  change  t  en  t  '  ,,   ',  ;  il  viendra 

"  9  (  C  ) 

dx,  _  s'(Ci)t/F  dyi  _       s'(Ci)rfF 

dt   ~  ?'(C)a[r/'  dt    ~       ^'{C)dxi 

ou  puisque  F  =  C|  : 

dxj  _  o'(F)dP  ^-  _  _  9'('P)dF 

dt    "  (p'(C)6?r<'  dt    ~       !f'(C)dxt' 

c.    Q.    F.    n. 

Des  solutions  de"  (  i  )  il  est  donc  aisé  de  déduire  celles  de  (i')  et  inversement. 


ET    LES   ÉQUATIONS   DE   LA   DYNAMIQUE.  SSiJ 

Les  méthodes  du  pr(éseiit  paragraphe  sont  donc,  grâce  à  cet  artifice,  appli- 
cables à  ce  cas  particulier  du  problème  des  trois  corps. 

Elles  ne  le  seraient  pas  aussi  aisément  au  cas  général.  Dans  le  ciis  générai  en 
efïet,  non  seulement  le  hessien  de  Fq  est  nul,  mais  celui  de  cp  (Fq)  est  encore  nul, 
quelle  que  soit  la  fonction  cp. 

De  là  certaines  difficultés  dont  je  ne  parlerai  pas  ici;  j'y  reviendrai  plus  loin 
et  je  me  bornerai  pour  le  moment  à  renvoyer  le  lecteur  à  un  travail  que  j'ai 
inséré  dans  le  Bulletin  Astronomique  (t.  J,  p.  65)  (•). 

12.  —  Calcul  des  exposants  caractéristiques. 

Reprenons  les  équations  (  i  )  du  paragraphe  précédent 

,  ,  dx,         ,1F  ,lyi  dV 

(•)  -^  =  d7'  ~t=~l^,  ('  =  ',2,3). 

Supposons  qu'on  ait  trouvé  une  solution  périodique  de  ces  équations 

et  proposons-nous  de  déterminer  les  exposants  caractéristiques  de  cette 
solution. 

Pour  cela  nous  poserons 

r,=  0/(0  +  ?/>       yi—  ^/(0-+-T|,, 

puis  nous  formerons  les  équations  aux  variations  des  équations  (i)  que  nous 
écrirons 

^    dt  jU  dvi  dxk  '■''Au  dyi  dyk  ^ 

(^)  \^  L      ^-p  *       ^op  (t,  A- =  1,2,  3) 

f     dt  Au  dxi  dxk  '        J^  dxi  dxk 

\  k  k 

et  nous  chercherons  à  intégrer  ces  équations  en  faisant 

(3)  ?,  =  e«'S„         ri,.=  e«T,-, 

S,  et  T,  étant  des  fonctions  périodiques  de  t.  Nous  savons  qu'il  existe  en 
général  six  solutions  particulières  de  cette  forme  [les  équations  linéaires  (2) 
étant  du  sixième  ordre].  Mais  il  importe  d'observer  que,  dans  le  cas  particulier 
qui  nous  occupe,  il  n'y  a  plus  que  quatre  solutions  particulières  qui  conservent 

(')  Œuvres  de  H.  Poi/icaré,  ce  Tome  p.  253. 


36o 


SUR    LE   PROBLEME   DES    TROIS    CORPS 


cette  forme,  parce  que  deux  des  exposants  caractéristiques  sonl  nuls,  el  qu'il  y 
a  par  conséquent  deux  solutions  particulières  d'une  forme  dégénérescenlc. 

Cela  posé,  supposons  d'abord  fz  =  o,  alors  F  se  réduit  à  Fq  comme  nous 
l'avons  vu  dans  le  paragraphe  précédent  et  ue  dépend  plus  que  de  x^,  xl,  clxl. 

Alors  les  équations  (2)  se  réduisent  à 


(2') 


dh 
dt 


v 


d'-  F„ 


n'.r?  dx 


TT?*- 


Les  coefficients  de  \k  dans  la  seconde  équation  (2')  sont  des  constantes. 
Nous  prendrons  comme  solutions  des  équations  (2') 


o, 


T12=T1S 


^3=-0S 


r)J,  r\\  elYi"  étant  trois  constantes  d'intégration. 

Celte  solution  n'est  pas  la  plus  générale,  puisqu'elle  ne  contient  que  trois 
constantes  arbitraires,  mais  c'est  la  plus  générale  parmi  celles  que  l'on  peut 
ramener  à  la  forme  (3).  Nous  voyons  ainsi  que  pour  p.  ^o,  les  six  exposants 
caractéristiques  sont  nuls. 

Ne  supposons  plus  maintenant  que  \>.  soit  nul.  Nous  allons  maintenant 
chercher  à  développer  a,  S/etT;,  non  pas  suivant  les  puissances  croissantes 
de  fji.  mais  suivant  les  puissances  de  \J\i.  en  écrivant 

a  =  a  I  ^,  ij.  +  ao  JJL  +  «3  [J.  y' fjL  -f- .  .  . , 

S/ =  s;- +  S •  s/li  +  S/ [Ji  +  S;  iJL  v/(^  + . . . , 
T,-  =  T»  +  T;  4Tx  +  T,^  IX  +  Tf  ,a  \l'^^.... 

Je  me  propose  d'abord  d'établir  que  ce  développement  est  possible. 

Montrons  d'abord  que  les  exposants  caractéristiques  a  peuvent  se  développer 
suivant  les  puissances  croissantes  de  \J \i.. 

D'après  ce  que  nous  avons  vu  au  paragraphe  10,  les  exposants  caractéris- 
tiques nous  seront  donnes  par  l'équation  suivante,  en  reprenant  les  notations 
des  paragraphes  9  et  10  : 


d'px 

e«T 

d\jn 

4ii 

dh 

dy, 

d[in 

d'in 
d'p, 

d-i„ 

d-in 
■  ■        d^n 

Le  premier  membre  de  cette  équation  est  holomorphe  en  a  ;  de  plus,  d'après  le 


ET   LES   ÉQUATIONS   DE    LA   DYNAMIQUE.  36l 

théorème  III  (§  2),  les  y  peuvent  être  développés  suivant  les  puissances  de  jj. 
et  des  (3  (c/.  §  9),  d'ailleurs  d'après  le  paragraphe  9  les  ^  peuvent  se  développer 
eux-mêmes  suivant  les  puissances  de  p..  D'après  cela  les  y  et  le  déterminant  que 
je  viens  d'écrire  peuvent  eux-mêmes  être  développés  suivant  les  puissances 
de  p..  Il  résulte  de  là  que  les  exposants  a  nous  sont  donnés  en  fonction  de  (j.  par 
une  équation  G(a,  p.)  =  o  dont  le  premier  membre  est  holoinorphe  en  a  et 
en  p.. 

Si  pour  p^o,  tous  les  exposants  a  étaient  différents  les  uns  des  autres, 
l'équation  G  =  o  n'aurait  pour  (3  =  o  que  des  racines  simples,  et  l'on  en 
conclurait  que  les  <x  seraient  développables  suivant  les  puissances  de  p 
(théorème  IV,  §2). 

Mais  il  n'en  est  pas  ainsi  ;  nous  venons  de  voir  en  effet  que  pour  p.  =  o,  tous 
les  x  sont  nuls. 

Reprenons  les  notations  du  paragraphe  H,  notre  équation  pourra  s'écrire, 
en  supposant  trois  degrés  de  liberté  seulement  : 

G(a,  ,u) 
d^rii  _^^  dAat  d\a,  r/A^i  d  àa,  a'A«i 


dSdi  d  oa-2  d  Sa}  d  om,  d  ots->  d  om-,; 

d  \ai  d  \a-i  _,.  d  \a^  d  Aa«  d  \a«  d  \(ii 


dScii  dScii                                   d  5(ir.  d  oznt  </ ora-i  </ onj- 

f/A«3  d  la^  d  \a  ^                  ^_  d  \at  d  \a^  d  \a:, 

_j_  I  (ï3-  1  

dScii  dSui  f/S«3  d  Swi  d  5rsi  d  om-t 


d  3t(3 

d^a. 

d  Son 

d  \a 
doa 

-  -)-  I  - 

1 

rf  Aini 

dSa-.i 

rfAm, 

d  Sa?, 

d  Ara. 

o'Ara,  ofAnj,  rfAiHi  r/Aroi                 ^,.  (/Airri  c/Ara, 

:^ ~ -t-  I  —  e    '  

dSi(i  doai  dSa-i  dowi  d  Sm^  '                   d  cm- 

f/Ara-.  r/Ara.  rfAm-;                          r/Aroo  '/Aroo  ..,  d  ^tïs-i 


d  \ax 

d  OTn> 

dlr,„ 

d  ora.i 

d\a^ 

d  Scjî 

d^m, 

d  oro, 

d\w 

2 

d  Sra 

c/AcTa 

d  ûcii  d  5a^  d  Sa?,  dSr^i  d  Sm^  dSm-, 

rfAcTi  «yAcT,  d  Ivî::  rfAcJa  c/AcTa  ofAro.T 

dSrit  d  Sa«  d  Sa-.,  dSwi  d  Sw-^  dSwj 


Cela  fait,  je  pose 

Je  divise  les  trois  premières  lignes  du  déterminant  par  y/p.;  je  divise  ensuite  les 
trois  dernières  colonnes  par  \/p  (de  sorte  que  le  déterminant  lui-même  se  trouve 
finalement  divisé  par  p.^). 

Je  fais  ensuite  p  =  o. 

J'observe  que  d'après  ce  que  nous  avons  vu  au  paragraphe  il,  Aai,  Aaj, 
H.  P.  —  \li.  46 


362  SUR   LE    PROBLÈME   DES   TROIS  CORPS 

A«3  sont  divisibles  par  (x.  Si  donc  j'envisage  le  premier  élément  de  la  première 
ligne,  cet  élément  après  la  division  par  \  fj.  s'écrira 

et  quand  on  j  fera  fi  =  o  il  deviendra  —  IT. 

De  même  le  second  élément  de  la  première  ligne  s'écrit  -— — —  et  il  tend 
vers  zéro  avec  p.. 

Ainsi  quand  on  aura  fait  fJt  =  o,  les  trois  premiers  éléments  des  trois  pre- 
mières lignes  s'annuleront  à  rexception  des  éléments  de  la  diagonale  principale 
qui  deviendront  égaux  à  —  IT. 

Considérons  maintenant  les  trois  derniers  éléments  des  trois  dernières 
lignes;  ils  s'écriront 

dàwi  i  —  eXTi/jI  ^/^^^. 

— ; \ — ou         —= 

selon  qu'ils  appartiennent  ou  non  à  la  diagonale  principale.  D'après  ce  que 
nous  avons  vu  au  paragraphe  il,  Awk  est  dévoloppable  suivant  les  puissances 
de  jj-,  des  ôa,-  et  des  dmr,  de  plus  pour  f;:.  =  o,  Acj,  ne  dépend  pas  des  ônr,-.  On  en 

conclura  que  —rr-^  est  divisible  par  u. 
■        aomi  ^      ' 

Donc  quand  on  fera  |jl  =  o,  les  trois  derniers  éléments  des  trois  dernières 
lignes  deviendront  égaux  à  —  XT  ou  à  zéro,  selon  qu'ils  appartiennent  ou  non  à 
la  diagonale  principale. 

Considérons  maintenant   les    trois   premiers   éléments    des   trois    dernières 

lignes  -j^ — ■'•  D'après  ce  que  nous  avons  vu  au  paragraphe  H,  on  a  pour/j.  =  o  : 

<•/  Ara,-  _  _  rj,     '/-  Fo 


(/San  dxidxk 

Passons  enfin  aux  trois  derniers  éléments  des  trois  premières  lignes  qui 
s'écrivent  ,^  '  •  D'après  ce  que  nous  avons  vu  au  paragraphe  H,  si  dans  P\ 
on  substitue  «i,  a-,,  a-,,  «,  <  +  OT),  n^t  +  sto,  Uit  -\-  m-i  à  la  place  de  .Ti,  Xj,  x^. 
y,,  Yi,  y:\,  on  voit  que  F,  devient  une  fonction  périodique  de  t  de  période  T  et 
si  l'on  appelle  'h  la  valeur  moyenne  de  cette  fonction  périodique,  on  a  pour 
p  =  o  : 

Act/  d^  dl^a,  d"-'\ 

=  T-r-i-i  don  — ;.^ —  =T-  - 


jJi  dmi  \y  ri  onu  drui  dmji 


ET   LES    ÉQUATIONS   DE   LA    DYNAMIQUE. 

Il  importe  de  remarquer  que  l'on  a  identiquement 


363 


rfi 


d^ 


dwi  '  fifeî 

Nous  voyons  donc  que  pour  p.  =  o  on  a 


"3-7-^  =  o. 


G(Xv/|^,  IJl) 


m3T« 


0    4 

0 

d'-'l 
dm'j 

d'-'l 

d-^-l 

d-nii  f/c» 

(YtCfi  ûfe;; 

0 

—  Â 

0 

dm  y  drs-i 

d-i<\, 
dmi 

d"-i^ 

0 

0 

— /- 

d-^i, 
dwi  dm-i 

d"->h 

d-^i, 

dm-2  dm-i 

dmi 

d-^  F„ 

'/■^F„ 

'/■^F„ 

—  À 

0 

dx'\ 

c/Xi  rt':C2 

dx\  dx?. 

d-^  F„ 
dci  dx-i 

^/■^  F„ 
dx\ 

d-^¥„ 
dx-i  dx~ 

0 

—  X 

0 

d-^  F„ 

^/=Fo 

d-¥o 

—  X 

ilx^  dxz 

f/j-î  «/xj 

dxi 

0 

0 

En  égalant  à  zéro  ce  déterminant,  on  a  une  équation  du  sixième  degré  en  \\ 
deux  de  ses  racines  sont  nulles  ;  nous  n'en  parlerons  pas,  car  elles  se  rapportent 
aux  deux  solutions  particulières  de  forme  dégénérescente  dont  j'ai  parlé  plus 
haut.  Les  quatre  autres  solutions  sont  distinctes  en  général. 

Il  résulte  alors  du  théorème  IV  (i^  2),  que  nous  pourrons  tirer  de  l'équation 

CifX    lAI,    u.  )  .    ,  .  ,  I        r  1,  .     •         I,        I  . 

^ — ppj-i —  ^  O,  A(et  par  conséquent  a)  sous  la  lorme  d  une  série  développée 

suivant  les  puissances  croissantes  de  \/p..  J'ajouterai  que  X  peut  se  développer 
suivant  les  puissances  de  p.  et  que  le  développement  de  a  ne  contient  que  des 
puissances  impaires  de  \i\i.  En  effet  les  racines  de  l'équalion  G(a,  p)  =  o 
doivent  être  deux  à  deux  égales  et  de  signe  contraire  [cf.  §  10).  Donc  a  doit 
changer  de  signe  quand  je  change  \/[j.  en  —  y/p.. 

Démontrons  maintenant  que  S,  et  T;  peuvent  aussi  se  développer  suivant  les 
puissances  de  y/p.. 

S,  et  T,  nous  sont  donnés  en  effet  par  les  équations  suivantes  : 

(2") 


dSj, 

dt         ""'  Jmj  dvidxt'"''      ^m^dyidyk 

dTi         ^  N?      '/M'      ,,        NTi      ^-F 


— -  -H  :<  T ,  =  —  > ^—  b  i  —  > 


dxi  d\ 


-Ta-, 
Ta-. 


Soit  |3,  la  valeur  initiale  de  S,-  et  |3|   celle  de  T,;  les  valeurs  de  S,  et  de  T,  pour 
une  valeur  quelconque  de  t  pourront  d'après  le  théorème  III,  (§  2),  se  déve- 


364  ^l^""    LE   PROBLÈME   DES   TROIS   CORPS 

lopper  suivant  les  puissances  de  |Jt,  de  «,  des  ,3,-  et  des  (3/.  De  plus,  à  cause  de 
la  forme  linéaire  des  équations,  ces  valeurs  seront  des  fonctions  linéaires  et 
homogènes  des  (3,-  et  des  P'  . 

Soit,  pour  employer  des  notations  analogues  à  celle  du  paragraphe  9,  (3;+  ij/; 
la  valeur  de  S,  et  (3)  +4'!  celle  de  T,  pour  f:=T.  La  condition  pour  que  la 
solution  soit  périodique,  c'est  que  l'on  ail 

Les  (['i  et  les  'Y^  sont  des  fonctions  linéaires  des  (3;  et  des  (3;  ;  ces  équations  sont 
donc  linéaires  par  rapport  à  ces  quantités.  En  général  ces  équations  n'admettent 
d'autre  solution  que 

de  sorte  que  les  équations  (2")  n'ont  d'autre  solution  périodique  que 

S,=  Tj=  o. 

Mais  nous  savons  que  si  l'on  choisit  a  de  façon  à  satisfaire  à  G(a,  p.)  =  o,  les 
équations  (2")  admettent  des  solutions  périodiques  autres  que  S/=  T,— o.  Par 
conséquent  le  déterminant  des  équations  linéaires  i];,=  i)j'  ^o  est  nul.  Nous 

pourrons  donc   tirer  de  ces  équations  les  rapports  j!^  et  ^  sous  la  forme  de 

séries  développées  suivant  les  puissances  de  a  et  de  p.. 

Comme  (3',  reste  arbitraire,  nous  conviendrons  de  prendre  (3',  =  i  de  telle 
sorte  que  la  valeur  initiale  de  T,  soit  égale  à  i.  Les  (3,  et  et  les  (3)  sont  alors 
développés  suivant  les  puissances  de  a  et  de  p.;  mais  les  S,  et  T,-  sont  comme 
nous  l'avons  vu  développables  suivant  les  puissances  de  a.  de  fx,  des  (3,  et 
des  (3)  et  d'autre  part  a  est  développahle  suivant  les  puissances  de  y/ p.. 

Donc  les  S,  et  les  T,-  seront  développables  suivant  les  puissances  de  \/fx. 

C.     Q.     F.     D. 

On  aura  en  particulier  : 

T,  =  TÎ-i-Tl  v/i^  +  TriJi -(-.... 

Comme,  d'après  notre  hypothèse,  (3',  qui  est  la  valeur  initiale  de  Ti  doit  être 
égale  à  1 ,  quel  que  soit  /j.,  on  aura  pour  t  ^  o  : 

T','  =  i,         0  =  T]  =  T?  =  ...=  T7  =  .... 

Ayant  ainsi  démontré  l'existence  de  nos  séries,  nous  allons  chercher  à  en  déter- 
miner les  coefficients. 

Nous  avons 

ai  —  O,         il—  ^, 


ET    LES   EQUATIONS   DE   LA   DYNAMIQUE. 


365 


et 


(4) 


?,=:e»'(S/'-+-S/  s/|I+...),         rii=e«(T<>  +  T/  v>+---), 


dt 

=  e^' 

./.    -^^  dt    ^• 

.  +  a  S,"  -1-  a  y/jl  S/  +  .  .  . 

d'il 
dt 

=  e^' 

dt    ^^    dt    -"• 

.-l-aT»  +  a  v^T/+... 

Nous    développerons  d'autre  part   les  dérivées  secondes  de  F  qui   entrent 
comme  coefficients  dans  les  équations  (2)  en  écrivant 


(5) 


d^F 

dyi  dxk 

dyt  dyk 

d'Y 
dxi  dxk 

d-^F 
djoi  dyk 


Ces  développements  ne  contiennent  que  des  puissances  entières  de  [j.  et  ne 
possèdent  pas  comme  les  développements  (4)  des  termes  dépendants  de  i/fx. 
On  observera  que 


(6) 


A,'it=B,';..=  DA-  =  o,         C,",'=Gf,, 


b;ï  =  B 


il! 


"a- 


DX',. 


Nous  substituons  dans  les  équations  (2)  les  valeurs  (4)  et  (5)  à  la  place  des  ^, 
des  rj,  de  leurs  dérivées  etdes  dérivées  secondes  de  F.  Dans  les  expressions  (4) 
je  suppose  que  a  soit  développé  suivant  les  puissances  de  ^j [i^  sauf  lorsque 
cette  quantité  a.  entre  dans  un  facteur  exponentiel  e°". 

Nous  identifions  ensuite  en  égalant  les  puissances  semblables  de  \J \).  et  nous 
obtiendrons  ainsi  une  série  d'équations  qui  permettent  de  déterminer  succes- 
sivement a,,  «2,  «3,  ■  •  -,  S°,  S',  .  .  .,  T°,  T,', 

Je  n'écrirai  que  les  premières  de  ces  équations  obtenues  en  égalant  successi- 
vement les  termes  tout  connus,  les  termes  en  \] \j.,  les  termes  en  |jt.,  etc.  Je  fais 
d'ailleurs  disparaître  le  facteur  e="  qui  se  trouve  partout. 

Egalons  d'abord  les  termes  en  ^p.;  il  vient 


(7) 


dt 

dJl 
dt 


«,S,"=2A,°tS|+VB,",T|., 

I.  k 


366  SUR  LE  PROBLEME  DES  TROIS  CORPS 

Égalons  les  termes  en  pi,  il  vient 

(8)      ^+a,S/  +  a,S,''=2](AA-Sj+A,\SÏ+liAT|+B?,Tn         (/=i,  2,  3), 

outre  trois  éi|iialions  analogues  donnant  les  —jj-- 

Si  l'on  tient  compte  maintenant  des  relations  (6),  les  équations  (j)  deviennent 


La  première  de  ces  équations  montre  que  S|,  S.'  et  SJ,  sont  des  constantes. 
Quanl  à  la  seconde,  elle  montre  que  —jj-  est  une  constante  ;  mais  comme  T/  doit 
être  une  fonction  périodique,  cette  constante  doit  être  nulle,  de  sorte  qu'on  a 

(9)  a,v  =  CAsi  +  c»,s;  +  c,!^sj, 

ce  qui  établit  trois  relations  entre  les  trois  constantes  rj",  les  trois  constantes  S,'  et 
la  quantité  inconnue  a^. 

De  son  côté  l'équation  (8)  s'écrira 


Les  B,"  sont  des  fonctions  périodiques  de  t;  développons-les  d'après  la  formule 
de  Fourier  et  soit  6,7,  le  terme  loul  connu  de  B,^.  Il  viendra 

k 

ou  en  tenant  compte  des  équations  (g),  il  viendra 

(10)  «■fs;-=2*''i(Cl,sj-HC2,sî-t-q3Sj). 

En  faisant  daas  cette  équation  (10)  «'=  i,  2  et  3,  nous  aurons  trois  relations 
linéaires  et  homogènes  entre  les  trois  constantes  S/.  En  éliminant  ces  trois 
constantes,  nous  aurons  alors  une  équation  du  troisième  degré  qui  déter- 
minera ?.J. 

Si  nous  posons  pour  abréger 


ET   LES   ÉQUATIONS   DE   LA    DYNAMIQUE. 

l'équalion  due  à  celle  éliminalion  s'écrira 


367 


e„— af 

Cl 

î 

ei3 

(>0 

e->i 

e» 

.- 

-«r 

e-n 

= 

e^i 

es 

■" 

e.i3—  a? 

Elle 

peul  encore  s'écrire 

—  =<i 

0 

0 

po          po 

^12            ^13 

0 

—  «1 

0 

>j,  1 

es,     es. 

o 

0 

—  oti 

'-■3  1 

es  2     G», 

b^^ 

bn 

b,. 

—  ^1 

0 

0 

b,, 

bii 

b,. 

0 

—  a, 

0 

63, 

b,-2 

b,. 

0 

0 

—  a 

La  déterminiilion  de   y.^  esl  la  seule  partie  du  calcul   qui    présenle    quelque 
difficullé. 

Les  équalions  analogues  à  (^)  el  à  (8)  formées  en  égalant  dans  les  équa- 
tions (2)  les  coefficients  des  puissances  semblables  de  y/jjt,  permellent  ensuite 
de  déterminer  sans  peine  les  «/(,  les  S"'  el  les  T"'.  Nous  pouvons  donc  énoncer 
le  résultat  suivant  : 

Les  exposants  caractéristiques  a  sont  Jéveloppables  suivant  les  puissances 
croissantes  de  \J\i.. 

Goncentraul  donc  toute  notre  attention  sur  la  détermination  de  «t,  nous 
allons  étudier  spécialement  l'équation  (11).  Nous  devons  chercher  d'abord  à 
déterminer  les  quantités  C"^  et  6,^. 


On  a  évidemment 


G,",,  =  - 


et 


Bh  = 


d-^U 


ou 


et 


B?t  =  —  SA  m,  »u  sin  c 


(10  =  niiyl  +  /«2,k"  +  "^^,yl  -+-  /'  ) 


l>ik  =  —  ^  A  nii  nik  sin  m. 

D'après  les  conventions  faites  dans  le  paragraphe  précédent,  la  sommation 
représentée  par  le  signe  2  s'étend  à  tous  les  termes,  quelles  que  soient  les 
valeurs  entières  attribuées  à  mi,  m.,  et  m,.  La  sommation  représentée  parle 

signe  V  s'étend  seulement  aux  termes  tels  que 

/)  I /«i -I- n,  m, -1- «:i  nij  =  o. 


368  SUR    LE    PROBLÈME    DES    TROIS    CORPS 

Sous  le  signe  ^  nous  avons  par  const^quent 

to  =  7^2 do -4-  /;i3ra-+  h. 


Cela  nous  permet  d'écrire 


d^^if 


(pour  /  et  k  =  2  ou  3). 


dvni  dm/; 
Si  un  ou  deux  des  indices  i  et  k  sont  l'igaux  à  i ,  bn:  sera  défini  par  la  relation 

'I  1  6,1  -h  n-i  /j,o  +  «3  ^15  =  o. 

Nous  allons  à  l'aide  de  cette  dernière  relation  transformer  l'équation  (ii) 
de  façon  à  mettre  en  évidence  l'existence  de  deux  racines  nulles  et  à  réduire 
l'équation  au  quatrième  degré. 

Je  trouve  en  effet  par  une  simple  iransfornialion  de  déterminant  et  en 
divisant  par  a]  : 


ni 

"'- 

«.-1 

0 

0 

0 

o 

—  ^1 

o 

b.y. 

6,0 

0 

o 

o 

—  ai 

633 

632 

0 

'-'1.-, 

es, 

es, 

—  «1 

0 

":l 

L.,2 

c^ 

CS^ 

0 

—  a, 

«2 

po 

'-'1 1 

G», 

c.% 

0 

0 

«1 

Dans  le  cas  particulier  où  l'on  n'a  plus  que  deux  degrés  de  liberté,  celte 
équation  s'écrit 

«1  fil  o  o 

d-^i> 
o       —a,     —Ht       o 
dxnr, 

C%_      C|,       —a,      «, 

c;,    es,      o     «, 

ou 

L'expression  n,Cjo  —  2«,/î2G"2+n!C",  ne  dépend  que  de  x^  et  x°  ou  si  l'on 
veut  de  «1  et  de  «j.  Quand  nous  nous  serons  donné  les  deux  nombres  n, 
et  «3  dont  le  rapport  doit  être  commensurable,  nous  pourrons  regarder 
n]Cl„ — ■  2 rii  niC° ^-{-  nlC" ^  comme  une  constante  donnée.  Alors  le  signe  de  a] 

dépend  seulement  de  celui  de -j-T- 

Quand  on  s'est  donné  rii  et  «j,  on  forme  l'éijualion 


(12) 


dust 


ET    LES    ÉQUATIONS    DE   LA    DYNAMIQUE.  869 

qui  esl  l'équation  (^)  du  paragraplie  précédont.  Nous  avons  vu  dans  ce  para- 
graphe qu'à  chaque  racine  de  cette  équation  correspond  une  solution 
périodique. 

Considérons  le  cas  général  où  l'équation  (13)  n'a  que  des  racines  simples; 
cliacune  de  ces  racines  correspond  alors  à  un  maximum  ou  à  un  minimum  de  <]/. 
Mais  la  fonction  ij;  étant  périodique  présente  dans  chaque  période  au  moins  un 
maximum  et  un  minimum  et  précisément  autant  de  maxima  que  de  minima. 

Or  pour  les  valeurs  de  ro^  correspondant  à  un  minimum,  -r— ^  est  positif;  pour 

les  valeurs  correspondant  à  un  maximum,  cette  dérivée  est  négative. 

Donc  l'équation  (12)  aura  précisément  autant  de  racines  pour  lesquelles 
cette  dérivée  sera  positive,  que  de  racines  pour  lesquelles  cette  dérivée  sera 
négative,  et  par  conséquent  autant  de  racines  pour  lesquelles  a;  sera  positif  que 
de  racines  pour  lesquelles  x]  sera  négatif. 

Cela  revient  à  dire  qu'il  y  aura  précisément  autant  de  solutions  périodiques 
stables  que  de  solutions  instables,  en  donnant  à  ce  mot  lo  même  sens  que  dans 
le  paragraphe  10. 

Ainsi,  à  chaque  système  de  valeurs  de  iii  et  de  n^,  correspondront  au 
moins  une  solution  périodique  stable  et  une  solution  périodique  instable  et 
précisément  autant  de  solutions  stables  que  de  solutions  instables pour^'u  que 
p.  soit  suffisamment  petit. 

Je  n'examinerai  pas  ici  comment  ces  résultats  s'étendraient  au  cas  où 
I  é([uation  (12)  aurait  des  racines  multiples. 

Voici  comment  il  faudrait  continuer  le  calcul. 

Imaginons  (jue  l'un  ait  déterminé  complètement  les  quantités  ai,  a^j  •  •  •  •  ^'■m 
et  les  fonctions  S",  S,',  .  .  .,  S"',  T",  T,' .  .  .  .,  T,'""',  et  que  l'on  connaisse  les 
fonctions  S"'^'  et  T"'  à  une  constante  près.  Supposons  qu'on  se  propose  ensuite 
(le  calculer  a„,  ^1,  d'achever  la  détermination  des  fonctions  S'"^'  et  T'"  et  de 
déterminer  ensuite  les  fonctions  S'"^'  et  T"'^'  à  une  constante  près. 

En  égalant  les  puissances  semblables  de  \j.  dans  les  équations  (4),  on  obtient 
des  équations  de  la  forme  suivante,  analogues  aux  équations  (7)  et  (8). 

Y h  /  G,"^  SJj'  +  '  —  Kl  T™     —  2m+i  T,"  =  quaiuilé  connue 

(■i)     {           .c,„,..  ''  '         ('  =  1,2,3). 

j y >-  \^^hTf      —  aiS;"+'  —  a„,H_iS,'  =  quantité  ronnue 

H.  P.  —  VII.  47 


370  SUR    LE    PROBLÈME    DES    TROIS   CORPS 

Les  deux  ini'inl)res  de  ces  éi|ii;Uioiis  (12)  sont  des  louclioiis  périodiques  de  /. 
Egalons  hi  viilour  movonne  de  ces  deux  membres.  Si  nous  désignons  piir  [UJ  la 
valeur  movenno  d  une  toiiclii)n  péri()di(|U('  ([uciconcjue  U,  si  nous  observons 
que  si  U  est  périodique  on  a 


lïj- 


si  nous  ra|»pelons  (jue,  T™  (Maul  connu  à  une  conslanle  |>rés,  'l'<"--[T™]  cl 
[B/j. (T™  —  [T™  D]  sonl  des  f[iianlil(;s  connues,  nous  ol)lien(lions  les  équations 
suivantes  : 

1    '^•VJ^ii""  I  -   î'iCI';'"]      —  :i„,+iT,"  =  riiianlilé  coniiiK- 
(li)       \  (/  =  i,2,  3). 


1  ^l'-'d'^'ï'ï      -  =<i[S,""  '  J  ^  x,„+,s;  =  iiuanlité  comme 


Ces  i'(|uati()ns  (  1  4  )  vuiil  nous  sci-vii'  à  calculer  ;z,„  ,  , ,  ['i'"'|  el.  [S""']  et  par 
conséquent  à  aciiever  la  dr'ierminalion  des  Conclions  TJ"  et  S''"'  qui  no  sonl, 
encore  connues  qu'à  une  conslanle  prés. 

Si  l'on  additionne  les  équalions  (i4)  après  les  avoir  respectivement  iTuiili- 
pliées  par  S[,  S.1,  S',  T",  T!;,  T,  on  trouve 

2  2,'^/  ';"«/"  Il  =  (luanliU:  connue, 

ce  qui  détermine  «,,,+  1. 

Si  dans  les  équalions  (i4)  "H  remplace  «„,  ^i  par  la  valeur  ainsi  trouvée,  on 
a  pour  déterminer  les  six  inconnues  [T™  |  et  [S"'*"'  ]  six  éijuations  linéaires  dont 
cinq  seulement  sont  indépendanlc.>.. 

Cela  posé,  on  déterminera  [  I  ,"  |  par  la  condllinu  que  |  1',"]  soit  nul  pour 
^  =  0,  conformément  à  l'hypothèse  failc  plus  liaul,  et  les  cinq  équations  (i4) 
restées  indépendantes  |iermeltront  de  calculer  l(;s  cinc]  autres  inconnues. 

r/T'"  '  '  f/S'""*"^ 

Les  équations  (i3)  nous  permeliront  ensuit(!  de  calculer — '- —  et  — ^ —  et 
I  ^      ^  *  lit  lit 

par  conséquent  de  d('terminer  les  iDucllons  T""  '  et  S""'  à  une  constante  prés; 

et  ainsi  rie  suite. 

13.  —  Solutions  asynipto tiques. 
Soient 

(i)  —  =  \,        {i  =  I,  ■.',  ....  //  I 

Il  é(piations  diliéreutielles  simullanr'es.  Les  \  sonl  des  jonctions  des  .r  el  de  t. 


ET   LES   ÉQUATIONS   DE   LA   DYNAMIQUE.  371 

l'.ir  in|)]i()ri  aux  x  elles  peuvent  rlix'  développées  en  séries  de  puissances. 
Par  rnpporl  à  l,  elles  sont  périodiques  de  période  i~. 

Soil 

.r,  =  .ry,         ,r.;  =  .rl!,  ....         .r„  =  .r,", 

une  solution  particulière  périodique  d(!  ces  ('(pialions.  Les  x"  seront  des  fonc- 
tions de  t  périodiques  de  période  i%.  Posons 

Xi  =  x"  •+-  Ij. 

Il  viendra 

^^^  -TÛ--'- 

Les  1.  seront  des  fonctions  des  ^  et  de  i,  périodiques  par  rapport  à  t  et  déve- 
loppées suivant  les  puissances  des  c/,  mais  il  n'y  ania  plus  de  ternies  indépen- 
dants des  ;. 

Si    les   ^   sont    très    petits    et    qu'on    néfjlige    leurs   carrés,   les  équations  se 
réduisent  à 

^    '  dl   "  dx\  ''*  '"  dx\  ■'  ■'  dxl  ^"' 

qui  sont  les  é<[uations  aux  variations  des  équations  (1). 

Elles  sont  linéaires  et  à  coefficients  périodicjues.  On  counail  la  forme  de 
leur  solution  générale,  on  trouve 

|i=  Ai '-'''Çii-l- Aae='''ï!i-t-.  ••-:- A„e«:.'ç„i, 
Ç.,=  A,  e».'s,.,-4- A,e*='i;2-l  ....    A„r'..'o„,, 


Ç„=  A,  e«.'s,„+  A2e*='ç2„  +  ..  .+  A„e'"'5„„; 

les  A  sont  des  constantes  d'intégration,  les  a  des  constantes  fixes  qu'on  appelle 
exposants  caractéristiques,  les  cp  des  fonctions  |)ériodiques  de  /. 
Si  alors  nous  posons 

?2  =  •''il  Î12  -H  -riî  O22  -1-  .  .  .  +  r,,,  ç,,... , 


les  équations  (^2)  deviendront 

où  les  H,  soni  des  fonctions  de  /  el  des  0  de  niéiiu'  fiuine  (pie  les  S,. 


3^2  SUR    LL    PROBLÈME    DES    TROIS    CORPS 

Nous  pourrons  il'aillcnrs  ocrire 
(2)  ^^^ut  +  n;.    ...+  ii;'  +  ...; 

Hf  rcprôsenle  l'ensemble  des  termes  de  H,  qui  sont  de  degr{^  p  par  rapport 
aux  r,. 

Quaut  aux  équations  (.i),  elles  deviennent 

(3')  ^=II;  =  .,^.. 

Cherchons  maintenant  la  forme  des  solutions  générales  des  équations  (li) 

e.  (2'). 

Je  dis  que  nous  devrons  trouver  r;,^  fonction  dcveloj)pée  suivant  les  puis- 
sances de  \i  e*'',  Ao  e*'',  ...,  A„  e*"'  dont  les  coeffici(!nls  sont  des  fonctions 
périodiques  de  t. 

Nous  pouvons  écrire  alois 

(4')  ^;=ri'-f--n,-  +  .--+-n?-t----, 

Y)J'  représentant  l'ensemble  des  termes  do  /),  qui  sont  de  degré  p  par  rapport 
aux  A. 

Nous  reuiplaceruns  les  v),  par  leurs  valeurs  dans  llf  et  nous  trouverons 
II/-  =  \vi-''-+-  W'i''^ '  -1  ...  +  I !';■•/ -+-..., 

II''''  désignant  l'ensemble  des  termes  (jui  sont  de  degni  q  par  rapport  aux  A. 
Nous  trouverons  alors 


Ces  éf[uatious  permettront  du  calculer  successivement  par  récurrence  rj,", 
t)'; ,  . . . ,  Y)/,  ....  I^n  effet  K,  ne  dépend  que  des  rj' ,  r/-,  . . . ,  r//^'.  Si  nous  sup- 
posou->  que  ces  quantités  aient  élé  [>r(''alnblement  calculées,  nous  pourrons 
écrire  K,y  sous  la  forme  suivante  : 

K,  =  ï  a';*' A'^' .  ..Kl"  e'^5;,fi,+3<.,(5,+...+«„fi„i^, 

les  [3  étant  des  entiers  positifs  dont  la  somme  est  lyel^  une  fonction  périodique. 


ET    LES    ÉQUATIONS    DE    LA    DYNAMIQUE.  373 

On  peut  écrire  encore  : 

C  (Uanl  un  coefficient  généralement  imagiajiire  et  •■  un  entier  pusiiifou  négnlif. 
Nous  écrirons  pour  abréger  : 

Af''A^=...A3..=  Av,         a,;b,  +  «o3«-)-...H-a„[i„=S»'l, 
et  il  viendra 

^  -à/Ti'{=  iCA'/e'fï *'='+-«?). 

Or  on  peut  s;)tisfaire  à  celle  équation  en  faisant 

11  y  aurait  exception  dans  le  cas  où  l'on  aurait 

■;  v' —  I  -+-  l^P  —  a,  =  o, 

auquel  cas  il  s'introduirait  dans  les  formules  des  termes  en  t.  Nous  réserverons 
ce  cas  qui  ne  se  présente  pas  en  général. 

Nous  devons  maintenant  traiter  la  question  de  la  convergence  de  ces  séries. 
La  seule  difliculté  [)rovieut  d'ailleurs  comme  on  va  le  voir  des  diviseurs 

(5)  Y  y/Z^"  +  l3([i  —  a,-. 

Cette  convergence  est  une  conséquence  immédiate  des  résultats  obtenus  dans 
le  paragraphe!  3,  mais  je  préfère  en  donner  une  démonstration  directe. 
Remplaçons  les  équations  (a')  par  les  suivantes  : 

(2")  Ti,=  iA,e^i'+n?-t-H/-t-...~HlIf-4-.... 

Définissons  Hf .  On  voit  sans  peine  que  Hf  est  de  la  forme  suivante  : 

G  est  une  constante  quelconque,  les  (3  sont  des  entiers  positifs  dont  la  somme 
esl  p,  Y  est  un  entier  positif  ou  négatif.  Nous  prendrons  alors 

H^=i:iC|r,?-r,P....r,g". 

Les  séries  ainsi  obtenues  seront  convergentes  pourvu  que  les  séiies  trigonomé- 
triques  qui  définissent  les  fonctions  périodiques  dont  dépendent  les  H  convergent 
absolument  et  uniformément;  or  cela  aura  toujours  lieu  parce  que  ces  fonctions 
périodiques  sont  analytiques.  Quant  à  s,  c'est  une  constante  positive. 


37-1  SUR    LE    PROBLÈME    DES    TROIS   CORPS 

Ou  [Ji'iil  lirer  ilrs  t^qiialions  (2")  les  r)  sous  la  forme  suivante  : 
(  4-)  -ri,  =  2  M  =-i:,ï  .\P'  A^' .  .  .  A|^eli:=>P  '. 

Plusieurs  termes  pourront  d'ailleurs  correspondre  aux  mêmes  exposants  (3.  Si 
l'on  compare  avec  les  scories  tirées  de  (2')  qui  s'écrivent 

A?•A^...A^     r,  „       ,-^, 
"Il  ' 

voici  ce  qu'on  observe  : 

1  "  M  est  réel  positif  et  plus  grand  que  |  N  |. 

2"  II  désigne  le  produit  des  diviseurs  (5)    ('/  <  — P)- 

Si  donc  la  série  ( /j ')  converge  et  si  aucun  des  diviseurs  (5)  n'est  plus  petit 
que  £,  la  série  (4')  convergera  également.  Voici  donc  comment  on  peut  énoncer 
la  condilion  de  convergence. 

La  série  converge  si  l'expression 

T  V —  '  "•"  -"H  —  *' 

ne  peut  pas  devenir  plus  petite  que  toute  quantité  donnée  £  pour  des  valeurs 
entières  et  positives  des  [3  et  entières  (positives  ou  négatives)  de  y;  c'est-à-dire 
si  aucun  des  deux  polygones  convexes  qui  enveloppe,  le  premier  le»  a  et 
-j- \'  —  1,  le  second  les  «  et  — y  — 1,  ne  contient  l'origine;  ou  si  toutes  les 
quantités  a  ont  leurs  parties  réelles  de  même  signe  et  si  aucune  d'elles  n'a  sa 
partie  réelle  nulle. 

Que  ferons-nous  alors  s'il  n'en  est  pas  ainsi? 

Supposons  par  exemple  que  k  des  quantités  a  aient  leur  partie  réelle  positive, 
et  que  n  —  k  aient  leur  partie  réelle  négative  ou  nulle.  Il  arrivera  alors  que  la 
série  (4')  restera  convergente  si  l'on  y  annule  les  constantes  A  qui  correspondent 
à  un  X  dont  la  partie  réelle  est  négative  ou  nulle,  de  sorte  que  ces  séries  ne 
nous  dcjnneront  plus  la  solution  générale  des  équations  proposées,  mais  une 
solution  contenant  seulement  k  constantes  arbitraires. 

Si  on  suppose  que  les  équations  données  rentrent  dans  les  équations  de  la 
Dynamique,  nous  avons  vu  que  n  est  pair  et  fpie  les  a  sont  deux  à  deux  égaux 
et  de  signe  contraire. 

Alors  si  A^  d'entre  eux  ont  leur  partie  réelle  positive,  A'  auront  leur  partie 
réelle  négative  et  n  —  2  A  auront  leur  [)arlic  réelle  nulle.  En  prenant  d'abord 
les  cr.  qui  ont  leur  partie  réelle  positive,  on  obtiendra  une  solution  particulière 


ET    LES    ÉQUATIONS   DE   LA    DYNAMIQUE.  SyS 

conlenanl  /:  constantes  arbitraires;  on  en  obtiendra  une  seconde  en  prenant 
les  X  qui  ont  leur  partie  réelle  négative. 

Dans  le  cas  où  aucun  des  x  n'a  sa  partie  réelle  nulle  el  en  particulier  si  tous 
les  a  sont  réels,  on  a  d'ailleurs 

/.=  '^. 

2 

Nous  allons  nous  placer  inainlenanl  dans  un  cas  1res  particulier.  Supposons 
d'abord  n  =  2,  de  telle  façon  que  les  équations  (i)  se  réduisent  à 

Supposons  de  plus  que 

r/.\,  ,/X, 

(()J h  -j—  =  n. 

La  situation  du  syslènie  dépend  alors  des  trois  quantités  j, ,  x.^  el  t ;  on  peut 
donc  la  représenter  par  la  position  d'un  point  dans  l'espace;  voici  quel  mode 
de  représentation  on  peut  adopter  pour  fixer  les  idées  : 

Les  coordonnées  rectangulaires  du  point  représentatif  seront  e'' cos/,  e'' sin^ 
et  x-i.  De  cette  façon  : 

i"  à  tout  sjsléine  de  valeurs  des  trois  quantités  ari,  x-i  et  t  correspondra  un 
point  de  l'espace  ; 

2"  à  tout  point  de  l'espace  correspondra  un  seul  système  de  valeurs  des 
quantités  a7i,  x^,  cos^,  sin/,  et  par  conséquent  une  seule  situali(]ii  du  svsiènie 
si  l'on  ne  considère  pas  comme  distinctes  deux  situations  qui  ne  dillerent  que 
parce  que  l  a  augmenté  d'un  certain  nombre  de  périodes  27r; 

3"  si  l'on  fait  varier  /,  (ai  et  x-^  restant  constants)  le  point  représentatif 
décrit  une  circonférence; 

4"  à  la  condition  .ri  =  a^j  i=  o  correspond  le  cercle  ;  =;  o,  x--^y-^  1  ; 

5"  à  la  condition  .i-,  =  —  00  correspond  l'axe  des  ;. 

A.  toute  solution  des  équations  (i)  correspondra  une  courbe  décrite  par  le 
point  représentatif.  Si  la  solution  est  périodique,  cette  courbe  est  fermée. 

Considérons  donc  une  courbe  fermée  C  correspondant  à  une  solution 
périodique. 

Formons  les  équations  (2),  (3),  (2')  et  (3')  relatives  à  cette  solution  pério- 
dique et  imaginons  que  l'on  calcule  les  quantités  oc  correspondantes. 

Ces  quantités  sont  au  nombre  de  deux,  et  en  vertu  de  la  relation  (6)  elles 
sont  égales  et  de  signe  contraire. 


3-0  SUR    LE    PROBLÈME    DES    TROIS   CORPS 

Doux  cas  peuvent  se  jn'ésenler  :  ou  bien  leur  carré  est  négatif  eL  la  soluliiin 
périodique  esl  stable;  ou  bien  leur  carré  est  positii  et  la  solution  est  instable. 

Plaçons-nous  dans  ce  dernier  cas  et  appelons  +  a  et  —  a  les  deux  valeurs  de 
l'exposant  a;  nous  pourrons  supposer  alors  que  a  est  réel  positif. 

Cela  posé,  les  séries  (4')  seront  développées  suivant  les  puissances  croissantes 
de  Ae°"  et  de  Be~*';  mais  elles  ne  seront  pas  convergentes  si  A  et  B  y  entrent 
à  la  fois;  elles  le  deviendront  au  contraire,  si  l'on  y  fait  soit  A  =  o,  soit  B  =  o. 

Faisons  d'abord  A  :=:  o;  alors  les  r;  seront  développés  suivant  les  puissances 
de  Be~°";  si  donc  /  croît  indéfiniment,  tj,  et  rjo  tendent  simultanément  vers  zéro. 
Les  solutions  correspondantes  peuvent  s^appelev  solulions  asymptotiques;  car 
pour  f  =  -i-  00,  les  ri  et  par  conséquent  les  P  tendent  vers  zéro,  ce  qui  veut  dire 
que  la  solution  asymptotique  se  rapproche  asympiotiquement  de  la  solution 
périodique  considérée. 

Si  1  on  fait  de  même  B  =  o,  les  rj  sont  développés  suivant  les  puissances 
de  Ae"";  ils  tendent  donc  vers  zéro  quand  l  tend  vers  —  oo.  Ce  sont  donc  encore 
des  solutions  asymploliques. 

Il  y  a  donc  deux  séries  de  solutions  asymptotiques,  la  première  correspondant 
à  f  =  +  00,  la  seconde  à  t^ — oo.  Chacune  d'elles  contient  une  constante  arbi- 
traire, la  première  B,  la  seconde  A. 

A  chacune  de  ces  séries  de  solutions  asymptotiques  correspondra  une  série 
de  courbes  se  rapprochant  asymptotiquement  de  la  courbe  fermée  C  et  qu'on 
pourra  appeler  courbes  asymptotiques.  L'ensemble  de  ces  courbes  asympto- 
tiques formera  une  surface  asymptotique.  11  y  aura  deux  surfaces  asympto- 
tiques, la  première  correspondant  à  <  =  -f-oo,  la  seconde  à  <  =  —  oo.  Ces  deux 
surfaces  iront  passer  par  la  courbe  fermée  C. 

Supposons  que  dans  les  équations  (i)  les  X  dépendent  d'un  paramètre  \x  et 
que  les  fonctions  X  soient  développables  suivant  les  puissances  de  ce  paramètre. 

Imaginons  que  pour  fx:=o,  les  exposants  caractéristiques  a  soient  tous 
distincts  de  telle  façon  (jue  ces  exposants,  étant  définis  par  l'équation 
G(o!,  fx)  =  o  du  paragraphe  précédent,  soient  eux-mêmes  développables  suivant 
les  puissances  de  {J-. 

Supposons  enfin  qu'un  ait,  ainsi  qu(!  nous  venons  de  le  dire,  annulé  toutes 
les  constantes  A  qui  correspondent  à  un  a  dont  la  partie  réelle  est  négative  ou 
nulle. 

Les  séries  (4')  qui  définissent  les  quantités  rj,-  dépendent  alors  de  [j..  .le  me 


ET    LES   ÉQUATIONS    DE    LA    DYNAMIQUE.  877 

propose   d'établir   que   ces    séries    peuvent   être  développées,   non  seulement 
suivant  les  puissances  des  A,-  e^'',  mais  encore  suivant  les  puissances  de  fx. 

Considérons  l'inverse  de  l'un  des  diviseurs  (j)  :  (y  y/ —  i  +  — a,3  —  ai)~'-  Je 
dis  que  celte  expression  peut  être  développée  suivant  les  puissances  de  [j.. 

Soient  y.i,  a,.  .  .  . ,  a/,  les  k  exposants  caractéristiques  dont  la  partie  réelle  est 
positive  et  que  nous  sommes  convenus  de  conserver.  Chacun  d'eux  est  déve- 
loppable  suivant  les  puissances  de  y..  Soit  se"  la  valeur  tle  a,  pour  p.  =;  o;  nous 
pourrons  prendre  /j.,,  assez  petit  pour  que  a,-  diffère  aussi  peu  que  nous  voudrons 
de  a°  quand  j  p- 1  <  y-o-  Soit  alors  k  une  quantité  positive  plus  petite  que  la  plus 
petite  des  parties  réelles  des  k  quantités  a",  a?,  ...,«".;  nous  pourrons 
prendre  ;j.o  assez  petit  pour  que,  quand  |  fJ^  |  <  p-o)  les  k  exposants  a, ,  a.j,  ....  «/,. 
aient  leur  partie  réelle  plus  grande  que  h. 

La  partie  réelle  de  yy/ — i-^1x^i  —  a,  sera  a!  irs  plus  grande  que;  k 
(si  pi^"  o),  de  sorte  qu'on  aura 

I   yv' —  1  -h  Sap  —  Xj        •  h. 

Ainsi  si  \[j-\  <,u,j,  la  fonction  (  y  y/ —  i  -\-  ia(3  — a,)^'  reste  uniforme,  continue, 

finie  et  plus  petite  en  valeur  absolue  que  .  • 

Nous  en  conclurons  d'après  un  théorème  bien  connu  que  cette  fonction  est 
développable  suivant  les  puissances  de  p.  et  que  les  coefficients  du  développement 

sont  plus  petits  en  valeur  absolue  que  ceux  du  développement  de ^- 

"(-s) 

11  est  à  remarquer  que  les  nombres  h  et  p.,,  sont  indépendants  des  entiers  (3  et  y. 

11  y  aurait  exception  dans  le  cas  où  ,3,  serait  nul.  La  partie  réelle  du  divi- 
seur (5)  pourrait  alors  être  plus  petite  que  h  et  même  être  négative.  Elle  est 
égale  en  effet  à  la  partie  réelle  de  -3((3  qui  est  positive,  moins  la  partie  réelle 
de  a,-  qui  est  également  positive  et  qui  peut  être  plus  grande  que  celle  de  2a(3 
si  (3,  est  nul. 

Supposons  que  la  partie  réelle  de  a,-  reste  plus  petite  qu'un  certain  nombre  Ai 
tant  que  |  p]  <  po-  Alors  si 

(7)  -r^>x  +  '' 

la  partie  réelle  de  (5)  est  certainement  plus  grande  que  h;  il  ne  peut  donc  y 
avoir  de  difficulté  que  pour  ceux  des  diviseurs  (5)  pour  lesquels  l'inégalité  (7) 
n'a  pas  lieu. 

H.  p.  -  VII.  48 


3^8  SUR    LE    PROBLÈME   DES    TROIS   CORPS 

Supposons  lu.iinlfuanl  que  la  pailio  imaginaire  des  quanlilés  a,,  a.j,  .  .  . ,  ocf^ 
reste  coiislanimenl  plus  pelile  en  valeur  absolue  (pi'un  certain  nombre  positif /( 2 : 
si  ri>n  a  alors 

(S)  .  I  v|>/i,v;j  +  /,, 

la  partie  imaginaire  de  (_5)  el  j)ar  conséquent  son  module  sera  encore  plus 
grand  que  /i  ;  de  telle  sorte  qu'il  ne  peut  y  avoir  de  difficnlt(j  que  pour  ceux  des 
diviseurs  (5)  pour  lesquels  aucune  des  inégalités  (7)  et  (8)  u'a  lieu.  Mais  ces 
diviseurs  qui  ne  satisfont  à  aucune  de  ces  inégalités  sont  en  nombre  fini . 

D'après  une  hypothèse  que  nous  avons  faite  plus  haut,  aucun  deux  ne 
s'annule  pour  les  valeurs  de  [J-  ([ue  nous  considérons;  nous  pouvons  donc 
prendre  /(  et  p.,,  assez  [letits  pour  cpie  la  valeur  absolue  de  l'un  quelconque 
d'entre  eux  reste  plus  grande  que  li  quand  ]  p.  |  reste  plus  petit  que  p.,i- 

Alors  l'inverse  d'un  diviseur  (5)  quelconque  est  développable  suivant  les 
puissances  de  [j.  el  les  coefficients  du  développement  sont  plus  petits  en  valeur 

absolue  que  ceux  de Nous  avons  écrit  plus  haut  : 

ii^=i;Cvi?'Yi?'...-fiP"erV^. 

D'après  nos  hypothèses,  C  peut  être  développé  suivani  les  puissanres  de  jj.  de 
telle  sorte  (]ue  je  puis  poser 

C  =  S E  [Ji',  11/;  =  s  E-x'-r,!?'  r,'^= .  .  .  Ti^"  eT't'^    ■ 

Reprenons  maintenant  les  équations  (2")  en  y  faisant 


:A(.-£),  „,=   .|E|,^S?' 


■■■^' 


Les  seconds  membres  des  équations  (i")  seront  alors  des  séries  convergentes 
ordonnées  selon  kts  puissances  de  p.,  de  r/i,  ri-,.  ...  et  rj„. 

On  en  tirera  les  r,,  sous  la  forme  de  séries  {[\")  convergentes  et  ordonnées 
suivant  les  puissances  de  p.,  Ai  e"'' ,  Aj  e"-',  ....  A/,  e*''. 

Des  équations  (2')  nous  tirerions  d'autre  part  les  Y);  sous  la  forme  de 
séries  (4')  ordonnées  suivant  les  puissances  de  /j.,  Ai  e^'',  A2  e*''.  ....  A<  e"''. 
e'*'"',  e~'''~'.  Chacun  des  termes  de  (4')  est  plus  petit  en  valeur  absolue  que  le 
terme  correspondant  de  (4")  et  comme  les  séries  (4")  convergent,  il  en  sera  de 
même  des  séries  (4)- 


ET    LES    ÉQUATIONS   DE    LA   DYNAMIQUE.  879 

14.  -^  Solutions  asymptotiques  des  équations  de  la  Dynamique. 
Reprenons  les  équations  (i)  du  paragia|)li('  I  I  : 

dXi  ilV  ,lv,  r/F 

et  les  hjpolhèses  faites  à  leur  sujet  au  début  de  ce  paragraphe  I  I . 

Nous  avons  vu  dans  ce  paragraphe  I  I  que  ces  équations  admettent  des 
solutions  périodiques  et  nous  pouvons  en  conclure  que  pourvu  que  l'un  des 
exposants  caractéristiques  a  correspondants  soit  réel,  ces  équations  admettront 
aussi  des  solutions  asymptotiques. 

A  la  fin  du  paragraphe  précédent,  nous  avons  envisagé  le  cas  où  dans  les 
équations  (^i)  dudit  paragraphe  13,  les  seconds  membres  X;  sont  développables 
suivant  les  puissances  de  p.,  mais  où  les  exposants  caractéristiques  restent 
distincts  les  uns  des  autres  pour  p.  =  o. 

Dans  le  cas  des  équations  (pii  vont  maintenant  nous  occuper,  c'est-à-dire  des 
équations  (i)  des  paragraphes  I  I  et  14,  les  seconds  membres  sont  encore  déve- 
loppables selon  les  puissances  de  p.;  mais  tous  les  exposants  caractéristiques 
sont  nuls  pour  p.  1=  o. 

Il  en  résulte  un  grand  nombre  de  dilléreuces  importantes. 

En  premier  lieu  les  exposants  caractéristiques  a  ne  sont  pas  développables 
suivant  les  puissances  de  p,  mais  suivant  celles  de  \  ;-t  (c/.  5;  12).  De  même  les 
fonctions  que  j'ai  appelées  <p,./(  au  début  du  paragraphe  13  (et  c|ui,  dans  le  cas 
particulier  des  équations  de  la  Dynamique  qui  nous  occup(;  ici,  ne  sont  autres 
que  les  fonctions  S,;  et  T,  du  paragraphe  12)  sont  développables,  non  suivant 
les  puissances  de  /j.,  mais  suivant  les  puissances  de  y  \i.. 

Alors  dans  les  équations  (2')  du  paragraphe  13  : 

le  second  membre  H,  est  développé  suivant  les  puissances  des  v),  de  e'*~',  e~'*^~' 
et  de  y/fjt.  (et  non  pas  de  \x). 

On  en  tirera  les  r;,  sous  la  forme  des  séries  obtenues  au  paragraphe  précédent 

et  N  et  n  seront  développés  suivant  les  puissances  de  \l \i.. 


38o  SUR    LE    PROBLÈME    DES    TROIS   CORPS 

Un  certain  noiiihri"  ilo  ([ueslions  su  posent  alors  naiurelleiiienl  : 

1°  Nous  savons  que  N  el  H  sont  iléveloppubles  suivant  les  puissances  de  y/fï; 

N 
en  esl-il  de  même  du  quotient     '? 

•r"  S'il  en  est  ainsi,  il  existe  des  séries  ordonnées  suivant  les  puissances 
de  \/jJ.,  des  A/ 6°"'',  de  e'*  '  et  de  e~"'''~'  qui  salisfoni  formellement  aux  équa- 
tions proposées;  ces  séries  sont-elles  convergentes? 

3"  Si  elles  ne  sont  pas  convergentes,  quel  parti  ])cul-on  en  tirer  pour  le 
calcul  des  solutions  asjmptotiques  ? 

Je  me  propose  de  démontrer  que  l'on  peut  développer  suivant  les  puis- 
sances de  y/.p.  et  que  par  conséquent  il  existe  des  séries  ordonnées  suivant  les 
puissances  de  y/;^.,  des  A,  e'^'',  de  e'*  '  et  de  e"'*  '  qui  satisfont  formellement 
aux  équations  (i).  On  pourrait  en  douter;  en  effet  II  est  le  produit  d'un  certain 
nombre  des  diviseurs  (5)  du  paragraphe  précédent.  Tous  ces  diviseurs  sont 
développables  suivant  les  puissances  de  y'/ji;  mais  quelques-uns  d'entre  eux, 
ceux  pour  lesquels  y  est  nul,  s'annulent  avec  \/,a.  Il  peut  donc  arriver  que  II 

s'annule  avec  y.  et  contienne  en  facteur  une  certaine  puissance  de  y  p..  Si  alors 

N 
N  ne  contenait  pas  celte  môme  puissance  en  facteur,  le  quotient  ~    se  dévelop- 
perait encore  selon  les  puissances  croissantes  de  \/(j.,  mais  le  développement 

commencerait  par  des  puissances  négatives. 

N  ■ 

Je  dis  qu'il  n'en  est  pas  ainsi  et  que  le  développement  de    :  ne  contient  que 

des  puissances  positives  de  y/ p.. 

Voyons  par  quel  mécanisme  ces  puissances  négatives  de  y/p.  disparaissent. 
Posons 

A,e«.'=  i>v, 

et  considérons  les  x  et  les  y  comme  des  fonctions  des  variables  t  el  te. 

Il  importe  avant  d'aller  plus  loin  de  faire  la  remarque  suivante  :  parmi 
les  2/1  exposants  caractéristiques  a,  deux  sont  nuls  el  les  autres  sont  deux  à 
deux  égaux  et  de  signe  contraire.  Nous  ne  conserverons  que  n  —  i  au  plus  de 
ces  exposants  en  convenant  de  regarder  comme  nuls  les  coefficients  A,  et  les 
variables  iv,-  qui  correspondent  aux  n  +  i  exposants  rejetés.  Nous  ne  conser- 
verons que  ceux  de  ces  exposants  dont  la  partie  réelle  est  positive. 


ET   LES    ÉQUATIONS   DE   LA   DYNAMIQUE.  38 1 

Cela  posé,  les  équations  (i)  deviennent 

rixi       ■^  dx,         f/F 


,    .  dXi       x^  dx,         <tV 

k 

dt         ^  f/(r<  dxi 

k 

Cherclions,  en  parlant  de  ces  équations,  à  développer  les  x,  et  les  j', —  n,  < 
suivant  les  puissances  croissantes  de  y  p.  et  des  w  de  telle  façon  que  les  coeffi- 
cients soient  des  fonctions  périodiques  de  l. 
Nous  pouvons  écrire 

a<-  =  «i  \JV-  +  ctlix-h.  ..=  :£.y4iJ.-, 

car  nous  avons  vu  au  paragraphe  12  comment  on  peut  développer  les  exposants 
caractéristiques  suivant  les  puissances  de  y/p.. 
Ecrivons  d'autre  part  : 

L 

Xi  =  x"  -H  .r'  y  ,a  -+-...=  Zxl ix- , 

/j_ 
j,—  nit=y«-i-rl  v/;---  -+-■••=  Sr/;,a% 

les  x"  et  les  y'/  étant  des  fonctions  de  /  et  des  w,  périodiques  par  rapport  à  t  et 
dévoloppables  suivant  les  puissances  de  w. 

Si  dans  les  équations  (2)  et  (3)  nous  substituons  ces  valeurs  à  la  place  dea^, 
des  Xi  et  des  yi.  les  deux  membres  de  ces  équations  seront  développés  suivani 
les  puissances  de  \'p. 

/'  +  ! 

Egalons  dans  les  deux  membres  des  équations  (2)  les  coefficients  de  p  "  ,  el 

r 
dans  les  deux  membres  des  équations  (3)  les  coefficients  de  p.',  nous  obtien- 
drons les  équations  suivantes  : 


\      dt  ^    1'     '^  ,/w^  '      j^  dyf  dyl  -  * 


dwk         ''      ^dxfdx%    "' 

k 


où    Zf    et   Tf    ne    dépendent   que    de   x°,  x] .  ....   .rf  ' ,    i",    i/,  ...,    r'I"' ■ 

Convenons,   comme  nous  l'avons   fait   plus    haut,   de   représenter  par  [U]  la 
valeur  moyenne  de  U,  si  U  est  une  fonction  périodique  de  t. 


382  SUR    LE    PROBLÈME    DES   TROIS   CORPS 

Desi^qualions  [.])  nous  pourrons  ;ilors  dôduirc  les  suivantes  : 

(0)  '       * 

I       *  A- 

Supposons  mainlenanl  qu'un  calcul  préalable  nous  ail  fait  conuaitre  : 

.Vf,   xj.    ...,   xi'r\   xi;-[.c'i\      et      .)•;',  y},    ...,  y''r\  y"r'~lrr']- 

Les  équations  (5)  vont  nous  permellre  de  calculer  [-yf]  et  [,>/']  <^l  par  consé- 
quent :rf  et  .rf  ' .  Les  équations  (4)  nous  permettront  ensuite  de  déterminer 
x''*^  —  [^f*]  ^^  y'i  —  [jf]'  ^^  sorte  que  ce  procédé  nou«  fournira  par  récur- 
rence tous  les  coefficients  des  développements  de  .f,  et  de^),-. 

La  seule  difficulté  est  la  détermination  de  [^,'']  et  [j','"' ]  par  les  équations  (5). 

Les  fondions  [^-f]  et  [j'f'^' ]  sont  développées  suivant  les  puissances  crois- 
santes des  \v  et  nous  allons  calculer  les  divers  tenues  do  ces  développements  en 
commençant  par  les  termes  du  degré  le  moins  élevé. 

Pour  cela  nous  allons  reprendre  les  notations  du  paragraphe  12,  c'est-à-dire 
que  nous  allons  poser 


dxf  dx% 

(pour  les  valeurs  nulles  de  w). 

Si  alors  nous  appelons  ?,  et  -n,  les  coefficients  de  w'"'w".!' .  .  .  iv"!:'f'  dans  [.ïf  ] 
et  [j'f~'  ].  nous  aurons  pour  déterminer  ces  coefficients  les  équations  suivantes  : 

(6)  y^ba  r./,  -  S  ?,•  =  À,-,  V  C",  U  -  S  r,,  =  p.;. 

k  /. 

Dans  ces  éfiualions  ((i)  À,  et  |j.,  sont  des  (jiiantitcs  connues,  parce  qu'elles  ne 
dépendent  que  de 

xf,    ./■; X';-'.    x';—[xi;]    et    y',\    .)/,     ....    ri-'-,    .ir'  — l.ir'J- 

ou  des  termes  de  |''')  et  [j''   ']  dont  le   degré   par  rapport  aux  n'  est  plus 
petit  que 

De  plus  nous  avons  posé  pour  aliré^cr 

S  =  //) ,  ■/.  1  -f-  /H2  xl  -I- .  .  .  -I-  w„-i  2,',_  I . 
Nous  avons  doue  pour  le  calcul  des  coefficients  ^,  et  r),  un  système  d'équations 


ET    LES    ÉQUATIONS   DE   LA    DYNAMIQUE.  383 

linéaires.  Il  ne  pourrait  y  avoir  de  ditlicullé  que  si  le  délerminaiit  de  ces 
équations  était  nul;  or  ce  déterminant  est  0£;al  à 

SnS^-(al)^][S^-(a;)^l...[S=-(a^,p]- 

Il  ne  pourrait  s  annuler  que  pour 

c  est-à-dire  pour 

/n I  -I-  m-  ---...-{-  iH„—i  =  o     ou      I . 

On  ne  pourrait  donc  renconlier  de  difficulté  que  dans  le  calcul  des  termes  du 
degré  zéro  ou  i  par  rapport  aux  n'. 

Mais  nous  n'avons  pas  à  revenir  sur  le  calcul  de  ces  termes;  en  effet  nous 
avons  appris  à  calculer  les  termes  indépendants  des  w  dans  le  paragraphe  1 1  et 
les  coefficients  de  ivi,  u'j,  .  .  .,  iv„-)  dans  le  paragraphe  12. 

Les  ternies  indépendants  des  w  ne  sont  en  effet  antre  chose  que  les  séries  (8) 
du  paragrapiic  II  et  les  coeflicients  de  H|,  (To.  ....  iVn-i  ne  sont  autre  chose 
que  les  séries  S,  et  T,  du  paragraphe  12. 

II  me  reste  à  dire  un  mot  des  premières  approximations. 

Nous  donnerons  aux  xf  des  valeurs  constantes  qui  ne  sont  autres  que  celles 
que  nous  avons  désignées  ainsi  au  paragraphe  1 1. 

Nous  aurons  alors  les  équations  suivantes  : 


'fr!'  'Ix}  >/y}       v'     I         dvf  v"     '^'- F» 


(7) 


k  k 


,/.,f       -^     ,        r/.r,'         ,/F, 


Dans  F„  qui  ne  dépend  que  des  X/,  ces  quantités  doivent  cire  remplacées 
par  x" .  Dans  F,  les  x/  sont  remplacés  par  x^  et  les  r,  par  /;,/.  F,  devient  alors 
une  fonction  périodique  de  /  dont  la  période  est  T.  Nous  désignerons  par  i} 
comme  dans  les  paragraphes  II  cl  12  la  valeur  moyenne  de  cette  fonction 
périodique  Fi  ;  <li  est  alors  une  fonction  périodique  et  de  période  2n  par 
rapport  aux  j'". 

Les  deux  premières  équations  (7)  montrent  que  les  y"  et  les  x'  ne  dépendent 
que  des  iw  En  égalant  dans  les  deux  dernières  équations  (7)  les  valeurs 
moyennes  des  deux  membres,  il  vient 

dv"  dx^  ilh 

(i,)  ^=<*-*;Mr,  =  -C.*-*.      "'i^'^'d^,  =  djrr 


384  SUR    LE    PROBLÈME    DES    TROIS    CORPS 

Ces  équations  (8)  doivent  servir  à  délerniiiier  les  i ,"  el  les  ./,'  en  fonctions 
dos  n'.  Peut-on  satisteiire  à  ces  équations  en  substituant  à  la  place  des  r°  et 
des  j-v'  des  séries  développées  suivant  les  puissances  des  w  ? 

Pour  nous  en  rendre  compte  envisageons  les  équations  différentielles 
suivantes  : 

Ces  équations  diUérentielles  où  les  fonctions  inconnues  sont  les  y"  et  les  x^ 
admettront  une  solulion  périodique 

xj  =  o,         _r"  =  ra/, 

CT,  étant  la  quantité  désignée  ainsi  au  paragraphe  1 1. 

Les  exposants  caractéristiques  relatifs  à  cette  solution  périodique  sont  préci- 
sément les  quantités  -xl-  Parmi  ces  quantités  nous  sommes  convenus  de  ne 
conserver  que  celles  dont  la  partie  réelle  est  positive.  Les  équations  (9) 
admettent  un  système  de  solutions  asjmptoliques  et  il  est  aisé  de  voir  que  ces 
solutions  se  présentent  sous  la  forme  de  séries  développées  suivant  les 
puissances  des  w.  Ces  séries  satisferont  alors  aux  équations  (8).  Ces  équations 
peuvent  donc  être  résolues. 

Les  x-  et  les  y^  étant  ainsi  déterminés,  le  reste  du  calcul  ne  présente  plus 
comme  nous  l'avons  vu  aucune  difficulté.  Il  existe  donc  des  séries  ordonnées 
suivant  les  puissances  de  y//,  des  ir  el  de  e-'*'  '  et  qui  satisfont  formellement 
aux  équations  (  1  ). 

Cela  prouve  que  le  développement  de      ne  débute  jamais  par  une  puissance 

négative  de  \/p.. 

Malheureusement  les  séries  ainsi  obtenues  ne  sont  pas  convergentes. 

Soil  en  effet     ^ Si  y  n'est  pas  nul,  cette  expression  est  déve- 

\  —  'Y  -t-  ^"^i^  —  '^■1 

loppable  suivant   les  puissances  de  \/p-;   mais  le  ravon  de  convergence  de  la 

série  ainsi  obtenue  tend  vers  zéro  quand  ^'7,  tend  vers  zéro. 

Si  ilonc  on  développe  les  diverses  quantités  .    suivant  les  puissances  de  y/j. 

on  pourra  toujours,  parmi  ces  quantités,  en  trouver  une  infinité  pour  lesquelles 
le  rayon  de  convergence  du  dévelop|)cment  est  aussi  petit  qu'on  le  veut. 

On  pourrait  encore  espérer,  quelque  invraisemblable  que  cela  puisse 
paraître,  qu'il  n'en  est  pas  de   même  pour  les  développements  des  diverses 


ET  LES  ÉQUATIONS  DE  LA  DYNAMIQUE.  385 

N  . 

quantités  r  ;  mais  nous  verrons  dans  la  suite  d'une  façon  rigoureuse  qu'il  n'en 

est  pas  ainsi  en  général;  il  faut  donc  renoncer  à  ce  faible  espoir  et  conclure  que 
les  séries  que  nous  venons  de  former  soni  divergentes. 

Mais  quoiqu'elles  soient  divergentes  ne  peut-on  en  tirer  quelque  parti? 

Considérons  d'abord  la  série  suivante  qui  est  plus  simple  que  celle  que  nous 
avons  en  vue  : 


Celle  série  converge  uniformémeul  c[uand  jx  reste  positif  et  que  w  reste  plus 
petit  en  valeur  absolue  qu'un  certain  nombre  positif  i\'„  plus  petit  que  i.  De 

même  la  série 

I     r-f/'V(iv,  p.)  _      -^    nP-^w" 
p\  i/[xl'  ~~ Z^  (i  -t-  n;i)/' 

converge  uniformément. 

Si  maintenant  l'on  cherche  à  développer  F((V',  /-».)  suivant  les  puissances  de  p., 
la  série  à  laquelle  on  est  conduit 

(lo)  s  (V  (  —  rt  )/' ;ji/' 

ne  converge  pas.  Si  dans  cette  série  on  néglige  tous  les  termes  où  l'exposant 

de  p.  est  supérieur  à/>,  on  obtient  une  certaine  fonction  4>^,(tv,  p.).  Il  est  aisé  de 

,,               .       F(u',  , ut)  — <!>/,(' »■,  [j.)         ,  j       .       1 

voir  que  1  expression p-' —  tend  vers  zéro  quand  fj.  tenu  vers  zcro 

par  valeurs  positives,  de  sorte  que  la  série  (lo)  représente  asyinptoliquement 
la  fonction  F((V',  '[x)  pour  les  petites  valeurs  de  ix  de  la  même  manière  que  la 
série  de  Stirling  représente  asymploliquement  la  fonction  eulérienne  pour  les 
grandes  valeurs  de  x. 

Les  séries  divergentes  que  nous  avons  appris  à  former  dans  le  présent 
paragraphe  sont  tout  à  fait  analogues  à  la  série  (lo). 

Considérons  en  effet  l'une  des  séries 


(lo')  2g«'P,'«'l!>...w|'-eT'v'=î  =  F(v/tJi,  it^i,  »■'.,  ...,  »'*,  t) 

et 

ces  séries  sont  uniforméiiiunt  convergentes  puur\u  que  les  ce  restent  inférieurs 

en  valeur  absolue  à  certaines  limites  et  que  y,'/ji.  reste  réel. 

H.  P.  —  VII.  49 


38R  SUR  LE  PROBLÈME  DES  TROIS  CORPS 

Si  l'on  développe  suivanl  les  puissances  de  \/,a.  les  séries  (lo')  sonl 
divergentes  ainsi  que  nous  l'avons  dit.  Supposons  qu'on  néglige  dans  le  dove- 
loppenienl  les  leruies  où  l'exposant  de  \  [j.  est  supérieur  à  y*,  on  obtiendra  nnc 
certaine  fcuiciion  4>/,(\/fi,  »•(,  ii-j,  .  .  .,  nv,,  t)  qui  sera  développable  suivant  les 
puissances  des  iv,  e^'    '  et  qui  sera  un  polynôme  de  degré/;  en  y  p.. 

On  voit  alors  que  l'expression tend  vers  zéro  ipiaud  [j.  lend  vers  zéro 

par  valeurs  positives,  et  cela  quelque  grand  que  soily;. 

En  ellel  si  l'on  désigne  par  11^,  l'ensemble  des    termes  du    développement 

de      où  l'exposant  de  \  ij.  est  au  plus  égal  à  p,  on  a 


'h.  ='V_!_ 


V/,./'  ^ 


^(;;-ii.)-i'.4.....'^^«T'v'- 


et  la  série  du  second  membre  est  uniforincrneni  convergente  et  tous  ses  termes 
tendent  vers  zéro  quand  [x  tend  vers  zéro. 

On  peut  donc  dire  que  les  séries  que  nous  avons  obtenues  dans  le  présent 
paragraphe  14  représentent  les  solutions  asjmptoliques  pour  les  petites  valeurs 
de  [I-  de  la  même  manière  que  la  série  de  Stirling  représente  les  fonctions 
eulériennes. 

On  s'en  rendra  d'ailleurs  mieux  compte  de  la  manière  suivante;  supposons 
deux  degrés  de  liberté  seulement  ])our  fixer  les  idées;  alors  nous  ne  conser- 
verons plus  qu'une  seule  des  quantités  w  et  nous  pourrons  écrire  nos  équations 
sous  la  forme  suivante  : 

>l.r,  (Ixi       dV  ilvi  fh-i  dF  .        ' 

i/t  dw        dyi  dl  dw  dxi 

en  supprimant  les  indices  d(i  a  et  de  ir  devenus  inutiles. 

Nous  savons  que  a  est  développable  suivanl  les  puissances  impaires  de  \j [j.  cl 
par  conséquent  a-  suivanl  les  puissances  de  /j. ;  inversement  \i.  est  développable 
suivant  les  puissances  de  a-  ;  nous  pouvons  remplacer  //  par  ce  développement 
de  sorte  que  F  sera  dévelo|)pé  suivant  les  puissances  de  «-.  l'our  a  =  o,  F  se 
réduit  à  Fp  qui  ne  dépend  que  de  a^i  el  de  x-,. 

Soit 

la  solution  périodique  qui  nous  sert  de  point  de  départ.  Posons,  comme  au 

paragraphe  12  : 

a:/=  9,(0-4-5.,        yi=\i{.<-)-^-f\h 


ET   LES   ÉQUATIONS   DE    LA    DYNAMIQUE.  38^ 

nos  équations  deviendront 

(l  0  —, h  xii'  -r-  =  — /,  — ; cmv  — —  =  H,-. 

^     '  dt  dw  '  dt  dw 

Z-i  et  H,-  sont  développés  suivant  les  puissances  des  H,,  des  r;,  et  de  a-';  et  les 
coefficients  sont  des  fonctions  périodiques  de  t. 

Pour  «  =  G,  -j —  et  par  conséquent  Z,-  s'annulent;  donc  Z,  est  divisible  parot- 

dyi 

et  je  puis  poser 

x'-X,  représentant  l'ensemble  des  termes  du  premier  degré  par  rapport  aux  ;  et 
aux  r),  et  y.-'K.[  représentant  l'ensemble  des  termes  de  degré  supérieur. 

De  même,  quand  a  est  nul,  -y-^  et  par  conséquent  H,  ne  dépendent  plus  que 
des  Ci  et  non  des  ru. 
Je  puis  donc  poser 

Il,=  V,-H  Y;+a'Q;+a^Q;, 

Y,+ :z'-Q,  représentant  l'ensemlde  des  termes  du  premier  degré  par  rapport 
aux  Ç   et   ri,    pendant   que    Y,'  +  a-Q,'    représente   l'ensemble  des  termes  de 
degré  supérieur  au  premier.  Je  suppose  en  outre  que  Y,  et  Y)  ne  dépendent 
que  de  Ç,  et  de  £2. 
Posons 

Y,  deviendra  divisible  par  a  et  Y-  par  y.'-,  de  sorte  que  je  pourrai  poser 
Y;  +  a-  Q;  =  :ili,  y;  +  a- QJ  =  -x- Z\ 

et  que  nos  équations  deviendront 

,      ,  dX,i  d'C^i  d-r\i  d-r\i 

(12)  -; han'-T—  =  a^i+a^-,,  — — -+-aiv-r—  =  y.Z,-t-a-Z,. 

dt  dw  dt  dw 

Considérons  les  équations 

(i3)  rfT^"^"  -dl^''^'- 

Ces  équations  sont  linéaires  par  rapport  aux  inconnues  Ç,  et  r;,.  Elles  ne 
différent  pas  des  équations  (2)  du  paragraphe  12,  sinon  parce  que  ^,  et  £2  y 
sont  remplacés  par  aÇi  et  aÇ,.  D'après  ce  que  nous  avons  vu  au  paragraphe  12, 
l'équation  qui  définit  les  exposants  caractéristiques  admet  <juatre  racines,  l'une 
égale  à  +  a,  l'autre  à  —  «  et  les  deux  autres  à  zéro. 


3SS  SUR    LE    PROBLÈME   DES   TROIS   CORPS 

A  la  première  racine,  c'esl-ii-dirc  à  la  racine  -|-  a,  correspondra  une  solution 
des  équations  (2)  du  paragraphe  12  que  nous  avons  appris  à  former  dans  ce 
paragraphe  12  et  que  nous  avons  écrite  ainsi  : 

?,  =  e*'S;,         •ri,=  e»'T,. 

.le  rappelle  que  S,"  est  nul  et  par  consiiqueut  (juo  S,  est  divisible  par  c. 

A  la  Seconde  racine  —  a  correspondra  de  même  une  autre  solution  des 
équations  (2)  et  nous  l'écrirons 

?,=  e-^'S;,         ru=e-=<'T;. 

Enfin  aux  deux  racines  zéro,  correspondront  deux  solutions  des  équations  (2) 
que  nous  écrirons 

li=S"'-^-a.fi"i,         ïii=T"'-+-=(/T;. 

T; ,  TJ,  T;',  S-  ,  S",  S"  sont  des  fonctions  périodiques  de  ^,  comme  S,  et  T,. 
De  plus  S- ,  S",  S-'  seront  comme  S,-  divisibles  par  a. 
Posons  alors 

a;i=s,Oi-+-  s'iOî-i-  s"|03+  s';'6v, 

Ai=  s..  61-f-  S',  6, -4-  S"0,,-i-  S'ÔOi, 

■0,  =  T,  e,  -h  t;  0,  -+-  t;  Oj  +  t';'  o.,, 

7).,  =  To  Oi .-+-  T',  0,  +  T';  O3  +  Tî  Ou 

Les  fonctions  0,  ainsi  définies  joueront  un  rôle  analogue  à  celui  des  fonctions  rjj 
du  paragraphe  13.  Les  équations  (12)  deviennent  alors 

(■4)  )^  +  ^"^;7^-='«'  =  "^^'       777  ^="".7;^-^=''''-  =  ='^"-' 

— T-    -^   3.W  —r—    =    X  U', -+-  aO;,  — ; 1-  2(1'—; —    =  aO',. 

r/l  dw  '  (Il  dw 

01,  ©-j,  0;,  et  ©i  sont  des  fonctions  développées  suivant  les  puissances  de  Oj,  On, 
5j,  Oj  et  a  dont  tous  les  termes  sont  du  deuxième  degré  au  moins  par  rapport 
aux  0,  et  dont  les  coefficients  sont  des  fonctions  périodiques  de  t.  De  plus  les  0 
doivent  être  des  fonctions  périodiques  de  t  et  les  termes  du  premier  degré  en  w 
dans  Oi,  0.^,  0.,  et  9,,  doivent  se  réduire  à  \v,  o,  o  et  o. 

Ces  équations  (i4)  sont  analogues  aux  équations  (a')  du  paragraphe  13. 

Gela  posé,  soit  <I>  une  fonction  (jui,  de  même  qui'  ©i,  ©•_.,  ©:i  et  ©,■, ,  soit 
développée  suivant  les  puissances  de  0,,  0-.,,  0;.,  0,,,  de  a,  e"'~'  et  e^"  '  et  qui 
soit  telle  que  chacun  de  s(!S  coefficients  soit  réel  positif  et  plus  grand  en  valeur 
absolue  que  le  coefficient  du  terme  correspondant  dans  ©,,  ©o,  ©3  et  ©, ;  tous 


ET    LES    ÉQUATIONS   DE   LA    DYNAMIQUE.  SSg 

les  termes  de  4»  seront  d'ailleurs,  comme  ceux  des  0,,  du  second  degré  au  moins 
par  rapport  aux  0. 

Observons  que  le  nombre  — -_ \-  p  (où  «  est  entier  positif,  négatif  ou  nul,  et 

où  p  est  entier  positif  et  au  moins  égal  à  i)  est  toujours  plus  grand  en  valeur 
absolue  que  i,  quels  que  soient  d'ailleurs  «,  p  et  a. 
Formons  alors  les  équations 

(i5)  fi,  =  w  +  'i>,      Oj  =  <[>,      o,  =  Oi+ci),      ei  =  'P 

qui  sont  analogues  aux  équations  (2")  du  paragraphe  13. 

Des  équations  (i4)  on  peut  tirer  les  0  sous  la  forme  de  séries  ordonnées 
suivant  les  puissances  de  w  et  de  e-'*^'  et  qui  sont  analogues  aux  séries  (4')  du 
paragraphe  13.  Des  équations  (iS)  on  peut  tirer  les  0  sous  la  forme  de  séries 
ordonnées  suivant  les  puissances  des  mêmes  variables  et  analogues  aux 
séries  (4")  du  paragraphe  13.  Chacun  des  termes  de  ces  dernières  séries  est 
positif  et  plus  grand  en  valeur  absolue  que  le  terme  correspondant  des 
premières  séries;  si  donc  elles  convergent,  il  en  est  de  même  des  séries  tirées 
des  équations  (i4)- 

Or  il  est  aisé  de  voir  que  l'on  peut  trouver  un  nombre  it'„  indépendant  de  a, 
tel  que  si  |  iv  |  <;n'o,  les  séries  tirées  de  (i5)  corivergent. 

Il  en  résulte  que  les  séries  ordonnées  suivant  les  puissances  de  iv  et  tirées 
de(i4)  convergent  uniformément  quelque  petit  que  soit  a  et  par  conséquent 
quelque  petit  que  soit  ,'j.,  ainsi  que  je  l'ai  annoncé  plus  haut. 

Nous  possédons  maintenant  les  0  sous  la  forme  de  séries  ordonnées  suivant 
les  puissances  de  (v  et  de  e-"  '  ;  les  coofficienis  sont  des  fonctions  connues  de  y.. 
Si  l'on  développe  chacun  de  ces  coefficients  suivant  les  puissances  de  a,  on 
obtiendra  les  0  développés  suivant  les  puissances  de  a.  Les  séries  ainsi  obtenues 
sont  divergentes,  comme  nous  l'avons  vu  plus  haut;  soit  néanmoins 

a2e?-i-...-i-  -ji/'Hi; -h... 


(16) 

0,-=   (]f  -)-   3(0, 

ces  séries. 

Posons 

H, 

=  e, -ne,,      n.,=  ( 

Posons 

(17) 

(),=  6,!i-i-af),i 

-O2.      113=  e.-i-Oi,      II,  =  e,. 

z^  6?  -I-  ...  -H  xl'  6/'  -h  2/'  ui 

en  égalant  0,  aux  p  ■+- 1  premiers  termes  de  la  série  (16)  plus  un  terme  complé- 
mentaire aPu,-. 


Sgo  SUR    LE    PROBLÈME    DES   TROIS   CORPS 

Si  dans  II,-  ou  remplace  les  0,  par  leurs  (lovel()|)penients  (17),  les  II,  peuvent 
se  développer  suivant  les  puissances  de  a  et  l'on  peut  écrire 

11,=  e,"  -1-  X  tv  -4-  x-;  e;'  -I- ...  -I-  a/'->  e^-  '  +  «/'  u,, 

les  0*  étant  indépendants  de  a  pendant  que  U,  est  développable    suivant  les 
puissances  de  x. 


On  aura  alors  les  équations 

{     dl                r/iv 

dt    +" 

d»>   -  ®'  ' 

..., 

dw;        doi;-'^ 
d>   -^"'    d.v 

et  ensuite 

,      .                                                 dui             dm             d^ 

(19)                                                       -37+°'"'-; h  an'-j—  =  aU,-. 

^  ^'                                                    dt               dw               div 

Voici  quelle  est  la  forme  de  la  fonction  U,  ;  les  quantités  Of  peuvent  être 
regardées  comme  des  fonctions  connues  de  t  et  de  w,  définies  par  les  équa- 
tions (18)  et  par  l'équation  (20)  que  j'écrirai  plus  loin;  pendant  que  les  u; 
restent  les  fonctions  inconnues.  Alors  U,  est  une  fonction  développée  suivant 
les  puissances  de  iv,  de  e-'*  ',  de  a  et  des  m,-.  De  plus  tout  terme  du  ^y'"'"'  degré 
par  rapport  aux  M;  est  au  moins  du  degré /?(<jr  —  1)  par  rapport  à  a. 
Soit  U°  ce  que  devieni  U,  quand  on  y  annule  a  et  les  k,  ;  on  aura 

.le  puis  ensuite,  en  posant 

puis 

V,  =  U',-f/,.         V,=  U',-t-(<,,        V,=  IJ',-M,,        V»=U'4, 

mettre  les  équations  (ly)  sous  la  forme 

!dus  du\  .,  dui  duo  ., 

—, — t-xw— ; aUi  =  ocVi,  —r  -^  aw  —, l-«(/2=0(V2, 

dt  dw  dt  dw 

du^  du^,  ,,  du;  du,,         ,, 

—, h  X  tv  -; a  Mi  =  a  Vj,  —, h  et  iv  -;—  =  a  V4. 

dt  dw  '  dt  dw 

On  voit  alors  que  les  V,-  ne  contiennent  que  des  termes  du  deuxième  degré  au 
moins  par  rapport  à  w  et  aux  ?/,,•. 

En  edet  les  0,  sont  divisibles  par  w  et  se  réduisent  à  w  ou  à  zéro  quand  on  j 


ET   LES   ÉQUATIONS   DE   LA    DYNAMIQUE.  Sgi 

supprime  les  lermes  de  deijré  supérieur'  :iii  premier  en  »'.  Il  en  résulte  d'iiboid 
que  Of  est  divisible  par  w'-.  D'autre  part  le  second  membre  de  Féqualion  (i^) 
ne  contiendra  que  des  terme-,  du  premier  degré  au  moins  par  rapport  à  tv  et 
a,.  Donc  0,  ne  contient  que  des  termes  du  deuxième  degré  au  moins  par 
rapport  à  w  et  aux  w,.  Il  en  résulte  que  les  seuls  termes  du  premier  degré  qui 
peuvent  subsister  dans  U|,  Uo,  Un  et  LJ-,  se  réduisent  respectivement  à  «,, 
—  U2,  II:,  et  zéro. 

D'ailleurs  tv-r-^est  divisible  par  ir- :  donc  les  V,  ne  contieuneni  (lue  des 
termes  du  deuxième  degré  au  moins.  c.   q.  f.    d. 

Des  équations  (21)  on  peut  tirer  les  Uj  sous  la  forme  de  séries  dévelofqjées 
suivant  les  puissances  de  ir  et  dee~"  '.  En  appliquant  à  ces  équations  le  même 
raisonnement  qu'aux  équations  (i4)  on  peut  démontrer  que  ces  séries 
convergent  quand  |  (v  |  <  n',,  et  que  la  convergence  reste  uniforme  quelque 
petit  que  soit  a. 

n.   j         ,  1         .   •  •  .  diii    el-ui 

en  est  de  même  pour  les  séries  qui  représentent  — ;— )  — ; — j  etc. 
'  '  '  div     aw- 

II  résulte  de  là  qu'on  peut  assigner  une  limile  supérieure  indépendante  de  a, 

.   thii     '1-  "i  II 

a  Ui,  a  -7— j  — ; — )  etc.,  pourvu  que    n'    <  t^'n- 
atf      (/w-  '  111^ 

Mais  je  veux  démontrer  maintenant  que  cela  a  encore  lieu  |)our  toutes  les 

valeurs  positives  de  w. 

Reprenons  les  équations 

diij  r/ui        ,,, 

U;  peut  être  regardée  comme  une  série  développée  suivant  les  puissances  de  y. 
et  des  M,- et  dont  les  coefficients  sont  des  fonctions  de  t  et  de  iv.  ,Ie  dis  que  cette 
série  reste  con\ergen[e  quels  que  soient  /  el  (\pour\u  que  a  et  les  «,-  soient 
assez  petits.  En  effet  elle  ne  pourrait  cesser  de  converger  que  si  la  fonction 
F(a7i,  a?2,  J)'i,  /■.')  cessait  d'êlre  développable  suivant  les  puissances  de  v-,  des  c, 
et  des  v\  quand  on  y  remplace  Xi  par 

xf  -¥■  xx}  -i-  ix^xf-h. .  .-h  xP+ix'/-*-^  ■+■  aP+iVi 
et  j'i  par 

nit-hyj'  -f-  «j/  -)-  a-yf-\-.  .  .+  aP  y'!  ■+■  aP  v'i, 

ou,  ce  qui  revient  au  mémo,  si  la  fonction  F  pour  une  valeur  quelconque  de  t 
ou  de  w  (c'est-à-dire  pour  un  système  quelconque  de  valeurs  de  t,  de  rj  et 


Sgs  SUR  LE  PROBLÈME  DES  TROIS  CORPS 

de  r°)  cessait  d'être  développable  suivant  les  puissances  de  x, —  x" ,  et 
de  Yi —  f^it — .>■"■  O'"  ''  *^^^  manifeste  qu'il  n'en  est  pas  ainsi. 

Je  puis  donc  toujours  trouver  une  fonction  <I'  développée  suivant  les  puis- 
sances de  X  et  des  w,,  mais  dont  les  coeflicienls  sont  des  constantes  au  lieu 
d'être  fonctions  de  t  et  de  w  comme  ceux  de  U-  ;  et  de  plus  m'arranger  de  telle 
sorte  que  le  coefficient  d'un  terme  quelconque  de  «t  soit  réel  positif  et  plus 
grand  en  valeur  absolue  que  le  coefficient  correspondant  de  U/(«  =  i ,  2,  3,  4)) 
au  moins  pour  les  valeurs  de  t  et  de  w  que  j'aurai  à  considérer. 

J'iiioulerai  que,  d'après  la  forme  particulière  des  fonctions  U|  ,  je  puis 
trouver  deux  nombres  réels  positifs  M  et  (3  tels  que  la  fouclion  <I>  satisfasse  à  la 
condition  que  je  viens  d'énoncer  si  je  prends 

_  M  (  I  +  ((  I  -1-  !<■>  -*-  M:i  -t-  "1  ) 

I  —  'flot.  —  [j3.I'  (l(i^-  ll-i  +  U3  -I-  tli  ) 

Si  je  considère  les  valeurs  de  u'  positives  et  inférieures  à  une  certaine  limite  W, 
je  devrai  prendre,  pour  satisfaire  là  cette  condition,  des  nombres  M  et  (3  d'autant 
plus  grands  que  W  sera  plus  grand;  mais  tant  que  W  sera  fini,  les  nombres  M 
et  (3  seront  eux-mêmes  finis. 

Soit  maintenant  ti'i  une  valeur  positive  de  ir  plus  petite  que  n'„.  D'après  ce 
que  nous  avons  vu  plus  haut,  il  est  possible  d'assigner  pour  ir  =  ivi  une  limite 
supérieure  à  W),  ;<..,  u^  et  «.,  ;  soit  a„  cette  limite,  on  aura  donc 

I  Ui  !  <  «0         pour     IV  =  ivi. 
Soit  maintenant  u'  une  fonction  définie  par  les  conditions  suivantes  : 

du'  du'  a  M  (.'!«' -F  I  ) 

— T-  -hxw-j-  =  zr ,  ,  u  =  Hu  pour     »' =  ii'i. 

at  (l\v         I  —  pa  —  4  JJ  "■'  w 

On  aura  manifestement  (')  pour  toutes  les  valeurs  de  t  et  de  w  : 

I  ui  j  <  u         (;■  =  I,  2,  3,  4). 

Or  on  trouve  sans  peine  : 

I  —  3a  -h  fta/'   ,       \-\-  l,u  3  «''  ,    /  X       1        w* 

log •-—-{u  —  Ut,)  —  \o%-- 


4  M  "  i-h4"o  .m  '  "  «-i 

et  pour  (z  ;=  o,  on  tiouve 

i-H r\u„  '~  \n'i/ 

ce  qui  montre  que  ««'  reste  fini  quand  a.  tend  vers  zéro. 

(')  Cette   propriété   se    trouve    démontrée    dans   Les   Méthodes  nouvelles  de  la   Mécanique 
céleste,  t.  I,  §  llô,  p.  37.3  i  378.  [J.  L.]. 


ET   LES   ÉQUATIONS   DE    LA   DYNAMIQUE.  SgS 

Nous  devons  en  conclure  que  les  quantités  «,  restent  également  finies  quand  a 
lend  vers  zéro. 

Il  résulte  de  là  que  la  série  0°+ aO,' +  a-0;  + .  .  .  représente  la  fonction  0, 
asymptotiquement   (c'est-à-dire  à   la  façon  de   la    série  de    Stirling)    ou    en 


0,— 0,»—  7.6,'  —  -x'-tif- 


2/'-i(i//-i 


a/'-i 


tend  vers  zéro 


d'autres  termes  que  l'expression 

avec  a.  En  efTet  cette  expression  est  égale  à  a(9f-|-  Uj)  et  nous  venons  de  voii 
que  Of  +  M,  reste  fini  quand  a  tend  vers  zéro. 

Mais  ce  n'est  pas  tout;  je  dis  que  -j-^  reste  fini  quand  a  tend  vers  zéro. 


iVous  avons  en  effet 

/'/«,\  d  ('^"i\        /"'"A  _    v  "'L'!  (lin        f. 

'\dw  )  dw\(/iv  )         '\i/u-/~    ^  i/u/,    iàv  I 


çl  I  dm 

dt^ 


dw 


-~  et  -T-^  sont  des  fonctions  de  t.  de  (r,  de  a  et  des  m,;  mais  d'après  ce  que 
duk        dw  '  r  -1 

nous  venons  de  voir,  nous  pouvons  assigner  aux  ui  des  limites  supérieures  ;  nous 

pourrons  donc  en   assigner  également  aux   -: —    et  aux  -j-^ •   bupposons    par 
exemple  que  l'on  ait 


d\}\ 


dui 


<A, 


ilVi'i 


B         pour     II'  <  W, 


A  et  B  étant  deux  nombres  positifs. 

D'autre  part,  nous  savons  qu'on  peut  assigner  une  limite  à  -^'  pour  iv^iv 
Supposons  par  exemple  que  l'on  ait 


du  i 


dn 


<  ii'o 


pour     IV  =  ivi, 


ii[,  étant  un  nombre  positif.  Soit  ensuite  ii.'  une  fonction  délinie  comme  il  suit  : 


— ; 1-  -xw—r-  =  a!<  (4  A  -h  vV  )  -I-  2  IJ, 

dl  dw  ^  '  ' 


pour     w  =  w,. 


On  aura  manifestement 


dui 


dw 


<u. 


Or  on  voit  sans  peine  que  ;/'  ne  dépend  que  de  w  et  satisfait  à  l'équation 


(,.4^  =;<74A-{-\V)  +  li. 
dw 


H.  P.  —  VII. 


5o 


3ç)4  SUR    LE    PROBLEME    DES   TROIS   CORPS 

Donc  n'  est  Uni:  ilonc  -7—^  reste  liiiit^  quaml  x  icnd  vers  z(^ro.  Donc  on  a 
asymplotiijiwmenl  (^en  cnlimilanl  ce  mot  an  inùine  sens  que  plus  haut)  : 

Mi  M,"  //(!,'  (/()? 

-r-   =  — h  a  — h  X-  — h 

(.)n  iJéuioulrerail  de  mcnie  que  l'on  a  asymptotiquenient  : 

lit   ~~   tit  dt  dt-        ■"''  ihv-  "   dw-  dw"-  dn-   "^ 

Voici  donc  la  conclusion  finale  à  laquelle  nous  parvenons  : 

Les  séries 

xf  ■+■  \J \s. x]  -I-  xi..!-}  + . . . .        Hji  -y- _v,"  -¥-  v/p^.K/  -t-  \'-yl  -I- . . . 

définies  dans  ce  paragraphe  sont  divergentes,  mais  elles  jouissent  de  la  même 
propriété  que  la  série  de  Stirling,  de  telle  sorte  qu'on  a  asymptotiquenient  : 

,(•,■  =  .r," -I-  \j\}.  x]  +  xxx'j  -^ .  .  ..  r,= /(,? -I- )  " -)-  v';i  r' -I- ;J..rV  -  .  . . 

De  plus,  si  D  est  un  signe  quelconque  de  dillérentiation,  c'est-à-dire  si  l'on 
|)Ose 

*"*-^  ""  dti«d^v'^d»^':r...,lw>,;' 
ou  aura  encore  asYmptotiquement  : 

I  ).r,  =  D./',"  -t-  \/|i  I  •■'■,'  -+-  [J^  '^■'■f  -I-  ■  ■  . , 

I  )  y,  =  1.)  (  rti  /  +  r,"  )  -t-  \'\>.  1 17/  -(-  ;j.  lH-,°  -I-  .  .  . . 

En  ce  <|ui  concerce  l'élude  des  séries  analogues  à  celles  de  Stirling,  je  renverrai 
au  paragraphe  1  d'un  Mémoire  que  j'ai  publié  dans  les  Acta  iMalheinatica 
(t.8,  p.  295)(^). 


(J^twres  de  II.  f'oiiicuré,  t.  I,  p.  390. 


ET  LES  ÉQUATIONS  DE  LA  DYNAMIQUE.  SgS 

DEUXIÈME  PARTIE. 

ÉQUATIONS  l)l-:  lA  DYNAMIQUE  EÏ  l'HOULÉ^rE  DES  n  COliPS. 


CHAPITRE  I. 

ÉTUDE   DU    CAS    OU    IL    n'y   A    HUE   DEUX  DEGRÉS    DE    LUiERTÉ. 

15.  —  Représentations  géométriques  diverses. 
Reprenons  les  équations  (i)  du  paragraphe  11  ; 


dx,        dV 

d.r.         dV 

dl    "  dy,' 

dt   ~  dy.^ 

dr,             dV 

,/v-,         ,n- 

dt    ~         dj:,' 

lit                        dXn 

(■^ 


Nous  nous  bornerons  au  cas  le  plus  simple  qui  est  celui  où  il  n'y  a  que  deux 
degrés  de  liberté;  je  n'ai  pas  à  m'occuper  en  efl'et  de  celui  où  il  n'y  a  qu'un 
degré  de  liberté,  car  les  équations  de  la  Dynamique  s'intégrent  alors  aisément 
/  par  de  simples  quadratures. 

Nous  supposerons  donc  que  la  fimction  F  ne  dépend  que  de  quatre  vaiiables 
X{,  a"-..,  1),  j'j.  Nous  supposerons  de  plus  que  cette  fonction  est  uniforme  par 
rapport  à  ces  quatre  variables  et  périodique  de  période  2tu  par  rapport  à  Ki 
elàj-,. 

La  situation  du  sysiéiBe  est  donc  déiîuie  par  les  quatre  quantités  Xi,  x-,,  fi, 
y^,  mais  cette  situation  ne  change  pas  quand  Vi  ou  y-2  augmente  de  27î  ou  d'un 
multiple  de  27r.  En  d'autres  termes,  et  pour  reprendre  le  langage.du  Chapitre  I, 
Xi  et  x-2  sont  des  variables  linéaires,  pendant  que  yx  et  Vu  sont  des  variables 
angulaires. 

Nous  connaissons  une  intégrale  des  équations  (2)  qui  est  la  suivante  ; 

(2)  F(a;i,  372,  71,  j5)=  C, 

G  désignant  la  constante  des  forces  vives.  Si  cette  constante  est  regardée  comme 
une  des  données  de  la  question,  les  quatre  quantités  x  ot  y  ne  sont  plus  indé- 
pendantes ;  elles  sont  liées  par  la  relation  (2).  Il  suffira  donc,  pour  déterminer 
la  situation  du  système,  de  se  donner  arbitrairement  trois  de  ces  quatre  quan- 


396  SUR  LE  PRORLÈME  DES  TROIS  CORPS 

lilés.  Il  devient  possihliv  |)ar  cousét|uenl ,  de  rejiii'scnlL'r  l:i  siuialion  du  svslènic 
par  la  position  d'uu  poiut  P  dans  l'espace. 

11  pourra  arriver  on  outre  pour  dos  raisons  diverses  que  les  quatre  variables 
X  el  y  soient  soumises,  non  seulement  à  l'égaliti''  (2),  mais  à  une  ou  plusieurs 
inégalités  : 
(3)  i|(,f,,  .ro,  ri,  J-2)>'>!         92(.ri,  .i-«, /i,  J-2)>o- 

Supposons  par  exemple  pour  fixer  les  idées  que  les  inégalités  (3)  s'écrivent 

a>xi>  b, 

et  que  l'égalité  (2)  soit  telle  que  lorsque  .r,  satisfait  à  ces  inégalités,  on  puisse 
tirer  de  la  relation  (2)  la  quatrième  variable  J"_.  en  fonction  uniforme  des  trois 
autres  x,,  j',  et  jo. 

Nous  pouvons  alors  représenter  la  situation  du  svslème  par  un  point  dont 
les  coordonnées  rectangulaires  seront 

X  =  cosj'i[i  -+-  cosj;!(c.ci+  d)].         Y  =  siii  )  i[i  -h  cos_)->(c.ri-i-  d)], 
Z  =  siu)«(c.ri-t-  d), 

c  et  d  étant  deux  nou\eiles  constantes  positives  telles  que 

C'(  -t-  f/  <  I  ,  c6  -I-  '/  >  o. 

Il  est  clair  en  effet  qu'à  toute  situation  du  système,  c'est-à-dire  à  tout  système 
de  valeurs  de  Xi,  y\  et  jo  satisfaisant  aux  conditions 

«>-2'l>^,  2->V|>0,  2->V'î>0 

correspond  un  point  de  l'espace  et  un  seul,  compris  entre  les  deux  tores 

(   (  I  -  \'\-'  +  Y=  Y  -+-  7J  =  (  ta  -H  df. 

El  réciproquement,  à  tout  point  de  l'espace  compris  entre  ces  deux  tores 
corres))ond  un  système  de  valeurs  de  Xi,  ri  ety^  et  un  seul,  satisfaisant  aux 
inégalités  précédentes. 

Il  peut  se  faire  que  les  inégalités  (3)  ne  s'écrivent  plus  «  >  jti  >  i  ;  mais  que 
cependant  ces  inégalités,  jointes  à  la  relation  (a)  entraînent  comme  conséquence 

«  >  .î^i  >  ^• 

Si  de  plus  X-,  est  encore  fonction  uniforme  des  trois  autres  variables,  le  même 
mode  de  représeuliitioii  géoinétriijiie  est  encore  applicable. 


ET   LES   ÉQUATIONS    DE   LA   DYNAMIQUE.  897 

Nous  pouvons  nous  placer  dans  un  cas  plus  général  encore  : 

Supposons  que  l'on  puisse  trouver  une  variable  auxiliaire  i;,  jouissant  de  la 

propriété  suivante.  Si  Xi,  x-,^  y,  et  )--2  satisfont  à  la  fois  à  l'égalité  (2)  et  aux 

inégalités  (3),  on  pourra  exprimer  a;,  et  x-^  en  fonctions  uniformes  de  ^,  de  yi 

et  dfi  )  ■).  De  plus,  en  verUi  des  inégalités  (3),  'E,  ne  peut  devenir  infinie  et  reste 

comprise  entre  certaines  limites  de  telle  façon  que  l'on  a  comme  conséquence 

de  (2)  et  de  (3)  : 

a>|>6. 

Nous  pourrons  alors  définir  cumplcteinent  la  situation  du  système  en  nous 
donnant  les  trois  variables  ;,  yi  cl  y 2,  et  la  représenter  par  un  point  P  dont  les 
coordonnées  rectangulaires  seront 

X  =  cos_yi[i  -h  cosj'.2(c?  -I-  r/ )l,         Y  =  sin  )-|  [i  ■+-  cosj-^Ctç  -t-  '/)], 
Z  =  sinj'2(c?  -1-  d) 
avec  les  conditions 

c  ^  o,        co-+-<y<i,        ch-i-d'^o. 

On  voit  alors,  comme  dans  le  cas  précédent,  qu'à  toute  situation  du  système 
correspond  un  point  de  l'espace  et  un  seul  compris  entre  les  deux  tores  (4),  et 
réciproquement,  qu'à  tout  point  compris  entre  ces  deux  tores  ne  peut  corres- 
pondre plus  d'une  situation  du  système. 

Il  peut  se  faire  que  pour  aPi  =  a,  (ou  plus  généralement  pour  ^  ^  a),  la  situa- 
tion du  système  reste  la  même  quelle  que  soit  la  valeur  attribuée  à  r-j.  Nous  en 
verrons  dans  la  suite  des  exemples.  C'est  ainsi  qu'en  coordonnées  polaires,  il 
faut  en  général  pour  définir  la  position  d'un  point  se  donner  les  deux  coordon- 
nées p  et  (o,  mais  que  si  l'on  suppose  p  =  o,  on  retrouve  toujours  le  même  point, 
à  savoir  le  pôle,  quel  que  soit  u. 

Dans  ce  cas  on  choisira  les  constantes  c  et  c?  de  telle  façon  que 

ca  -H  c/  =  o. 

Le  second  des  deux  tores  (4)  se  réduit  alors  à  un  cercle 

Z  =  o,        X'--i-  Y2  =  I. 

En  chacun  des  points^de  ce  cercle  Va  est  indclerminé;  mais  néanmoins,  comme 
pouri;=a  la  situation  du  système  ne  dépend  pas  de  >2,  à  chaque  point  du 
cercle  correspond  une  situation  du  système  et  une  seule. 

On  peut  dire  alors  qu'à  toute  situation  du  système  correspond  un  point  de 
l'espace  intérieur  au  premier  des  deux  tores  (4)  et  que,  réciproquement,  à  un 


SgS  SUR    LE    PROBLÈME    DES    TROIS    CORPS 

poiiii  inlorieiir  ilo  ce  lore  no  pi'iil  correspondre  (ju'iine  seule  siiiialion  du 
système. 

.l'euvisagerai  encore  un  autre  cas. 

Inutgiuons  qu'en  verlu  des  inéj^iilili^s  (3),  c  puisse  prendre  loulcs  les  valeurs 
posiiivcs,  de  telle  sorte  que 

(f  =  (),  ^  =  H-'». 

Supposons  que  pour  ;=  o  la  situation  du  système  ne  dépende  pas  de  jo  et 
que  pour  ;  =  30  ,  celle  situation  ne  dépende  pas  de  j'i . 

Nous  pourrons  alors  représenter  la  sliualion  par  un  point  dont  les  coordon- 
nées reclangniaires  seront 

X  =  cosj'i  eS^»*:!,         V  =  siiij'i  e^"""-'',         Z  =  Ç  sin  j». 

Pour  ;  =  G  il  vient  (quel  que;  soit  t..,) 

X  =  cos)'i,  V  =  sinji,         /.  =  o. 

Le  point  représentatif  se  trouve  sur  le  cercle 

X2+Y2  =  i.        Z  =  o 

et  sa  position  ne  dépend  pas  de  )■_.;  cela  n'a  pas  d'inconvénient  puisque  par 
hypothèse  la  situation  du  système  pour  ^  =  o  ne  dépend  pas  non  plus  dej'a. 
Pour  ^  =  00,  on  trouve  pourvu  que  cosj'^  soit  négatif  : 

X  =  Y  =  o,  /.  =  siri  )■«. 

Le  point  représentatif  se  trouve  alors  sur  l'axe  des  Z  et  sa  position  ne  dépend 
pas  de^^i,  mais  pour  £^oo,  la  situation  du  système  ne  dépend  pas  non  plus 
de  j,. 

Le  mode  de  représentation  adopté  est  donc  légitime. 

Ce  qui  précède  a  besoin  d'être  appuyé  de  quelques  exemples.  Je  n'en  traite- 
rai ici  que  trois. 

Le  premier  de  ces  exemples  est  le  plus  important  parce  que  c'est  un  cas  par- 
ticulier du  problème  des  trois  corps.  Imaginons  deux  corps,  le  premier  de 
grande  masse,  le  second  de  niasse  (inie,  mais  très  petite,  et  supposons  que  ces 
deux  corps  décrivent  autour  de  leur  centre  de  gravité  coinmun  une  circonfé- 
rence d'nn  mouvement  uniforme.  Considérons  ensuite  un  troisième  corps  de 
masse  inlinimenl  petite,  de  façon  que  son  mouvement  soit  trouble  par  l'attrac- 
tion des  deux  j)remiers  corps,  mais  (|u'il  ne  puisse  pas  troubler  l'orbite  de  ces 
deux  premiers  corps.  Bornons-nous  de  plus  au  cas  où  ce  troisième  corps  se 


ET    LES    ÉQUATIONS    DE    LA    DYNAMIQUE.  Sgç 

meui  dans  le  plan  des  deux  circonférences  décrites  par  les  deux  premières 
masses. 

Tel  esL  le  cas  d'une  pelile  planéle  se  niouvani  sous  l'influence  du  Soleil  et  de 
Jupiler  quand  on  néglige  l'excentricité  de  Jupiter  et  l'inclinaison  des  orbites. 

Tel  esL  encore  le  cas  de  la  Lune  se  mouvanl  sous  l'influence  du  Soleil  et  de 
la  Terre  quand  on  néglige  l'excealricilé  de  l'orbite  terrestre  et  l'inclinaison  de 
l'orbite  lunaire  sur  l'écliptique. 

Nous  définirons  la  position  du  troisième  corps  par  ses  éléments  osculaleurs 
à  un  instant  donné  et  nous  écrirons  les  équations  du  mouvement  en  adoptant 
les  notations  de  M.  Tisserand  dans  sa  Mole  des  Comptes  rendus  du  .;îi  jan- 
vier 1887  : 

\  ^  ^  dl'         Tt  ~~'  dL' 

(5) 

^   '  "'G  _  dix  ,/^  __,m 

~di  ~  ^'  'di  ~~  d&' 

Je  désigne  par  a,  e  et  n  le  grand  axe  osculateur,  l'excentricité  et  le  moyen 
mouvement  de  la  troisième  uiasse  ;  j'a|ipelle  l  l'anomalie  moyenne  de  cette 
troisième  masse  et  g'  la  longitude  de  son  périhélie. 

Je  pose  ensuite 

L  =  y/«,  G  =  y  <((  I  —  e-  ). 

Je  choisis  les  unités  de  telle  façon  que  la  constante  de  Gauss  soit  égaleà  i ,  que  le 
moyen  uiouvement  de  la  seconde  masse  soit  égal  à  1  et  que  la  longitude  de  cette 
seconde  masse  soit  égale  à  t. 

Dans  ces  conditions,  l'anglesous  lequella  distance  des  deux  dernières  masses 
est  vue  de  la  première  ne  diffère  de  l-'rg  —  t  que  par  une  fonction  périodique 
de  l  de  période  2  7r. 

La  fonction  R  est  la  fonction  perlurbaliice  ordinaire  aueuieutée  de  —  =  — r-.  ; 

Cette  fonction  ne  dépend  que  de  L,  de  Ci,  de  /  et  de  l-[-g —  t;  car  la  distance 

de  la  seconde  masse  à  la  première  est  constante  et  la  distance  de  la  troisième  à 

la  première  ne  dépend  que  de  L,  G  et  /.  Cette  fonction  est  d'ailleurs  périodique 

de  période  27:  tant  par  rapport  à  l  que  par  rapport  à  1  +  g  —  t.. 

On  conclut  de  là  que  l'on  a 

d\i       d\K 
dt         dg 

et  que  les  équations  (5)  admettent  comme  intégrale 

K  -I-  t j  =  const. 


4oo  SUR    LE   PROBLÈME    DES   TROIS   CORPS 

Nous  allons  cliercliL-r  à  ramener  les  équations  (5)  ù  la  forme  des  équations 
(i).  Pour  cela  nous  u'avon?  qu'à  poser 

X,  =  G,         j;.,  =  L,        j,  =  ^  —  /,        Xi  =  l, 
F(xi,  ;£•«,  y,,  y-i)  =  R  -f-  G, 

et  les  (^qualions  (5)  reprennent  la  forme 

La  fonction  F  dépend  d'un  paramétre  très  petit  /j.  qui  est  la  masse  du  second 

corps  et  nous  pou\ons  écrire 

F  =  F„+iJiF,. 

F  est  périodique  par  rapport  à  Vi  et  )o  (jui  sont  des  variables  angulaires,  tandis 
que  Xi  et  x-,  sont  des  variables  linéaires.  Si  l'on  fait  p.  ^  o,  F  se  réduit  à  F,,  et 

Fo  = 1-  G  =  j'i  H 

la  2.Xr, 

ne  dépend  [)lus  que  des  variables  linéaires. 

Il  résulte  de  la  définition  même  de  L  et  de  ^G  en  fonctions  de  a  et  e  que  l'on 
doit  avoir 

L->  G-         ou         j'I  >  .r;, 

ce  qui  montre  que  Xi  peut  varier  depuis  — x.,  jusqu'à  +^72- 

Si  l'on  suppose  xi^-j-x.2  l'excentricité  est  nulle;  il  en  résulte  que  la  fonc- 
tion perturbatrice  et  la  situation  du  système  ne  dé|)endent  plus  que  de  la  dilTé- 
rence  de  longitude  des  deux  petites  masses,  c'est-à-dire  de 

l-h  ff  —  t  =  yt-^-  y.. 
On  en  déduit 

IL  -  I^ 

d'où 

d(xi  —  Xi) 


(6) 


dt 


d'où  l'on  conclurait  (puisque  la  valeur  initiale  de  Xi  —  xn  est  supposée 'nulle) 
que  Xi  doit  rester  constamment  égalà^r^  !  mais  ce  n'est  là  pour  les  équations  (i) 
qu'une  solution  singulière  qui  doit  être  rejetée.  En  ce  qui  concerne  les  solu- 
tions '<  particulières  »  que  nous  devons  conserver,  l'équation  (6)  signifie  sim- 
plement que  quand  xt  —  X2  atteint  la  valeur  zéro,  celte  valeur  est  un  maximum, 
ce  qui  est  d'ailleurs  une  conséquence  de  l'inégalité  x]  >  x]. 


ET   LES   ÉQUATIONS   DE   LA   DYNAMIQUE.  4°  1 

Si  nous  supposons  maintenant  x-,^= — Xi,  l'excentricité  sera  encore  nulle, 
mais  le  mouvement  sera  rétrograde  (il  l'est  toutes  les  fois  que  Xi  et  x-^  ne  sont 
pas  de  même  signe);  alors  F  et  la  situation  du  système  ne  dépendent  plus  que 
de  l'angle 

—  1  +  ë  —  t=yi—y'-- 
ce  qui  donne 

d¥        dP 

dyi        dy2 

Je  vais  maintenant  traiter  la  question  suivante  : 

Trouver  une  variable  ^  telle  que  si  Xi,  x^,  j'\^  y-i  satisfont  aux  égalités  et 
inégalités  (2)  et  (3)  (qui  dans  le  cas  qui  nous  [occupe  se  réduisent  à  F  =  C, 
xl^x^^),  ces  quatre  quantités  peuvent  s'exprimer  en  fonctions  uniformes  de 
5,  ji  et  72. 

Je  traiterai  d'abord  la  question  dans  le  cas  où  p.  ^  o  et  où 

F  =  [•'0=  — 7  +  ^1. 

Envisageons  un  plan  et  dans  ce  plan  un  point  dont  les  coordonnées  sont 

X   =  ^1  f,  Y   =  .To  . 

Alors  les  égalités  et  inégalités  (2)  et  (3)  s'écrivent 


X+^r,j  =  0,  Y>X  +  c>-Y. 

2  I - 


Construisons  la  courbe 
et  les  deux  droites 


i 

ÏY^ 


X-HC=±  Y. 


Ces  droites  el  celte  courbe  peuvent  être  dans  deux  situations  diflérenies, 
représentées  par  les  figures  3  et  4- 

Chacune  des  deux  figures  devrait  se  composer  de  deux  moitiés  symétriques 
par  rapport  à  l'axe  des  x,  mais  nous  n'avons  représenté  que  la  moitié  qui  est 
au-dessus  de  cet  axe.  Dans  le  cas  de  la  figure  3  la  courbe  nous  offre  deux  arcs 
utiles  BC  et  DE  pendant  que  les  arcs  AB  el  CD  doivent  être  rejetés  à  cause  de 
l'inégalité  Y-  >.(X-)-  c)-.  Dans  le  cas  de  la  figure  4»  il  n'y  a  qu'un  arc  utile  BC 
et  l'arc  AB  doit  être  rejeté. 

H.  p.  —  vir.  ôi 


402 


SUR    LE   PROBLEME   DES   TROIS   CORPS 


Le  passnge  de  la  figure  .î  ;i  la  figure  4  se  fait  quand  la  droite  CD  devenant 
tangente  à  la  courbe,  les  deux  |)oints  G  el  D  se  confondent.  Cela  a  lieu  pour 


\  = 


Y  =  I. 


iNous  nous  supposerons  dans  ce  qui  va  suivre  placés  dans  le  cas  de  la  figure  3 
et  nous  envisagerons  seulement  l'arc  utile  BC  ;  c'est  en  efl'et  le  cas  le  plus 
intéressant  au  point  de  vue  des  applications. 

Posons 

^       j,''. —  Ji       L  —  G 
■  ^  TITT,  ^  L  +  G  ' 

on  voit  que  £  s'annule  nu  point  C  el  devient  infini  au  point  B  el  que  quand  on 


Fig. 


Fig.  .',, 


parcourt  l'arc  BC  depuis  C  jusqu'en  B,  on  voil  ^  croître  constamment  depuis 
zéro  jusqu'à  4-m.  Si  donc  on  se  donne  ^,  le  polnl  correspondant  de  l'arc  BC 
sera  entièrement  déterminé,  ce  qui  revient  à  dire  que  xi  et  ^'2  sont  fonctions 
uniformes  de  l. 

Qu'arrivera-l-il  maintenant  si  /jl  n'est  plus  nul,  mais  seulement  très  petit? 

Faisons  encore 

,.      -t»  —  ■''  I 

et  voyons  si  en  tenant  compte  des  relations 

(7)  F"  =  C,         ?>o,         x,>o,     (•), 

Xi   el  X'j   seront  encore  fonctions  uniformes  de  t,  de  y,  el  de  j'2.  Pour  qu'il 


Cj  On  voit  aisément  pourquoi  j'écris  cette  dernière  relation;  l'arc  BC  comme  on  le  voit  sur 
la  figure  est  tout  entier  .lu-dessus  de  l'axe  des  X,  ce  qui  entraine  l'inégalité  t^>  0;  il  est  clair 
que  cette  inégalité  subsistera  encore  pour  les  valeurs  suffisamment  petites  de  (i. 


ET    LES   ÉQUATIONS   DE   LA   DYNAMIQUE.  4o3 

cessât  d'en  êlre  ainsi,  il  faudrait  que  le  déterminant  t'oiictionnel  ,,     — —  s'an- 

T  à{x,,  x-2) 

nulàt  pour  un  système  de    valeurs  satisfaisant  aux   conditions   (7).    Or   cela 

,       .  •  .  .  .  3 

n'arrivera  pas  si  ^x  est  assez  petit  et  si  C  est  assez  différent  de  -• 

Dans  la  plupart  des  applications,  ces  condilions  seront  remplies;  nous  pour- 
rons donc  prendre  'E,  comme  variable  indépendante;  cette  variable  sera  essen- 
tiellement positive  et  Xi  et  Xa  seront  fonctions  uniformes  de  ^,  ju  et  j'j. 

Toutefois  pour  trouver  le  mode  de  représentation  géométrique  le  plus  conve- 
nable, il  faut  encore  faire  un  changement  de  variables.  Posons 

X-',  =  X,  -H  X,.,  X',,  =  Xi  —  X«,  y\  =   -(j,  -(-  J„),  y,  =    -^(y^—y,  ). 

Après  ce  changement  de  variables,  les  équations  conserveront  la  forme 
canonique 


dx\ 

dF 

dy\              d? 

dx'„ 

dF 

dy\             dF 

dt 

dy\  ' 

dt             dx\  ' 

dt 

~  dy,  ' 

dt    ~       dx% 

On  voit  que  y\  et  j^',  sont  encore  des  variables  angulaires;  quand  en  effet 
y\  ovL y'.,  augmente  d'un  multiple  de  271,  ji  et  j'2  augmentent  aussi  d'un  mul- 
tiple de  2  71  et  par  conséquent  la  situation  du  système  ne  change  pas. 

Mais  il  y  a  plus;  quand  on  change  simultanément  jk'j  et  jk..  Qn.  y\-\-T:  et 
y\  +  Tt,  y^  ne  change  pas  et  y,  augmente  de  2  7r.  La  situation  du  système  ne 
change  donc  pas. 

Cela  posé  nous  représenterons  la  situation  du  système  parle  point  de  l'espace 
qui  a  pour  coordonnées  rectangulaires  : 

X  =  cos/'i  e^<^°*/',         Y  =  sin/'i  e^<="5.''!,         Z  =  ^'i\ny\. 

Pour  ^  :;=  o  la  situation  du  système  ne  dépend  pas  de  r\_  et  il  en  est  de  même  du 
point  représentatif  qui  est  alors  sur  le  cercle 

X°--t-Y2  =  i,         Z  =  o. 

Pour^  =  co,  la  situation  du  système  ne  dépend  pas  àe  y\  et  il  en  est  de  même 
du  point  représentatif  qui  est  alors  sur  l'axe  des  Z  si  cosy\  est  négatif  et  à 
l'infini  si  cosy\_  est  positif. 

A  chaque  point  de  l'espace  correspond  donc  une  siiiialion  du  système  et  une 
seule;  réciproquement,  à  chaque  situation  du  système  correspondent,  non  pas 
un,  mais  deux  points  de  l'espace  et  en  effet  aux  deux  systèmes  de  valeurs  {x^■, 
^'«.1  J  n  y'ï)  ^^  (■'^1)  ^'-11  y\  ~^'^i  y'-.  +  ■'^)  correspondent  deux  points  différents  de 
l'espace,  mais  une  seule  situation  du  système. 


4o4  SUR    LE    PROBLÈME   DES   TROIS   CORPS 

Les  éqiialions  (  i  )  adnieUcul  les  invariants  inlograux 

/  { dx,  (/\i  ■+-  c/jTo  </r.  )=  /  (  '/.f'i  (A  ',  -+-  '/j'î  t^y^  ) 
cl 

/  r/.Ci  dji  dx«  dy^  =  dx\  dy\  d.c'^dy'^. 

Si  nous  transformons  cel  invariant  par  les  régies  exposées  dans  le  paragraphe  7 
nous  verrons  que 

/  '   x\  -  dl  dy'i  dy'.,    _    r  x\-  dX  d\  d'L 

J    ,  dF  '  ,  Vf  "J  I  ,  dF      ,  dF \,,-.„    r; 

dx\  dx,  \        dx\  dx.,  / 

est  encore  un  invariant  intégral. 

Comme  f  est  essentiellement  positif,   la   quantité  sous  le  signe     /    est   de 

même  signe  que 

,    dF  ,   dF    _       dF  dF 

X  1   — j — ;-    +  ^  .1   —: — r-    —  X  |   -; -\-   X-z  — • 

dx,  dXi  dX\  dxi 


Or  pour  p.  =  o,  on  truu\  e 


dF  dF  I 

Xi H  r»  -j—  =Xi- -,■ 

dx\  dx«  xa 


Si  nous  nous  supposons  placés  dans  le  cas  de  la  figure  3  et  sur  l'arc  BC,  nous 
devons  supposer 


C>-,  x-^-Cx'!,  (i<^«<i, 


d'où  Ton  tire 

Xt  —  —,  =  3x,  —  2C<3a;i  —  2-  =  'i(xi  —  i)<ii, 

XT^  2 

Ainsi  Xi  -j- — h  xo  -^ —  est  toujours  négatif  quand  p.  est  nul.  Il  en  sera  encore 

de  même  quand  p.  cessera  nul,  pourvu  que  C  soit  assez  différent  de  -• 
Dans  ces  conditions  l'intégrale 

/• x7  dX  dY  dZ 

est  un  invariant  positif. 

Pour  fz  z=  o,  les  équations  (5)  s'intègrent  aisément  comme  on  le  sait  et  l'on 

trouve 

L  =  consl.,         G  =  coiist.,         ^  =  consl.,         /  =  «/ -i- consl., 

Les  solutions  ainsi   obtenues  sont  représentées  dans  le  mode  de  représen- 


ET    LES    ÉQUATIONS    DE    LA    DYNAMIQUE.  4oâ 

lalion  géonaélrique  adoplé  par  cerlaines  trajectoires.  Ces  trajectoires  sont 
fermées  toutes  les  fois  que  le  moyen  mouvement  n  est  un  nombre  commen- 
surable.  Elles  sont  tracées  sur  des  surfaces  trajectoires  qui  ont  pour  équation 
générale  ^  =  const.  et  qui  sont  par  conséquent  des  surfaces  de  révolution 
fermées  analogues  à  des  tores. 

Nous  verrons  dans  la  suite  comment  ces  résultats  sont  modifiés  quand  fi  n'est 
plus  nul. 

Comme  second  exemple,  je  reprends  l'équation  dont  j'ai  déjà  parlé  à  la  (in 
du  paragraphe  1 1  : 

-^  -+-  /j2p  -+-  mf  =  fi.  n, 

R  étant  une  fonclion  de  p  et  de  ^,  holomorphe  par  rapport  à  p  et  s'annulant 
avec  p  et  périodique  par  rapport  à  t.  Celle  équation  peut  s'écrire  en  reprenant 
les  notations  du  paragraphe  cilé  : 


dt 

_d¥           da  _      dF 

~   d-j             dt   ~        r/p  ' 

d'i  _dF 

dt  ~  dr] 

dt)            dF 

'          dt  ^^  di, 

avec 

?  =  ', 

dp                               3- 

n-p-    ^    inp' 
■}.              4 

-l'-j  R(p,  D'/p 

Posons 

a  =  \J  n  \JïX\  cosj)i, 

P=-^^ 

•îxx  sin/i. 

Les  équations  conserveront  la  forme  canonique  des  équations  de  la  Dynamique 
et  la  fonction  F  dépendra  de  deux  variables  linéaires  Xi  et  r\  et  de  deux 
variables  angulaires  j^,  et  ^. 

On  voit  aisément  que  quand  on  se  donne  la  constante  des  forces  vives  C,  x^. 
yi  et  Ç,  la  qualrième  variable  r)  est  entièrement  déterminée;  on  a  en  efl'et 


C  —  «xi  — 


Pour  jCi=o,  la  situation  dn  système  ne  dépend  pas  de  j'i.  Nous  pouvons 
donc  adopter  pour  représenter  cette  situation  le  point  dont  les  coordonnées 
sont 

X  =  cosÇe'->"s.v,  Y  =  sinÇe-i'>':''».Vi,         Z  =  jr,  sin/i. 

A  chaque  situation  du  système  correspond  ainsi  un  point  de  l'espace  et 
inversement.  Il  faut  excepter  les  points  à  l'infini  et  les  points  de  l'axe  dos  Z  qui 
nous  donneraient  ar,  =  oo  et  par  conséquent  un  résultat  illusoire. 


4ofi  SUR    LE    PROBLÈME    DES    TROIS    CORPS 

Coiiune  troisième  exemple,  envisageons  un  point  mobile  pesant  se  mouvant 
sur  une  surface  parfaitement  polie  et  dans  le  voisinage  d'une  position  d'équi- 
libre stable. 

Prenons  pour  origine  le  point  le  plus  bas  de  la  surface;  pour  plan  des  xy  le 
plan  tangent  qui  sera  horizontal;  pour  axes  des  x  et  des  y  les  axes  de  l'indi- 
catrice de  façon  que  l'équation  de  la  surface  s'écrive 

ax"-       bv-  ,         . 

=  =  -;-  +  -^  -I-  f^?(^.  /)> 

o(x,  y)  étant  un  ensemble  des  termes  du  troisième  degré  au  moins  en  x  et 
en^'  et  ,tj.  un  coefficient  très  petit. 

Nous  aurons  alors  en  appelant  x'  et  y'  les  projections  de  la  vitesse  sur  les 
axes  des  x  et  des  }■  : 


2                2            ^ 

dx       dF 
dt        dx'  ' 

dy       dF            dx             dF 
dt  ~  dy'  '           dt             dx' 

dy' 

dt 

dF 

~     dy 

Changeons  de  variables  en  posant 

\/2.ri 
f8) 


X  =     '  COSJKi,  X   =  V  2Xt    sjga  SUl  Vt 


^"^    'cosjo,         y' =  s/2xl  y  gb  siny. 


gb 

Les  équations  différentielles  conserveront  la  forme  canonique  des  équations 
de  la  Dynamique.  L'équation  des  forces  vives  s'écrit 

\j gaxx-^  \l gbx,-^  '^g<:i{Xi,  x^,  j,,/o)=  C, 

(p  désignant  la  même  fonction  que  plus  haut,  mais  transformée  par  le  chan- 
gement de  variables.  Gomme  Xi  et  x^  sont  essentiellement  positifs  (ainsi 
d'ailleurs  que  les  coefficients  a  et  6),  l'équation  des  forces  vives  montre  que 
ces  deux  quantités  restent  toujours  inférieures  à  une  certaine  limite.  D'après 
la  définition  de  la  fonction  œ  celte  fonction  s'annule  avec  Xi  et  ar._,,  et  il  en 
est  encore  de  même  de  ses  dérivées  partielles  du  premier  ordre.  Nous  en 
conclurons  que  fi  étant  très  petit,  la  fonction  ixo  et  ses  dérivées  du  premier 
ordre  ne  pourront  jamais  dépasser  une  certaine  limite  supérieure  très  petite. 
Nous  pouvons  donc  écrire 


dx[  \       \    g  dxi.  \       V    , 


ET  LES  ÉQUATIONS  DE  LA  DYNAMIQUE.  ioj 

Faisons  maintenant  x.,^=^x,:  le  rapport  ^  sera  essenliellemenl  positif. 
L'équatioa  des  forces  vives  devient 

(9)  ^i{\fgâ-^  \>6?)  -I- u^ç(.ri,  Ji-,,  ,-,,  r-,)  =  G. 

La  dérivée  du  premier  membre  de  (g)  par  rapport  à  a?,  s'écrit 

En  vertu  des  inégalités  (8),  cette  expression  est  toujours  positive,  ce  qui 
montre  que  l'on  peut  tirer  de  l'équation  (g)  Xi  en  fonction  uniforme  de  Ç,  yi 
et  j'2,  et  par  conséquent  que  la  situation  du  système  est  complètement  définie 
par  les  trois  variables  )i,  y^  et  ^. 

Pour  ^  =  o  la  situation  ne  dépend  pas  de  j-j,  pour  ?^oo  elle  ne  dépend 
pas  de  Va- 

Nous  représenterons  donc  cette  situation  par  le  point 

X  =  cosj»  e'<="'-''',         Y  =  sin/o  gleosy,^         Z  =  Ç  sin.'i  • 

A  chaque  point  de  l'espace  correspondra  ainsi  une  situation  du  système  et 
réciproquement. 

Les  exemples  qui  précèdent  suffiront,  je  pense,  pour  faire  comprendre 
l'importance  du  problème  qui  va  nous  occuper  dans  ce  Chapitre  et  la  façon 
dont  on  peut  varier  les  modes  de  représentation  géométrique. 

CHAPITRE  II. 

ETUDE    DES    SURFACES    ASYMPTOTIQUES. 

16.  —  Exposé  du  problème. 

Reprenons  les  équations  de  la  Dynamique  en  supposant  deux  degrés  de 
liberté  seulement,  et  par  conséquent  quatre  variables  x^^  x-,,  y,  et -»'...  D'après 
ce  que  nous  avons  vu  au  paragraphe  14  ces  équations  admettent  certaines 
solutions  particulières  remarquables  que  nous  avons  appelées  asjmptotiques. 
Chacune  de  ces  solutions  asymptotiques  est  représentée,  dans  le  système  de 
représentation  géométrique  exposé  au  paragraphe  précédent,  par  certaines 
courbes  trajectoires.  L'ensemble  de  ces  courbes  engendre  certaines  surfaces 
que  nous  pouvons  appeler  surfaces  asymptotiques  et  que  nous  nous  proposons 
d'étudier. 


4o8  SUR    LE    PROBLÈME    DES    TROIS   CORPS 

Ces  solutions  asjmplotiques  peuveal  se  inellre  sous  la  forme  suivante  : 

IV  étant  égal  à  Ae*',  et  A  étant  une  constante  arbitraire.  De  plus  cp,,  (p,,  (p:t  et  <pi 
sont  (par  rapport  à  I,  w  élanl  rep;ardé  un  instant  comme  une  constante)  des 
fonctions  périodiques  de  période  T,  el  «iT  cl  /(^T  sont  des  multiples  de  27t. 
Si  entre  les  écpialions  (i)  on  élimine  t  et  (c,  il  viendra 

(3)  j,  =/,()•,,.>■,).       ■i;2  =  /2(,ri,,>2) 

et  ces  équations  peuvent  être  regardées  comme  définissant  nos  surfaces  asymp- 
lotiques.  Nous  avons  vu  ensuite  que  si  l'on  clierclie  à  développer  cpi,  cp»,  co;, 
et  cp.i  suivant  les  puissances  de  \/fx,  on  arrive  à  des  séries  qui  sont  divergentes, 
mais  que  ces  séries  représentent  néanmoins  asymplotiquemcnt  ces  fonctions 
lorsque  fx  est  très  petit. 

Je  rappelle  que  je  conviens  de  dire  que  la  série 

Ao  -t-  A I X  -t- ...  -I-  S  pxi>  -I- . . . 

représente  asymplotiquemcnt  la  fonction  F(a;)  pour  x  très  petit,  quand  on  a 

,.      V(x) — Ao — Ai.c — ... —  kpxi' 

lim =  o         |)our     .r  =  o. 

XI'  ' 

J'ai  étudié  dans  les  Acla  Mathematica  (t.  8)  (')  les  propriétés  des  séries 
divergentes  qui  représentent  asymptoliquement  certaines  fonctions  et  j'ai 
reconnu  que  les  régies  ordinaires  du  calcul  sont  applicables  à  ces  séries.  Une 
égalité  asymplotique,  c'est-à-dire  une  égalité  entre  une  série  divergente  et  une 
fonction  qu'elle  représente  asymplotiquement,  peut  subir  toutes  les  opérations 
ordinaires  du  calcul,  à  l'exception  de  la  différenlialion. 
Soient  donc 

les  séries  divergentes  ordonnées  suivant  les  puissances  de  \/fi.  qui  représentent 
osymptoliquement  »(,  02,  O;,,  cp,.. 

Nous  aurons  alors  les  quatre  égalités  asymptotiques 

(  71  =  n,/ -+- 7-(/,  «',   v'jx),         _v-»=  «.< -t- ai(/,  »■,   v'.ut). 
(')  Œuvres  île  H.  Poincaré,  t.  I,  p.  290. 


ET  LES  ÉQUATIONS  DE  LA  DYNAMIQUE.  409 

Nous  pourrons  élimiuer  t  et  w  onlro  ces  égalités  d'après  les  règles  ordinaires 
du  calcul  et  nous  obiiendrous  ainsi  deux  nouvelles  égalités  asymptoliques 

où  il  et  Çj  sont  des  séries  divergentes  ordonnées  suivant  les  puissances  de  \' \x 
et  dont  les  coefficients  sont  des  fonctions  de  )i  et  de  >  o. 

En  général,  il  n'est  pas  permis  de  difTérentier  une  égaillé  asymptotique; 
mais  nous  avons  démontré  directement  à  la  fin  du  paragraphe  14  que  dans  le 
cas  particulier  qui  nous  occupe,  ou  peut  difTérentier  autant  tle  fols  que  1  on 
veut  les  égalités  (3).  tant  par  rapport  à  t  que  par  rapport  à  w. 

Nous  pouvons  en  conclure!  qu'il  est  permis  également  de  difiéreutier  les 
égalités  (4)  autant  de  fois  qu'on  veut  par  rapport  à  y^  et  à  j'o. 

Nous  nous  proposons  d'étudier  les  surfaces  asymptoliques  définies  par  les 
équations  (2).  Les  fonctions  a"i=/i.  .ro  =  /2  qui  entrent  dans  ces  équations 
devront  satisfaire  aux  équations 

>1V_clxj_        dF^  dx^  ^  ^  _  ■/¥_  >U^        dF_  r/^       I^  =  o 

cfxt   r/y\         dx«  (iy«_        dy\   ~     '  r/xt   dy\         rlx^  dy-i        dy-. 

Nous  allons  procéder  par  approximations  successives;  dans  une  première 
approximation  nous  prendrons  pour  équations  des  surfaces  asymptoliques  les 
équations  [\)  en  nous  arrêtant  au  second  terme  des  séries  (c'est-à-dire  au 
terme  en  ^fji)  inclusivement.  L'erreur  commise  sera  alors  du  même  ordre  de 
grandeur  que  [i-. 

Dans  une  seconde  approximation,  nous  prendrons  encore  pour  équations  des 
surfaces  asymptoliques  les  équations  (4).  mais  en  prenant  un  plus  grand 
nombre  de  termes  dans  les  séries.  Nous  pourrons  en  prendre  un  assez  grand 
nombre  pour  que  l'erreur  commise  soit  du  même  ordre  de  grandeur  que  jj.'', 
quelque  grand  que  soit/). 

Enfin  dans  une  troisième  approximation,  nous  chercherons  à  mettre  en 
évidence  les  propriétés  des  équations  exactes  des  surfaces  asymptotiques, 
c'est-à-dire  des  équations  (2). 

Nous  devons  donc  d'abord  chercher  à  former  directement  les  séries  Si  et  .vo 
des  équations  (4).  Ces  séries,  substituées  à  la  place  de  r,  et  de  x-^,  doivent 
satisfaire  formellement  aux  équations  (5V 

Nous  sommes  donc  conduits  à  chercher  des  séries  ordonnées  suivant  les 
puissances    de    y//^,    qui    satisfassent    formellement    aux    équations    (5).    Les 

H.  p.  —  VU.  32 


4lO  SUR  LE  PROBLÈME  DES  TROIS  CORPS 

coeftîcionls  de  ces  séries  seront  des  fonctions  de  y^  et  de  r..  qui  ne  devront 
pas  changer  quandj)'i  et  j'3  augmenteront  respectivement  de  «iT  et  7i2T. 

Mais  nous  trouverons  une  infinito  de  séries  qui  satisfont  à  ces  conditions. 
Comment  distinguer,  parmi  celles-là,  celles  qui  doivent  entrer  dans  les 
égalités  (4)"'  i^Jous  avons  vu  plus  haut  que  dans  notre  mode  de  représentation 
géométrique,  la  solution  périodique  considérée  est  représentée  par  une  courbe 
fermée  et  que,  par  celte  courbe  fermée,  passent  deux  surfaces  asymptotiques. 
On  passe  de  l'une  à  l'autre  en  changeant  ^/p  en  —  yjj.. 

Si  donc  dans  les  équations  (2)  on  change  yiJ.  on  — \/(j.,  on  obtient  une 
seconde  surface  asymptotique  qui  doit  couper  la  première. 

En  d'autres  termes,  si  l'on  considère  les  deux  surfaces  asymptotiques  ainsi 
obtenues  comme  deux  nappes  d'une  même  surface,  on  peut  dire  que  cette 
surface  a  une  courbe  double. 

Soit  si  et  s^  la  somme  des  p  premiers  termes  des  séries  5,  et  s-i,  les  équations 

...  (  ^i  =  -«î(yi>.)'"-.  v^)>      ■^^•2=-«?(.ri,.V2,  \/î^), 

représenteront  deux  surfaces  qui  difîéreront  peu  des  deux  nappes  dont  je  viens 
de  parler  et  qui  par  conséquent  devront  se  couper. 

Si  l'on  considère  ces  deux  surfaces  comme  deux  nappes  d'une  surface 
unique,  on  peut  dire  que  cette  surface  unique  présente  une  courbe  double. 

Nous  verrons  dans  la  suite  que  cette  condition  suffit  pour  faire  distinguer  les 
séries  s^  etio  parmi  toutes  les  séries  de  même  forme  qui  satisfont  formellement 
aux  équations  (5). 

17.  —  Première  approximation. 

Reprenons  nos  hypothèses  ordinaires,  à  savoir  :  que  quatre  variables,  deux 
linéaires  Xt  et  x^,  deux  angulaires  )-,  ely»  sont  liées  par  les  équations 


/x, 

dF 

dx.          dF 

dy^ 

dF 

dy. 

dF 

dt 

^y,' 

dt         dy. ' 

dt 

dxx 

dt 

dx. 

Que  la  constante  C  des  forces  vives  étant  regardée  comme  une  des  données 
de  la  question,  ces  quatre  variables  satisfont  à  l'équation 
(2)  F(x,,  Xi,yi,yi)  =  C, 

de  telle  façon  qu'il  n'y  en  a  que  trois  d'indépendantes. 


ET    LES   ÉQUATIONS    DE   LA    DYNAMIQUE.  4" 

Que  l'on  a  adoplé  un  mode  de  représentation  géométrique  tel  qu'à  toute 
situation  du  système  correspond  un  point  représentatif  et  réciproquement. 

Que  F  dépend  d'un  paramétre  très  petit  fx,  de  telle  façon  qu'on  puisse 
développer  F  suivant  les  puissances  de  jjt.  et  écrire 

F  =  Fo-i-  ,uF,  +  |Ji-^F2.  .  .. 

Que  Fj  ne  dépend  que  de  Xi  et  x-.  et  est  indépendant  de  y^  et  de  y^. 
Ces  conditions  sont  remplies  dans  le  cas  particulier  du  problème  des  trois 
corps  qui  nous  a  servi  d'exemple  au  paragraphe  précédent. 

Supposons  que  pour  certaines  valeurs  de  Xi  et  de  x-i,  par  exemple  pour 


les  deux  nombres  —  ^-^  et  —  -3— ^  (que  j'appellerai  pour  abréger  «,  et  n.,)  sont 

commensurables  entre  eux. 

D'après  ce  que  nous   avons    vu    dans   le    paragraphe   11,    à   chaque  valeur 

commensurable  du  rapport  —  correspond  une  équation  -r-^  ^  o,  qui   portail 

le  n"  7  dans  le  paragraphe  cité,  et  à  chaque  racine  de  celte  équalion(7)  corres- 
pond une  solution  périodique  des  équations  (  t). 

Nous  avons  vu  ensuite  dans  le  paragraphe  12  que  le  nombre  des  racines  de 
l'équation  (7)  est  toujours  pair,  que  la  moitié  de  ces  racines  correspond  à  des 
solutions  périodiques  stables  et  l'aulre  moitié  à  des  solutions  instables. 

Les  équations  (i)  ont  donc  si  [j.  est  assez  petit  des  solutions  périodiques 
instables. 

Chacune  de  ces  solutions  périodiques  sera  représentée  dans  le  mode  do 
représentation  adopté  par  une  courbe  trajectoire  fermée. 

Nous  avons  vu  au  paragraphe  13  que  par  chacune  des  courbes  fermées  qui 
représentent  une  solution  périodique  instable,  passent  deux  surfaces  trajec- 
toires dites  asymptotiques  sur  lesquelles  sont  tracées  en  nombre  infini  des 
trajectoires  qui  vont  en  se  rapprochant  asymplotiquement  de  la  courbe  trajec- 
toire fermée. 

Les  équations  (i)  nous  conduisent  donc  à  une  infinité  de  surfaces  trajectoires 
asymptotiques  dont  je  me  propose  de  trouver  l'équation. 

Voyons  d'abord  sous  quelle  forme  se  présente  en  général  l'équation  d'une 
surface  trajectoire.  Cette  équation  pourra  s'écrire 

-ri  =  <I)|()-,,_rn),        x^.=  *-2(.ri,.r2), 


jli  SUR  LE  PROBLÈME  DES  TROIS  CORPS 

<t>i  ot  ^^J  élanl  deux  fonctious  de  )i  cl  do  )■■,  (|iii  doivciil  être  clioisles  de  telle 
sorte  i]iie  Fou  ail  idouliqueinent 

F(<I),,  <I>j,  .iw.Vî)  =  C. 

Ces  deux  fonctious  ^^l  et  'b,  devront  d'ailleurs  satisfaire  à  deux  ('■qualions 
aux  dérivées  pnrliolles 

tix\   dvi        dx-i  dvi        dyi  '  d.xt   dvi        dx-i  dvi        dya 

Il  pourrait  d'ailleurs  nous  suffire  d'euvisager  la  première  de  ces  équations, 
car  on  peut  en  faire  disparaître  x-i^  en  remplaçant  cette  variable  par  sa  valeur 
que  l'on  peut  tirer  de  (2)  en  fonction  de  .ri,  de  j)'i  et  de  j'a- 

Voici    comment    nous    procéderons    pour    intégrer    les    équations    (3)    en 

supposant  que  X\  et  x-^  sont  très  voisins  de  x\  et  de  x",  et  que  le  rapport  —  est 

commensurable. 

Nous  supposerons  que  Xi  et  x^,  sont  développés  selon  les  puissances  de  \ \i- 

el  nous  écrirons 

(  .r  I  =  .r?  +  X I  \]\x  -h  j;;  n  -f-  x\  [x  vV  -»-•.■, 
(4)  j  ,_ 

(  a;»  =  jcS  -H  x\  \ \i.  +  x\\i.  -r-  x\\i.  \/|ji  -i-  .  .  . , 

et  nous  chercherons  à  déterminer  les  fonctions  x\  de  telle  façon  qu'en 
substituant  dans  les  équations  (3)  à  la  place  de  x^  et  de  x-^  leurs  valeurs  (4), 
ces  équations  soient  satisfaites  formellement  (  '  ). 

Si  dans  F  nous  substituons  à  la  place  de  .ri  et  de  x-i  leurs  valeurs  (4), 
F  deviendra  développable  suivant  les  puissances  de  \j \j.  et  l'on  pourra  écrire 

F  =  Ho-i-  v^jiMin-  i-tllsH-  |x  \/(JiIl3-t- 

On  voit  d'ailleurs  sans  peine  que 
H„=Fo(a;î,  x\), 

II  1-/0        n  \  f/     1    ..    '''"F"  1       I        ''^^fo  /      iNo    "^'Fo    I  „  , 


Cj  Si   xi   et  x\   étaient  choisis  de   telle  sorte   que  le  rapport    -'   soit   incommensurable,    on 

pourrait  se  contenter  de  développer  x,  et  x,  suivant  les  puissances  de  (j.  (et  non  de  v^V)-  '^" 
arriverait  ainsi  it  des  si'ries,  qui  Ji  la  vérité  ne  seraient  pas  convergentes  au  sens  géométrique 
dn  mot,  mais  qui  comme  celles  de  M.  Lindstedt  pourraient  rendre  des  services  dans  certains 
cas. 


ET    LES   ÉQUATIONS   DE    LA   DYNAMIQUE.  4l3 

el  plus  généralement 

&/i  ne  dépendant  que  de  y-i,  J'-2,  ^1,  ^\,    ■  •  ••  ^î'%  ■2"°i  ^l-   ■  ■  •>  -^i""»  et  en 
posant  pour  abréger 


La  première  des  équations  (3)  nous  donne  alors,  en  égalant  les  puissances 
semblables  de  yZ/j^,  une  suite  d'équations  qui  nous  permettront  de  déterminer 
successivement  x\,  x\,  j;J,  .  ,  . .  t\. 

Nous  pouvons   toujours   supposer  que   «2=0.    Car  si  cela  n'avait  pas  lieu 

nous  poserions 

x'[  =  axi   -  bx-,,         y"  =       dfi  —  cj», 
x",  =  cxi-i-  dx-2,         yl  =  —  6)1  -I-  ayi, 

a,  b,  c,  d  étant  quatre  nombres  entiers  tels  que 

ad  —  bc  ^\. 

Après  ce  changement  de  variables  les  équations  conservent  la  f<jrnie 
canonique. 

La  fonction  F  qui  est  périodique  de  période  27:  par  rapport  à  j'i  et  à  j'^,  est 
encore  périodique  de  période  27:  par  rapport  à  y'[  et  à  y\.  Le  changement  de 
variables  n'a  donc  pas  altéré  la  forme  des  équations  (i). 

Les  nombres  iii  el  «j  sont  remplacés  par  deux  nouveaux  nombres  n'[  et  n 
qui  jouent  par  rapport  aux  équatious  transformées  le  même  rôle  que  «j  et  n-^ 
par  rapport  aux  équations  primitives  et  l'on  a 

n'\  =  diii  —  c/j..,         rtô  =  —  biii-\-  aiii. 

Mais  le  rapport  de  rii  à  n^  étant  commensurable  par  hypothèse,  il  est  toujours 
possible  de  choisir  les  quatre  entiers  a,  6,  c,  d  de  telle  sorte  que 

Nous  pouvons  donc,  sans  restreindre  la  généralité,  supposer  que  n..,  soit  nid; 
c'est  ce  que  nous  ferons  jusqu'à  nouvel  ordre. 

Nous  supposerons  en  même  temps  «,  T  =  ■m. 

Si  après  celte  simplification,  nous  égalons  les  coefficients  de  y/p.  dans  les 

deux  membres  des  deux  équations  (3),  il  viendra 

dx\  dx\ 

(5)  —«,_—=—/(,—-=  o, 

'0  1  «)  1 

ce  qui  montre  que  x\  et  x[  ne  dépendent  que  de  j'^. 


4l4  SUR    LE    PROBLÈME    DES    TROIS   CORPS 

Égalons  maintenant  les  coeflicients  de  /jt  dans  les  deux  membres  de  la 
première  des  t'qualions  (3).  Il  viendra,  en  tenant  compte  des  équations  (5)  : 

(0)  -/i,-^  -  (M  j;+Nj.-',  )-;-!--+- -^  =o. 

Nous  nous  proposerons  dans  ce  qui  va  suivre  de  déterminer  les  fonctions  x'^ 
de  telle  façon  que  ce  soient  des  fonctions  périodiques  de  j^u  4"'  rie  doivent  pas 
être  altérées  quand,  y-^  conservant  la  même  valeur,  j'j  augmentera  de  271. 

Nos  fonctions  pourront  alors  être  développées  en  séries  Irigononiétriques 
suivant  les  sinus  et  cosinus  des  multiples  de  Vi-  Nous  conviendrons  de  repré- 
senter par  la  notation  [U]  le  terme  tout  connu  dans  le  développement  de  la 
fonction  périodique  U  suivant  les  lignes  trigonométriques  de  )i  et  de  ses 
multiples.   Dans  ces  conditions  on  aura 

[^J  =  - 

et  je  puis  écrire 

Gomme  x\  et  x\  ne  dépendent  pas  de  j  ,,  je  puis  écrire  plus  simplement 

La  première  de  ces  équations  montre  que  x\  se  réduit  à  une  constante.   Quant 
a  la  seconde,  elle  est  facile  à  intégrer.  On  a  en  efiel 


[rfr.,J        dy.. 


ce  qui  nous  donne  pour  l'intégrale  de  l'équation  (^) 

(8)  Ma:lx.l-t--(T|)^=[F,]  +  C,, 

Cl  désignant  une  constante  d'intégration. 

Mais  si  nous  regardons  la  constante  des  forces  vives  G  comme  une  des 
données  de  la  question,  nous  ne  pouvons  plus  considérer  les  deux  constantes  x\ 
cl  Cl  comme  arbitraires.  On  doit  avoir  en  elfel  identiquement 

F  =  Ho  +  v'iJi'Hi  -t-  \x\\«  -+-  ij.  v'jillj  -H  . . .  =  C 
ou 


ET  LES  EQUATIONS  DE  LA  DYNAMIQUE.  4lO 

OU 

Ainsi  la  conslante  x\  est  nulle,  ce  qui  apporte  de  nouvelles  simplifications 
dans  nos  équations. 

L'équalion  (8)  devient  en  effet 


••^^v/à^t^'J^*^'^- 


Nous  nous  contenterons  dans  ce  paragraphe  d'écrire  et  de  discuter  les  équa- 
tions de  nos  surfaces  trajectoires  en  négligeant  les  termes  on  p.  et  ne  tenant 
compte  que  des  termes  en  y  fj.. 

Nous  supposerons  donc  (]ue  j")  cl  x^i  sont  définis  en  fonction  de  ji  et  de  r-j 
par  les  équations  suivantes  : 


,  =  .,-;;  +  vV^-J  =  ^5  +  v/ï^^^'^  ^  ^"  ' 


.i\  =  .r'I  -+-  i',ij:\  =  xi,         .;■•>  =  x'i  -t-  v.'-'-.z-J  =  a,-?  -t-  1/  -^r([Fi]  -^  C.,  ). 

D'après  cela,  Xi  serait  une  constante  et  x^  une  fonction  àe  y-,  seulement,  indé- 
pendante de  j'i. 

Revenons  à  notre  premier  exemple  du  paragraphe  13.  Ce  que  nous  dirons 
s'appliquerait  également  aux  deux  autres  exemples,  mais  c'est  sur  le  premier 
que  je  veux  insister  parce  que  c'est  un  cas  particulier  du  problème  des  trois 
corps. 

Nous  avons  vu  que  l'on  pouvait  représenter  la  situation  du  système  par  le 
point P  qui  a  pour  coordonnées  rectangulaires  cosy',e'"'''',  sin_^',e' ''"•'',  Çsinj',, 
où 

I  ,  ,  ,  I  ,  ,  .         .«"2  —  J'  I  J.  —  G         —  x'.. 


y 


X  "2  .i 


2  -4-  J- 1         1^  -H  G  x\ 

r,=g  —  t,         !■,=  /. 

Nous  avions  observé  de  plus  que  les  variables 

X',   =  Xi-¥-Xn,  X'<,  =  X[ Xn 

forment  avec  j',  el y'.^  un  système  de  variables  canoniques. 

Nous  pouvons  donc  regarder  ^.  y\  et  y'.,  comme  un  système  particulier  de 
coordonnées  définissant  la  position  du  point  P  dans  l'espace,  de  sorte  que  toute 
relation  entre  ^,  y\  .y'„  est  l'équation  d'une  surface. 

Mais  ensuite,  nous  avons  dû  faire  un  autre  changement  de  variables. 

Nous  avons  posé 

x'\  =^  ax i  +  dx a,         y'\^^jK — cj'2,         jÔ  =  cxi -)- f/jTî,         j"  =  —  byi-\-ay«, 


4l6  SUR    LE    PROBLÈME    DES   TROIS    CORPS 

en  choisissaul  les  nombres  entiers  a.  b,  c.  cl  de  façon  à  annuler  le  nombre  (jue 
nous  avons  appelé  n". 

Après  ce  changemeul  de  variables,  nous  avons  supprimé  les  accents  devenus 
inutiles  et  nous  avons  restitué  le  nom  de  x,,  xj,  Vi^Yi  à  nos  nouvelles  variables 
indépendantes  a?",  x'I,   r'\  et_}'l. 

En  conséquence,  les  variables  que  nous  avons  appelées  a^i,  x^.  )i  ut  y.^  dans 
tout  le  calcul  qui  précède,  et  auxquelles  nous  conserverons  désormais  ce 
nom,  ne  sont  pas  les  mêmes  que  celles  que  nons  avions  désignées  par  les 
mêmes  lettres  dans  le  premier  exemple  du  paragraphe  15,  c'est-à-dire  G,  L, 
^  -  ;  et  /. 

Il  est  clair  que  notre  nouvel  j'i  el  notre  nouvel  j-j  sont  des  fonctions 
linéaires  de 

et  que  le  rapport  du  nouvel  x^  au  nouvel  Xi  est  une  fonction  linéaire  et 
fractionnaire  de  5- 

Nous  devons  conclure  de  là  :  que  l'on  peut  définir  complètement  la  position 
du    point  P   dans   l'espace   par  le  nouvel   ),,   le  nouvel  j.j   et  le  rapport  du 

nouvel  x-2  au  nouvel  Xi,  de  telle  façon  que  toute  relation  entre  j'i,  y.^,  et  -^  est 

l'équation  d'une  surface;  que  ce  système  particulier  de  coordonnées  est  tel  que 
l'on  peut  augmenter  ji  ou  ^o  d'un  multiple  de  2Tï  sans  que  le  point  P  change. 
L'équation   approximative    de   nos    surfaces   trajectoires,   en  négligeant  les 
termes  en  p.  sera 

Nous  nous  proposons  tout  d'abord  de  construire  les  surfaces  représentées 
par  cette  équation  approximative  (9). 

Observons  d'abord  quej'i  =  o  est  l'équation  d'une  certaine  surface  S  et  que 
la  portion  de  celle  surface  qui  nous  sera  utile  est  une  portion  de  surface  sans 
contact. 

En  effet  il  suffit  de  montrer  que  l'on  a 

Or  il  en  est  évidemmenl  ainsi,  car  si  l'on  pose 

F  =  Fo  +  jx  F I  -t-  jjt-  F.  -H  ... 


ET   LES   ÉQUATIONS    DE   LA   DYNAMIQUE.  4 '7 

il  viunl 

f/r,  r/F,  «TF, 

~î7  =  "i  —  K-7 1-'"-; — 1- 

at  ax\  axi 

Le  paramétre  p.  étant  très  petit,  -^  est  de"  même  signe  que  n^  et  «i  est  une 
constante  qui  est  toujours  de  même  signe. 

Donc  -^  est  toujours  de  même  signe  et  ne  peut  s'annuler.  c.  q,  f.  d. 

La  position  d'un  point  P  sur  la  surface  S  sera  définie  par  les  deux  autres 
coordonnées  y^  et  —  ;  ce  système  de  coordonnées  est  tout  à  fait  analogue  aux 

X\ 

coordonnées  polaires,  c'est-à-dire  que  les  courbes  —  =  const.  sont  des  courbes 

X  \ 

fermées  concentriques  et  que  le  point  P  ne  change  pas  quand  l'autre  coordon- 
née ya  augmente  de  ait. 

Reprenons  les  surfaces  définies  par  l'équation  (9)  et  étudions  leurs  intersec- 
tions avec  la  portion  de  surface  S  qui  a  pour  équation  j^i  =  o. 

Je  remarque  d'abord  que  \/p.  étant  très  petit,  ces  intersections  différeront 

fort  peu  des  courbes  —  =  const. 

Mais  pour  étudier  plus  complètement  la  forme  de  ces  courbes  d'intersection, 

il  faut  d'abord  rechercher  quelles  sont  les  propriétés  de  la  fonction  [F,]. 

Revenons  aux  notations  du  paragraphe  11.  Dans  ce  paragraphe  nous  avons 

posé 

Fi  =  SA  sin(«!]_ri-l-  m-iy,  -f-  maj-j-l-  h), 

A  et  Ji  étant  des  fonctions  de  a;°,  xl,  x^;  comme  nous  n'avons  plus  ici  que 
deux  degrés  de  liberté,  j'écrirai  simplement 

Fi  =  2  A  siii(«iij'i  -I-  /«2J2  -I-  h). 
En  faisant  ensuite 

_),  =  7ji<,         j-o  = /i.>< -I- tJTo,         u  =  (  «1  nii -)- ««mo)/ -)- niodi-l- /(, 

nous  trouvions 

Fi  =  2Asinw. 

Je  posais  ensuite 

i}*  =  VA  sino), 

la  sommation  X  s'étendant  à  tous  les  termes  tels  que  /«i /«i -|- 7/(2":;=  o;  d'où 

H.  P.  —  VU.  53 


4i8 


SUR    LE    PROBLEME    DES    TROIS   CORPS 


Dans  le  cas  qui  nous  occupe,  «2  est  nul;  la  condition  /jiini  + /«o'^a  =  o  se 
réduit  à  nii  =  o  et  l'on  a  y^  =  cr^  ;  il  vient  donc 

ili  =  W  A  sin(  /«ora-2-l-  A)  =  V  Asin(  m>  |o -H  /(  ). 

D'après  la  définition  de  [FiJ,  il  siiflit  pour  obtenir  cette  cjuanlité  de 
supprimer  dans  l'expression  de  F(  tous  les  termes  où  nii  n'est  pas  nul;  il  vient 
donc 

[F,]  =  gAsin(;«,j..+  /0  =  -l'. 

Ainsi  la  fonction  que  nous  appelons  ici  [Fj]  est  la  même  que  nous  désignions 
par  i\i  dans  la  première  Partie. 


Fis-  5. 


[F,]  est  par  conséquent  une  fonction  périodique  de  y.^  et  celte  fonction  est 
finie;  elle  doit  donc  passer  au  moins  par  un  maximum  et  par  un  minimum. 

Nous  supposerons  pour  fixer  les  idées  que  [Fj]  varie  de  la  façon  suivante 
quand  j>'2  varie  depuis  zéro  jusqu'à  27r. 

Pour  j'2=  0    [P'i]  passe  par  un  maximum  égal  à  (pj, 

Pour  l'a  =  ï)i  [F,]  passe  par  un  minimum  égal  à  cpn. 

Pour  j-3  =  r)o  [Fi]  passe  par  un  maximum  égal  à  (f^. 

Pour  j'o^rji  [F/J  passe  par  un  minimum  égal  à  cp^. 

Pour  la  =  27i[F,]  reprend  la  valeur  tp,. 

?1>  ?2>   ?3>   94- 

Ces  hypothèses  peuvent  être  représentées  par  la  courbe  précédente  dont 
l'abscisse  est  y^  et  l'ordonnée  [Fi]. 

Ayant  ainsi  fixé  les  idées,  je  puis  construire  les  courbes 


ET   LES   ÉQUATIONS   DE   LA   DYNAMIQUE.  4(9 

Nous  verrons  que  selon  la  valeur  de  la  constante  d'intégration  Ci,  ces  courbes 
affecteront  des  formes  différentes. 

Dans  la  figure  6,  j'ai  représenté  par  un   trait  plein  les   deux 

courbes  Ci  = — -a..,  et  Ci  =  ^  92  ;    ces  deux  courbes   ont  chacune   un  point 
double  dont  les  coordonnées  sont  respectivement  : 

xs      xi  X-,     x\ 

-=^,         /.=  ').         et        ^=-,         ^-,=  .1,. 

J'ai  représenté  par  un  trait  pointillé les  deux  branches  d'une  courbe 

correspondant  à    une  valeur  de  Ci  >  —  cp^. 

\ 

\ 
\ 

'  \  i^.H'u  '  h  ; 

\    \\V•.•.■^^^^^ —  -         ^^     /      / 
\     \ 

) 

Fig.  6. 

J'ai  représenté  par  le  trait  mixte ._  une  courbe  correspondant  à 

une  valeur  de  Ci  comprise  entre  —  92  et  —  94. 

J'ai  représenté  p^ir  le  trait  ponctué les  deux  branches  d'une  courbe 

correspondant  à  une  valeur  de  Ci  comprise  entre  —  92  et  —  9;,. 

Pour  Cl  r=  —  93  l'une  de  ces  deux  branches  se  réduit  à  un  point  représenté 

sur  la  figure  en  A,  —  = -^ ,   y„=zn^\  l'autre  branche  est  représentée  sur  la 

^  Xy  X\        -^   '  '  ^ 

figure  par  le  trait  xxxxxxx. 

Pour  Ci  compris  entre  — 93  et  — 91,  cette  seconde  branche  subsiste  seule; 
pour  C,  =^-91,  elle  se  réduit  à  son  tour  à  un  point  représenté  en  B  sur  la 
figure  et  ajant  pour  coordonnées  : 

x-,       x\ 

Enfin  pour  C,  <  —  91,  la  courbe  devient  tout  entière  imaginaire. 

Les  surfaces  définies  par  l'équation  (  i  )  ont  une  forme  générale  qu'il  est  aisé 
de  déduire  de  celle  des  courbes  que  nous  venons  de  construire. 


420  SUR    LE    PROBLÈME   DES    TROIS   CORPS 

Considérons  en  ellet  une  quelconque  de  ces  courbes  el  par  tous  ses  poiuls 
Caisons  passer  une  des  lignes  dont  l'équation  générale  est 

Xi 

Yï  =  const.  ;  —  =  const. 

Xi 

L'ensemble  des  lignes  ainsi  construites  constituera  une  surface  fermée  qui 
sera  préclsémeut  l'une  des  surfaces  définies  par  l'équation  (ç)). 

On  voit  par  là  que  ces  surfaces  seront  en  général  des  surfaces  fermées  triple- 
ment connexes  (c'esl-à-dire  ayant  mêmes  connexions  que  le  tore). 

Pour  Ci> — 9i  ou  pour  Ci  compris  entre  — cpa  et  — cpj  on  trouve  deux 
pareilUes  surfaces,  intérieures  l'une  à  l'autre  dans  le  premier  cas,  extérieures 
l'une  à  l'autre  dans  le  second. 

Pour  Cl  compris  entre  — cp^  et  —  0|,  ou  entre  —  «po  et — cp.,,  on  n'a  plus 
qu'une  seule  surface  triplement  connexe;  enfin  pour  Ci<;— cp,  la  surface 
cesse  complètement  d'exister. 

Passons  aux  quatre  surfaces  remarquables  : 

C= — 'çi,     — 9;,     — (p3     et     — 94. 

Les  surfaces  C,  = — ■  ça  et  Gi  =  —  cp(  présentent  une  courbe  double  et  ont 
mêmes  connexions  que  la  surface  engendrée  par  la  révolution  d'un  limaçon  de 
Pascal  à  point  double  ou  d'une  lemniscale,  autour  d'un  axe  qui  ne  rencontre 
pas  la  courbe. 

La  surface  Ci  =  —  93  se  réduit  à  une  seule  surface  fermée  triplement 
connexe  et  à  une  courbe  fermée  isolée;  enfin  la  surface  Ci  =  —  91  se  réduit  à 
une  courbe  fermée  isolée. 

Dans  le  paragraphe  H  nous  avons  envisagé  l'équation  -j^  =  o  qui  portait  le 

n"  7  dans  ce  paragraphe;  nous  avons  vu  qu'à  chacune  des  racines  de  cette 
équation  correspond  une  solution  périodique.  Mais  dans  le  cas  qui  nous 
occupe,  et  d'après  une  remarque  que  nous  venons  de  faire,  cette  équation  peut 
s'écrire 

=  0, 


dv. 


de  telle  sorte  que  les  solutions  périodiques  correspondront  aux  maxima  et  aux 
niinima  de  [Fi].  Dans  le  cas  actuel,  ces  maxima,  de  même  que  les  minima, 
seront  au  nombre  de  deux. 

Nous  aurons  donc  deux  solutions   périodiqtics   instables  correspondant  aux 
deux  courbes  doubles  des  surfaces  Ci  =  —  90  et  — 9,,  et  deux  solutions  pério- 


ET    LES'ÉQUATIONS   DE   LA    DYNAMIQUE.  "  421 

diques  stables,  correspondant  aux  deux  courbes  fermées  isolées  des  sur- 
laces Cl  =:  —  ©3  et  —  (pi. 

Quelles  sont  parmi  ces  surfaces,  celles  qui  diffèrent  peu  des  surfaces  asymp- 
toliques  et  les  représentent  en  première  approximation  ?  D'après  ce  que 
nous  avons  vu  au  paragraphe  16,  ce  seront  celles  d'entre  elles  qui  présentent 
une  courbe  double,  c'est-à-dire  les  surfaces  Ci  =  —  94  et  Ci  =  —  «yo- 

18.  —  Deuxième  approximation. 

Reprenons  les  équations  (  1  )  du  paragraphe  précédent  et  les  hypothèses 
faites  au  début  de  ce  paragraphe  ;  écrivons 

Xi  =  x"  -h  x\  ^[j.  -+-  x'\  jx  -h  x'ix  \/<x  -t-  .  .  . , 
Xi=  xî-h  x!,  \/a  H-  .rs  jji  -t-  j:  '  ji  y/'ij.  -t-  ...  ; 

imaginons  que  les  coefficients  de  ces  deux  développements  soient  des  fonctions 
de  jKi  et  de  j^  et  cherchons  à  déterminer  ces  coefficients  de  façon  que  ces 
équations  soient  compatibles  avec  les  équations  différentielles  (i),  du  para- 
graphe précédent,  c'est-à-dire  que  l'on  ait 

dF_rlF^^dF^'^       'JV__  >JV_,lxj.      ,J¥_,lxi       dV  _ 

dx\  dy\       dx-i  dy«       dY\         '  dxj  '/vi       dx-i  dy-i        dyi 

C'est  là  le  problème  que  nous  nous  sommes  proposé  plus  haut. 

Ce  problème  peut  être  présenté  sous  une  autre  forme  (en  se  plaçant  au  point 
de  vue  des  Vorlesungen  ilber  Dynamik). 

Si  Xi  et  X'i  sont  deux  fonctions  de  ji  et  de  jk^  satisfaisant  aux  équations  (  i  ), 
l'expression  Xidyi-\~  x-idy-,  devra  être  une  différentielle  exacte.  Si  donc  nous 
posons 

dS  =  JTi  c/j'i  -I-  x-idyn, 

S  sera  une  fonction  dey,  et  de  y.,  qui  sera  définie  par  l'équation  aux  dérivées 
partielles  : 

S  pourra  se  développer  suivant  les  puissances  de  yjj.  et  l'on  aura 

(3)  S  =  So-(-Si  ;'';j.  -I-  Sn  iji  +  S3  ,u  y/jJ!  -I-  .... 

So,  Si,  .  .  .,  S^,  .  .  .  seront  des  fonctions  de  yi  et  de  Vj  et  l'on  aura 


dSt  _     j.  dSk 


422  SUR    LE    PROBLEME    DES   TROIS    CORPS 

Je  1-appelIe  maintenant  quelles  conditions  nous  avons  imposées  dans  le  para- 
graphe précédent  aux  fonctions  .r*  et  ,ri  ;  nous  avons  supposé  d'abord  que  x^ 
et  xl  devaient  être  des  constantes.   On  a  alors 

So=  a:?ji  +  2-SjK.>. 

Si  nous  appelons  ensuite  ri ,  et  n,  les  valeurs  de  —  -^ —  et 7—  pour  a;(  ^=  x^, 

Xi=^xl,  ces  quanlitée  «i  el  «2  seront  encore  des  constantes.  L'analyse  qui  va 

suivre  s'applique  au  cas  où  le  rapport  —  est  commensurable.  Dans  ce  cas  on 

peut  toujours,  comme  nous  l'avons  vu,  supposer  «0  =  0;  c'est  ce  que  nous 
ferons  désormais,  comme  nous  l'avons  fait  dans  le  paragraphe  précédent. 

Nous  avons  supposé  en  outre  dans  ce  paragraphe  que  x'i  et  a;*  sont  des  fonc- 
tions périodiques  de  Yi  qui  ne  changent  pas  de  valeur  quand  on  change  yi 
el  ^^2  en  y,  -i-  avr  el  y^- 

Il  résulte  de  là  que  -1-^  el  -^  sont  des  fonctions  périodiques  par  rapport 

àjv'i  et  que  l'on  peut  écrire 

(4)  S,=  ^j,+  S',, 

Ik  étant  une  constante  et  S',  une  fonction  périodique  de  j',. 

Supposons  que    dans  le  premier  membre  de  l'équation  (2)  :   FI-t—j  -3—' 

j'4,  ynj,  on  remplace  S  par  son  développement  (3);  on  verra  que  F  deviendra 
développable  suivant  les  puissances  de  yiJ.  et  qu'on  aura,  ainsi  que  l'on  a  vu 
dans  le  paragraphe  précédent  : 

F  =  Ho-I-  Hi  \/iJ.  -h  IIoi-i  -+-  IIjiJ.  ^/|x  -H  .  .  ., 

les  H  étant  des  fonctions  de  y,,  de  yn,  et  des  dérivées  partielles  de  So,  S,, 
Sa,  etc. 

On   voit   d'ailleurs   que  Hn    dépendra   seulement   de   S,,,  H,    de  S„    et  Sj, 

Ho  de  S„,  S,  et  S2,  H3  de  Sq,  Si,  So,  S3,  etc. 

On  trouve  d'ailleurs  : 

ll„-=Fo(xî,  ^§)  =  C, 

,,  r/S, 

II,  =—  /11— — ) 

II»  =—  «1  -; h  AS,  -(-  Ko, 

f/j, 

11,  =-rt,  4^-i-2AS.,-4-K,, 


n,  -j-^-h  2AS;,_,  -I-  K,,, 
a.  V  \ 


ET   LES   ÉQUATIONS   DE   LA   DYNAMIQUE.  423 

OÙ  l'on  a  pos(^  pour  abréger  : 

et  où  Kp  ne  dépend  que  de  Sq,  Si,  .  .  . ,  jusqu'à  Sy,_2. 

Cela  posé,  pour  déterminer  par  récurrence  les  fonctions  Sp,  nous  aurons  les 
équations  suivantes  : 

Ho=C,        Hi  =  o,        Ho=o,         ...,        H/j=o. 

Si  l'on  supposait  que  les  fonctions  So,  Si,  ...,  Sp_i  fussent  entièrement 
connues,  l'équation  Hj,  =  o  ou 

dyt.  ' 

déterminerait  la  fonction  S,,  à  une  fonction  arbitraire  près  de  j^- 

Mais  ce  n'est  pas  tout  à  fait  ainsi  que  la  question  se  présente. 

Supposons  que  l'on  connaisse  complètement  So,  Si,  .  .  .,  Sp_2  et  que  l'on 
connaisse  Sp_i  à  une  fonction  arbitraire  près  Ae  y^- 

Par  hypothèse  les  dérivées  de  So,  Si,  ...,  Sy,_2,  Sy,_i  sont  des  fonctions 
périodiques  de  jci  ;  donc  Kp  et  ASp_,  seront  des  fonctions  périodiques  de  j)', . 

Désignons  par  [U]  comme  nous  l'avons  fait  dans  le  paragraphe  précédent  la 
valeur  moyenne  de  U  qui  est  une  fonction  périodique  de  j,. 

Sp  doit  être  de  la  forme  (4);  nous  en  concluons  que        "^'      doit  être  une 

constante  -^  indépendante  de  j'^,  de  sorle  que  l'équation  (5)  nous  donne 

(6)  2[AS^_,]  +  [K„]  =  Xp, 

et  cette  équation  déterminera  complètement  Sp_)  (si  l'on  suppose  que  l'on  se 
donne,  soit  arbitrairement,  soit  suivant  une  loi  quelconque,  la  constante  ï-p). 

Nous  trouvons  d'abord  l'équation 

dSi 
Hi  =  o         ou         -r —  =  o, 

qui  nous  montre  que  S,  est  une  fonction  arbitraire  dejK^- 
Nous  en  déduirons 


dyi   dyt       '    dy._   dy^. 


[nous  posons  pour  abréger  : 


_M=i^,  -N=    ^^-^P» 


dy\dV  {dxiy 

comme  nous  l'avons  fait  dans  le  paragraphe  cité]. 


424  SUR    LE    PROBLÈME    DES   TROIS   CORPS 

L'équaliou  quo  nous  iroiivoiis  ensuite  en  égalant  à  z(''ro  la  valeur  moyenne 

de  H-,  est  la  suivante  : 

[AS,J  +  [K,]  =  X,. 


Or 


D'autre  pari, 


-— K|-;)'=i^^-i^ 


K,=  F,(^?,  x!!,y,,  rO- 


X.j  est  une  constante  qui,  ainsi  qu'il  est  aisé  de  le  voir,  est  prt'cisément  celle  que 
nous  avons  appelée  —  Ci  dans  le  paragraphe  cité. 
11  vient  donc 


dy..      V 


|([F.]  +  C,). 


S)  est  ainsi  entièrement  déterminé  à  une  constante  près  ;   mais  nous  pouvons 
laisser  cette  constante  de  côté,  elle  ne  joue  en  efl'el  aucun  rôle,  puisque  les 
fonctions  S  n'entrent  que  par  leurs  dérivées. 
L'équation  (6)  devient  ensuite 

Dans  le  second  membre  tout  est  connu;  K,,  ne  dépend  que  de  So,  S,,  .  .  ., 
S/,_.j  ;  — -f^—  est  connu  puisque  S^,_i  est  supposé  déterminé  à  une  fonction 
arbitraire  près  de  j^n- 

D'autre   part  -z-^   est  indépendant  de  j'i  ;  le   premier   membre  peut  donc 

s'écrire  N-^^        /'~'  u    de  sorte  que  l'équation  (7)  nous    donnera        "/'~' 

en  fonction  de  72.  Nous  connaîtrons  donc  [S/,„i]  à  une  constante  près  et  cette 
constante  qui  ne  joue  aucun  rôle  peut  être  laissée  de  côté. 

Nous  connaissons  d'une  part  Sp_i  à  une  fonction  arbitraire  près  de  y^', 
d'autre  part  nous  connaissons  [S,,_i]  en  fonction  àc  y.,;  donc  Sy,_i  est  entiè- 
rement déterminé. 

La  constante  C)  jnijc  un  rôle  prépondérant.  Supposons  d'abord  qu'elle  soit 
supérieure  à  la  valeur  que  nous  avons  appelée  —  Çi  dans  les  paragraphes  cités 

je 

et  par  conséquent  que  [Fj  ]  +  C|  soit  toujours  positif  et  -^  toujours  réel  et  je 

pourrai  ajouter  toujours  positif,  parce  (jue  je  suis  libre  de  prendre  le  signe  -f- 
devant  le  radical. 


ET    LES    ÉQUATIONS    DE    LA    DYNAMIQUE.  425 

Je   dis  que  dans  ce  cas,  on  peut  choisir  arbitrairemenl  les  constantes  1  et 
que  -T-^  et  -—-  sont  des  fonctions  périodiques  non  seulement  de  >-, ,  mais  encore 

de  yn.  {Sp  est  encore  de  la  forme  ^p^'i  +  K/> J'i.>  +  SJ,  >  '^p  el  iJ-p  étant  des  constantes 
pendant  que  S^^  est  périodique  de  période  2r.  tant  par  rapport  à  ji  que  par 
rapport  à  j'o). 

En  effet,  supposons  que  cela  soit  vrai  pour 

dSi        dSi        r/So        it'So  rfS^_2        f/S,,_2        dSp—t 

dyi^      dfi''      (/>•,'      dy,^  '        dyi    '        dyi,    '        <//,    ' 


je  dis  que  cela  sera  vrai  encore  pour  — y—^  et 


En  effet,  nous  avons  par  hypothèse  : 


dip-i 


=  J;A„,,,„,cos(»ii ji-f-  nuyi-+-  a), 


les  A  et  les  a  étant  des  constantes,  m,  et  «îa  étant  des  entiers. 
On  aura  ensuite  par  définition 

Mais  on  doit  avoir 

2[^Sp-,]  +  [Kp_,]  =  \p_, 

et  par  conséquent 

L  -^^  1  J  ~  «1  ' 

)./,_(  étant  une  constante;  on  en  conclut  que 


Ao.m,  =  o         pour     w,  ==  o,         Ao.o=  — £— ^' 


Il  vient  ainsi 


mj  et  mj  prenant  toujours  sous  le  signe  2  toutes  les  valeurs  entières  telles  que 

TOi^O. 

Ainsi,  pour  que  S,,_i  soit  de  la  forme  voulue,  il  suffit  que       "/'"'     soit  une 
fonction  périodique  de  i  ;.•  Or        ,^~'     est  défini  par  l'équation 

Kp  ne  dépendant  que  de  Si,  Sj,  .  .  . ,  S^^^n  sera  périodique  en  j',. 

H.  P.  -  VII.  54 


l26  SUR    LE    PROBLÈME   DES   TROIS   CORPS 


[1^] 


est  nae  constante  — —  ;  de  plus  -4-^  est  une  fonction  périodique  de  Vi 
Ils  '         «) 2  r  T  •'  " 

<7î</  ne  s'annule  jamais. 

11  en  n^sulte  que  ,^~'  peut  être  développé  suivant  les  sinus  et  les  cosinus 
des  multiples  de  la.  On  a  ensuite 

dSp  ,   .     ,. 

ce  qui  montre  que  -7-^  est  périodique  eny^  et^'o. 

Ainsi  en  choisissant  pour  C|  une  valeur  supérieure  à  —  cp^  et  en  choisissant 
ensuite  les  autres  constantes  X:,,  X.,,  .  .  .  d'une  façon  arbitraire,  on  trouve  pour 

-; —  et  -j—  des  séries  ordonnées  suivant  les  sinus  et  les  cosinus  des  multiples 

de  yt  et  dey^.  Ces  séries,  quoique  divergentes,  peuvent  rendre  des  services  dans 
certains  cas. 

Passons  maintenant  au  cas  de  C|= — 94,  qui  ainsi  que  nous  l'avons  vu  au 
paragraphe  17  est  celui  qui  correspond  aux  séries  qui  représentent  as_ymptoti- 
quement  les  surfaces  asymptotiques. 

L'expression  [Fi]  +  C(  n'est  jamais  négative,  mais  elle  devient  nulle  pour 
une  certaine  valeur  de  y-,  que  nous  avons  appelée  rj:,  dans  le  paragraphe  cité. 
Je  supposerai  dans  ce  paragraphe  que  cette  valeur  est  nulle;  j'ai  le  droit  de  le 
faire,  puisque  cela  n'implique  qu'un  choix  particulier  de  l'origine  des  j-j. 

Écrivons  donc  [F,]  +  Ci  sous  forme  de  série  trigonomélrique  : 
[Fi]  -+-  Cl  =  i  A„,  sin  my«-+-  SB^  cosmy^- 

Pour  j'î  =  0,  cette  fonction  s'annule  ainsi  que  sa  dérivée,  puisque  la  fonction 
étant  toujours    positive,  zéro   est  pour   elle  un  minimum.  Il  en  résulte  que 

l'expression  suivante  :  - — '''*''''  est  développable  suivant  les  sinus  et  cosinus  des 

sins^ 
2 

multiples  de  y-^;  c'est  une  fonction  périodique  de  jo  qui  ne  s'annule  jamais  et 

ne  devient  jamais  infinie. 

11  suit  de  là  que  l'on  peut  écrire 

.    r» 
sin  '— 

=^  =  SA,,,  fiosm>a-+-  SB,,,  sinmi., 


et  par  conséquent 


\/[F.J  +  ( 


dy-i  "~  X  Am  cos  myi  +  S  li^  sin  mj. 


ET   LES    ÉQUATIONS   DE   LA   DYNAMIQUE.  42? 

Nous  pourroas  écrire  mainlenaat  l'équation  (7)  sous  la  forme  suivante  : 

v/ÔN  sin  ^  ^^g 

^^'^  SA,„  cosmy,-+-  SB,,,  sin  my.  [~^  J  ="  '-P  +  */'<^ -''"-)' 

4»p  étant  une  fonction  connue  de  ^o- 

Cela  posé,  je  me  propose  de  démontrer  que  -j-^  et  -^  sont  des  fonctions 

périodiques  de  Vi  et  de  j'o,  dont  la  période  est  ii:  par  rapport  à  -)•,  et  4't  par 
rapport  À  y-,. 

Supposons  en  effet  que  cela  soit  domonlré  pour 


rfS, 

o'S, 

dS, 

dS. 

dS,., 

dSp-, 

dSp-, 

dy.' 

dy,' 

dy.' 

dy,'      •■ 

'        dy,    ' 

dy,    ' 

dy, 

/'  '    est   une   fonction   périodique   de  j-,   et  de  j'-.. ;   d'autre  part  sa   valeur 
moyenne 

L    dy,    J        n, 
est  une  constante  indépendante  de  y^.  Nous  pourrons  donc  écrire 

Sp-i=  —y.p-,y,-^^p-,(yi,  ri)-^Z,p-,(y,), 

9p_i  (jKi)  J'a)  étant  une  fonction  périodique  de  ri  et- J'si  et  ^p_,   une  fonction 
arbitraire  de  >'o  seulement.  11  vient  ensuite 

dSj,-i  _  ddp—,        dZ,p-, 
dy'.     ~     dy,  dy,    ' 

d'où 

d[Sp-,]  _  o'[e^  ^  dKp->       g,       ^S;,_i  _  d\Sp-,]  _  dfip-,  _  di^p^,] 


dyn  dy,  dy,  dy,  dy,  dy,  dy, 

ic  y  r  ^        1 

ce  qui  montre  que      ,^~'    —        /^~'    est  une  fonction  périodique  de  j)  etdej^s- 
F^j'équation  (7')  montre  que  cela  est  vrai  également  de     —f—     ^^  P^r  consé- 
quent de     y"'  (quelle  que  soit  d'ailleurs  la  constante  'kp)  et  l'équation  (5) 

montre  que  cela  est  vrai  de  —r-!-- 
1  dy. 

Cela  sera  donc  vrai  des  fonctions  —r^  et  -r-^  quel  que  soit  l'indice  p. 

dy,         dy,    1         ^  ^ 

Il  importe  toutefois  de  remarquer  que  si  ces  fonctions  sont  périodiques,  ce 
n'est  pas  une  raison  suffisante  pour  qu'elles  puissent  être  développées  suivant 

les  sinus  et  cosinus  des  multiples  de^i'i  et  de  —•  En  effet,  ces  fonctions  ne  sont 


428  SUR    LE   PROBLÈME    DES   TROIS   CORPS 

pas  toujours  fiuies,  sauf  pour  un  clioix  parliculior  des  constantes  l^,;  il  est  aisé 
di'    s'en   rendre    compte,    car   l'équation    (7'),    d'où    l'on  doit  tirer  la  valeur 

de     — j^  \i  a  en  facteur  dans  son  premier  membre  sin  ^  ■  Donc  l'expression 

de         ,''~'     couliendra  sin  ^'  au  dénominateur. 

Les  dérivées  des  /onctions  S^^  pourront  donc  devenir  infinies,  mais  seulement 
pour 

sin  ^^  =0         ou  )'«=2/v'Jt. 

2  ■' 

Si  j'2  a  une  valeur  dilTérente  de  2A'7r,  ces  dérivées  ne  deviennent  infinies  pour 
aucune  valeur  de  >'i  ;  elles  peuvent  donc  se  développer  suivant  les  sinus  et 
cosinus  des  multiples  de  j'i. 

Nous  pouvons  donc  écrire  par  exemple  : 

/~    =  — X,,_i+ S  A„j  cosmvi-l- SB„j  sin/nj-i, 

A,„  et  B„,  étant  des  fonctions  périodiques  de  y-2  qui  peuvent  devenir  infinies. 
Imaginons  maintenant  que  les  constantes  1/,  d'indice  impair  soient  toutes 

nulles;  je  dis  que  -r-^  et  -^  ne  changeront  pas  quand  on  changera  y^  en 

y-2 -h  2  7:  toutes  les  fois  que  l'indice/?  sera  pair  et  qu'au  contraire  ces  deux  fonc- 
tions changeront  de  signe,   sans  changer  de  valeur  absolue,  quand  on  chan- 
gera j'^  eny.2+  27:,  toutes  les  fois  que  l'indice  p  sera  impair. 
Je  suppose  que  le  théorème  soit  vrai  pour 

dSf        f/Si        c/S-2        't'S-i  o'S,,— i        dSp—-2        dSp—i 

dvi        dy-_        dy\        d)  ■;  dy^  d\  1  <h\ 

et  je  me  propose  de  démontrer  qu'il  est  vrai  également  pour      /'  ''  et  -j-^' 
Si    "  /'~'  est  muliplié  par  ( —  i)''~'  quand  j'o  se  change  en  ^^2  +  2  7r,  il  en  sera 

de  même  de 

«'S„- 


dy^ 

Nous  avons  trouvé  en  efTel 


[^]- 


F  '  =  —  ).„_!-*-  2A,„cosmji-+-  2B,„  sin  m/,, 
ayi  /il 

A„,  et  Bm  étant  des  fonctions  périodiques  de  j'j. 

Si      .^~'  est  multiplié  par  ( — i)''"'  quand  j-o  augmente  de  27;,  il  en  sera  de 


ET    LES   ÉQUATIONS   DE   LA   DYNAMIQUE.  429 

mêuie  de  A,„  et  B,,;  et  des  dérivées  de  ces  fonctions  par  rapport  à  ^^2-  H  en  sera 
donc  encore  de  même  de 

dSp—t       rf/S„_i"|      ■^  «fAm   sin  m  )  1 


dy,    J  -Zi   dy. 


dy2         L    '^J'2    J      ■^  ^fy^         "*  •"^  d}t         m 

Nous  avons  maintenant  à  montrer  que  cela  est  vrai  de     — j^^    ■ 

Pour  cela  il  est  nécessaire  d'étudier  de  quelle  manière  K,,  dépend  des  fonc- 
tions S|),  Si,  S2,  ...,  S^_i.  Je  me  propose  d'établir  que  l'ordre  de  tous  les 
termes  de  Kp  par  rapport  aux  dérivées  des  fonctions  d'indice  impair  Si,  S3, 
S5,  .  .  .  sera  de  même  parité  que/». 

En  efTet,  en  faisant  dans  F(  -r^i  —, —  i  vi ,  y.  1 , 

\(/)i     dy,    -      '■    -/ 
S  =  So  -H  S  1  v/jJ'  +  S;  li  -I- .  . . , 

nous  avons  trouvé 

F  =  Ho-t-  H,  \/j][-hHo|jL  +  .... 

Si  je  change  y^j.  en  — y'pL  et  qu'en  même  temps  je  change  Si,  S;,.  S5,  ...  en 
—  Si,  — S;i,  — S5,  .  .  .  sans  loucher  aux  fonctions  d'indice  pair,  l'expression 
de  F  ne  devra  pas  changer. 

Donc  H/j  devra  se  changer  en  (  —  i)''H/<. 

Cela  montre  que  l'ordre  de  tous  les  termes  de  II,,  par  rapport  aux  dérivées 
de  S,,  .S3,  S5,  .  .  .,  devra  être  de  même  parité  qiie/j.  Il  devra  donc,  comme  je 
l'ai  annoncé,  en  être  de  même  des  termes  de  K,,,  puisqu'on  obtient  K,,  en 
supprimant  dans  H^,  les  termes  qui  dépendent  de  Sj,_,  ou  de  S^. 

Cela  posé,  changeons  y-,  en  ^2+  271;  les  dérivées  de  Sq  ne  changeront  pas 
si  (J  est  pair  et  au  plus  égal  à/>  —  2;  elles  changeront  de  signe  si  g  est  impair 
et  au  plus  égal  à. p  —  2.  Donc  K,,  se  changera  en  ( —  lYK/j. 

Reprenons  maintenant  l'équation  (^) 

<"  "f:['-|r]=-'-»i;[^]*i'^'i- 

/*"'     se 
change  en  ( —  i)''    —^-—    ,  et  y—  se  change  en  —  -3 — 

Nous  pouvons  même  dire  que  'k,,  se  change  en  ( —  ^Y'^^p- 

En  effet  cela  est  vrai  pour/»  pair,  parce  que  Ip  est  une  constante  indépendante 
de  y^;  cela  est  vrai  encore  pour/»  impair,  parce  que  nous  avons  supposé  que 
les  k-p  d'indice  impair  sont  tous  nuls. 


43o  SUR    LE    PROBLÈME    DES   TROIS   CORPS 

Il  résulte  de  là  que     '  y'~'     se  change  en  ( —  i)''   '         '""'     et  par  conséquent 

— r — en  ( — iV  ' — j- c.   o.   f.   d. 

</)  •  ^  '  ay^ 

Je  dis  malmenant  que  -r-^  se  changera  en  (  —  i  )''  -p-^  • 
Ecrivons  en  effet  l'équation  (5) 

(5)  rii-j-S-  =  7.ùiS>p-i^Kp; 

"JKi 

Kp  et  ASya-i  et  par  conséquent  le  second  membre  de  l'équation  (3)  seront  mul- 
tipliés par  ( —  i)''  quand  j'a  augmentera  de  27r.  Il  devra  donc  en  être  de  même 

du  premier  membre  et  de  -r-^-  c.   o.   f.   d. 

*^  dyi 

Je  vais  maintenant  démontrer  que  l'on  peut  choisir  les  constantes  \p  de  façon 
que  les  dérivées  des  fonctions  S^  ne  deviennent  pas  infinies  pour  j^.j^  ikn. 
Supposons  que  l'on  ait  choisi  les  constantes  X^,  X;,,  .  .  . ,  ^p-\  de  façon  que 

(/Si        c/Si  dSp_2       '/S/j—o        dSp^i 

dy,  '      dy-,  '  '         afr,    '         dy,    '         dyi 

restent  finies  et  que  les  constantes  Ig  d'indice  impair  soient  nulles;  je  nie  pro- 
pose de  choisir  Ip  de  façon  que      /'~'  et  -jt"  ^^  deviennent  pas  non  plus  infinies. 
Nous  verrons  en  même  temps  que  Ip  devra  être  nulle  si  p  est  impair. 
Il  est  clair  d'abord  que  si  — f^  reste  finie,  il  en  sera  de  même  de 

Reprenons  maintenant  l'équation  (7').  Le  coefficient  de  la  quantité  inconnue 
— -p^     s'annule  pour  y-^=  ikit;  pour  que  cette  quantité  inconnue  demeure 
finie,  il  faut  que  le  second  membre  s'annule  égalenient  et  que  l'on  ait 

'bp{lkT.)=Kp. 

Comme  4»^  ne  change  pas  quand  y.^  augmente  de  l^n,  il  suffira  de  prendre 
/r  =  o  et  /»  =  I  et  d'écrire 

(8)  <^p(o)  =  ^p{l:x)  =  Xp. 

Si/>  est  pair,  il  n'y  a  pas  de  difficulté,  on  a 

et  par  conséquent 

<I.^(o)  =  'I<p(2;c), 


ET  LES  ÉQUATIONS  DE  LA  DYNAMIQUE.  43l 

de  sorte  qu'il  suffit  de  prendre 
Si  au  contraire />  est  impair,  on  a 

'ï'/.0-'-)=— *p(j2-+-2-)  et  <P,,(0)=—^p{2K), 

de  sorte  que  les  équations  (8)  ne  peuvent  être  satisfaites  que  si  l'on  a 

*p(o)  =  *;,(2;t)  =  X^  =  o. 

Nous  avons  donc  à  démontrer  que  pour/j  impair,  *^,,{o)  est  nul. 

Soit  en  effet 

*p(o)  =  o: 

et  par  conséquent 

<I>^(2^)=  — a. 

Je  dis  que  a.  est  nul. 

Nous  allons  nous  appuyer  sur  un  leinme  qui  est  presque  évident.  Voici 
l'énoncé  de  ce  lemme  : 

Soient  cp)  et  tp.j  deux  fonctions  périodiques  et  de  période  in  par  rapport 
à  yi  et  à  yn.  On  sait  que  si  9  est  une  fonction  périodique  de  yi,  peu- 
exemple,  la  valeur  moyenne  de  -j^  est  nulle.  On  aura  donc 

les  intégrales  étant  étendues  ci  toutes  les  valeurs  de  y,  et  de  y^  depuis  zéro 
jusqu'à  1.T:. 

Il  est  nécessaire  pour  que  le  lemme  soit  vrai  que  les  fonctions  cpi  et  cpa  soient 
continues,  mais  leurs  dérivées  peuvent  être  discontinues.  Ces  dérivées  doivent 
seulement  rester  finies. 

Cela  posé,  nous  achèverons  de  déterminer  la  fonction  S,,_i  non  plus  par 
l'équation  (7'),  mais  par  l'équation  suivante  : 

(9)  i:KnCo.myXz\ii\\nmy,  =  -  ^  «os  ^^  +  $,  (  r.  ). 


Elle  ne  diffère  de  l'équation  (7')  que  parce  que  )/,  a  été  remplacé  par  a  cos  —  - 

Celte  équation  montre  d'abord  que       J'~^     est  une  fonction  périodique  de  yo 

et  de  période  27:  (je  rappelle  que/?  est  supposé  impair).  De  plus,  cette  fonction 
ne  devient  pas  infinie  pour  y^^  zkn,  parce  que  le  second  membre  de  l'équa- 
tion (9)  s'annule  pour  r^^  o  et  pour  y^  ^  2  7r. 


43 

2 

SUR   LE 

PR( 

)BLÈME 

l 

Posons 

ensuite 

• 

!:,= 

dS„ 
dr\ 

1 

:rfS, 

dy, 

+ 

dS. 

-+■ 

■^2  = 

dSo 
dy. 

1 

-t-  ,a- 

:dS, 

dy. 

+ 

dS. 

''dy.. 

+ 

ilZLl^c  £ 


■dS 


p-s 


p~\ 


\''f\, 


'If-i. 


dr.    ' 

T)  sera  une  fonction  di'j,,  de  y -2  et  de  pt.  définie  par  l'équation 

(10^  F(î,,  :„.,-,,., 0  =  0. 

Il  est  aisé  de  voir  que  Ço  est  entièrement  déterminé,  puisque  nous  connaissons 
maintenant  complètement  So,  S,,  .  .  .,  Sp_).  On  pourra  donc  tirer  yj  de  l'équa- 
tion (lo)  sous  la  forme  suivante  : 

■n  =  'lo  +  i^"  -^i  -I-  iJ-m  +  •  ■  • , 

les  Yji  étant  des  fonctions  périodiques  de /i  et  de  j'a,  de  période  27:  par  rapport 
à  _)'i  et  47^  par  rapport  à  yn. 
De  plus  on  aura 

dy-i        d}x        '       dy. 

Nous  n'avons  besoin  que  de  rio  ',  or  on  voit  tout  de  suite  que  yji,  est  donnée  par 
l'équation  suivante  : 

(11)  /ii-rio=  2  AS/,_i-f- K;,, 

qui  ne  diffère  de  l'équation  (5)  que  parce  que  l'inconnue  y  est  désignée  par  r)o. 
Celte   équation  montre  que  rj,,  est  une  fonction  périodique  de   >i  ;  il  faut 
chercher  la  valeur  moyenne  de  cette  fonction.  Si  l'on  se  reporte  à  la  signifi- 
cation de  l'équalion  (9),  on  verra  qu'elle  exprime  que  la  partie  moyenne  du 

second  membre  de  (  1 1)  est  a  cos  — '•  On  a  donc 


[•lo]  =   —  COS  —  • 
«1  2 

Ço  est  susceptible  de  deux  valeurs  difî'érenles  qui  se  permutent  l'une  dans 

l'autre,  soit  quand  on  change  y  p.  en  —  y/'pî,  soit  quand  on  change  j'o  en  y-2-\-  2t:. 

J'appellerai  o.j  la  plus  grande  des  deux  valeurs  de  Ç-.  et  J^^  la  plus  petite. 

De  même  Ç,  est  susceptible  de  deux  valeurs;  j'appellerai  cfi  celle  qui  corres- 
pond à  cp3  et  ■il,  celle  qui  correspond  à  '^lo- 

Enfin  7}  est  susceptible  de  deux  valeurs;  j'appellerai  r/  celle  qui  correspond 
à  92  et  r,"  celle  qui  correspond  à  ij;.;;  'Oi  est  susceptible  de  deux  valeurs  que 
j'appellerai  de  même  r/,  et  ri" . 


ET    LES   ÉQUATIONS    DE    LA    DYNAMIQUE.  4^3 

La  fouclion  cp^  est  piViodique  de  période  -ir.  par  rapport  À  yr,  en  eilet,  quand 
on  augmente yo  de  2  7r,  les  deux  valeurs  de  Ç-  se  permutent  entre  elles;  donc  9^ 
qui  est  toujours  égale  à  la  plus  grande  de  ces  deux  valeurs  ne  change  pas. 

Pour  la  même  raison,  cpi,  tj;!;  'j'^j  ''/»  '''')  '"'i  i  "'i,  seront  des  fonctions  de 
période  iT.  par  rapport  à  y.,. 

Des  définitions  précédentes,  il  résulte  que  91,  92,  '|i  et  <]i-j.  sont  des  fonctions 
continues,  quoique  les  dérivées  de  ces  fonctions,  de  même  que  r/ et  rj",  puissent 
être  discontinues. 

Nous  sommes  donc  dans  les  conditions  où  notre  Icmme  est  applicable  et  nous 
pourrons  écrire 


ou  encore 


i 


-, dy\  dy  «  =  o, 

dv« 


OU  enfin 

Cette  relation  devra  avoir  lieu  quel  que  soit  y.. 

Mais  quand  p.  tend  vers  zéro,  ri' —  ■/)'„  et  r"  —  r/,',  tendent  vers  zéro. 

Donc  on  aura 


(12)  //    T- '■/rirt')2=o 


pour 


Transformons  le  premier  membre  de  l'égalité  (12).  Je  remarque  d'abord 
que/;  étant  impair,  r;„  est  une  fonction  qui  doit  se  changer  en  —  r;o  quand  yn 
se  change  en  y.j-\-2n.  Il  suffit  pour  s'en  convaincre  de  se  reporter  à 
l'équation  (i  i).  Nous  avons  donc 

■n'o  =  — •iô  =  ±^o, 

Il  reste  à  voir  pour  quelles  valeurs  des  y  nous  devons  faire  r/„  =^  +  00  et  pour 
quelles  valeurs  des^j'  nous  devons  faire  r;',  ^  —  r),,. 
Si  nous  avons 


(i3) 

dSi            dSr.           „dS-, 
df2           dy^        ^   dy^ 

H.  P.  ■ 

-  VII. 

/'-3   ,0 


>o, 


dy-i 

55 


434  SUR   LE   PROBLÈME   DES  TROIS   CORPS 

nous  devrons  prendre,  d'après  notre  couvenlion  : 
et 

,  r/So  /-f/S,  r/S..  ,-r/Sn  V '/S„_, 

dy.,  (/v.  dyi  dyt  '  f/y« 

Si  au   contraire  le  premier  membre  de   l'inégalilé  (i3)  est  nég^ilif,    nous 
devrons  prendre 

dy-,  dy-,  '  dfi 

et 

,         ^/S„         ,-dS,  V'/S,,_, 

rf)  o  dy-,  dyi 

Tout  déjieud  donc  du  signe  de  premier  membre  de  l'inégalité  (  i3).  Égalons 
ce  premier  membre  à  zéro,  nous  obtiendrons  une  équation 

r/S,  a/S, 

(l4) h',X- h...=  o. 

dy-,  dy^ 

Cette  équation  peut  être  regardée  comme  définissant  j-j  en  fonction  de  j',  et 
de  fi. 

On  pourra  résoudre  cette  équation  et  écrire 

Observons  seulement  que  0  est  une  fonction  ))ériodique  de  période  n7r  par  rap- 
port à^)  et  que  celte  fonction  0  s'annule  identiquement  quand  on  y  fait  |jl  =  n. 
Par  conséquent  quand  yj  variera  de  0  à  0  +  2  7r,  on  aura 

■'"l'o  =  -*-  'Oo 

et  quand  y-,  variera  de  0  +  2  7t  à  0  +  /(Tr-  on  aura 

Nos  intégrales  doivent  être  étendues  à  toutes  les  valeurs  de  y-i  comprises 
entre  zéro  et  'it..  Mais  comme  r/f,  est  une  fonction  de  période  27:,  on  aura 

,0+57; 

ou 


r-"r"-t^r-'"r"'^"'' 


ET   LES   ÉQUATIONS   DE   LA   DYNAMIQUE.  435 

Quand  ;j.  leiidra  vers  zéro,  le  premier  membre  devra  tendre  vers  zéro  el 
d'ailleurs  0  tendra  vers  zéro,  on  aura  donc 


^i':^^y^^r.=r'(-{ 


■  dy, 
d'où 

On  a  donc 

a  =  o.  c.   Q.   F.   D. 

Il  résulte  de  là  que  si  l'on  annule  les  constantes  >:/,  d'indice  impair  et  si  l'on 

donne  des  valeurs  convenables  aux  consLantes  1.,,   d'indice  pair,  les  fonctions 

d'il,        d%„  f.    . 

-r-^  et  -H-  resteront  unies. 
dy\        dy« 

On  pourra  donc  les  développer  suivant  les  sinus  et  cosinus  des  multiples  de 

yi  et  de—;  les  multiples  pairs  de  —  entreront  seuls  dans  le  développement  si  p 

est  pair;  si  au  contraire  p  est  impair,  les  multiples  impairs  de  —  entreront 
seuls. 

Nous  aurons  alors  pour  les  équations  approximatives  de  la  surface  asjmp- 
to  tique 


/  —  '      n  I  —         n 


Ces  séries  ainsi  que  nous  l'avons  vu  sont  divergentes,  mais  si  l'on  arrête 
comme  nous  le  faisons  dans  les  équations  (i5)  au  «'*""'  terme,  l'erreur  commise 
peut  être  très  petite  si  \i.  est  très  petit,  ainsi  que  je  l'ai  exposé  plus  haut. 

Nous  avons  vu  que  la  quantité  appelée  plus  haut  a  est  toujours  nulle.  On 
peut  donner  de  ce  fiit  essentiel  une  autre  démonstration. 

Posons 

T  =  Si+ [xSaH- fJt.-Ss-4-.  .  .-f- [Jt  -    S/,_2, 
E  =  Oo  +  W^'.  +  |Ji-  -^i  + 

Je  dis  d'abord  que  T  est  une  fonction  périodique  de  j',  et  j'..,. 

En  clTel  ses  dérivées  -; —  el  -; —  sont  des  fonctions  périodiques;  on  a  donc 

(3  et  Y  étant  des  constantes  et  T'  étant  une  fonction  périodique  de  j'i  et  j'o. 


436  SUR  LE  PROBLÈME  DES  TROIS  CORPS 

On  en  conclut  (|ue 

-r—  et  -; — élanl  des  séries  iriffonomélriques  dont  le  terme  tout  connu  est  nul. 

Mais   les   fonctions  Si,  S.-,,  .  .  . ,  Sp_..,   étant  d'indice  impair,   leurs  dérivées 

changent  de  signe  quand  on  change  )•:;  eny-,-{-  2  7r.  Donc  n —  et  -r—  changent 

de  signe  quand  }  :..  augmente  de  2n.  Donc  les  termes  tout  connus  (3  et  y  sont 
nuls.  Donc  T  =  T'  est  une  fonction  périodique  qui  ne  change  pas  quand  y^ 
augmente  de  271  et  qui  change  de  signe  quand  y-^  augmente  de  2Tt. 
Gela  posé,  nous  savons  que  Çi  et  Çj  sont  liées  par  l'équation 

Il  en  résulte  que,  si  les  deux  valeurs  de  'Ç-,  se  confondent,  les  deux  valeurs 
de  Ç)  se  confondent  également. 

Ecrivons  que  les  deux  valeurs  de  ?•>  se  confondent,  il  vient 

(16)  |I  =  o. 

Celte  équation  (16)  est  d'ailleurs  identique  à  l'équation  (i4)-  Ecrivons 
maintenant  que  les  deux  valeurs  de  Çi  se  confondent,  il  viendra 

(«7)  ^  +  i.-;  =  0. 

Les  équations  (16)  et  (  17)  devront  être  équivalentes.  De  plus  elles  devront 
être  équivalentes  à  la  suivante  : 

0  ajanl  le  même  sens  que  plus  haut.  Supposons  qu'on  développe  0  suivant  les 
puissances  croissantes  de  ;a,  il  viendra 

(18)  J-2=  |jiO,  +  |jlMJ,+  |ji3  0:.H-..., 

'Ji,  'i-i,  '^M  ■  ■  ■  étant  des  fonctions  périodiques  de  ji. 

Supposons  y 2  lié  à  ji  par  l'équation  (18);  quand  ti  augmentera  de  2jt,  jKj 
ne  changera  pas  et  T  qui  est  périodique  ne  changera  pas  non  plus;  on  aura 
donc 

r''~''  ^     r'''  I dT  ,       d't  ,  \ 


ET    LES   ÉQUATIONS   DE   LA   DYNAMIQUE. 


&-^-. 


rfT  dV 


OU  en  remplaçant  —, —  et  —  par  leurs  valeurs  tirées  des  équations  (  1 6  )  e(  (  i  7 

—  v-'f      ç  <>'>  =  "• 
Si  dans 

ç  =  T.o  +  ;i'rr2  -H  (.t-  'Il  -I-  ... , 

on  remplace  r-j  par  sa  valeur  (  (8),  il  viendra 

?  =  Ç„-f-uE  1-1- ;j- 1-2-1- 

^Oï  ;i)  $:i)  etc.  étant  des  fonctions  périodiques  de  j'i. 
On  devra  avoir  quel  que  soit  p.  : 

et  par  conséquent 

/  ?0''''.'l  =  2I:[|o]   =0. 

Il  est  clair  que  pour  obtenir  ^oj  il  suffit  de  faire  J>'j=  o  dans  rjo,  or  on  a 


Il  vient  donc 


[^»l=«T""f 


2-a 

=  0  ou  2=0,  C.    Q.    F.    D. 

«1 


19.  —  Troisième  approximation. 

Nous  nous  proposons  maintenant  de  construire  exactement  nos  surfaces 
asymptotiques  ou  plutôt  leur  intersection  avec  la  surface  )i  =  o,  qui  est  comme 
nous  l'avons  vu  plus  haut  une  surface  sans  contact. 

Dans  notre  mode  de  représentation  géométrique,  la  solution  périodique  que 
nous  envisageons  est  représentée  par  une  certaine  courbe  trajectoire  fermée. 
Cette  courbe  fermée  vient  couper  la  surface  j'i  =  o  en  un  point  que  j'ai  repré- 
senté sur  la  figure  en  O'. 

Par  cette  courbe  fermée  passent  deux  surfaces  asymptotiques;  ces  deux 
surfaces  coupent  la  surface  y  1=^0  suivant  deux  courbes  que  j'ai  représentées 
sur  la  figure  en  trait  plein  en  AO'B'  et  A'O'B. 

J'ai  représenté  en  trait  pointillé la  courbe yi ^  r'2  =  o. 

Reprenons  les  notations  du  paragraphe  IG:  considérons  les  séries  Si  et  s^  qui 


438  SUR    LE    PROBLÈME   DES   TROIS   CORPS 

eiiU'eiil  diuis  les  équations  (^4)  ^^*^  '^^  paragr;i|,)li(';  soionl  comme  dans  le  para- 
graphe 10,  a','  ol  .v';  la  somme  des  p  premiers  U^nnes  des  séries  .vj  et  a'^.  Nous 
avons  vu  ([ue  les  équatious 

•i'i  =  4-'i'  (ri ,  r-2  ),      j-«  =  s?  (7i .  j'î  ) 

représentent  des  surfaces  qui  dillèrent  très  peu  des  surfaces  asymptotiques. 
Ces  surfaces  couperont  la  surface  l'i  =  o  suivant  des  courbes  qui  ont  pour 
équation 

/i  =  o,  X|  =  iî(o,  1-),  .r.,=  s/^(o,  J..) 

et  qui  sont  représenlées  sur  la  figure  en  trait  mixte     .  .    . . 


^,.  =  " 


Fia 


Nous  avons  appris  dans  le  paragraphe  précédent  à  former  les  séries  Si  et  *.j; 
nous  avons  vu  que  •^^'(^'i. .)'-)  et  s'.',{yi,  );,)  sont  des  fonctions  périodiques  de 
période  27r  par  rapport  à  fi  et  de  période  47r  par  rapport  à  )'.j. 

Il  en  résulte  que  la  courbe  en  trait  mixte  doit  être  comme  l'indique  la  figure 
une  courbe  fermée  admettant  un  point  double  O. 

La  première  question  à  traiter  est  la  suivante  :  les  courbes  en  trait  plein, 
intersections  des  surfaces  asymptotiques  avec  y,  =  o,  sont-elles  aussi  des 
courbes  fermées  ?  11  est  clair  qu'il  en  serait  ainsi  .si  les  séries  ^i  et  52  étaient 
convergentes.  Car  les  courbes  en  irait  pointillé  dilléreraient  alors  aussi  peu 
qu'on  voudrait  des  courbes  en  trait  plein;  la  distance  d'un  point  de  la  courbe 
pleine  à  la  courbe  pointillée  tendrait  vers  zéro  (]uand  p  croîtrait  indéfiniment. 

Je  vais  montrer  sur  un  exemple  simple  qu'il  n'en  est  pas  ainsi.  Soit 

y 


ET   LES    EQUATIONS   DE   LA    DYNAMIQUE.  4^9 

OÙ  <ji{y)  représente  une  fonction  périodique  de  y  de  période  27:,  et  où  ,'j.  et  £ 
sont  deux  constantes  que  je  suppose  très  petites.  .Je  forme  les  équations 

j  'dt^~  71]',  ~^'         '7n~'~  'dq~'"^' 

dp        dP  .  ,  dg        dV  .  ,,     ; 

On  voit  que  p  et  q  joueront  le  même  rôle  que  j'attribuais  jusqu'ici  ix  Xi  et  à  Xo, 
pendant  que  x  ely  joueront  le  rôle  que  j'attribuais  à  j'i  et  à  1  ;.,  je  n'ai  changé 
les  notations  que  pour  supprimer  les  indices. 

Supposons    d'abord    £  =:  o.    Les   équations   admettent    alors    une    solution 
périodique  qui  s'écrit 

X  =  t,         /)  =  o,         q  =  o,         y  =  o. 

Les  exposants  caractéristiques  (en  laissant  de  côté  les  deux  qui  sont  nuls,  ainsi 

qu'il  arrive  toujours  avec  les  équations  de  la  Dynamique)  sont  égaux  à  ■+:  yafJi. 
11  existe  alors  deux  surfaces  asymptotiques  qui  ont  pour  équations 

dSn  dSo  „  / y 

d'où 

p=o,        cj=z±sj-î\>.  sin  i. 

Les  exposants  caractéristiques  n'étant  pas  nuls,  mais  égaux  à  ±\Ja\j.  quand  ou 
fait  £  =  0,  il  existera  encore  une  solution  périodique  pour  les  petites  valeurs 
de  e;  à  cette  solution  périodique;  correspondront  deux  surfaces  asymptotiques 
dont  l'équation  pourra  se  mettre  sous  la  forme 

f/S  (/S 


S  étant  une  fonction  de  x  et  de  r  satisfaisant  à  l'équation 


di 
dx 


Les  exposants  caractéristiques  ne  s'annulant  pas  pour  £  =  o,  il  résulte  de  ce 
que  nous  avons  dit  à  la  fin  du  paragraphe  13  que  p  elqel  par  conséquent  S  sont 
développables  suivant  les  puissances  croissantes  de  £.  Posons  donc 

S  =  So+£S,-i-  £-=8,-,-.... 


Nous  avons  trouvé  plus  haut  : 

ifJlCOS 


So  =  —  2  \/2--  '•'^"■^ 


2 


440  SUR    LE    PROBLÈME   DES    TROIS   CORPS 

Qiiaiil  à  S,,  il  devra  satisfaire  à  l'équation 

«•/S,  , —    .    y  (fS, 

—r-  ■+-  \''"^  S'il r—  =  li  cosrtf  (r  ). 

Si  l'ou  désigiio  pur  —  mie  fonclioii  qui  satisfasse  à  l'équation 

Si  sera  la  partie  réelle  de  i.  Or  on  peut  satisfaire  à  cette  équation  en  faisant 
il  suflit  pour  cela  que 

L'équation  en  .}>  ainsi  obtenue  et  qu'il  s'agit  d'intégrer  est  linéaire.  Son  intégrale 
générale  s'écrit  :  si  cp(r)=  o  : 

et  si  9(r)  est  quelconque  : 

Comme  "h  doit  être  développable  suivant  les  puissances  entières  de  y  pour  les 
petites  valeurs  de  r,  il  est  facile  de  voir  quelle  valeur  il  faudra  donner  à  la 
constante  d'intégration.  Si,  pour  j  =  o,  (p(j)  s'annule,  l'intégrale  devra 
s'annuler  aussi,  de  sorte  qu'il  faudra  la  prendre  entre  les  limites  zéro  Q\-  y- 

Que  faudrait-il  maintenant  pour  que  les  courbes  BO'B'  et  AO'A'  fussent 
fermées  ?  Il  faudrait  que  la  fonction  S  restât  finie  ainsi  que  ses  dérivées  pour 
toutes  les  valeurs  àe.  y  et  fût  périodique  de  période  ^%  par  rapport  ky  (c'est  ce 
qui  arrivait,  rappelons-le,  pour  les  fonctions  s'[  et  5'^  dont  nous  avons  parlé  un 
peu  plus  haut).  Comme  cela  devrait  avoir  lieu  pour  toutes  les  valeurs  de  e,  cela 
devrait  avoir  lieu  de  Si,  et  comme  Si  est  égal  à  cosa?  multiplié  par  la  partie 
réelle  de  'j/,  plus  sinx  multiplié  par  la  partie  imaginaire  de  tj^,  cela  devrait  avoir 
lieu  de  (j*- 

Donc    pour   les   valeurs  de   )■  voisines    de    27:,  '\  devrait  èlre  développable 

suivant  les  puissances  entières  àe.  y  —  1%.  Mais  il  n'en  est  pas  ainsi  de  (  Igy  j  • 
Donc  l'intégrale 


^=f^s/\^iy)(^Ç)'(^^\ly 


ET    LES    ÉQUATIONS   DE   LA    DYNAMIQUE.  44l 

devrait  être  nulle.  Calculons  celle  intégrale  en  supposant  cp(  v)  =  sin>'.  Posons 
tg  Y  ^=  t,  il  viendra 


-wi^X-i^^fe^. 


Intégrons    par   parties    en  remarquant  que ^— ,  est   la    dérivée    de  -■, 

il  viendra 

'       ,—  /-•  '  t-^  di 
J  =  4  a  1/2 M  /       . 

Faisons  t- =  u,  on  aura 

_  a-n 

,  , —    /■  '  "       "    f/'<         ?;:«  t'i'j.  — Sr.i 

J  =  5  a  1/2  u   /        = — '-  =  — . 

,',  I -H  H  a-  _i'_  '±_ 

ros  —  —  — 

;)  e> -i^H-  e    ^'-^ 

Donc  .1  n'est  pas  nul;  donc  les  courbes  BOB'  et  AO'A'  ne  sont  pas  fermées, 
donc  les  séries  Si  et  s-,  ne  sont  pas  convergentes,  non  plus  que  les  séries  définies 
dans  les  paragraphes  lA  et  18  ainsi  que  je  l'avais  annoncé  dans  ces  paragraphes. 
La  dislance  des  deux  points  B  et  B'  n'est  donc  pas  nulle,  mais  elle  jouit  de  la 
propriété  suivante.  Non  seulement  BB'  tend  vers  zéro,  quand  [j-  lend  vers  zéro, 

mais  le  rapport  — —  tend  également  vers  zéro  quelque  grand  que  soit  «. 

Eu  effet  la  courbe  poinlillée  a  pour  équation 

j,  =  0,         x,  =  !.fi(o,y.,),         x..  =  s^(o,  jo) 

et  la  courbe  en  trait  plein  a  pour  équation 

,)-,  =  o,  jc,  =/,(o,  j-o),  .r,  =  /o(o,  J;). 

D'après  ce  que  nous  avons  vu  plus  haut,  les  séries  Si  etSn  représentent  asympto- 
tiquement  les  fonctions  /i  el/.,  ce  qui  veut  dire  que  l'on  a 

Il  111 —  =  lim ; — ^  =  o  pour     ;j.  =  o. 

H-  ix- 

p_ 
Donc  le  rapport  à  fi"  de  la  distance  de  B  à  la  courbe  pointillée  tendra  vers  zéro 

et  il  en  sera  de  même  du  rapport  à  /jl"  de  la  distance  de  B'  à  cette  courbe  poin- 
tillée. On  a  donc 

,.     BB' 

•    lim  — —  =  o.  0.   Q.    F.    D. 

"3 

V-- 

H.  p.  -  vir.  56 


ijî  SUR    LE    PROBLÈME    DES    TROIS   CORPS 

Imi  il'aiiti\'s  Icniii's.  si  l'un  rt!i;:uHlo  ,ui.  coiiiini'  un  inllnimunl  pulil  du  premier 
orilro,   lu   ilislaucc  BB',  saus  èlrt;  nulle,  (jsl  un  inliuiuicul   pelil   d'oidre  inliui. 

C'est  ainsi  ([uf  la   loncllou  e    ''^  est  un  infiniment  petil  d'ordre  infini  sans  être 
nulle. 

Dans  l'exemple  particulier  (jue  nous  avons  traité  plus  liaul.  la  distance  BB' 

est  du  même  ordre  de  grandeur  que  l'intégrale  J,  c'est-à-dire  que  e    ^-^. 

Une  seconde  question  à  tiaiter  est  celle  de  savoir  si  les  deux  courbes  O'B  et 
O'B'  prolongées  se  coupent.  S'il  en  est  ainsi  en  eflet,  la  trajectoire  ([ui  passera 
par  le  point  d'intersection  appartiendra  à  la  fois  aux  deux  nappes  de  la  surface 
asvmptolique.  Ce  sera  une  trajectoire  doublement  asyniploti<jue.  Soit  C  la 
trajectoire  fermée  qui  passe  par  le  point  ()'  et  qui  représente  la  solution  pério- 
dique. La  trajectoire  doublement  asjmptotique  diffère  très  peu  de  C,  lorsque  / 
est  négatif  et  très  grand,  elle  s'en  éloigne  asjmptoliquement,  s'en  écarte  beau- 
coup d'abord,  puis  s'en  rapproche  de  nouveau  asymptotiquement,  de  façon  à 
dilîérer  très  peu  de  C,  lorsque  l  est  positif  et  très  grand. 

Je  me  propose  d'établir  qu'il  existe  une  infinité  de  trajectoires  doublement 
asjmptotlques. 

Je  commence  par  observer  que  la  courbe  O'B,  quelque  loin  qu'on  la  prolonge, 
ne  pourra  jamais  se  recouper  elle-même,  c'est-à-dire  que  cette  courbe  O'B  pro- 
longée n'a  pas  de  point  double.  En  effet  d'après  la  définition  de  cette  courbe 
les  antécédents  des  divers  points  de  O'B  sont  eux-mêmes  sur  cette  courbe  O'B, 
de  sorte  que  l'antécédente  de  la  courbe  O'B  est  une  portion  de  cette  courbe. 
De  même  la  seconde,  la  troisième,  etc.,  la  /i'"""'  antécédente  de  O'B  sont  des 
portions  de  plus  en  plus  petites  de  cette  courbe,  limitées  par  le  point  O'  d'une 
part  et  un  point  D  de  plus  en  plus  rapproché  de  O'  d'autre  part. 

Si  la  courbe  O'B  avait  un  point  double,  il  en  devrait  être  de  même  de  toutes 
ses  antécédentes,  et  par  conséquent  de  tout  arc  Q'D  si  petit  qu'il  soit,  faisant 
partie  de  O'B.  Or  les  principes  du  paragraphe  13  nous  permettent  de  construire 
la  portion  de  O'B  voisine  de  O'  et  de  constater  que  cette  portion  de  courbe  n'a 
pas  de  point  double.  Il  en  est  donc  de  même  de  la  courbe  entière  quelque  loin 
qu'on  la  prolonge. 

D'après  la  définition  des  deux  nappes  de  la  surface  asjmptotique  et  des 
courbes  BO'A',  B'O'.A.,  l'une  de  ces  courbes  (par  exemple  la  courbe  B'O'A') 
est  telle  que  le  re"""'  antécédent  d'un  point  de  cette  courbe  se  rapproche  indéfi- 
niment de  O',  quand   n  augmente;  pour  l'autre  courbe  B'O'A,   c'est  le  «''""' 


ET    LES    ÉQUATIONS    DE    LA    DYNAMIQUE.  443 

cons(';quent  qui  se  rapproche  indéfiniment  de  O'.  Ce  que  nous  venons  de  dire 
s'applique  donc  également  à  la  courbe  O'B',  pourvu  qu'on  remplace  partout  le 
mot  antécédent  par  le  mot  conséquent.  Donc  la  courbe  O'B'  quelque  loin  qu'on 
la  prolonge  ne  se  recoupera  pas  elle-même  et  il  est  clair  qu'il  en  sera  de  même 
des  courbes  O'A  et  O'A'. 

Je  dis  maintenant  que  la  courbure  des  courbes  O'B  et  O'B'  e^t  finie,  je  veux 
dire  qu'elle  no  croît  pas  indéfiniment  quand  p.  tend  vers  zéro. 

En  elFet  nous  avons  vu  que  non  seulement  les  séries  Si   el  s-^  représentent 

asymptotiquement  les  deux  fonctions  /,  et  f-j,  mais  que  les  séries  -7-^  et  -y-^ 
représentent  asymptotiquement  '-r—-  et  -;^- 

On  en  conclut  (jue  si  ^  est  regardé  couiuk;  un  infiniment  petit,  la  courbure 
de  la  courbe  en  Irait  plein  au  point  B  différera  infiniment  peu  de  la  courbure 
de  la  courbe  pointillée  au  point  le  plus  rapproché;  or  cette  dernière  courbure 
est  finie,  donc  il  en  est  de.  même  de  la  courbure  de  la  courbe  en  trait  plein. 

Soit  maintenant  B,  le  conséquent  du  point  B  et  B',  celui  du  point  B'.  La 
distance  BBi  est  du  même  ordre  de  grandeur  que  y/;-',  et  il  en  est  de  même  de 
la  distance  B'B'j,  les  arcs  BB,  et  B'B',  sont  donc  très  petits  si  fi  est  très  petit  el 
leur  courbure  est  finie;  d'autre  part  les  distances  BB',  Bi  6',  de  même  que  les 

rapports  7777-)  .,, .,,  tendent  vers  zéro  ciuaad  u.  tend  vers  zéro;  enfin  il  existe  un 
i>  t>  1    ij  I j  j  * 

invariant  intégral  positif. 

Nous  nous  trouvons  donc  dans  les  conditions  du  théorème  III  du  para- 
graphe 8.  Nous  en  conclurons  que  les  arcs  BB|  et  B'B',  se  coupent,  c'est-à-dire 
que  la  courbe  O'B'  coupe  la  courbe  O'B  prolongée  et  par  conséquent  qu'il 
existe  au  moins  une  trajectoire  doublementasymptotique. 

Je  dis  maintenant  qu'il  en  existe  au  moins  deux. 

En  effet  la  figure  a  été  construite  de  façon  que  les  points  B  et  B'  soient  sur  la 
courbe 

ji  =  r->=  o. 

Mais  l'origine  des  y-^  est  restée  arbitraire;  je  puis  supposer  qu'on  la  choisisse 
de  telle  sorte  qu'au  point  d'intersection  des  deux  courbes  O'B  et  O'B',  on  ait 
y-,^  o.  En  ce  cas  les  points  B  et  B'  coïncident.  Il  doit  donc  en  être  de  même 
de  leurs  conséquents  Bi  et  B';.  Les  deux  arcs  BBi  et  B'B',  ont  alors  mêmes 
extrémités,  mais  cela  ne  suffit  pas  pour  satisfaire  au  théorème  III  que  je  viens 
d'appliquer  (il  laut  en  effet  pour  satisfaire  à  ce  théorème  que  l'aire  limitée  par 


444  SUR  LE  PROBLÈME  DES  TROIS  CORPS 

ces  deux  iircs  ne  soit  pas  convexe),  il  faul  encore  qu'ils  se  coupent  en  un  autre 
point  N. 

Pai-  ce  point  passera  une  trajectoire  doublement  asymplotique  qui  ne  se 
confondra  pas  avec  celle  qui  passe  en  15.  Il  y  a  donc  au  moins  deux  trajectoires 
doublement  asj'mptoliques. 

Je  suppose  toujours  que  les  points  B  et  B'  se  confondent.  SoitBMN  la  portion 
de  la  courbe  O'B  comprise  entre  les  points  B  et  N;  soit  de  même  BPN  la 
portion  de  la  courbe  O'B'  comprise  entre  le  point  B  =;  B'  cl  le  point  N.  Ces 
deux  arcs  BMN  et  BPN  limiteront  une  certaine  aire  que  j'appelle  a. 

Nous  avons  vu  que,  dans  le  cas  particulier  du  problème  des  trois  corps  qui 
nous  occupe,  on  peut  appliquer  le  théorème  I  du  paragraphe  8.  Il  existera  donc 
des  trajectoires  qui  traverseront  une  infinité  de  fois  l'aire  a. 

Donc  parmi  les  conséquentes  de  l'aire  a,  il  y  en  aura  une  infinité  qui  auront 
une  partie  commune  avec  a. 

Si  donc  on  considère  la  courbe  fermée  BMNPB  qui  limite  l'aire  a,  et  les 
conséquentes  de  cette  courbe,  il  y  aura  une  infinité  de  ces  conséquentes  qui 
couperont  la  courbe  BMNPB  elle-même. 

Comment  cela  peut-il  se  faire  ? 

L'arc  BMN  ne  peut  couper  aucun  de  ses  conséquents;  car  l'arc  BMN  et  ses 
conséquents  appartiennent  à  la  courbe  O'B  et  la  courbe  O'B  ne  peut  se  recouper 
elle-même. 

Pour  la  même  raison  l'arc  BPN  ne  peut  couper  aucun  de  ses  conséquents. 

Il  faut  donc,  ou  bien  que  l'arc  BMN  coupe  un  des  conséquents  de  BPN,  ou 
que  l'arc  BPN  coupe  un  des  conséquents  de  BMN  (dans  les  hypothèses  où  nous 
nous  sommes  placés,  c'est  le  second  cas  qui  se  présentera).  Dans  l'un  comme 
dans  l'autre  cas  la  courbe  O'IÎ  ou  son  prolongement  coupera  la  courbe  O'IV  ou 
son  prolongement. 

Ces  deux  courbes  se  coupent  donc  en  une  infinité  de  points  et  une  infinité  de 
ces  points  d'intersection  se  trouveront  sur  les  arcs  BMN  ou  BPN.  Par  ces  points 
d'intersection  passeront  une  infinité  de  trajectoires  doublement  asymptotiques. 

On  démontrerait  de  la  même  manière  que  la  surface  asymptotique  (|ui  coupe 
la  surface  j'i  =  o  suivant  la  courbe  O'A  contient  une  infinité  de  trajectoires 
doublement  asymptotiques. 


ET    LES   ÉQUATIONS    DE   LA   DYNAMIQUE.  445 

CHAPITRE  III. 

RÉSULTATS    DIVERS. 

20.  —  Solutions  périodiques  du   deuxième   genre. 

Dans  le  Chapitre  précédent  et  eu  particulier  dans  les  paragraphes  17  et  18 
nous  avons  construit  nos  séries  en  supposant  que  l'on  donne  à  Ci  une  valeur 
tantôt  supérieure  tantôt  égale  à  — 9,. 

Supposons  maintenant  qu'on  ait  donné  à  C,  une  valeur  < —  9,.  Alors 


^i  =  ^|(lF.J  +  ^^> 


n'est  pas  toujours  réel.  Supposons  par  exemple  que,  pour  la  valeur  choisie  de 
Cl,  x',  reste  réel  quand  to  varie  depuis  ïj^  jusqu'à  ri^.  ,Ie  vais  considérer  une 
valeur  r^  de  j'o  comprise  entre  ri:,  et  r,c  : 

•^5  <  T,-  <  Tir, 

et  je  vais  chercher  à  définir  les  jrf  pour  toutes  les  vaU'urs  de  y 2  comprises  entre 

ï)s  et  ïJt- 

J'observe  d'abord  que  xl  est  susceptible  de  deux  valeurs  égales  et  de  signe 
contraire,  à  cause  du  double  signe  du  radical;  donnons  d'abord  par  exemple  à 
ce  radical  le  signe  + . 

Imaginons  que  l'on  ail  calculé  successivement  x\,  x],  ....  x'i'',  xl,  x':,. 
...,  xt'-. 

L'équation  (7)  du  paragraphe  18  nous  donne 

xf[a;'r']  =  0(>-,)-C,._„ 

0  (yi)  étant  une  fonction  entièrement  connue  de  yo  et  C,,_i  une  constante. 
Nous  déterminerons  cette  constante  par  la  condition 

0(ti,)h-C/,_,  =  o. 

Alors  bien  que  x'.,  s'annule  pour  ja^  "/).,,  la  fonction 

reste  linie  pour  )'.j  =  r,^. 

Nous  avons  donc  complètement  déterminé  les  fonctions  xf  pourri5<;  j2< 'i, 
et  nous  appellerons  xj  ^  les  fonctions  de  Vs  ainsi  déterminées. 


446  SUR    LE   PROBLÈME    DES   TROIS   CORPS 

Supposous  que  l'on  rt'coiniiK'iicc  1(>  calcul  en  donnanl  au  radical  le  signe  — . 
On  trouvera  pour  les  fondions  x'i  de  nouvelles  valeurs  que  j'appelle  .rf  ,  et  qui 
seront  d'ailleurs  la  continuation  analytique  des  premières. 

Imaginons  ensuite  que  l'on  remplace  C|  par  une  constante  nouvelle  C,  très 
voisine  de  C|. 


Alors  le  radical  1     ^([Fj]  +  C,  )  sera  réel  toutes  les  fois  que  r^  sera  compris 

entre  ri-  et  une  certaine  valeur  rjg  très  voisine  de  ria- 

Gela  posé,  nous  allons  par  le  procédé  exposé  ci-dessus  calculer  les  fonctions 
x'i  pour  les  valeurs  de  y-x  comprises  entre  yît  et  /jg,  d'abord  en  faisant 


(aous  appellerons  jc".,  ^  les  fonctions  ainsi  calculées),  puis  en  faisant 


(nous  appellerons  xl j  les  fonctious  ainsi  calculées). 

Nous  allons  ensuite  construire  les  quatre  branches  de  courbes 

1":  .)  1  =  o,  Ji  =  ço.ify-;),  -C2=  Yij.i(K-;) 

que  nous  prolongerons  depuis  y-;.  =  yj^  jusqu'à  y-^  =  -n-,. 

2":  ri  =  o,         ^i=9i.i(r„),         ar,=  9,. o  (_>•,) 

que  nous  prolongerons  également  depuis  j'o  =  rjj  jusqu'à  j'2= 'li- 

3":  yi=o,         .r,=  o,.,(y-2),         j:î=9î."-(70 

que  nous  prolongerons  depuis  y.,  =  -t)-;  jusqu'à  jn^  "'is- 

4°:  ,ri=0,  X,  =  ::;.,(,)■.>),  .r2=  9;;.2(.r-') 

que  nous  prolongerons  également  depuis  j'j  =  ri-:  jusqu'à  )  ;,  =  /)». 
Dans  ces  formules  nous  avons  posé 

La  première  et  la  deuxième  de  ces  courbes  se  raccorderont  et  seront  laugenlos 
en  un  même  point  à  la  courbe  j)'2t=  yj-. 

La  troisième  et  la  quatrième  courbe  se  raccorderont  également  et  seront 
tangentes  en  un  même  point  à  la  courbe  j'-.j  =  yjs- 

C'est  ce  qu'indique  la  figure  8  où  les  trois  arcs  pointillés  représentent  les 


ET    LES    ÉQUATIONS    DE    LA    DYNAMIQUE.  447 

trois  courbes  )\>=-/i,,,  yî,,  -rin,  où  l'arc  AB  représente  la  premicrc  de  nos  quatre 
branches  de  courbe,  l'arc  AD'  la  deuxième,  l'arc  B'C  la  troisième  et  l'arc  DC  la 
quatrième. 

Nous  regarderons  C,  comme  une  donnée,  mais  G',  est  resté  jusqu'ici  arbi- 
traire. Nous  déterminerons  C,  par  la  condition  que  la  première  et  la  troisième 
courbe  se  raccordent  et  que  les  points  B  et  B'  se  confondent,  ce  qui  s'exprime 
analytiquement  par  les  conditions 

(l)  ?0.i(t,7)  =   92.l(-n7),  =0.2(1^7)=  ?2,;(t,7). 

Ces  deux  équations  ne  sont  d'ailleurs  pas  distinctes  et  se  ramènent  à  une 
seule. 


Fig.  S. 


En  nous  appuyant  sur  le   théorème   III  du  paragraphe  8,   nous  pourrions 
démontrer  que  si  C,  est  déterminé  par  les  équations  (i  ),  les  équations 

(l')  ?l.l(-n;)  =  ?:;.i(ti,),  ;,  ,(  T),)  =  ç,..(  T),  ) 


seront  aussi  satisfaites  aux  quantités  près  de  l'ordre  de  ,u.  "   ;  c'est-à-dire  que  la 

deuxième  et  la  quatrième  courbe   se   raccorderont  aux   quantités  près  de  cet 

<--t-i 
ordre,  ou  que  la  distance  DD'  est  un  infiniment  petit  de  même  ordre  que  jj-  '  . 

Mais  je  dois  faire  ici  la  même  observation  que  plus  haut;  les  séries  auxquelles 
on  parvient  de  la  sorte  ne  sont  pas  convergentes  bien  qu'elles  puissent  rendre 
des  services  si  on  les  manie  avec  précaution. 

Il  existe  donc  des  régions,  où,  au  moins  pendant  un  certain  temps,  ).j  (dans 
le  cas  où  l'on  suppose  «■_.  =  o)  ou  /^■■^^,  —  7?,  ^.^  (dans  le  cas  général)  conservent 
des  valeurs  finies.  C'est  ce  fait  que  les  astronomes  expriment  d'ordinaire  en 
disant  qu'il  y  a  libration.  On  peut  se  demander  si  ces  régions  de  libration  sont 
sillonnées  de  solutions  périodiques. 

On  peut  s'en  rendre  compte  par  les  considérations  suivantes. 


448  SUR    LE    PROBLÈME    DES   TROIS    CORPS. 

Ecrivons  les  équations 


dXi 

dF' 

dx. 

dF' 

dy, 

dF' 

dy. 

dF' 

dt 

=  <>',' 

dt 

-  dy^ 

dt 

dx,' 

dt 

dx. 

(2)  .1-,  =  xî-l-,a.r;,  .'  =  =■'■" -^-  V';-' 1/  ,^.  ([1m]  "•- C,  ) -I- |Ji  Ms. 

Ces  équations  seul  à  des  quantités  près  de  l'ordre  [x  celles  de  surfaces  que 
uous  avons  construites  {yo\r  fig.  8);  elles  satisfont  donc  approximativement 
aux  équations  (3)  du  paragraphe  17.  Quant  à  u\  c'est  une  fonction  de  jci  et  de 
Vj  qui  ne  dillere  de  or"',  que  jiar  une  fonction  de  j.j  de  telle  sorte 

du \       dx \ 
dyi  ~  dyi 

Cette  fonction  ul  doit  d'ailleurs  rester  toujours  finie. 

Je  me  propose  de  modifier  la  forme  de  la  fonction  F  qui  entri'  dans  nos  équa- 
tions dilTérentielles  de  façon  que  ces  équations  (2)  satisfassent  exactement  aux 
équations  (3)  du  paragraphe  17. 

.Te  cherche  donc  une  fonction  F*  telle  que  les  équations 

(3) 

admettent  des  surfaces  trajectoires  représentées   précisément   par   ces  équa- 
tions (2). 

Voici  comment  nous  déterminerons  cette  fonction  F*. 

Observons  d'abord  que  x]  et  xl  sont  déterminés  par  les  deux  équations 
simultanées 

F,{x\,xl)=C,         ^=0. 

On  peut  lirer  de  ces  deux  équations  x\  et  x",  en  fonction  de  C.  Nous  regar- 
derons donc  désormais  x\  et  x"„  comme  des  fonctions  connues  de  C. 

D'autre  part  [F,  ]  est  une  fonction  dej^o,  de  x\  et  de  xl,  ce  qui  nous  permet 
de  le  regarder  comme  une  fonction  connue  de  ) ^  et  de  C. 

Les  équations  (2)  nous  donneront  |)ar  conséquent  .r,  et  x-,  en  fonction  àa yi, 
de  j'2,  de  C  et  de  d. 

Remarquons  que  si  .r,  et  ,r.j  sont  définis  par  ces  équations,  l'expression 

Xi  dy,  ■+-  x-î  dy:,  =  d'S 

est  une  difTérentielle  exacte,  de  sorte  que 

dx'i        du\ 
dyi        dyx 


ET   LES   ÉQUATIONS   DE    LA   DYNAMIQUE.  449 

Résolvons  maintenanl  les  équalions  [2)  par  rapport  à  C  el  C|,  il  viendra 

C  =  F*(ari,  .ro,  j,,  j„),         C,  =  'I'Vj;,,  2-2,  y,,  Vî). 

La  fonclion  F*  esl  ainsi  définie  el  l'on  aura  en  employant  la  notation  de 

Jacobi  : 

[F*,  <1.*J  =  o, 
ce  qui  signifie  que 

<I>'  =  const. 

est  une  intégrale  des  équations  (3). 

La  solution  la  plus  générale  de  ces  équations  (3)  s'écrit  alors 

c  et  C'i  étant  deux  nouvelles  constantes  d'intégration. 

Cherchons  à  former  effectivement  F*  ou  du  moins  à  nous  rendre  compte  de 
l'ordre  de  grandeur  de  la  difïérenco  F  —  F*. 

Or  x\  est  défini  par  la  condition  suivante  : 


doit  être  une  quantité  de  même  ordre  que  pv^p--  {Cf.  §  17). 
</Fo 


Donc  comme  -r-j  est  nul,  la  fonclion 


F  {xi  -+-  p.c?,  x"  -+-  iJij-j:',  +  |Ji  iil  )  —  C 

sera  encore  de  même  ordre  que  p-yl->-,  quelle  que  soit  la  fonction  u;. 
D'ailleurs  on  a  identiquement 

F*  (xi  +  nx'u  xi  ■+-  ^/ixxl  +  jji  ui  )  =  C. 

Donc  la  différence  F  —  F*  regardée  comme  fonction  de  (J-,  de  G,  de  Ci,  dej'i 
el  de  y-2  esl  de  l'ordre  de  p.  \/p.. 
Posons  maintenant 

|o  ^|J.   =  X-2 X". 

Des  deux  équations  (  i  )  on  tirera  facilement  Ci  el  C  en  fonction  de  x,,  ^j, 
j'(,  y-i  el  [J.;  on  voit  alors  sans  peine  que  C  et  Ci  peuvent  être  développés  sui- 
vant les  puissances  positives  de  \/p.,  les  coeflicienls  étant  des  fonctions  finies 
de  -Cl,  de  1^,  de  yi  el  de  j^. 

Nous  venons  de  voir  que  F  —  F'  est  une  fonction  de  p.,  de  Ji,  dej.j,  de  C  et 
de  Cl  dont  le  développement  suivant  les  puissances  de  p  commence  par  un 
H.  P.  -  VII.  57 


45o  SUR    LE    PROBLÈME    DES   TROIS   CORPS 

tiM'iiie  en  i/.\  ,u;  si  nous  v  remplaçons  G  el  Ci  par  leurs  valeurs  eu  fonction  de 
f*,  de  .r,,  de  Ç»,  de   )'i  el  de  y.,,  nons  verrons  que  ceLlc  différeacc  F  —  F'  est 
une   fonction    développée   suivant   les  puissances  de  p.,   dont   les    coefficients 
dépendent  de  .r, ,  ^^,  y,  cl  y>  et  qui  commence  par  un  terin(>  en  p.  y/ p.. 
Par  conséquent  la  fonction 

F  — F* 


l^\/(i 


F'd-',  ^1,  ?2,7i,  JKî) 


ne  devient  pas  inlinie  pour  [j.  ^  o. 

Par  le  changement  de  variable  que  nous  venons  de  faire,  les  équations  (3) 
deviennent 

dx-t        dF'  dVi  _       dF'  r/Ço  _      dF'  dy.  dF' 


dt         dy,  dl  dxi  dl         \Jixdy.,  <"  \l \x  d\.. 

De  même  les  équations  proposées 


doivent  se  réduire  à 

f/.Ci         dF  dy,  dF  dU  dF  dy-  dF 

(4)       -TT  =  tt:-' 


dx,        dF 
dl        dyi' 

dt 

dF 

~       dxi 

dy, 
dl 

,1F 

dx\ 

dU 
dl 

dF 

i/u  dv« 

dy: 
dt 

dt         dy,  dl  dx,  dl         ^^  ^y^_  dt  ^^^  (ji^„_ 

Nous  formerons  en  outre  les  équations  suivantes': 

/  dx,  d  dy,  d 

I    dt  dy,  ^  "  dl  dx,  ^  " 

''^  t=-^(F*^sF'),         ^^--^(F'^sr,, 

[  dt  ^,jL  ay.2  dl  ^,j^  (/ç., 

qui  se  réduisent  à  (3')  pour  e  =^  o  et  à  (4)  pour  e  =  p-yp-. 

D'après  ce  que  nous  avons  vu  plus  haut,  les  équations  (3)  et  par  conséquent 
les  équations  (3')  peuvent  s'intégrer  exactement;  nous  en  avons  donné  parles 
équations  (a)  la  solution  générale. 

Si  l'on  discute  celle  solution  générale  et  si  l'on  cherche  à  la  construire  en 
conservant  le  même  mode  do  représentation  géométrique  que  dans  les  para- 
graphes précédents,  on  verra  qu'il  existe  une  infinité  de  surfaces  trajectoires 
fermées. 

Ces  surfaces  qui  ont  pour  équation 

(6)  ^  = î-il ., 

Xi  Xl  ■+-  IJ.XI 


ET    LES    ÉQUATIONS    DE    LA    DYNAMIQUE.  45l 

différent  peu  des  surfaces  que  nous  avons  construites  dans  le  paragraphe  17  et 
dont  l'éfjuation  s'écrivait 

(7)  -f  = rn • 

Elles  ont  même  forme  générale  que  les  surfaces  définies  par  l'équation  (7).  Si 
donc  nous  faisons  les  mômes  hypothèses  que  dans  le  paragraphe  17  au  sujel  des 
maxiina  et  des  minima  de  [Fj],  deux  de  nos  surfaces  (6)  seront  des  surfaces 
fermées  à  courbe  double;  ce  seront  celles  qui  correspondent  aux  valeurs  —  02 
et  —  3,  delà  constante  C|.  Les  autres  se  corn  posent  do  une  ou  deux  nappes  fermées. 

La  surface  fermée  à  courbe  double  sera  pour  nos  équations  (3')  une  surface 
asymptolique  et  elle  partagera  l'espace  en  trois  régions  comme  nous  l'avons  dit 
plus  haut. 

Parmi  ces  régions,  je  dislingue  la  région  R^  comprise  entre  les  deux  nappes 
qui  est  une  région  dite  de  libration  et  je  me  propose  de  montrer  que  dans  cette 
région,  on  peut  tracer  une  infinité  de  trajectoires  fermées  correspondant  à  des 
solutions  périodiques. 

Revenons  en  efi'et  aux  équations  (a)  qui  nous  font  connaître  la  solution 
générale  des  équations  (3)  et  (3').  D'après  la  forme  des  équations  (2),  nous 
pouvons  écrire 

S  =  «,-,  +  /,j-, -H  0  (;•,,.,■,)  +  ^  iJf  J^'dhW^C)  <K,, 

a  et  b  étant  des  fonctions  de  C  et  de  Ci  seulement  et  'J(ji)  J'2)  une  fonction 
réelle  et  périodique  de  jki  et  de  j'^. 
On  en  déduit 


_,         c^S  da  db  c/O  /  u.       C  dv» 


y  ^^i  v^n^ 


Nous  donnerons  à  Ci  une  valeur  déterminée  qui  devra  être  plus  petite  que 
—  cp.,  puisque  nous  nous  supposons  placés  dans  la  région  Rj. 

La  surface  fermée  qui  correspond  à  cette  valeur  de  Ci  présentant  les  mêmes 
connexions  que  le  tore,  nous  pouvons  en  faire  le  tour  de  deux  manières  dill'é- 
rentes  :  1"  en  regardant  j..  comme  constant;  2"  en  regardant  j'i  comme 
constant . 

Quand  ou  aura  fait  le  tour  de  la  surl'ace  en  regardant  j.,  comme  constant, 

>'i  aura  augmenté  de  2  tt  et  -j^  aura  ausrmenlé  de  2  ■k-tt  ■ 


452  SUR    LE    PROBLÈME    DES    TROIS    CORPS 

Quand  ou  aura  fait  le  lour  de  la  surface  eu  regardaal  l'i  couime  constant,  y., 

sera  revenu  à  la  même  valeur,  mais  riiitéorrale    /  '  " 

d'une  certaine  période  p  définie  comme  il  suit  : 


Supposons  que  les  valeurs  de  y.,  pour  lesquelles  le  radical  v(|l''ij  +  C|)  est 
réel  soient  les  valeurs  comprises  entre  yj^  et  •/j,,,  on  aura 

''^"4  v(i^".j +<■.)■ 

Quand  uoiro  iutrigralo  aui;menleia  dr  r,  -^  augmentera  de  'l/:^' 

Pour  que  la  solution  qui  correspond  à  cette  valeur  de  C,  soit  périodique,  il 

faut  donc  et  il  sutlit  que  ces  deux  quantités  2  t:  -ttt-  et  c  l  /  -^  soient  commensu- 
rables  entre  elles. , 

Cette  condition  sera  évidemment  satisfaite  pour  une  infinité  de  valeurs  de 
Ci;  notre  région  Rn  contient  donc  une  infinité  de  trajectoires  fermées,  repré- 
sentant des  solutions  périodiques. 

Ainsi  si  K  est  un  nombre  commensurable  quelconque,  l'équation 

(  qui  contient  Ci  parce  que  -t-t-  et  p  sont  des  fonctions  de  C,  )  nous  donnera  une 

valeur  de  Ci  correspondant  à  une  solution  p(''riodique. 

Pour  discuter  cette  équation,  il  me  faut  chercher  ce  que  c'est  que  -j-r  • 
11  me  suffit  pour  cela  de  rappeler  que 

a  =  jcj  -i-|j:  [xi] 

et  que 

Fo(j:Î-+-  ixx],  x",-h  sjp-xl)  -h  jjlF,(j,-Î,  .rS,  Ji,  /s) 
doit  se  réduire  à  C  aux  quantités  prés  de  l'ordre  de  j^V  P'-  On  en  conclut 

—  «ix;—  -(xi  )"--!-  F\(x%  X?.,  /,,  y«)  =  o 

d'où 

-«,[..•■  I- G,- [F,  ]  +  [F.J  =  o         et  ^=-i-'. 

-yrr  est  donc  une  constante,  indépendante  de  Ci,  de  sorte  que  l'équation  (S) 

peut  s'écrire 

(8  )  -—  =  const. 


ET    LES   ÉQUATIONS    DE    LA    DYNAMIQUE.  453 

Pour  discuter  celte  équation  nouvelle,  il  convient  de  chercher  comment 
varie  i^  quand  on  fait  varier  Ci  depuis  — cp4  jusqu'à  —  (pi. 

Pour  Cl  ^  —  94,  f  est  infini;  Ci  variant  depuis  —  <p,,  jusqu'à  —  95,  i>  décroît 
d'abord  jusqu'à  un  certain  minimum,  pour  croître  ensuite  de  nouveau  jusqu'à 
l'infini. 

Pour  Ci<C — 9-21  ''  peut  admettre  deux  valeurs  correspondant  aux  deux 
nappes  de  la  surface  et  que  l'on  peut  envisager  séparément.  (C(.  Jîg-.  6.) 

La  première  nappe  de  la  surface  reste  réelle  quand  Ci  est  compris  entre 
—  o^  et  —  O;,;  la  valeur  correspondante  de  i>  décroit  depuis  l'infiui  jusqu'à  un 
certain  minimum  quand  Ci  décroît  depuis  —  cp.j  jusqu'à  — 93. 

La  seconde  nappe  de  la  surface  reste  réelle  quand  C,  est  compris  entre  —  92 
et  — 9,;  la  valeur  correspondante  de  c  décroît  depuis  l'infinijusqu'à  un  certain 
minimum  quand  C,  décroît  depuis  —  90  jusqu'à  —  9, . 

Ainsi  i>  admet  trois  minima  au  moins  et  reste  toujours  supérieur  à  une 
certaine  limite  positive. 

Si  donc  nous  regardons  l'équation  (8')  comme  définissant  Ci  en  fonction  de 
p.,  Cl  sera  fonction  continue  de  [a,  mais  nous  pourrons  prendre  p.  assez  petit 
pour  que  celte  équation  n'admette  aucune  racine. 

Ainsi  il  est  certain  qu'il  existe  toujours  une  infinité  de  solutions  périodiques; 
mais  quand  on  fera  décroître  /x,  toutes  ces  solutions  disparaîtront  l'une  après 
Taulrc. 

Il  résulte  de  ce  qui  précède  que  les  équations  (5)  admellent  pour  e  ^  o  une 
infinité  de  solutions  périodiques;  les  principes  du  Chapitre  111  (!"' Partie)  nous 
permettent  d'affirmer  qu'il  y  en  a  encore  une  infinité  pour  les  valeurs  suffisam- 
ment petit(îs  de  £.  Comme  fx  est  très  petit,  il  semble  très  probable  qu'il  existera 


a- 


une  infinité  de  solutions  périodiques  pour  e  :==  f^^vV'  c'est-à-dire  pour  les  é(ju 
tions  (4)  qui  sont  déduites  par  un  changement  de  variable  très  simple    des 
équations  proposées. 

Par  conséquent,  si  nous  revenons  à  ces  équations  proposées,  nous  voyons 
que  dans  la  région  de  lihratioii  Rj  il  y  a  une  infinité  de  trajectoires  fermées 
représentant  des  solutions  périodiques.  Nous  allons  d'ailleurs  l'élablir  rigou- 
reusement par  une  voie  toute  dill'érenle. 

Mais  si  faisant  décroître  ja  d'une  manière  continue,  on  suit  une  de  ces  trajec- 
toires fermées,  ou  la  verra  se  déformer  aussi  d'une  façon  continue  et  disparaître 
ensuite  pour  une  certaine  valeur  de  p..  Ainsi  pour  p.  =  o  toutes  les  solutions 


45',  SUR    LE   PROBLÈME   DES   TROIS   CORPS 

périodi([iies  do  la  r(''j;ioii  R^  auront  disparu  Fuiie  après  l'autre.  Ce  n'est  pas 
ainsi  cpie  se  comportaient  les  sululions  périodiques  étudiées  dans  le 
Chapitre  111  (1'^'  Partie)  et  qui  subsistaient  encore  |)our  p.  =  o. 

On  peut  déintiiilrci-  (jtie  dans  le  voisinage  d'une  Irajecloire  fermée  représen- 
lanl  une  solulion  périodique,  soit  stable,  soit  instable,  il  passe  une  infinité 
d'autres  trajectoires  fermées. Cela  ne  suflit  pas,  en  toute  rigueur,  pour  conclure 
que  toute  région  de  l'espace,  si  petite  qu'elle  soit,  est  traversée  par  une  infinité 
de  trajectoires  fermées  ('),  mais  cela  suffit  pour  donner  à  cette  hjpolhèse  un 
haut  caractère  de  vraisemblance. 

Ainsi  que  je  viens  de  le  dire,  l'aperçu  qui  précède  ne  suffirait  pas  pour 
établir  rigoureusement  l'existence  des  solutions  périodiques  du  deuxième  genre. 
Voici  comment  nous  y  parviendrons. 

Reprenons  nos  équations  diflérentielles 

lU,  _   f/F  r/fi  _       (/F 

(//  t/j  i  di  dXi 

et  envisageons  une  solulion  périodique  du  premier  genre  de  période  T;  quand  t 
augmentera   de  T,  y\   et  y.j  augmenteront  de  /«iT  et  de  «jT;  je  supposerai 

comme  plus  haul  : 

«  1  T  =  •'.  :i,         n-i  =  o. 

Cela  posé,  de  l'équation  F  =  C  nous  pouvons  tirer  Xi  en  fonction  de  a"i,  Ti  et 
y-i\  en  remplaçant  x^  par  la  valeur  ainsi  obtenue,  on  trouve 


Ix, 

<IF 

./y, 

(IF 

dy-, 

dF 

<ll 

-  dy.l 

<U 

c/X\  ' 

dl 

dx. 

les  seconds  membres   pouvant  être  regardés  comme  des  fonctions  connues  de 
X\,yi  elj'2-  Enfin  en  <''liminant  dt,  il  viendra 

^^'  dy,       ""'  dy,        '' 

X  et  Y  étant  des  fonctions  connues  de  X|,  yi  cl  y<,  périodiques  de  période  2  tt 
par  rapport  à  j'i. 
Soit 

la  solution  périodique  considérée  qui  sera  de  période  2  tt  par  rapport  à  )'j;  je 
suppose  que  cette  solution  périodique  soit  celle  que  nous  avons  définie  plus 

(';  Les  travaux  récents  de  M.  Cantor  nous  ont  appris  en  effet  (pour  employer  le  langage  de 
ce  savant  géomètre)  qu'un  eiiseml-ilc  pfut  élie  parfnit,  sans  être  continu. 


ET    LES    ÉQUATIONS    DE    LA    DYNAMIQUE.  455 

haut  et  qui  était  représentée  approximalivement  sur  la  figure  du  paragraphe  17 
par  la  courbe  fermée  isolée  de  la  surface  Ci  =  ^  cf-^.  Ce  sera  donc  une  solution 
périodique  stable,  elle  admettra  deux  exposants  caractéristiques  a  et  —  a  égaux 
et  de  signe  contraire  et  dont  le  carré  sera  réel  négatif. 
Soit  maintenant 

une  solution  peu  dilTérenle  de  la  première.  Soient  conformément  aux  notations 
du  Chapitre  III  (I™  Partie)  (3i  et  (3.j  les  valeurs  initiales  de  Ei  et  de  ^3  pour 
yi  =  o,  et  Pi  +  lii,  p.j  +  ipo  lus  valeurs  de  ti  et  de  'i-i  pour  ji  =:  2  kix  (A  entier). 
La  solution  sera  périodique  de  période  2  A  ~  si  l'on  a 


h.  =  .L.,  =  , 


(10)  .^>, 

On  sait  que  '|i  et  <h.2  pourront  se  développer  suivant  les  puissances  de  pj  et  po 
et  que  ces  fonctions  dépendront  en  outre  de  |-i. 

Si  l'on  regarde  un  instant  Pi,  p.j  et  jjl  comme  les  coordonnées  d'un  point 
dans  l'espace,  les  équations  (  10)  représentent  une  certaine  courbe  gauche  et  à 
chaque  point  de  cette  courbe  gauche  correspond  une  solution  périodique.  Il  est 
clair  que  4'i  et  "l'a  s'annulent  avec  Pi  et  Pj;  en  effet  si  l'on  fait  Çi  =  o,  ^..=  o,  on 
obtient,  d'après  la  définition  de  ^1  et  de  ^^,  une  solution  périodique  de  période 
2  TT  qui  peut  aussi  cire  regardée  comme  périodique  de  période  2  kn. 

La  courbe  (10)  comprend  donc  d'abord  l'axe  des  ;j.  tout  entier.  Je  me  propose 
de  démontrer  que  si,  pour  p.  =  /jio)  I^'^  est  multiple  de  2  /tt,  il  existera  une  autre 
branche  de  la  courbe  (  10)  qui  passera  par  le  point 

i^  =  !^o,  pi  =  o,  1%  =  o 

et  par  conséquent  que  pour  les  valeurs  de  f/  voisines  de  p.,,,  il  existe  d'autres 
solutions  périodiques  que5i  =  £2='^ 

Posons  p.  —  p(,  =  A  et  cherchons  à  développer  i]^i  ol  ij^j  suivant  les  puissances 
de  pi,  de  p.j  et  de  "k. 

Calculons  d'abord  les  termes  du  premier  degré  par  rapport  à  pi  et  à  pj. 

Je  dis  d'abord  que  pour  >.  =  o,  c'est-à-dire  pour  p  =  p^,  tous  ces  termes  sont 
nuls. 

En  effet  supposons  que  les  Ç  soient  assez  petits  pour  qu'on  en  puisse  négliger 
les  carrés.  Nous  avons  vu  dans  la  première  Partie  que  dans  ce  cas,  les  ^  satis- 
font à  un  système  de  deux  équations  didérenlielles  linéaires  que  nous  avons 
appelées  équations  aux  variations  des  équations  (9).  Nous  avons  vu  également 


456  SUR  LE  PROBLÈME  DES  TROIS  CORPS 

que.  ces  équations  linéaires  admettent  deux  solutions  remarquables;  que  la 
première  de  ces  solutions  est  multipliée  pare'*''  quand  ji  augmente  de  2  tt,  et 
que  l'autre  est  multipliée  par  e'-"'^. 

Pour  /  :=  o,  Âa  est  un  multiple  de  2  ii:,  de  sorte  que  e-*'^  et  e  '-"''  sont  deux 
racines  A'*^"'"'  de  l'unité.  Donc  nos  deux  solutions  se  reproduisent  quand  ji 
augmente  de  2  Atï.  Comme  l'équation  est  linéaire,  la  solution  générale  est  une 
combinaison  linéaire  de  ces  deux  solutions  remarquables,  et  elle  ne  change  pas 
non  plus  quand  )•)  augmente  de  2  kr:. 

Comme  'j'i  et  i]/..  sont  précisément  les  accroissements  que  subissent  ti  et  ^., 
quand  ji  passe  de  la  valeur  zéro  à  la  valeur  2  Att,  ']ii  et  i]>2  doivent  être  nuls; 
mais  cela  n'est  vrai  que  quand  Çi  et  ^o  (ou  {3i  et  (â^)  sont  assez  petits  pour  qu'on 
puisse  en  négliger  les  carrés;  ce  seront  donc  seulement  les  termes  de  ^,  et '];•.. 
qui  sont  du  premier  degré  en  pj  et  (3o  qui  seront  nuls.  c.   q.  f.   d. 

Soient  a{3,  +  b^-2  les  termes  du  premier  degré  de  ij>i,  c(3i+e(3o  les  termes  du 

premier  degré  de  i^^.  Nous  venons  de  voir  que  pour  X  .=  o  : 

rt  =  &  =  c  =  e  =  o. 

Soit  encore  pour  )>  ^  o  : 

du  ,  db        , ,  de  ,  de  , 

dk  '  rfX  dK  d\ 


Je  dis  que 

En  effet  l'équation  en  S  : 


a  -t-  e  =  o. 


(rt  — S)(<'  — S)  — 6c  =  o 

admet  pour  racines  (c/.  §  12) 

S  =1  — e-="'''^,         S  =  1  — e-'-*'!':; 

pour  /  =  o,  ces  deux  racines  sont  nulles;  si  À  est  assez  petit  pour  qu'on  puisse 
en  négliger  le  carré,  elles  seront  égales  à  ±  2  Att  y,-  "k.  L'équation  en  S  : 

{a  —  S)(e' — S)  —  b' c  —  o 
aura  donc  pour  racines 


et  comme  ces  deux  racines  sont  égales  et  de  signe  contraire  on  aura 

rt'-l-  e'  =  o. 

De  plus  «',  e',  h'  et  c'  ne  seront  pas  nuls  à  la  fois  en  général.  En  efl'et  cela  ne 


ET  LES  ÉQUATIONS  DE  LA  DYNAMIQUE.  457 

I  ■         .  da.  da    ,      ■  i  /-.  ■  .   i   ■  •   i 

pourrait  avoir  lieu  (jue  si  -7^  ^  -p  etail  nul.  (Jr  p-o  est  une  quantilc  choisie  de 
telle  sorte  que  a  (qui  est  une  fonction  de  [j.)  soit  commensuraljlo  avec  2  in.  Or 
-r  ne  pourrait  s'annuler  pour  toutes  les  valeurs  commensurables  de  — —  qu'en 

au.  '  '  2  (  X   ^ 

s'annulant  identiquement;  alors  a  serait  une  constante  (qui  devrait  d'ailleurs 
être  nulle  puisque  a  ^  o  pour  fji  =  o)  ce  qui  n'a  pas  lieu  en  général. 

Nous  avons  vu  que  pour  X  =  o  les  termes  du  premier  degré  de  <hi  et  de  t{>j 
s'annulent  identiquement.  Supposons  qu'il  en  soit  de  même  des  termes  du 
deuxième  degré,  du  troisième  degré,  etc.,  du  (m  —  ]y«m=  degré,  mais  que  les 
termes  du  m'"""'  degré  ne  s'annulent  pas  identiquement  dans  ij'i  et  dans  <\2  pour 
X  =  o.  Soit  0|  l'ensemble  des  termes  du  /«"""'  degré  de  tj'i  pour  À  =  o;  soit  Oo 
l'ensemble  des  termes  du  /«"'""'degré  de  ']/j  pour  X  =  o.  Ainsi  5|  et  0^  sonldeus 
polynômes  iiomogénes  du  /m"'"""  degré  en  ^^  et  [î^  et  de  ces  deux  polynômes  l'un 
au  moins  ne  s'annule  pas  identiquement. 

Posons 

J;,  =  a'À,'ii,-(- 6'Xp, -f  0,-Mo,,         ■l/o=  r'X;^,  — «'X;"i2+ 0,+  coo. 

Alors    W|    et   ojo    seront   un    ensemble    de    termes   qui    seront    :    ou   bien   du 

(m  +  I  )''""'  degré  au  moins  par  rapport  aux  (3,  ou  bien  du  deuxième  degré  au 

moins  par  rapport  aux  [3  et  du  premier  degré  au  moins  par  rapport  k\,  ou  bien 

du  premier  degré  au  moins  par  rapport  aux  ^  et  du  deuxième  degré  au  moins 

par  rapport  à  A. 

Je  me  propose  de  démontrer  que  l'on  peut  tirer  des  équations  (  10)   pi  et  p.j 

1 
en  séries  ordonnées  suivant  les  puissances  de  X'"    '  et  dont  tous  les  termes  ne 

sont  pas  nuls. 

Mais  il  faut  d'abord  que  je  démontre  que  l'on  a  identiquement 

En  elïet  il  existe  un  invariant  intégral  positif.  Nous  en  concluons  qu'il  existe 
une  intégrale  //  •!•  (Ei,  fcj)  <^Çi  rf^-..  qui  a  la  même  valeur  pour  une  aire  quel- 
conque appartenant  à  la  portion  de  surface  sans  contact  j)i  ;=  o  et  pour  toutes 
ses  conséquentes. 

De  plus  la  fonction  tl»  est  pcjsitive.  Donc  "i*  (o,  o)  n'est  pas  nul;  ou  multipliant 
la  fonction  <I>  par  un  facteur  convenable,  nous  pourrons  donc  toujours  supposer 

(I)((),   o)  =  I. 

H.  r.  —  VII.  58 


458  SUR    LE    PROBLÈME    DES   TROIS   CORPS 

Mais  le  point 

f,=  :-, -(-<}.,,  ?..  =  p.. -(- ^.,  _;■,=.  2  An:. 

est  le  A"'"""'  conséquent  du  point 

On  nura  donc  pour  une  aire  (pielconijue  : 

d'où  l'identilc 

Nous  supposerons  X  =  o,  nous  aurons  donc 

Les  0  ne  conlieunent  alors  que  des  termes  du  ni"'"'^'  degré  et  les  w  que  des 
termes  du  (m  +  i  )"'""  degré  ou  de  degré  supérieur. 
11  résulte  de  là  que  la  difléience 

ne  contient  que  des  termes  du  //t"'""^  degré  au  moins  par  rapport  ii  pi  et  à  (S,. 
Si  l'on  convient  de  négliger  les  termes  du  m"""'  degré  et  de  degré  supérieur,  on 
pourra  écrire 

On  aura,  en  négligeant  toujours  les  termes  du  m'"'"'  degré  . 

V,i,  f/(3,  //pi  (/p, 

r/(p,  +  6|)  _  ^  f/(  p., +  ({;.,)   _  rfO, 

'/.•••  ~  f/[i!  '  <r/pi  ~  '/pi 

et 

<',  r/p.j  '/;%  r/p,  f/pi      ^/;-,' 

de  sorte  qu'en  idenlidant  dans  l'identité  (i  i  )  tous  les  termes  do  degré  inférieur 
à  m,  on  arrive  à  la  relation 

*(^"î^^)te--;7p;)  =  "- 


ET    LES    ÉQUATIONS    DE    LA    DYNAMIQUE.  459 

Dans  le  premier  membre  de  cette  relation,  nous  ne  devons  conserver  .que  les 
termes  de  degré  ni  —  i  au  plus,  de  sorte  qu'il  reste 

^/O,        f/0., 

-—^—-=0.  C.    Q.    I'.    D. 

Posons 

x  =  ±T,"'-i,      fi,  =  Ti-n,      P-2  =  T2i; 

on  voit  que  Oi  et  0^  deviennent  divisibles  par  r/"  et  Wf  et  co,  par  yj"'^',  de  sorte 
que  l'on  peut  poser 

d'où 

4-1  =±-r)»'(n'Y,-(-6'f2)H-T/«0'|  -,-71 '"+10)',, 

4/o  =  dr  T|"i(c'f,  — a'Y2)  +  •r,'"e';-f-  •r|"'+U.y<,, 

de  sorte  que  nos  équations  (  lo)  peuvent  être  remplacées  par  les  suivantes  : 

(12)  ±(rt'YiH-  6'y.2)  +  "'1  +  r^M\  =  o,         rh(c'Yi— «'72)-)-  O'j -t- rjo/o  =  o. 

Je  dis  que  l'on  peut  tirer  de  ces  équations  yi  et  ya  en  séries  ordonnées  suivant 
les  puissances  de  -f]  et  sans  que  ces  séries  soient  identiquement  nulles. 
En  vertu  du  théorème  IV  (!:;  2),  il  nous  suffit  pour  cela  d'établir  : 

1"  Que  les  équations  (12),  ([uand  on  y  fait  r,  =:  o,  admettent  au  moins  un 
système  de  solutions  réelles  : 

2"  Que  si  l'on  fait 

7)  =  o,         Ti  =  Ty,         T-J  =  ï? 

le  déterminant  fonctionnel  des  premiers  membres  des  deux  équations  (12)  par 
rapport  à  yi  et  y  a  n'est  pas  nul. 

Cela  revient  à  dire  que,  pour  les  équalions  (12)  réduites  par  la  supposition 
de  ï]  ^=  o,  la  solution 

doit  être  une  solution  simple. 

Mais  en  vertu  des  théorèmes  V  et  VI  du  paragraphe  2  et  de  leurs  corollaires, 
on  peut  encore  développer  y,  et  y^  suivant  les  puissances  de  rj,  quand  même 
cette  solution  serait  multiple,  pourvu  que  l'ordre  de  multiplicité  soit  impair. 

Nous  sommes  donc  conduits  à  envisager  les  équations 

(i3)  .-t(«'Y, +  6' yo) -(-()',  =  0,  ±(c'y,  — a'Y2)-^6'2  =  o 


4Co  SUR  LE  PROBLÈME  DES  TROIS  CORPS 

et  uoiis  devons  chercher  à  démontrer  que  ces  équations  admettent  au  moins 
une  solution  d'ordre  impair. 

De  CCS  équations  nous  pou\ous  tirer  lu  suivante  : 

(  1.1)  (rt'v,-)-  ^'v,)  0'.  — (c'  V,—  «'y,)  0',  =  o 

qui  est  liomogéne  et  dont  ou  pourra  par  conséquent  tirer  le  rapport  —  • 

11  est  clair  que  0',  etO',  sont  formés  avec  yi  et  y^  comme  0,  et  0^  avec  ^^  etp^; 

on  aura  donc 

./()',       rfO'., 
~/ — *-  rr  =°- 

Cela  prouve  qu'il  existe  un  polynôme/  homogène  et  de  degré  m  +  i  en  y,  et 
y.j  et  qui  est  tel  que 

«y  2  «yi 

De  même  si  nous  posons 

/i  =  -  (6'y|-l-  layr,'".—  c'y^  ) 

il  vient 

a  y,  +  6  y.,  =  -1—,  c  y,  —  a  y»  = ■—; 

«y»  «yi 

de  sorte  que  l'équation  (i4)  peut  s'écrire 

<7yo   (/y,        (/y,   i/-^.. 


Considérons  l'expression 


j  1 


Elle  est  homogène  et  de  degré  zéro  par  rapport  à  yi  et  yj  ;  elle  ne  dépend  donc 

f  du  rapport  —  •  Je 

I  1  y„ 

En  ellel  l'é(]uation 


que  du  rapport  —  •  Je  dis  que  le  dénominateur /"i  ne  peut  jamais  s'annuler. 


(  «'  —  S  )  (  e'  —  S  )  —  l/'c  =  o 

doil  avoir  ses  deux  racines  imaginaires,  d'où 

a'  n'  —  6'  c'  =  —  a'-  —  //  c'  <;  o 

d'où 

f7'-+  i'c'>  O, 

ce  qui  prouve  que  la  foinie  quadratique;  J\  est  définie.  L'expression  II  ne  peut 


ET   LES   ÉQUATIONS   DE   LA    DYNAMIQUE.  46l 

donc  jamais  devenir  infinie.  Elle  admellra  donc  au  moins  un  maximum.  Pour 
ce  maximum  on  devra  a\oir 

d'\i  </"'[        d'{\   d-^1 

Ainsi  l'équalion  (i4)  admet  au  moins  une  racine  réelle.  Elle  sera  en  général 
simple.  En  tout  cas,  elle  sera  toujours  d'ordre  impair,  car  un  maximum  ne  peut 
correspondre  qu'à  une  racine  d'ordre  impair. 

Nous  avons  tiré  de  l'équalion  (i4)  le  rapport—;  nous  pouvons  donc  poser 

Oi  et  Ô2  étant  des  quantités  connues. 

Il  nous  reste  maintenant  à  déterminer  u.   Pour  cela  dans  la  première  des 
équations  (  i3)  je  remplace  yi  et  Vo  par  oi  u  et  Ô2M,  il  vient 

6',  =  («"'0';,      0;  =  u"'V:,, 

Û'I  étant  formé  avec  ôj  et  ô^  comme  0',  avec  yi  et  --j  ;  d'où 
(l5)  àz(a  S,+  b'à«)  -h  6"  ;<'"-'  =  o. 

Celte  équation  doit  déterminer  a;  si  m  est  pair  elle  aura  une  racine  réelle;  si  m 
est  impair  (et  c'est  d'ailleurs  ce  qui  arrivera  en  général)  elle  aura  deux  racines 
réelles,  ou  pas  de  racine  réelle;  elle  aura  deux  racines  réelles  si  0"  et 
±  (rt'ôi+ 6'ô.j)  sont  de  signe  contraire;  mais  on  peut  toujours,  grâce  au  double 
signe  ±,  s'arranger  pour  qu'il  en  soit  ainsi. 

L'équation  (  i5)  admet  donc  au  moins  une  racine  réelle.  De  plus  celle  racine 
est  simple.  Il  n'y  aurait  d'exception  que  si 

<('3i  +  è'S2=o         ou         0",  =  o. 

Mais  dans  ce  cas  on  remplacerait  l'équalion  (  i5)  par  la  suivante  : 

zfc  (f'oi  —  a'S;)  -4-  O'ô  a'"-i  =  o. 

Il  n'y  aurait  donc  plus  de  difficulté  que  si  l'on  avait  à  la  fois 

rt'3|  -I-  6'  5>  ^  c'  5i  —  a  So  =  o 
OU  bien 

fl"i  =  O'i  =  o. 

La  première  circonstance  ne  peut  pas  se  produire  à  cause  de  l'inégalité 

«'2+  b' c'>  o. 

La  seconde  circonstance  pourrait  au  contraire  so  présenter.  Il  peut  se  faire  que 


46>  SUR    LE    PROBLÈME    DES    TROIS   CORPS 

l'équalion  (  i4)  adiuellc  une  racine  lelle  que  0,  =:  0!,  =  o.  Mais  je  dis  que  dans 
ce  cas  l'équalion  (  i  "î)  admcllra  encore  au  moins  une  racine  pour  laquelle  celle 
circonslance  ne  se  protiuita  pas. 
En  efVel  on  a  idenliquemenl 

w/=V,0', -Y,0'„. 

Si  donc 

O'i  =  0',  =  o 

on  aura/ ^  0  el  puisque y'i  n'esl  jamais  nul 

H  =  o. 

11  pcul  se  faire  en  effel  que  l'expression  II  admelle  zéro  comme  maximum  ou 
comme  miuimum.  Mais  celle  expression  n'esl  pas  idenliquemenl  nulle  puisque 
0',  cl  0'.,  ne  sonl  pas  tous  deux  idenliquemenl  nuls;  de  plus  elle  resle  toujours 
linie;  elle  devienl  donc  soil  posilive,  soil  négalive  ;  si  elle  devient  posilive,  elle 
aura  un  maximum  positif  el  difTérenl  de  zéro;  si  elle  devienl  négative  elle  aura 
un  minimum  n(5galif  el  différent  de  zéro. 

Ainsi  l'équation  (i4)  admet  toujours  au  moins  une  racine  réelle  d'ordre 
impair  telle  que  0",  el  O'I  ne  s'annulent  pas  à  la  fois. 

Donc  les  équations  (  i3)  ont  au  moins  une  solution  réelle  d'ordre  impair. 

Donc  on  peut  trouver  dos  séries  qui  ne  sont  pas  idenli(|uement  nulles,  qui 
sont  développables  suivant  les  puissances  fractionnaires  positives  de  /j. —  ;j-u  et 
qui  satisfont  aux  équations  (  lo)  quand  on  les  substitue  à  (3,  el  P^. 

Donc  il  existe  un  sj'slcme  de  solutions  périodicjues  de  période  2Â'7r  qui  pour 
p  =  fio  se  confondent  avec  la  solution 

Ce  sont  les  solutions  périodiques  du  deuxième  genre. 

21. —  Divergence  des   séries  de  M.  Lindstedt . 

Je  voudrais  terminer  l'exposé  des  résultats  généraux  de  ce  Mémoire  en  appe- 
lant particulièrement  l'altention  sur  les  conclusions  négatives  qui  en  découlent. 
Ces  conclusions  sonl  pleines  d'intérêt,  non  seulement  parce  qu'elles  font  mieux 
ressortir  l'élrangelé  di^s  rcsullals  obtenus,  mais  parce  qu'elles  peuvent,  en  vertu 
précisément  de  leur  nature  négalive,  s'étendre  immédiatement  aux  cas  plus 
généraux,  tandis  que  les  conclusions  j)ositives  ne  peuvent  se  généraliser  sans 
une  démonstration  spéciale. 


ET  LES  ÉQUATIONS  DE  LA  DYNAMIQUE.  463 

Je  me  propose  d'abord  de  déinonlrorque  les  séries  proposées  par  M.  Lindsledl 
ue  sont  pas  convergenles  ;  mais  je  veux  auparavant  rappeler  en  quoi  consiste  la 
méthode  de  M.  Lindstedl.  Je  l'exposerai,  il  est  vrai,  avec  des  notations  dilTc- 
rentes  de  celles  qu'avait  adoptées  ce  savant  astronome,  car  je  désire,  pour 
plus  de  clarté,  conserver  celles  dont  j'ai  fait  usage  plus  haut. 

Mettons  les  équations  de  la  Dynamique  sous  la  même  forme  que  dans  la 
seconde  partie  du  présent  Mémoire  et  écrivons 


dx,        d¥ 

dx. 

d¥ 

"''•i 

dF 

dy. 

d¥ 

dt          dvi  ' 

dt 

-  dy,' 

dt 

dx\  ' 

dt 

dx. 

F  sera  une  fonction  donnée  des  quatre  variables  Xi,  x-^,  Vi  e\. y^  et  nous  aurons 

F  =  Fo-t-iJiF,. 

F„  sera  une  fonction  de  Xi  et  de  x-i,  indépendante  de  v't  et  de  }'■..;  p.  sera  un 
coeflicienl  très  petit,  de  sorte  que  //F,  sera  \di  fonction  perturbatrice. 

C'est  en  effet  sous  cette  forme  que  se  présentent  les  problèmes  de  la  Dyna- 
mique et  en  particulier  les  problèmes  de  la  Mécanique  céleste. 

Si  iJ.  était  nul,  x^  et  X2  seraient  des  constantes.  Si  [x  n'est  pas  nul  mais  très 
petit,  et  qu'on  appelle  ^i  et?.)  les  valeurs  initiales  de  Xi  et  de  x^^,  les  différences 
X\  — ^1  et  X2  —  ço  seront  du  même  ordre  de  grandeur  que  [j.. 

Si  donc  nous  appelons  «i   et  «•>  les  valeurs  de  —  -r-^  et  de   —  -r-^  pour 

'  ■  "  (IXi  dx-    ' 

Xi^i^i,  372=^^2,  les  différences  —  -t-^ — «,  et  —  -^  —  n-,  seront  du  même 
ordre  de  grandeur  que  p.,  ce  qui  nous  permettra  de  poser 

rfFo  ,  .  d¥^  ,  ^ 

'sfi  et  cpo  étant  des  fonctions  de  Xi  et  de  x-:,  qui  ne  sont  pas  très  grandes. 
Les  équations  du  mouvement  s'écrivent  alors 


dt 

dF, 

=  '-dyr 

dx,          ,/F, 
dt   "'■"  dy.. 

U 

dF,\ 
dx.J' 

dy, 

dt    -'"■'^' 

dFj\ 
dx,  1 


Supposons  maintenant  que  Xi,  x,, yi, y-i  au  lieu  d'être  regardés  directement 
comme  des  fouclions  de  t  soient  regardés  comme  des  fonctions  de  deux  variables 
Wi  et  tVa  et  que  l'on  pose 


464  SUR    LE    PROBLÈME    DES    TROIS    CORPS 

fô,   et  f-îj  seront  Jiïs  conslaules  tl'inlù^ration  arbitraires;  li   ol  Àj  scronl  des 
conslaiiles  que  la  suite  du  calcul  déterminera  complètement. 
Les  équations  du  mouvement  deviennent  alors 

</.)■,             r/.r,  (VF, 

>•  I  -} f-  >-2  -, [Ji  -1—  =  o, 


X, 


- 1  "7 h  A.  -j /(  1  —  ,u  I  (p ,  —   -^ — 

-i 1-  A-i  i «2  —  l^  (  ?2  -    -; —      =  o. 

Posons  maintenant 


oTi  =  .;■"   +  [ji.r;  -t- |j.-a;j -t- jjL-^j;v +  ••■! 
.To  :=  .^5   -I-  l'-3^'i  -+-  K'-î^i  +  iJ-'-Krl  + . . . , 

,  .Vi—  "'1  =  I-i.'  1  +  ;-i-.>  Î-+- , 

(a)  < 

]  j-o  —  »■.,  =  ixyl  -+-  l-t-.)i  + 1 

).,=    Àî    -+-|JtXl  +  |i-^Àf  +  ... , 

;,,=  À?  -t-,jix;  +  Hi=xi-i- 

Je  suppose  que  les  coefficients  "kf  sont  des  constantes  et  que  les  coefficients 
y'-  et  xf  sont  des  séries  trigonomélriques  ordonnées  suivant  les  sinus  et  les 
cosinus  des  multiples  de  iv'i  et  de  (v-,. 

Je  supposerai  d'ailleurs  comme  je  l'ai  toujours  fait  jusc[u'ici  que  Fi  est  une 
série  Irigonomélrique  dépendant  des  sinus  cl  cosinus  des  multiples  de_^)  et  de 
yi  et  que  les  coefficients  de  celte  série  sont  des  fonctions  holomorphes  de  a;,  et 
de  Xj. 

Dans  ces  conditions,  si  dans  les  premiers  membres  des  équations  (  i  )  je 
substitue  à  la  place  de  li,  ^-j,  J'i,  J'ai  Xt  et  x^  leurs  valeurs  (2),  j'aurai  quatre 
fonctions  développées  suivant  les  puissances  croissantes  de  fx,  et  il  esl  clair  que 
les  coefficients  des  diverses  puissances  de  jj.  seront  des  séries  ordonnées  suivant 
les  lignes  trigonomélriques  des  multiples  de  a'i  et  «a- 

J'appelle  <&,,  $j,  <I»',  el  *^.,  ces  quatre  fonctions. 

Cela  posé,  le  théorème  de  M.  Lindsledt  consiste  en  ceci  : 

Il  est  possible,  quelque  grand  que  soit  q.  de  déterminer  les  217  +  3  cons- 
tantes 

-.0)1  )  '/  ■  /  "         )  '  '/'/ 

et  les  /j  7  séries  trigonométriques  : 


X 


i> 


.,    x'(;       xt,    ...,    xï;      y\,    ■■■,   yl;      r»,    ■••,   r?> 


(3)  ( 


ET  LES  ÉQUATIONS  DE  LA  DYNAMIQUE.  465 

de  façon  à  annuler  dans  <ti,  <J>.2i  ^'i  et  4».,  les  termes  indépendants  de  p.  et  les 
coefficients  des  q  premières  puissances  de  /jl,  de  façon,  en  d'autres  termes,  à 
satisfaire  aux  équations  du  mouvement  aux  quantités  près  de  l'ordre  de  ij-I^' . 
On  trouve  d'abord 

Wi   et  Wj   étant  des   constantes  d'intégration  que  nous  supposerons  de  l'ordre 
de  iJ.. 

Supposons  que  l'on  ail  déterminé  par  un  calcul  préalable  : 

A,  ,      /.,  ,       .  •  . ,      /.,'       ,  J-,  ,      J-,  .       .  .  . ,      ^j'       ,  j  j  ,      .  .  . ,      1  ji      , 

et  que  l'on  se  propose  de  déterminer  >,'^,  }''„,  x'{.  x'i,  y'{,  ri.  Pour  cela,  écrivons 
que  le  coefficient  de  p.^  est  nul  dans  <l»i,  »D.j  et  4»',,  4»',. 

11  vient 

f/x?  clx'l       ,. 

/i,  -= h  tu  - —  =  Xi, 

dxX  clx% 

/il  -T-i  H-  «2-^-^  =  Xo, 

J    «  I  -, H  "  .  -, h  A  f  =   ^  I  , 

I  fAl'i  «H'o 

«,  -7^  -h  «2  -^  -+-  X?  =  Yo, 
1         dw\  dw-i 

X(,  X-j,  Y,  et  Vj  étant  des  fonctions  connues. 

X|,  Xj,  Yi  et  Yo  sont  des  séries  trigonométriques  en  ti'i  et  w-^. 
Pour  que  l'intégration  des  équations  (3)  soit  possible,  il  faut  : 

i"  que  le  rapport—  soit  incommensurable,  ce  qu'il  est  toujours  permis  de 
supposer  ; 

2°  que  dans  les  séries  trigonouiétriques  Xj  cl  X^,  les  termes  tout  connus 
soient  nuls.  Il  eu  est  effectivement  ainsi,  mais  la  démonstration  de  ce  fait 
important  est  délicate  et  ne  saurait  trouver  place  ici  ;  je  me  borne  à  dire  qu'elle 
doit  être  fondée  sur  l'emploi  des  invariants  intégraux; 

3"  que  dans  les  séries  trigonométriques  Yi  et  Y.i,  les  termes  tout  connus  se 
réduisent  à  V[  elXf;  comme  Af  et  \%  sont  deux  inconnues,  nous  déterminerons 
ces  inconnues  par  cette  condition. 

L'intégration  des  équations  (3)  est  alors  possible.  Leur  intégration  introduira 
quatre  constantes  arbitraires.  A  chaque  approximation  nouvelle,  nous  aurons 


H.  p.  —  VII. 


39 


466  SUR    LE    PROBLÈME    DES   TROIS   CORPS 

ainsi  qiialre  constantes  d'inU''grnU()ii  de  plus;  nous  leur  donnerons  des  valeurs 
quelconques  et  nous  ne  conserverons  d'iiulres  constaules  arbitraires  queoji,  to.j, 
0)1  el  oj.j. 

Ainsi  les  st^ries  de  .M.  LindsLedl  sonl  des  séries  Irigononiélricjues  en  ui  el 
tVa;  elles  sont  développées  suivant  les  puissances  de  p.  el  iuissi  suivant  les 
puissances  des  deux  constantes  w,  cl  w^. 

Ces  séries,  d'après  le  théorème  de  M.  Lindstedt,  saùsfoal  for  me  lie  me  ni  ;hix 
é(ju;ilions  du  niouvenienl.  Si  donc  elles  étaient  uniformément  convergentes, 
elles  nous  donneraient  l'inléf^rale  générale  de  ces  équations. 

Je  dès  ijue  cela  n'est  pas  possible. 

En  ellel,  supposons  ([u'il  en  soit  iiinsi  el  (jue  nos  séries  convergent  uniformé- 
ment pour  tontes  les  valeurs  du  temps  et  pour  les  valeurs  suffisamment  petites 
de  fx,  de  wi  et  (jj._, . 

11  est  clair  (pie  ^|  et  X.j  sont  aussi  des  séries  ordonnées  suivant  les  puissances 

de  \J.,  t»!  et  (Oj.  Pour  certaines  valeurs  de  wi  el  coj  le;  rapport  r^  est  commensu- 

rable.  Les  solutions  particulières  qui  répondent  à  ces  valeurs  des  constantes 
d'intégration  sont  alors  des  solutions  périodiques. 

Nous  avons  vu  plus  haut  que  toute  solution  périodique  admet  un  certain 
nombre  d'exposants  caractéristiques.  Voyons  comment  on  peut  calculer  ces 
exposants  quand  on  possède  l'intégrale  générale  des  équations  données. 

Soit 

Xi  =  lj<l(/,    U)|,    Wo,  ÔJi,   ÎO.j),  .t;i=  4'2(/,   U),,   (U2,  î»,,   ÛSo  ), 

.)1  =  '{''iC)    '^l>    '"2)  <^ll    '■>!)!  .12=  i'îCl    l^lj    («!>  <>î|,   <"s) 

cette  intégrale  générale. 

Supposons  qu'en  donnant  à  dJi,  6u,  (i>i  et  w.j  des  valeurs  déterminées  w,',  co", 
ûj,  cô°,  les  fonctions  (j;,,  <\i.,.^  '|î,  <]^"„  deviennent  périodiques  en  t.  Pour  avoir  les 
exposants  caractéristiques  de  la  solution  périodique  ainsi  obtenue,  nous  for- 
merons les  seize  dérivées  partielles: 


dx. 

</x. 

'Ol 

,/ro . 

<yâ>i 

i/<j3\ 

r/tô| 

t/wi  ' 

,/x, 

r/j-. 

'(y, 

dv,_ 

ltM« 

t/lOn 

(■/tOo 

c/ioj  ' 

,/x, 

ET  LES  ÉQUATIONS  DE  LA  DYNAMIQUE.  467 

el  nous  y  ferons  ensiiiie 

Alors  -j-^  par  exemple  prendra  la  forme  suivante  : 

dx\ 

-^  =  <?'.'0i(/;-f-e»!'e2('/)-)-e='.'0..,r«)-^e»'0i(O, 

les  a  élanl  des  constantes  ot  les  0  des  fonctions  périodiques. 
Les  a  sont  alors  les  exposants  caractéristiques  cherchés. 
Appliquons  cette  régie  au  cas  qui  nous  occupe.  Nous  avons 

cpi  étant  périodique  en    W\  et  en  w-,. 
Il  vient  alors 


dx\   _  c/si  r/./:,   d-^\         (  d'i.t    d:ft         f/Àj  rfs 


dto,        duj,         \diiii  divi        rfioi   dWi) 
Les  trois  fonctions 


r/ivi         rf<i)|  .-/o)!   rfnj|         d(i>,   dw« 

sont  périodiques  en  Wi  et  w^  et  par  conséquent  en  t. 

Un  trouverait  pour  -^-  et  -; —  des  expressions  analogues. 

Cela  prouve  que  les  exposants  caractéristiques  sont  nuls. 

Donc,  si  les  séries  de  M.  Lindsledl  étaient  convergentes^  tous  les  exposants 
caractéristiques  seraient  nuls. 

Dans  quel  cas  en  est-il  ainsi  ? 

Nous  avons  vu  plus  haut  la  manière  de  calculer  les  exposants  caractéris- 
tiques {%  10  et  12). 

Dans  ce  dernier  paragraphe  nous  avons  vu  que  les  exposants  caractéristiques, 
relatifs  aux  équations 

dXi  _  d\-\  dVt  dvi  _        </Fu  dVt 

dt  dy,         '    d),  dt    ~        dx,        '  '  dxi 

pouvaient  se  développer  suivant  les  puissances  de  \/ix;  nous  avons  appris  à 
former  l'équation  qui  donne  le  coefficient  «i  de  \^.. 

Rappelons  comment  se  forme  cette  équation  : 

Nous  avions  posé  dans  le  paragraphe  cité 

_         f/-F,  ,         d'-f, 

^it  —  —  -rr—r-i         «,-*  = 


dxi  dxk  dyi  dyk 


468 


SUR    LE   PROBLEME    DES   TROIS   CORPS 


Dans  ces  dérivées  secondes  on  suppose  x,  d  x->  remplacées  par  x",  el  xl,  pen- 
dant que  )|  el  y-2  sonl  remplacées  par  n^l  -+-  wi,  n^t  -+-  ojo  (').  C"^  est  donc  une 
constante  et  B/^. une  fonction  périodique  de  t.  J'appelle  bu  le  terme  tout  connu 
de  celte  fonction  périodique. 
Posons  ensuite 

eii  =  l'nC",,  -f-  il, es.,,         c,  =  b-n  G».,  +  b..Ct,. 

L'équation  qui  nous  donne  a,  s'écrira  alors 

en  — «î  Ci2 

t'ïi  e.22  —  y-1 

Pour  que  celle  équation  ait  toutes  ses  racines  nulles,  il  faudrait  que  l'on  eût 

en  +  «22=  o 

et 

(4)  bnC.%  +  2b,,,C1.-hb.,«C?,.  =  o. 

Or  on  a,  comme  je  l'ai  démontré  dans  le  paragraphe  cité  : 

«1  /yii  -)-  /i.,bi«=  ii\bi\-\-  «2^22=  o. 

Il  faut  donc  pour  (jue  l'identité  (4)  iiil  l'eu  ou  bien  que 

(5)  6,,  =  o 

ou  bien  que 

(6)  « i  Gî  I  —  2  n  1  «2-G','  2  4-  ii\  Cl 2  =  o. 

Occupons-nous  d'abord  de  la  relation  (5).  Si  nous  faisons  dans  la  fonction 
perturbatrice  Fi 

Xi=  x\^  X^^  xl,  J'i  =  /(i/  +  0)1,  )  2  =  «2'  -t-  "J2, 

F<  deviendra  une  fonction  périodi(pie  de  t.  Supposons  celte  fonction  périodique 
développée  en  série  trigonomélrique,  et  soit  i]>  le  terme  tout  connu;  'i  sera  une  , 
fonction  péiiodique  de  wi  el  m.,  et  il  viendra 


ba  = 


■U'iidiiiii 


(';  Iiiulilt-  de  rappeler  ici  que  ces  valeurs  de  x\,  a.»',  rt,,  «,  sonl  celles  qui  correspondent  à  la 
solution   périodique  étudiée;  ce  ne  sont  pas  celles  dont  nous  avons  fait  usage  plus  haut  dans 

l'exposé  de  la  iiictliode  rlr  M,  l.indstcdt.  Le  rapport  — '  est  donc  coininensurable. 


ET    LES    ÉQUATIONS    DE    LA    DYNAMIQUE.  469 

Nous  devrons  donc  avoir 

Nous  pourrons  toujours  supposer  que  l'origine  du  temps  a  été  choisie  de 
telle  sorte  que  m-,  soit  nul  et  que  i|>  soit  fonction  périodique  de  wi  seulement. 

De  plus  la  relation  (-)  devrait  être  (si  les  séries  de  M.  Lindstedt  conver- 
geaient) satisfaite  identiquement.  Et  en  effet,  si  l'on  admettait  la  convergence 
de  ces  séries,  il  y  aurait  une  infinité  de  solutions  périodiques  correspondant  à 

chaque  valeur  commcnsurable  du  rapport  —  • 

Si  la  relation  (^)  est  une  identité  et  si  ']/  est  une  fonction  périodique,  celte 
fonction  devra  se  réduire  à  une  constante. 
Voyons  ce  que  cela  veut  dire  : 

La  fonction  perturbatrice  Fj  étant  périodique  par  rapport  à  ji  et  à_j-o  pourra 
s'écrire 

F,  =  SA,„,,„,  cos(»M,)i-l-  m-2  }■■:}-+-  SB,,,,,,,,  sinCmij-,  -1-  m^.y,), 

les  nii  et  les  m^  étant  des  entiers,  pendant  que  A„,^,„,  etB,„^,„^  sont  des  fonctions 
données  de  Xi  et  de  x^- 
On  aura  alors 

'h  =  V  A,°„,,„,cos(»(|Wi-+-  /"2ÏÔ-)  -I-  ^  B,",,,,,.  sin(ni,(ôi-i-  m-iw,), 

la  sommation  représentée  par  le  signe  V  s'étendant  à  tous  les  termes  tels  que 

«1  /«i  -I-  ri2 1H1  =  o, 

et  A,",  ,„^  et  B,"  ,„    représentant  ce  que  deviennent  „,^„,   et  B,„^,„^  quand  on  y 
remplace  X\  et  Xo  par  x\  et  x",. 

Comme  les  termes  périodiques  doivent  disparaître  de  '\i,  on  aura 

Ainsi  les  coefficients  A„^,„^  et  B,„_,„^  du  développement  de  la  fonction  pertur- 
batrice doivent  s'annuler  quand  on  y  donne  à  x^  et  à  x»  des  valeurs  telles  que 

«1  /«,  -I-  n^m^  =  o. 

Ou  bien  encore  on  doit  pouvoir  donner  an  rapport  —  des  valeurs  commensu- 

rables  sans  introduire  dans  la  fonction  perturbatrice  F(  des  ternies  séculaires. 
Il  est  clair  qu'il  n'en  est  pas  ainsi  dans  le  cas  particulier  du  problème  des 


470  SUR  LE  PROBLEME  DES  TROIS  CORPS 

trois  corps  que  nous  avons  examiné,  et  qu'on  n'y  peut  donner  au  rapport  des 
moyens  mouvements  une  valeur  comniensurable  sans  introduire  dans  la  fonc- 
tion perlurhalrice  des  termes  séculaires. 

Passons  maintenant  à  la  condition  [6),  qui  peut  s'écrire 

\iixi)     dx^         "  r/xt   i/xi  lixi  <ix-<        \àx\  /     dx'i 

Elle  exprime  que  la  courbe  Fo(a"i,  a72)  =  const.  a  un  point  d'inflexion  au 
poial  Xi^=  xi,  X2  =  xl- 

Comme  cette  condition  doit  être  remplie  pour  toutes  les  valeurs  de  xi  et 

de    t",    qui    correspondent     à    un    rapport  --   commensurable,     la     courbe 

Fo(a:4,  Xn)z=  consl.  devra  se  réduire  à  un  système  de  droites. 

C'est  un  cas  particulier  que  nous  laisserons  de  côté,  car  il  est  évident  que 
rien  de  pareil  n'arrive  dans  le  problème  des  trois  corps. 

Ainsi,  dans  le  cas  particulier  du  problème  des  trois  corps  que  nous  avons 
étudié  et  par  conséquent  aussi  dans  le  cas  général,  les  séries  de  M.  Lindstedt 
ne  convergent  pas  uniformément  pour  toutes  les  valeurs  des  constantes 
arbitraires  d'intégration  qu'elles  contiennent. 

22.  —  Non-existence  des  intégrales  uniformes  (i) . 

Reprenons  nos  équations  de  la  Dynamique  avec  deux  degrés  de  liberté 

r/x,  _  r/F  dyi^  _       d?_ 

dl         dyi  dt  dxi 

Ces  équations  admettent  une  intégrale  F  =  const.  Cette  intégrale  F  est  une 
fonction  analytique  et  uniforme  de  Xi,  x^,  )'),  y^  et  [t.;  périodique  de  période  27: 
par  rapport  à  j-|  et  à  y-j. 

.Je  me  propose  de  démontrer  qu'il  n'existe  pas  d'autre  intégrale  jouissant  des 
mêmes  propriétés. 

Soit  en  effet  <I»  =  const.  une  autre  intégrale  analytique  uniforme  par  rapport 
aux  X,  aux  j'  et  à  f;i  et  périodique  par  rapport  aux  y. 

Soit 

j;,  =  ç,(0,         .r.  =  92(0,         ri=?3(0,         .r2=?i(0 

une  solution  périodique  (de  période  T)  de  nos  équations  diflérentielles. 
C)   Voir  aux  Notes,  Intégrales  uniformes. 


ET   LES   EQUATIONS   DE   LA    DYNAMIQUE. 


471 


Soit 


,=  3,(n- 


93(0  H- ?3,  .»•,=  ?..(<)  +  ?, 


Soit  (3,:  la  valeur  de  ^,-  pour  <  =:  o;  soit  (3, -|-  i];;  la  valeur  de  ^,  pour  ^  =  T;  nous 
savons  que  les  i\i  sont  développables  suivant  les  puissances  croissantes  des  (3. 
Considérons  l'équation  en  S  : 


s 

di^, 

'-/•^ 

rf<J-, 

</,i> 

d<{.. 

d'f. 

dh 

d^.        ^ 
d'!>-i 

dh 

dif^ 
dh 

dh 

dh 

dh     \ 
d'h 

d^ 

d[i. 

dh 

dh 

Les  racines  de  cette  équation  sont  égales  à  e*^ — i,  les  a  étant  les  exposants 
caractéristiques  ;  deux  de  ces  racines  sont  donc  nulles,  et  dans  le  cas  particulier 
du  problème  des  trois  corps  que  nous  traitons,  les  deux  autres  racines  doivent 
être  diflerentes  de  zéro. 

Je  remarque  d'abord  que  nous  avons  : 

!d?_d^  d¥_d^  dP_d^  d¥_d^_ 

\  dXi  d'pi  dxi  d\ji  dyi  dpi  dy^  d'h  ~ 

^^'  \  d^d^  d^  d^  d^  d^  f/*  ^4^..  _ 

'   d.c,   dh  dx.  r/h  di  t   f/'h  dy-i  d'h 

Dans  les  dérivéee  de  F  et  de  it,  .r,,  X;.,  y\  et  >•■>  doivent  être  remplacées  par 

=p,(T),  =p,(T),9,(T),  v..,(T). 

On  peut  en  conclure  ou  bien  que  l'on  a 


dx\ 
dx\ 


dV 

ilx-i 

d^ 

dx-> 


d¥ 
dy, 
d^ 
d)  i 


7F 
dV, 
d<^ 


OU  bien  que  le  déterminant  fonctionnel  des  <\i  par  rapport  aux  (3  est  nul  ainsi 
que  tous  ses  mineurs  du  premier  ordre. 

D'autre  part  on  a,  en  désignant  par  9Î(<)  la  dérivée  de  (fi{(), 


U) 


dF    ,  ,    ^       dF    ,  .    ^       dF     ,  ,    ^ 


dxi 


?'.(o)- 


dxi 


?'»(o)- 


d^ 
dy, 


?3(o)- 


dF 
dyi 

dy.. 


ç'i  (o)  =  o, 
04(0)  =  o. 


472  SUR    LE    PROBLÈME    DES   TROIS   CORPS 

De  ces  éciualions  on  peut  conclure,  par  un  calcul  très  simple  donl  on  trouvera 
plus  loÏQ  le  détail,  que  si  les  équations  (2)  ne  sont  pas  satisfaites,  ou  bien  on 
aura 

(5)  o'i(o)  =  z'.,{o)  =  05(0)  =  9'i(o)  =  o; 

ou  bien  l'éijualiiin  on  S  aura  trois  racines  nulles  (les  quatre  l'acines  devraient 
même  être  nulles,  puisque  les  exposants  caractéristiques  sont  deux  à  deux  égaux 
et  de  signe  contraire). 

Or  nous  savons  que  l'équation  en  S  n'a  que  deux  racines  nulles;  d'autre 
part  les  équations  (5)  ne  peuvent  être  satisfaites  que  pour  certaines  solutions 
périodiques  très  particulières  (je  veux  dire  pour  celles  qui  sont  étudiées  dans 
la  Mécanique  céleste  de  Laplace,  Livre  X,  Gliap.  VI)  et  où  le  troisième  corps 
décrit  comme  les  deux  premiers  une  circonférence. 

Les  équations  (2)  devront  donc  être  satisfaites.  Elles  devront  l'être  pour 

jr,  =  9,(T),         .i-o=ço(T),        ,i-,=  93(T),         ,,„=ç,(T). 

Mais  comme  l'origine  du  temps  est  restée  arbitraire,  elles  devront  l'être  égale- 
ment quel  que  soit  t  pour 

j:,  =  1,(0,  Xi=o,(t),         j,  =  =,(<),         .•>!=?v(0- 

En  d'autres  termes,  elles  le  seront  pour  lous  les  points  de  toutes  les  solutions 
périodiques.  Je  dis  maintenant  que  ces  équations  sont  satisfaites  identiquement. 
Posons  par  exemple  : 

rf'I»    r/F  r/'I)    rfF 

dX2   i/X\         r/xi   d.i-2 

Il  est  clair  que  /  sera  encore  une  fonction  analytique  et  uniforme;  on  aura 
y"=o  pour  tous  les  points  de  toutes  les  solutions  périodiques.  Je  veux  établir 
que  /'est  identiquement  nul;  pour  cela  je  vais  montrer  que  l'on  a  identiquement 
pour  |jL  ^  o  : 

..=  /•=  '-^  =  ^  = 

En  effet,  considérons  une  solution  périodique  quelconque  du  premier  genre; 
soit 

celle  solution;  les  fonctions  q  seront  dévcloppables  suivant  les  puissances  de  p. 
et  quand  p  tendra  vers  zéro,  elles  tendront  respectivement  vers 


ET    LES   ÉQUATIONS    DE    LA   DYNAMIQUE.  473 

(x1  et  xl  étant  des  coiislantes  telles  que  —  soit  cominensiirable  et  w,  et  w^  les 
quantités  définies  dans  le  paragraphe  11  ).  Tant  que  fj.  n'est  pas  nul  on  aura 

Mais  la  fonction/  étant  analytique  et  par  conséquent  continue,  on  aura  encore 
pour  fi  =  o  (bien  que  pour  p.  =:  o  les  esposants  caractéristiques  s'annulent)  : 

J'  (xi,    X\,    «1  Z  +  W|,    /loi  -+-  û);)  =  O. 

Mais  si  l'on  considère  un   système  quelconque  de  valeurs  de  Xi   et  do  x<  on 
pourra  toujours  trouver  un  système  x\  et  x\  qui  eu  différera  aussi  peu  que  l'on 

voudra  et  qui  correspondra  à  une  valeur  commensurable  de  — •  Soit  alors 


Il  —  '21 


î.i  et  Xi  élanl  deux  entiers  premiers  entre  eux.  Nous  choisirons  t  de  façon  que 

fift -\-M,=  yi-i- 2kr.         (A-  entier). 


On  aura  alors 


n.>t  -+-  w«  =  ,—  (  J'i  -I-  ■-'.  k-  —  oji  )  -I-  W|> 


Si  nous  posons 
ou  devra  avoir 


«,<  +  (1)0=  )S  4- 2A:'-        (A:  entier), 

f{x",,  a;?,. )•',',. v?)  =  o. 

Etant  donnée  une  valeur  quelconque  de  y,,  on  peut  choisir  les  entiers  A- et  k' 

de  telle  façon  que  la  différence  j)'2  — ri  soit  plus  petite  en  valeur  absolue  que  y-^- 

Mais  nous  pouvons  toujours  choisira:^"  et  x'I  de  façon  que  ce  système  de  valeurs 

diffère  aussi  peu  que  l'on  veut  de  x,  et  de  ^j,  et  que  le  rapport  —  tout  en  étant 

commensurable  soit  tel  que  le  nombre  entier  li  soit  aussi  grand  que  l'on  veut. 
Par  conséquent,  étant  donné  un  système  quelconque  de  valeurs  de  x^,  x^,  yi 
el  y.2,  on  pourra  trouver  un  système  de  valeurs  qui  en  différera  aussi  peu  qu'on 
voudra  et  pour  lequel/sera  nul.  Comme  la  fonction /est  analytique,  elle  devra 
donc  être  identiquement  nulle  pour  p.  =  o. 

Cela  posé,  comme  /[«/(i,  p.)]  =  o  quels  que  soient  t  el  p,  il  vient,  pour 
tous  les  points  de  la  solution  périodique, 

d/         rif   ,h^x         dj_  ^92         dj_  dz,-^         dj   dz,  _ 
d\j.        dx^    d\x.         dx-i    djx         dVi    d\}.         '/)  2    dix 

H.  P.  —  VII.  60 


474  SUR  LE  PROBLÈME  DES  TROIS  CORPS 

Cette  relation  sera  vraie  en  particulier  pour 

a  =  o,         a,'i  =  a;î,         xn=  x^,         }-,=  «,?-+•  (iî,,         fn=  n-it -\- ûi^. 

Mais,  quand  fx  est  nul,  /  est  identiquement  nul,   par  conséquent  ses  dérivées 
par  rapport  aux  x  et  aux  )"  sont  nulles.  On  a  donc 

"'/'  0  ,        - 

_:_  =  I)         pour     (1  =  o,         Xi=Xi,         y,  = /(,7 -i- lo/; 

et  l'on  en  conclurait  comme  plus  haut  que  -^  est  identiquement  nul  pour  p-^o. 

ri-  f 

On  démontrerait  de  la  même  manière  que  -v^i  et  les  autres  dérivées  de  f 
par  rapport  à  pt  sont  nulles  pour  p.  =  o. 

Donc  la  fonction  f  est  identiquement  nulle  et  les  équations  (2)  sont  des 
identités. 

Mais,  s'il  en  est  ainsi,  cela  veut  dire  que  «I>  est  une  fonction  de  F,  et  que  les 
deux  intégrales  <ï»  et  F  ne  sont  pas  distinctes. 

Nos  équations  ne  comportent  donc  pas  d'autre  intégrale  analytique  et  uni- 
forme que  F  =  const. 

Quand  je  dis  que  ces  équations  n'admettent  pas  d'intégrale  uniforme,  je  ne 
veux  pas  dire  seulement  qu'elles  n'ont  pas  d'intégrale  qui  reste  analytique  et 
uniforme  pour  toutes  les  valeurs  de  x,  de  y  et  de  \j-. 

Je  veux  dire  qu'en  dehors  de  l'intégrale  F,  ces  équations  n'admettent  pas 
d'intégrale  qui  reste  analytique,  uniforme  (et  périodique  de  y^  et  j'o)  pour 
toutes  les  valeurs  de  y^,  et  de  Va  et  pour  les  valeurs  suffisamment  petites  de  \i., 
quand  Ti  et  Xo  parcourent  un  domaine  quelconque,  si  petit  d'ailleurs  que  soit 
ce  domaine. 

On  sait  que  Bruns  a  démontré  qu'en  dehors  des  intégrales  connues,  le  pro- 
blème des  trois  corps  n'admet  pas  d'intégrale  algébrique.  Ce  résultat  se  trouve 
donc  confirmé  par  une  voie  entièrement  difi'érente. 

J'ai  annoncé  plus  haut  que  les  équations  (1),  (3)  et  (4)  entraînent  forcé- 
ment une  des  trois  conséquences  suivantes  :  ou  bien  les  équations  (2)  sont 
satisfaites,  ou  bien  ce  sont  les  équations  (5),  ou  bien  l'équation  en  S  a  au 
moins  trois  racines  nulles. 

En  effet,  formons  la  matrice  suivante  à  quatre  lignes  et  cinq  colonnes  : 

d'\i  d'hi  (h'i^i  rl'hi 


(6) 


offi,        r/;ij       ^[1,       d'{j^        "''•"■* 


(J=I,  2,  3,  4). 


Si  les  équations  fi)  et  (4)  sont  satisfaites  sans  que  les  équations  (2)  le  soient. 


ET    LES   EQUATIONS   DE    LA    DYNAMIQUE.  4?^ 

nous  devons  conclure  que  tous  les  dôlerminants  obtenus  en  supprimant  dans 
cette  matrice  deux  colonnes  et  une  ligne  sont  nuls. 

Si  maintenant  l'on  fait  subir  à  Xi,  x-,,  ji  et  ja  un  changement  linéaire  de 
variables,  les  '^  et  les  (3  subiront  ce  même  changement  linéaire  et  la  matrice  (6) 
pourra  être  simplifiée. 

On  peut  toujours  supposer  qu'on  a  choisi  ce  changement  linéaire  de  telle 
sorte  que 

— i—  =  o         pour     i  <  A:. 
...  ,    .  ....  .    .     di/^     dij-,     c^d/3     dij^ 

Alors  les  produits  trois  a  trois  des  quatre  quantités  -77-)  —rrri  -nh'»  -rr-  sont  tous 
r  »  »  a!|j,     api     aps     afii 

nuls,  d'où  il  suit  que  deux  au  moins  de  ces  quantités  sont  nulles.  On  peut 

toujours  supposer  que  le  changement  linéaire  a  été  choisi  de  telle  sorte  que 

d>l-,        dil;         ...         , 

ce  soient  -^  et  -p-  qui  soient  nuls. 

(/lin         d^i;   ^ 

Si  en  outre  une  des  deux  quantités  ~-  et  -rj^  est  encore  nulle,  l'équation 

T  dp,         dpi  • 

en  S  aura  trois  racines  nulles. 

Si,  au  contraire,  aucune  de  ces  deux  quantités  n'est  nulle,  les  équations  (3) 
permettent  de  conclure  que 

ç',  (o)  =  92(0  >  =  o. 

En  supprimant  dans  la  matrice  (6)  la  troisième  et  la  quatrième  colonne  et  la 
troisième  ligne,  ou  bien  la  troisième  et  la  quatrième  colonne  et  la  quatrième 
ligne,  il  vient 

d<\,,    di\i.,  dt\i,   rfi};,     , 

d^d%'''^°^  =  W^d^.''^''^^"' 

ce  qui  ne  peut  avoir  lieu  que  si 

■f'i(o)  =  92(0)  =  ?',(o)  =  ç'j(o)  =  o, 

c'est-à-dire  si  les  équations  (5)  sont  satisfaites;  ou  bien  si 

dii[  di/n 

c'est-à-dire  si  l'équation  en  S  a  trois  racines  nulles.  c.   q.  f.   d. 


476  SUR    LE    PROBLÈME    DES   TROIS    CORPS 

CHAPITRE  IV. 

TENTATIVES  DE  GÉNÉUALISATION. 


23.  — Problème  des   n  corps. 

Est-il  permis  d'espérer  ijn'du  puisse  éleadre  les  résultats  précédents  aux  cas 
où  les  équations  de  la  Dynamique  comportent  plus  de  deux  degrés  de  liberté 
et  par  conséquent  au  cas  général  du  problème  des  n  corps? 

C'est  possible,  mais  ce  ne  sera  pas  sans  un  nouvel  effort. 

Je  croyais,  en  commençant  ce  travail,  que  la  solution  du  problème,  une  fois 
trouvée  pour  le  cas  particulier  que  j'ai  traité,  se  généraliserait  immédiatement 
sans  qu'on  ait  à  vaincre  aucune  difficulté  nouvelle  en  dehors  de  celles  qui  sont 
dues  au  nombre  plus  grand  des  variables  et  à  l'impossibilité  d'une  représen- 
tation géométrique.  Je  me  trompais. 

Aussi  crois-je  devoir  insister  un  peu  ici  sur  la  nature  des  obstacles  qui 
s'opposent  à  cette  généralisation. 

S'il  y  a  />  degrés  de  liberté,  la  silualion  du  système  peut  être  représentée 
par  la  position  d'un  point  dans  l'espace  à  2/j  —  i  dimensions.  Lu  plupart  des 
conclusions  de  la  première  Partie  sont  encore  vraies  et  n'ont  à  subir  aucun 
changement.  Il  existe  donc  une  infinité  de  solutions  périodiques  représentées 
par  des  trajectoires  fermées  et  se  classant  en  stables  et  en  instables,  ou  même 
en  catégories  plus  nombreuses,  d'après  la  nature  de  leurs  exposants  caractéris- 
tiques. Il  existe  aussi  une  infinité  de  solutions  asymptotiques. 

J'ai  cherché  également  à  étendre  au  cas  général  le  calcul  du  paragraphe  17 
en  laissant  de  côté  la  question  de  convergence.  Les  séries  qu'on  obtient  de  la 
sorte  peuvent  en  effet,  même  lorsqu'elles  divergent,  être  utiles  dans  certains 
cas  aux  astronomes  et  peut-être  guider  les  géomètres  vers  la  solution  définitive. 

Supposons  trois  degrés  de  liberté  et  reprenons  les  équations  (1)  du  para- 
graphe 11  en  faisant  les  mêmes  hypothèses  que  dans  ce  paragraphe. 

Cherchons  ensuite  trois  fonctions  de  l'i ,  j\.,  i':i  : 


ET  LES  ÉQUATIONS  DE  LA  DYNAMIQUE.  477 

salisfaisanl  aux  équalions 


dx, 

dF        dx,   dF 

dXi        dy-,  dxi 

dxy   dF        dF 

dy,  dxs        dy, 

dxi 
dy. 

dF  dx.,  dF 
dx\        dy^_  dx-i 

dx-,  dF         dF 
dyz  dxz        dy-x 

dx-, 

dF        dx-i   dF 

tlx\         ily-i   dx^i 

dx3   dF        dF 

dyz  dx,;        dy-. 

OU.  ce  f|ui  revient  au  même,  aux  ocjualions 

,  dx\        dx.  dx:,        dx-  dx,  dx-s 

'  d)--         (/il  (/}-,        dy.;  '/)>,         dy. 

Nous  supposerons  que  Xi,  x-,,  x,,  peuvent  se  développer  suivant  les  puis- 
sances de  p.  ou  de  \'f.  et  (|ue  pour  p.  ;=o,  elles  se  réduisent  à  des  cons- 
tantes .c°,  x",  xl. 

Nous  poserons  ensuite  comme  plus  haut  : 

(4F„  dFo  dFo 

^=-"-  d^=-"^'  dFI=-"'- 

Si  entre  «i,  «a,  n.,,  il  n'y  a  aucune  relation  linéaire  à  coefficients  entiers,  on 
peut  développer  Xi,  x^  et  x^  suivant  les  puissances  de  [x;  chaque  ternie  est 
périodique  à  la  fois  par  rapport  à  j'i,  à  y-2  et  à  yj.  Mais  il  s'introduit  de  pe.lits 
diviseurs. 

Si  entre  «i,  n^  el  n-;.  il  v  a  une  relation  linéaire  et  une  seule  à  coefficients 
entiers 

«il  II,  -h   m;ll-2-+-    1)1;  II;;  =   O. 

les  calculs  peuvent  se  poursuivre  absolument  comme  dans  le  paragraphe  18. 
Les  trois  fondions  x,,  x.,  et  x,,  se  développent  suivant  les  puissances  de  ^/|j.  el 
elles  sont  au  moins  doublement  périodiques,  je  veux  dire  qu'elles  ne  changent 
pas  quand  j>'i,  Vj  el  y,,  augmentent  d'un  multiple  de  27:  de  telle  façon  que 
'"1  >i  +  '"■jT2+  m-.iV:,  ne  change  pas;  il  y  a  encore  de  petits  diviseurs. 

Il  reste  un  ti'oisième  cas,  le  plus  intéressant  de  tous,  qui  est  celui  où  il  y  a 
entre  «1,  n-^,  n,,  deux  relations  linéaires  à  coefficients  entiers  : 

m,  n,  -+-  111-2  II-,  -+-  /iir./i.;  =  0,  «('1  /(,  -I-  /n'2  n-,-h  m',  /i-^  o. 

On  peut  alors  développer  Xi,  x^  el  x,,  suivant  les  puissances  de  \/fJ.  et  de  façon 
que  ces  fonctions  soient  périodiques,  je  veux  dire  qu'elles  ne  changent  pas 
quand  y^,  y-,  et  y,,  augmentent  d'uu  multiple  de  ir.,   et  de  telle  sorte  que 


4^8  SUR    LE    PROBLÈME   DES   TROIS   CORPS 

'MiJ  «  4- "I2J  2+ '«:ij3  et  l)l\y^-\-  in'.,y-.-j-  m'.ys  ne  changent  pas.  Il  n'y  a 
plus  de  petits  diviseurs,  mais  le  calcul  de  ces  fonctions  n'est  pas  sans  certaines 
difficultés. 

Eu  première  approximation,  la  détermination  de  ces  fonctions  dépend  de 
l'intégration  d'un  système  d'équations  différentielles  (|ui  ont  la  forme  cano- 
nique des  équations  de  la  Dynamique,  mais  avec  deux  degrés  de  liberté  seu- 
lement. Dans  presque  toutes  les  applications,  ces  équations  dépendront  d'un 
paramètre  très  petit  par  rapport  auquel  on  pourra  développer,  de  manière 
qu'on  pourra  leui'  appliquer  les  conclusions  des  Chapitres  I  et  II  (1'°  Partie). 

Dans  les  approximations  suivantes,  on  n'aura  plus  à  effectuer  que  des  qua- 
dratures. 

Ce  n'est  pas  tout;  le  problème  des  n  corps  présente  des  difficultés  spéciales 
(ju'on  ne  rencontre  pas  dans  le  cas  général.  Sans  doute  ces  difficultés  ne  sont 
pas  aussi  essentielles  que  celles  dont  j'ai  signalé  plus  haut  l'existence,  et  un 
peu  d'attention  doit  permettre  d'en  triompher. 

Mais  j'en  dois  dire  ici  quelques  mots. 

Dans  le  problème  des  n  corps,  F,,  ne  dépend  pas  de  toutes  les  variables 
linéaires  X;;  par  conséquent,  non  seulement  le  hessien  de  |Fu  par  rapport  aux 
variables  xi  est  nul,  mais  le  hessien  d'une  fonction  arbitraire  de  F„  est  encore 
nul  {Cf.  p.  359).  Cela  vient  du  fait  suivant  :  si  f^i  =  o.  c'est-à-dire  dans  le 
mouvement  képlerien,  les  périliélies  sont  fixes. 

Cette  difficulté  n'existait  pas  dans  le  cas  que  nous  avons  traité  (pre- 
mier exemple,  §  lo),  parce  que  nous  avions  pris  pour  variable  non  pas  ^longi- 
tude du  périhélie,  mais  g — t.  Elle  n'existerait  pas  non  plus  avec  une  loi 
d'attraction  autre  que  la  newtonienne. 

Voici  quelles  en  sont  les  étranges  conséquences  : 

Nous  avons  vu  qu'il  y  a  deux  sortes  de  solutions  périodiques  :  les  solutions 
du  premier  genre,  dont  nous  avons  parlé  dans  le  Chapitre  III  (I"^'  Partie)  et 
qui  subsistent  quelque  petit  que  soit  |^,  et  les  solutions  du  deuxième  genre 
dont  nous  avons  parlé  dans  le  paragraphe  20  et  c[ui  disparaissent  l'une  après 
l'autre  quand  on  fait  décroître  p.. 

Dans  le  cas  du  problème  des  trois  corps,  si  l'on  fait  p  =  o,  les  orbites  des 
deux  petits  corps  se  réduisent  à  deux  ellipses  képleriennes.  Que  deviennent 
alors  les  solutions  périodiques  du  premier  genre  quand  on  fait  fx=:o?  En 
d'autres  termes  quelles  sont  les  solutions  périodiques  des  équations  du  mouve- 


ET  LES  EQUATIONS  DE  LA  DYNAMIQUE.  479 

ment  képlerien?  Les  unes  correspondent  au  cas  où  les  deux  moyens  mouve- 
ments sont  commensurables.  Mais  il  en  est  d'autres  qu'il  est  plus  malaisé 
d'apercevoir  et  sur  lesquelles  je  dois  insister. 

Si  |JL  :=  o,  c'est  que  les  masses  des  deux  planètes  sont  infiniment  petites  et 
qu'elles  no  peuvent  agir  l'une  sur  l'autre  d'une  manière  sensible,  à  moins 
cPétre  à  une  distance  infiniment  peti le  Vune  de  Vautre.  Mais  si  ces  planètes 
passent  infiniment  près  l'une  de  l'autre,  leurs  orbites  vont  être  brusquement 
modifiées  comme  si  elles  s'étaient  choquées.  On  peut  disposer  des  conditions 
initiales  de  telle  façon  que  ces  chocs  se  produisent  périodiquement  et  l'on 
obtient  ainsi  des  solutions  discontinues  (  '  )  qui  sont  de  véritables  solutions 
périodiques  du  problème  du  mouvement  képlerien  el  que  nous  n^ avons  pas  le 
droit  de  laisser  de  côté. 

Telles  sont  les  raisons  pour  lesquelles  jai  renoncé,  au  moins  momentané- 
ment, à  étendre  au  cas  général  les  résultats  obtenus.  Non  seulement  le  temps 
me  fait  défaut,  mais  je  crois  qu'une  pareille  tentative  serait  prématurée. 

En  effet,  je  n'ai  pu  faire  encore  du  cas  particulier  même  auquel  je  me  suis 
restreint  une  étude  suffisamment  approfondie.  Ce  n'est  qu'après  bien  des 
recherches  et  des  efforts  que  les  géomètres  connaîtront  complètement  ce 
domaine,  où  je  u'ai  pu  faire  qu'une  simple  reconnaissance,  et  qu'ils  y  trou- 
veront un  terrain  solide  d'où  ils  puissent  s'élancer  à  de  nouvelles  conquêtes. 


(')  Ce  sont  les  solutions  que   H.   Poincaré  a  appelées  de  deuxième  espèce  et  a   étudiées   au 
Chapitre  XXXII  des  Méthodes  ISouvelles-  Voir  à  ce  sujet,  aux  Notes,  Solutions  périodiques. 


SUR  LE  PROBLÈME  DES  TROIS  CORPS 


huUetiii  Astronomique,  t.  S,  p.   12-^^  (janvier  1S91  ). 


J'ai  publié  dans  le  Tome  13  des  Acta  Malliemalica  (')  un  Mémoire  où 
j'obliens  quelques  résultais  relatifs  à  un  cas  particulier  du  problème  des  trois 
corps  el  à  divers  problèmes  de  Dynamique;  je  crois  qu'il  ne  sera  pas  inutile  de 
reproduire  ici  sans  démonslralion  quelques-uns  de  ces  résultats  pour  les 
lecteurs  du  Bulletin  astronomique  qui  n'auraient  pas  le  temps  de  lire  in 
extenso  le  Mémoire  original,  qui  est  assez  volumineux. 

Je  ne  parlerai  ici  que  de  ce  cas  particulier  du  problème  des  trois  corps  que 
je  viens  de  mentionner  el  qui  est  le  suivant. 

Supposons  trois  masses  A,  B  et  G  se  mouvant  dans  un  même  plan.  Je 
suppose  que  la  masse  A  sait  très  grande,  la  masse  B  très  petite,  la  masse  C 
infiniment  pelile  et  incapable,  par  conséquent,  de  troubler  les  deux  autres. 
Alors  A  et  13  se  niouvronl  suivant  les  lois  de  Kepler.  Je  suppose  de  plus  que  les 
excentricités  de  A  et  de  B  sont  nulles,  de  telle  sorte  que  ces  deux  masses  A 
et  B  décrivent  des  circonférences  concentriques,  el  je  nie  propose  d'étudier  le 
mouvement  de  C  sous  rallrnclion  de  A  el  de  B  dans  le  plan  de  ces  deux 
circonférences.  Tel  serait  le  cas  du  Soleil,  de  Jupiter  et  d'une  pelile  planète, 
si  l'on  négligeait  l'excenlricilé  de  Jupiter  el  l'inclinaison  des  orbites. 

Tous  les  résultats  que  je  vais  énoncer  se  rapportent  à  ce  cas  particulier. 
Depuis  j'ai  cherché  à  les  étendre  au  cas  général  du  problème  des  trois  corps; 
tel  a  été  le  principal  objet  des  leçons  que  j'ai  professées  à  la  Sorbonne  de 
novembre  1889  à  mars  1890  el  qui  seront  publiées  prochainement  chez 
MM.  Gaulhier-Villars  et  (ils;  mais  je  ne  m'occuperai  pas  pour  le  moment  de 
celle  extension. 

C;  Œuvres  de  H.  Poincaré,  ce  Tome,  p.  262. 


SUR    LE   PROBLÈME   DES   TROIS   CORPS.  .  48l 

Voici  (i'nl)oril  l(?s  nota  lions  que  je  compte  employer. 

Je  définirai  la  position  du  point  G  par  ses  éléments  osculateurs.  Je  désignerai 
par  a,  e  et  n  le  grand  axe,  l'excentricité  et  le  moyen  mouvement,  par  j'j  l'ano- 
malie moyenne  et  par  g  la  longitude  du  périhélie. 

Je  désignerai  par  i  la  masse  de  A  et  par  \j.  celle  de  B;  p.  sera  donc  une 
quantité  très  petite.  Je  choisirai  les  unités  et  l'origine  du  temps  de  façon  que  la 
constante  de  Gauss  soit  égale  à  i;  que  le  moyen  mouvement  de  B  soit  égal  à  i, 
et  la  longitude  de  B  égale  à  (. 

Je  poserai 

F  sera  la  fonction  perturbatrice  augmentée  de  j:,  H j;  les  équations  prendront 

alors  la  forme  symétrique 

^^'  UT  ~  dyC  ir  ~  ,lyi  ITT  "       dxC  (U    ~       dx.' 

La  fonction  F  sera  susceptible  d'être  développée  suivant  les  puissances  de  \i.^ 
et  nous  écrirons 

F  =  Fo  +  ;ji  F)  -(-  |x=  F»  -+- . .  .  ; 
on  aura  d'ailleurs 

Fo  =  ^iH ?• 

Enfin  F  sera  fonction  de  .i-\,  .r-,,  j'i  et  12  seulement  et  sera  périodique  de 
période  avr  par  rapport  à  ji  et  jo- 

Les  équations  (i)  admettent,  comme  intégrale,  F:=G;  celte  intégrale, 
connue  sous  le  nom  d'intégrale  de  Jacobi,  peut  être  obtenue  en  combinant  celle 
des  forces  vives  avec  celle  des  aires. 

On  peut  aussi  la  regarder  comme  l'intégrale  des  forces  vives  dans  le 
dans  le  mouvement  relatif  du  point  G  par  rapport  à  deux  axes  mobiles  tournant 
d'un  mouvemenl  uniforme;  à  savoir  la  droite  AB  et  une  perpendiculaire  à  AB 
menée  par  le  centre  de  gravité  du  système  supposé  fixe. 

G'est  pourquoi  je  conserverai  à  la  constante  G  le  nom  de  constante  des 
forces  vives. 

Solutions  périodiques. 

Les  premiers  résultats  sur  lesquels  je  veux  appeler  l'attention  sont  relatifs  à 
certaines    solutions    particulières   remarquables   des   équations   (i).  Je  citerai 
H.  P.  —  Vit.  61 


.{82  SUR   LE   PROBLÈME   DES  TROIS   CORPS. 

d'abord  les  solutions  de  la  forme  suivante,  que  j'appellerai  solutions  périodiques  : 

Los  fonctions  cp,,  ly...,  O;,  et  cp.i  sont  des  fonctions  péiiodi(jiies  de  j)(''riode  T  et 
soûl,  |)ar  couséquent,  développables  suivant  les  sinus  et  cosinus  des  multiples 

de  •^tJt-     De  }ilus,  «1  1'  et  n-.T  sont  des  niullijiles  de  27T. 

Je  dislingue  les  solutions  pt^riodiques  du  premier  genre,  pour  lesquelles  les 
fonctions  91,  o^i  9:1  et  91  sont  développables  suivant  les  puissances  de  /j.. 

A  chaque  système  de  valeurs  de  n,  et  de  «j,  cominensurahles  entre  elles, 
correspondent  au  moins  deux  solutions  périodiques  du  premier  genre. 

.J'enseigne    à    former    les    coefficients    des    séries    o,    qui   sont   absolument 


Solutions  périodiques  du  deuxième  genre. 

11  existe  également  des  solutions  périodiques  pour  lesquelles  les  séries  9  ne 
sont  pas  développables  suivant  les  puissances  de  [j.  et  que  j'appellerai  solutions 
du  deuxième  genre.  Voici  sous  quelle  forme  elles  se  présentent  d'ordinaire  : 

Soit 

j;i=v,(0,         ^2=r2(0>        yi=  nit  -^-  <f,{t),         y,_=  n,t  -i-  !f  ■,{/), 

une  solution  périodique  du  premier  genre,  c'est-à-dire  développable  suivant  les 
puissances  de  /j.;  soit  T  la  période.  Soit 

ce  que  devient  cette  solution  quand  on  y  donne  à  p.  une  certaine  valeur  jj-q. 
Alors   les    fonctions   ']/"    sont    développables    suivant  les  sinus  et  cosinus  des 

multiples  de  -rrr-- 

Il  existera  dans  certains  cas  une  solution  périodique  de  la  forme  suivante  : 

x^=       ■]'!!(o-+-(i^-i^o)^'i'y'(o  +  (H--i^o)4'2^'(0  +  (i^-i^o)Hy"(o+-.-, 

y,  =  na-h  'lt(t)  -f-  ([Ji  -  h:o)Hv'(0  +  (|^  -  |^.„ ) 'f :," ' ( 0  +  (  1^  "  I^o)^|'/'(0  +  •  ■  ■  > 

.,'.,=  n.,<-i-  ■ii{t)  +  (,a-  ,ji„)^^V'(0  +  (;^  -  i^^^')V''(n  -*-  (i^  -  !J.nf 'K"(0  +  ■  ■  ■• 

Les  fonctions  '^|."(<),  'l\''\t),  <!'/'"(')  sont  périodiques  par  rapporta  t;  mais  la 
période  n'est  pas  égale  à  T  comme  pour  les  fonctions  '\if{t),  mais  à  /.  T,  /.'  étant 
un  nombre  entier.  Par  conséquent,  x,,  x-,,  )\  —  rittely^ — «jf  sont  dévelop- 


SUR   LE    PROBLÈME   DES    TROIS   CORPS.  483 


pables  suivant  les  puissances  de  y  ,a  —  /jlq  et  suivant  les  sinus  et  cosinus  des 

multiples  de  ^^  • 

Pour  ^>(ji„,  on  a  deux  solutions  périodiques  du  deuxième  genre  réelles  et 
distinctes;  pour  p.  =  |j.||,  elles  se  confondent  entre  elles  et  avec  la  solution  du 
premier  genre 

pour  p- <  p-oi  elles  deviennent  imaginaires. 

Dans  certains  cas  le  contraire  peut  avoir  lieu,  et  il  peut  arriver  que  les  deux 
solutions  soient  réelles  pour  p.  •<  pj  et  imaginaires  pour  p- >  p,,. 


Exposants  caractéristiques. 

Les  solutions  périodiques  semblent  d'abord  sans  aucun  intérêt  pour  la 
pratique.  La  probabilité  pour  que  les  circonstances  initiales  du  mouvement 
soient  précisément  celles  qui  correspondent  à  une  pareille  solution  est  évi- 
demment nulle.  Mais  il  peut  très  bien  arriver  qu'elles  en  diffèrent  fort  peu  :  la 
solution  périodique  pourra  jouer  alors  le  rôle  de  première  approximation 
d'  «  orbite  intermédiaire  ».  Il  peut  donc  y  avoir  intérêt  à  étudier  les  solutions 
qui  diffèrent  peu  d'une  solution  périodique.  Voici  comment  on  opérera  : 

Soit 

«<=9<(0,         .>'(=  «i' -I- ?,+:(0.         ('  =  ','-«) 

une  solution  périodique  quelconque. 

Considérons  une  solution  peu  différente  et  posons 

a;,=  i.i(0  -+-  i.h        J't=  "it  -+-  3,+2(/)H-  T,/. 

Si  les  ^,-  et  les  ru  sont  des  quantités  assez  petites  pour  qu'on  puisse  en  négliger 
les  carrés,  les  équations  deviendront 

dt    ~      Z^dyidxk'-''^ Z^dy^dy-k^'' 
(2)  {  "  ((,  k  =  I,  2). 

dt  ^U  djCi  dxk  '        ^^  dxi  dvii    ' 

k  k 

Dans  les  dérivées  secondes  de  F  qui  figurent  dans  les  équations  (2),  on  doit 
remplacer  x,  etj)',-  par  o,(<)  et  «,•<  +  cf>,-i-2(<);  les  coefficients  de  Ey,  et  de  r,/,  dans 
les  seconds  membres  de  ces  équations  (2)  sont  donc  des  fonctions  périodiques 
données  de  t. 


iSi  SUR    LE    PROBLÈME    DES   TROIS   CORPS. 

L'inK^grale  générale  des  équations  (a)  s'écrit 

Ç,-  =  A e»'  S;  H-  IJ e-»'  s;  -i-  ((".  +  /  D  )  S,"  +  DS;"  .  _ 

•r)i=  Acï'Ti-i-  l!e-»'T;  H-(C-4-<D)T;'-(-D'n'        *■'-''  ^'*- 

A.,   B,   C,   D  sont  i|ualre  constanles  d'iulégralioii  ;    a  est    une    conslaule   non 
arl)itraire.  S,-,  S,',  S",  S",  T,-,  T|  ,  T" ,  TJ'  sont  dos  fondions  périodiques  de  / 

développables  suivant  les  sinus  et  les  eosinus  des  niulliplcs  de  -rrr-- 

La  conslanir  y.  et  les  coefficienls  de  S,-,  S|  ,  T,-  et  T|  sont  développables 
suivant  les  puissances  de  y'/jt.,  ceux  de  SJ,  S",  TJ  et  TJ'  suivant  les  puissances 
de  p..  .l'enseigne  à  former  toutes  ces  séries  qui  sont  absolument  convergentes. 

L'exposant  x  s'appelle  exposant  caractéristique.  11  est  réel  ou  purement 
imaginaire.  Dans  le  premier  cas,  la  solution  périodique  sera  dite  instable,  dans 
le  second  cas  elle  sera  dite  stable.  Cette  dénomination  se  justifie  aisément,  bien 
quelle  ne  doive  pas  être  prise  dans  un  sens  absolu,  puisque  nous  avons  négligé 
les  carrés  des  £  et  des  rj. 

Nous  avons  vu  qu'il  y  aura  au  moins  deux  solutions  périodiques  du  premier 
genre  correspondant  à  chaque  système  de  valeurs  de  «i  et  de  /lo,  commen- 
surables  entre  elles.  J'ajouterai  qu'il  y  en  aura  toujours  un  nombre  pair  et 
précisément  autant  de  stables  que  d'instables. 

Solutions  asymptotiques. 

Soit 

une  solution  périodique  quelconque  instable.  11  existe  deux  séries  de  solutions 
particulières  remarquables  que  j'appellerai  solutions  asymptotiques. 

Les  solutions  asymptotiques  de  la  première  série  seront  de  la  forme  suivante  : 

(  Xi=  ^t{t)-h  Ae-«'0;'i(O  +  k^e~"-='-'<J'r'{t)  -H  A^e-3»'0i-"(O  +  .  ■. 
^       (  v;=«,^-hî,+,(0-+- Ae-«'0iU(O-HA-e-2«'0;.|^(O-t-...  (1  =  1,2). 

A  est  une  constaule  arbitraire  d'intégration,  a  est  l'exposant  caractéristique 
(que  je  suppose  positif),  les  fonctions  <ï."(t),  0|"'(<),  .  .  . ,  (j  =  i ,  2,  3,  4)  sont 
périodiques  de  période  T  et  développables  par  conséquent  comme  les  Oi(t)  par 

rapport  aux  sinus  et  cosinus  des  multiples  de  '-^-  I>es  coefficients  du  dévelop- 
pement sont  eux-mêmes  des  séries  dont  les  termes  sont  rationnels  en  y'/j.. 


SUR  LE  PROBLÈME  DES  TROIS  CORPS.  485 

Inulile  de  faire  remarquer  que,  si  l'on  reprend  les  notations  du  paragraphe 
précédent,  on  a 

Les  séries  (3)  sont  convergentes  pour  les  valeurs  de  t  suffisamment  grandes. 
On  voit  que,  quand  l  croît  indéfiniment,  les  solutions  représentées  par  les 
équations  (3)  se  rapprochent  asvmptotiquenient  de  la  solution  périodique. 

Les  solutions  asymploliques  de  la  seconde  série  seront  de  la  forme  suivante  : 

j  jc,=  3,(n-l- Be3;'(.);.i''( 0-1- B-^e^="(o;.-'(0 -*-••-, 

B  est  une  nouvelle  constante  d'intégration,  a  est  encore  l'exposant  caracté- 
ristique; les  fonctions  w  sont  de  même  forme  que  les  fonctions  0  qui  entrent 
dans   les    équations    (3).    On   obtient   d'ailleurs    les    fonctions    co    si    dans    les 

fonctions  0  on  change  y/fv.  en  —  \  ;j.. 

Les  séries  (3  bis)  convergent  pour  les  valeurs  de  t  négatives  et  suffisamment 
grandes.  Quand  (  tend  vers  — »,  les  solutions  qu'elles  représentent  se 
rapprochent  asymptotiquement  de  la  solution  périodique. 

Solutions  doublement  asymptotiques. 

Il  exisie  une  infinité  de  solutions  qui  appartiennent  à  la  fois  aux  deux  séries 
et  qui  sont,  par  conséquent,  représentées  par  les  équations  (3  bis)  pour  les 
valeurs  de  l  négatives  et  très  grandes,  et  par  les  équations  (3)  pour  les  valeurs 
de  t  positives  et  très  grandes. 

L'orbite,  d'abord  très  peu  dilTércnlo  de  celle  qui  correspond  à  une  solution 
périodique,  s'en  éloigne  peu  à  peu,  et  après  s'en  être  écartée  beaucoup  finit  par 
s'en  rapprocher  asymptotiquement. 

L'existence  des  solutions  doublement  asymptotiques  est  un  point  d'une 
démonstration  très  délicate  et  qui  m'a  donné  beaucoup  de  peine.  En  efiet,  les 
séries  (3  bis)  ne  convergent  que  pour  les  valeurs  de  t  négatives  et  très  grandes, 
les  séries  (3)  pour  les  valeurs  de  t  ])ositives  et  très  grandes.  Il  y  a  généralement 
un  intervalle  où  aucune  des  deux  séries  ne  converge. 

Divergence  des  séries. 

Les  considérations  qui  précédent  peuvent  jiermelire  délablir  que  les  séries 
habituelles  de  la  Mécanique  céleste  sont  divergentes;  ce  n'est  pas  qu'elles  ne 


486  SUR    LE    PROBLÈME    DES   TROIS    CORPS. 

puissent  néaainoins  élre  ulileineiU  employées;  en  ellel,  il  peut  arriver  que  les 
Icrnu's  d'une  série  décroissenl  ilabord  1res  ra|)ideiiieal  pour  croilre  ensuite 
indélininienl,  cl  par  conséquenl  que  celle  série,  quoicpie  divergente,  puisse 
servir  à  représenter  une  fonction  avec  une  approximation  très  grande,  mais  non 
indélinie.  Tel  est  le  cas  de  la  série  célèbre  de  Stirling  et  de  quelques  dévelop- 
pements usités  en  Physique  mathématique.  Tel  est  aussi  celui  des  séries  de  la 
Mccanicjue  céleste,  et  l'approximation  qu'elles  fournissent  est  très  suffisante 
pour  les  besoins  de  la  pratique.  Ce  que  je  veux  dire  de  leur  divergence  n'est 
doue  pas  une  raison  pour  en  proscrire  l'usage. 

Les  séries  de  M.  Lindstedt  ne  peuvent  pas  converger  uniformément  pour 
toutes  les  valeurs  de  la  constante  d'intégration  qui  y  entre;  on  démontre,  en 
ellel,  que,  s'il  en  était  ainsi,  il  n'y  aurait  pas  de  solutions  asymptotiques. 

Je  prendrai  comme  second  exemple  certaines  séries  dérivées  des  séries  (3) 
et  (3  bis).  La  série  (3)  converge;  mais  nous  avons  vu  que  ses  coefficients 
peuvent  eux-mêmes  se  di'velopper  en  séries  convergentes  dont  les  termes  sont 
rationnels  en  y/,a;  quand  on  a  fait  ce  développement,  la  série  (3)  reste  encore 
convergente. 

Supposons  mnintenanl  cjue  Von  développe  ces  fonctions  rationnelles  de  y/fJt 
suivant  les  puissances  de  yZ/J.,  ce  développement  est  possible  pour  chacune 
d'elles.  Mais  si  l'on  ordonne  ensuite  la  série  (3)  suivant  les  puissances 
croissaules  d<!  y/;j.,  la  série  ainsi  obtenue  devient  divergente;  on  démontre,  en 
effet,  que  si  elle  convergeait,  toute  solution  asymptoti(|ue  serait  doublement 
asymptotiqiie,  ce  qui  n'a  pas  lieu. 

Le  développement  auquel  on  parvient  de  la  sorte  et  qui,  bien  que  divergent, 
peut  rendre  des  services  au  même  lilrc;  cjue  ceux  de  M.  Lindstedt,  se  met  sous 
forme  élégante  si  l'on  élimine  t  el  A  entre  les  quatre  étjuations  (3)  par  les 
régies  ordinaires  du  calcul.  On  Irouve,  en  ellel,  que  .7'i  et  a-j  s'expriment  eu 
séries  ordonnées  suivant  les  puissances  de  y/;-/,  et  suivant  les  sinus  el  cosinus 

des  multiples  de  —  et  ■  "• 

'  X  X 

Non-existence  des  intégrales  uniformes. 

Les  équations  (i)  admellent  une  intégrale  qui  s'écrit 

F(xi,  x-i,  vt,  y-i)  =  C; 
c'est  l'intégrale  des  forces  vives;  le  premier  membre  F  est  uniforme  par  rap|jort 


SUR  LE  PROBLEME  DES  TROIS  CORPS.  487 

à  Xi,  X',,  yi  et  y.,,  périodique  de  période  271  par  rapport  à  ji  et  y^, 
développable  suivant  les  puissances  de  [j.. 

Je  dis  qu'il  n'y  a  pas  d'autre  intégrale  de  la  même  forme;  c'est-à-dire  que  les 
équations  (1)  ne  peuvent  admettre  une  intégrale 

<P{Xi,  X,,  jKi,  j-2)  =  G 

distincte  de  la  première  et  où  <t  soit  périodique  en  yi  et  j-.,,  développable 
suivant  les  puissances  de  /j.,  et  uniforme  pour  toutes  les  valeurs  réelles  de  yi 
et  j'o,  pour  les  valeurs  suffisamment  petites  de  [j.  et  pour  les  valeurs  de  Xi  et 
de  a?2  comprises  dans  un  certain  domaine. 

On  démontre,  en  eflel,  que,  s'il  en  était  ainsi,  les  séries  de  M.  Lindstedt 
convergeraient.  Ce  résultat  est  d'ailleurs  susceptible  d'être  généralisé  de 
diverses  manières. 

Formes  des  orbites. 

On  peut  se  proposer  de  dessiner  les  orbites  correspondant  aux  diverses 
solutions  particulières  dont  je  viens  de  parler,  et  j'ai  l'intenlion  de  revenir  sur 
ce  point  dans  un  autre  article.  Pour  cela,  le  mieux  est  de  considérer  deux  axes 
mobiles,  à  bavoir  :  la  droite  AB  et  une  perpendiculaire  à  AB  menée  par  lo 
centre  de  gra\  ité  du  système,  et  do  chercher  à  dessiner  la  trajectoire  relative 
du  corps  G  par  rapport  à  ces  axes  mobiles. 

Dans  le  cas  des  solutions  périodiques,  celte  orbite  relative  est  une  courbe 
fermée;  dans  le  cas  des  solutions  asymptoliques,  c'est  une  courbe  en  spirale 
se  rapprochant  asjmplotiquement  d'une  courbe  fermée.  11  convient  d'ajouter 
que  les  diverses  spires  se  recoupent  mutuellement. 

Considérons  une  orbite  fermée  correspondant  à  une  solution  péiiodique  et 
les  deux  séries  d'orbites  asymptoliques  alTérenles  à  celte  même  solution.  Par 
un  point  M  du  plan  passeront,  en  général,  une  ou  plusieurs  orbites  asympto- 
liques do  la  première  série,  ainsi  qu'une  ou  plusieurs  orbites  de  la  deuxième 
série.  Soit  Ti  une  orbite  de  la  première  série  passant  par  M;  soit  p  l'angle  sous 
lequel  elle  coupe  une  orbite  T^  de  la  deuxième  série  passant  par  M.  .Si  p  est 
nul,  les  deux  orbites  se  confondent  en  une  seule  el  deviennent  ainsi  doublement 
asymptotiques;  il  y  a  une  infinité  de  points  pour  lesquels  il  en  est  ainsi. 

Mais,  en  général,  |3  n'est  pas  nul;  cependant,  si  la  masse  /-t  esl  regardée 
comme  un  infiniment  petit  du  premier  ordre,  on  démontre  que,  parmi  les 
angles    p    (sous   lesquels  Ti   coupe  les  diverses  orbiles  asymptoliques    de   la 


488  SUR    LE    PROBLÈME    DES    TROIS    CORPS. 

deuxième   série   qui    passent   par   M),    il   y  en  a   un  qui  est  infinimenl  petit 
d'ordre    inlmi;    je    veux    diic    <|u'il    est    du    mriue    ordre    de    grandeur   que 

l'exponentielle  e   '•''',  a  élanl  une  constante  positive. 

11  est  encore  un  autre  point  sur  liiquel  je  désire  attirer  l'altenlion. 

Les  séries  ['6)  ne  eliangent  pas,  si  j'y  change  A  en  Ae^+^  et  <  en  <  +  T;  si 
donc  on  change  A  en  Ae*',  l'orbite  asyniplolique  correspondante  ne  change 
pas;  la  seule  dillerence  est  que  le  mobile  G  |>asse  en  un  même  point  de  cette 
orbite  à  des  époques  difl'érenles. 

Ainsi  les  valeurs  suivantes  de  hi  constante  d'intégration  A,  Ac"^'^,  Ae^-*^, 
Ae*^*^,  .  .  .  correspondent  à  une  seule  et  même  orbite  asymptoliqne. 

11  est  donc  toujours  permis,  s'il  ne  s'agit  que  de  définir  cette  orbite,  de 
choisir  la  constante  A  entre  i  et  e^^. 

Cela  posé,  considérons  n  orbites  doublement  asymplotiques  quelconques; 
pour  des  valeurs  suffisamment  grandes  de  <,  les  équations  de  ces  orbites 
pourront  se  mettre  sous  la  forme  (3).  A  ces  n  orbites  correspondront  n  valeurs 
de  la  constante  A  que  j'appelle  A,,  A.j,  ...,  A„  et  que  je  puis  toujours 
supposer  comprises  entre  i  et  e"'. 

Pour  des  valeurs  de  t  négatives  et  très  grandes,  les  équations  de  ces  mêmes 
orbites  (en  changeant  au  besoin  l'origine  du  temps)  pourront  se  mettre  sous  la 
forme  (3  bis).  A  ces  n  orbites  correspondront  alors  n  valeurs  de  la  constante  B 
que  j'appellerai  Bi,  Bo,  .  .  .,  B„  et  que  je  pourrai  toujours  supposer  comprises 
entre  i  et  e". 

Et  bien,  ce  qu'il  importe  de  remarquer  et  ce  qui  met  bien  en  évidence  la 
complication  du  problème  des  trois  corps,  c'est  que  si  Ai,  \.,,  ...,  A„  sont 
rangés  par  ordre  de  grandeur  croissante,  les  constantes,  B,,  B^,  ...,  Bn  seront, 
en  général,  rangées  dans  un  ordre  tout  dilTérent. 

Invariants  intégraux. 

Une  notion  nouvelle,  celle  des  invariants  intégraux,  m'a  (''lé  très  utile  pour 
démontrer  les  résultats  qui  précédent.  .le  me  bornerai  ici  à  énoncer  quelques 
propositions  saillantes  relatives  à  cette  théorie. 

Considérons  le  problème  des  trois  corps;  pour  définir  la  situation  du 
système,  nous  nous  donnerons  dix-huit  vari.ibles  :  ce  seront  d'abord  les  trois 
coordonaées  Xi,  x-j,  x.,  du   [jrcmier  corps,   les  projections  ji,    i^.,  y.i  de  la 


SUR    LE    PROBLÈME    DES    TROIS    CORPS.  4^9 

quantité  de  moiivemenl  de  ce  premier  corps  sur  les  trois  axes.  Ensuite  a:.,,  x-,, 
Xe,  }'.\,  y-aj  }'6  seront  les  quantités  analogues  pour  le  deuxième  corps,  a";,  x^, 
^'ji   Vn   '85  J'u  lës  quantités  analogues  pour  le  troisième  corps. 

Nous  envisagerons  alors  neuf  points  dans  un  plan  que  j'appellerai  M,, 
M^,  ...,  M,j  et  dont  les  coordonnées  seront  respectivement  (xuj't),  {X'2,yi),  ■■■, 
(x.j,  j'a).  Gela  posé,  considérons  une  solution  des  équations  différentielles  du 
mouvement  dépendant  de  deux  constantes  arbitraires  a  et  p.  Alors  les  Xi  et 
les  y;  seront  des  fondions  du  temps  /..  de  a  et  de  p.  Soit  ,'jt.  le  point  dont  les 
coordonnées  sont  a  et  p;  si  le  [)oint  jj.  reste  intérieur  à  une  certaine  aire  ff, 
les  points  iMi,  M>,  .  .  .,  M.„  resteront  intérieurs  à  certaines  aires  Sj,  So,  ...,  .S,j. 
Ces  neuf  aires  se  déformeront  et  se  déplaceront,  puisque  les  coordonnées  du 
point  M,  dépendent  non  seulement  de  a  et  [3,  mais  encore  du  temps  t;  mais 
la  somme  algébrique  de  ces  neuf  aires  demeurera  constante.  Il  est  à  peine 
utile  de  faire  observer  que  certaines  de  ces  aires  pourront  avoir  des  parties 
positives  et  des  parties  négatives;  c'est  ainsi  que,  au  point  de  vue  analytique, 
l'aire  totale  de  la  lemniscale  est  nulle  parce  qu'une  des  boucles  doit  être 
regardée  comme  positive  et  l'autre  comme  négative. 

Supposons  maintenant  f|uo  l'on  envisage  une  solution  ne  contenant  plus 
qu'une  seule  constante  arbitraire  a.  Si  celte  constante  a  varie  depuis  a,, 
jusqu'à  3(|,  les  neuf  points  M,,  Mj,  ...,  INI,,  vont  décrire  certains  arcs  ),i, 
Xo,  ...,  ).;i  qui  se  déplaceront  et  se  déformeront  avec  le  temps,  puisque  les 
coordonnées  de  M,  dépendent  non  seulement  de  a,  mais  encore  de  t.  Soit  U,- 

l'intégrale    /  (2x1  dyi-\- y/  dxi)  prise  le  long  de  l'arc  /.,.  U,-  sera  une  fonction 

du  temps  puiscjue  l'arc  ).,  se  déplace.  Soit  c„  la  valeur  de  la  constante  des 
forces  vives  correspondant  à  y.  =^  a,,,  et  C|  la  valeur  de  la  constante  corres- 
pondant à  3£  --=  aci,  on  aura 

Iv  étant  une  constante  indépendante  du  teuips. 

Stabilité. 

Revenons  au  cas  particulier  dont  nous  nous  sommes  occupés  presque  exclu- 
sivement dans  ce  travail.  Dans  ce  cas,  MM.  Hill  et  Bohlin  ont  démontré  que  le 
rayon  vecteur  CA.  ne  peut  croître  au  delà  de  toute  limite;  mais  il  reste  pour 
établir  complètement  la  stabilité  un  dernier  point  à  démontrer.  Il  faut  faire 
n.  p.  —  vu.  62 


.{yil  SUR    LE    PROBLÈME    DES    TROIS   CORPS. 

\(iii'  que  les  Irois  corps  se  rclroiiveionl  unu  inlioité  de  lois  aussi  près  c[u'oii 
voudra  de  leur  position  initiale. 

L'esisloiice  nièine  des  sohilioas  asyinptotiques  montre  suffisamment  qu'il 
existe  une  inlinilc^  de  solutions  particulières  qui  ne  satisfont  pas  à  cette 
condition.  Mais,  d'autre  part,  j'ai  démontré,  par  la  méthode  des  invariants 
intégraux,  qu'il  v  en  a  aussi  une  infinité  qui  y  satisfont.  On  peut  d.mc,  à  ce 
point  de  vue,  dire  qu'il  y  a  une  infinité  de  solutions  particulières  instables,  et 
une  infinité  de  solutions  narti<iilières  stables. 

Mais  il  V  a  plus,  on  peut  dire  que  les  premières  sont  l'exception  et  que  les 
secondes  sont  la  règle,  au  même  titre  que  les  nombres  rationnels  sont  l'excep- 
tion et  que  les  nombres  incommensurables  sont  la  règle.  Je  démontre,  en  eliet, 
que  la  probabilité  pour  (|ue  les  circonstances  initiales  du  mouvement  soient 
celles  qui  correspondent  à  une  solution  instable,  que  cette  probabilité,  dis-je, 
est  nulle.  Ce  mot  n'a  par  lui-même  aucun  sens  :  j'en  donne  dans  mon  Mémoire 
une  définition  précise  que  je  ne  crois  pas  utile  de  reproduire  ici;  mais  je  dois 
ajouter  que  le  même  résultat  subsisterait,  quelle  que  soit  la  définition  adoptée, 
pourvu  qu'il  n'entre  dans  cette  définition  que  des  fonctions  continues. 


SUR  L'APPLICATION  DE  LA  MÉTHODE 
DE  M.  LINDSTEDT 

AU  PROBLÈME  DES  TROIS  COUPS 


Comptes  rendus  de  l'Acndrinie  des  Sciences,  t.   Il'i,   p.   i.io5-i3og  (7  juin  1892). 


Dans  une  Gomimuiicaliou  que  j'ai  eu  l'iiunneur  de  laire  à  l'Académie,  il  J  a 
quelques  années  (C  /.'.  Acad.  Se,  t.  108,  p.  21)  ('),  j'ai  exposé  la  uiélhode 
de  M.  Lindsledt  sous  une  forme  nouvelle,  fondée  sur  les  principes  des  Vorle- 
sungeti  liber  Dynamilx. 

l^e  but  de  la  présente  Note  est  de  montrer  d'abord  (jue  cette  méthode  peut 
être  appli(|uée  à  l'étude  des  variations  séculaires  des  élétiicnts  des  planètes, 
mais  qu'elle  ne  peut,  sans  modification,  s'étendre  au  problème  des  trois  corps, 
et  quelles  sont  les  un)di(ications  à  faire  pour  ijne  cela  devienne  possible. 

Voici  les  notations  que  j'adopterai;  je  rapporterai  la  première  planète  au 
Soleil,  et  la  seconde  au  centre  de  gravité  du  système  formé  par  le  Soleil  et  la 
première  planète.  Je  désigne  par  /ji,  (3  et  |3'  trois  coefficients  dépendant  des 
masses  :  le  premier  très  petit,  les  deux  autres  finis. 

J'appelle  a  le  demi-grand  axe  de  la  première  planète,  sincp  l'excentricité, 
/  l'inclinaison,  X  la  longitude  moyenne,  0  la  longitude  du  nœud,  ro  celle  du 
périhélie,  et  je  pose  A  =:  (3  \Ja  ; 


sin  ~   snicr, 


Ç  =  ?.  \J\  sin  -  C0ST7!,  r,  =  —  a  \/A 

p  =  2  y/A  coso  sin  -  cusU,         q  =  —  2  y/ A  coss  sin  -  sinU. 


(')  Œuvres  de  II.  Poincaré,  ce  Tome,  p.  5ji. 


49»  l'application  de  la  méthode  de  m.  lindstedt. 

Je  désignerai  les  élémoiils  correspondants  de  h\  seconde  plancle  par  les 
mêmes  lettres  accentuées,  de  sorte  que  nos  douze  variables  seront  les  sui- 
vantes : 

A,     A',      i.      Ç',     p,    p', 


(    A,       A  ,      T),      T,  ,      r/,      q 

J'appelle  /jlF  l'énergie  totale  du  système.  F  sera  développable  suivant  les 
puissances  de  p.,  de  sorte  que  j'écrirai 

F  =  F„-i-;jiF,-i-;j:^F,-i-.... 

Fu  ne  dépendra  que  de  A  et  A';  F\,  Fu,  .  .  .  seront  développables  suivant  les 
puissances  des  variables  E,  r;,  p  el  q  et  suivant  les  cosinus  et  sinus  des  mul- 
tiples de  \  et  de  )/.  Je  désigne  \\:\r  W  la  viileur  moyenne  de  F,  considérée 
comme  fonction  périodique  de  ).  et  À'. 

Si  alors  je  désigne  par  Xi  une  quelconque  des  variables  de  la  première  ligne 
du  tableau  (  i  ),  et  par  j)',-  la  variable  correspondante  de  la  deuxième  ligne,  les 
équations  du  mouvement  pourront  s'écrire 

ilxi  rIV  clyi  (IV 

Les  fondateurs  de  la  Mécanique  céleste  ont  été  conduits  à   envisager  les 

équations  suivantes  : 

dxi  dK  dvi  dK 

Dans  ces  équations,  nous  ne  désignons  par  j-,  et  >',  que  les  \arinbles  des 
quatre  dernières  colonnes  du  tableau  (  i  ).  lî  ne  dépend  ni  de  "/,  ni  de  ),'  et  nous 
regardons  momentanément  A  et  A'  comme  des  constantes.  L'importance  des 
équations  (.'>)  provient  de  ce  qu'elles  nous  font  connaître  les  plus  considérables 
des  variations  que  peuvent  subir  ?,  r;,  p,  q,  .  .  ■ ,  de  ce  qu'elles  peuvent,  en 
d'antres  termes,  nous  fournir  une  première  approximation  pour  le  calcul  des 
variations  séculaires  de  ces  quantités. 

Pour  rendre  la  méthode  de  la  Communication  citée  applicable  aux  équa- 
tions (3),  il  faut  profiler  de  la  petitesse  des  quantités  £,  rj,  ...  ;  soit  £  un  coef- 
ficient très  petit  et  posons 

R  devient  développable  suivant  les  puissances  croissantes  de  i-  et  nous  pouvons 
écrire 

H  =  l'.oH-  £-Ho-l-£'H4-l-.  .  . 


l'application  de  la  méthode  de  m.  lindstedt.  493 

et  poser 

K'=  J^(K  — Iîo)  =  ii\'>2-h  c-;jiR,,-f-.... 

Prenons  ensuite  de  nouvelles  variables  p,,  w,-  (t  ^  i,  2,  3,  4)  définies  de  la 

façon  suivante  :  i;,  y),  p,  (]f,   ...   sont  des  fonctions  linéaires  convenablement 

choisies  des  ^p,cosc.>,  et   dos  \  p/sinoi,;  le  cliois  doit  être  fait  de  telle  façon 

que  Rj  ne  dépende  plus  que  des  p,  et  non  des  oj,.  Les  équations  (3)  deviennent 

alors 

Obis)  —.  =  -—,  — -  = _, 

f/t  //oi,  dt  (l'^i 

et  la  méthode  de  la  Communicalion  citée  leur  est  directement  applicable, 
puisque  Pi'  est  développable  suivant  les  puissances  de  £-  et  que  R^  ne  dépend 
pas  des  u,.  D'où  celte  conséquence  :  les  variations  séculaires  des  excentricités 
et  des  inclinaisons  calculées  par  les  équations  (3)  peuvent  se  mettre  sous  la 
forme  d'une  somme  de  termes  périodiques.  Lagrange  et  Laplace  avaient 
démontré  ce  résultat  en  négligeant  les  cubes  des  excentricités;  Le  Verrier  et 
Cellérier  en  en  négligeant  les  cinquièmes  puissances.  On  voit  qu'il  est  vrai, 
quelque  loin  que  l'on  pousse  l'approximation. 

L'intégration  des  équations  (3)  mises  sotis  la  forme  (3  6«)  revient  à  l'inté- 
gration de  l'équation  aux  dérivées  partielles  suivante  : 

(4)  R  ( —— ,  (0,  j  =  const. 

Je  suppose  que  R  ail  été  exprimé  en  fonction  de  p,  et  de  oj,  et  que  p,  y  ait  été 
ensuite  remplacé  par  la  dérivée  correspondante  —r-  de  la  fonction  inconnue  T. 

'  '  '  f/to, 

La  méthode  de  la  Communication  citée  nous  fournit  une  intégrale  de  l'équa- 
tion (4)  dépendant  de  quatre  coustantes  arbitraires  V,.  Si  Ton  pose  alors 

on  peut  considérer  les  équations  (5)  comme  définissant  un  changement  de 
variables,  les  variables  nouvelles  étant  les  V,  et  les  c,  et  les  anciennes  les  p,  et 
les  co,.  [.e  théorème  de  Jacobi  nous  apprend  alors  qu'on  obtiendra  les  intégrales 

des  équations  (3)  en  égalant  les  V,  et  les  —  à  des  constantes. 

Passons  maintenant  au  problème  des  trois  corps  pro[)renienl  dil,  c'est-à-dire 
aux  équations  (2).    Pour  que  la  méthode  de  M.   Lindstedt  telle   que  je  l'ai 


494  l'application  de  la  méthode  de  m.  lindstedt. 

esposce  fût  applicable  à  ces  liqiialions,  il  faïulrail  que  1"„  tlépondil  à  la  fois  de 
tous  les  r,;  elle  le  serait  encore  sans  modification  sensible  bien  que  F,,  ne 
dépende  que  de  A  el  A'  et  nou  de  tous  les  ,r,.  si  F  était  périodique  par  rapport 
aux  yi  el  si  R  ne  dépendait  pas  des  j',. 

Ces  conditions  ne  sont  pas  remplies  d'elles-nièines,  mais  on  peut  arriver  à  y 
satisfaire  par  un  clianf^ement  de  variables  convenable. 

Reprenons  les  variables  V,-  el  c,  définies  par  les  équations  (5).  Soient 
ensuite  lo  et  }/,  deux  variables  nouvelles  telles  que 

ij;  el  i\i'  étant  deux  fonctions  convenablement  choisies  de  A,  A',  V/.  r,.  Prenons 
alors  pour  variables  nouvelles 

<«)  !  ;■  ,*:■  "'• 

{    Aï,      A2,       (>/. 

Les  équations  conserveront  la  forme  (:?),  à  la  condition  que  x/  désigne  une 
variable  quelconque  do  la  prc^miére  lij,medu  tableau  {6)ely/  la  variable  corres- 
pondante de  la  seconde  ligne.  F,,  ne  dépend  encore  que  de  A  el  A',  mais  F  est 
périodique  par  rapport  aux  r,  et  R  ne  dépend  pas  desj)',.  La  méthode  est  donc 
applicable. 

Une  difficulté  subsiste  encore  cependant.  Cette  méthode  nous  permet  de 
développer  nos  inconnues  suivant  les  puissances  de  /j.;  mais  les  coefficients  de 
ce  développement  contiennent  des  termes  qui  ont  au  dénominateur  certaines 
puissances  des  excenlricités;  la  méthode  pourrait  donc  devenir  illusoire  si  les 
excentricités  étalent  très  petites,  comparables  par  exemple  aux  masses  ou  à 
leurs  racines  carrées. 

L'origine  de  celle  difficulté  est  la  suivante.  Jai  dit  que  F  est  développable 
suivant  les  puissances  des  ^,  yi,  /j,  7,  ...  ;  de  plus  F  contient  des  termes  du 
premier  degré  par  rapport  à  ces  variables.  Si  ces  termes  du  premier  degré 
n'existaient  pas,  on  n'aurait  pas  à  craindre  de  voir  apparaître  des  puissances 
négatives  des  excentricités. 

.l'ai  donc  été  conduit  à  faire  dans  certains  cas  un  changement  de  variables 
préalable.  Mes  variables  nouvelles  s'appelleront 

,    .  (  Al,     A',,      Ç,,      r, ,     /),     p', 

'     Ài,       X'i,      T|,,      -fi'i,      fj,      rj', 

et  je  choisirai  ces  variables  de  telle  sorte  : 

i"  que  les  équations  conservent  la  forme  (2); 


L'APPLICATION    DE    LA    MÉTHODE   DE    M.    LINDSTEDT.  49^ 

2"  que  pour  les  solutions  périodiques  que  j'appelle  de  la  première  sorte,  et 
que  j'ai  étudiées  dans  mon  Ouvrage  intitulé  Les  méthodes  nouvelles  de  la 
Mécanique  céleste^  on  ait 

U  =  E'i  =  -ni  =  -fi'i  =  o- 

Alors  l'expression  de  F  avec  les  variables  (7)  a  la  même  forme  qu'avec  les 
variables  (  i  ),  mais  avec  celte  différence  que  F  ne  contient  plus  de  termes  du 
premier  degré  par  rapport  aux  ii-,  fli;  p,  (J,   ■  ■  ■  ■  La  difficulté  a  donc  disparu. 

Inutile  d'ajouter  que,  comme  dans  la  méthode  ordinaire  de  M.  Lindstedt,  les 
séries  ne  sont  pas  convergentes,  mais  seulement  semi-convergentes  au  sens  de 
Stirling,  ce  qui  limite  les  conditions  dans  lesquelles  on  peut  s'en  servir.  Je 
n'insisterai  pas  sur  certains  procédés  de  détail  qui  permettent  d'éviter  quelques- 
uns  de  ces  changements  de  variables,  ni  sur  les  avantages  que  présente  le 
méthode  exposée  dans  cette  i\ote  sur  celle  que  M.  Lindstedt  avait  proposée,  il 
j  a  longtemps  déjà,  pour  un  problème  analogue,  dans  le  tome  97  des  Comptes 
rendus.  J'avais  déjà,  il  y  a  quelques  années,  développé  quelques-unes  des  consi- 
dérations qui  précédent  dans  mon  enseignement  à  la  Sorbonne. 


SUR 

UNE  FORME  NOUVELLE  DES  ÉOUATIONS 
DU  PROBLÈME  DES  TROIS  CORPS 


Comptes  re/id((s  île  V Acfidèinie  des  Sciences,  t.  1"J.'!,  p.  io3i-ni3d   (i4  décembre  iS'jti). 


Soient  trois  corps  A.  B,  C  s'atliranl  d'après  la  loi  de  Newton;  soient  Xi,  x^, 
X3  les  coordonnées  do  A;  .rj,  Xr,,  Xn  celles  do  B;  x-,,  a;»,  Xi)  celles  do  C;  soit 
mj^ /«a  ="':■.  If  niasse  de  A,  n?,  = ///;,=  z»,-,,  celle  de  B,  m-,:=Tns^=  rn.j  celle 


de  C;  soit 


,,        iihint,        riitm-,        m,  m-:             „      v'    ' ,-         ,, 
U  =  —r-r, 1 r-r, f rrn- J  F  =  7 U. 


AB  AC  KC 

On  sait  qne  les  équations  du  mouvement  peuvent  s'écrire 

d'-xi        dV 


al-         dXi 
ou  encore  sous  la  forme  canonique 

dx^  _  (IV_  '!y±  -       'Jl_ 

dt  i/j  i  dt  dxi 

On  ne  restreint  pas  la  généralité  en  supposant  le  centre  de  gravité  fixe,  et 
l'on  peut  profiler  de  cette  circonstance  pour  abaisser  le  nombre  des  degrés  de 
liberté.  Cette  réduction  peut  s'opérer  de  plusieurs  manières.  Voici  les  deux 
manières  qui  ont  été  proposées  : 

1°  On  peut  faire  le  changement  de  variables  que  j'appellerai  (y)  et  qui  est  le 
plus  usuel.  Il  consiste  à  poser 

Ou  j   —  ut  j  "        Oui ï  "  *'  ■ —  -î- ■> "S  I  ^ Tt   ~~~  '-*' " 0C<^ • 

"C't  —  Xi—  X-,,        x'-^  —  x-^—  .r,,,         ^'0  =  Xt,—  a-,, 
,  dx'i 


SUR    UNE   FORME    NOUVELLE    DES    ÉQUATIONS   DU   PROBLEME   DES   TROIS   CORPS.  497 

Les  équations  ne  conservent  plus    alors   la    forme  canonique;    mais    elles 
deviennent 


dx'i 

~di 

f/F, 

dx\ 
di 

df. 

-  dy;  ' 

m  1  m  ; 

AB 

/«i  m-. 

„        ^ri   T.-         />i,rn;        inAttii-h  m-:)        m,nii,    ,     ,  ,     ,  ,    ,, 

^"-=Zt7;rr  ^^' Bc —  ^  ^j^,ix,x,^x,x,+x,x,). 

2"  On  peut  faire  le  changement  de  variables  que  j'appellerai  ((3),  et  qui 
consiste  à  poser  (en  appelant  ïi,  Eo,  cj  les  coordonnées  du  centre  de  gravité  des 
deux  corps  A  et  C), 

X  j   ^^  X  i  —  X-^  j  X  t,  —  X-2 X]{y  X  ^  —  ^3  —  X'jf 

x\  =  Xi, —  Çi,  X-,=^X-„ — %ii  Xf^^Xf, —  Ç:j, 

.  dx: 


•"  '   dl 


m,  =  m .,  ^  //^ .  : 


irtii  ni]  +  m-) 
m,  -+-  nii-h  m-, 


Les  équations  conservent  alors  leur  forme  canonique  et  s'écrivent 

dx'i  _  dF  dy'i  _  _  ^  F  —V  ■'*''"   _  II 

dt         dy\  dt  dx\  ^  2  m\ 


La  forme  des  intégrales  des  aires  n'est  pas  mm  plus  altérée. 

Le  changement  ((5)  paraît  donc  très  avantageux,  mais  cependant  il  n'a  pas 
été  adopté  jusqu'ici  dans  la  pratique,  sans  doute  parce  que  la  forme  de  la  fonc- 
tion perturbatrice  y  est  plus  compliquée. 

3°  C'est  pourquoi  je  crois  devoir  appeler  l'attention  sur  un  troisième  change- 
ment de  variables  que  j'appellerai  (a).  Posons 


X,  =X\—X-, 

Xi  =  Xo—  Xi,            X-  =  X3- 

-X,, 

x\  =  Xi  —  .x-:, 

X's  =  Xi—Xs,              x'6  =  Xc- 

-Xo, 

.'■/  =  "îi 

,^         (,  =  .,2,3,4,5,6). 

Avec  ce  changement  de  variables  : 

i"  la  forme  canonique  des  écpialions  ne  sera  pas  altérée; 

2"  la  forme  des  intégrales  des  aires  ne  sera  pas  non  plus  altérée; 

H.  P.  —  VU.  63 


49!»     SUR  UNE  FORME  NOUVELLE  DES  ÉQUATIONS  DU  PROBLÈME  DES  TROIS  CORPS. 

3"  la  fonction  F  deviendra 

p  ^y  ill_u   ,  ..>''i.K+ r'2.r'ii-t-j-V)i 

en  posant,  pour  abréger, 

,  ln^m^  ,  mi,m-, 


irii 


La  forme  de  la  fonclion  perliirbalrice  esl  donc  loul  aussi  simple  que  dans  le 
cas  du  changemenl  de  variables  (y). 

Pour  mieux  nous  en  rendre  compte,  exprimons  tout  en  fonclion  des  éléments 
osculaleurs.  Soient 

^•,=  ç,(L,  G,  e,  /,  g,  0),         x.=  ç.(L,  G,e,  /,  g,  0),         ^3=  ?n(L,  G,  6,  l,  g,  0) 

les  équations  du  mouvement  elliptique,  oùa;i,  x-^^  Xj  désignent  les  coordonnées 
rectangulaires  du  point  mobile,  i  l'anomalie  moyenne,  0  la  longitude  du  nœud, 
^4-0  celle  du  périhélie,  et  où,  a,  e,  «désignant  le  grand  axe,  l'excentricité  et 
l'inclinaison,  on  a 

L  =  ^/r/,         G  =  \/a(i  —  e'^),         0  =  Gcosj. 

Posons  alors  (en  appelant  |3  et  (3'  deux  coefficients) 

^\  =  °i(i-),  x'.2=ft{h),  a;'3=ïi3(L), 

-^'*  "  u  di  '     y""  -  uTi  '     •^''  ~  ïjdi  ' 

^4=  ?i  ('-')>  ^i=?a(I-')>  a;'6=03(I/), 

-'''*  -  L':'  dï  '         ^'  "  V-'  dl'  '         •''"""  L'-'  dl'  ' 

Dans  les  équations  de  la  première  ligne,  les  fonctions  cp  dépendent  des  six 
variables  L,  G,  0,  /,  g',  0;  dans  celles  de  la  seconde  ligne,  elles  dépendent  de  six 
variables  analogues  L',  G',  0',  /',  g',  0'.  Ces  équations  définissent  ces  douze 
variables  que  l'on  peut  appeler  les  éléments  osculaleurs  cl  qui  sont  très  peu 
différents  sans  être  exactement  les  mêmes  avec  les  trois  changements  de 
variables  (x),  ((3)  et  (y). 

La  forme  canonique  des  équations  n'est  pas  altérée  par  ce  nouveau  chan- 
gemenl de  variables.  On  a  d'abord 

M  _  _dF_  dh  _       d¥ 

dt  ~  (i  d\.  '  'di  ~~  [1,dl' 

ainsi  que  deux  équations  analogues  que  l'on  obtient  en  changeant  L  et  /  en  G 
et  g,  et  deux  autres  qu'on  obtient  en  changeant  L  et  /  en  0  et  9. 


SUR   UNE   FORME   NOUVELLE   DES   ÉQUATIONS    DU    PROBLÈME   DES    TROIS   CORPS.  499 

Avec  le  changement  de  variables  (y),  il  faut,  dans  ces  six  équations,  changer 

en  Fi. 

On  a  ensuite 

dV  __         dP  dV  _        g^F 

dt  '(J  dV  dt  ji'  dl 

ainsi  que  deux  équations  analogues  que  l'on  obtient  en  changeant  L'  et  l' 
en  G'  et  g\  et  deux  autres  que  l'on  obtient  eu  changeant  L'  et  /'  en  0'  et  0'. 

Dans  le  cas  où  Ion  adopte  le  changement  de  variables  (y),  il  faut  dans  ces 
six  équations  remplacer  F  par  Fj. 

Il  convient  de  prendre  :  avec  le  changement  (a)  : 

V  =     / =i  V  =     I— — =•' 

V' //il  -H  m-i  \  m  i  -h  «!7 

avec  le  changement  ((3)  : 


"'!"';  ,  ,  /  m,  (  TO,  -H  /«;  ) 

/  )  ■/  =  »'i  1/ 

\Jm^  -h  m-  y 


ni] -h  nii-h  m-, 


avec  le  changement  (y)  : 


p  =  mi  \Jmi  -\-  m-,         '(,'  —  m.»  y'mt -i-  m-,. 

II  est  aisé  alors  de  comparer  la  forme  des  différentes  fonctions  perturbatrices. 
Pour  cela,  je  poserai,  pour  abréger, 

x\  x\  -\-  x\  x'-„  -\-  x'^,  x'f,  =  'h. 

et  je  supposerai  i]>  exprimé  en  fonction  des  douze  éléments  osculateurs. 

La  fonction  perturbatrice  se  composera  alors  d'une  partie  principale  —      'S 
qui  sera  la  même  avec  les  deux  changements  (a)  et  (y),  et  d'un  terme  complé- 

Çi'fi'  d-'\i  ,        ,  .  /     \     n^i  wii  d'^  'Il  r^ 

mentaire  qui  sera  — tttti    ,,  ),,  avec  le  changement  (x),  —=-y- rjrr  pour  r  i  avec 

^  mjL'L'  dl  dl  °  ^     ''      L"'      <r//-  ^ 

le  changement  (y),     !  ^.      -~-  pour  Fj  avec  le  changement  (y). 

On  voit  que  ces  trois  termes  complémentaires  peuvent  se  déduire  facilement 
de  l'un  d'entre  eux. 


SI  R 

UNE  FORME  NOUVELLE  DES  ÉQUATIONS 
DU  PROBLÈME  DES  TROIS  CORPS  ^') 


Bulletin  Astronomique,  t.   l'i,  p.  53-(J7  (février  iSg-). 


Soient  A,  B,  C  les  irois  corps;  soient  Xi,  x,,  x-^  les  coordonnées  du  point  A; 
X-,.  X;,  x^  celles  du  point  B;  x-,  Xf,,  Xv,  celles  du  point  C. 

Pour  plus  de  symétrie  dans  les  not:ilions,  je  désignerai  indifféremment  la 
masse  du  corps  A  par  7?(i,  m-i,  m;,  ;  et  de  même  la  masse  du  corps  B  par  m,,  tn-„ 
ou  TOo  ;  et  celle  du  corps  C  par  m-,,  m^  ou  nia. 

Je  poserai 


rt'.r, 


de  telle  façon  que  par  exemple  ji,  y-,  et  y.,  soient  les  composantes  de  la  quan- 
tité de  mouvement  du  corps  A. 
La  force  vive  T  sera  alors 


^   2    \dt  I        jLJ  inii 


D'autre   pail,   si   Ton  choisit  les   unil'is  de  telle  façon  que  la  constante  de 


Gauss  soit  égale  à  i .  la  fonction  des  forces  U  s'écrira 

,_  m,  m-,        Dit '11-        m,m- 


('j  t.e  Mémoire  est  rejiroduit  dans  le  Tome  1\  des  Ai'la  Miitlirniiiliva,  p.  83- 17. 


SUR    UNE    FORME    NOUVELLE    DES    ÉQUATIONS    DU    PROBLEME   DES    TROIS    CORPS.  5oi 

Si  nous  posons  F^T  —  L'.  la  fonction  F  dépendra  des  x  et  des  y  et  les 
équations  du  mouvement  pourront  se  mettre  sous  la  forme  canonique 

dxi       r/F  dvi  dF 

('^  -dF  =  d7r        -dt=--d7,       f'  =  ',^,  ■••>9)- 

Supposons  maintenant  que  Ton  change  de  variables  et  soient  x\ ,  y\  {i  =  i, 
2,  .  .  . ,  9)  les  dix-huit  variables  nouvelles.  Quelle  est  la  condition  pour  qu'après 
ce  changement  de  variables  les  équations  conservent  la  forme  canonique  ? 

La.  condition  nécessaire  el  siiffisnnle  est  que  —x\  dy\  — Ixidy,  soit  une 
différentielle  exacte  (  '  ). 

Si  cette  condition  est  remplie,  les  équations  deviendront 

(ibis)  dj^^dV_  dy\  ^       d? 

*■  '     "  ^  dt        dy'.  '  dt  dx'i  ' 

Examinons  en  particulier  le  cas  où  les  x\  sont  des  fonctions  linéaires  des  x-, 
et  les  >'î  des  fonctions  linéaires  desj,. 

La  condition  précédente  peut  alors  s'énoncer  d'une  autre  manière  :  la  condi- 
tion nécessaire  et  suffisante  pour  que  la  forme  canonique  des  équations  ne  soit 
pas  altérée  est  qu'on  ait  identiquement 
(2)  lLy\x\  =  'î.yiXi. 

Faisons  une  hypothèse  plus  particulière  encore  et  supposons  : 

i"  Que 

dépendent  seulement  de     X\,     Xi,     x^ 
Xi,     Xi,     Xn 

"  X;i,       X(,,       X*j 

»  r>>  /m  y- 

»  y-h  y^,  .ih 

»  y^;   yn,   y-> 

2"  Que  les  relations  linéaires  qui  lient  x',^,  x',^,  xi  à  Xo,  x-^^  Xs,  et  celles  qui 
lient  x',,  Xj.  x'.,  à  x.;.  x^,  x,,  soient  les  mêmes  que  celles  qui  lient  x\,  x\,  x.  à 

X \  ,  x^ ,  X 1  , 

3°  Que  de  même  les  relations  linéaires  qui  lient  >',,  y'^,  y'^  à  ra,  Xt-,  y»  et 
celles  qui  lient  >■',,  y\.^,  y',,  à  y.,,  y,,,  j',,  soient  les  mêmes  que  celles  qui  lient  j-',, 
r'i.  Jt  à  ji,  Jo  Jt- 

('J   Voir  aux  Notes,  Principes  de  Mécanique  analytique. 


Xi, 

=c\. 

X-, 

x',_. 

x':., 

x'^ 

^3, 

x',.. 

x'., 

y'u 

y\^ 

y'-, 

J2. 

J'ô. 

y» 

/t., 

y'r., 

r'o 

502     SUR  UNE  FORME  NOUVELLE  DES  ÉQUATIONS  DU  PROBLÈME  DES  TROIS  CORPS. 

Celte  Iroisièine  hypothèse  est  d'ailleurs  une  conséquence  nécessaire  des  doux 
premières  et  de  l'idenlité  (2). 

Dans  ces  conditions,  l'identité  (2)  peut  être  remplacée  par  la  suivante  : 

(2  bis)  y\a:'t-{-yia:'i-hrTx'T=yta:i-hyiX.',-^yTXT 

Si  en  effet  rideiililé  (2  bis)  a  lieu,  on  en  déduira  une  seconde  en  augmentant 
tous  les  indices  d'une  unité  et  une  troisième  en  augmentant  encore  une  fois 
tous  les  indices  d'une  unité.  La  somme  de  ces  trois  identités  ne  sera  autre 
chose  que  l'identité  (2). 

Mais  ce  n'est  pas  tout  :  nous  avons  supposé  que  x',,  x'^,  x',^  sont  liés  à  X:,,  x^, 
Xg,  par  les  mêmes  relations  que  x\,  x\,  x\  àa^i,  x^,  x-,,  ety'„,_^'.,  y\  liés  à  j'o, 
fi^  ^81  par  les  mêmes  relations  que  y\,  y[,  r',  à  yi,  y,,,  y-:. 

L'identité  (2  bis)  subsistera  donc  quand  on  y  changera 

X,,     Xi,     Xt\         x\,     x\,     x\\         yt,    ji,     j,  ;         y\,     y\,    y\ 
en 

Xj,     Xf,,     x.j  ;         .'fj,     X,,,     .r,j  ;        y^,    y^,    j's  ;        yï,    y^,,    y^i- 

On  aura  donc 

y'i  a;'a  -H  y'i  x'r,  -h  r's  x',,  =  jo  Xs  -h  /5  Xt,  +  y  s  X.) 
et  de  même 

.1=  ■^'■z  -+-  Je  ■'•■'•;  -+■  }''■]  ^'s  =  rs  ■'^i  -+-  76  a^s  +79^8 
et  en  retranchant 

y',  x'.  —  y',  x',  +  j-5  x'^  —y'^  x'._  H-j's  x',^  —y\,  x'^  =/»  x^  —y, x~  +,K5  x^  —yo  Xs  -t-Js  Xg  —y^  x^. 

Or  le  second  membre  n'est  autre  chose  que  le  premier  moment  de  rotation 
du  système,  qui  doit  être  constant  en  vertu  de  l'équation  des  aires.  On  voit  que 
l'expression  de  ce  moment  de  rotation  en  fonction  des  x  et  des  j^'  a  la  même 
forme  que  son  expression  en  fonction  des  x  et  des  y. 

La  forme  de  V équation  des  aires  n^est  donc  pas  altérée  par  notre  chan- 
gement de  variables. 

Premier  exemple.  — •  Nous  satisferons  à  l'identité  (2  bis)  en  faisant 

y<=7'i;         >'t  =  r'»>         Xt  =  x't,         Xi  —  x.,  =  x\,         Xi  —  XT  =  x\, 

r'7=ri-^.n+/T 

Ce  changement  de  variables,  dont  nous  ferons  un  fréquent  usage  dans  la 
suite  et  que  nous  appellerons  le  changement  (a),  a  une  signification  géomé- 
trique, très  simple. 


SUR   UNE   FORME    NOUVELLE   DES   ÉQUATIONS    DU   PROBLÈME    DES   TROIS   CORPS.  5o3 

Les  variables  nouvelles  x\,  x\,  .  .  .,  x',^  sont  les  coordonnées  relatives  des 
points  A  et  B  par  rapport  à  des  axes  mobiles  passant  par  le  point  C. 


,  — ,  —  - 
ces  deux  points  A  et  B. 


Les  variables —,  —,  . . .,  -i-A  sont  les  composantes  des  vitesses  absolues  de 
m,     m-.  me  * 


Deuxième  exemple.  —  Un  deuxième  exemple  qui  ne  diffère  pas  essentielle- 
ment du  premier  est  le  suivant  : 

OC  1   —  JC 1  "~"~  '*'  7 1  "'  K  —  ^  i "''7 1  "^  1  —     "■       ~  3 

■>'!  =  ■>''  -    „,     -4-   „;     -^   ,„     '  •>  *  =  ■>''  -    ,„     -4,   ,„     -4-   „,     '  ■>''  =  ri  +  7*  +  /V- 

J'ai  dit  que  ce  second  changement  de  variables  ne  diffère  pas  essentiellement 
du  premier,  voici  pourquoi  : 

On  ne  restreint  pas  la  généralité  en  supposant  que  le  centre  de  gravité  du 
système  est  fixe,  c'est-à-dire  que 

/i-i-/i-i-r,=  o. 

Si  l'on  fait  celte  hypothèse,  les  valeurs  de  x',,  x\,  y\,  y\,  y\  sont  les 
mêmes  dans  les  deux  systèmes;  les  valeurs  de  x\  seules  diffèrent;  mais  cette 
différence  n'a  rien  d'essentiel.  La  fonction  F  dépend  en  effet  des  différences 
des  coordonnées  des  trois  points  A,  B,  C.  Elle  dépend  donc  de  x\  =^  x,  —  x-,  et 
de  x\  =  X.;  —  X-;  ;  mais  elle  ne  dépend  pas  de  x',, 

Troisième  exemple.  —  Avec  le  troisième  exemple  je  retombe  sur  un  chan- 
gement de  variables  connu  et  que  j'appellerai  le  changement  ((3). 
Soient 

m\  =  ni  2  =  /?!,,         m\  =  m'--,  =  m'f,         /«,  =  m'a  =  m',j, 

trois  coefficients  constants  analogues  aux  masses.  On  voit  que,  pour  conserver 
la  symétrie  des  notations,  je  représente  indifféremment  le  premier  de  ces  coef- 
ficients par  m\,  mV  ou  m',  de  même  que  j'avais  représenté  indifféremment  la 
masse  du  corps  A  par  m^ ,  m^  ou  m^. 

Soit 

dx'. 

Dans  ces  conditions,  les  y\  sont  liés  aux  yi  par  les  mêmes  relations  que  les 


DO.'i  SUR    UNE   FORME   NOUVELLE    DES    EQUATIONS   DU    PROBLEME    DES   TROIS   CORPS. 

m\x\  aux  niiXi  et  les  identités  (2)  et  (2  bis)  peuvent  être  remplacées  parles 
suivantes  : 

(3)  ■Zm\x';-=l.mix], 

(3  bis)  m\  x'f  +  m';  x'^  ■+-  m'-  x'-f  =  mi.r  ;  +  »i;  .r;  -1-  m-x^. 

L'idontit(^  (3)  nous  montre  eu  outre  que  la  force  viveT,  exprimée  en  fonction 
des  nouvelles  variables,  s'écrira 

m',  l  dx\  \  -      •^  j  "j  - 


-E?(^r-2 


V 

Ainsi,  non  seulement  avec  le  cliangemont  de  variables  (jj)  la  forme  canonique 
des  équations  n'est  pas  aliérée  de  même  <[ue  la  forme  des  intégrales  des  aires, 
mais  il  en  est  de  même  de  la  forme  de  l'équation  des  forces  vives. 

Il  reste  à  voir  comment  on  pourra  satisfaire  à  l'identité  (3  bis).  Cela  peut  se 
faire  d'une  infinité  de  manières.  Voici  celle  qui  est  ordinairement  usitée  et  que 
nous  adopterons. 

Soit  G  le  centre  de  gravité  des  trois  corps;  D  celui  des  deux  corps  A  et  C. 

Nous  appellerons  x'-.  x\,  x',,  les  coordonnées  du  point  G;  E,  yî,  Ç  celles  du 
point  D  et  nous  poserons 

x'i  =  X,  —  Xt,  x\  =  Xi —  J, 

de  telle  sorte  que  x\,  x'„,  x'.  soient  les  coordonnées  du  point  A  par  rapport  à 
des  axes  mobiles  passant  par  le  point  C;  et  x\,  x';,,  x',^  celles  du  point  B  par 
rapport  à  des  axes  mobiles  passant  par  le  point  D. 
Nous  poserons  d'ailleurs 

m\m-  mi,i  m\-\-  m-,^  , 

mt  -h  ni:  m,  -h  /II, -h  /II-; 

Les  propriétés  du  changement  de  variables  ((3)  ainsi  défini  ont  été  étudiées  par 
M.  Radau  {Annales  de  l'Ecole  Normale,  i"'  série,  l.  V). 

Les  deux  changements  de  variables  («)  et  ((3)  ont  d'ailleurs  en  commun  la 
propriété  de  ne  pas  altérer  la  forme  canonique  des  équations,  ni  la  forme  des 
intégrales  des  aires;  de  plus,  ils  permettent  d'abaisser  de  9  à  6  le  nombre  des 
degrés  de  liberté. 

En  effet,  dans  l'un  et  l'autre  cas,  la  fonction  F  ne;  dépend  que  des  )'  et  des 
six  premières  variables  x\  ;  mais  elle  est  indépendante  de  a;'.,  x\.,  et  x'.,.  D'autre 
part,  on  ne  restreint  pas  la  généralité  en  supposant  le  centi'C  de  gravité  fixe,  ce 
qui  entraîne  les  égalités 


1          .'  't  =  .l'i  -•-.'' 

,  dx'- 

1  -H  1  -  =  «( j- 

■    dt 

x\  =  x,^X-:, 

X'.,  =  X2—  Xx, 

x\  =  Xi—Xt, 

^5  =  -*•-.—  -r  s, 

SUR   UNE   FORME   NOUVELLE   DES   ÉQUATIONS   DU    PROBLÈME   DES    TROIS   CORPS.  5o5 

Si  l'on  annule  donc  y'-,  y\^  y'.,,  F  ne  dépend  plus  que  des  douze  variables  ar^  ety'j 
(/=  I,  2,  .  .  . ,  6)  et  les  équalions  (i  bis)  peuvent  s'écrire 

dx]  dF  dy\  dV  ,  . 

(i  ter)  — L  =  _— ,  -V- = T-r         (;=  i,  s,  ....<,  >. 

"-  '  dt         dy\  dt  dx\  ^  '     ' 

avec  six  degrés  de  liberté  seulement. 


Méthode  usuelle. 

Malgré  les  avantages  que  présente  It;  cliangenienl  (p)  et  bien  qu'il  soit  connu 
depuis  longtemps,  on  sait  qu'il  n'est  pas  le  plus  usité  dans  la  pratique.  On  lui 
préfère  d'ordinaire  un  changement  do  variables  que  j'appellerai  le  change- 
ment (y)  et  dont  lus  propriétés  sont  Inin  d'être  aussi  élégantes.  On  pose 

m'-  x'-  =  /«i  X\  -H  m^x,  ■+-  in-x-, 

X ,:  =  ^:t  —  *^9  ) 

A.  =  j~(.  —  x^, 

dx'. 
m'.  =  nii     (i  =  I,  2,  ...,  ()),         y.  =  ni'i  -^     (/ =  i,  2,  . . .,  9). 

On  voit  que  t.,  x', ,  x',,  sont  les  coordonnées  du  centre  de  gravité  G;  que  x\, 
x'.-,,  x',,  x\,  x'.,  x\^  sont,  comme  dans  le  changement  (a),  les  coordonnées 
relatives  des  points  A  et  B   par  rapport  à   des  axes  mobiles  passant  par  le 

point  C.  Mais  les  variables  --  ( j  =  1 ,  2,  .  .  . ,  6),  au  lieu  de  représenter,  comme 

dans  le  changement  (a),  les  composantes  des  vitesses  absolues  des  points  A 
et  B,  représentent  les  composantes  des  vitesses  relatives  de  ces  deux  points  par 
rapport  aux  axes  mobiles. 

Il  est  aisé  de  voir  que  le  changement  (y)  ne  satisfait  pas  aux  identités  (2), 
(2  bis^,  (3)  et  (3  bis)\  il  ne  conservera  donc  ni  la  forme  canonique  des  équa- 
tions, ni  la  forme  des  intégrales  dos  aires. 

Supposons  cependant  que  le  centre  de  gravité  soit  fixe;  de  telle  sorte  que 
y',  :=  y'j,  =  y',  ^  o  ;  on  sait  que  les  équalions  pourront  se  mettre  sons  la  forme 
suivante,  que  l'on  pourrait  appeler  ^emi-canonf^Me  : 

dx'^        r/F,  dy  ,/F, 

-dT^Wr  -W=-d7,  ('='''-'3)- 

1  dx\         d?..  dy',  ,[¥, 

{-dT-^dy:  -dT^^-M,  ('  =  ..5,6), 

II.  1".  -  VII.  1".^ 


5o6  SUR   UNE   FORME    NOUVELLE    DES    EQUATIONS   DU    PROBLÈME    DES   TROIS   CORPS. 

OÙ 

On  voit  en  quoi  les  douze  oqualions  (4)  dillerent  des  i^qiialions  canoniques. 

La  fonction  (jui  joue  le  rôle  do  la  fonction  F  n'est  pas  la  même  dans  ces 
douze  oqualions;  elle  est  égale  à  Ff  dans  six  d'entre  elles  et  à  F^  dans  les  six 
autres.  C'est  ce  que  l'on  exprime  quelquefois  en  disant  que  la  fonction  pertur- 
batrice n'est  pas  la  même  pour  les  deux  planètes. 


JBlimination  des  nœuds. 

Ce  qu'on  doil  appeler  Yorbite  osculatrice  du  point  A  ou  du  point  B  n'est  pas 
la  même  chose  suivant  (|ue  l'on  adopte  le  changement  (a)  ou  l'un  des  change- 
ments (p)  ou  (y). 

Dans  l'hypothèse  (a),  le  plan  de  l'orbite  A  passe  par  la  droite  AC  et  par  la 
vitesse  absolue  du  point  A  et  le  plan  de  l'orbite  de  B  passe  par  la  droite  BG  et 
par  la  vitesse  absolue  du  point  B  (je  suppose  toujours  le  centre  de  gravité 
lise). 

Dans  l'hypothèse  ((3),  i(!  plan  de  l'orbite  de  A  passe  parla  droite  AC  et  par  la 
vitesse  relative  du  point  A  par  rapport  à  C;  le  plan  de  l'orbite  de  B  passe  par 
la  droite  BD  et  par  la  vitesse  relalhe  du  point  B  par  rapport  à  D. 

Dans  l'hypothèse  (y),  le  plan  de  l'orbite  de  A  passe  par  la  droite  AC  et  parla 
vitesse  relative  du  point  A  par  rapport  à  C;  le  plan  de  l'orbite  de  B  passe  par 
la  droite  BC  et  par  la  vitesse  relative  du  point  B  par  rapport  à  C. 

Nous  avons  vu  cpie  les  changements  (a)  et  ((3)  conservent  la  forme  des  inté- 
grales des  aires,  mais  il  n'en  est  pas  de  même  du  changement  (y).  11  en  résulte 
une  importante  propriété  des  orbites. 

Dans  l'hypothèse  («)  comme  dans  l'hypothèse  ((3),  l'intersection  des  plans 
des  deux  orbites  est  dans  le  plan  invariable,  mais  il  n'en  est  plus  de  même 
dans  l'hypothèse  (y). 

Il  semble  que  tous  ces  avantages  auraient  dû  faire  substituer  le  changement 
((3)  au  changement  (y).  Si  l'on  ne  l'a  pas  fait,  c'est  sans  doute  parce  que  le  déve- 
loppement de  la  fonction  perturbatrice  est  un  peu  plus  co-mjiliqué  dans  l'hypo- 
ihése  ((3).  C'est  pour  cette  raison  que  je  crois  devoir  attirer  l'attention  sur  le 


SUR    UNE   FORME   NOUVELLE   DES    ÉQUATIONS    DU    PROBLÈME   DES   TROIS   CORPS.  607 

changement  (a)  qui  n'a  pas  encore  été  proposé,  qui  n\iUere  ni  la  forme 
canonique  des  équations^  ni  la  forme  des  intégrales  des  aires  et  qui  conduit 
il  un  développement  de  la  fonction  perturbatrice  tout  aussi  simple  que  le 
changement  ((3).  C'est  ce  dont  nous  nous  rendrons  mieux  compte  en  com- 
parant dans  les  trois  cas  la  l'orme  du  développement. 

Mouvement  elliptique. 

Soit  une  masse  mobile  m  attirée  par  une  masse  fixe  M  située  à  l'origine,  son 
mouvement  sera  képlérien. 

Soient  a,  e,  i,  /,  «'  +  6,.  etO  le  demi-grand  axe,  l'excenlricité,  l'inclinaison, 
l'anomalie  moyenne,  la  longitude  du  périludie  et  celle  du  nœud.  Soit 

L  =  \/(7,        G  =  \Ui{  I  —  <?'-),        e  =  G  cos/. 

Nous  pouvons  exprimer  les  trois  coordonnées  Xi,  x^,  x,,  de  la  masse  mobile 
m  en  fonction  des  six  variables,  L,  G,  0,  /,  ^,  0;  écrivons  donc 

.t-,  =  <f,(C,  G,  e,  /,  é-,  8)        (i=i,  ?,  3). 
Posons  d'autre  part,  en  appelant  /;  le  moyen  mouvement, 

y,  =  m  — —  =  nin  —j-r  =  — ; fr  • 

■'  f/t  lit  \?        i/l 

Les  fonctions  cp,  jouissent  de  deux  propriétés  qui  nous  seront  utiles  dans  la 
suite;  elles  satisfont  d'abord  à  l'intégrale  des  forces  vives 

D'autre  part,  l'expression 

Zy  il.r  —  m  v^M  (  L  tll  +  G  f/^  -H  6  (/O  ) 

est  une  dififérentielle  exacte. 

Emploi  des  variables  képlériennes. 

Considérons  les  variables  x\  et  y'.^  i^iz=^\,  i.  ....  6)  définies  par  l'un  des 
trois  changements  (a),  ((3)  on  (y);  nous  allons  faire  un  nouveau  changement  de 
variables  en  remplaçant  ces  douze  variables  par  douze  variables  nouvelles 

L,      G,     6,      /,     g,      6, 
L',     G',     e',     /',     g\     6'. 


5oS      SUR  UNE  FORME  NOUVELLE  DES  EQUATIONS  DU  PROBLÈME  DES  TROIS  CORPS. 

Ces  douze  variables  nouvelles   seront  définies  de  la    manièie  suivante;    nous 

poserons 

■'^  =  =,(1.,  G,  e,  /,  „o.,  0), 


(5) 


•^  *  ~  1.^    (Il 


p    chk  {k  =  \,  :>,  3), 


■',=  ?*_,(L',  G',  B',  /'.^'.m 


r,.  = 


!/■      dl' 


Les  douze  variables  définies  par  ces  équations  (5)  pourront  s'appeler 
variables  képlérienncs,  ou  bien  éléments  osculateurs  des  deux  corps  A  et  B. 

Il  importe  de  reinarcjner  que  ces  élcuienls  osculateurs  ne  sont  pas  les  mêmes 
selon  qu'on  adopte  le  cliangeinenl  («)  ou  l'un  des  changements  ((3)  ou  (y). 
J'ajouterai  même  c[ue,  si  l'on  adopte  l'un  de  ces  changements,  le  changement 
(a)  par  exemple,  la  définition  d(;s  éléments  osculateurs  dépend  encore  du 
choix  des  deux  constantes  (3  et  [3',  choix  que  nous  ferons  dans  la  suite  de  façon 
à  simplifier  les  équations  autant  que  possible. 

Dans  tous  les  cas,  les  expressions 

>•',  dx\  -i-  _}'«  dx'i  -H  j'n  dx'-  —  p  (L  r//  +  G  dg  -^6  rf6), 
y'.,  d.r\  +  _y'^  dx':,  "+-  /f,  ^A  —  y  (  L'  dl'  -)-  G'  dg'  -f-  6  VO'  ) 

sont  des  différentielles  exactes,  de  sorte  qu'après  ce  nouveau  changement  de 
variables,  les  équations  du  mouvement  conserveront  la  forme  canonique  dans 
les  hypothèses  (a)  et  ((3)  et  la  forme  semi-canonique  dans  l'hjpothèse  (y). 
Dans  les  hypothèses  («)  et  ((3)  les  équations  s'écriront 

dV 


(6) 


dl 

dF 

dL 

dF 

dl' 

dF 

d\j 

dl 

'i  dl 

dt 

'fidl' 

dt 

V  d\:  ' 

dt 

p  '■ 


//' 


Dans  l'hypolhése  (y)  elles  s'écriront 


,,.,.,       dl        dF,  dL  dF,  dl'         dF«  dV  dF, 


dt        pdL  dt  <fidl  dt        p'</L'  dl  'f,' dl' 

Aux  quatre  équations  (6),  comme  aux  quatre  équations  (6  bis),  il  faut 
adjoindre  celles  qu'on  en  déduirait  en  changeant  L,  l,  L',  /'  en  G,  g,  G',  g'  et 
celles  qu'on  en  déduirait  en  changeant  L,  /,  L',  l'  en  0,  0,  0',  0'. 

D'autre  part,  on  aura 


.rr 

-+- 

y-i 

■  -+- 

y^'r 

2 

y? 

-+- 

y? 

-h 

y''? 

sjx';'- 


■  Xi 


SUR    UNE    FORME    NOUVELLE    DES  ÉQUATIONS    DU    PROBLÈME    DES    TROIS   CORPS.  O09 

Forme  de  la  fonction  perturbatrice. 

Nous  distinguerons  dans  la  fonclion  F  quatre  parties  et  nous  poserons 

Dans  le  cas  (  y),  en  au  lieu  d'une  seule  fonction  F  on  a  à  considérer  les  deux 
fonctions  1^  ,  el  Fo,  nous  poserons 

Le  premier  terme  J\  (ou/j)  sera  le  premier  terme  kcplérien;  f-,  sera  le 
second  terme  képlérien,  y'^,  sera  la  partie  principale  de  la  fonction  perlurl)atrice, 
f;  sera  la  partie  complémentaire  de  la  fonction  perturbatrice. 


i"   Dans  l'hypothèse  (ot),  nous  aurons 

La  m, 


F  =  T-Li,         T-<i-"     -^--'-    .-^y'^^^'^^' 


Le  signe  S  représente  une  sommalion  s'élendaul  aux  trois  axes  de  coordon- 
nées, et  je  puis  écrire  également 

\2  m ,        a/nj  m-,    j 

en  posant,  pour  abréger, 


Je  poserai 


Si  nous  prenons 


,           //Il  m-; 

m\-- 

m  lin-: 

«i  1  -(-  m^ 

nti  -h  m-, 

)',-          m,m- 

/2  = 

S  ^'\ 
•im\ 

m.m- 

•^' -%«.',          AC    ' 

BC 

,.          »h  lin 

A  = 

S  >''■'■'. 

rn- 

J'             AB    ' 

.s 

m  il»  7 

P  =     / ' 

fi'  = 

iiii  m- 

■  î 

V  /Kl  -I-  m-,  ^'«(4+  n 

les  équations  (7)  donneront 

/«i  m-  ,  III; m- 

2"  Dans  l'hypothèse  (|3),  nous  avons 

\  1  m,        ■}. m\  I 


5lO  SUR   UNE    FORME   NOUVELLE    DES   ÉQUATIONS    DU    PROBLEME    DES    TROIS   CORPS. 

el  nous  poserons 


,        ç    y,-  III,  m  :  ,■  _  >i  .'T  "'■■"': 

Difiiii  .  iiiiinj        m^my 


Eu  prenant 


«ii«!7  r,         — ^ ■  /  OT,  (  mi -(- m, 

il  viendra 


j.  in^m-,  iiiiiih 

3"  Dans  rhjpolhèse  (y),  nous  poserons 

/'=-/'  =  ^i7;i; Âc — ' 

En  prenant 

[î  =  nii  \  iiti-h  nij,         [i'=  m.,  v^mi-r-  «(7, 
il  viendra 

«i,("'i -H '"7  I  ,.        y,  mi{iiii-h  hIt) 

f'=f'= ^I^ '       ./■^  =  /^  = JT^ 

Première  approximation.  —  Nous  regarderons  la  masse  m-,  comme  finie  et 
les  masses  irii  et  m,  comme  très  petites  du  premier  ordre.  Dans  ces  conditions 
P  et  (3'  sont  d\i  premier  ordre,  /,  et  /o  sont  du  premier  ordre;  /s  el  _/•, 
(comme /'j)  sont  du  second  ordre.  On  remarquera  d'abord  qu'aux  quantités 

près  du  second  ordre,  les  valeurs  ^^"^^  k''  ~^^  W''  sorties  mêmes  dans  les  trois 

hypothèses  (st),  (p)  et  (y);  à  ce  degré  d'approximation,  les  équations  difiéren- 
tielles  auxquelles  conduisent  les  trois  hypothèses  ne  dilVèrenl  que  par  les 
termes  qui  dépendent  des  dérivées  de/,,, 

Soit 

(il  =  S  x"'j  j:\  =  -/"'i  3:',^  -t-  .r 2  .x'5  -+-  jf'^  x\ . 

La  fonction  b  sera  une  fonction  des  douze  variables  képlériennes  dont  le  déve- 
loppement est  connu  et  d'ailleurs  relativement  aisé  à  obtenir. 

Si  l'on  observe  d'autre  part  que 

,         p    d.c\  x\      _         I    d'-x\  ,  _    fi'    dx\  x',, i_  d-  x\ 


SUR    UNE   FORME    NOUVELLE    DES    ÉQUATIONS    DU    PROBLÈME    DES    TROIS    CORPS.  5ll 

on  aura  donc  : 

dans  l'hypothèse  (a),  /'•,  = ','"' . ,     „  ' ,  esaclement; 

dans  l'hypothèse  (|3),/'/,  =  -  -  "''  ,'^*  1-^  aux  quantités  près  du  troisième  ordre; 

dans  1  hypothèse  (y).  /■,  = rr. rrrr  et  /,  = ;- rr  '  exactement. 

Tous  CCS  développements  de/,,  et  de/!,  se  déduisent  immédiatement  les  uns 
des  autres.  A  ce  degré  d'approximation,  les  trois  méthodes  sont  équivalentes 
au  point  de  vue  de  la  facilité  du  développement  de  la  fonction  perturbatrice. 

D'autre  part,  si  l'on  ne  lient  compte  que  des  perturbations  du  premier  ordre, 
on  n'est  pas  gêné  par  le  fait  que  les  équations  (4)  ne  sont  pas  canoniques. 
Donc,  à  ce  premier  degré  d'approximation,  les  trois  méthodes  se  valent. 

Deuxième  approximation.  —  Mais  il  n'en  est  plus  de  même  si  l'on  veut 
tenir  compte  des  perturbations  du  second  ordre;  la  forme  non  canonique  des 
équations  (4)  devient  alors  un  grave  inconvénient;  d'un  autre  côté,  le  dévelop- 
pement de  la  fonction  perturbatrice  auquel  il  n'y  a  rien  à  changer  dans  les 
hypothèses  («)  et  (y)  devient  très  compliqué  dans  l'hypothèse  ((3).  Le  change- 
ment de  variables  (a)  que  je  propose  prend  alors  un  avantage  marqué. 

Il  a  toutefois  son  inconvénient  propre,  plus  apparent  que  réel,  au  point  de 
vue  de  l'osculation.  Supposons  que  l'on  veuille  calculer  la  position  de  la 
planète  A,  par  exemple,  à  l'aide  des  éléments  osculateurs,  à  l'époque  t.  Si  l'on 
définit  ces  éléments  osculateurs  comme  on  le  fait  dans  les  hypothèses  ((3) 
et  (y),  les  coordonnées  ainsi  calculées  sont  exactes  à  l'époque  l.  et  pour 
l'époque  ^  +  e,  l'erreur  est  de  l'ordre  de  £-'.  Si  on  les  délinit  comme  dans 
l'hypothèse  (a),  les  coordonnées  sont  encore  exactes  pour  l'époque  t;  mais 
pour  l'époque  ^  +  e,  l'erreur  est  de  l'ordre  de  e.  Il  ne  faut  pas  s'exagérer 
cependant  l'importance  de  cet  inconvénient.  Si  s  est  comparable  à  la  durée  de 
révolution,  l'erreur  est  du  même  ordre  de  grandeur  que  celle  qui  est  due  aux 
perturbations;  elle  est  du  même  ordre  dans  tous  les  cas^  Si  £  est  très  petit  par 
rapporta  la  durée  de  révolution,  la  correction  est  extrêmement  faible  et  déplus 
très  facile. 


SUR  LA  MÉTHODE  DE  BRUNS 


Comptes  rendus  de  l'Académie  des  Sciences,  l.  123,  p.  12^4-1228  (28  décembre  1896;. 


On  sail  que  Bruns  a  douioaUr  que  le  problème  des  Irois  corps  n'adinel  pas 
d'autre  intégrale  algébrique  que  les  intégrales  connues  {Acta  Malhe- 
malica,  t.  il).  L'importance  de  cette  méthode,  qui  est  certainement  applicable 
à  d'autres  équations  analogues,  m'engage  à  signaler  certains  cas  d'exception 
au  théorème  de  Bruns  et  à  rectifier  certaines  défectuosités  de  sa  démonstration 
qui,  heureusement,  ne  lui  enlèvent  pas  sa  valeur. 

Bruns  considère  des  équations  de  la  forme  suivante  : 

(0  -^=J/,  ^  =  A,.         (.  =  1,2,  ...,«)• 

Les  A,-  sont  des  fonctions  rationnelles  des  Xi  et  de  s,  et  i  est  liée  aux  x,- 
par  une  équation  algébrique 

(2)  F(.^.r,-)  =  o. 

Bruns    montre    d'abord    (jue    la    reclierche    des    intégrales    algébriques    du 

système  (  i  )  se  ramène  à  celle  des  intégrales  de  la  forme  —75  où  i|>  et  A'  sont 

deux  poljnomes  entiers  par  rapport  aux  y  dont  les  coefficients  sont  rationnels 
par  rapport  aux  x  et  à  s.  On  peut  toujours  supposer  (et  cela  bien  que  nous  ne 
supposions  pas  les  fonctions  A,-  homogènes)  que  ']i  ne  contient  que  des  ternies 
d'ordre  pair  par  rapport  aux  y,  ou  seulement  des  termes  d'ordre  impair. 

Cela  posé,  Bruns  montre  que,  si  'i/,,  est  l'ensemble  des  termes  de  '|  dont 
le  degré  est  le  plus  élevé  par  rapport  aux  y,  on  a  identiquement 

(3)  -->•'£  =^"-' 


SUR    LA    MÉTHODE   DE    BRUNS.  5l3 

OÙ  u  =  2to,j'i  est  un  polynôme  homogène  du  premier  degré  par  rapport  aux  y 
dont  les  coefficients  sont  rationnels  en  x  et  s. 
M.  Bruns  cherche  à  démontrer  que 

(4)  l.MidXi 

est  une  différentielle  exacte. 

Dans  le  cas  où  les  coefficients  de  tj;,,  sont  rationnels  en  .r  et  indépendants 
de  s,  la  démonstration  ne  laisse  rien  à  désirer. 

Mais  il  n'en  est  pas  de  même  s'ils  dépendent  de  .?.  Le  raisonnement 
de  Bruns  (loc.  cit.,  p.  3j  et  siiiv.)  soulève  des  objections.  11  fait  d'abord 

j-.-  =  rt  =  -- ■  =  ;•„=  o; 

le  polynôme  ']io  se  réduit  à  un  polynôme  '^921  ne  dépendant  que  de  y,  et  j',; 
écartant  par  un  artifice  parfaitement  légitime  le  cas  où  t|;o2  serait  identi- 
quement nul,  il  écrit 

.1;.,  =  co/i  +  c,y1-'j-.  -)-...-+-  c,,y7,. 
11  pose 

désigne  par  'F  le  produit  des  diverses  valeurs  de  <]>'  correspondant  aux  diverses 
racines  de  l'équation  (2)  en  s.  par  H  le  dénominateur  commun  des  coefficients 
de  W,  de  telle  façon  que  HW  soit  un  polynôme  entier  en  x  et  en  }'.  Il  montre 
que 

./H  <r  rfH  >!• 

De  cette  équation  il  veut  conclure  (p.  38)  que 

C'est  là  ([ue  la  démonstration  est  en  défaut.  Cela  serait  vrai  si  'J/qo,  et  par 
conséquent  HT,  était  homogène  en  .r,  et  en  x^\  mais  il  n'en  est  pas  ainsi. 
Bruns  suppose,  il  est  vrai,  que  les  A,;  et  F  sont  homogènes  en  37  et  5;  cela  lui 
permet  de  supposer  que  ij'o  est  homogène  en  xi,  x.^,  ....  x,,-  Mais  alors, 
dio3  est  homogène  en  a'i,  jjo  .  .  .,  x,,  et  non  pas  en  .ri  et  x^  seulement.  Pour 
le  rendre  homogène  en  Xi  ol  .ro,  il  faudrait  non  seulement  annuler  }•,, 
V'i,    .  .  .,    Vin   mais  encore  x.^,   x-,,    .  .  .,   x„;   mais  alors  la  relation  d'intégra- 

bilité  -T— ^  =  -y— ^  ne  serait  plus  démontrée  qu'en  supposant  ces  n  —  2  variables 

nulles. 

H.  P.  -  VII.  65 


5l4  SUR  LA  MÉTHODE  DE  BRUNS. 

Au  reslo,   il  est  aisé  de  former  un  exemple  où  le  théorème  de  Bruns  est 
en  défaut.  Supposons  que  l'équation  (2)  s'écrive 


A  "  —  X  7  ~t"  3j  ô  —  ûC  't  • 


Considérons  le  polynôme 

(  x\y.^  —  x-iY^  y-  —  {x,r3  —  .i--:.ri  )-  —  (x-.y^  —  XzVi y-, 

qui  satisfaite  l'identité  (3);  il  se  décomposera  en  deux  facteurs, 

(xiji  —  yia:,){xi  —  .v'i)  -\- (x«X3-^-  xts){x,\:,  — ytx-j) 
ol 

.ï  J  Xîi^Xl  —  X^  ) 

Chacun  de  ces  facteurs  satisfera  à  l'identité  (3)  sans  que  l'expression  (4) 
soit  une  dillerentielle  exacte. 

11  importe  donc  de  rechercher  les  cas  d'exception.  Supposons  d'abord 
n  =^  2  et  regardons  Xi  et  x^,  comme  les  coordonnées  d'un  point  mobile  dans 
un  plan,  y^  el  y^  comme  les  composantes  de  sa  vitesse.  Alors  l'équation  tj;  =  o 
représentera  un  système  de  droites  dans  un  plan.  Ces  droites  auront  une 
enveloppe  que  j'appellerai  E. 

D'un  point  du  plan,  on  pourra  mener  à  celte  enveloppe  plusieurs  tangentes 

et    le    rapport    1'^^    représentera    le    coefficient    angulaire    d'une    de   ces 

tangentes.  Considérons  maintenant  le  polynôme  '%  ;  s'il  ne  d('pend  pas  de  s, 
on  retombera  sur  le  cas  où  le  théorème  de  Bruns  s'applique;  s'il  dépend  de  s, 
on  pourra  trouver  une  quantité  ct  telle  que  ;  1"  c'  est  rationnel  en  :r  et  5; 
2°  0-  est  rationnel  en  Xi,  x^  et  y' ,  y  représentant  le  coefficient  angulaire 
d'une  des  tangentes  menées  à  E  par  le  point  X{,  x^\  3"  les  coefficients  de  1]^" 
sont  rationnels  en  r  et  a;  4"  ai^'^  diverses  valeurs  de  a  correspondent  autant 
de  polynômes  'l/io  différents. 

Faisons  décrire  au  point  x^,  x-2  un  contour  fermé  imaginaire  très  petit, 
quelconque;  il  pourra  arriver  que  deu\  ou  plusieurs  valeurs  de  a,  ou  que 
deux  ou  plusieurs  valeurs  de  y'  s'échangent  entre  elles;  c'est  la  façon  dont 
se  fait  cet  échange  qu'il  s'agit  de  discuter. 

Pour  que  des  valeurs  de  t  s'échangent,  il  faut  que  des  valeurs  de  y' 
s'échangent  et  pour  que  des  valeurs  de  1'  s'échangent,  il  faut  que  le  point 
Xi.  X-,  tourne  autour  de  la  courbe  E  ou  autour  d'une  tangente  singulière  à  E; 


SUR    LA   MÉTHODE   DE    BRUNS.  5l5 

je  veux  dire  une  tangente  d'inflexion  ou  une  tangente  en  un  point  singulier. 
Nous  restons  donc  en  présence  de  deux  hypothèses  : 

i"  Le  lieu  des  points  où  l'équation  en  cr  (et  par  conséquent  l'équation  en  s) 
a  des  racines  égales  comprend  E; 

2°  Le  lieu  ne  comprend  pas  E,  mais  comprend  une  tangente  singulière  à  E. 

Celte  deuxièiue  hypothèse  doit  être  rejetée;  c'est  ce  que  montre  la 
discussion  de  la  façon  dont  s'échangent  les  diverses  valeurs  de  j',  de  o-  et  de  5 
quand  le  point  x,,  x-,  tourne,  dans  le  voisinage  du  point  de  contact,  autour 
d'une  tangente  singulière  à  E,  ou  d'une  des  branches  de  courbe  qui  la  touchent. 

Ainsi  E  devra  faire  partie  du  lieu  des  points  où  l'équation  (2)  a  des  racines 
multiples. 

Soit  maintenant  11  =  3  et  supposons  que  x,,  x-,,  x.,  soient  les  coordonnées 
d'un  point  mobile  dans  l'espace,  y,,  r_.  et  jK;,  les  composantes  de  sa  vitesse. 
L'équation  'l;,,  rr^  o  est  alors  celle  d'un  complexe  de  droites. 

Si  le  polynôme  ']>„  est  exceptionnel,  c'est-à-dire  si  ses  coeflicieuts  ne  sont  pas 
rationnels  en  x  et  s'il  fait  exception  au  théorème  de  Bruns,  toutes  les  droites 
du  complexe  devront  être  tangentes  à  la  surface,  lieu  des  points  où 
l'équation  (a)  a  des  racines  égales. 

Supposons  enfin  n  quelconque.  Ecrivons  que  l'équation  en  s  (2)  a  des 
racines  égales;  nous  obtiendrons  une  équation 

<I>(j-|,  X:,    ...,  .X„)  =  o, 

qui  pourra  n'otrc  pas  irréductible,  mais  se  décomposer  en  plusieurs  autres 

>]>,(.Ti)  =  n,      '    (I>,(  j,-,)  =  o,  ...,  'l>iiiXi)  =  0. 

Considérons  l'une  de  ces  équations 

'l)/,(.ri,  a-o,  .  .  .,  x„)  =  i>, 
et  formons  l'équation  en  /., 

Exprimons  f(ue  celte  équation  en  t  a  deux  racines  égales,  nous  obtiendrons 
une  relation 

B/,(Xi,  y,)  =  n. 

Il  pourra  se  faire  que  &/,  se  décompose  en  plusieurs  facteurs  entiers  enj»-,-, 
rationnels  en  x;  l't  en  s.  .S'il  en  est  ainsi,  chacun  de  ces  facteurs  sera  un  poly- 
nôme ij^n  exceptionnel. 


jl(>  SUR    LA    METHODE    DE    BRUNS. 

A  chaque  équation  en  s  ne  pourra  donc  correspondre  iju'iin  nombre  fini 
de  polynômes  ij>o  exceptionnels  et  irréductibles. 

Ces  polynômes  exceptionnels  n'existent  pas  toujours,  car  0/,  peut  ne  pas  être 
dêcomposable  en  facteurs. 

Qu'arrive-t-il  en  particulier  dans  le  cas  du  problème  des  trois  corps  ? 
On  peut  former  trois  polynômes  0;  l'un  d'eux  est 

[{■r,~  Xi)  (y^  —  y,)  —  (x-,  —  Xi)  (yi—yi)]-^ 
-i-  [{x-.—  Xi)  (ys—  Vo)  —  {xs—  xe)  (yi  —  yi)y- 
-l-[{xs  —  Xi)  (yi  —  y,,)  —  (Xi  —  Xi)  (y^  —  y,,)]-^. 

Chacun  d'eux  se  décompose  en  deux  facteurs;  il  y  a  donc  des  polynômes  <]/„ 
exceptionnels,   mais  ces  polynômes  sont  imaginaires.   Or  on  peut  toujours 

supposer,  sans  restreindre  la  généralité,  que  l'intégrale  X  est  réelle. 

Le  résultat  de  M.  Bruns  se  trouve  donc  confirmé;  je  suis  heureux  d'avoir  pu 
compléter  son  élégante  analyse  sur  un  point  de  détail. 


SUR 

L'INTÉGRATION  DES  ÉQUATIONS 

DU  PROBLÈME  DES  TROIS  CORPS 


Bulletin  astronomii/ae.  t.  14,  p.  241-270  (juillet  1897). 


Je  désire  attirer  l'allention  sur  quelques  procédés  d'intégration  par  approxi- 
mations successives  applicables  aux  équations  du  problème  des  trois  corps. 
Le  but  que  je  me  suis  proposé,  c'est  d'exprimer  les  coordonnées  des  astres 
par  des  séries  dont  chaque  terme  est  une  fonction  périodique  du  temps  et, 
par  conséquent,  d'éviter  que  le  temps  sorte  des  signes  trigonométriques. 

Un  mot  d'abord  d'une  notation  que  j'emploierai  dans  la  suite.  Considérons 
une    fonction    j    de   plusieurs    arguments    n',,    Ho,    ...,    w,,,    périodique   de 
période  27:  par  rapport  à  chacun  de  ces  arguments.  Elle  pourra  être  développée 
par  la  série  de  Fourier  de  telle  façon  que  l'on  aura 
(  I  )  9  =  S  A  cos(ni|(ri  -i-  /niivo-i-.  .  .-h  m,/W,/-i-  C). 

Dans  le  terme  général  de  la  série  (  i  ),  A  et  C  sont  des  constantes  quelconques 
et  les  m  sont  des  coefficients  entiers  positifs,  négatifs  ou  nuls. 

Parmi  les  termes  de  la  série  (  1  ),  je  distinguerai  celui  où  tous  les  coef- 
licienls  m  sont  nuls:  c'est  un  terme  constant,  c'est  la  valeur  moyenne  de  la 
fonction  périodique  cp  ;  je  la  désignerai  par  la  notation  [  9  ]. 

Préliminaires . 

Je  vais  maintenant,  pour  diviser  la  difficulté,  traiter  successivement 
une  série  de  problèmes,  de  plus  en  plus  compliqués,  de  façon  à  m'élever 
jusqu'au  problème  des  trois  corps. 


0i8  SUR  l'intégration  des  équations. 

Problème  A.    -  Résoudre  ['('■qiiMtion 

r/S  >/S  ,/S         ,       ,, 

<!•  est  uni'  foiicliou  connue  pi^io(ii(|iie  par  rapporl  aux  ir. 

S  esl  uue  fonclion  inconnue  qui  doit  èlro  périodique  par  rapport  aux    w. 

G  esl  une  constante  incminue. 

Les  a,-  soûl  des  coefticients  constants  donnés. 

Soil,  par  la  série  de  Fourier, 


(2) 


•1'  =  -  A  !■(  p^  (  //i ,  ii>j  -■-  .  .  .4-  m,i  w,/  +  D  ), 
S  =  -  B  siii  (  //(|  ii'i  -t- . .  .  +  /)i,f  ir.^-H  E  ). 


Les  A  et  les  D  sont  donnés,  et  il  s'agit  de  délerniiner  C,  les  B  et  les  E. 
Pour  cela,  il  suflira  de  prendre  C  =  [<!•],  el,  pour  chacun  des  ternies  de  *I' 
autre  que  [<I»|,  c'esl-à-dire  pour  chacune  des  couiljinaisons  des  coefficients  ni, 
où  tous  ces  coefficients  ne  sont  pas  nuls  à  la  fois, 

A 


ii=r., 


//il  <ii  ■ 


Gela  esl  possible,  pour\u  i[u'aucun  des  diviseurs  rn,ai  +  .  ,  .-{-  m,ja,j  ne  soil 
nul,  c'esl-à-dire  pourvu  qu'il  n'y  ait  entre  les  coefficients  a  aucune  relation 
linéaire  à  coeflicienls  entiers. 

Problème  B.  —  Soit  F  une  fonclion  développable  suivant  les  puissances 
d'un  paramétre  1res  petit  p.  el  dépendant  de  deux  séries  de  variables 

j'i,       X-2,        ...,       •i'i/i  .l'i,       .V'>,        •■■)       .*'r/- 

On  aura  donc 

F  =  Fi,  +  ;j.  F I  -H  u.-  Fi  +  .  .  . . 

Fo  ne  dépend  que  des  x;  les  autres  termes  p.' F/,  dépendent  à  la  fois  des  x 
el  des  y,  mais  sont  périodiques  de  période  a7r  par  rapport  aux  i  . 
Il  s'agit  d'intégrer  les  équations  canonicjues 

^^  <lt   ~  dv,'  dt    "      dx,' 

L'importance  de  ce  problème  est  évidente;  à  chaque  instant,  eu  Mécanique 
céleste,  on  est  amené  à  des  équations  do  cette  forme;  je  n'en  citerai  qu'un 
exemple;  supposons  que  l'un  des  trois  corps  ait  une  masse  nulle  el  que  les 
deux  autres  décrivent  deux  circonférences  concentriques,  supposons  enfin 
que  les  trois  corps  se  meuvent  dans  un  même  plan.  On  arrivera  précisément  à 


•fi 

=  J-,"-^[iX,'-l-;j.2j-,?  +  ., 

.  .=  SiiPx/i, 

J' 

,  =  y»^^yl^^y^^,. 

.=  ^^Pyl}. 

SUR    L'INTÉGRATION    DES   ÉQUATIONS.  Sig 

des  écjualions  de  la  forme  (o).  en  prenant  pour  variables  Xi  et  x-,  la  racine 
du  grand  axe  de  la  planète  troublée  et  sa  constante  des  aires;  pour  variables  >  i 
et  y,,  l'anomalie  moyenne  de  la  planète  troublée  et  la  difl'érence  entre  la 
longitude  du  périhélie  de  la  planète  troublée  et  la  longitude  de  la  planète 
troublante. 

Je  me  propose  de  trouver  des  solutions  de  la  forme  suivante  :  les  Xi  et  les  j,- 
seront  développés  suivant  les  puissances  des  [t..  de  sorte  qu'on  aura 

(4) 

Dans  (/^,  la  lettre/?  représente  un  exposant;  mais,  dans  xf  et  jf ,  elle  repré- 
sente un  indice. 

Les  fonctions  x^  et  y['  devront  dépendre  de  q  constantes  d'inté- 
gration ri.  z-2,  ...,  z,i  et  de  (j  arguments  n,,  w-y.  ...,  tv,/,  qui  seront  des 
fonctions  linéaires  du  temps,  de  telle  façon  que  l'on  ait 

les  «/,  étant  des  constantes  déterminées  et  les  Wk  de  nouvelles  constantes 
d'intégration. 

.Te  supposerai  que  x°  se  réduit  à  la  constante  r,  et  r°  à  (v,  ;  que  les  autres  xf 
et  j'f  sont  des  fonctions  périodiques  des  q  arguments  ce. 

Il  s'agit  d'intégrer  les  équations  (3)  par  des  séries  de  la  forme  (^4))  ou,  ce 
qui  revient  au  mêine,  de  déterminer  les  séries  (4),  de  telle  façon  qu'en 
supposant  les  variables  anciennes  x  et  y  liées  aux  variables  nouvelles  ;  et  w 
par  les  relations  (4),  les  équations  (3)  deviennent 

ffZi  f/ojj 

— r-  =  o,         — ;—  =  const. 

Or,  je  dis  que  pour  cela  il  suffit  : 

i"  Qu'en  substituant  dans  F,  à  la  place  des  x  et  des  y,  leurs  valeurs  (4) 
en  fonction  des  •:  et  des  n',  cette  fonction  F  se  réduise  à  une  fonction  o 
dépendant  seulement  des  ;  et  indépendante  des  iv;  je  supposerai  celte 
fonction  o  développée  suivant  les  puissances  de  p.,  de  telle  sorte  que 

ç  =  =o-i-  ^'•?l  -t- . . .: 
nous  devrons  avoir  alors 

(5)  F  =  ïo-H  ULi,^...  ; 


520  SUR  l'intégration  des  équations. 

2"  Que  l'expression 

soil  une  difl'érentielle  exacte. 

Si  en  efl'et  dS  est.  une  diirérentielle  exacte,  il  en  sera  de  même  de  ^xd)-  — ^zdw. 

Donc,  en  prenant  pour  variables  nouvelles  les  i\'  etles  ;,  on  n'altérera  pas  la  forme 

canonique  des  équations  (')  qui  s'écriront 

dzi  d¥  ds  ,^,   , 

-di-       d^r      dtrr"        (douc,.=  const.), 

dwi  _        dF    _        da 
dt  dZi  dZi 

La  d(''rivée  -—^  ne  dépend  que  des  z  qui  sont  des  constantes.  C'est  donc  une 
constante.  c.   q.    f.    d. 

Gela  posé,  substituons  dans  F,  à  la  place  des  xi  et  des  j',,  leurs  valeurs  (4)- 
Alors  F  se  trouvera  développé  suivant  les  puissances  de  [>.,  des  x'^  et  des  rf  et 
les  coefficients  de  développement  seront  des  fonctions  des  x]  et  des  i",  c'est- 
à-dire  des  3,-  et  des  w,,  périodiques  par  rapport  aux  w,. 

Ordonnons  les  termes  de  ce  nouveau  développement  de  F  suivant  les 
puissances  de  pt,  nous  trouverons 

F  =  0,,-)-  nei+  iJL2e..  +  .... 

L'équation  (j)  se  décomposera  et  nous  donnera 

©u  n'est  autre  chose  (jue  F,,  où  les  x;  ont  été  remplacés  parles  constantes  zc, 

c'est   donc    une   constante,    de   sorte   que  l'équation  0||=o„,   oii  cpo  est  une 

fonction  indéterminée  des  s,,  se  trouvera  satisfaite  d'elle-même. 

Nous  poserons 

'/(-)„ 
dzi 

Les  a,  étant  des  fonctions  des  s,  seront  des  constantes. 
Développons  S  suivant  les  puissances  de  \i.  : 

S  =  Su-i-  jj. S,-+-  |x-Sî-i-. . .. 
L'expression  de  rfS  nous  montre  tout  de  suite  que  So  est  nul  et  que 


rfSi  =  i:(^,'  dw, —  y}  fl^ùi         <J'où         -,  _    , 
'  '         dw 


('J  Voir  aux  Notes,  Principes  de  Mécanique  analytique. 


SUR   l'intégration    des   équations.  521 

D'autre  part,  on  a 

e,=—  s  a,  a:-/  -4-  <I'; 

<I»  n'est  autre  chose  que  Fi  où  l'on  a  remplacé  xi  etj'/  par  -,  et  (V;  ;  c'est  donc 
une  fonction  connue  périodique. 

Dans  ce  qui  va  suivre,  je  conviendrai  de  représenter  par  une  même 
notation  •!•  toute  fonction  connue  pérodique. 

Cette  même  lettre  $  pourra  donc  représenter  plusieurs  fonctions  différentes. 
L'équation  0i  =  »|  s'écrit  alors 

S|  est  une  fonction  périodique  inconnue;  a,  est  une  constante  inconnue 
(constante  puisqu'elle  ne  dépend  que  des  zC). 

Nous  pourrons  donc  intégrer  cette  équation  par  le  procédé  A,  je  veux  dire 
par  le  procédé  qui  nous  a  permis  de  résoudre  le  problème  A. 

Connaissant  Si  nous  aurons  x\  et  >','  par  les  équations 

,       c/Si  ,  (/S| 

dwi  -  '  dzi 

Il  vient  ensuite 

(6)  f/S,=  Z{x\  dwi-^x\  dy\  -y\  dzi\ 
d'où 

(7)  ,.=  ^_v,,,^  =  !^^,, 

ilWi  (hvi         dwi 

D'autre  part,  on  aura 

(8)  e.;  =  — Sa;  :r  ,-  +  <!>, 

la  fonction  «l>  ne  dépendant  que  des  x%  j'°,  x] ,  y]  et  étant  par  conséquent 
désormais  connue. 

La  combinaison  des  équations  (7)  et  (8)  nous  donnerait,  en  tenant  compte 
de  0^=  92, 

(9)  -'''■^;=*-'^' 

qui  s'intégrera  par  le  procédé  A. 

Connaissant  S2,  nous  aurons  x^  et  rf  par  les  équations 

/         7    •     >  1  'fil  I  n  ''S'  I, 

Nous  déterminerions  ensuite  S:,,  a?/  et  j','  par  dos  équations  analogues  aux 

H.  1'.  —  VII.  66 


552  SUR    L'INTEGRATION    DES    ÉQUATIONS. 

èqualions  [-bis],  (iS)  et  (g)  el  ([iii  n'en  (liflV'ieraienl  (|ue  parce  que  l'indice  2 
serait  remplacé  par  rimltce  !î.  I^es  fonctions  <I',  qui  lii^ureraient  dans  ces 
nouvelles  équations,  pounaienl  être  legardées  comme  connues  parce  qu'elles 
ne  dépendraient  (jiie  des  x" ,  y",  j:,'  ,  ),'  ,a:/,  j/. 

Et  ainsi  de  suite. 

Le  problème  B  peut  donc  rire  regardé  comme  résolu. 

Le  procédé  que  je  viens  d'exposer  n'est  pas  identicjue  à  celui  que  j  ai 
développé  dans  le  Chapitre  XV  des  Méthodes  nouvelles  de  la  Mécanique 
céleste:  il  présente  certains  avantages  que  la  comparaison  des  deux  procédés 
ferait  mieux  ressortir. 

Problème  C.  —  Fj  étant  un  polynôme  homogène  du  second  degré  par 
rapport  aux  x  et  aux  r,  intégrer  les  l'^quations  canoniques 

Ces  équations  sont  linéaires  et  à  coefficients  constants.  Elles  admettront 
donc  2q  solutions  de  la  forme 

Xl  =  af  e'i'.  _)•,■  =  [3f  e''-i.'  ; 

cherchons  à  déterminer  les  constantes  af ,  (3*,  et  )./(  de  façon  à  satisfaire  aux 
équations;  il  viendra 

Je  suppose,  bien  entendu,  en  écrivant  ces  équations,  que  dans  F-,  les 
variables  .r,  et  }■,  ont  été  remplacées  par  af  et  (3f . 

Entre  ces  a.q  équations  (qui  sont  linéaires  et  homogènes  par  rapport  aux  a 
et  aux  P)  j'élimine  les  2^  quantités  a  et  p.  J'obtiendrai  une  équation  de 
degré  2q  en  If:,  dont  les  racines  seront  deux  à  deux  égales  et  de  signe  contraire. 

Si  la  forme  quadratique  F-,  est  définie  positive,  les  racines  1/,-  sont  purement 
imaginaires,  de  sorte  que  À/,  el    —  X^.  sont  imaginaires  conjuguées. 

Soit  maintenant  ij-i  une  autre  racine  de  l'équation  en  >.x  et 

la  solution  correspondante  des  équations  (10).  Posons 


SUR  l'intégration  des  équations,  523 

Gomme  Xi=^t.i,  yi='rii  dune  pari;  x,=  t/ ,  ;)/  = 'i|    d'autre  part,   sont  deux 
solulious  des  équations  (lo),  il  est  aisé  de  véi'ilier  qu'on  aura 

-(?ri;  —  •"-i,e;  )  =  const. 

Gomme,  d'autre  part,  le  premier  membre  est  divisible  par  e'^'^i^'",  la 
constante  du  second  membre  doit  être  nulle,  à  moins  que  jj^  =  — À/,. 
Si  ,'-<■/,  ^=  — A/,,  nous  ne  restreindrons  pas  la  généralité  en  supposant  que  cette 
constante  est  égale  à  i. 

Soient  alors  a'^ ,  bf  les  valeurs  de  yf,  of  correspondant  à  cette  racine  p/,  =  — )./,. 
Si  la  forme  F._,  est  définie  positive,  nous  pouvons  supposer  que  c.f  et  ^' —  i  a', 
^^i  et  y/ —  i  (ji  sont  imaginaires  conjugués. 

Posons  alors 

'/ 

(11)  ■2-,=2a->/, -<-^«' ri.       .i'/=]^|3/^i-i-2/'f +  .ri; 

Il  vient 

X,{u-id}i  —  yidxi)  =  i:(.4  f/jA— .ri  du:'/,). 

Getle  équation  exprime  que  ^x  dj'  —  Hx' dy'  est  une  différentielle  exacte, 
et  que,  en  passant  des  variables  x,  y  aux  variables  x'  y',  on  n'altère  pas  la 
fjrme  canonique  des  équations. 

Les  équations  (lo)  deviendront  donc 

dx'i,  _  dF.2  dr'/,-  _       f/F, 

dt         dy'i^  dt  dx'i^ 

et  comme  elles  doivent  avoir  pour  intégrales 

^'i.  =  e>",       y'k  =  «-'" 
nous  aurons 

V 

(12)  {^.,='^'nx'i,yi,. 

D'autre  part,  comme  ^{xdy  ~  x'  dy')  est  une  dillérentielle  exacte  on  aura 
identiquement 

yi  /dV,   d\\        ^  ( /F2  \  _  yi  /  t/Fî    d\\         dK    dP-, 
ZuxTîxi  7/7i~  dxi   7771  )  "2^  \d.r'i    dy~  dZ  <ly] 

Le  second  membre  se  réduit  à 


524  SUR  l'intégration  des  équations. 

Si  R  est  un  polynoine  enlier  par  rapport  aux  x  et  aux  )',  et  par  conséquent 
aussi  par  rapport  aux  x'  et  aux  y',  si  de  plus  il  n'y  a  entre  les  A^  aucune 
relation  linéaire  à  coefficients  entiers,  la  condition  nécessaire  et  suffisante 
pour  (]ue  l'expression  (i3)  s'annule  est  que  R  soit  un  polynôme  entier 
par  rapport  aux  q  expressions  l/,-x'^y'(..  Remarquons  que  ces  ^  expressions  dont 
la  somme  est  égale  à  F2  sont  q  polynômes  homogènes  du  second  de  gré 
par  rapport  aux  x  et  aux  y.  Ces  q  polynômes  sont  réels  et  toujours  positifs, 
si  la  forme  F2  est  définie  positive. 

Problème  D.  —  Résoudre  l'équation 

I.  -- 1 

où  V  est  un  polynouie  connu,  homogène  de  degré  p  par  rapport  aux  7.q 
variables  x  et  j-. 

S  est  un  polynôme  inconnu  homogène  de  degré  p  par  rapport  aux  x 
et  aux  r. 

Q  est  un  polynôme  inconnu  homogène  de  degré  -  par  rapport  aux  q 
produits  xy. 

Soient 

P  =  S  A.rf' j?'  x'i-'yh. .  ..c^'y^'', 

Nous  résoudrons  l'équation  (i4)  en  prenant 

A 


i;Xi.(ai.—  (Ji) 


si  l'on  n'a  pas  à  la  fois 

et  C  =  A  si  l'on  a  à  la  fois 

a,  =  j3,,  «2=  P2,  .  .  .,  a^=  %. 

La  solution  est  possible  pourvu  que  les  >.<  ne  soient  liés  par  aucune  relation 
linéaire  à  coefficients  entiers. 

Remarquons  que  Q  est  identiquement  nul  si  p  est  impair. 

Phoblème  E.  —  Résoudre  les  équations 

^      '        Zj  V  dxt  Tfyt         dyt  717,)  -'"*-'  j^\  dxi  ,ly,         dyi  ,lxi  )  ~  °' 


SUR  l'intégration  des  équations.  525 

où  h\  esl  un  polynôme  homogène  donné  du  deuxième  degré  par  rapport 
aux  X  et  aux  )•,  P  un  polynôme  homogène  connu  de  degré  /?,  S  et  Q  deux 
polynômes  homogènes  inconnus  de  degré />. 

Faisons  le  changement  de  variables  (  1 1  ),  les  équations  (  1 5  )  deviendront 

La  seconde  de  ces  équations  signifiera  que  Q  est  un  polynôme  entier  par 
rapport  aux  produits  ^x.xî-  Nous  sommes  donc  ramenés  au  problème 
précédent. 

Le  problème  sera  doue  possible  pourvu  qu'il  n'y  ail  entre  les  ),/,  aucune 
relation  linéaire  à  coefficients  entiers.  Q  est  nul,  si  p  est  impair. 

Problème  F.  — ■  La  fonction  F  est  une  série  ordonnée  suivant  les  puissances 
croissantes  des  x  et  des  y  et  commençant  par  des  termes  du  deuxième  degré, 
soit 

F=  K,-hF:,+  Fi-F..., 

F^  désignant  l'ensemble  des  termes  d'ordre /j. 
Il  s'agit  d'intégrer  les  équations  canoniques 

,   p.  dj:/  _  ifF  dvi  _       <f? 

~di  ~  IJyi  '  ~dt    ~^  Tixi  ' 

Voici  dans  quelles  circonstances  on  rencontrera  ce  problème.  On  a  cherché 
à  étudier  les  variations  séculaires  des  éléments  des  planètes  de  la  manière 
suivante.  On  a  écrit  les  équations  des  perturbations  en  supprimant  dans 
la  fonction  perturbatrice  tous  les  termes  périodiques,  et  l'on  s'est  proposé 
d'intégrer  les  équations  ainsi  simplifiées  que  j'appellerai  équations  aux 
variations  séculaires.  On  sait  que  Lagrange  a  effectué  cette  intégration 
on  ne  conservant  dans  la  fonction  perturbatrice  que  les  termes  du  deuxième 
degré  par  rapport  aux  excentricités  et  aux  inclinaisons.  Les  équations  étaient 
alors  linéaires  et  à  coefficients  constants.  Ce  n'était  d'ailleurs  autre  chose 
que  notre  problème  C. 

Plus  tard,  Le  Verrier  a  tenu  compte  des  termes  du  quatrième  degré, 
Cellérier  de  ceux  du  sixième  degré.  Le  procédé  que  je  vais  exposer  amène, 
dans  ces  calculs,  une  simplification  importante  et  permet  de  tenir  compte 
de  toutes  les  puissances  des  excentricités  et  des  inclinaisons. 

Et,  en  elTet,  si  les  variables  sont  convenablement  choisies,  les  équations 
aux  variations  séculaires  sont  précisément  de  la  forme  (  i6). 


5a6  SUR  l'intégration  des  équations. 

Jo  me  propose  (l'exprimer  les  .r  c!l  les  »•  en  fonclion  fie  <]  constantes  p/, 
et  de  q  arguments  (o<  qui  seront  des  fonctions  linéaires  du  temps,  .ie  m'arran- 
gerai pour  que  les  X  et  les  y  soient  développables  suivant  les  puissances 
des  quantités  pA-e'"'"^',  pie-"""^. 

Soient 
(17)  a-,  =  j;) -I- .r" -(-... ,         r,- =  .1  |  +  17 -+-.  . . 

ces  développements  où  x'I  el  y''  représentent  l'ensemlile  des  termes  de  degré/» 
par  rapport  aux  p/, . 

Te  dis  que  le  problème  équivaut  au  suivant  : 

Déterminer  les  séries  (17)  de  telle  façon  : 

1"  qu'en  y  substituant,  à  la  place  des  .c  et  des  j',  ces  développements  (17), 
F  se  réduise  à  une  l'onction  9  dépendant  seulement  des  p  et  indépendante  des  u  ; 

2"  que 

r/S  =  ^{.li—  .r]  )  dvi-h  (.)  ;  — ,)  i)  (/.'■;  el         r/T  =  Ix'  dy]  +  v^^  ^?l  </f>k 

soient  des  dillérentielles  exactes. 

S'il  en  est  ainsi,  en  effet,  Lc/  dyi-\-  ^' — 1  ipj.  c/w/,  sera  une  diil'érentielle 
exacte.  La  forme  canonique  des  équations  ne  sera  donc  pas  altérée  quand 
on  passera  des  variables  x  et  y  aux  variables  pj  et  — \  — 1  w/,  ;  elles 
deviendront  donc 

'^       —       — ■ =0         (d  ou  p<.  =  const.  ), 


'''  \'' —  1  rfwf;  y  —  1  di.->it 

. dMk  r/F  rfo 

V  ^  1  — ;—  =  H r   =  H — 77-^ — ;  =  const., 

ce  qui  montre  que  les  w  sont  des  fonctions  linéaires  du  temps. 

Substituons     dans     F     les     développements    (17)    et    ordonnons    suivant 
les  puissances  des  p  ;  nous  aurons 

F  =  e,  +  6;  -+- .  .  . 

pour  le  développement  de  F  et 

9=!9,-4-9,,^... 

pour  celui  de  9  et,  comme;  on  doit  avoir  F  =  9,  nous  aurons 

Wj  n'est  autre  chose  que  1''^,  où  Xj  et  yi  sont  remplacés  par  x],  y].  Si  donc, 


SUR  l'intégration  des  équations.  527 

employant    le    procédé    C,    nous    faisons    le    changement   «Je   variables    (11) 
ea  posant 

l'expression 

sera  une  différentielle  exacte  et 

se    réduira,    en    vertu    de    l'équation   (12),    à    — \  — ii>.xp|,    de   sorte   que 
l'équation  0._,  ^  o-,  se  trouvera  satisfaite.  Soit 

S  =  So  -t-  S)  -I-  So  -I-  S.i  -(-  S4  -(- . . . 

le  développement  de  S  suivant  les  puissances  des  p.  J'observe  d'abord  que  les 
premiers  termes  So,  Si  et  S2  sont  nuls  et  que  l'on  a 

rfS:,=  Zx]  (/_}■]— Zy-j  do:]. 
D'autre  part, 

$  étant  une  fonction  connue  puisque  x\  et  )'  sont  désormais  connus.  Comme 

l'on  a 

^/S.,  ,  dS-. 

(iH)  ^J  =  -TT'  >T  = 7^' 

^  '         dy]  '  dx-. 


..'  i 


l'équation  0;,  =  cp:,  devient 

D'autre  pari,  ç;,  ne  dépendant  que  des  p,  on  auia 

ces  équations,  analogues  aux  équations  (k)),  s'intégreront  par  le  procédé  E, 
ce  qui  donne  S:,  ;  les  équations  (  18)  donneront  ensuite  x\  et  j'^. 

On  trouve  ensuite 

d?,,=  Z{x\dy\-^x\dy\-y\dx\), 

d'où,  puisque  x\  et  kJ  sont  désormais  connus. 

On    obtient   ainsi    deux    équations    analogues    aux   «'quatious    (^mj)   et   (20) 
et  qui  n'en  diffèrent  que  parce  que  l'indice  3  y  est  remplacé  par  l'indice  4- 


528  SUR  l'intégration  des  équations. 

Ces  équations  s'intégreront  par  le  procédé  E,  ce  qui  donnera  S,,  et  ensuite, 
par  (i8  bis),  x'}  et  _}"J  et  ainsi  de  suite. 

PuoBLÈMu:  G.  —  La  fonction  F  a  la  même  signilicalion  que  dans  le  problème 
précédent. 

Trouver  2q  fonctions  tj  et  ru  des  x,  et  des  yi,  telles  que  l'on  ait 

et  que 

soit  une  ditlérentielle  exacte. 

P  représente  une  fonction  connue,  Q  une  fonction  inconnue;  toutes  deux 
doivent  être  développables  suivant  les  puissances  des  x  et  des  )•. 

.le  veux  également  que  î,  rj  et  S  soient  développables  de  la  même  manière; 
et  j'écris  les  développements  de  ces  cinq  fonctions  sous  la  forme 
(22)  li=W!,         ■'•.;=  Sr,/;,         P^SP/,,         Q  =  SQ/,.         S  =  SS;,. 

Je    substitue    dans    les    équations    (21)   les    développements    (22);   j'égale 
les  termes  du  premier  degré,  et  j'ai  les  équations 

''/P-i...        ^/F, 


^J  \  fixi  (/fi         d)  i  dxi  I  ' 

(23)  i  f/S,  =  2i(?°  ./)•,• -T,»r/.r,), 


équations  qui,  par  le  procédé  E,  donnent  S,,  E°  et  y)". 

En  égalant  de  même  les  ternies  du  deuxième  degré,  j'obtiens 

r/F.,    ,        dF, 


(24) 


■y  /dFj  dQ^  _  dF^  d(h\  _ 

^  \  dxi  dvi        dy,  dxi  I 
qui,  par  le  procédé  E,  donnent  S2,  ;,'  et  rjj  ;  et  ainsi  de  suite. 


SUR  l'intégration  des  équations.  529 

llemarquons  que,  d'après  ce  que  nous  avons  dit  à  propos  du  problème  E,  la 
fonction  Q,,  est  nulle  si  l'indice  p  est  impair,  de  même  que  la  fonction  9^  du 
problème  précédent. 

Problème  H.  —  11  u'j  aurait  rieu  à  changer  à  l'analyse  qui  précède  si  les 
équations  (21  )  étaient  remplacées  par  les  suivantes  : 

(11  bis)  < 

\  .mJ  \  ote;  dyi       dvi   dxi  /         ' 

et  si  l'expression  c^S,  qui  doit  être  différentielle  exacte,  s'écrivait 

où  A,,  B|,  C,  D;  sont  des  fonctions  connues  des  x  et  des  y,  développables 
suivant  les  puissances  de  ces  variables,  le  dèveloppemeiit  commençant  par 
des  termes  du  deuxième  degré. 

En  y  substituant  les  développements  (22)  et  égalant  les  termes  du  premier 
degré,  on  retrouverait  les  équations  (23). 

En  égalant  ensuite  les  termes  du  deuxième  degré,  on  retrouverait  les  deux 
premières  équations  (24),  car  le  terme  — (Ai;"h- B,r)°),  qu'il  faudrait  ajouter 
dans  la  première  d'entre  elles,  est  maintenant  connu,  puisque  ;"  et  rj,"  ont  été 
préalablement  déterminés  par  les  équations  (2.3).  il  peut  donc  rentrer  dans  $. 

La  troisième  équation  (24)  deviendrait 

r/So=  S(f/  dyi-  -ri,'  dx,)  +  1(1,"  ./C,-  r^«  r/D,-), 

d'où 

d?!i       .. ,       -,  dS^  .        -, 

On  retrouverait  donc  la  quatrième  équation  (24)  et  le  calcul  continuerait 
comme  dans  le  problème  G. 

Signification  du  problème  H. 

Voici  comment  on  peut  être  conduit  à  se  poser  les  problèmes  G  et  H. 

Reprenons  les  équations  (16)  et  remplaçons-y  F  par  F  —  eP,,  où  £  est  une 
quantité  très  petite,  dont  on  peut  négliger  le  carré,  cl  Pi  une  sorte  de  fonction 
perturbatrice. 

Remplaçons  de  même  dans  ces  équations  xi  et  v,  par  Xj-f-  e^,-,  /,+  £/),-. 

H.     P.     —     VII.  6; 


53o  SUR  l'intégration  des  équations. 

Les  équations  s'écriroiil  alors 

Nous  avions  remplacé  les  équations  (16)  par  les  suivantes  : 

F  =  9,         ./S  =  S[(x,-  r?  )  <l-,H-0-;  -.)•,)  fixl  ]. 

La  première  de  ces  équations  va  devenir 

F-sP  =  =-£Q, 

Q  étant  une  fonction  qui  comme  (p  ne  doit  dépendre  que  des  p;  de  sorte  que  la 
fonction  cp  —  sQ  pourra  jouer  le  même  rôle  que  <p. 

Le  premier  membre  de  cette  équation  pourra,  en  négligeant  les  quantités  de 
l'ordre  de  e'-*,  s'écrire 

en  supposant  que  dans  P,  F  et  ses  dérivées,  Xi+  et,  et  j'iH-  £vy,-  sont  remplacés 
par  Xi  et  V,. 

Nous  aurons  donc,  en  égalant  les  coefficients  de  £, 

Y'  /  '/F  .       f/F 


1.^  /  ,/F  ,        dF      \ 


où  l'on  reconnaît  la  première  équation  (21). 

En   changeant   maintenant   .r,-,    1,,   S  en  Xi  +  Hh  yi+vm,    S  +  eU,    nous 
trouvons 

En  négligeant  e-  et  en  posant 
il  viendra 

di'  =  2(5/  ^/r,-—  r.tdXj). 

Maintenant  nous  savons  que  Xt  ci  yi  sont  développables  suivant  les  puissances 
des  xl  et  des  yl . 

Prenons  les  x^  et  les  j'^'  comme  variables  indépendantes,  il  viendra 

dF         dF         ,  r/F         dF        „ 

r/.c,         dxl  dy-i        dyl 

Xi  =  x\  -h  Dj,         /i  =  yl  -4-  C-, 


SUR  l'intégration  des  équations.  53i 

où  les  développemenls  des  A;,   B,,   C,,   D;  siiivanl  les   puissances  des  a-/   et 
yl  commencent  par  des  termes  du  second  degré. 
Nous  aurons  donc 

dS=  J:{1  dy]  -  T,i  dxl  )  -f-  S(=,-  dCi-  T.,  rfD,), 

et  comme  Q  ne  doit  dépendre  que  des  o  : 

•<^  /  dVn  dQ        dFj,  (/Q_\  _ 
jLj\d^  7fyî~7fyidIi)-"■ 
^ous  reconnaissons  les  équations  (21  bis).  i\insi  le  problème  H  revient  à 
l'intégration  des  équations  (16  bis)  en  supposant  £  très  petit. 

Les  équations  (16  bis)  étant  de  même  forme  que  les  équations  (16)  (sauf  la 
présence  possible  de  termes  du  premier  degré  dans  P),  il  n'est  pas  élonnanlque 
l'on  puisse  résoudre  le  problème  H  et  trouver  pour  les  inconnues  \i  et  r);  des 
développements  procédant  suivant  les  puissances  des  xl  cl  des  vj  et  par  consé- 
quent, des  p^e-'"'*'    ' . 

Je  suis  maintenant  eu  mesure  d'aborder  le  problème  des  trois  corps  dans 
toute  sa  généralité,  et  c'est  ce  que  je  vais  faire  en  combinant  les  divers  procédés 
que  je  viens  d'ex[)Oser. 

Choix  des  variables. 

Soient  a,  e,  i,  ro,  i^  et  /  le  grand  axe,  l'excentricité,  l'inclinaison,  la  longi- 
tude du  périhélie,  celle  du  nœud  et  la  longitude  moyenne  pour  la  première 
planète;  tlésignons  les  mêmes  éléments  pour  la  seconde  planète  parles  mêmes 
lettres  accentuées.  Soient  (3  et  (3'  deux  coefficients  numériques  convenablement 
choisis  (ces  coefficients  ont  été  définis  dans  le  Bulletin  astronomique, 
février  1897)  (M  et  choisissons  pour  variables 

V'2p  \/a{i —  v'i  —  *')  •"'^'n'  =  .Si,  —  V  2[3  v"(' —  v''  —  ^')  sinm  =/i> 

\/2y  \/â'{i —  v'i  —  e'-)ctisra'  =  a;»,  — y/2[j'v/a'(i — ^1  —  e'-)sirniT'  =>'2, 

\/2p  \a{i  —  e-)  (i  —  cosi)  oosiî  =  j;:i,  — V  2  [j   <Ja  (1  —  e-)  (i  —  cost)  sinû  =J'3, 

y  2p'  v/«'(i  —  e'-)  (i  —  cosT)  cosQ'=  .r,,  —  V  2p'  v/<ï'(i  —  e'-)  (i  —  co?(")  sinD'  =  j>'i. 

(  '  )  Œuvres  de  H.  Poincaré,  ce  Tome,  p.  5oo. 


532  SUR  l'intégration  des  équations. 

Les  équations  du  mouvemenl  preuneiil  alors  la  forme  canonique  el  s'écrivent 


./\, 

,/F 

'/Y, 

dV 

d.ri 

dV 

dv, 

dV 

</r 

-./v,' 

dl 

-       d\i' 

dl 

<v,' 

dt 

dx, 

La  fonction  F  est  dôveloppalilo  suivant  les  puissances  des  masses;  pour 
mettre  ce  fait  en  évidence,  nous  introduirons  un  coeflicienl  [j.  de  l'ordre  des 
masses;  chaque  masse  sera  égale  à  p.  multiplié  par  une  quantité  finie  el  F  sera 
développable  suivant  les  puissances  de  /jl  sous  la  forme 

!•'  =  Ko  -H  ;-t  I"  1  -+-  ;j-'-'  F;  -i- . . . . 

Fo  dépendra  des  X  et  sera  indépendante  des  Y,  des  x  el  des  y. 

Les  autres  fonctions  F,,  ¥■>  dépendront  de  toutes  les  variables.  Par  rapport 
aux  \,  ce  seront  des  fonctions  périodiques;  de  plus,  elles  seront  développables 
suivant  les  puissances  des  x  et  des  y. 

Fi  étant  une  fonction  périodique  des  Y,  je  puis  considérer  sa  valeur  moyenne 
[F|]  définie  comme  au  début  de  ce  travail.  ,Je  poserai 

[F,]  =  R. 

R  sera  développable  suivant  les  puissances  des  x  et  des  y  el  j'aurai 

P.  =  Ro-i-  R2-t-  R4-1-.... 

l\p  étant  l'ensemble  des  termes  d'ordre  p.  Il  n'y  a  d'ailleurs  que  des  termes 
d'ordre  pair. 

C'est  R2  qui  jouera  le  rôle  que  jouait  Fu  dans  les  problèmes  E,  F,  G,  etc., 

Forme  de  la  solution. 

Nous  allons  chercher  à  exprimer  nos  variables  en  fonction  de  six  constantes 
z,,  Zn.  Pi,  p.,  p;i,  pi  et  de  six  arguments  fonctions  linéaires  du  temps  iVi,  «o, 

COi  ,    (1)2  ,    W;[  ,    (fi;,  . 

Nous  verrons  que  les  (v  varient  très  rapidement  el  les  u  très  lentement,  el 
même  que  tOi  se  réduit  à  une  constante. 

Nos  variables  devront  se  développer  suivant  les  puissances  de  p.  : 

(26)     X,=  X»+,a\;+...=  SH^'Xf,  Y,=  S,x/'Yf,         .^-^  =  SjJi/'^',         j,- =  ïix/' jf . 

Voici  quelle  sera  la  forme  de  ces  développements  :  toutes  les  fonctions  Xf, 
Yf ,  xf ,  if  (p  >  o)  seront  des  fonctions  des  w,  développables  d'autre  part 
suivant  les  puissances  des  pie'""^"*,  p/,e~"'"'   ' . 


SUR    L'INTEGRATION   DES   ÉQUATIONS.  533 

Elles  dépendront  en  outre  des  z  d'une  manière  quelconque. 
On  aura 

X°  =  ^i- 

Enfin  les  Y° —  iv,,  les  a.",  les  j-"  seront  indépendants  des  w  et  développables 
suivant  les  puissances  des  p/,e""^',  pte^""'    '. 

Quand  on  annulera  les  p,  Y"  se  réduira  à  wi,  x"  el y°  à  zéro. 

Les  quantités  Xf,  etc.  étant  des  fonctions  périodiques  des  w,  je  pourrai 
envisager  leur  valeur  moyenne,  définie  au  début  de  ce  travail,  et  la  désigner 
par[Xf]. 

Voici  quelle  est  la  signification  de  ces  diverses  quantités. 

Les  différences  Xf — [Xf],  .  .  .  représentent  les  perturbations  à  courte 
période  d'ordre/)  par  rapport  aux  masses. 

La  valeur  moyenne  [Xf]  représente  les  perturbations  séculaires  d'ordre 
p  +  i.  En  effet  elle  ne  dépend  pas  des  tv,  mais  seulement  des  w  :  elle  variera 
donc  très  lentement;  la  quantité  elle-même  est  d'ordre/»;  mais  ses  variations 
dans  un  temps  fini  seront  de  l'ordre  p  -\-  i . 

J'observe  enfin  que  les  quantités  p  par  rapport  auxquelles  nous  développerons 
sont  de  l'ordre  des  excentricités  et  des  inclinaisons. 

Je  désignerai  par  u^  et  ca  les  termes  du  premier  degré  par  rapport  aux  p  dans 
le  développement  de  x"  et  j^)'. 

Transformation  du  problème. 

Je  dis  que  le  problème  peut  être  remplacé  par  le  suivant  :  déterminer  les 
séries  (a*))  de  telle  façon  que  : 

i"   La  fonction  F,  quand  on  y  a  substitué  les  séries  (26),  se  réduise  à  une 
fonction  es  ne  dépendant  plus  que  des  constantes  z  e1  0. 
2°  Les  expressions 

dS  =  S[(X,-;,)"'Y,+  (V»-  Y,)rf^,-+-  {^i-  .^l)  drtMrl-  Jk)  dxl], 

dj  =  i;[(4-  «0  ^/;;.+  {^i-vD  d,n]^  !(«',- j»)  rf^,-, 

dV    =  I,U/:dvt-h   y/ —  I  yipj.  rfco<- 

soient  des  différentielles  exactes. 

Si,  en  effet,  ces  trois  différentielles  sont  exactes,  il  en  sera  de  même  de 
SX,f/Y,+  Zx/^dyt—  ï^i  </«';+  y/—  i  i;p|.  rfu^. 


534  s'J"  l'intégration  des  équations. 

Si  donc  on  prend  comme  variables  les  ;,  les  iv,  les  p^  elles  — \' — i  w/,,  la 
forme  canonique  des  équations  (:<J)  ne  sera  pas  altérée  et  elles  deviendront 

—7-   =  -; —  =  -r^  =  o     (  c,  =  const.  ).         — ;-  =  —  ^ =  o     (  0  =  const.  ), 

,Ù         (Ar,        (/.v,  '■  ''  ,ù  ^/_ ,  ,/(„^  ^  '  ■" 

/Aï*/  (/c  /Aox  '/- 

— j—  =■ T-^  =  const.;         — 7—  =  ' =  const.. 

ce  qui  montre  que  les  z  et  les  p  sont  des  constantes,  les  t\'  et  les  gj  des  fonctions 
linéaires  du  temps.  c.   q.   f.   d. 

Substituons    dans    F    les    développements    (26),    et   ordonnons   suivant  les 
puissances  de  fi;  nous  aurons 

F  =  e„-l-  \lSl^-^  )^"-^i-^ 

Si   nous  développons   de  même  9  suivant  les  puissances  de  \i.  de  telle  sorte 
que  o  =:  2ijl''9/,,  l'équalion  F  =  o  nous  donnera 

©n  =  Çu,      ,   6]  =  '.:i ,  0-2  =  3  2,  .... 

Comme  ©o  n'est  autre  chose  que  Fu,  où  X,  est  remplacé  pars,,  l'équation  0„^  90 
est  remplie  d'elle-même. 

Je  développerai  de  même  S  suivant  les  puissances  de  \i.  en  écrivant 

S  =  jJl  S  I  -H  (Jl-  S2  -4-  .  .  . 

Théorème  de  Poisson. 

Il  vient  d'abord,  en  égalant  les  termes  du  premier  degré, 
rfSi  =  S(X,'  d\]  -  Y/  dzi^  x\  dyl  -~y\  dxl). 

D'après  nos  hypothèses,  Y,''  —  ivj,  ^i-jK*,  ^t  sont  indépendants  des  tv;  on  a  donc 

/A'"  d\l  .  dr\  dxl 

rlwi  r/iVj  me,  r/ii', 

d'où 

-Mais  la  valeur  moyenne  de  -^  j  qui  est  la  dérivée  d'une  fonction  périodique,  est 

évidemment  nulle;  on  a  donc 

[X/J  =  o. 

Mais  [X,'  ]  représente,  d'après  ce  que  nous  avons  \  u  plus  haut,  les  perturbations 


SUR  l'intégration  des  équations.  535 

séculaires  de  X,-,  c'est-à-dire  du  grand  axe,  qui  sont  du  second  ordre  par  rapport 
aux  masses. 

C'est  donc  le  théorème  de  Poisson  sur  V invariabilité  des  grands  axes. 

Perturbations  séculaires  du  premier  ordre. 

Posons 

Les  Zi  étant  regardées  comme  des  constantes,  il  en  sera  de  même  des  a,-  et  l'on 
aura 

(2«j  e,  =  — i:«,\;  ^F,. 

11  demeure  bien  entendu  que,  dans  F,,  les  variables  X,-,  Y,-,  xi,  yi  doivent 
être  remplacées  par  X,",  Y",  x"  el  y" ■  En  prenant  les  valeurs  moyennes,  on 

trouve 

[e,]  =  -i;«,[X/]+[F,]  =  R. 

Reprenons  l'équation  0i  ;=  j,  et  prenons  les  valeurs  moyennes  des  deux 
membres,  il  vient 

(29)  R  =  <pi. 

Regardons  un  instant  les  zi  comme  des  constantes,  il  viendra 

(30)  <ll  =  ^{xl  -  u,)dyl+{.-t-yl)dri] 

et  il  faudra  déterminer  les  x'I  et  y",  de  façon  à  satisfaire  à  l'équation  (29)  et  à 
rendre  l'expression  (3o)  ainsi  que  d{j  différentielles  exactes. 

C'est  le  problème  F,  où  R,  T,  U,  xl,  yl,  «<•,  vj,  jouent  le  rôle  de  F,  S,  T, 
Xi,  yi,  x] .  yl- 

Nous  obtiendrons  donc  xl  etj),!  développés  suivantles  puissances  des  pe-"*"'. 

La  fonction  T  étant  ainsi  déterminée  par  le  procédé  F,  on  aura 

Y»  "'T 

ce  qui  donne  la  perturbation  séculaire  de  l'époque. 

Perturbations  périodiques  du  premier  ordre. 

Reprenons  l'équation  0i  =  cpi,  qui  peut  s'écrire,  en  tenant  compte  de  (2^) 
et  (28), 


536  SUR    L'INTÉGRATION   DES    ÉQUATIONS. 

Le  second  membre  est  uiiu  toaction  périodique  des  iv  donl  la  valeur  moyenne 
esi  luilli'  en  venu  de  l,?-'))- 

L'équalion  pourra  donc  s'inlégrer  par  le  procédé  A,  ce  qui  donnera  S,  —  [^i  ]■ 

On  auia  ensuite 

Comme  les  dérivées  sont  prises  ici  par  rapport  aux  variables  ^,,  Y",  x'I,  yl, 
c'est  en  fonction  de  ces  variables  qu'il  conviendra  d'exprimer  Sj  et  F,  et  non  en 
fonction  des  z,  des  p,  des  w  et  des  co;  remarquons  : 

i"  Que,  \,"  étant  égal  à  iv,  plus  une  quantité  indépendante  des  w, 

(/S,  _  (/Si 
d^i  ~  dYf' 

de  sorte  que  notre  équation  peut  être  remplacée  par  la  suivante  : 

V        ''Si  p. 

2"  Que  toute  fonction  périodique  des  tv,  est  aussi  une  fonction  périodique 
des  Y°  et  que  sa  valeur  moyenne  par  rapport  aux  V"  est  la  même  que  par 
rapport  aux  »,. 

Le  calcul  qui  précède  ne  diffère  pas  d'ailleurs  du  calcul  habituel;  le  mode 
d'exposition  seul  diffère. 

Perturbations  séculaires  du  second  ordre. 

Déterminons  maintenant  [X,"J,  [Y/],  [xl],  [yl]- 
Nous  avons 

d^,=  Z{\f  ./Y  »  +  X;  d\l  -  Y/  ./w  +  x|  dyl  -  yl  dxl  +  x\  dyl  ), 
d'où 

f/So  /       dy\  d\\.\ 

'  dwi  '  A       diVi  *  dw,  I 

La  valeur  moyenne  du  premier  membre  est  nulle,  celle  du  second  terme  du 
second  membre  est  connue;  car  on  a,  par  exemple, 


SUR  l'intégration  des  équations.  537 

équation  dans  le  second  membre  de  laquelle  le  premier  terme  est  connu  et  le 
second  nul. 

Donc  [Xr]  est  connu. 

Nous  avons  ensuite  l'équation  ©5^02.  Si  nous  prenons  la  valeur  moyenne 
des  deux  membres,  elle  deviendra 


■V   f/li   r     ,  ,       'V   ''R  r     1  n        * 


D'un  autre  côté,  on  trouve 

./[S,]  =  2([-  Y'  ]  cfz,^[xl]  c/yl  -  [yiyixD, 

ou,  en  regardant  pour  un  instant  les  z  comme  des  constantes, 

Pour  pouvoir  appliquer  le  procédé  H  à  ces  équations,  il  convient  de  prendre 
pour  variables  nouvelles,  au  lieu  des  xl  et^)°,  les  «a  et  les  P/,.  Toute  fonction 
développable  suivant  les  puissances  des  a:°  et  r°  le  sera  également  suivant  celles 
des  Uk  et  des  c/,,  et  inversement. 

On  aura  alors 

dK         dK         .  d\\         dK 

dx\        diik  dyl        dvk 

Aa,  B/;,  Ca,  D/,  étant  des  fonctions  connues  développables  suivant  les  puissances 
des  w  et  des  f  et  commençant  par  des  termes  du  second  degré.  D'où 

1^,1^1]- S-kl^l]--'^[^l]'-M.rl]='^^9. 
d[S,]  =  Z\[xl](  dn  +  dCk  )  +  [y'k  ]  (  duk  +  r/Di  )  j . 

D'autre  part,  (jjo  devant  être  fonction  seulement  des  p  satisfera  à  l'équation 

r/s,   dW;  _  d^  d^  _ 
duk   dvk        duk  dvk 

Nous  reconnaissons  les  équations  (21  bis)  du  problème  H  où  [xj],  [j'I],  m*, 
('/,,  R,  Ro,  4»,  92  jouent  respectivement  le  rôle  de  Ç,,  r),-,  x,,  j',-,  F,  F\,  P,  Q. 
Nous  pourrons  donc  intégrer  ces  équations  par  le  procédé  H  et  nous  aurons 
[Si],    [j?lj.    [,>'!]    sous   la  forme  de  séries  ordonnées  suivant  les  puissances 

H.  V.  -  VII.  68 


538  SUR    L'INTÉGRATION    DES    ÉQUATIONS. 

des  «i  el  dos  c/,,  ou,  ce  riui  revient  au  même,  suivant  celles  des  p<e-"*''^. 
L'équation 


nous  douni'ra  eiisuilc  les  [Y,'  ]. 

Nous  connaissons  donc  toutes  les  perlurbatioas  séculaires  du  second  ordre. 

Perturbations  périodiques  du  second  ordre. 

Reprenons  l'équation  0.j  ^  o^,  qui,  les  x'.,  .  .  .  étant  désormais  connus,  peut 
s'écrire 

Srt,\f    =  'I'  —  ?2. 

D'autre  part,  l'équation  (3i)  peut  désormais  s'écrire 


Il  vient  donc 


d.,  -  ^^  -  *• 


Sfltj-j-^   =<I>—  Oo. 


Le  second  membre  est  une  fonction  périodique  connue  des  w,  el  la  valeur 
moyenne  en  est  nulle  puisque  nous  venons  précisément  de  déterminer  les 
perturbations  séculaires  du  second  ordre  de  façon  à  annuler  cette  valeur 
moyenne. 

F^'équation  s'intégrera  donc  par  le  procédé  A  el  nous  donnera 

s._[s.].   \f,   v-lVl   ^1-14],  yl-irn 

El  ainsi  de  suite. 

Examen  d'une  difficulté. 

Mais  une  grave  difficulté,  que  j'ai,  jusqu'ici,  passée  sous  silence,  se  présente. 
Pour  que  les  procédés  F,  G,  H  soient  applicables,  il  faut  qu'il  n'y  ait,  entre  les 
quantités  que  nous  avons  appelées  /,(,  aucune  relation  linéaire  à  coefficients 
entiers.  Or  il  n'en  est  pas  ainsi  dans  le  Problème  des  trois  corps  :  l'un  des  "k/, 
est  nul. 

Il  est  facile  de  s'en  rendre  compte. 

En  effet,  les  équations  canoniques 

(32)  rLc^^dH,^  dyi  ^       dW. 

^  dt         dyi  dt  dxi 


SUR    L'INTÉGRATION    DES    ÉQUATIONS.  SSg 

adinelleiil  trois  intégrales  correspondant  aux  trois  intégrales  des  aires  et  qui 
peuvent  s'obtenir  de  la  façon  suivante  :  R..>  est  de  la  forme  R'., +  R'.j,  où  R'., 
dépend  seulement  des  excentricités  et  des  inclinaisons,  c'est-à-dire  des  quatre 
variables  Xt,  x-j.  yt,  r-j  et  oii  R'^  dépend  des  quatre  variables  3:,,  x,,  j'j,  ) -,  et 
est  proportionnel  au  carré  de  l'angle  infiniment  petit  des  plans  des  deux 
orbites. 

On  en  conclut  aisément  que  les  équations  (32)  admettent  pour  intégrales 

[5  \/7ia:::-¥-  pV"'-^!  =  consl.,         \i  s/ay-:,^  fi'  \^'y\  =  const. 

Ces  deux  intégrales  sont  linéaires  et  leur  présence  suffit  pour  montrer  que 
l'un  des  X  est  nul;  c'est,  en  effet,  la  fonction  R  qui  joue  le  même  rôle  que  la 
fonction  F  dans  le  problème  F;  et  c'est  Ro  qui  joue  le  rôle  de  F._,  dans  les 
problèmes  D  et  F.  Les  quantités  que  nous  avons  appelées  /.  sont  donc  définies  à 
l'aide  des  équations  (32). 

On  pourrait  donc  craindre  que  la  présence  d'un  coefficienl  1  égal  à  zéro 
n'empêche  l'application  des  procédés  ]■'.  G,  H.  Il  n'en  est  rien,  et  il  est  aisé  de 
tournoi'  la  difficulté  de  la  façon  suivante. 

Considérons  les  intégrales  des  aires  et  écrivons-les  sous  la  forme  suivante  : 

U  =  U„,         V  =  V„,         W  =  Wo;' 

U,  V,  VV  sont  des  fonctions  données  des  variables  X,  Y,  x,  r;  U,,,  V,,,  W,, 
sont  des  constantes. 

Supposons  qu'on  ait  pris  pour  premier  plan  de  coordonnées  le  plan  du 
maximum  des  aires,  de  façon  que  les  constantes  Un  et  V„  soient  nulles.  Posons 

F'=  F-HU^--f-V2 

et  considérons  les  équations  canoniques 

^  _  ^'  'Jli  -_  ^  cir^  _d?'  dvi  _       d?' 

{2bbis)        ^^    -rA,'  df    "       û-X,'  dt    ~  dVi'  'dt-~d^i' 

qui  sont  les  équations  (20  ")  où  F  est  remplacé  par  F'. 

Nous  envisagerons  celles  des  intégrales  des  équations  (25)  qui  sont  telles 
que  U=V^o;  on  voit  immédiatement  que  ces  intégrales  appartiennent 
également  aux  équations  (26  bis).  Nous  pouvons  donc,  au  lieu  des  équa- 
tions (2.5),  envisager  les  équations  (23  bis)  qui  sont  de  même  forme,  mais 
telles  qu'aucun  des  coefficients  ?,/,  ne  soit  nul. 

La  difficulté  a  donc  disparu  et  le  calcul  peut  se  pousser  jusqu'au  bout  sans 


jio  SUR  l'intégration  des  équations. 

oltslacli".  Il  faut  maintonanl,  pariiii  les  inti^grales  de  (:'.5  bis),  distinguer  celles 
qui  conviennenl  également  aux  équations  (aj). 

Pour  cela,  remarquons  que  les  équations  (aS  bis)  donneut 

—r-  =  o,  — —  =  WV,  -~r-  =  —  2WU, 

dt  '  dt  '  dt 

d'où  _ 

W  =  const;         U-H  \^  —  i  V  =  C^'^'"i'-i, 

C  étant  une  nouvelle  constante. 

La  fonction  U -h  ^ — i  V  est  donc  égale,  à  un  facteur  constant  près,  à  une 
exponentielle  dont  l'exposant  est  une  fonction  linéaire  du  temps;  de  plus,  elle 
doit  être  développable  suivant  les  puissances  des  pe*"'*~':  cela  ne  peut  avoir 
lieu  que  si  elle  est  divisible  par  une  expression  de  la  forme 

OÙ  les  a,  les  [3  et  les  m  sont  des  entiers. 

Dans  le  développement  de  U  +  \/ — iV  suivant  les  puissances  des  u  et 
des  f,  considérons  les  termes  du  premier  degré;  on  verrait  qu'ils  se  réduisent 
à  piC'"'*"'  (à  un  facteur  constant  près  qui  n'est  pas  nul). 

Donc 

«1  =  «5  =  aj  =  pi  =  P->  =  p:;  =  Pi^  «il  =  m*  ^  o,         «1=1 

et  U  +  sj —  r  V  est  divisible  par  p^e"»*"'. 

De  même  U  —  s] —  i  V  est  divisible  par  ^^e~'^'^'~'^. 

Les  intégrales  de  (20  bis)  qui  conviennent  à  (25)  sont  celles  qui  sont  telles 
que  U  :=  V  =  o  ;  c'est-à-dire  telles  que  m  t  ^  c,.,  =  o  ;  c'est-à-dire  telles  que  p  =  o 
et  qui,  par  conséquent,  ne  dépendent  pas  de  l'argument  co^  ;  d'où  celte  consé- 
quence : 

Les  intégrales  des  équations  (20)  ne  dépendent  pas  de  six  arguments  linéaires 
par  rapport  au  temps,  «'< ,  n'o,  W|,  w^,  ^■^,  w.,,  mais  de  cinq  seulement  ivi,  (Vo 

OJ,  ,  W2,  co-, . 

11  n'est  pas  nécessaire,  pour  faire  le  calcul  de  ces  intégrales,  de  former  les 
équations  (aS  bis);  il  suffit  d'opérer  sur  les  équations  (aS)  elles-mêmes;  la 
considération  des  équations  (2.5  bis)  n'est  qu'un  artifice  dont  je  me  suis  servi 
pour  démontrer  la  possibilité  du  calcul. 

Remarque.  —  Nous  venons  de  voir  que  les  coordonnées  des  trois  corps 
sont  fonctions  de  cinq  arguments  tv,,  w.,,  00,,  wo,  W:,. 


SUR  L'intégration  des  équations.  54i 

Leurs  distances  dépendront  des  différences  de  ces  cinq  arguments,  c'est- 
à-dire  de  quatre  arguments  seulement. 

Deuxième  remarque.  —  Les  intégrales  (25  bis)  pour  lesquelles  U  et  V  ne 
sont  pas  nuls  à  la  fois  ne  conviennent  pas  au  système  (2.5);  les  expressions  des 
coordonnées  en  fonction  du  temps  ne  sont  pas  les  mêmes  avec  les  équa- 
tions (25  bis)  et  avec  les  équations  (aS);  mais  les  expressions  des  distances 
mutuelles  des  trois  corps  sont  les  mêmes. 


Calcul  des  périodes. 

Nous  avons  vu  que  les  iv  et  les  co  sont  des  fonctions  linéaires  du  temps.  Les 
quantités 

cAr,-  rfui/. 

-dï  =  "'■'  -df  =  "* 

sont  donc  des  constantes.  Le  calcul  de  ces  constantes  est  facile.  En  effet,  nous 
avons  formé  la  fonction  cp  qui  dépend  des  constantes  ^,  et  p\,  et  nous  aurons 

"■  — ■--  vt=  --- 


La  fonction  »  étant  développable  suivant  les  puissances  de  /j.  et  des  p^,  il  en 
sera  donc  de  même  de  n,-  et  de  v/,  ;  les  n  et  les  v  sont  représentés  par  des  séries 
ordonnées  suivant  les  puissances  de  |jl  et  des  p|  et  dont  les  coefficients 
dépendent  des  Zi. 

II  est  aise  de  voir  que  les  n  et  les  v  sont  réels;  en  effet,  les  coordonnées  des 
trois  corps  doivent  êtres  réelles;  les  termes  de  leurs  développements  devront 
donc  être  réels  ou  imaginaires  conjugues  deux  à  deux.  Or  chacun  de  ces  termes 
est  égal  à  une  constante  mulipliée  par  une  exponentielle  dont  l'exposant  est  de 
la  forme 

V  —  I  (  /;(|  ii'i  -t-  /^iii'o  -I-  «1  (Oi  -t-  «joio  +  (23(03), 

les  m  et  les  a  étant  entiers.  Ces  exponentielles  devront  donc  être  ou  réelles,  ou 
imaginaires  conjuguées  deux  à  deux.  Si  deux  exponentielles  sont  imaginaires 
conjuguées,  elles  devront  le  rester  par  continuité  quand  p.  et  les  p  sont  très 
petits;  or,  dans  ce  cas,  il  est  aisé  de  voir  que  deux  exponentielles  sont  ima- 
ginaires conjuguées  quand  les  exposants  sont  égaux  et  de  signe  contraire,  et  ne 
le  sont  que  dans  ce  cas. 


542  SUR  l'intégration  des  équations. 

Dans  lout  couple  d'expoQenlielles  conjuguées,  les  exposants  doivent  être 
égaux  et  de  signe  contraire.  Cela  revient  à  dire  que  les  w  et  les  '■!  (et  par 
conséquent  les  n  el  les  v)  doivent  êtres  réels.  c.  q.  v.  ». 

D'autre  pari,  il  aisé  de  voir  que  le  développement  dos  n  suivant  les  puissances 
de  jj.  commence  par  un  terme  d'ordre  zéro,  tandis  que  le  développement  des  v 
commence  par  un  terme  d'ordre  r. 

Il  en  résulte  que  les  n'  varient  très  rapidement  et  les  m  1res  lentement;  ce 
qui  justifie  le  nom  de  termes  séculaires  que  nous  avons  donné  aux  lermes  qui 
ne  dépendent  que  des  w. 

Les  quantités  «i  et  /tj  représentent  ce  que  l'on  pourrait  appeler  les  moyens 
mouvements  moyens. 

Les  quantités  v  sont  au  contraire  de  l'ordre  des  moyens  mouvements  des 
périhélies  et  des  nœuds. 

Résumé.  —  Eu  résumé,  les  coordonnées  des  trois  corps  peuveni  s'exprimer 
par  des  séries  qui  procèdent  suivant  les  puissances  d'un  petit  paramètre  \j.  de 
l'ordre  des  masses  et  de  plusieurs  constantes  p  de  l'ordre  des  excentricités  et 
des  inclinaisons;  ces  séries  sont  des  fonctions  périodiques  de  cinq  arguments 

(!■,  =  n,/ -(- m,-,         (0,  =  v,/ -he), 

OÙ  les  57,  et  les  e,  sont  des  constantes  d'intégration.  Les  «,  el  les  v,  sont  des 
fonctions  de  p.,  des  p  et  de  deux  nouvelles  constantes  .^i  et  z-,.  el  peuveni 
se  développer  suivant  les  puissances  de  p.  et  des  p^. 

Les  coefficients  de  nos  séries  dépendent  encore  des  conslanlcs  :;,  cl  ;.j. 

Les  carrés  de  ces  constantes  z  peuvent  être  assimilés  à  des  grands  axes 
moyens. 

La  conslaute  ro,  correspond  à  la  longitude  de  l'époque,  tandis  que  les  p  jouent 
un  rôle  analogue  à  celui  des  excentricités  et  des  inclinaisons  et  les  w  un  rôle 
analogue  à  celui  des  longitudes  des  périhélies  et  des  nœuds. 

Inutile  d'ajouter  que  ces  résultais  s'étendent  sans  changement  au  cas  où 
l'on  a  plus  de  trois  corps. 

Ce  calcul  n'est  pas  sans  analogie  avec  ceux  que  j'ai  exposés  dans  les 
Chapitres  XIV  et  XV  de  mon  Ouvrage  sur  les  Méthodes  nouvelles  de  la 
Mécanique  céleste.  11  en  dlIFére  cependant  et  j'y  ai  apporté  d'importantes 
simplifications. 


SUR  UNE  ÉQUATION  DIFFÉRENTIELLE  O 


Comptes  rendus  de  l' Académie  des  Sciences,  t.  98,  p.  793-790  (3i  mars  iSSi^). 


Dans  l'application  de  sa  inélhode  générale  pour  l'étude  des  mouvements 
des    corps    célestes,    M.    Gyldén   a   été  conduit  à  une  équation  de  la  forme 

suivante  : 

d\c 
(i)  -jpr  =  ?o+a:(fi-i-a;2ç2-(-. .  .-(-a;"'Om-i- 

où  les  a  sont  des  séries  trigouomélriques.  MM.  Gyldén  et  LindstedL  ont  donné 
des  procédés  d'intégration  de  celte  équation  par  approximations  successives. 
Cette  circonstance  peut  donner  quelque  intérêt  à  l'étude  de  cette  équation 
différentielle. 

,Ie  supposerai,  pour  fixer  les  idées,  que  le  terme  tout  connu  o„  est  ider- 
liquement  nul,  et  que  les  autres  o  ne  dépendent  que  d'un  seul  argument, 
par  exemple  que  ces  fonctions  soient  développées  suivant  les  cosinus  et 
les  sinus  des  multiples  de  /,  de  façon  à  admettre  la  période  27r. 

Posons 


rf.r  dy        d-  x 

'dt''  di  "  'dï^ 


J'  =    -77  )  -y^    =    -J77    =  Xtfi-h  X^^i-h. 


Soit  maintenant  F^  une  fonction  de  j',  de  y  et  de  t, 

(2)  F  =  F.,-t-F3-+-F.,-h..., 

où  F„,  est  un  polynôme  homogène  de  degré  m  en  x  et  j,  ayant  pour  coeffi- 
cients des  fonctions  périodiques  de  /  de  période  de  2ts.  Soit  ensuite 

di'       àF       àF  àF  dr        .         ^        ^ 

^    '  dt         âf        à.r-         dy   dt 

(')  Voir  aux  Notes,  Séries. 


54i  SUR    UNE    ÉQUATION    DIFFÉRENTIELLE. 

OÙ  «I»,,,  t'st  MU  polMioiiic  homogène  de  degré  m  en  x  Ql  y,  ayant  pour  coeffi- 
cients des  fondions  périodiques  do  t.  Nous  allons  chercher  à  délerniiner 
les  m  premiers  termes  de  la  série  (a),  de  façon  que  les  //),  premiers  termes 
de  la  série  (3)  soient  identiquement  nuls.  On  est  conduit  à  l'équalion 
suivante,  qui  délinit  F,„  quand  on  connaît  F._,,  F; F,„  _,  : 

où  p  varie  sous  le  signe  —  depuis  2  jusqu'à  m  —  i . 

Il  semble,  au  premier  abord,  que  l'intégration  de  celle  équation  intro- 
duira des  termes  séculaires  dans  l'expression  de  F,„.  Il  n'en  est  rien.  Les 
termes  séculaires  sont  tous  nuis. 

Il  en  résulte  qu'il  existe   toujours  une  série  de  la  forme  (2)  qui  satisfait 

i/¥ 
formellement  à  l'équalion  -^  =:  o;  mais,  CDunne  cette  série  n'est  pas  conver- 
gente, en  général,  on  pourrait  croire  que  l'on  ne  peut  tirer  aucune  conclusion 
de  l'existence  de  cette  série. 

Ce  serait  une  erreur,  cl,  pour  le  faire  comprendre,  je  vais  ajouter  au 
second  membre  de  l'équation  (i)  un  terme  '.}/a''jï,  de  façon  que  cette  équation 
devienne 


(I  bis)  -^  =xçi-t-.£'-;92-!-.  ..-l-a;"'ç,„-t-...-f-'J/.r/'  (  —  j 


■\i  étant  une  fonction  périodique  de  t  de  période  27:.  Cherchons  ensuite  à 
former  une  série 

F  =  Fo-HK,-i-...+  F„,-h... 

qui  satisfasse   formellement  à   l'équation  -^  =  o.   On  verrait,   dans  l'un  des 

termes  F,„  de  celte  série,  la  variable  t  sortir  des  signes  trigonométriques. 
On  en  conclurait  l'existence  d'une  fonction  ,/'(-£•,  .)',  0  jouissant  des  pro- 
priétés suivantes  : 

1"  C'est  un  polynôme  entier  en  x  et  y,  dont  les  coefficients  sont  dos 
fonctions  périodiques  de  t  de  période  27r. 

2"  Quand  /est  très  petit,  x  el y  sont  très  petits  et  réciproquement,  quand  x 
cl  y  sont  très  petits,  /'est  très  petit. 

.3"  Quand  f  est  inférieur  à  une  certaine  limile  y,,,  sa  dérivée  lolale  '  est 
toujours  de  même  signe,  par  exemple  posititive. 


SUR   UNE   ÉQUATION   DIFFÉRENTIELLE.  545 

II  en  résulte  que,  si  la  valeur  initiale  de  /  est  inférieure  à  fo,  f  ira  en 
croissant  jusqu'à  ce  qu'il  ait  atteint  ol  dépassé  la  valeur  /'o,  et,  après  avoir 
franchi  cette  limite,  il  ne  pourra  jamais  redevenir  inférieur  à  f,,-  Eu  d'autres 
termes,  si  x  ei y  sont  originairement  très  petits,  non  seulement  ils  ne  resteront 
pas  très  petits,  mais  ils  ne  pourront  jamais  le  redevenir  après  avoir  cessé 
de  l'être. 

Tel  est  le  cas  général,  et,  dans  le  cas  particulier  où  nous  nous  étions 
placés   d'abord,    la    disparition   des    termes    séculaires    prouve    précisément 

l'impossibilité  de  trouver  une  fonction  /"  dont  la  dérivée  totale  :  soit  toujours 
de  même  signe  quand  x  et  )■  sont  suffisamment  petits. 

Il  résulte  de  là  et  de  considérations  que  je  ne  puis  développer  ici  que  les 
quantités  x  et  }'  pourront  cesser  d'être  très  petites,  mais  pour  le  redevenir 
ensuite.  11  j  a  exception,  toutefois,  quand  un  certain  nombre  est  conimen- 
surable. 

Dans  le  cas  où  la  série  (2)  serait  convergente,  x  Ql y  resteraient  toujours 
très  petits. 


H.  P.  —  VII.  69 


SUR  UNE  MÉTHODE  DE  M.  LINDSTEDT 


Ihillctin  (islroiioiitii/uc,  t.  3,  p.  57-(ii  (févriei'  iSSIiJ. 


Fj'éqiialioa  suivaale  : 

OÙ  y.  esl  très  petit  et  où  cpi,  Oo,  .  .  .,  o,,  sont  des  sommes  de  termes  trigono- 
métriques  en  t,  a  été  l'objet  de  travaux  nombreux  et  approfondis,  parmi 
lesqnels  je  citerai  une  mtHhode  d'intégration  de  M.  Lindslodl  \^Beitrag  zur 
Intégration  der  Différent ialgleickungen  der  Storungstheorie  {Mémoires 
de  V Académie  de  Saint-Pétersbourg,  t.  31,  n"  i);  analyse  dans  le  Bulletin 
astronomique,  t.  I ,  p.  .jo:ï].  Je  demanderai  la  permission  de  rappeler 
i)rièveiueul  cette  inélliode,  en  la  représentant  sous  une  forme  particulière. 

Posons 
{■!)  X  =  x<s-\-  a.i:i-\-. .  .+  -j:t Xq, 

a;,,,  Ti,  .  .  . ,  x,i  étant  des  sommes  de  fermes  de  la  forme  suivante  : 

A  cos(/« II'  -k-  ).l  -\-  il). 

Dans  celle  expression,  m  est  un  entier  et  \v  est  une  variable  auxiliaire 
égale  à 

\y  =  \].t  -\-  7J7, 

OÙ  w  est  une  constante  d'intégration  el  où 

;j.  =  ;j.ii  -(-  x;j.i  H   .  .  .  -H  av  ij.y. 

Te  dis  qu'il  sera  possible  de  choisir  les  fonctions  Irigonomélriques  Xo, 
Xf,  ...,  x,i  et  les  constantes  /j.,,,  /-"i,  ■••,  p,/,  de  telle  sorte  que,  si  l'on 
substitue    dans    l'équation   (i)    la    valeur   (2)    de   x,    la    dillerence   des   deux 


SUR    UNE    MÉTHODE    DE    M.    LINDSTEDT.  547 

membres  de  cette  ét{uation  contienne  en  facteur  a?*',  ou,  en  d'autres 
ternies,  que  cette  équation  soit  satisfaite  aux  termes  près  d'ordre  q -\- \ , 
y.  étant  du  premier  ordre. 

En  effet,  on  trouve  d'abord  aisément 

.;„  =  cosir,  \xo  =  II. 

Ecrivons  maintenant  l'équation  (i)  sous  la  forme  suivante,  en  mettant  en 
évidence  les  dérivées  partielles  de  x  par  rapport  à  ;  et  à  n\ 

(^)  ^^ +21- ,7777:7,  +;-;7:^+«--'--  =  ='U-r.  +  --r=----H--^-"-r/.)  =  =<F- 

Si  dans  F  nous  remplaçons  x  par  sa  valeur  (2),  nous  pourrons  développer 
cette  fonction  F  suivant  les  puissances  de  a,  et  il  viendra 

F  =  FoH-aFi+a'-F.-t-.... 

Il  est  clair  que  Fo  dépendra  seulement  de  Xq  et  de  Xs ,  V.,  de  Xo,  X\  et  x^,  .... 
Posons 

Ici  encore  Vo  dépendra  de  [i-o,  V|  de  ,u,i  et  [j.,,  .... 
Posons  encore,  pour  abréger, 

,  ri-  U  fl-  U  d-  Il 

Am  =  —!—  -+-  ■?.  fl  — — —  -H  li-  - —  —  n-ti, 
(il-  dt  dw  dw- 

.       _  d'-.ii:  d-xii 

~      dt  dw         '  dw- 

^Jous  aurons  alors,   pour  déterminer  successivement  les  x  et  les  ^,  la  suite 

d'équations  suivantes  : 

A.i'i  — vi  eus»'  =  Fo, 
Aa-o  -+-  B;  —  Vo  ro-iir  =  Fl, 


A.r;  -(-  \>i;  —  '//■  cil?  w  =  F/(-_ 


Si  j"„,  Xi^i  .  .  .,  Xk-\  sont  connus  ainsi  que  ,a„,  /Jii,  .  .  .,  p-/,_i,  on  connaît  F^_i 
et  B/,  qui  sont  des  séries  trigonométriques.  On  déterminera  ensuite  [>-k  et  par 
conséquent  v/,,  de  telle  façon  que  l'équation 

A.i-/;.  =  F^._i  -f-  v/,-  co? (f  —  B 
puisse  être  satisfaite  par  une  série  trigonométrique  j-k- 


5.{8  SUR    UNE    MÉTHODE    DE    M.    LINDSTEDT. 

Telle   osl   la    métliode    1res   simple    de    M.    Lindsledl.    Il   est   aisé    de  voir 
coiiimenl  il  faut  déterminer  v<;  en  ellft.  pour  que  l'équalioa 

\,t  =  \\, 

où  le  second  aïonibre  est  une  série  irigononiétrique  en  /  et  tr  puisse  être 
salisfaite  par  une  série  trigonomélrique  u,  il  faut  et  il  suffit  que  AV  ne 
contienne  ni  terme  en  cosn',  ni  terme  en  sinci'.  Or  nous  pouvons  disposer 
de  v/;,  de  façon  à  détruire  les  termes  en  cos(»';  mais  nous  ne  pourrions  pas  de 
même  détruire  les  termes  en  sinw,  s'il  j  en  avait  dans  F/,_|  —  B/.. 

On  voit  immédiatement  qu'on  ne  peut  en  rencontrer  dans  les  premières 
approximations;  mais  il  n'est  pas  évident  qu'il  en  serait  de  même  dans  les 
approximations  suivantes.  Aussi  M.  Lindstedt  crovail-il  que  sa  méthode 
n'était  applicable  jusqu'au  bout  que  s'il  n'existait  aucune  relation  linéaire  à 
coefficients  entiers  entre  les  coefficients  du  temps  dans  les  divers  termes 
de  9(,  92,  .  .  . ,  'Jp.  Cette  restriction  qui  serait  très  gênante  est  inutile;  je  vais 
le  démontrer  en  m'appujaut  sur  le  théorème  de  Green.  Pour  cela,  je 
supposerai  d'abord  que  o,,  Oo,  ...  ne  contiennent  qu'un  seul  argument, 
c'est-à-dire  (en  choisissant  convenablement  l'unité  de  temps)  que 

zi;=  ^X  cos{mC  +  h)    (//).  étant  entier),         9i( <  +  2 !t)  =  9i-(<). 

Posons 

y=^,       -"  =  '' 

et   regardons   x,  y  el   z   comme  les  coordonnées  d'un  point   dans  l'espace. 
Posons  encore 

X=f,         Y=  —  n-x -h  y.(xfi-^ . , .  + xP  ^j,),         Z=i. 

Soient  S  une  surface  fermée  quelconque,  d(,y  l'élément  de  cette  surface, 
a,  b,  c  les  cosinus  directeurs  de  la  normale.  Le  théorème  de  Green  nous 
donnera 


x< 


(  X  a  -(-  Y  /^  -t-  Z  c-  )  '/m  =  o, 
j 

car  on  voit  aisément  qu'on  a 

rfX       d\^       dL  _ 

dx        dy        dz 


Pievenons   à    la    méthode    de    M.    Lindstedt   et    supposons    qu'après    avoir 
conduit    avec    succès    les    /.•    premières    approximations,    on    soit    arrêté    à 


SUR   UNE   MÉTHODE   DE   M.    LINDSTEDT.  549 

la  (A •+ i)""'°  par  la  présence  d'un  terme  S  sinir  dans  F/.-,  —  B^.  Nous 
résoudrons  alors  léquation 

\x'i.  =  Fi_i  +  v/;  cos  w  —  B^- —  S  sin  ic, 

en  choisissant  v/,  de  façon  à  détruire  les  termes  en  costv  dans  le  second  membre. 
Alors  t\  sera  une  série  trigonométrique  en  t  et  iv.  Posons  maintenant 

X  =f(t.  ic)  =  aru-l-  aoCi  +  .  .  .+  a''-i  .*•/_! -H  a*.2;'^,, 
df  df 

Si  nous  faisons  parcourir  à  t  et  m  w  touies  les  valeurs  comprises  entre  zéro 
et  27:,  le  point  ^,  )',  z  parcourra  une  certaine  surface  i;  cette  surface  ne  sera 
pas  fermée,  mais  elle  sera  limitée  aux  deux  plans  ^  =;  o,  s  =  9.T..  Pour  achever 
d'enclore  un  volume,  il  faudra  adjoindre  à  la  surface  i  une  portion  de  chacun 
de  ces  deux  plans:  nous  aurons  alors  une  sorte  de  cylindre,  avec  sa  surface 
latérale  1,  sa  bas«  B  dans  le  plan  c  =  o.  el  sa  hase  B'  dans  le  plan  ;  =  27r. 

L'intégrale    /  (Xa  +  V  è  H-Zc)  ofw,  étendue  à  la  surface  totale  de  celle  sorte 

de  cylindre,  devra  être  nulle.  Mais  les  intégrales  relalivcs  aux  deux  bases  se 
détruisent,  puisque  x  ç.\.  y  sont  des  fondions  périodiques  de  /  avec  la 
période  2(v;  donc  l'intégrale  étendue  à  la  surface  2  esl  nulle. 

Evaluons  celle  intégrale  d'une  autre  façon. 

Posons,  pour  abréger, 


\  TIw)    ^  \  <ll    <lw         <lw  lit  ) 

d'où 


div  (hv  \  cil    dw        dw   r/t  / 


Il  viendra  alors 


dw  \  ill-  dt  dw  dw- j 

avec 

Y  =— «■^/-i-a(/oi-f-/o92  +  ...-l-//'9;,). 

Si  l'on  développe  Xa+  Y6  +  Zc  suivant  les  puissances    croissantes  de  a,  il 
viendra 

Xrt  H-  Yè-l-  Zc  =  — a-f-MoS  sin^n'H-  »''■+' 0, -+- a*+i  62  +  .  .., 


à'iO  SUR    UNE    METHODE    DE    M.    LINDSTEDT. 

OÙ  0,.  Oj,  .  .  .  sont  lies  séries  Irigonométriqiies  qu'il  esl  inutile  de  déterminer 
davantage,  et  où 


Mo  ' 


sin-(i'  ■+-  n-  cos-w 


osl  le  premier  leruie  du  développement  de  IM  suivant  les  puissances  de  oc. 

Notre  intégrale  devant  être  nulle,  quel  que  soil  a,  les  coefficients  des 
diverses  puissances  de  oc  dans  le  développemenl  de  celte  intégrale  devront  être 
nuls,  et  ce  sera  vrai,  en  particulier,  du  coefficient  de  y./i  :  on  devra  donc  avoir 


/ 


Mo  S  sin-ii'  rfio  =  o, 


et,  comme  M,|Sin-(v  est  essentiellement  positif,  cela  ne  peut  avoir  lieu  que 
si  S  est  nul.  Donc,  dans  la  méthode  de  M.  Lindstedt,  aucunedes  approximations 
n'introduira  de  terme  en  siniv;  donc  la  méthode  n'est  jamais  en  défaut. 

J'ai  supposé,  il  est  vrai,  (jue  les  séries  Irigonométriques  (y,,  a^,  ...  ne 
contenaient  qu'un  seul  argument;  uiais  il  esl  aisé  d'étendre  le  résultat  au  cas 
général.  Si,  en  efi'et,  il  y  en  avait  deux  par  exemple  et  que  les  termes  des  o  fussent 
de  la  forme  A  cos  [m^(  -\-  nyt  -\-  h),  m  etn  étant  entiers  et  [3  et  y  deux  constantes, 
et  s'il  s'introduisait  un  terme  Ssinivà  la  /f"'""'  approximation,   S  devrait  être 

nue    fnuclion   coulniue  de  y   et  de  y:    mais   cette   loni'liou   esl    nulle   si  -  est 

commensurable,  c'est-à-dire  si  les  deux  arguments  ^e  riMluisent  à  un  seul:  elle 
est  donc  toujours  nulle. 

La  même  analvse  pourrait  s'étendre  aux  équations  plus  générales  consi- 
dérées par  M.  r^indsledi,  uiais  j'ai  à  peine  besoin  de  dire  que  la  question  de 
convergence  est  toujours  résiirvée. 


SUR  LES  SÉRIES  DE  M.  LINDSTEDT 


Comptes  rendus  de  l'Académie  des  Scif/ices,  t.  lOS,  p.  21-2^  (7  janvier  iSSç)). 


Il  esl  une  équation  qu'on  rencouire  souveni  en  Mécanique  céleste  ei  qui  a 
déjà  fail  l'objel  de  bien  tles  recherches  :  c'est  la  suivante  : 

(0  '-^, ->-"-?  =  '^'?(?>^); 

n  est  un  nombre  incommensurable,  ;j.  un  paramétre  très  pelil.  Quant  à  o(p,  x), 
c'est  une  somme  de  termes  de  la  forme  suivante  : 

ç(  p,  .r  )  =  i;  A  i'"  C(>s(Â.r  -+-  ai. 

m  est  un  entier.  A,  /   et   y.  sont  des  coiislaules  quelconque^.   Nous  |ioiirions 
toujours  poser. 

'b(  0.    ;/■  I  ^   1    \ CI>«C/.J'-+-  7.).  (l'uù  Z  — -  — ^• 

'      '  III  ^  l  ■  (/O 

M.  Liiidstedl  a  |)rop()S('',  pour  riiili''j;ralioii  de  celle  ('■qnalion,  <les  séries  qui 
ne  sont  pas  convergenles  an  sens  rigoureux  du  mot,  mais  qui  peuveni  reiidie 
de  grands  services  dans  la  pratique,  parce  que  les  termes  vont  d'abord  en 
décroissant  très  rapidement  et  qu'en  prenant  un  pelil  nombre  de  ces  termes  on 
ne  commet  qu'une  erreur  assez  faible,  comme  dans  la  série  de  Stirling. 

Je  me  propose  de  présenter  la  méthode  de  Liudsledl  à  un  point  de  vue 
nouveau,  en  la  rattachant  aux  principes  des  ]'orlesungen  ûber  Dynamik  de 
Jacûbi. 

Nous  pouvons  remplacer  l'équation  (  i  )  par  les  suivantes  : 

di"'''  dt~~"''       '''do''  ~dt~^' 


552  SUR  LES  SÉRIES   DE   M.    LINDSTEDT. 

En  posant 


il  vieul 


auxquelles    ont    peut   joindre   (puisque   p   est   une   variable   auxiliaire   coin- 
pliHement  arbitraire) 

~îït  ~       dx' 


H  =  —  -i-«2  ^  —  |jiJ^-*-/v, 

de, 

dt  ~ 

d\\            dG            dW            dx 
dn  '          dt  ~         dp  '           dt 

d\\ 

Changeons  de  variables  en  posant 

'.q    .  I 

-^  sin  )•,  u  =  \/inqcosy, 


v- 


il  viendra 

Il  =/>-+- «2 î  —  ,aii(ç,jK,  x), 

dp  __dH  '!3_  __^  dx  _  M  dy  __  dH 

TTt  ~~  "dx  '  r/t  ~~  ITr^  'dt  ~  dp'  dt  ~   dq  ' 

Les  équations  différentielles  se  présentant  sous  la  forme  canonique,  on  voit 
qu'il  suffit  pour  les  intégrer  de  connaître  l'intégrale  complète  de  l'équation  aux 
dérivées  partielles  H  =  C,  où  l'on  regarde  p  e\.  q  comme  les  dérivées  d'une 
même  fonction  -s  et  où  C  est  une  constante  arbitraire.  Cette  équation  s'écrit 
donc 


dz  „dz  l  dz  \ 


Nous    allons    chercher   à    développer   la    fonction    inconnue   z   suivant   les 
puissances  de  p,  en  écrivant 

z  =  Za  +  \i-Zi-\-\>.-Z«-¥  .  .  . , 
p  =po-h.lJ.pi-+-  lJ.''p2-+-  ..., 
q  =  q„-h  ixq,  -i-  IX-  q^-h  .  .  ., 

dZi  dzi 

^'=777'        P'=7I^- 
Si  dans  'L  nous  remplaçons  q  par  ce  développement,  nous  trouverons 

■J/o  dépendra  de  q„  seulement,  ^);^  de  q^  et  de  ^i,  'h-2  de  q^-  q\  et  ^2)  4'^  ^^  ^oj 
q^^  qi  et  </3,  ....  De  plus,  les  i];,;  seront  de  la  forme  suivante.  Si  q^,  est  supposé 
donné,  'J>j    pourra   se    développer   suivant   les   puissances    croissantes   de   ^i. 


SUR    LES   SÉRIES   DE    M.    LINDSTEDT.  553 

^.j,  .  .  . ,  ^,;  le  coefficient  de  chaque  terme  de  ce  développement  sera  lui-même 
une  somme  de  termes  de  la  forme  suivante  : 

(2)  A  cos( niy  -1-  À .<■  -4-  a), 

m  étant  un  entier,  A,  /,,  et  a  des  constantes  quelconques. 

Cela  posé,  on  aura  pour  déterminer  successivement  les  fonctions  Z/,  la  suite 
d'équations  récurrentes 

(3)  fJti-i-  n-q„=  C,         pi-i-  n''(/,  =  'la,  ...,         pi-h  n^qi=  iii-f. 

Nous  prendrons  pour  y;,,  et  </„  deux  constantes  satisfaisant  à  la  première  des 
équations  (3)  et  nous  aurons,  par  conséquent,  z^  = /)„x -\- q»}",  la  cons- 
tante (jg,  que  nous  supposerons  différente  de  zéro,  sera  notre  constante 
d'intégration. 

Quand  on  connaîtra  z^-  -i,  :■.,  ....  ^i_i,  on  connaîtra  '^i-^  et  l'équation 

(4)  pi-h  rf-(ji=<bi-i 

déterminera  z;. 

Convenons  d'appeler,  pour  abréger,  fonction  trigonométrique  de  x  el  de  y 
toute  somme  de  termes  de  la  forme  (2). 

Je  dis  que  /),  et  '/,  seront  des  fonctions  irigonométriques  de  x  et  de  y. 
Supposons,  en  effet,  que  cela  soit  vrai  des  dérivées  de  z„,  r,,  z-^,  •  .  -,  ^i-t', 
je  dis  que  cela  sera  vrai  des  dérivées  de  Zi. 

En  effet,  cela  sera  vrai  d'abord  de  4'/-))  tl^  sorte  que  l'équation  (4)  s'écrira 

pi  -H  «-  y,  =  Au  -H  -  A  cos  (  iiiy  -+-  X  -f  -H  ï  ). 

Dans  le  second  membre,  j'ai  mis  en  évidence  le  terme  tout  connu  A,,  de  la 
fonction  trigonométrique  i]^,-i.  Nous  tirerons  de  là 

■■r^  A  siniiny  -h  Xx  -t-  u)  v^  A  /**  cos (  »o'  -+-  X x  -1-  ot) 

On  voit  que  </,,  et  par  conséquent  (y,  est  une  fonction  trigonométrique 
de  X  et  de  y. 

Nous  possédons  donc  z  sous  la  forme  d'une  fonction  trigonométrique 
de  X  et  de  y,  dépendant  en  outre  de  deux  constantes  arbitraires  C  et  cj„. 
L'intégrale  générale  de  l'équation  (  1  )  est  alors 

dz  dz         ,  dz 

'         dy  dqa        ^  dC 

c/^  étant  une  nouvelle  constante  arbitraire. 

H.  P.  —  VII.  7» 


554  SUR    LES    SÉRIES    DE    M.    LINDSTEDT. 

Il  esl  aisé  d'on  déduire  les  séries  de  M.  Lindstedl  sous  la  foiniL-  que  le 
savant  astronome  leur  a  donnée. 

On  reniiirqut'ra  que  celle  inélliodo  (l'exposition  met  en  évidence  In  l'orme 
purement  irigonomélrique  de  la  solution,  sans  qu'on  soit  obligé  de  recourir 
au  théorème  de  Green  et  de  l'artilice  que  j'ai  employé  dans  le  Bulletin 
astronomique  pour  démontrer  la  légitimité  de  la  nnUliode  do  M.  Lindstedt. 

Ce  que  je  viens  de  dire  s'étend  sans  peine  à  des  cas  beaucoup  plus  gi'uéraus, 
et,  en  parliculier,  ;iu  problème  des  ti-ois  cor|)s.  Je  dois  toutefois  faire  une 
remarque. 

Pour  toute  autre  loi  d'attraction  que  celle  de  Newton,  l'application  de  la 
méthode  précédente  au  problème  des  trois  corps  ne  présenterait  aucune 
difficulté;  avec  la  loi  de  Newton,  au  contraire,  elle  ne  réussirait  pas  si  l'on 
prenait  pour  point  de  départ  l'orbite  képléricnne;  on  est  donc  obligé  de 
prendre  comme  première  approximaliou  l'une  des  orbites  intermédiaires 
de  M.  Gvldén. 


SUR  UN  PROCÉDÉ  DE  VÉRIFICATION, 

APPLICABLE  AU  CALCUL  DES  SÉRIES 

DE  LA  MÉCANIQUE  CÉLESTE 


Comptes  rendus  de  l'Académie  des  Sciences,  t.  120,  p.  57-59  (i4  janvier  iSijS). 


Dans  mon  Ouvrage  inlilulo  Méthodes  nouvelles  de  la  Mécanique  céleste, 
j'ai  montré  comment  on  pouvait  représenter  les  coordonnées  des  astres  par  des 
séries  trigonométriques  et  je  me  suis  particulièrement  étendu  sur  ce  sujet  dans 
les  Chapitres  XIV  et  XV. 

Supposons  que  1  on  étudie  le  mouvenient  de  trois  corps,  par  exemple  du 
Soleil  et  de  deus  planètes;  nous  rapporterons  les  deus  planètes  à  une  origine 
mobile  mais  à  des  axes  de  direction  fixe;  la  première  planète  sera  rapportée  à 
des  axes  passant  par  le  Scjli'il  et  la  seconde  à  des  axes  passant  par  le  centre  de 
gravité  du  Soleil  et  de  la  première  planète. 

Soient  X\.  x-^,  r;,  les  trois  coordonni'es  de  la  [iremière  planète,  X;,  x.,,  x,-, 
celles  de  la  seconde;  soient  ii,  )'.j,  j'..  les  trois  composantes  de  la  ([uantilé  de 
mouvement  de  la  première  planète;  soient  Vi,  ^)'.-,,  jiu  les  mêmes  composantes 
pour  la  seconde  planète.  Il  s'agit,  bien  entendu,  des  quantités  de  mouvement 
de  ces  planètes  dans  le  mouvement  relatif  par  rapport  aux  axes  mobiles 
auxquels  elles  sont  respectivement  rapportées  et  en  leur  attribuant  des  niasses 
fictives  convenablement  choisies  qui  s'expriment  simplement  en  fonction  des 
masses  réelles. 

Dans  l'Ouvrage  que  je  viens  de  citer,  j'ai  montré  que  les  xi  el  les  )/  peuvent 
s'exprimer  de  la  façon  suivante  :  Soit  p.  un  paramètre  très  petit  de  l'ordre  des 


:)56  SUR   UN   PROCÉDÉ   DE   VÉRIFICATION. 

masses,  soient  £,  el  ro,(«=  1,2,  .  .  . ,  (j)  douzes  conslanles  d'intégration  dont 
quatre,  que  j'appelle  li,  E*,  H;,,  lu,  sont  très  petites. 

Soient  «,({  =  1,  2,  .  .  .,  6)  six  quantités  s'exprimant  à  l'aide  de  ces  cons- 
tantes; les  n,  seront  développés  suivant  les  puissances  de  jj.  et  de  l-j,  i;, ,  t:,,  ç,-,; 
les  coefficients  du  développement  dépendront  encore  deEi  et  de  4-..;  les»,  seront 
donc  ainsi  fonctions  de  p.  et  des  li,  mais  indépendants  des  ro,-.  Quatre  des  «,  à 
savoir  «3,  n,,  /;.,,  n,,  seront  très  petits.  Les  deuxautres,  ni  et  «o,  correspondent 
aux  moyens  mouvements;  ce  sont  pour  ainsi  dire  les  moyens  mou' cments 
moyens. 

Posons  enfin 

Alors  j'ai  montré  que  les  Xi  et  les  r,  sont  développables  suivant  les  puissances 
de  ,a,  ïn,  îi,  l:;  et  ;„;  chaque  terme  du  développement  est  une  fonction  pério- 
dique des  oj,  de  période  27:,  el  dépend  en  outre  de  l,  et  de  ï^. 

Les  douze  constantes  ainsi  introduites  rappellent  en  quelque  sorte  les 
»  éléments  absolus  »  de  M.  Gyidén;  "u  et  £2  jouent  un  rôle  analogue  à  celui  des 
grands  axes;  î^,  ;,,  £5,  t,-.  sont  analogues  aux  excentricités  et  aux  inclinaisons; 
'.),  et  tù2  aux  longitudes  moyennes;  w,,  lu,.  oi.-,,  o),,  aux  longitudes  des  périhélies 
et  des  nœuds. 

Ces  séries  jouissent  de  certaines  propriétés  que  la  symétrie  rend  évidentes. 

Ainsi  les  séries  qui  représentent  j",  et  >',  seront  respectivement  de  la  forme 

X,  =  SAiA'^?*»?*;'?'-'?^'  cos(/«i  (0,  -h  «iïto.j  -i- .  .  .-h  /n,,  loo), 
_)',■=  SBfji^|^?*iÇ*sE{'.  sinO/iiMi -t-  i/i-.M.-h.  .  .-h  »i,.(Of,). 

Les  A  et  les  B  sont  des  fonctions  de  ci  et  de  ij  ;  les  m  et  les  A-  sont  des 
entiers;  mais  ces  entiers  ne  sont  pas  quelconques;  les  A'  sont  des  entiers 
positifs,  les  ;/i  peuvent  être  positifs,  négatifs  ou  nuls;  on  aura 

//Il  -+-  m-  -h . .  .  -;-  m,.  =  <i. 

Enfin  I  i/ij  I  (où  i^  3,  4,  '  ou  '^)  sera  plus  petit  que  A,  et  de  même  parité 
que  A,. 

La  constante  des  forces  vives  C  sera  une  fonction  des  i,,  ou  bien  encore 
(puisque  les  m  sont  six  fonctions  indépendantes  des  ;,)  ce  sera  une  fonction 
des  m-  Je  préfère  supposer  C  exprimé  en  fonction  des  «,. 

Il  est  à  peini?  nécessaire  d'ajouter  que  les  séries  obtenues  ainsi  ne  sont  pas 
convergentes,  mais  qu'elles  peuvent  néanmoins,  à  la  façon  de  la  série  de 
Stirling,  rendre  des  services  aux  astronomes. 


SUR    UN    PROCÈDE    DE    VERIFICATION.  557 

Elles  soul  donc  imporliintcs  cl  comme  les  calculs  qui  y  conduisent  sont 
délicats  et  difficiles,  il  n'est  pas  sans  intérêt  de  connaître  des  procédés  de 
vérification. 

tin  premier  procédé  consiste  à  substituer  ces  séries  dans  le  premier  membre 
de  l'équation  des  forces  vives,  ou  des  é(juations  des  aires.  Ces  premiers 
membres  doivent  se  réduire  à  des  fonctions  des  t,  seulement. 

Mais  il  y  a  un  autre  procédé  de  vérification,  qui  ne  s'aperçoit  pas  aussi 
immédiatement,  et  c'est  sur  ce  poiut  que  je  désirerais  attirer  l'attention. 

F^es  égalités  suivantes  doivent  être  idciiliipKmcnt  vérilii'es  : 


Les  H,  sont  des  fonctions  des  £  seuieuieal,  indépendantes  des  u. 

Quant  à  C,  c'est  la  constante  des  forct'S  vives  supposée  exprimée  en  fonction 
(les  /(,. 

<  )n  peut  ajouter,  et  c'est  d  ailleurs  une  conséquence  des  égalités  précé- 
dentes, que  l'expression  ^x/dyi  est  une  différentielle  exacte  quand  on  y 
regarde  les  ;  comme  des  constantes  et  les  w  comme  six  variables  indépendantes. 


SUR  LA  DIVERGENCE  DES  SÉRIES 
DE  LA  MÉCANIQUE  CÉLESTE 


Comptes  rendus  de  V Académie  des  Sriences.  t.  lîi,  p.  4'.i7-''i09  (2  mars  189C). 


M.  Hill  n  publié,  dans  le  Bullclin  oj  tlie  Ainericaii  Malheinatical 
Society  ('),  une  Noie  inlituléo  :  On  the  convergence  of  ihe  séries  used  in  the 
subject  of  perturbations,  el  dont  les  résiilluls  semLleal  au  premier  abord  en 
contradiction  avec  ceux  ([ue  j'ai  obtenus.  J(>  crois  donc  nécessaire  de  montrer 
que  celle  conlradiction  n'est  qu'apparente  ;  j'ajouterai  même  que  le  principal 
théorème  de  M.  Hill  avait  déjà  été  démontré  par  moi. 

Je  rappelle  succinctement  les  propositions  que  j'ai  énoncées  [Méthodes  nou- 
velles de  la  Mécanique  céleste,  t.  II,  Chap.  XIII)  : 

Mettons  les  éfjuations  de  la  Mécanique  céleste  sous  la  forme 

</r,  _  r/F       •      r/r,  _       ri'F 
•'  ~Jr  ~  Tlfi'  ~iÏÏ~~'iJI' 

I^a  lonclion  !•'  i-st  périodique  par  rappori  aux  ),  ;  elle  dépend  des  x,  d'une 
manière  quelconque.  De  plus,  certains  de  ses  termes  sont  très  pelils  par 
rappori  aux  autres,  cl  nous  pouvons  mettre  en  évidence  l'ordre  de  grandeur 
de  ces  dilléreuts  termes  en  introduisant  une  quantité  très  petite  p.  et  en  déve- 
loppant F  suivant  les  puissances  de  p.  sous  la  forme 

F  =  Fo-i-  1J.F, +  ;j.îF2  +  ...; 
F„  ne  dépend  pas  de  y,. 

I  '  )  Vol.  II,  janvier  1896,  p.  ij'i. 


SUR    LA    DIVERGENCE    DES   SERIES    DE    LA    MECANIQUE    CELESTE.  Dog 

On  trouve  aIoi>  qu'(jn  peul  satisfaire  formellement  aux  équations  (i)  par  des 
séries  de  la  forme 

1,-  =  ir,  -i-  'j.\l  -+-  [J-y,-  -h.  .  . 

où  les  xf  et  les  yf  sont  des  fondions  périodiques  des  quantités 

11';  =  iiit  -i-  x^i  : 

les  5j,  sont  des  constantes  d'intégration;  les  n,  sont  des  constantes  (dites 
moyens  mouvements)  qui  sont  développables  en  séries  ordonnées  suivant  les 
puissances  de  p.. 

Les  x':  ou  rf  sont  eux-mêmes  développables  en  séries  de  la  forme 

(3)  xf  (ou  )■*  )  =  i:  A  cos(»ii  »i  -T-  /«■>  (!■■. -i-.  .  .—  m„u^„-^-  h). 

On  peut  alors  se  demander  : 

i"  Si  les  séries  (3)  convergent; 

■j."  Si  [en  admettant  que  les  séries  (3)  convergent  et  que,  par  conséquent,  on 
puisse  former  les  séries  (a)]  les  séries  (a)  convergent. 

Pour  simplifier  l'exposition  de  cette  discussion,  je  supposerai  deux  argu- 
ments seulement  w,  et  a v  et  deux  moyens  mouvements  n,  et  n^-  Commençons 
par  l'élude  des  séries  (3). 

Si  le  rapport  des  moyens  mouvements  est  commensurable,  un  des  termes  île 
la  série  devient  infini  ;  laissons  de  côté  ce  cas. 

J'ai  montré  (p.  g6,  97)  que  les  valeurs  incommensurables  du  rapport  des 
moyens  mouvements  peuvent  se  répartir  en  deux  catégories  :  celles  pour 
lesquelles  la  série  converge,  celles  pour  lesquelles  la  série  diverge,  et  que  dans 
toui  intervalle,  si  petit  qu'il  soit,  il  v  a  des  valeurs  de  la  première  catégorie  el 
des  valeurs  de  la  deuxième. 

J'ai  démontré,  en  particulier,  que  la  série  converge  pour  les  valeurs  incom- 
mensurables dont  le  carré  est  commensurable. 

C'est  ce  dernier  résultat  que  retrouve  M.  Hill  par  une  démonstration  de  tout 
point  semblable  à  la  mienne,  mais  il  le  généralise  en  montrant  qu'il  en  est  de 
même  pour  toutes  les  valeurs  qui  satisfont  à  une  équation  algébrique  à  coeffi- 
cients entiers. 

11  n'y  a  donc,  on  le  voit,  aucun  désaccord. 

Le  point  essentiel  n'en  subsiste  pas  moins,  quelle  que  soit  l'approximation 


56o  SUR   LA   DIVERGENCE   DES  SERIES  DE   LA  MECANIQUE  CÉLESTE. 

avec  laquelle  les  moyens  inouvemenls  seront  connus  ;  nous  ne  pourrons  assigner 
une  limite  supérieure  à  l'erreur  couiniise  en  s'arrèlanl  à  un  terme  de  la  série. 

La  convergence  de  la  série  ne  peut  èlre  uniforme. 

Passons  maintenant  au  second  point  :  je  veux  dire  à  In  convergence  des 
séries  (2).  Cette  question  n'est  pas  abordée  par  M.  Ilill. 

Il  semble  d'abord  qu'elle  ne  doive  même  pas  se  poser,  puisque  la  conver- 
gence des  séries  (3),  quand  elle  a  lieu,  n'est  pas  uniforme.  Mais  un  artifice 
très  simple  permet  de  former  néanmoins  les  séries  (2). 

Si,  en  effet,  les  fonctions  Fj,  F-..,  ...  ne  contiennent  chacune  qu'un  nombre 
fini  de  termes,  cliacune  des  séries  (3)  se  réduira  égalemi^nt  à  un  nombre  fini 
de  termes.  Sa  convergence  sera  donc  assurée. 

A  la  vérité,  il  n'en  est  pas  ainsi  quand  p.  représente  une  des  masses  perturba- 
trices; il  en  serait  ainsi,  au  contraire,  dans  la  théorie  de  la  Lune,  ou  bien 
encore  si  Ton  développait  à  la  fois  suivant  les  puissances  des  masses  et  des 
excentricités. 

Dans  tous  les  cas,  /j.  ne  joue  d'autre  rôle  que  celui  de  quantité  très  petite,  et 
rien  n'empêche  de  grouper  ensemble,  sous  la  notation  /-i"F„,  tous  les  termes 
dont  les  coefficients  sont  des  quantités  du  n'""'  ordre  de  grandeur. 

Grâce  à  cet  artifice,  les  séries  (3)  deviennent  convergentes  et  il  s'agit  d'envi- 
sager les  séries  (2). 

Malheureusement,  ici,  le  mode  de  démonstration  employé  par  M.  Hill,  et 
dont  je  m'étais  également  servi  pour  les  séries  (3),  cesse  d'être  applicable;  je 
n'ai  donc  rien  à  changer  à  mes  conclusions,  dont  il  importe  de  bien  se  rappeler 
la  portée  exacte,  que  j'ai  cherché  à  préciser  autant  que  possible. 


SUR  LA  DIVERGENCE 
DES  SÉRIES  TRIGONOMÉTRIQLES 


Comptes  rendus  de  l'Académie  des  Sciences,  t.  122,  p.  557-55<j  (g  mars  1S9G). 


J'ai  eu  l'occasion  de  parler  de  celle  queslion  à  propos  d'un  travail  de 
M.  Hill  inséré  dans  le  BuUeliii  of  the  American  Matliematical  Sociely. 
M.  Hill  ayant  publie,  dans  le  même  Recueil  ('),  un  nouvel  article  sur  le  même 
sujet,  je  un;  vois  forcé  d'y  revenir,  car  le  nialealendu  me  semble  s'être  aggravé, 
et  je  crois  nécessaire  de  donner  quelques  explications  complémentaires. 

Il  s'agil  des  preuves  que  j'ai  données  de  la  divergence  des  séries  de 
M.  Lindstedl  : 

Anollier  iiiclliod,  dit  M.  Hill  (p.  i31),  is  derived  fiom  the  principic  tliat  Iwo  caraclc- 
rislic  exponents  vanisli  for  every  uniform  intégral  lliat  exists;  but  ihc  intégrais  derivable 
from  tlie  séries  of  Delaunaj',  Newcomb  and  Lindstedt  are  valid  only  for  a  limited  range 
in  tlie  \alues  of  the  linear  \ariables.  For  instance,  in  the  prnblem  of  the  three  bodies, 
if  tlic  déformation  of  the  triangle  formed  by  thèse  bodies  is  such  ihat  \ve  cannot  find 
any  two  sides,  one  of  which  sustains  to  the  ollier  an  invariable  relation  of  greater  or 
less,  we  cannot  apply  the  mentioned  séries.  (Tel  serait,  par  exemple,  le  cas  d'une  comète 
troublée  par  Jupiter,  si  la  dislance  aphélie  est  supérieure  à  celle  de  Jupiter  et  la  distance 
périhélie  inférieure  à  celle  de  la  planète  1. 

Ainsi,  dans  la  pensée  de  M.  Hill,  les  séries  convergeraient  pourvu  que  les 
variables  satisfassent  à  certaines  inégalités,  el  mon  argumenlalion  prouverait 
seulement  qu'elles  ne  peuvent  pas  converger  [)our  toutes  les  valeurs  des 
variables  sans  aucune  exception.  11  est  aisé  de  voir,  au  contraire,  que  l'argu- 
ment conserve  sa  valeur  et  permet  d'établir  que  ces  séries  ne  peuvent  pas 

(')  Vol.  II,  février  iSj6,    p.   123. 

H.  P.  —  VII.  71 


562  SUR    LA    DIVERGENCE    DES   SERIES    TRIGONOMÉTRIQUES. 

converger  daus  toiile  réleudue  d'un  doiniiinu  cjuulcoiiquo,  jkjuivu  qu'il  y  ait, 
dans  ce  domaine,  une  solution  périodique;  or,  il  y  a  des  solutions  périodif|ues 
dans  lous  les  iloniaines,  si  polils  qu'ils  soient  (au  moins  poui-  les  \aleurs  1res 
petites  des  masses  el  des  excenlricliés).  Si  donc  les  séries  convergent,  ce  ne 
peut  être  ipie  pour  certaines  valeurs  discrètes  di^s  variables  et  non  pour  toutes 
les  valeurs  comprises  entre  certaines  limites,  quelque  resserrées  que  soient  ces 
limites. 

In  tlie  lliird  place,  coullnue  M.  llill,  an  appeal  is  made  lo  tlie  nlleged  non  existence 
i)f  analytic  and  uniform  intégrais  beyond  tliose  already  known.  (  M.  Hill  expose  ensuite 
que  deux  liypolhè*es  sont  possibles").  Now  in  case  \ve  aie  obliged  to  accepl  llie  (irsl 
conclnsion,  were  il  only  but  once,  M.  I^oincaré  lias  demonstraled  llie  non-exisleuce  of 
intégrais;  I)ut,  granling  that  it  is  proper  in  every  case  to  accept  the  latler  conclusion, 
thc  dcmonslralion  fails.  Now  he  déclines  lo  consider  ihe  lalter  alternative,  sayiiig  lliat 
he  does  not  believe  tliai  any  problem  of  Dynamics,  presenting  ilself  naturally,  occurs 
where  llie  riglit  nitmliers  of  llie  menlioned  équations  would  ail  vanisli. 

J'ai  dit,  i!n  effet  {Mélhodes  nouvelles  de  la  Mécanique  céleste,  t.  I,  p.  245)  : 

Ces  considérations  ne  préso.nteiil  pas,  d'ailleurs,  iriiUénU  pi-atii|ne  el  je  ne  les  ai  pré- 
sentées ici  que  pour  être  complet  cl  rigoureux.  On  peut  évidommenl  conslruire  arlili- 
ciellenient  des  problèmes  où  ces  diverses  circonstances  se  renconlrcronl;  mais,  dans  les 
problèmes  de  Dynamique  qui  se  posent  naturellement,  il  arrivera  toujours,  ou  bien  que 
toutes  les  classes  seront  singulières,  ou  bien  qu'elles  seront  toutes  ordinaires,  à  l'exception 
d'un  nombre  fini  d'entre  elles. 

La  question  demeure  donc  réservée  en  ce  r[ui  concerne  un  problème  de 
Dynamique  ([uelconque,  mais,  en  ce  qui  concerne  le  problème  des  trois  corps 
en  particulier,  j'ai  démontré,  dans  le  Chapitre  VI,  n'"  102  et  103,  que  toutes 
les  classes  sont  ordinaires. 

La  seconde  alternative  se  trouve  donc  écartée. 

Enfin^  M.  llill  ajoute  encore  ce  (jiii  suit  : 

M.  l'oincaié  appeals  in  anolber  place  to  ihe  lad  lliat  ibe  IJndsledl  seiies,  if  convergent, 
would  eslablisb  llie  non-existence  of  asymplotic  solutions.  But  tliis  observation  is  irre- 
levant for  the  reason  ihat  llic  domains  of  the  two  ibings  are  quile  distinct.  In  any  case 
where  Lindstcdl  séries  are  applicable,  therc  arc  no  asymplotic  solutions,  and,  wlierc 
ihere  are  asymplotic  solutions,  I,indsledt's  séries  would  be  illusory. 

M.  Hill  parait  croire  (ju  il  ne  peut  y  avoir  de  solutions  asymplotiqiies  que  si 

les  variables  satisfont  à  certaines  inégalités;  el,  eu  ellet,  il  avait  dit  quel(|ues 

pages  plus  haut  : 

In  ail  the  cases  presenied  by  aslronomy,  where,  on  accounl  of  the  near  appioacb  lo 
circular  motion,  a  periodic  solution  can  be  laken  as  a  firsl  approximation,  il  appears  lliat 
the  squares  of  ihe  cliaracterislic  exponenls  are  real  and  négative.  Thus,  lliere  is  nocall 
hère  to  consider  this  sort  of  solution  (les  solutions  asymptotiques). 


SUR    LA    DIVERGENCE    DES   SERIES   TRICONOMÉTRIQUES.  563 

Il  y  a  là  une  erreur  manifeste;  car,  eu  se  bornant,  pour  simplitier,  au  proljléine 
dil  reitreint  (inclinaison  nulle,  masse  de  la  planole  troubl(''e  nulle,  excentricité 
de  la  planète  li-oublante  nulle),  on  voit  que  dans  tout  domaine,  si  petit  qu'il 
soit,  il  y  a  des  solutions  asyuiplotiques,  au  moins  pour  des  valeurs  suffi- 
samment petites  des  masses  perturbatrices. 

Si  M.  Hill  il  cru  le  contraire,  c'est  qu'il  n'a  envisagé  que  les  solutions  pério- 
diques de  la  première  sorte;  mais  l'application  de  la  méthode  de  Delaunay 
suffirait  pour  mettre  en  évidence  l'existence  des  solutions  asjmptotiques. 


SllU 

LA  FAÇON  DE  GROUPER  LES  TERMES 

DES  SÉRIES  TRIGONOMÉTRIQUES 

QU'ON  RENCONTRE  EN  MÉCANIQUE  CÉLESTE 


liullctui  (islroiioiniijuf,  l.  15,  p.  aSg-oiu  (août  1898). 


1.  J'ai  exposé,  dans  le  BuUeLin  uslronornique  (juilleL  1897)  ('),  une  méthode 
qui  permet  de  développer  les  coordonnées  des  astres  en  séries  ne  contenant 
que  des  sinus  et  des  cosinus. 

.le  voudrais  aujourd'hui  revenir  sur  ce  sujet  pour  montrer  comment  il  convient 
de  grouper  les  termes  afin  d'oi)tcnir  une  convergence  aussi  rapide  que  possible 
et  les  diverses  particularités  que  l'on  peut  mettre  en  évidence  en  décomposant 
et  groupant  les  termes  de  ditlérentes  manières. 

Ce  que  j'ai  à  dire  s'applique  au  cas  général  avec  quelques  changements  de 
détail.  Néanmoins,  pour  simplifier  et  abréger  cet  exposé,  je  me  bornerai  au  cas 
particulier  connu  sous  le  nom  àc problème  restreint. 

.Fe  supposerai  un  corps  central  S  nutoui-  duquel  circulent  une  masse  Irou- 
jjlaute  .1  très  petite  et  une  mass(;  troublée  I'  inlinimcnt  petite.  La  masse  P  étant 
lulinimetit  petite,  le  mouvement  de,)  doit  obéir  aux  lois  de  Kepler;  je  suppo- 
serai l'oriiite  de  .1  circulaire;  l'inclinaison  nulle  de  façon  que  P  se  meuve  dans 
le  |)lan  de  l'orbite  de  ,J  et  enfin  l'excentricité  de  P  très  petite,  de  faeou  (jue  P 
se  meuve  dans  le  même  sens  que  .)  daus  une  orbite  sensiblement  circulaire. 

(';  CHiavres  de  II.   l'oincaré.  ce    Tome,  p.   'n-. 


SUR    LA   FAÇON    DE   GROUPER   LES   TERMES    DES   SÉRIES   TRIGONOMÉTRIQUES.  565 

J'appelle  a  et  e  le  demi-grand  axe  et  rexcentricilé  de  P;  fjt  la  masse  de  J, 
l  l'anomalie  moyenne  de  P  et  »•  la  longitude  de  son  périhélie,  /'  la  longitude 
de  J,  et  je  pose 

(     X)  =  v'«  —  v'"  (  I  —  e-  ),  x-i  =  \'a  -+-  v'"(  '  ^  ^'-  )' 

I   ->  T,  =  /  —  g-  -^  /\  o  )•.;  =  /  -+-  .;■■  —  /■. 

Je  vois  alors  que  les  équations  du  mouvement  prennent  la  forme  canonique 

(2) 


d.r, 

flV 

dx. 

dV 

rf)-, 

dV 

dy. 

dF 

,l( 

'/>,' 

dt 

dy-,  ' 

dt 

dxC 

dt 

do.-. 

F  est  une  fonction  di'veloppable  suivant  les  puissances  de  p-  cl  périodique  par 
rapport  aux  y. 

Pour  ij.  -—  o,  cette  fonction  F  se  réduit  à 

2  (Xi  —  ^l) 


F„  = 


(.Vi-hX-i)- 


(à  la  condition  de  choisir  convenablement  les  unités  de  longueur,  de  masse  et 
de  temps)  et  ne  dépend  que  des  x. 

Nous  nous  trouvons  donc  dans  les  conditions  du  problème  B  {/hili.  aslr., 
t.  14,  p.  242)  (').  Les  résultats  obtenus  à  propos  de  ce  problème  sont  donc 
applicables  ici;  ils  peuvent  s'énoncer  sous  la  forme  suivante. 

Soient  ^i,  5^,  m,,  ra-j  quatre  constantes  d'intégration;  soient  /ii  et  n..  deux 
nouvelles  constantes  dépendant  de  :\.  de  z-,  et  de  y., 

iVi  =  «I  / -I- ra,,  ir.,  =  «2? -+- CT-,. 

Les  variables  x  et  )■  peuvent  se  développer  en  séries  |)roc(''dant  suivant  les 
puissances  de  /jl, 

(  3  )  Xi  =  xf  -h  ;jLar,'  -t-  ;j.-.r  ?  -4- .  .  . ,         y,  =  r"  -1-  |ji  r,'  -t-  [x-rf  -1- .  .  . . 

Les  X-  et  les  rf  (sauf  j'','  et  j'"  qui  sont  égaux  à  iv,  et  w-j)  sont  développables 
en  séries  irigonométriques  procédant  suivant  les  sinus  et  les  cosinus  des 
multiples  de  n'i  et  ccj,  le  coefficient  de  chaque  terme  dépendant  de  z,  et  de  :■•,. 

Enfin  n,  et  n-,  peuvent  se  développer  suivant  les  puissances  de  p.,  chaque 
terme  étant  une  fonction  de  r,  et  de  z-2,  de  sorte  que 

(4)  «/=/!,"-+-  un,'  -+- 

Nous  supposerons  d'ailleurs 

(')  Lor.  rit.,  p.   ')iS. 


566  SUR    LA    FAÇON    DE   GROUPER    LES   TERMES    DES   SERIES   TRIGONOMETRIQUES. 

d'où 

La  constanle  Ziz=a1  est  très  petite  et  de  l'ordre  du  carré  de  rexcenlricilé, 
et  il  n'est  pas  inutile  de  remarquer  que  nos  expressions  j"f  et  jf  (sauf  j"  ely°) 
peuvent  se  développer  suivant  les  puissances  de  yz^  costvi,  y^,  sinivi,  chaque 
terme  dépendant  encore  de  ivj  et  de  3-j  et  étant  périodique  par  rapport  à  n'^. 

'i.  Observons  d'abord  que  de  ces  séries  on  en  peut  déduire  une  infinité 
d'autres  de  même  forme. 

Remplaçons,  en  effet,  les  constantes  ;  et  ro  par  les  développements  suivants 
procédant  suivant  les  puissances  de  p.  : 

(6)  Zi-=  z^-h  11.:-! -i-ix^Zf-^.  .  .,  i;t,=  raf  +  ,ara,' +  ii'-ro?-i- 

Les  zf  et  les  nrf  sont  des  fonctions  de  quatre  nouvelles  constantes  z\,  z'.,,  ro', . 
nj'„  ;  on  a 

zp  =  z'i,      T^:-  =  ht; 

et  les  autres  s'',  rof  sont  des  fonctions  quelconques  de  z\  et  ^'„,  de  us\  et  roi.    . 

Il  est  clair  que  si,  dans  les  séries  (3),  je  remplace  les  constantes  s,-  et  ro,  par 
leurs  développements  (6),  puis  que  j'ordonne  de  nouveau  par  rapport  à  ,u, 
j'obtiendrai  pour  les  Xi  et  les  y,  de  nouveaux  développements  qui  seront  de 
même  forme  (jue  les  séries  (3),  c'esl-à-dire  cpii  procéderont  d'une  part  suivant 
les  [)uissances  de  ;j.,  d'autre  part  suivant  les  sinus  et  cosinus  des  multiples  de 

et  dont  les  coefficients  dépendront  des  nouvelles  constantes  z'  et  ro'. 

Le  cas  le  plus  remarquable  sera  celui  où  ces  coefficients  dépendront  seule- 
ment des  z'  et  seront  indépendants  des  m',  ainsi  qu'il  arrivait  pour  les  séries  (3) 
elles-mêmes. 

3.  Comment  peut  se  faire  le  choix  si  largement  arbitraire  de  ces  développe- 
ments (6)  qui  définissent  les  constantes  z'^  et  ro-? 

On  peut  d'abord  s'arranger  [)our  que  le  rapport  des  deux  moyens  mouve- 
ments rii  et  n,  soit  indépendant  de  jj.  et  que  l'on  ait 

/Il      S  -I-  (z'i  -I-  z'.,y 


(7) 


Les  équations  (5)  nous  donnent 


s-(z\-i-z;y' 


n",  —  nv,  =  i . 


SUR    LA    FAÇON    DE   GROUPER    LES   TERMES   DES   SÉRIES   TRICONOMÉTRIQUES.  667 

Si  nous  n'avions  pas  ainsi  une  relation  entre  n"  et  n",  nous  pourrions  choisir 
les  développements  (6)  de  telle  façon  que  les  moyens  mouvements  «i  et  «o 
soient  tous  deux  indépendants  de  p.;  malheureusement  l'existence  de  cette 
relation  s'y  oppose. 

Soit 

n\  —  n\=  cp(zi,  5o)- 

Formons  alors  les  équations 

j  r         4  I  "1 

Comme  les  «*  sont  des  fonctions  connues  de  Zi  et  x;^,  nous  pouvons,  de  ces 
équations  (8),  tirer  :.\  et  :[.  en  ibnclions  de  -i,  de  z-^  et  de  p.,  et  il  est  aisé  de 
voir  que  l'on  obtient  ainsi  des  développements  de  la  forme  (6)  (les    ;f  et 
les  5J*  dépendant  seulement  des  z'  et  non  pas  des  ro'). 
Les  équations  (8)  entraînent  d'ailleurs  la  relation  (^). 

i.  (  )n  peut  aussi  choisir  pour  les  constantes  z'^  et  ro)  les  valeurs  initiales 
des  Xi  et  des  y;  pour  i  =:  o. 

Prenons,  en  effet,  les  équations  (3)  et  remplaçons-y  t  par  zéro,  x,  et  yj 
par  ^j.  et  ro);  nous  trouverons  ainsi 

(y)  s;=  a-,"-H  iJ-i^/ -H  u'2x?s- —      nj;=j;+ [xj-; -+-n5_r?-h  — 

Dans  les  expressions  x^  et  ^f ,  les  arguments  w,  et  (Vo  doivent  être  remplacés 
par  cT|  cl  C7j. 

Les  seconds  membres  des  équations  (y)  sont  des  fonctions  connues  des  5, 
des  cj  et  de  fji;  pour  fx  ^  o,  ces  seconds  membres  se  réduisent  à 

^i   —  -■'!  J  i   —  ^i- 

On  tirera  donc  facilement  de  ces  équ;itions  (g)  les  z  et  les  ra  en  fonctions 
des  nouvelles  constantes  s'  et  ra'  et  de  p..  sous  forme  de  développements  pro- 
cédant suivant  les  puissances  de  [j.  et  qui  ne  seront  autre  chose  que  les  dévelop- 
pements (6)  cherchés. 

L'inconvénient  de  ce  choix,  c'est  que  les  constantes  z  et  les  dilTérences  w  —  ro' 
dépendent  non  seulement  de  ^'i  et  5'.,,  mais  de  w',  et  rcr',.  Il  n'en  était  pas  ainsi 
quand  nous  procédions  comme  au  n"  3. 

11  en  résulte  que  les  séries  (3)  se  trouvent  remplacées  par  des  séries  (3  bis) 


568  SUR    LA   FAÇON    DE   GROUPER    LES   TERMES   DES   SERIES   TRIGONOMÉTRIQUES. 

de  même  forme,  mais  donl  les  cocfficienls  dépendent,  non  seulement  de  z\ 
et  5o,  mais  de  ir,  et  cj',.  Au  contraire,  en  proctidant  comme  au  n"  3,  on  trouve 
des  séries  de  même  forme  encore  et  dont  les  coefficients  sont  indépendants  des 
deux  constantes  rs'. 

S.  Je  me  propose  d'abord  de  montrer  comment  on  pourra  déduire  des 
séries  (3)  les  développements  auxquels  aurait  conduit  l'application  des  pro- 
cédés de  l'ancienne  Mécanique  céleste. 

Adoptons  les  constantes  z'  et  ro'  du  n"  4  et  envisageons  les  séries  {'.}  bis) 
obtenues  à  la  lin  de  ce  numéro. 

Les  équations  (4)  nous  donnent  n,  et  n-^  en  fonctions  de  y-,  de  ^j  et  de  ^^. 
En  les  combinant  avec  les  équations  (6),  nous  aurons  /ti  et  n^  eu  fonctions 
de  pi,  des  ;'  et  des  ro';  soit  donc 

(4  bis)  rti  =  ")"  -H  iJ.  "/'  -t-  |J--"i"  -i-  •  •  • . 

Les  «/■  seront  donnés  en  fonction  des  z'  et  dos  nj'  et  l'on  aura 

(4  l>is)  ", 


{z.\-\-z',f        1 
Considérons  alors  les  séries 

( 3  bis )  Xi  =  Sa'- x'/  ;         r,-  =  S.u^' j-;* . 

Soit  A  sin(//?i  n'i -1- /»^,  iv,  )  un  terme  de  a;)*  ou  )|*.  Le  coefficient  A  dépend 
des  z'  et  des  ro';  m,  et  Wj  sont  deux  entiers;  enfin  le  signe  sin  pourrait  être 
remplacé  par  le  signe  cos. 

Ce  terme  dépend  indirectement  de  ij.,  puisque  l'on  a 

«il  ir'i  -+-  »i.>ir'o  =  (/«i  «1  +  i>i-in-i)t  -h  (  Hiiro',  +  in-iT^'.,  ) 

et  que,  d'après  les  équations  {.\  Ois),  ni  et  n.  dépendent  de  p.. 

Développons  donc  ce  terme  suivant  les  puissances  de  p.,  il  viendra 

(lo)  A  siii(mi  ir',  -I-  m^if'z  )  =  A  sin  w  -h  [x  \  It  m,  n\'  -h  m-,n\-)  ('oscj  -t-  .  .'. , 

OÙ 

(0  =  I,  m  I  /( V'  +  "';  "'■"  )l  -h  {f>iim\  -h  /»■> rn'.,  ). 

Remplaçons  maintenant  chaque  terme  dos  séries  (3  /;/,y)  par  son  dév(;loppe- 
ment  (lo)  et  ordonnons  de  nouveau  par  rapport  à  p;  nous  obtiendrons  ainsi 
des  séries 

Citer)  Xi  =  x'i'  -+-  }J.x'P  -^  ii2x"i-  -(-..,,        J/  =  fi"  -+-  iJ-fi  '  +  l^-i/r  -*-■■■■ 

Les  séries  (3  ter)  comprennent  comme  les  séries  (.'>)  des  termes  j)uremcnl 


SUR    LA   FAÇON    DE   GROUPER    LES   TERMES    DES   SÉRIES    TRIGONOMÉTRIQUES.  369 

Irigonométriques,  mais  elles  comprennent  en  outre  des  ternies  où  le  lemps  sort 
des  signes  Irigonométriques,  tels  que  le  second  terme  et  les  lermes  suivants 
du  développement  (lo). 

Chaque  terme  est  d'ailleurs  tout  à  fait  indépendant  de  f/. 

Les  séries  (3  ter)  sont  celles  auxquelles  auraient  conduit  les  anciens 
procédés. 

G.  Nous  observerons  d'abord  que  ce  rapprochement  nous  fournit  immédia- 
tement un  théorème  applicable  aux  séries  obtenues  par  les  anciens  procédés. 

Ces  séries  contiennent  des  termes  non  séculaires,  ne  contenant  qu'une  ligne 
trigonométriqup  de  niiw'\~\-Tn-,w",,  où  les  w]  sont  des  fonctions  linéaires  du 
temps 

iv"=  «)"  t  —  Cî;. 

Elles  contiennent  en  outre  des  termes  où  une  pareille  ligne  Irigonomélrique 
est  multipliée  par  t,  ou  par  t-  ou  par  une  puissance  supT'rieure  de  t.  Si'parons 
ces  diverses  sortes  de  termes  et  écrivons  par  exemple  le  développement  de  .Ti, 

a:i  =  2  A  siii  10  -I-  /  S  B  cos  (•)  -H  /-  2  C  «in  w  -t- .  .  . , 

OÙ 

(■)  :=   /H,  »•'[  -H  «);>  n'\  -+-  II, 

Il  étant  une  constante. 

Le  théorème  on  question,  c'est  que  les  coefficients  B.  C,  etc.  peuvent  se 
déduire  des  coefficients  A  à  l'aide  des  formules  suivantes  : 

A  A 

B  =—(/?!,  2i  -f-  nîiïi),  C  = fmi  xi  -I-  »!.  oL-iY-, 

I  "    "  I  .■>  -     '  ^ 


où  y.\  et  y.,  sont  les  constantes  «i  —  /i,"  et  n^ — h,''. 

Ainsi  la  connaissance  de  ces  deux  constantes  a,  et  aocl  des  termes  non  sécu- 
laires suffit  pour  donner  immédiatement  celle  de  tous  les  termes  séculaires. 
On  voit  de  plus  que  les  termes  «  purement  séculaires  »  contenant  une  puissance 
de  t  et  pas  de  ligne  trigonométrique  doivent  toujours  se  détruire  quelque  loin 
qu'on  pousse  l'approximation. 

7.   .Si  nous  cherchons  à  comparer  les  séries  (3  ter)  données  par  les  anciens 
procédés  avec  les  séries  (3)  données  par  les  procédés  nouveaux,  nous  remar- 
querons d'abord  que  les  séries  (3  ter),  ordonnées  suivant  les  puissances  de  [J-, 
II.  p.  —  VII.  72 


570  SUR    LA    FAÇON    DE    GROUPER    LES    TERMES    DES    SERIES    TRIGONOMÉTRIQUES. 

convergent  pourv\i  ([ue  le  lenip.s  soil  sulTisaminent  pelil;  la  couveigmce  cesse 
si  le  temps  dt^passe  une  certaine  valeur. 

En  ce  qui  concerne  les  séries  (3),  nous  sommes  certains  que  les  premiers 
termes  convergent  assez  vite  pour  les  besoins  de  la  pratique;  mais  nous  n'avons 
pas  le  moyen  de  démontrer  que  la  série  converge,  même  pour  les  petites  valeurs 
du  temps,  au  sens  que  les  analystes  attachent  à  ce  mot.  Nous  pouvons  affirmer 
au  contraire  que  la  convergence,  si  elle  a  lien,  ne  saurait  èlre  uniforme  |)our 
toutes  les  valeurs  du  temps  d'uni;  part,  et  d'autre  part  pour  loules  les  valeurs 
des  constantes  comprises  entre  certaines  limites. 

Dans  ces  conditions,  on  est  tenté  de  se  demander  si  les  méthodes  nouvelles 
où  l'on  évite  les  développements  procédant  suivant  les  puissances  du  temps 
présentent  des  avantages  bien  réels. 

On  se  rendra  mieux  compte  des  cas  où  les  avantages  sont  réels  et  de  ceux  où 
ils  sont  illusoires  si  l'on  prend  garde  aux  rétlexions  suivantes  : 

On  peut  se  proposer  deux  buts  ditYérenls,  ou  bien  représenter  les  positions 
des  astres  pendant  un  temps  très  long  avec  une  approximation  médiocre,  ou 
bien  les  représenter  pendant  un  temps  assez  court  avec  une  grande  ap[)roxi- 
inalion. 

Supposons  que  l'une  do  séries  (3)  c<uitienne  deux  termes  Asina/,  Bsinp/ 

et  que 

A  >  B,        Aa<Bp. 

Il  pourra  très  bien  se  faire  que,  si  l'on  se  propose  le  premier  but,  on  doive 
tenir  compte  du  premier  de  ces  termes  et  négliger  le  second  qui  est  plus  petit 
si  t  est  assez  grand;  et  qu'au  contraire,  si  l'on  se  propose  le  second  but,  on 
doive  tenir  compte  du  second  de  ces  termes  et  négliger  le  premier  qui  est  plus 
petit  si  Ion  ne  donne  à  t  que  de  petites  valeurs. 

On  voit  donc  que  le  choix  des  termes  que  l'on  doit  conserver  ou  négliger  ne 
peut  se  faire  sans  qu'on  se  soit  bien  rendu  compte  du  but  que  l'on  cherche  à 
atteindre. 

Supposons  donc  (ju'on  veuille  représenter  les  mouvements  pendant  un 
temps  T  et  avec  une  approximation  II;  nous  devons  négliger  le  terme  Asinc?/, 
si  A  est  plus  petit  f[ue  H.  ou  encore  si  AaT  est  plus  petit  que  II. 

Il  pourra  se  faire  que  y.T  soit  très  polit,  pas  assez  cependant  pour  que  le 
terme  doive  être  négligé.  Dans  ce  cas,  ce  terme  A  sine  ^  différera  très  peu 
de  k.7.t.  On  ne  voit  pas  bien  alors  quel  avantage  il  peut  j  avoir  à  luL  conserver 
la  forme  Irigonomélrique  et  s'il  ne  vaut  pas  mieux  le  développer  suivant  les 


SUR    LA    FAÇON    DE   GROUPER   LES   TERMES   DES   SÉRIES   TRIGONOMÉTRIQUES.  5yi 

puissances  de  t,  en  bornanl  le  dëveloppemenl  à  un  ou  deux  termes.  Un  très 
grand  nombre  de  lermes,  se  réduisant,  à  une  constante  multipliée  par  t.  t-  ou  <•', 
peuvent  alors  être  réunis  en  un  seul. 

Supposons  encore  que  l'on  ait  un  certain  nombre  de  termes 

A  sin  ï. ?  ^  A  I  sin  ot;  <  -+-  A 2  siii  a-iZ  -h.  .  .-+-  A„  sin  oc,,  t 

dont  les  périodes  soient  très  peu  différenles.  Si  les  expressions  («/,  —  a)T  sont 
assez  petites  pour  qu'on  puisse  en  négliger  le  carré,  on  pourra  remplacer  ces 
n  -\-  I  termes  par  deux  termes  seulement 

(  A  -t-  Al  -(-.  .  .-H  A„  )  sin  2/  -H  ^  cosy:t[\,(x,  —  a)  +  A.i(ï2 —  a)  -*-...+  A„(a„  —  a)], 

ce  qui  sera  une  simplification  évidente.  L'approximation  plus  grande  que 
semble  donner  la  formule  complète  serait  d'ailleurs  le  plus  souvent  illusoire 
parce  que  les  périodes  ne  seraient  pas  exactement  connues. 

On  voit  que  dans  certains  cas  on  peut  avoir  intérêt  à  revenir  aux  développe- 
ments qui  procèdent  suivant  les  puissances  du  temps,  et  à  adopter,  pour  ainsi 
dire,  une  méthode  mixte  entre  les  anciens  procédés  et  les  nouveaux.  Certains 
termes  conservent  la  forinc  trigonométriquc,  d'autres  se  développent  de  manière 
à  faire  sortir  1<'  temps  des  signes  sinus  et  cosinus.  Le  choix  des  termes  auxquels 
la  foiiiie  trigonométrique  doit  être  conservée  dépend  du  but  que  l'on  se  propose. 

Au  point  de  vue  de  la  convergence,  ces  développeuients  mixtes  seraient 
équivalents  aux  séries  (3  ter)  des  anciens  procédés,  le  temps  pendant  lequel 
ils  resteraient  convergents  étant  en  général  plus  grand. 

8.  Laissons  maintenant  de  côté  les  anciens  procédés  "t  revenons  aux  déve- 
loppements (3).  Nous  devrons  observer  que  ces  développements  contiennent 
certains  termes  qui  peuvent  être  très  grands,  mais  que  le  plus  souvent  on  peut 
obtenir  une  sorte  d<'  compensation  en  groupant  les  termes  d'une  manière 
convenable. 

11  arrivera  fréquemment  qu'un  groupe  contiendra  des  termes  très  grands  et 
que  la  somme  des  termes  d'un  même  groupe  sera  néanmoins  très  petite. 

Rappelons,  en  effet,  que  les  divers  lermes  des  séries  (3)  ont  été  obtenus  par 
une  série  d'opérations,  comprenant  des  intégrations,  des  additions,  des  multi- 
plications, des  difTérenliations. 

Supposons  donc  que  l'on  ail  à  intégrer  un  terme  de  la  forme  Acosa^,  on 

A  sina< 
trouvera  • 


372  SUR    LA    FAÇON    DE    GROUPER    LES    TERMES    DES   SÉRIES    TRIGONOMÉTRIQUES. 

Si  X  ost  très  petit,  ce  tei'inc  sern  susceptible  de  devenir  très  grand;  il  ne  le 
deviendra  pas  cependant  pour  les  valeurs  finies  de  /,  car  il  sera  toujours  plus 

petit  que  .Kt. 

....  .      .  Kcoiat 

Si   nous   avions  a   intogrcr  uu  tenue  Asiai;^,  nous   trouverions 

°  a 

\  \  ros  a / 

OU.  en  aioulant  une  constante, ■ 

*  X  -j. 

Chacun  de  ces  deux  termes  est  très  grand,  mais  l'ensemble  des  deux  termes 

,,    .          ,             .             Va/' 
est  lini  et  plus  petit  que  — ^ 

On  voit  iiuel  intérêt  il  y  a  à  grouper  les  termes  d'une  manière  convenable. 

Parlons  maintenant  ilu   terme  Acosa<  el   supposons   qu'une  première   inté- 

,          ,  A  sin  al 
gralion  ait  donne 

Supposons  qu'on  ail  ensuite  à  multiplier  ce  lerme  par  sinp?,  ce  qui  donne 

A  sinai  siii  3'         A         , .,  A         ,  ^^  ^ 

■ —  =  —  cos  (  p  —  X  )  / cos  (  ,j  -H  a  )  ?  ; 

a  ■>.»■'  a  a 

puis  à  intégrer  de  nouveau  ce  (pii  donne 

A  siii(  [i  —  a)t        A  siii(  ^ -+- a)/ 
■),  a  (  j j  —  a  )  ■>  a  { [j  -+-  a  ) 

Si  J5  est  fini  et  y.  très  pelil,  chacun  de  ces  deux,  termes  est  très  grand:  ils  ont 
tous  deux  à  peu  près  même  période,  et  si  on  les  réduit  ils  se  compensent  presque 

exactement,  car  leur  ensemble  est  de  l'ordre  de  -^  ■ 

C'est  ce  qui  explique  une  circonstance  qui  se  présente  bien  souvent  dans  le 
calcul  des  perturbations  du  second  ordre.  On  trouve  des  termes  qui,  indivi- 
duellement, ont  une  valeur  considérable,  mais  qui  se  détruisent  presque  com- 
plètement deux  à  deux. 

Ces  exemples  suffisent  [lour  montrer  riniluence  du  groupement  des  termes 
sur  la  rapidlh'  de  la  convergence. 


9.   Considérons  maintenant  les  difTérents  termes  des  développements  (3)  et 
voyons  quelle  est  leur  forme. 
Soit 

\j.l' \         (  n?!  (fi -h  Wo(r->) 
co? 

l'un  de  ces  lerm(;s.    \  ('■tant  une  f<iiu;tion  de  c,  et  :;j. 


SUR    LA   FAÇON    DE   GROUPER    LES   TERMES   DES   SÉRIES   TRIGONOMETRIQUES.  573 

Nous  pouvons  toujours  supposer  que  lus  développements  (4)  se  réduisent  à 
leurs  deux  premiers  termes  de  telle  façon  que 

«,  =  «y -H  ;JL/(  1,  «5= /iS -î-  |jL«i 

et  que 


8 -(=,-1-22  y- 


soit  indépendant  de  f^  et  ne  dépende  que  de  Si  +  Sj. 

Si,  on  effet,  il  n'en  était  pas  ainsi,  nous  n'aurions  qu'à  passer  des  constantes  r 
aux  constantes  z'  définies  au  n"  3. 

Cela  posé,  voyons  quelle  sera  la  forme  de  la  fonction  A.  On  sait  que  les 
intégrations  successives  .introduisent  dans  cette  fonction  des  diviseurs  de  la 
forme  {jin^-h  (j.,n",,  qi  et  q .  étant  des  entiers;  c'est  ce  que  nous  appellerons 
les  petits  diviseurs. 

Nous  écrirons  donc  A --   -,  Il  étant  le  produit  des  petits  diviseurs  et  B  une 

fonction  de  ;i  et  z-,.  La  fonction  B  reste  finie  pour  toutes  les  valeurs  envisagées 
des  constantes  ;,  et  z-..  Au  contraire,  comme  certains  petits  diviseurs  peuvent 

s'annuler  quand  -t,  est  commensurable,  la  fonction  A  pourrait  devenir  infinie. 
'  II] 

Je  puis  considérer  B  comme  fonction  de  ^i  et  Zi+  z-,,  ou,  ce  qui  revient  au 
même,  de  Ci  et  de  n\.  Quant  à  II,  c'est  un  polynôme  entier  en  ti\,  car  le  petit 
diviseur 

Si  donc  je  regarde  un  instant  r-,  comme  une  constante,  A  sera  égal  à  une 
fonction  de  «',',  liolomorphe  dans  le  domaine  considéré,  divisée  par  un  poly- 
nôme en  n\. 

Je  puis  poser 

I!  =  Cil  -t-  1>, 

où  C  est  une  autre  fonction   holomorplie  en  n'[   et  D    un   polynôme  d'ordre 
moindre  que  H.  11  vient  donc 

et  si   l'on    décompose  la   fraction    rationnelle    en   éléments    simples,    on   aura 
décomposé  le  terme  envisagé  en  plusieurs  autres 

_  sin  l'j  siii  , 

'■        '  '^  COS   ■  (  (/irt'l' -H  (^irt"   l''  L'OS 


où  C  est  une  foiiclion  holomorplie  do  3i  cl  n"  et  où  les  auLres  termes  con- 
tiennenl  au  numéraleur  une  louclion  l'i,  li(il<)mor[)lie  en  ii  seulement  et  au 
dénominateur  une  puissance  entière  /i  d'un  seul  |HUil  di\iseur. 

Si  l'on  se  ra|j[>elle  la  manière  dout  les  dillérents  termes  des  développe- 
ments [Z)  ont  été  obtenus,  on  verra  (jue  le  |>olvnome  H  sera  le  produit  d'au 
plus  -.ip  —  I  petits  diviseurs,  en  ce  qui  concerne  le  développement  de  x^  et  x-2, 
et  d'au  plus  zp  petits  diviseurs,  en  ce  qui  concerne  le  développement  de  yi 
et  Kj.  Ce  polynôme  est  donc  au  plus  de  degré  2/?  —  i  (ou  2/)),  p  étant  l'expo- 
sant de  ,w  dans  le  terme  considéré. 

Dans  chaque  terme  de  (11)  l'exposant  h  est  au  plus  égal  à  2 p —  i  (ou  2/>); 
j'ajoute  que  s'il  atteint  sa  limite  2p  —  i  (ou  2/?),  on  doit  avoir 

10.  Supposons  maintenant  que,  partant  des  séries  (3),  nous  décomposions 
chaque  terme  en  plusieurs  autres  par  la  formule  (i  i).  Nous  pourrons  répartir 
les  termes  de  la  série  ainsi  obtenue  de  la  manière  suivante  : 

Un  premier  groupe  comprendra  tous  les  termes  qui  ne  contiennent  au  déno- 
minateur aucun  petit  diviseur  [tels  que  le  premier  terme  de  l'expression  (11)]. 

Chacun  des  autres  groupes  sera  formé  des  divers  termes  qui  contiennent  au 
dénominateur  une  puissance  d'un  même  petit  diviseur. 

Considérons,  par  exemple,  le  groupe  des  termes  qui  contiennent  au  dénomi- 
nateur une  puissance  de 

et  qu'on  peut  appeler  le  groupe  (//i,  q-i). 

Chacun  des  termes  du  groupe  (yi,  7-.. )  contiendra  en  facteur  i^^i  où  la  diffé- 
rence 2p  —  I  —  A,  en  ce  qui  concerne  Xi  et  x-^  (ou  2/?  —  li  en  ce  qui  con- 
cerne ri  et yo),  est  positive  ou  nulle. 

Rangeons  dans  un  même  sous-groupe  les  termes  où  cette  diliérence  a  la 
même  vah'ur;  nous  appellerons  sous-groupe  princij)al  celui  où  celte  dilié- 
rence est  nulle. 

Voici  ce  qui  justifie  ce  groupement.  Si  ô  est  très  petit  et  par  exemple  de 
l'ordre  de  ^/p.,  certains  termes  d'ordre  élevé  par  rapport  à  y.  |)ourront  devenir 
sensibles  par  suite  de  la  présence  d'une  puissance  de  ô  au  d(''nominat('ur. 

L'importance  du  terme  se   trouve  alors  mesurée  par  la  valeur  de  la  diflé- 


SUR   LA   FAÇON    DE   GROUPER    LES   TERMES   DES   SERIES   TRIGONOMETRIQUES.  573 

reuce  2/>  —  I  —  h.  Les  termes  pour  lesquels  celle  différence  est  nulle  sont 
évidemment  les  plus  imporlanls;  ce  sont  même,  le  plus  souvent,  les  seuls  dont 
on  ail  à  tenir  compte. 

Les  deux  nombres  (/,  et  q-2  peuvent  toujours  être  supposés  premiers  enire 
eux,  de  sorte  qu'on  peut  toujours  trouver  deux  entiers  ri  et  /•■.  tels  que 

■   g'i'-^— <?-2'i  =  I 
el  poser 

a  et  j  étant  deux  nouveaux  entiers.  Nous  pourrons  classer  dans  une  même 
série  partielle  tous  les  termes  d'un  même  sous-groupe  qui  correspondent  à  une 
même  valeur  de  (3. 

Le  diviseur  o  étant  en  eflet  très  petit,  (j,n,~  q.n,  est  aussi  très  petit,  de 
sorte  que  tous  les  termes  d'une  des  séries  partielles  ainsi  formées  auront  à  peu 

près  même  période,  je  veux  dire  une  période  voisine  do  7- — ■•  Lesous- 

groupe  principal  ne  contiendra  qu'une  seule  série  partielle,  car  pour  ce  sous- 
groupe  on  a 

—  =  —  )  d  ou  [j  =  o. 

qx  q-i 

A  part  les  termes  du  piemier  groupe  qui,  ne  contenant  pas  de  petits  divi- 
seurs, sont  généralement  très  petits,  tous  nos  termes  vont  se  trouver  ainsi 
répartis  en  séries  partielles. 

Or,  il  arrive  celte  circonstance  singulière  que  chacune  de  ces  séries  par- 
tielles peut  être  facilement  sommée,  je  veux  dire  que  sa  sommation  se  ramène 
à  un  nombre  fini  de  quadratures. 

Généralement'  on  n'aura  à  tenir  compte  que  d'un  petil  nombre  de  termes 
isolés  et  en  outre  d'un  petit  nombre  de  séries  partielles.  On  peut  dire  que  dans 
les  cas  les  plus  difficiles  traités  jusqu'ici  on  n'a  jamais  eu  à  considérer  qu'une 
seule  série  partielle  provenant  d'un  seul  sous-groupe  principal. 

C'est  là,  sous  une  forme  nouvelle,  la  méthode  de  I\L  Bohlin  (|ui  se  trouve 
ainsi  rattachée  à  la  méthode  qui  nous  a  donné  les  séries  (3)  et  par  elle  aux 
anciens  procédés. 

Si  l'on  se  borne  à  sommer  la  série  [larlielle  qui  correspond  au  sous-groupe 
principal,  et  que  l'on  a  seule  à  envisager  en  général,  on  retombe  sur  la  méthode 
de  Delaunay. 

Si  les  moyens  mouvements  sont  presque  commensurables,   il  peut  arriver 


576  SUR    LA    FAÇON    DE    GROUPER    LES   TERMES    DES   SÉRIES   TRIGONOMÉTRIQUES. 

que  les  si-ries  pnrliellos  divergeiil.  L'i'xpiessioii  ;ui;il\  liciuc  à  kujuelle  coaduil 
leur  suinuiatiou  n'en  conserve  pns  moins  un  sens.  C'esl  ainsi  que  l'expres- 
sion — -—  conserve   un  sens  alois   même  que,  a:  étant  plus  grand   que  i,   la 

série  I  +  .r  -\-  x- +  .  .  .  a  cessé  d'être  convergente. 

Lors  même  qu  une  série  partielle  diverge,  on  peut  encore  légitimement  la 
remplacer  par  cette  expression  iinahtlque.  C'est  ce  qui  peiniet  aux  méthodes 
de  Dolaunaj  et  de  Bohiin  d'être  applicables  à  des  cas  où  l'emploi  direct  des 
séries  (3)  deviendrait  illusoire  et  même  au  cas  de  la  libralion  où  la  forme  des 
orbites  est  si  dillerente  de  la  forme  ordinaire. 

C'est  ainsi  que,  malgré  ces  dillérences,  ce  cas  de  libration  peut  encore  se 
rattacher  à  la  métiiode  qui  nous  a  fourni  les  séries  (.1). 

11.  \  ojons  maintenant  comment  les  solutions  périodiques  et  asymptoliques 
peuvent  se  déduire  des  séries  (3).  Nous  avons  vu  que  nos  séries  sont  dévelop- 
pables  suivant  les  puissances  de  y'^icosn'i,  ^/iiisiuwi,  les  coefficients  du 
développement  dépendant  d'ailleurs  de  z-,  et  Ho. 

Si  nous  donnons  alors  à  la  constante  ^i  la  valeur  zéro,  nos  séries  ne  contien- 
dront plus  que  l'argument  iij  ;  elles  seront  périodiques.  On  retombe  ainsi 
sur  les  solutions  périodiques  de  la  première  sorte. 

12.  Cherchons  maintenant  à  obtenir  les  solutions  périodiques  de  la  deuxième 
sorte.  I*our  cela  reprenons  nos  séries  (3)  en  supposant  comme  au  n"  1) 

0  ,         I  "I        "ï 

/),=  /(,"  4- a «;' ,  —  =  — -  . 

Si  nous  donnons  au   rapport     ,',    une  valeur  comuiensuiable,   un  tics  iielils 
1  1  „i>  1 

diviseurs  Çi  n",  -{-  q-^n",  s'annulera,  de  sorte  que  certains  leimes  du  développe- 
ment pourraient  devenir  infinis. 

Supposons  7x!-,  =  n  et  remplaçons  la  constante  ro,  par  un  développement  pro- 
cédant suivant  les  puissances  de  [j. 

(\1)  CT]  ^  ra"  -I-  ;j.rB]  -+■  ;J.'-'m;  -t-  .  .  . 

et  dont  les  coefficients  sont  de  nouvelles  constantes  que  je  me  réserve  de 
dclerniiner  plus  loin. 

Considérons  un  terme  quelconque  des  séries  (3)  et  remplaçons-y  la  cons- 
tante Wi  par  son  développement  (12).  Ce  terme  deviendra  développable  sui- 
vant les  puissances  de  [j..  Développons  de  même  tous  les  termes  des  séries  (3) 


SUR    LA   FAÇON    DE   GROUPER    LES   TERMES   DES    SÉRIES   TRIGONOMÉTRIQUES.  O77 

et  ordonnons  de  nouveau  suivant  les  puissances  de  p.  Nous  obtiendrons  ainsi 
de  nouvelles  séries  que  j'appellerai  (3a). 
Soit 

[iP  »  siii ,  , 


(çi/j?  -+-  q-in\  )''       cos 


un  terme  de  ces  nouvelles  séries,  le  coefficient  A  ne  contenant  plus  le  petit 
diviseur  (/i«°  +  q-iTt",. 

Pour  plus  de  brièveté  dans  l'exposition,  introduisons  quelques  dénomi- 
nations nouvelles  et  d'abord  définissons  ce  que  nous  appellerons  V ordre  de  ce 
terme.  Pour  les  termes  du  développement  de  Xi  et  ar-..,  ce  sera  le  nombre 

2»  —  h,  SI      —  =  ^!-;  in  —  I  —  /(,  SI      —  f  ^*-  ■ 

Pour  les  termes  du  développement  de  yi  et  )•:.,  ce  sera  le  nombre 

in->       q2  m.1     qi 

Cette  classification  laisse  de  côté  les  termes  oiî  /i  :=  o,  qui  ne  contiennent 
pas  de  petits  diviseurs  et  dont  nous  n'avons  pas  à  nous  occuper. 

.l'appellerai  termes  principaux  de  chaque  ordre  les  termes  du  dévelop- 
pement de  x^  et  de  x.^  qui  sont  de  cet  ordre  et  qui  de  plus  sont  tels  que 

nu        qi 

Il  n'y  aura,  d'après  cette  définition,  de  termes  principaux  que  dans  les  ordres 
impairs. 

Les  termes  du  premier  et  du  second  ordre  ne  dépendent  que  de  xs\  ;  ceux  du 
troisième  et  du  quatrième  ordre  dépendent  de  ro°  et  m\  ;  ceux  du  cinquième  et 
du  sixième  ordre  de  ro",  nr)  et  ^^5\,  et  ainsi  de  suite. 

L'ensemble  des  termes  principaux  du  premier  ordre  dansa^i  se  présente  sous 
la  forme  d'un  certain  numérateur  divisé  par  q ^  n'\ -\- cj -^ ni .  Comme  pour  tous 

ces  termes  on  a 

/«i        qt  n\  «« 

/rto         qi  ii'l  n, 

il  vient 

«il  «1  -H  in-,ii2  =  o. 

Le  coefficient  de  t  disparaît  donc  dans  tous  ces  termes. 

Noire  numérateur  est  donc  une  constante  qui  dépend  de  cî°  ;  je  disposerai 

H.  P.  —  VII.  73 


D78  SUR    LA    FAÇON    DE    GROUPER    LES     I  ERMKS    DES    SÉRIES    TRIGONOMÉTRIQUES. 

de  BT,  de  façon  à  (iniiuler  ce  nuinérnteur,  ce  ([ui  détermine  ra','.  Ces  termes 
pi'iacipaiix,  que  nous  pouvions  craindre  de  voir  devenir  infinis,  disparaissent 
donc. 

Les  termes  principaux  du  premier  ordre  dans  x-,  disparaissent  ipso  fado, 
en  vertu  de  l'équation  des  forces  vives. 

.Mais  ce  n'est  pas  tout  :  tous  les  termes  du  premier  et  du  second  ordre  dis- 
paraissent ipso  facto  dans  les  quatre  développements . 

Considérons  maintenant  les  termes  principaux  du  troisième  ordre  dans  xt] 
hnir  ensemble  est  encore  égal  à  un  numérateur  divisé  par  qiii]  -\-  q.,n\.  Ce 
numérateur  se  réduit  à  une  constante  dépendant  de  rrr,  et  ro|  ;  nous  détermi- 
nerons T7i\  de  façon  à  le  faire  disparaître  el,  avec  lui,  les  ternies  principaux; 
considérés. 

Du  même  coup,  disparaîtront  les  termes  principaux  du  troisième  ordre 
dans  o-'j  et,  dans  les  quatre  développements,  tous  les  termes  du  troisième  et  du 
((ualriéme  ordre. 

On  déterminerait  de  même  w]  de  façon  à  annuler  les  termes  principaux  du 
cinquième  ordre  dans  Xi,  ce  qui  annule  du  même  coup  tous  les  termes  du 
cinquième  et  du  sixième  ordre;  el  ainsi  de  suite. 

Ainsi  disparaîtront  tous  les  termes  qui  auraient  pu  devenir  infinis;  d'ailleurs, 
le  rapport  des  moyens  mouvements  étant  commensurable,  nos  séries  ne 
dépendent  plus  que  d'un  argument  unique  et  les  solutions  sont  périodiques.  Il 
est  à  noter  que  les  séries  ainsi  obtenues  sont  convergentes,  tandis  ([ue  les 
séries  (3)  ne  l'étaient  pas,  au  sens  rigouieux  du  mol. 

13.  Soit  (^  la  constante  des  forces  vives;  la  valeur  de  C  dépendra  des  deux 
constantes  ^,  et  z-^  ou,  ce  qui  revient  au  même,  de  «i  et  «■>.  Elle  se  présentera 
sous  la  forme  d'une  si'rie  ordonnée  suivant  les  puissances  de  p.  et  dont  les 
termes  seront  des  fonctions  de  Zt  el  ;.j  ou  de  «i  et  n... 

Dans  certains  cas,  on  peut  considérer  i\  comuie  une  des  données  de  la  ques- 
tion. Alors  la  relation  F  =  C,  où  le  second  membre  C  est  regardé  comme 
donné,  sera  une  relation  entre  Zi  et  So,  ou  entre  ni  et  n<. 

On  pourra  en  tirer  par  exemple  n-,  en  fonction  de  ii \  sous  la  forme  d'une 
série  procédant  suivant  les  puissances  de  [j.  el  dont  les  coefficients  seront  des 
fonctions  de  «,. 

1  i.    -Nous  venons  de  voir  la  manière  de  rt'lrouver  les  solutions  périodiques  en 


SUR    LA   FAÇON    DE   GROUPER    LES   TERMES    DES   SÉRIES   TRIGONOMÉTRIQUES.  J79 

partant  îles  séries  (3);  on  pourrait  se  proposer  de  retrouver  de  la  même 
façon  les  solutions  asymplotiques. 

Nous  savons  en  effet  qu'en  dehors  des  développements  (3)  qui  procèdent 
suivant  les  sinus  et  les  cosinus  des  multiples  de  deux  arguments  tv,  nous  pou- 
vons représenter  les  coordonnées  du  corps  troublé  par  des  développements 
d'une  forme  toute  différente. 

A  chaque  solution  périodique  correspond  un  de  ces  développements. 

Soient,  en  effet, 

Xi=  9,""(NV),         cu<yi=  ■^rVW),  =in,>-,=  0,''-"(W) 

les  équations  d'une  solution  périodique,  où  9,"",  '\i°°,  0°"  sont  des  fonctions 
périodiques  de  période  271  d'un  argument  unique 

No  et  /(  sont  deux  constantes;  la  première  doit  être  regardée  comme  donnée,  la 
seconde  est  une  constante  arbitraire  d'intégration. 

Nous  appellerons  Co  la  valeur  correspondante  de  la  constante  C  des  forces 
vives. 

Nous  pouvons  alors  représenter  la  solution  générale  sous  la  forme  de  déve- 
loppements 

;  Xi=  ^(.-Ve»'j''(-^'«^'")''Tr''(W), 

(i3)  )  C0S7/=  i:(Ae«')''(A.'e-a')'''H''''(W), 

(   sinri=  :î:{  ke^'  )/'i  y  e-^'ynt'/'/  (W), 

OÙ  les  fonctions  of'',  <]>f''' -,  'Jf  ''  sont  des  fonctions  périodiques  de 

\V  =  N/-I-  h. 

Dans  ces  développements  A,  A'  et  A  sont  des  constantes  d'intégration,  a  et  N 
sont  des  constantes  données  qui  peuvent  se  développer  suivant  les  puissances 
du  produit  AA'  et  de  la  différence  G  —  C„. 

Si  l'on  développe  les  cpf  '',  ij/f,  Of  en  séries  de  Fourier,  les  coefficients  de 
ces  séries  seiont  également  développables  suivant  les  puissances  de  C  —  G,,. 

Si  l'on  fait  G  =  Go  et  qu'on  annule  l'une  des  constantes  A  on  A',  N  se  réduit 
à  la  constante  Nq  définie  plus  haut  et  «  à  une  constante  a,,. 

Il  ne  reste  dans  les  séries  (i3)  que  les  termes  où  y>  =  o  (ou  les  termes 
où  cj  =  o).  On  obtient  ainsi  lus  solutions  dites  nsvinptotiijues  :  les  séries  sont 
alors  convergentes. 


58o  SUR    LA    FAÇON    DE   GROUPER    LES   TERMES    DES    SERIES    TRICONOMÉTRIQUES. 

Si  les  deux  constantes  A  et  A'  s'annulent  à  la  l'ois,  11  reste  seulement 

^,=  ç»»(\V) 

el  l'on  retombe  sur  la  solution  périodique. 

15.  On  peut  alors  se  proposer  de  voir  comment  on  pourrait  passer  des  déve- 
loppements (3)  aux  développements  (  i3). 

On  remarquera  d'abord  que  ces  séries  (  1 3)  sont  ordonnées  suivant  les  puis- 
sances des  deux  constantes  A  et  A'.  On  pourrait  donc  être  tenté  d'opérer  de  la 
manière  suivante  :  introduire  les  deux  constantes  d'intégration  A  cl  A';  déve- 
lopper chaque  terme  des  séries  (3)  suivant  les  puissances  de  A  et  A';  réunir  les 
termes  semblables  et  ordonner  suivant  les  puissances  de  ces  constantes. 

On  ne  peut  pas  arriver  au  résultat  par  cette  voie.  On  renconirerait  des  diffi- 
cultés analogues  à  celle  qui  se  présenterait  dans  l'exemple  simple  suivant. 


Envisageons  la  série 


xe~''  sin  'J.I 
1,, ae-"*  SU]  nït  ^= 


2  e~°'-  cos  'j.t  -\-  e~-" 


La  somme  de  la  série  est  développable  suivant  les  puissances  de  y.  et  de  /. 
11  en  est  de  même  de  chacun  des  termes  de  la  série. 

Cependant  si  l'on  développe  chaque  terme  de  la  série,  qu'on  réunisse  les 
termes  semblables,  puis  qu'on  ordonne  suivant  les  puissances  de  a.  et  de  t,  on 
n'obtiendra  pas  du  tout  le  même  développement  qu'en  développant  directement 
la  somme  de  la  série. 

16.  Pour  bien  faire  comprendre  la  façon  de  passer  d'un  développement  à 
l'autre,  je  prendrai  d'abord  un  exemple  simple;  je  supposerai 

V  =  X,  -h  ,/f  -+-  [x  cos  )i . 
On  voit  tout  de  suite  que  Xj  doit  être  une  constante  puisque  -r—  est  nul.  On 
a  donc 

.1;  =  G  —  jX  COSJ'i 

et  l'on  en  lire 

J  ?YG  —  iJL  cosj'] 

On  voit  ainsi  que  x,,  cosyt  et  sinj'i  sont  des  fonctions  doublement  pério- 
diques de  l  +  h.  L'une  des  périodes  que  j'appellerai  '.)  est  réelle,  l'autre  que 
j  appellerai  I'jj'  est  purement  imaginaire. 


SUR    LA    FAÇON    DE    GROUPER    LES    TERMES    DES   SÉRIES    TRIGONOMETRIQUES.  5Sl 

La  l'onction  Xi,  par  exemple,  élanl  périodique  de  période  o)  sera  dévelop- 
pable  par  la  formule  de  Fourier  suivant  les  sinus  et  cosinus  des  multiples 

de  ^^^-  Le  développement  sera  valable  pour  toutes  les  valeurs  réelles  de  t. 

D'autre  part,  cette  fonction  x,  admettant  la  période  iw'  sera  développable 
par  celle  même  formule  de  Fourier  suivant  les  sinus  et  cosinus  des  multiples 

de  -Ar  ou,  ce   qui   revient   au    même,    suivant   les   puissances   des   exponen- 

tielles  e  "''  et  e  "' .  Ce  développement  nouveau  ne  sera  plus  valable  pour  toutes 
les  valeurs  réelles  de  t,  mais  seulement  pour  les  valeurs  comprises  entre  t„ 
et  ^ij+o);  entre  les  valeurs  <„+w  et  io+ao),  ou  entre  les  valeurs  t,i-\-2M 
et  ^1  4-  3  'i).  ....  il  faudrait  le  remplacer  par  d'autres  développements  de  même 
forme. 

Et  bien,  le  premier  de  ces  dèveloppemenis  correspond  aux  séries  (.'!)  et  le 
second  aux  séries  (  i.)). 

La  théorie  des  fonctions  doublement  périodiques  nous  enseigne  plusieurs 
moyens  de  passer  de  l'un  a  l'autrr. 

La  méthode  de  Delaunay  conduit  à  des  équations  analogues  à  celU-  que  nous 
venons  de  traiter,  quand  on  ne  conserve  dans  la  fonction  perturbatrice  qu'un 
seul  terme  périodique. 

17.  Dans  le  cas  général,  on  peut  donner  des  quatre  variables  x,  et  y,  des 
développements  d'où  l'on  peut  tirer  facilcmrnt  d'une  parties  séries  (ii),  d'autre 
part  les  séries  (  i.'5). 

Les  quantités  Xi,  x.,,  cosj'i,  sinj-,,  cos)  ;.,  siu  i  ■_>  seront  développées  suivant 
les  puissances  de  /j.,  du  produit  AA'  et  de  la  différence  C  — C„  qui  joueront  le 
rôle  de  constantes  d'intégration.  Chaque  coefficient  de  ce  développement  sera 
lui-même  développé  en  série  dont  les  dill'érents  termes  seront  le  produit  de 
deux  facteurs. 

Le  premier  de  ces  facteurs  sera  le  cosinus  ou  le  sinus  d'un  multiple  d'un 
certain  argument  \V. 

Le  second  facteur  sera  une  fonction  doublement  périodique  d'un  second 
argument  W. 

Les  deux  arguments  W  et  W  seront  des  fonctions  linéaires  du  temps. 

On  aura 

W  =  N/-MI,        W'=N'<-t-Il'. 


ÔS-.>  SUR    LA   FAÇON    D?.   GROUPER    LES    TERMES    DES   SÉRIES   TRICONOMETRIQUES. 

Il  l'i  11'  st'ronl  des  coivstanlcs  d'iiilégniiion.  Nous  pourrons  donner  à  i\'  une 
valeur  arbitraire. 

J'appellerai  w  el  j'ii'ies  périodes  de  la  fonclion  périodique  considérée  comme 

fonction  de  W;  de  sorte  que  ses  périodes  seront^  et -^  quand  on  la  regardera 

comme  fonction  de  t.  Ces  périodes  seront  d'ailleurs  les  mêmes  pour  tous  les 
termes. 

Les  quantités  \,  ^,  ^  seront  dcveloppables  suivant  les  puissances 
de.uL,  AA',  C  — C„. 

De  ce  développement,  on  pourra  facilement  passer  aux  séries  (3).  Il  suffira 
pour  cela  de  développer  chaque  fonction  doublement  périodique   suivant  les 

cosinus  et  sinus  des  multiples  de  — ^ On  aura  alors  des  séries  procédant 

2  -  W 
suivant  les  cosinus  el  sinus  des  multiples  des  deux  arguments  ^\  et j  ou, 

ce  qui  revient  au  même,  des  multiples  des  deux  arguments 

ii-j  =  «1  i -+- roi.  (Il  =  «2^ -I- ro.>. 

si  l'on  suppose 

W  =  /'i  ll'i  -I-  ri  H'.,,  W  =  rj,  1V|  -+-  q-_  ii'j, 

(/i,  q.,.  i\,  r-,  étant  les  quain"  entiers  définis  au  n"  10.  Ou  a  alors 

.\  =  /'i  n,  -f-  riii-i,  11  =  /'iro,  +  /-«ro-i, 

N'=  i^i  «, -)- (y,^,,  n'=  <7irai  H- ^2'32. 

Ou  retrouve  ainsi  les  séries  (3)  en  regardant  AA'  et  G  —  G,,  comme  des 
fonctions  des  constantes  c,  et  z.^. 

De  ce  même  développement,  on  peut  passer  tout  aussi  facilement  aux 
séries  {\'.\).   Dévi'lo|)|ions,  en   effet,  chaque  fonction  doublement  périodique 

■)  —  W 
suivant  le-,  sinus  et  cosinus  des   iiiultlples  de  "" ?  ,     ou   suivant  les  puissances 

des  exponentielles  e     '"'  . 

On  retrouvera  les  séries  (  i.i)  en  posant 

-j:  =  ^^,  a  =  v''.\.\'e  '"'   ,         ..\'=  v/AA'e       "■. 

0) 

On  me  pardonnera  la  longueur  de  cet  exposé.  Bien  qu'il  ne  nous  apprenne 
rien  d'essentiellement  nouveau,  j'ai  pensé  qu'il  ne  serait  pas  inutile  de  montrer 
comment  se  rattachent  les  unes  aux  autres  les  diverses  séries  auxquelles  nous 
conduisent  d'une  façon  qui  paraît  d'abord  tout  à  fait  indépendante  les  diffé- 
rentes théories  proposées. 


SUR  LA  MÉTHODE  HORISTIQUE 
DE  GYLDÉN 


Comptes  reririus  dp  C  Acnâèrnip  des  Sciences,  t.   138,  p.  nSS-gôS  (rS  avril  190  i 


Dans  un  Ouvrage  iniitulé  Nouvelles  recherches  sur  les  si'-ries  employées 
dans  les  théories  des  planètes  (Stockholm.  im|irinieric  contralo,  1892), 
Gjldéu  a  exposé  deux  mélhodcs  qu'il  appelle  horisticjues ;  la  première  do  ces 
méthodes  soulève  d'assez  graves  objections:  M.  Backlund  et  moi,  nous  avons 
montré  qu'elle  conduisait,  dans  certains  cas,  à  des  résultats  inadmissibles  et 
qu'on  ne  devait  l'employerqu'avec  circonspection  (Cf.  C .  R.  Acad.  Se,  t.  132, 
p. ôo  et  291;  Bull,  astr.,  t.  I!),  p.  4)>)(')-  J'ai  pensé,  en  conséquence,  qu'il  y 
avait  lieu  d'examiner  de  plus  près  la  seconde  de  ces  méthodes  et  de  la  sou- 
mettre à  la  discussion.  Rappelons  d'abord  en  quelques  mots  en  quoi  elle 
consiste. 

Gjldén  considère  (loc.  cit.,  p.  22-  etsuiv.)  l'équation  suivante  : 

Le  coefficient  de  :;que  Gyldén  appelle  Z  est  une  constante,  du  moins  dans  la 
partie  de  l'Ouvrage  que  je  cite  (p.  227  à  2?)/{);  je  jiuis  donc  prendre  les  unités 
de  façon  à  le  réduire  à  i . 

Nous  avons 

X=— 2A„cosG„,         G„=  2X„i^ -I- B„; 

les  An,  B„,  /„  ont  des  valeurs  ronslantes  données  et  2}.,,  est  voisin  de  1 . 


(  '  )  Le   prcniiei'   de    ces    ;irtii-lL's   lii:ure    au  'l'tune   NUI   des  ('//\ui'rrs.  les   deux  autres  sont  de 
Backlund. 


à84  SUR   LA   MÉTHODE   HORISTIQUE   DE  GYLDÉN 

Gjldén  pose 


I 


'J;  et  )•  étant  délinis  par  les  équations 

(2)  ^_2^2^  =  (I_^),=  _^3-^ 


(3) 


^'       . >^,,_/..,.  ,,AV_.        'l   _   '^^  ^0- 


dv'- 


(I  —  l'')l'  =  ^i-l-'i)\H — -  -^ I  -  \ 


Nous  appelons  v'-  une  eonstanle  choisie  de  telle  sorte  que  ^\  soit  une  série 
Irigonoiuétrique;  et  nous  devons  intégrer  (2)  et  (3)  en  faisant  d'abord  '^=^0 
dans  les  seconds  membres,  puis  à  la  deuxième  approximation,  en  remplaçant, 
dans  ces  seconds  membres,  i|  par  la  valeur  trouvée  en  première  approximation, 
et  ainsi  de  suite. 

On  trouve  ainsi  : 
(4)  y=Sa;„cosG„,         ,r„  =  -— "        „, 

4  '*  n         I  -I-  t'  - 

et  ensuite 


(5)      .'-=fv-"'  ^=i:4(xit:^i....-(^--^^^ 


La  seconde  équation  (4)  et  la  première  équation  (5)  permettent  de  calculer 
les  X  et  v'-  et  donnent  pour  ces  quantités  des  valeurs  limitées. 

Il  est  évident  qu'on  n'a  le  droit  d'opérer  ainsi  qu'à  la  condition  que  les 

termes  négligés  dans  les  seconds  membres  de  (2)  et  (  j)  soient  plus  petits  que 

ceux  dont  on  tient  compte.  Or,  nous  avons,  dans  le  second  membre  de  (2),  un 

terme  pour  lequel  il  peut  y  avoir  doule  et  qu'il  convient  de  discuter;  c'est  le 

dh  dy 
terme  2-7-  -7-;  on  trouve 
dv  dv' 

Nous  ne  retiendrons  que  les  termes  critiques,  c'est-à-dire  ceux  o\x  le  coeffi- 
cient de  i'  est  voisin  de  i .  11  suffit  pour  cela  de  prendre 

(1,+ Gy — G„  ou  G; — Gy-+-G/i. 

Soient  a  une  quantité  de  l'ordre  de  A„,  etcr  une  quantité  de  l'ordre  de  2^„ —  i . 
Deux  cas  sont  à  distinguer  :  ou  bien  c'  est  grand  par  rapport  à  ^01.-,  et  alors  x 

est  de  l'ordre  -  et  v-  de  celui  de  -^^  >  et  le  terme  général  de  (6)  est,  au  plus,  de 
l'ordre  de 


SUR    LA    MÉTHODE    HORISTIQUE    DE    GYLDÉN.  585 

généralement  petit  par  rapport  à  x  ot  même,  dans  certains  cas,  par  rapport 
à  a;  dans  ces  cas,  la  méthode  horistique  est  applicable,  mais  alors  elle  est  inu- 
tile, puisque  le  terme  dit  horistique  v-  est  très  petit  par  rapport  à  ^'K\  —  i . 
Ou  bien  a^  est  petit  par  rapport  à  (3(z^,  ou  est  du  même  ordre;  alors  x  est  de 

l'ordredet /s;  le  terme  général  de  (6)  est  alors  (si  l'on  prend  >,H-^/,G,+ G,— G„) 

de  l'ordre  de  ^x''  =  a. 

11  est  donc  de  même  ordre  que  X,  c'est-à-dire  que  les  termes  dont  on  lient 
compte. 

Si  nous  supposons  que  X  se  réduit  à  un  seul  terme  — AcosG,  et  que  nous 
supposions  fj  négligeabli'  devant  c^  ;  il  vient 

i'  =  :j;cosG,         -r:  =  T, — ;>  v"-=-x-, 

•il  =  ^^  cos  2  G,  -T-  =  —  c  sin  G,  — i-  =  —  : sin  2  G, 

i  '  dv  dv  1 

1-r-  -^  =  Sa;-'  sin  2  G  sin  G  =  A  (cos  3  G  —  cos  G). 
dv   dv 

Il  n'y  a  pas  à  retenir  le  terme  en  cosoG  qui  n'est  pas  critique;  mais  le 
terme  —  A  cos  G  est  critique  et  l'on  n'a  pas  le  droit  de  le  négliger,  puisqu'il  est 
juste  égal  au  terme  conservé  X. 

Dans  le  cas  où  X  se  réduit  à  un  seul  terme,  la  méthode  horistique  convena- 
blement modifiée  est  légitime,  Jion  pas  pour  la  recherche  de  la  solution 
générale  de  l'équation  (  i),  mais  pour  celle  d'une  solution  particulière  qui  est 
celle  que  j'appelle  solution  périodique.  Cette  méthode  correctement  appli- 
quée donne 


==+i/y^'^°^^' 


38' 


tandis  que  la  formule  de  Gjldén  donne 


7  =  ^/^  cos  G. 


L'erreur  de  Gyldén  est  d'autant  plus  singulière  qu'il  a  lui-même  traité  le  cas 
où  X  se  réduit  à  un  seul  terme,  par  des  formules  qui  deviennent  exactes  quand 
on  veut  se  borner  à  la  solution  périodique. 

Ce  n'est  pas  méconnaître  les  services  éminents  que  Gjldén  a  rendus  à  la 
Science,  que  de  signaler  les  erreurs  qu'il  a  pu  commettre  et  qui  pourraient 
H.  P.  —  VII.  74 


"iSO  SUR  LA  MÉTHODE  HORISTIQUE  DE  GYLDÉN. 

iromper  ses  successeurs;  je  crois  que  c'est,  au  contraire,  rendre  service  à  sa 
mémoire;  aussi  ne  craias-je  pas  de  formuler  nellemenl  ma  conclusion. 

Ceux  qui  \oudront  appliquer  la  uiélhode  horislique  risquent  d'arriver  à  des 
résultats  fantastiques;  il  y  a  des  cn>?  où  elle  peut  être  inoflTen.sive;  il  n'y  en  a 
pas  oii  elle  peut  être  utile. 

On  voit,  a  fortiori,  combien  est  vaine  l'illusion  des  personnes  qui  esjièrent 
tirer  de  la  méthode  horislique  des  développements  uniformément  convergents 
au  sens  géométrique  du  mol. 

Quant  à  la  conclusion  finale  de  l'Ouvrage,  à  savoir  que  les  termes  d'ordre 
rdevé  de  la  fonction  perturbatrice  ne  peuvent  jamais  produire  de  libralion,  elle 
est  manifestement  fausse. 


SUR  LA  MÉTHODE  HORISTIQUE 
DE  GYLDÉN 


Acla  Afathematica,  t.  29,  p.  235-2-1  f  i3  mars  iQoâ). 


Introduction. 


Gild('<n  a  rendu  de  très  grands  services  à  la  Science;  il  a  créé  un  certain 
nombre  de  méthodes  nouvelles  qui  ont  pu  être  appliquées  avec  succès  et  dans 
certains  cas  substituées  avec  avantage  aux  anciens  procédés.  La  plupart  des 
méthodes  qu'il  a  proposées  dans  ses  premiers  écrits  étaient  correctes;  Harzer 
et  Ih-endel  en  ont  tiré  une  théorie  des  petites  planètes.  Ces  méthodes,  à  la 
vérité,  n'étaient  pas  sans  inconvénient,  elles  donnaient  lieu  à  une  foule  de  com- 
plications inutiles  ;  au  lieu  do  prendre  le  temps  pour  variable  indépendante, 
elles  prennent  la  longilude  vraie,  ou  des  variables  auxiliaires  peu  diflérenles 
de  celte  longitude,  elles  introduisent  une  foule  de  variables  parasites  et  encom- 
brantes. Il  en  résulte  que  les  équations  perdent  leur  forme  canonique,  et  que, 
si  l'on  veut  simplement  écrire  |)ar  exemple  l'équation  des  forces  vives,  il  faut  se 
livrer  à  des  calculs  interminables.  J'estime  donc  que  ces  méthodes,  quelque 
intéressantes  qu'elles  aient  été  autrefois,  n'ont  plus  aujourd'hui  qu'un  intérêt 
historique,  et  qu'on  ne  saurait  plus  en  recommander  l'emploi,  parce  que  main- 
tenant il  }■  en  a  d'autres,  comme  par  exemple  celles  de  Hill  et  de  Brown  qui 
ont  les  mêmes  avantages  sans  avoir  les  mêmes  inconvénients. 

Plus  lard  Gjldén  est  entré  dans  une  vole  nouvelle  et  a  abouti  à  des  résultats 
qu'il  a  rassemblés  dans  son  Ouvrage  Nouvelles  recherches  sur  les  séries 
employées  dans  les  théories  des  planètes,  Stockholm,  1892.  Moins  heureux 
que  dans  ses  premiers  travaux,  il  s'est  cette  fois  complètement  trompé. 


588  SUR    LA    MÉTHODE    HORISTIQUE    DE    CYLDÉN. 

GonsidôroQS  une  éi[ualion  tlilîérenlielle  quelconque,  taisons  passer  certains 
termes  dans  le  premier  membre,  d'autres  dans  le  deuxième.  En  première  approxi- 
mation, nous  rem|)lacerons  dans  le  deuxième  membre  les  fonctions  inconnues 
par  zéro  et  nous  intégrerons  les  équations  ainsi  obtenues;  en  deuxième  approxi- 
mation nous  remplacerons  dans  le  deuxième  membre  les  fonctions  inconnues 
parleurs  valeurs  de  première  approximation,  et  ainsi  de  suite.  Tel  est  le  principe 
fondamental  des  nouvelles  méthodes  d'approximation  de  Gjldéu,  comme  des 
anciennes,  et  nous  le  retrouverons  partout. 

Ce  principe  est  légitime,  mais  à  une  condition,  c'est  que  les  termes  relégués 
dans  le  deuxième  membre  et  négligés  en  première  approximation  soient  nota- 
blement plus  petits  ou  moins  importants  que  les  termes  conservés  dans  le 
premier  membre.  Sans  cela,  il  est  clair  que  le  développement  ne  sera  pas 
convergent.  Nous  aurons  donc  à  examiner  si  l'analyse  de  Gjldén  satisfait  à 
cette  condition. 

On  sait  que  dans  les  méthodes  ordinaires  de  la  Mécanique  céleste,  on  voit 
s'introduire  ce  qu'on  appelle  de  petits  diviseurs,  de  sorte  (jue  le  coefficient  de 

certains  termes  prend  la  forme  -^,^  p  étant  très  petit,  et  deviennent  infinis  quand 

p  s'annule.  Gjldén  s'eflbrce  de   prou\er  qu'un  calcul  plus  exact  doit  donner 

'- —  ,  V  étant  une  quautilé  qui  ne  s'annule  pas,  de  sorte  que  le  coefficient  ne 

devient  pas  infini  et  reste  même  très  petit.  C'est  ce  qu'il  appelle  la  méthode 
horistique,  ainsi  nommée  d'un  mot  grec  d'où  vient  également  horizon. 
Il  cherche  à  tirer  de  là  diverses  conséquences  : 

i"  Que  les  séries  obtenues  en  Mécanique  céleste  sont  convergentes  si  l'on 
tient  compte  des  termes  horistiques. 

2"  Que  les  termes  d'ordre  élevé  de  la  fonction  pertnibatrice  ne  sauraient 
donner  lieu  au  phénomène  connu  sous  le  nom  de  libration. 

Ces  conséquences  sont  manifestement  fausses;  mais  j'ai  cru  longtemps  que 
l'erreur  provenait  simplement  de  ce  que  Gjldén  ne  se  doutait  pas  de  ce  que  les 
géomètres  appellent  une  série  convergente  et  des  précautions  minutieuses  qu'il 
faut  prendre  dans  une  déniousiration  de  convergence. 

Je  croyais  que,  si  Gjldén  est  protégé  contre  la  critique  par  son  obscurité 
même,  cette  obscurité  empêcherait  également  qu'on  cliorcliàt  à  appliquer  ses 
méthodes  qui  deviendraient  ainsi  inolTensives  et  tombeinient  dans  l'oubli 
après  sa  mort. 


SUR  LA  MÉTHODE  HORISTIQUE  DE  GYLDÉN.  àSg 

Je  me  trompais  :  d'abord  ses  erreurs  commencent,  comme  nous  le  verrons 
bientôt,  dès  le  début  de  sou  analyse;  on  ne  peut  donc  le  prendre  pour  guide, 
non  seulement  pour  démontrer  la  convergence  des  développements,  mais  même 
pour  eu  calculer  approximativement  les  premiers  termes.  De  plus,  certaines 
personnes  ont  voulu  appliquer  ces  méthodes  à  des  problèmes  pratiques,  et  elles 
ont  été  naturellement  conduites  à  l'erreur.  D'autres  entrepris  les  affirmations 
de  Gjldén  sur  la  convergence  des  séries  et  les  ont  présentées  comme  des  vérités 
établies. 

Il  devenait  donc  nécessaire  d'analyser  dans  ses  détails  l'Ouvrage  cité  Nou- 
velles recherches...  et  d'en  discuter  les  conclusions.  C'est  là  l'objet  du  présent 
travail,  nous  suivrons  pas  à  ipas  l'Ouvrage  de  Gyldén  et  nous  en  examinerons 
successivement  chaque  Chapitre. 

J'aurais  voulu  conserver  les  notations  de  Gyldén;  mais  elles  sont  tellement 
compliquées  et  tellement  changeantes  que  je  n'en  ai  pas  eu  le  courage.  Je  donne 
cependant  des  indications  suffisantes  pour  que  l'on  puisse  passer  facilement 
d'une  notation  à  l'autre. 

Dans  les  citations,  quand  je  renvoie  à  une  page  ou  à  un  paragraphe  désigné 
par  le  signe  §  ou  n"  suivi  d'un  numéro,  il  faut  entendre  la  page  ou  le  paragraphe 
de  l'Ouvrage  de  Gyldén,  Nouvelles  recherches...  Quand  je  renvoie  à  un  para- 
graphe en  écrivant  le  mot  paragraphe  en  toutes  lettres,  il  s'agit  d'un  paragraphe 
du  présent  travail.  Enfin  quand  je  renvoie  à  mon  Ouvrage,  Les  Méthodes  pou- 
belles de  la  Mécanùfue  céleste.,  Paris,  Gauthier-Viilars,  j'écris  simplement 
Méthodes  nouvelles. 

II.  —  Analyse  du  Chapitre  premier. 

Le  Chapitre  premier  est  consacré  à  l'équation 

(  I  )  -^  -H  (  ,  _  a)  p  —  [îp'  =  -  Y  cos  V. 

Gyldén  applique  à  cette  équatiou  quatre  méthodes  différentes  dont  une  fondée 
sur  l'emploi  des  coefficients  indéterminés  et  trois  sur  l'emploi  des  fonctions 
elliptiques. 

Mais  avant  d'aller  plus  loin,  disons  quels  sont  les  résultats  qui  sont  démontrés 
au  sujet  de  cette  équation  et  que  Gyldén  aurait  dû  retrouver.  Si  l'on  applique  à 
ré({uation(  i  )  la  méthode  de  la  variation  des  constantes  arbitraires  de  Lagrange 


D90  SUR    LA    MÉTHODE    HORISTIQUE    DE   GYLDÊN. 

en  regardant  p  el  y  comme  des  quanliti^s  très  petites,  on  obtient  une  série  pro- 
cédant suivant  les  sinus  et  les  cosinus  des  multiples  de  deux  arguments 


1'  V  1  —  '■'■-*-  const. 


oi  suivant  les  puissances  de  r;  cette  série  où  v  ligure  eu  dehors  des  signes 
Irigonométriques  est  convergente  pourvu  que  c  soit  suffisamment  petit.  Je 
l'appellerai  la  série  S. 

Le  ternie  général  de  la  série  S  est  donc  de  la  forme  Ar"'  cos{pv  +  qw-\-h). 
Si  nous  réunissons  tous  les  termes  de  la  série  S  qui  contiennent  en  facteur  une 
des  lignes  trigonométii(jues  d'un  même  arc/)i'  +  ^ir,  ou  peut  en  faire  la  somme, 
el  celle  somme  a  pour  valeur  Acos  (/'c -|- y/'+ A),  oùy  est  un  nouvel  argument 
de  la  forme 

3-  étant  une  nouvelle  constante  donnée  et  £  une  constante  arbitraire  d'intégra- 
tion. En  groupant  les  termes  de  cette  manière,  on  obtient  une  nouvelle  série  S) 
procédant  suivant  les  sinus  el  les  cosinus  des  multiples  des  deux  arguments  c 
et  f,  et  ne  conlenaui  pas  p  en  dehors  des  signes  Irigonométriques.  Cette  nouvelle 
série  Si  est  divergente,  au  sens  que  les  mathématiciens  attachent  à  ce  mot; 
elle  peut  néanmoins  être  employée  dans  un  butpratique  pourvu  quece  soilavec 
circonspection.  Elle  peut  donner  une  valeur  approchée  de  la  fonction  inconnue, 
si  l'on  s'arrête  à  un  certain  terme. 

Cette  série  S|  dépend  de  deux  constantes  arliitraires  ;  la  première  est  £,  et 
figure  dans/:  la  deuxième  peut  être  choisie  de  bien  des  manières  ;  à  l'exemple 
de  Gyldén  nous  prendrons  le  coefficient  du  terme  en  cos  /'  et  nous  l'appelle- 
rons ■/..  Si  l'on  fait  x=;o,  tous  les  termes  dépendant  de  /'  disparaissent;  la 
série  Si  ne  contient  plus  que  l'argument  c,  elle  ne  dépend  plus  de  la  constante  £  ; 
grâce  à  cette  réduction,  la  série  S,  devient  convergente.  C'est  la  solution 
périodique. 

Supposons  que  la  constante  z  ne  soit  pas  nulle,  mais  tiés  petite  el  négligeons 
les  termes  en  x^,  nous  trouvons  ainsi 

f.  =  H  -+-  -/.Il  1  siii /'  +-  /.  II.;  siii /', 

où  H  indépendant  de  x  représente  la  solution  périodique  que  nous  venons  de 
fléfinir  et  où  H,  Hi,  Ho  sont  développables  suivant  les  sinus  el  cosinus  des  mul- 
tiples de  l'argument  unique  v.  Cette  série  représente  les  solutions  très  voisines 
de  la  solution  périodique  (cf.  Méthodes  nouvelles,  Chap.  IV)  ;  elle  est  conver- 
gente ;  je  l'appellerai  Sj. 


SUR    LA    MÉTHODE    HORISTIQUE    DE   GYLDÉN.  J9I 

Dans  les  diti'Hieiils  leriues  de  S  el  de  Si  ligiirent  ce  que  l'im  appelle  de  petits 
diviseurs  iairoduils  par  l'intégration.  Parmi  eux  nuus  distinguerons  le  petit 
diviseur  y.  qui  s'introduit  dans  la  sorie  S  quand  on  intégre  un  terme  en 
w  +  «(iv  —  i')et  qu'on  retrouve  dans  la  série  Si  déduite  de  S.  Parmi  les  termes 
de  S(,  conservons  seulement  ceux  qui  contiennent  a  au  dénominateur  à  la 
même  puissance  que  ,5  ou  ■;  au  numérateur.  L'ensemble  de  ces  ternies  formera 
une  nouvelle  série  S;,;  cette  série  sera  con.'.'ev^ente.  C'est  celle  à  laquelle  con- 
duit la  m'uhode  de  Delaunay.  Comment  se  fait-il  cjue  la  série  S;,  étant  conver- 
gente, la  série  Si  soit  néanmoins  divergente;  c'est  à  cause  delà  |)résence  des 
petits  diviseurs  autres  (jue  a  ;  mais  comme  ces  petits  diviseurs  ne  se  rencontrent 
que  dans  des  termes  d'ordre  élevé,  la  série  convergente  S ,  nous  donnera  une 
valeur  approchée  de  la  fonction  inconnue  pourvu  qu'on  ne  veuille  pas  l'appli- 
quer pendant  un  intervalle  de  temps  trop  long;  c'est  là  ce  qui  fait  la  légitimité 
de  la  méthode  de  Delaiinav. 

Tels  sont  les  résultats  qui  sont  vrais  de  l'équation  (  i  )  comme  des  équations 
générales  du  problème  des  trois  corps  et  des  équations  analogues. 

Voyons  maintenant  ce  qu'a  fait  Gjldén;  il  cherche  à  satisfaire  à  l'équation 

en  posant 

p  =  /.  cos  /  -f-  zi  cos  !■  -+-  H 

et  de  façon  que  U  soit  petit  par  rapport  aux  deux  autres  termes.  11  désigne 
par  -(R-)  la  partie  constante  de  K-,  d'où  il  résulte  que  (K^)  est  petit  et  positif 
et  il  arrive  aux  é(|uati()ns  suivantes  [éi|uations  (4  I  de  la  page  io|  : 

(■>.)  {  \  - 

'33 

—  a-i-  -jix;—  ;-  ;5[z^-l-zï-l-(H-j]  =—    •    ■ 
4  2  /-i 

Remarquons  pour  comparer  ces  équations  à  celles  de  Gyldén,  que  c,  j3,  o'  et  i 
représentent  ici  les  3,,  (3:,,  i  —  Ç  et  i  —  cr  de  Gjldén. 

Ces  équations  sont-elles  exactes:  il  suffit  pour  le  voir  de  les  comparer  à  la 
série  convergente  Sj  définie  plus  haut  et  que  nous  savons  former. 

Soit  d'abord  x  =;  o  :  dans  ce  cas  la  série  Si  ou  Sj  se  réduit  à  celle  qui  définit 
la  solution  périodique:  le  terme  le  plus  gros  est  le  terme 

p  =  /.,  COSl'. 

Alors  les  conclusions  de  Gyldén  sont  exactes  et  l'on  trouve  bien 

(3)  -f!/.;-!-»/.!— Y  =  o, 


ôgî.  SUR    LA    MÉTHODE    HORISTIQUE   DE   CYLDÉN. 

ce  qui  est  conforme  à  l'équation  (2),  puisque  x  est  uul  el  R  1res  petit.  Cette 
équation  (3)  limite  bien  la  valeur  de  xi  comme  tiyldén  l'a  remarqué,  et  c'est 
celte  remarque  qui  a  été  l'origine  de  tout  son  travail,  où  il  a  vainement  cherché 
à  la  généraliser.  On  voit  l'inlluence  du  terme  en  [3p'',  el  une  comparaison  phy- 
sique la  fera  mieux  comprendre.  Si  ce  terme  n'existait  pas,  l'équation  (i  )  défi- 
nirait le  mouvement  d'un  pendule  rigoureusement  isochrone  qui  oscillerait  sous 
l'influence  d'une  force  périodique  y  cosc.  Si  cette  force  se  trouve  en  résonance 
avec  la  période  propre  du  pendule,  les  oscillations  pourront  devenir  très 
grandes.  Grâce  à  l'addition  de  ce  terme,  le  jiendule  n'est  plus  rigoureusement 
isochrone;  s'il  y  a  résonance  pour  les  oscillations  infiniment  petites,  l'ampli- 
tude croîtra  d'abord,  mais  quand  elle  sera  plus  grande,  la  période  propre  du 
pendule  ne  sera  plus  la  même,  la  résonance  disparaîtra  el  l'amplitude  cessera 
de  croître.  Les  constructeurs  de  navires  ont  souvent  employé  un  artifice 
analogue. 

Si  nous  supposons  au  contraire  y  et  xi  nuls,  l'équation  (1)  s'intègre  très 
aisément  par  les  fonctions  elliptiques,  on  pourrait  alors  former  aisément  la 
première  équation  (2)  en  y  faisant  x,  =  o  et  négligeant  R,  qui  est  en  eflel  négli- 
geable si  X  est  petit.  On  reconnaîtrait  ici  encore  que  la  formule  de  Gyldén  est 
exacte.  Observons  que  dans  ces  deux  cas,  il  n'y  a  dans  p  qu'un  seul  argument, 
'i'  dans  le  premier  cas,  /"dans  le  deuxième. 

Supposons  maintenant  que  /.  ne  soit  pas  nul,  mais  très  petit.  Quelle  devrait 
être  d'après  Gyldén  la  valeur  de  (T?Si  x  est  très  petit,  il  en  sera  de  même  de  R. 
On  aura  donc 

(  2  bis)  c=  =  1  —  a  —  -  Px; . 

Cherchons  maintenant  la  vraie  valeur  de  tr.  Soit  p^  la  solution  périodique;  et 
p=pj,-|-e;  dans  ce  cas  p„  est  indépendant  de  x  et  £  est  de  l'ordre  dex;  nous 
pouvons  donc  négliger  s-,  ce  qui  donne 

-^-l-(i-«-3[ip§)£  =  o 
el  comme  p„  est  sensiblement  égal  à  xi  cost»,  cela  fait 

d'i        I  ^  rj    •.        3  ,^    „  \ 

-!—  -H  (  I  —  a tJx^ [ixf  C0S2  f  )  £  =  o 

dv^        \  2  '  2  '  / 

OU 

(4)  —   -+-£(5r--^,C0S'.)l')='>, 


SUR   LA   MÉTHODE   HORISTIQUE   DE  CYLDÉN.  ôgS 

en  posant 

C'esl  là  une  équation  qui  a  fait  l'objet  de  travaux  très  nombreux  que  j'ai  résu- 
més dans  le  Chapitre  XVII  des  Méthodes  nouvelles. 

Soit  £  ^  F('^)  1^  solution  de  l'équation  (4)  qui  se  réduit  à  i  et  dont  la  dérivée 
se  réduit  à  zéro  pour  ('  =  o;  on  aura 

cosa-  =  F(-). 

Développons  F(p)  suivant  les  puissances  croissantes  do  </i  el  de  i  —  q-  =7,  il 
viendra 

F(r)  =  cosc  -1-  (  -  H-  ^,'  )  i'  sin  c  -t-  ^(cosc  —  cos3i')  -H  Ui, 

OÙ  R|  contiendra  les  termes  dépendant  des  puissances  plus  élevées  de  t  et 
de  (ji  ;  parmi  ces  termes,  nous  ne  conserverons  que  ceux  qui  dépendent  des 
secondes  puissances,  el  qui  ne  s'annulent  pas  pour  c  =  ;:.  Or  nous  aurons  des 
termes  en  (^sinc,  en  (cosr  —  cosSc),  en  (cost*  —  cos5i),  en  c-cosr;  nous 
n'avons  à  nous  occuper  que  des  derniers  qui  sont  les  seuls  qui  ne  s'annulent 
pas  pour  <  ^  TT.  Or  Ri  est  donné  par  l'équation 

—7— — h  H I  =  (  T  -H  f/ 1  cos 2  (■  )     (  — h    -'  )  p  sin  r  -I-  -';  (  cos  v  —  cos  3c)- 
dv-  L  V-J  1  /  ib'  J 

Nous  pouvons  négliger  le  terme  en  cost'  —  cosSc  qui  ne  peut  nous  donner 
un  terme  en  r^cosc.  D'autre  part 


(x  +  ^1  COilv)  V  siii  c  =  (  -  —        )  '' 


'/l 
sni  1'  -I-     ,   i'  siii  0  r, 


oïl  le  premier  terme  seul  peut  nous  donner  un  terme  en  i-cosc;  il  nous  suffira 
donc  d'écrire 

d'-  H , 


,li--' 


--l^-Hh 


d'où 

en  n'exprimant  que  le  terme  en  r'-cosc.  Il  vient  donc 

Or 

(  I  —  a)-;:- 

cos  a:t  =  —  I  H • 

2 

II.  r.  —  VII. 


7-' 


594  SUR    LA   MÉTHODE    HORISTIQUE    DE   GYLDÉN. 

Il  reste  donc 

La  lormule  de  Gyldéu  donnerait 

(l-cî)-=  "V  =  i.(«=-t-3:<px;  +  ^f3=x}). 

Avec  la  formule  de  Gyldén,  a  est  toujours  réel;  avec  la  vraie  formule,  c  peut 
devenir  imaginaire,  el  c'est  ce  (|ui  arrive  par  exemple  si  a  est  positif,  (3  négatif 
et  assez  grand.  Les  différences  peuvent  être  tout  à  fait  énormes;  elles  ne  peuvent 
s'expliquer  par  l'intluence  du  terme  en  (R-)  qui  non  seulement  devrait  être 
très  petit,  mais  serait  toujours  de  même  signe  et,  étant  toujours  réel,  donnerait 
toujours  pour  i  —  a  une  valeur  réelle. 

Cherchons  d'ailleurs  le  terme  principal  de  \\.  Un  calcul  simple  nous  donne 
en  négligeant  les  carrés  de  t  et  de  cji  el  en  posant  (7=:  i  — 5  : 


■  Xi  COS  f  +  X  OOS/  -I-  Y.  COS(  /  —  2  (■•)  -^ 


V^2T  —  q,  ■+-  s/'ïT-^q, 

ce  qui  nous  donne  la  valeur  de  R  ;  le  terme  le  plus  important  de  R,  c'est  en  effet 
le  terme  en  cos  (f  —  2  c).  Le  rapport  du  terme  en  cos  (f —  21')  au  terme  en  cosy 

\^'i'—Qi  — V '■'-'  + '/i      />       I  ,  11.  ■  1 

est  -J— Ur  le  numérateur  et  le  dénominateur  sont  du   même 

^1-  —  qi  -H  Vît  +  fyi 

ordre  de  grandeur;  donc  R  n'est  pas  négligeable  devant  p,,. 

Le  seul  cas  où  R  serait  négligeable  devant  pn,  serait  celui  où  qi  serait  négli- 
geable devant  7,  c'est-à-dire  (3x';  devant  a:  c'est-à-dire  celui  où  la  considération 
du  terme  en  [îp''  est  inutile,  où  les  méthodes  ordinaires  suffisent,  où  celle  de 
Gyldén  est  sans  objet. 

Gjldéa  dit  page  17  que  R  reste  même  dans  les  cas  exceptionnels  de  l'ordre 
de  pn  (c'est-à-dire  de  xcosy+/i  cosc),  mais  qu'elle  devient  très  petite  dans  les 
cas  ordinaires,  à  savoir  lorsque  la  valeur  absolue  de  w  est  sensiblement  plus 
grande  que  l'unité  [c'est-à-dire  lorsque  les  trois  racines  de  l'équalion  (3)  dif- 
férent sensilîlement  l'une  de  l'autre].  On  peut  se  demander  ce  qu'il  entend  par 
sensiblement.  Quand  il  dit  que  j  o)  |  est  sensiblement  >i,  veut-il  dire  que 
I  «  I  —  I  par  exemple  n'est  pas  très  petit,  ou  que  1 00  j  est  très  grand  ? 

Dans  le  premier  cas,  il  se  trompe,  nous  venons  de  voir  que  R  est  du  même 

ordre  de  grandeur  que  p,,  pour  tontes  les  valeurs  ih^    -^  c'est-à-dire  pour  toutes 


les  valeurs  de  w,  sauf  pour  les  très  petites  valeurs  de 


71 


SUR    LA    MÉTHODE    HORISTIQUE    DE    GYLDÉN.  SgS 

Dans  le  deuiième  cas,  ce  qu'il  dit  est  exact,  car  si  '>>  esl  liés  grand,  ~  est 
1res  petit,  mais  si  ^r  est  très  petit,  l'emploi  de  la  méthode  n'a  plus,  comme  nous 

l'avons  dit,  aucune  raison  d'être. 

Il  semble  bien  d'ailleurs  que  sa  pensée  doit  être  interprétée  de  la  première 
manière.  Il  sait  trop  bien  le  français  pour  avoir  employé  une  expression 
impropre  et  le  contexte  semble  plutôt  favorable  à  celte  inlerprétation. 

Est-il  vrai  du  moins  que  R  ne  peut  jamais  être  très  grand  par  rapport  aux 
termes  conservés  de  o  ?  Oui,  si  l'on  suppose  ■/.  1res  petit,  car  alors  nous  avons 

i  =  ■/-!  cos  t'  -H  X.  nos/  +  ■/.'  cos  (  /"  —  a  p  ) 

et  nous  avons  donné  l'expression  du  coefficient  /.' :  c'est  le  dernier  terme  qui 
représente  R.  Si  nous  posons 

2''-/  =  ./' 

cette  équation  devient 

s  =  ■/.!  ros  (.'  -I-  z'  cos/'-t-  ■/.  cos(/' —  a  c). 

On  retombe  donc  sur  une  expression  de  méuie  forme,  mais  où  le  rôle  des  coef- 
ficients X  et  x'  est  interverti.  On  peut  donc  indifféremment  prendre  /  ou  •/.' 
pour  le  coefficient  du  tonne  princi|)al,  ou  pour  celui  de  R;  si  l'on  convient  de 
reg  irder  toujours  le  plus  grand  des  deux  comme  repré.senlant  le  terme  principal, 
on  sera  certain  que  R  ne  pourra  devenir  très  grand. 

Aurait-on  la  même  liberté  si  x  n'étant  plus  très  petit,  on  devait  tenir  compte 
des  puissances  supérieures  de  x  ?  (  )u  aurait  alors  des  termes  en  2/ —  3  r,  2/ —  r, 
etc.,  et  si  le  coefficient  de  l'un  de  ces  termes  devenait  très  grand  on  ne  pourrait 
plus  employer  le  même  artifice.  Nous  verrons  plus  loin  que  cela  peut  fort  bien 
arriver. 

III.  —  Cause  de  l'erreur  de  Gyldén. 

Les  conclusions  de  Gyldén,  du  Chapitre  premier,  5;  1,  n°  2,  pages  10  à  i- 
sont  donc  fausses.  Quelle  est  l'origine  de  son  erreur? 

Il  envisage  l'i'quation  (i)  et  égale  dans  les  deux  membres  les  coefficients  de 
cosy  et  cos  ('.  Six  est  très  petit,  nous  pouvons  écrire 

p  =  X|  cosc  -I-  xcos/"-l-  x'  cosi'  /' —  ''l'V 
Il  vient  alors  dans  0^  des  termes  en 

(A)  cos-i'co?/,         cosy,         cos'-(/  —  2p)cos/ 


igC  SUR   LA   MÉTHODE  HORISTIQUE   DE  GYLDÉN. 

l'I  on 

(B)  cos'-i'cos(y' — 2r), 

qui  peuvont  donner  un  terme  en  cosf. 
Nous  avons  aussi  dans  p'  des  termes  eu 

(A')  eos^c,         cos-y'cosc,         cos-(/ — 2i')cos(' 

et  en 

(B')  COSI-' cos_/'cos(/ — 2v), 

qui  peuvent  donner  un  terme  eu  cosr.  Gjldén  tient  compte  des  ternies  (A)  et 
(A'),  mais  ne  tient  pas  compte  des  termes  (B)  et  (B')  qui  sont  du  même  ordre. 

Si  y.  n'étant  plus  très  petit,  on  ne  pouvait  plus  négliger  x-,  il  y  a  bien  d'autres 
termes  dont  il  faudrait  tenir  compte. 

L'introduction  des  termes  négligés  ferait  perdre  aux  équations  leur  forme 
«  horistique  ». 

Dans  le  n"  3,  Gyldén  fait  une  tentative  pour  pousser  l'approximation  plus 
loin.  Il  arrive  ainsi  à  des  formules  très  compliquées  d'où  il  ne  tire  rieu;  elles 
ne  lui  servent  même  pas  à  lui  faire  découvrir  l'erreur  commise  dans  le  numéro 
précédent.  Il  se  borne  à  montrer  que  les  résultats  du  n°  3  concordent  approxi- 
mativement avec  ceux  du  n"  2,  pourvu  que  la  quantité  qu'il  appelle/page25  soit 
très  grande.  Mais  le  cas  où  /  est  très  grand  est  précisément  celui  où  les  vieilles 
méthodes  classiques  s'appliquent  sans  difficulté  et  où  tout  cet  appareil  est  inutile. 

,Ie  n'ai  pu  arriver  à  déterminer  quel  est  le  but  poursuivi  dans  le  n"  4,  et 
comme  il  n'est  fait  dans  la  suite  aucune  application  des  résultats  qui  y  sont 
contenus,  je  m'abstiendrai  d'en  analyser  ici  le  contenu. 

IV.   —  Emploi  des  fonctions  elliptiques. 

Dans  le  ^;  2,  Gyldén  appli(jue  une  seconde  méthode,  fondée  sur  l'emploi  des 
fonctions  elliptiques;  nous  allons  voir  qu'elle  ne;  dilTère  pas  de  la  méthode 
de  Delaunav  et  qu'elle  permet  par  conséquent  d'obtenir  correctement  une 
première  approximation.  Nous  verrons  ensuite  l'usage  que  Gyldén  cherche  à 
en  faire  pour  les  approximations  suivantes. 

Posons 

f,  =  g(i'^-\-  he-''',         Y  cos  (•  =  f  (e'''  ■+-  'i-'"). 

Substituons  dans  l'équation  (  i)  et  égalons  dans  les  deux  membres  les 
coefficients  de  <?"*  et  e^"'.  Nous  aurions  aussi  (i(!s  termes  en  e^'"',  mais  nous  ne 


SUR  LA  MÉTHODE  HORISTIQUE  DE  GYLDÉN.  597 

nous  en  occupons  pas  parce  qu'ils  ne  sauraient  donner  naissance  à  de  petits 
diviseurs.  INÎous  obtenons  ainsi  les  deux  équations 

(5)  ,^"-<-2(y=  2^  +  3;i^2/i— J^,  h"~2i/i'^xh-h'ipff/r-—l, 

où  g',  g"  désignent  les  dérivées  successives  de  g  par  rapport  à  c. 

Dans  g  et  h  nous  ne  conserverons  que  les  termes  à  longue  période  qui  seuls 
peuvent  donner  lieu  à  de  petits  diviseurs;  mais  alors  nous  pouvons  négliger^" 
et  A"  devant  »'  et  /«',  et  il  reste 

(6)  2îy=  7.^-1- 3[i^-^/i  — J,  —  2ï7t'=  :</( -hîTié'/iS—  X. 


da 
d~t 

dF 

dv 

dV 

Multiplions  par  /;',  et  g' ,  ajoutons  et  intégrons,  il  viendra 

3 
(7)  ^gh-^  -?^-^Aî— ;^(/(+^)  =  const. 

On  peut  ensuite  achever  l'intégration  par  les  fonctions  elliptiques.  Telle  est, 
aux  notations  prés,  la  deuxième  méthode  de  Gyldén. 
Comparons  avec  la  méthode  de  Delaunay.  Posons 

F=  i(p"^+p'-)—  %^-  ^p'-t-Ypcosf'  +  «, 

p'  désignant  la  dérivée  de  p  par  rapport  à  i',  et  u  une  variable  auxiliaire. 
L'équation  (i)  peut  être  remplacée  par  les  équations  canoniques 

-^  =— -^  =_(i_a)p  +  [îip^— vcosc; 

(8)  ; 

dt    ~  'dïi~    '  lit  ~~'  ~dv' 

Posons  p  =  ^2^cos'j),  p'^  ^2^sinti);  d'où 

F=Çh-;<  —  y.\  cos-  co  —  [î  |-  cos*  to  -+-  v  y's  Ç  cos  v  cos  0), 

les  équations  conserveront  avec  les  variables  ^,  w  (  t  c,  u  la  forme  canonique. 
Si,  conformément  à  la  méthode  de  Delaunaj,  nous  ne  conservons  que  les 
termes  à  longue  période;  si  par  conséquent  nous  laissons  de  côté  les  lermes 
en  C0S2W,  cos4w,  cos(('  —  co),  il  restera 

F  =  f  -+-  (^  —  -  ?  —  3  p|2+  I ..  ^/^  cos(c  ^  0)). 
2  8  2 

Soit 

il  viendra 

(9)  F  =  L E  —  -  SE-+ -v  v^coss 

\3/  •  2  8  '  2       * 


')98  SUR  LA  MÉTHODE  HORISTIQUE  DE  GYLDÉN. 

el  les  équations,  devant  rosier  canonujiies,  deviendiont 


,r:       ,/F 

j       . 

de 

dF 

dt  ~  dl  " 

ï-  \    '?^'i"^, 

dt 

^ 

,h       dF 

</:        dF 

dt  "~  f /;  ~  '  ■ 

dt  ~       di> 

=  o. 

'Bf -■■'="' 


/r?' 


Si  nous  posons 


^■=^V^e-'s         A  =  -V2^e'S 


on  retombera  sur  les  équations  (6),  d'où  il  suit  que  la  deuxième  méthode  de 
Gjldon,  étant  identique  à  celle  de  Delannaj,  nous  donne  une  première  approxi- 
mation correcte. 

Un  voit  sans  peine  que  g'  el  h  sont  des  ('(inclions  doublement  périodiques 
de  f.  On  peut  alors  construite  les  équations  correctes  ((ui  lient  les  quantités 
appelées  plus  haut  x,  /.,  et  7;  ces  équations  sont  transcendantes  et  elles  n'ont 
par  conséquent  aucun  rapport  avec  les  équations  (2).  A  ce  point  de  vue  les 
conclusions  du  §  2  sont  en  contradiction  directe  avec  celles  du  §  ! . 

Dira-t-on  au  moins  que  les  formules  concordent  quand  x  est  très  petit  non 
seulement  dune  façon  absolue,  mais  par  rapport  à  X|  ?  Nous  allons  voir  que  non, 
et  l'analvse  que  nous  venons  de  donner  dans  le  paragraphe  II  suffisait  d'ailleurs 
pour  que  nous  en  fussions  sûrs  d'avance. 

Nous  allons  développer  g-  el  h  suivant  les  puissances  de  x,  et  écrire 

g-  =  g-„-h  gt-i-  ff2-h---,  A   =  A„  -t-  /m  -H  /ii  -I-  .  .  .  . 

où  /;„  représente  l'ensemble  des  termes  de  l'ordre  de  x".  Nous  trouvons  d'abord 

g,.=  /,„  =  const.,         z^'ii-t-  3  .1^2=  ~ 
et  ensuite 
(lo)        2ig\  =  ix-h6l-i^l)gi-h:i{-is'l/i,,         —■>(■/(',  =(xH-6pé'5j/i,+  3pl//5^|. 

Ce  sont  des  équations  linéaires  à  coefficients  constants;   nous  jiourrons  y 

satisfaire  en  posant 

^i  =  xe-''"'',         //i  =  x'e-'"'', 

ou  bien 

^1  =  x'e'"'',         //,  =  zeN'''. 

Ou  bien  encore  en  faisant  la  demi-somme  de  ces  deux  solutions  particulières; 
on  obtient  ainsi 

ç  =  ■?  ga  '■'<>  f  -t-  X  COS  /■  -4-  ■/.'  CO?  (  /■ —  2  f  ), 

avec 


SUR    LA   MÉTHODE   HORISTIQUE    DE   GYLDÉN.  Ogcj 

et  en  substituant  dans  les  équations  (lo),  on  trouve, 

Mais  c!  +  6S  o-Jj  est  ce  que  nous  avons  appelé   plus  haut  z,   et  S^o-J  est  ce 
que  nous  avons  appelé     r/i  ;  il  vient  ainsi 


x(2!;  — T)=  --qi/.',      ■/.'(— 2^  —  -)  =  \q\-'-; 


d'où 


Il  et  y-     _     V2T  —  y,—   y-i-^lj, 


Ces  formules  sont  en  concordance  avec  les  résultats  du  paragraphe  11  et  en 
désaccord  avec  les  équations  (2),  c'est-à-dire  avec  les  équations  de  Gyldén. 
Cherchons  encore  les  termes  constants  de  ;:j^-<  et  lin.  Nous  avons 

—  iih'n  —  {:i.-k-ii\isl)S-^—  3pi'o/'2=6H^o^■l/^l-^-  'i'^^goli]. 

Nous  cherchons  seulement  les  parties  constantes  de  ^2  et  h^',  nous  devons 
donc  faire  g'.,^=  h'.,  =  o,  g-2-=  h^,  et  remplacer  o'j/ti,  g]  et  /;,  par  leurs  parties 
constantes.  Or  nous  avons 


d' 


ou 


1  ^.  .V  /.  jV 


, ,      y-y- 
partie  constante  ff[  =  partie  constante  /(i=  -    ) 

,         ■/.-  +  "/.'- 
partie  constante  ^i/(i  =  ; — 


d'où 


■  (  «  +  9  [i  0°  5  )  ^-2  =  -4^  (  --c-^  +  y"-  -h  •/.■/.'  ). 


Or  nous  allons  avoir,  non  plus  x.i  =  2 go  comme  dans  l'approximation  précé- 
dente, mais 

Zi  =  2^0-*-  2^4-2. 

Comparons  avec  la  seconde  équation  (2)  qui  peut  s'écrire 

-«■/.,-  ^[îv-î  -  -.'îy.,(x=-t- ■/.'■-)=- 7 
4  '  2  '  ' 

en  remarquant  que  x'-  n'est  pas  autre  chose  que  ce  que  Gyldén  appelle  (R-). 
En  première  approximation,  nous  avons 

3 

axi  +  -  px}  =  -;,         X|  =  2gu. 


6oo  SUR   LA   METHODE   HORISTIQUE    DE   GYLDÉN. 

Soit  X|  =  2^o+2â,  de  sorle  que  â  devrait  être  égal   à   ^j.    Cela    fera    en 

négligeant  o-,  ôx-,  o/.'-  : 

3 

—  U  +  9[^^a)S=  -p5o(x--l-x'2), 

OU  reconnaît  déjà  que  la  formule  est  erronée. 

V.        Discussion  de  la  méthode  précédente. 

Jusqu'ici  les  conclusions  du  i^  2,  d'ailleurs  contradictoires  avec  celles  du  §  1, 
sont  correctes,  mais  Gjldén  veut  pousser  plus  loin  l'approximation  et  tenir 
compte  des  termes  négliges.  Il  écrit  donc  les  équations  (avec  d'autres  notations) 

(il)  lig'  —  y.g  —  K^'i>g-h  +  ^-  =  M',         —  lih'  —  3.h  —  (>'fih-g  -H  -^  =  M', 

où  M'  et  N'  représentent  l'ensemble  des  termes  d'abord  négligés,  et  il  les  intégre 
par  approximations  successives. 

J'aurais  à  faire  au  sujet  de  ses  conclusions  la  remarque  suivante.  Ayant 
résolu  correctement  les  équations  (6),  il  constate  qu'elles  conduisent  dans 
certains  cas  à  des  solutions  asjmptotiques. 

«  Mais,  ajoute-t-il  page  67,  nous  verrons  dans  ce  qui  suit  que  la  solution 
asjmptotique  n'appartient  pas  à  notre  problème;  elle  est  due  uniquement  à  la 
manière  d'aborder  les  approximations.  .  .  ». 

Il  est  évident  qu'Ici  Gjldén  se  trompe.  Les  équations  approximatives  (6) 
admettent  un  système  de  solutions  asymptotiques  et  par  conséquent  une 
solution  périodique  pour  laquelle  les  exposants  caractéristiques  sont  réels  et 
dilTérents  de  zéro.  Si  les  équations  approximatives  admettent  une  solution 
périodique,  il  en  sera  de  même  des  équations  exactes,  qui  en  diffèrent  fort  peu; 
car  si  l'on  fait  varier  un  système  d'équations  différentielles  d'une  manière 
continue,  une  solution  périodique  ne  peut  disparaître  que  quand  l'un  des 
exposants  caractéristiques  est  nul,  ce  qui  n'est  pas  le  cas;  de  plus  cette  solution 
périodique  aura  encore  des  exposants  caractéristiques  réels,  puisqu'ils  diffé- 
reront très  peu  de  ceux  qui  correspondent  aux  équations  (6);  et  l'existence  des 
exposants  caractéristiques  réels  entraîne  celle  des  solutions  asymplotiijues. 
Tous  ces  points  sont  hors  de  doute  et  je  les  ai  établis  d'une  façon  très  simple  et 
rigoureuse  dans  mes  Méthodes  nouvelles. 

Gyldén  cherche  à  nous  donner  la  démonstration  promise  d'abord  page  71, 
puis  page  nS;   il  ciierche  d'abord  à  montrer  qu'on  peut  diriger  les  approxi- 


SUR    LA   MÉTHODE   HORISTIQUE   DE   GYLDEN.  6oi 

mations  de  façon  à  ne  plus  rencontrer  de  solution  asjmptolique.  Pour  cela  il 
écrit  les  équations  (i  i)  sous  la  forme  suivante  : 

2J>'— (ï  +  £)§•  — 6,3^;/*  ■ 

(  1 1  bis  ) 

■■ît'fi'  —  (x-^  i)h  —  Ç)'iff/e--h  i  =  N'— e/(, 

et  il  intègre  par  approximations  successives  en  faisant  d'abord  les  deuxièmes 
membres  égaux  à  zéro,  remplaçant  ensuite  les  inconnues  dans  les  deuxièmes 
membres  par  les  valeurs  trouvées  en  première  approximation  et  ainsi  de  suite. 

Il  choisit  £  de  façon  à  éviter  la  solution  asymptolique  el  il  se  llatte  de 
pouvoir  conduire  les  approximations  suivantes  en  évitant  l'introduction  de  cette 
solution  et  en  aboutissant  à  une  série  convergente. 

Pour  juger  cette  prétention,  il  suffit  de  comparer  à  un  exemple  simple. 

Soit 

-H;  -+-  ,^=  =  C0S^'. 
ai>- 

Nous  voyons  que  si  [3  :=  i ,  l'équation  ne  comporte  plus  de  solution  pério- 
dique et  que  ('  sort  des  signes  trigonomélriques.  Croira-t-on  que  l'on  peut 
échapper  à  cette  conséquence  par  l'artifice  qui  consiste,  p  étant  égal  à  i ,  à  écrire 
l'équation  sous  la  forme 

■~  -t-  (  I  +  £  )  p  =  COS  P  -H  £  p  ? 

Nous    trouvons    en    première    approximation    p  =  o,    puis    p --_ — --,    puis 

2C0SI'  .  îcosc  .  .~  ,. 

p= )  puis  p=  — ; — j  suite  manifestement  divergente. 

Eh  bien,  (jjldén  fait  absolument  la  même  chose.  H  j  a  page  72  quelques 
lignes  sur  l'ordre  de  grandeur  des  quantités  introduites.  Ces  lignes,  trop 
concises  pour  être  claires,  tendent  évidemment  à  prouver  que  la  série  obtenue 
sera  convergente,  ou  du  moins  que  les  termes  iront  en  diminuant. 

Or  cela  n'est  pas  exact;  car  si  nous  supposons  M'^N'^o,  les  équations 
(11  bis)  se  réduisent  aux  équations  (6)  et  nous  savons,  Gjldén  l'a  démontré 
lui-même,  que  ces  équations  admettent  des  solutions  asymploliques.  La  série  en 
question  est  donc  divergente,  puisque  si  elle  était  convergente,  ces  solutions 
n'existeraient  pas. 

La  série  converge-t-elle  dans  d'autres  cas  ?  Les  deuxièmes  membres  de 
(i  I  bis)  peuvent-ils  être  assez  petits  pour  qu'il  en  soit  ainsi?  Cela  n'a  pas  lieu, 

H.  p.  —  VII.  ,6 


()02  SUR    LA    MÉTHODE    HORISTIQUE    DE    CYLDÉN, 

nous  venons  de  lo  voir  (juaiul  M'  el  N'  sonl  nuls;  cela  nu  poiii  rail  donc  être  vrai 
que  si  M'  el  N'  doliiiisaieni  les  lernu-s  les  plus  iiuporlanls  de  eg  el  de  e/i.  Or  il 
esl  évident  ([u'il  ne  peut  pas  en  cire  ainsi  (juels  ifue  soient  M'  el  M'.  Eli  liien, 
dans  le  raisounemenl  de  Gjldén,  il  n'est  fail  aucune  hypothèse  sur  M'  el  J\ 
(ou  ce  qui  revient  au  même  sur  ce  qu'il  appelle  M  el  N).  Son  raisonnement  esl 
donc  inexact. 

Gyldén  cherche  ensuite  à  montrer  que  la  solution  asjmptotique  ne  peut  pas 
servir  de  point  de  départ  à  une  véritable  approximation  (p.  70,  199)  parce  que 
le  deuxième  terme  du  développement  esl  susceptible  de  devenir  infini. 

G'esl  comme  si  l'on  disait  que  quand  a  est  petit,  \  z  n'est  |)as  une  valeur 
approchée  de  y  x  +  a,  sous  prétexte  que  si  l'on  développe  suivant  les  puissances 

de  x.  le  deuxième  terme  du  développement  est  -  —  el  devient  inlini  pour  /.  =^  o. 

Dans  le  §  3,  Gjldén  applique  une  nouvelle  méthode  qui  ne  diffère  de  la 
précédente  que  par  quelques  complications  nouvelles.  II  néglige  les  termes  M' 
et  N'  de  sorte  que  les  équations  (11)  se  réduisent  aux  équations  (6);  nous 
venons  de  voir  que  ces  équatii^ns  s'intègrent  très  aisément  par  les  fonctions 
elliptiques.  Je  n'ai  pu  arriver  à  comprendre  pourquoi  il  aljorde  ainsi  par  une 
méthode  ai^proximative  el  compliquée  un  problème  qu'il  a  lui-même  résolu  par 
une  méthode  rigoureuse  el  simple. 

11  n'y  a  qu'un  passage  où  il  ne  dit  pas  explicitement  qu'il  néglige  M' et  IN', 
c'est  celui  de  la  page  gS;  mais  on  doit  remarquer  qu'il  y  regarde  W  comme 
une  fonction  périodique  de  l'argument  unique  w,  ce  qui  ne  peut  s'expliquer 
que  de  deux  manières;  ou  bien  s'il  néglige  M'  el  M'  comme  dans  le  reste  du  §, 
ou  bien  s'il  réduit  M'  et  N'  aux  termes  —  g"  c^  —  /'"  qui  sont  négligés  dans  les 
équations  ((i).  Dans  ce  dernier  cas,  on  retomberait  sur  les  équations  (12)  du 
paragraphe  suivant,  sur  lesquelles  nous  reviendrons. 

VI.  —  Nouvelle  méthode  de  Gyldén. 

Dans  le  §  4,  Gvidén  emploie  encore  une  nouvelle  méthode,  fondée  également 
sur  l'emploi  des  fonctions  elliptiques.  Elle  consiste  à  développer  la  solution  de 
l'équation  (1)  suivant  les  puissances  de  y. 

Si  l'on  appliquait  celle  méthode  dans  toute  sa  rigueur,  on  trouverait  en 
première  approximation,  c'est-à-dire  pour  y  =  o,  que  p  est  une  fonction  dou- 
blement périodique  de  c,  développable  suivant  les  sinus  et  les  cosinus  des 
multiples  d'un  argument  unique /=  i' +  (v,  fonction  linéaire  de  c.  Dans  les 


SUR   LA   MÉTHODE   HORISTIQUE   DE   GYLDÉN.  6o3 

approximations  siiiv;intes  ou  Irouverail  des  termes  en  nn>  -i-  rur,  m  et  n  étant 
des  entiers  quelconques. 

Il  s'introduirait  aussi  des  termes  séculaires  où  r  sortirait  des  signes  trigono- 
métriques,  mais  Gyldén  évite  l'inlroduction  de  ces  termes  séculaires  par 
l'artifice  suivant  : 

Il  écrit  l'équation  (i  )  sous  la  forme 

-T-^  -t-  (l  —  »'  )  :  —  3  p'"'  =  —  ",'  COS  PH-fz  —  «')=, 

a'  étant  une  indéterminée.  Dans  le  deuxième  membre,  il  substilue  à  la  place 
de  p,  d'abord  zéro,  puis  à  la  deuxième  approximation  la  valeur  de  p  trouvée  en 
première  approximation  et  plus  généralement  à  la  7;^"'"  approximation  la 
valeur  trouvée  en  (« — ]y'-"ic  approximation.  Il  dispose  ensuite  de  l'indé- 
torminée  x'  à  chaque  approximation,  de  façon  à  faire  disparaître  les  termes  en 
ces/  qui  lui  donneraient  après  intégration  des  termes  séculaires.  Cet  artifice 
est  légitime. 

De  plus,  il  laisse  de  côté  à  chaque  approximation  les  termes  en  wr  +  nw  où 
l'entier  m  n'a  pas  la  valeur  ±;  1 .  Ce  qui  justifie  dans  une  certaine  mesure  celte 
manière  de  faire,  c'est  que  les  termes  de  la  forme  c  +  nw  sont  ceux  où 
s'introduit  le  plus  important  de  tous  les  petits  diviseurs;  mais  on  ne  doit  pas 
oublier  que  d'autres  termes  (qu'on  ne  rencontre  pas  il  est  vrai  dans  les 
premières  approximations,  mais  seulement  dans  les  suivantes),  introduisent  de 
nouveaux  petits  diviseurs  encore  plus  petits,  et  que  c'est  précisément  à  ces 
petits  diviseurs  qu'est  due  la  divergence  des  séries. 

Opérer  de  la  sorte,  cela  revient  à  déterminer  g  et  h  par  les  équations 

(12)        g"  +  lig'  —  y.g — (S'fig-li  -f-  -  =0,         II" —  lilt' —  7.h  —  ()|î/(-^  -4-  -'-  =  o. 

Cette  méthode  se  rapproche  de  celle  de  Delaunaj;  elle  n'est  pas  plus  précise 
car  les  termes  par  lesquels  les  équations  (12)  différent  des  équations  (6)  ne 
sont  pas  plus  grands  et  plus  importants  que  les  autres  termes  négligi's. 

Il  ne  faudrait  pas  croire  non  plus  que  Ion  obtient  par  ce  procédé  tous  les 
termes  en  v -\- luv  avec  leurs  coefficients  exacts.  En  effet,  il  peut  s'introduire 
à  la  A'"""'  approximation  des  termes  de  la  forme  mr  +  «t\'  (m.">i)  dont  la 
combinaison  produira  à  la  (/:-(-/))"'""'  approximation  un  ternie  v -\- mv ',  si  l'on 
néglige  ces  termes  à  la  A-'""'  approximation,  le  coefficient  du  terme  en  c  -t-  inv 
ne  sera  plus  exact  à  la  (A +/) )'*"'. 


6o4  SUR  LA  MÉTHODE  HORISTIQUE  DE  GYLDÉN. 

Quoi  qu'il  cil  soit  les  équations  (12)  admollent  l'intégrale 
g' h'  —3.gli pi^-/(--t-  -  (/(  +  g)  =  consi. 

On  ne  peut  pas  en  trouver  l'intégrale  générale;  mais  pour  l'objet  poursuivi 
par  Gvldén,  il  suffit  d'en  connaître  une  solution  périodique.  Celle  solution 
périodique  existe  et  le  développement  correspondant  converge,  comme  il  arrive 
toujours  pour  une  solution  périodique. 

Les  développements  trouvés  par  Gyldén  dans  ce  §  4  sont  donc  bien 
convergents,  ainsi  qu'il  l'annonce.  Ils  pourraient  être  très  facilement  obtenus 
par  la  théorie  des  solutions  périodiques.  Mais  dès  qu'il  voudiait  tenir  compte 
des  termes  en  me  +  nu',  la  convergence  cesserait. 

L'analyse  de  Gjldén  ne  nous  apprend  d'ailleurs  rien  de  plus  que  la  méthode 
de  Delaunay.  Elle  n'est  pas  plus  précise;  elle  n'est  pas  plus  propre  à  nous 
renseigner  sur  la  convergence  des  développements  complets. 

VIL  —  Analyse  du  deuxième  Chapitre. 

Passons  au  Chapitre   II  et  au  §  o;   Gjldén  j  envisage  des  équations  plus 

compliquées  où  figure  dans  le  premier  membre  outre  la  dérivée  seconde -t=^  > 

un  polynôme  entier  en  y  et  -y-  dont  les  coefficients  sont  des  fonctions  connues 

de  ('.  Quant  au  deuxième  membre,  c'est  une  fonction  connue  de  c.  Toutes  ces 
fonctions  connues  de  v  sont  supposées  développables  en  séries  trigono- 
métriques. 

Gyldén  commence  par  étudier  des  transformations,  permettant  de  simplifier 
cette  équation.  Je  n'expliquerai  pas  ici  le  détail  de  ces  transformations.  Il  arrive 
page  187  à  l'équation  suivante  : 

^  -+-  r,  j  +  roj-2  +  r,  y=  =  u, 

où  Fi,  r,,  Fj,  £2  sont  des  fonctions  connues  de  c,  toutes  très  petites;  mais  il 
n'énonce  pas  de  résultats  assez  nets  pour  qu'on  puisse  les  discuter. 

A  la  page  142,  il  envisage  une  équation  analogue,  mais  où  Fi  est  très  voisin 
de  I.  La  discussion  des  transformations  qu'il  lui  applique  nous  entraînerait 
lr.)j>  loin,  j'ai  hâte  d'arriver  à  ce  qu'il  dit  page  i58  d'une  équation  plus  simple 
qui  est  son  équation  (Bg), 


-hCh-  ;i,—  p3-n'')2+  %'/:'C-=  '-'>         V=  ('~P)^"+  (1/^)  (--  *'  /-  donnés). 


SUR    LA    MÉTHODE    HORISTIQUE    DE   GYLDÉN.  6o5 

Il  cherche  à  satisfaire  à  celte  équation  en  posant 

G  =  V„+V,4-V,-i-... 

et  en  déterminant  les  V  par  une  série  d'équations  qu'il  appelle  (47)  P^ge  170 
et  qui  sont  de  la  forme 

'^'^"  -+-(i-r^,-fi3ii)v„  =  Q„, 


du- 


Ha  étant  connu  et  H  étant  la  partie  constante  de  y)'-. 

Laissant  de  côté,   pour  simplifier,  3  et  /,  ainsi  que  Pf   et  faisant  (3^- 
pour  lixer  les  idées,  nous  voyons  que  l'équation  peut  s'écrire 

(jjldén  s'imagine  qu'il  obtiendra  une  première  approximation  en  négligeant 
dans  le  coeflicicni  de  r  les  termes  périodiques,  de  sorte  que  ce  coefficient  se 
réduise  à  une  constante  II  et  que  l'équation  (i3)  devienne 

(i3  6;'i)  li^  + -(1-^  |l)  =  o. 

dii- 

II  est  important  d'examiner  si  cela  est  légitime,  parce  que  c'est  le  principe 
même  de  la  méthode  horistique. 
Soit 

ti  =  7  COS  M  -H  •;'  C05  (  M  +  0)  ), 

où  (0  ^  CTc,  (T  étant  petit. 

L'équation  (i3  bis')  nous  conduirait  alors  à  une  solution  de  la  forme 

;  =  •/.  COS  u  -f-  ■/.'  COS  (  «  +  10  ) 
et  alors  on  aurait  sensiblement  (à  cause  de  la  petitesse  de  a-) 

•fl'-  =  3-  +  I  -7^  1    =  /.-  -I-  y.'-  +  i  /./.'  ces  0),         II  =  /.-  -t-  ■/.'-. 

Substituons  dans  les  équations  (i3)  et  (i3  bis).  L'équation  (i3  bis)  donne 

(i4)  -/.{vr-^  ■/:■-)  =  •;,         —■/ {2  a -h  <j- )  +  ■/.'{■/.'  + y.'-)  =  y'; 

d'où  Gjldén  conclut  que  z  et  /.'  sont  limités.  Mais  on  néglige  ainsi  la  dillerence 
entre  les  premiers  membres  de  (i3)  et  (i3  bis),  c'est-à-dire 

•2 -y./.'  cosw  =  y:-/.'  COS  (m  -i-  cj  1  -+-  y.- y.'  eus  (m  —  w)  -1-  y.'-y.cosu  +  y.  -y.  cos((<  -I-  2(0). 

Si  (T  est  très  petit,  si  y  et  y'  sont  comparables  entre  eux,  /  et  /.'  sont  du  même 
ordre  de  grandeur,  ■/.-■/,  z-',  etc.  sont  comparables  à  y  et  les  termes  négligés 
sont  de  l'ordre  de  12,  c'est-à-dire  des  termes  conservés. 


6o6  SUR    LA    MÉTHODE   HORISTIQUE    DE  CYLDÉN. 

Du  reste  ou  inonlre  cela  d'iiue  fai;oa  plus  frnppaule  en  raisonnant  comme  il 
suit  : 

Faisons  (J^  G,  vr=y';  les  deux  équations  (i4)  ajoutées  donnent 

■)•/.■'=  •;-  =  2x'-'=  ■;',         (■/.  -t-  ■/.'  )'  =  .'ly. 

Mais  si  a  =  o,  les  deux  termes  de  iî  se  conlondenl  en  un  seul  et  l'on  a 
£2  =:  aycosu,  d'où  par  la  première  équation  (i4)  (qui  est  alors  exacte)  : 

(■/.  +  ■/)■•=  27, 

résultat  coutradicloire  avec  le  précédent. 

L'analyse  de  Gjldén  no  ressemble  donc  en  rien  à  une  approximation.  Mais  il 
faut  se  poser  la  question  d'une  façon  plus  large  et  se  demander  :  Supposons 
que  Gyidén  n'ait  pas  commis  cette  erreur  et  qu'il  ait  calculé  exactement  ces 
coefficienls  /..  ces  coefficients  auraient-ils  été  limités? 

Soit  plus  généralement 

U  =  s-;,,  cos/„,         /„  =  u(i  -h  a„),         a„  =  s.l„, 

.Nous  supposons  les  a,,  très  petits,  £  très  petit,  X„  et  ;-t„  finis. 

Nous  voyons  d'abord  que  z  est  une  fonction  paire  de  u,  de  telle  fnçon  que 
pour  11=^0  ses  dérivées  d'ordre  impair  s'annulent.  iNous  désignerons  par  y,  y", 
)''^',  etc.,  les  valeurs  de  z  et  de  ses  dérivées  successives  d'ordre  pair  pour  u:=  o; 
et  de  même  par  12,,,  Q,',,  etc.,  les  valeurs  de  12  et  de  ses  dérivées  pour  u  ^=  o. 
On  trouve  ainsi 

y  +  f-^r'  =  -".        (y^^'-^  27"  +  /)  +  (J  + j") 7(7+  2/")  =  o„-t-  f>;. 
Or 

Y  =  l/.„,  '-'-»  =  ^"n,  y  =  y  =  —  £  -X„  p„, 

l.),,  -h  i>"„  =  —  £  S-j-n  [J.„,  ^  '^'  -t-  a/'  +1    =  c-  iz,,  ,a;„ 

d'où 

—  £  2/.;i  -I-  (  ix)"  =  S-,',         £  S/.;J-  ■+-  i;(zu  )  ïzf  Zv.  ■+-  2  £  S7.;jl  )  =  —  Sy,u, 

OU  si  £  est  très  petit 

(Zxy'  =  Sv,  I.(y.,j.)(Zy.y-  =  -I.yii, 

OU  enfin 

Or  si  i-;'  ^  o,  cette  expression  devient  infinie  ;  d  faut  donc  que  l'un  des  /.  au 


SUR    LA    MÉTHODE    HORISTIQUE    DE    GYLDÉN.  607 

moins  devienne  infini  (ou  pluLôl  deux  au  moins,  puisque  ix  :=  o).  Les  coejji- 
cients  y.  ne  sont  donc  pas  limités. 

Ici  encore  la  mélhode  horislitjue  est  en  défaut. 

VIII.  —  Équations  de  la  longitude. 

Jusqu'ici  Gjldén  a  (mvisagé  surtout  les  équations  dont  il  se  sert  pour  la 
détermination  du  rayon  vecteur.  Dans  le  §  6,  il  envisage  plus  parti- 
culièrement celles  qui  lui  servent  à  déterminer  la  longitude.  L'examen  de  la 
méthode  horistlque  dans  ce  dernier  cas  est  d'autant  plus  important  qu'on  a  fait 
des  tentatives  pour  l'appliquer,  ce  qu'on  n'a  jamais  cherché  à  faire  pour  le 
rajon  vecteur. 

Un  astronome  tout  à  fait  éminent,  M.  Backlund,  trop  confiant  dans  les 
résultats  de  Gjldén,  s'est  même  un  instant  laissé  entraîner  à  des  conclusions 
inexactes  qu'il  a  rectifiées  depuis.  M.  Stockwell  avait  déterminé  par  les 
méthodes  ordinaires  certaines  inégalités  de  la  précession  ;  M.  Harzer  avait 
calculé  par  les  méthodes  de  Gjldèn  une  inégalité  de  la  longitude  d'IIécube  ; 
j'entends  par  les  premières  méthodes  de  Gjldén  et  non  par  la  mélhode 
horistique.  M.  Backlund  appliqua  à  ces  deux  cas  les  formules  horistiques  de 
Gjldén,  et  ces  formules  lui  donnèrent  des  coefficients  trois  ou  quatre  fois  plus 
petits  que  ceux  qu'avaient  obtenus  ses  devanciers.  {Bulletin  de  V Académie 
de  Sainl-Pétersbourg.,  mai  igoo.) 

Les  équations  de  la  longitude,  de  même  que  celles  de  la  précession,  peuvent 
être  ramenées  à  la  forme 

-j-;  =  S  a  sin  {nt  -\-  v)  -\-  'iLb  ûnpt, 

où  sin(«^-(-i')  est  l'un  des  termes  à  courte  période  et  où  s'xnpt  est  l'un  des 
termes  à  longue  période.  Pour  plus  de  simplicité,  je  n'envisagerai  qu'un  terme 
de  chaque  sorte  et  j'écrirai 

{ 13)  -j-;  =^  a  9'\n{nl -i- v) -\- b  in\pt. 

Je  supposerai  que  a  et  n  sont  petits,  mais  b  cl  p  beaucoup  plus  petits,  de 

b  •     1  I  ,  //  .,         •  11'^" 

sorte  que  -  soit  beaucoup  plus  grand  rpie     , ,  et  que  p-  soit  comparable  a  —  ■ 

Posons  alors 
(10)  ,    =  a  5111  (  ni  ■+■  l'u  ) 


6o8  SUR   LA   MÉTHODE   HORISTIQUE   DE    GYLDÉN. 

et 

r  =  l'o  +  £. 
En  ni'gligeant  le  carré  de  £,  on  trouve 

d-£  ,       ,    . 

(17)  -J-;  =   «£  COS(/(/  -f-   l'o  1  -(-  6   Slll///. 

Dans  les  anciennes  méthodes  (Stockwell  et  Harzcr)  on  néglige  le  premier 
terme  (jui  est  à  courte  période  et  l'on  écrit 

0    . 

£  = sin  pt. 

F' 

\  oici  maintenant  ce  que  donne  la  méthode  horistique  appliquée  par  M.  Back- 
lund.  On  trouve  sensiblement 

«    .  ,,   ,  ,  rt    .   , 

Cn  = un  ni,         a  ou         cos («/  +  (•,■)  =  cos«^  H sin-/i^. 

/i-  n- 

L'équation  (  i-)  devient  ainsi 

d-s.         !  a-    .         \       ,    . 

—-—  =  c     a  cos  lit  H siii  -nt  1  +  u  sm  iit 

dV-  \  n-  j  ' 

ou,  si  Von  conserve  seulement  la  valeur  moyenne  du  coefficient  de  s  : 

d-i         a-  ,     .  „    ,  ù  b'in  11/ 

-7—  = E  -i-  0  ^111  ///,         a  OLi         £  = — •  • 

al-       2/i-  '1- 

Telles  sont  les  deux  analyses  entre  lesquelles  il  s'agit  de  décider;  cela  est 
facile,  puisque  les  équations  (16)  et  (17)  peuvent  s'intégrer  exactement  et  que 
Gjldén  lui-même  a  souvent  intégré  des  équations  de  même  forme  dans  le  cours 
de  ses  recherches. 

Cette  intégration  montre  que  le  terme  en  sinpl  qui  est  le  seul  sensible  est 

réduit  à 

h  sinpl, 

£  = ; î 

ce    (fui    est    conforme    aux    résultats    obtenus    par    les    anciennes    méthodes 
{Cf.  C.  lî.  Acad.  Se,  t.  132,  p.  50)  ('). 

Backlund  revenant  sur  la  question  [(J.  /t.  Acad.  Se,  t.  132,  p.  291) 
découvrit  le  point  faible  de  l'analyse  qu'il  avait  d'abord  suivie;  mais  il  voulut 
généreusement  prendre  la  faute  tout  entière  sur  lui  et  disculper  fîyldén,  sa 

Cj  C)Euvies  de  Henri  l'oincarè,  l.  VIll. 


SUR  LA  MÉTHODE  HORISTIQUE  DE  GYLDÉN.  609 

conduite  dans  celte  circonstance  montre  que  son  caractère  est  digne  de  son 
talent. 

«  Gyidén,  dit-il,  considère  dès  le  début  des  approximations  l'équation 

(18)      —r-  =  az  coi(  nt  -+-  l'o) ae-  sin(n«  H-  Cn)  —  -r  «£'  cos(  nt  -h  Vo)  -+-  b  ain pt 

dt-  2  6 

(c'est-à-dire  qu'il  néglige  s'  et  non  £-)  et  il  arrive  pour  le  terme  en  sva.pt  à 

Il  ■  b  i\wpt  ,       ,,  ,  ,  ,  .  (7-  . 

1  expression — ^)  ou  v-  est  sans  doute  beaucoup  plus  petit  que  — -i  mais 

n'est  cependant  pas  nul.  » 

Backlund  reconnut  ensuite  [Bull.  Aslr.,  t.  19,  p.  433)  que  la  même  objection 
s'applique  non  seulement  au  cas  de  la  précession,  mais  aussi  au  cas  d'Hécube, 
el  il  ajouta  qu'il  serait  très  désirable  qu'une  analyse  plus  approfondie  conduisit 
à  la  détermination  de  v'-. 

Ce  qui  résulte  de  l'analyse  précédente,  c'est-à-dire  de  l'intégration  exacte  de 
l'équation  (17),  c'est  que  v-  s'annule  avec  b.  Voyons  comment  Gjddén  traite 
notre  équation  (18),  qui  joue  un  rôle  analogue  à  celui  de  son  équation  (12)  de 
la  page  189  {voir  p.  189  à  199). 

Par  une  série  de  transformations  assez  compliquées,  il  la  ramène  à  la  forme 


g_,024?'A..r-96?^(J)V=V, 


Y  représentant  un  ensemble  de  termes  connus;  c'est  son  équation  (16)  de  la 

page  198.   Gyidén  réduit  (  ;t- )    à  sa  valeur  moyenne,  qui  est  une  constante 

positive,  quitte  à  faire  passer  les  termes  négligés  dans  le  deuxième  membre  et 
à  les  confondre  avec  Y.   Son  équation  prend  alors  la  forme 

d-v 

-iH;  —  ^y  —  —  Q  [équation  (17)  de  la  page  198J, 

où  p  est  une  constante  positive  et  oiî  Q  est  connu.  C'est  ce  terme  en  ^y  qui 

permet  d'éviter  les  petits  diviseurs  et  qui  joue  le  rôle  de  «  terme  lioristique  ». 

C'est  toujours  le  même  procédé  qui  consiste  à  remplacer  une  des  fonctions 

qui  figure  dans  nos  équations  par  sa  valeur  moyenne,  et  dont  nous  avons  à 

plusieurs  reprises  reconnu  l'illégitimité.   Mais  ici  le  terme  en  \-t-)    ne  joue 
qu'un  rôle  secondaire,  car  (  -r-  )    est  beaucoup  plus  petit  que  h-,.  C'est  donc  le 

terme  en  h^y  qui  est  le  principal  terme  lioristique  ;  comment  s'est-il  introduit 
dans  les  équations  de  Gyidén?  Nous  le  voyons  apparaître  à  la  page  189. 
H.  P.  —  VII.  77 


6lO  SUR    LA    MÉTHODE    HORISTIQUE    DE    GYLDÉN. 

«  D'rtbord,  dit  Gyldéu,  nous  en  rclranchons  le  terme  dépendant  de  la  partie 
constante  de  V],  tonne  <|ui  se  réiniit  iininédi.ilenionl  avec  la  fonctiou  Z„.  » 

Voici  ce  que  cela  veul  dire;  reprenons  notre  équation  (là);  en  posant 
comme  nous  l'avouN  fait  c  =  (•„  -j-  £,  el  négligeant  £',  elle  peut  s'écrire 

■  ^   -*-~jP  =  a  s\\i{/it  -\-  Vo)  -+■  «£  cos( lit  -+-  t'o  j 

cic-  sml^nl  H-  l'n)  —  c'^^"  cos (nt  -h  f o)  -{-  o  sin pt. 

Nous  avons  vu  comment  cette  équation  peut  se  scinder  en  deux  pour  donner 
les  équations  (i6)  et  (18);  mais  Gyldén  ne  fait  pas  tout  à  fait  la  même  chose; 
il  scinde  l'équation  de  la  façon  suivante  : 

(  :fi  bis)  —j-r  =  "  (  i )  sin  (  nt  -+-  i'„  ;, 

(18  bis)  -v4  —  aecos{nt  +  i'(i)]=  —  -«(£'-—/()  iin{ iit  +  c,,) 

T-cos(«/  -H  Vo)  -h  o  iinpt, 

la  constante  h  (jni  joue  le  .rôle  de  /tj  l'iant  la  valeur  moyenne  de  la  fonction 
périodique  £-. 

L'équation  (^18  Ois)  ne  dillere  que  par  les  notai  ions  de  l'équation  (ly)  de  la 
page  189  de  Gyldén.  Dans  celte  équation  (12)  nous  voyons  la  constante  /i-^ 
figurer  deux  fois;  à  savoir  dans  le  deuxième  et  le  troisième  terme.  (.]et  h-,  qui 
ligure  dans  le  troisième  terme,  finit  dans  la  suite  des  transformations  par  aller 
se  perdre  dans  les  termes  connus  Y  ;  le  terme  «  horistique  »  de  l'équation  (l'i) 
de  Gyldén  provient  donc  uniquement  du  second  ternie  de  l'équation  (12), 
c'est-à-dire  du  terme  en  Vi.  Les  lenncs  eu  s-  —  /(  et  en  ;',  dans  la  suile  de 
l'analyse  de  Gyldén,  finissent  par  se  confondre  dans  les  termes  connus  \  . 

Voici  donc,  en  dernière  analyse,  eu  quoi  consiste  la  méthode  de  Gyldén. 
En  première  approximation  on  remplacera  £-'  —  /t  el  £  '  par  zéro  dans  le 
deuxième  membre  de  [iHbis)  et  Ion  intégrera  (t(ibis)  et  (iSbis).  Dans  (lôbis) 
on  donnera  à  h  une  valeur  positive  quelconque  de  l'ordre  de  £-.  En  deuxième 
approximation,  on  remplacera  dans  le  deuxième  menihri'  de  (iSbis),  e-  —  h 
el  £^  par  leur  première  valeur  approchée;  qnani  à  //  on  le  remplacera 
dans  {idbis)  par  la  valeur  moyenne  de  la  fonction  périodi(jue  £-  obtenue  en 
première  approximation;  el  ainsi  de  suile. 


SUR    LA   MÉTHODE    HORISTIQUE   DE   GYLDÉN.  6ll 

Cette  méthode  serait  légitime  si  le  terme 

(ig)  —  —  sin(/i;-)-('o) 

dont  on  tient  compte  était  plus  important  que  le  terme 
(20)  (£-—/()  sin(n< -F  i>o) 

que  l'on  néglige.   Or  le  terme  le  plus  important  de  i  est  un  terme  en  sin/?^,  soit 
donc 

g  =  /f  i\\\pt. 

Le  terme  (19)  dont  on  tient  compte  est 

—  sin(  n/  -\r  l'o). 

4. 

Le  terme  (20)  que  l'on  néglige  est 

ak-    .    ,                                   ak- 
H 5-  siii(«;  -I-  ipt  -+-  l'o)  H ;—  siii(/i<  —  ipt  +  l'o). 

Les  coefficients  sont  du  même  ordre,  les  arguments  sont  à  peu  près  les 
mêmes  puisque  p  est  beaucoup  plus  petit  que  «;  l'intégration  ne  peut  intro- 
duire de  petit  diviseur  ni  en  ce  qui  concerne  (19),  ni  en  ce  qui  concerne  (20). 
Il  n'y  a  aucune  raison  pour  tenir  compte  de  l'un  des  termes  plutôt  que  de 
l'auli-e. 

L'analyse  de  Gyldén  ne  peruiet  donc  pas  de  trancher  la  question.  Il  s'agit 
de  déterminer  le  coefficient  de  iinpt.   D'après  les  anciennes  théories  il  sérail 

sensiblement  --■     D'après   Gyldén  il  serait  -■ où   v   serait  lui-même   de 

l'ordre  de  —  •   Il  faut  dune  faire  le  calcul  en  considérant  b  et  w  comme  très 

petits  et  de  telle  façon  que  — ;  soit  fini  :    c'est-à-dire  développer  suivant  les 

puissances   de   b  et  conserver   seulement   parmi  les   termes   en   b"   ceux   qui 
contiennent  p-"  au  dénominateur,  c'est  précisément  ce  que  l'on  fait  dans  la 

méthode  de  Delaunay  ;  si  nous  trouvons  — ;   pour  le  coefficient,  Gyldén  aura 

tort,  si  nous  trouvons  une  fonction  de  — :  oui  ne  devient  pas  infinie  avec  -rj 
Gyldén  aura  raison. 

Appliquons  donc  la  méthode  de  Delaunay  ;  posons  y  z=nt-\-  c,  de  sorte  que 

notre  équation  devient 

'l-'^L  ■  ,    ■ 

—~  =  a  sin  X.  -t-  "  iiupt. 


6l2  SUR    LA    MÉTHODE    HORISTIQUE    DE    GYLDEN. 

Nous  pouvons  alors  écrire,  en  introduisant  une  variable  auxiliaire  );'  : 

</y'  di         .      b 

— ^  =  asiii/,  -J^  T=i  ■/ cospl. 

dt  '■  dt       ''•        p        ' 

Posons  (en  introduisant  deux  nûu\elk's  variables  auxiliaires  z  et  u) 

F  =  -  x'"-  -  -  X.'  cos;  +  a  cosx.  +  pu, 
nos  équations  prendront  la  forme  canonique  : 


d/: 

dV 

d/       dV 

dz       dV 

du 

dF 

dt 

-^: 

dt  ~  d/;  ' 

dt  =  du  =^'' 

dt  " 

,lz 

AppIi(juons  la  méthode  de  .lacobi. 

Soit  une  fonction  S  de  la  variable  -/^  et  du  paramétre  W  définie  jjar  l'équation 


Posons  ensuite 

Nous  voyons  : 
i"  que 


^  j'=2[0(\V)-«C0S/J. 
</x'  r/W  J    ^2(9— rtCOSX.) 


y'2 

i^ a  cos /^  =  ç (  W ) ;. 


2"  que  x'<^%  —  Wû?n'  est  une  différentielle  exacte  ; 

3"  que  y[,  cos;^  et  sin;^  sont  des  fonctions  doublement  périodiques  de  tv  ; 
nous  pouvons  choisir  la  fonction  cp(W)  de  façon  que  la  période  réelle 
soit  27r,  et  que  /;',  cos;^  et  sin;^  soient  développables  suivant  les  sinus  et  cosinus 
des  multiples  de  w. 

Il  vient  alors 

F  =  9  (  W  )  -*-  /»a /_'  cos  z 

et  les  équations  conservant  la  forme  canonique  s'écrivent 

dt   ~  dw'  dt  "  ~  rfW  '  dt  ^  ''' 

\a  fonction  F  est  développable  suivant  les  cosinus  et  les  sinus  des  multiples 
de  w  et  de  z.  Pour  appliquer  la  méthode  de  Delaunay,  il  faul  ne  conserver 
dans  F  que  les  termes  «  à  longue  période  »  c'est-à-dire  ici  ceux  qui  ne 
dépendent   pas   de   iv,    mais   seulement   de   z.     Pour  cela   nous   n'avons   (|u'à 


SUR    LA    MÉTHODE    HORISTIQUE   DE   GYLDÉN.  6l3 

réduire  '/  à  sa  valeur  moyenne  qui  est  une  fonction  de  W  que  j'a])pelle  ;»;'„,  de 
sorte  que 


d'où 


d'où 


F  =  ;(W)+/)«  — -x'ocos;, 


ofW  dw  b  dx'o  <lz 


w  =  const.,         z=pt,         iv  =  — <s'(W)h r-T^sinni. 


On  voit  que  w  contient  un  terme  en  —  sin^f  qui  devient  très  grand  si  — ^  est 

très  grand  ;  or  ■/_,  d'après  nos  hypothèses,  est  une  fonction  de  ci'  qui  augmente 
de  27r  quand  iv  augmente  de  271.  S'il  y  a  dans  w  un  terme  périodique  d'am- 
plitude très  grande,  il  y  en  aura  également  un  dans  ;^. 

Le  phénomène  «  horistique  »  ne  peut  donc  se  produire  comme  l'avait  cru 
Gyldén. 

IX.   -  Examen  d'une  équation  particulière. 

Passons  maintenant  à  la  page  208  ;  nous  y  trouverons  l'équation 

/      ^  d-y  dy 

(21)  -T^ -4- uy-ji- =  —  a  sina«. 

^      '  du^       '  •'   du 

(jyldén  cherche  une  solution  périodique  de  cette  équation  de  la  foime 

y  =  S/.n  sin  «  !jr/, 

n  étant  entier  positif  ;  on  prend  plaisir  à  se  trouver  en  présence  d'un  problème 
aussi  simple  et  aussi  nettement  posé.  • 

Gyldén  cherche  à  déterminer  les  coefficients  x„  et  il  arrive  à  la  (in  de  la 
page  209  à  une  équation  qu'il  cherche  à  discuter. 

«  Maintenant,  dit-il,  on  supposant  que  les  coefficients  •/•,,  •/•,,  ....  ou  connus, 
ou  négligeables,  il  se  comprend  que  la  quantité  Z|,  qui  s'obtient  parla  résolu- 
tion  de  l'équation   précédente   du   troisième   degré,    ne   surpasse  jamais   une 

certaine  limite  qui  s'approche  dautant  plus  de  zéro,  que  la  valeur  de  ~:7-  est 
plus  petite. 

«  On  aura  facilement  des  résultats  semblables  relativement  aux  coefficients  xo. 


6l4  SUR    LA   MÉTHODE    HORISTIQUE    DE    CYLDÉN. 

Pour  juger  ce  rosiillat,  développons  les  deux  membres  de  (21)  suivant  les 
puissances  de  u,  et  égalons  les  coefficients  de  u,  il  viendra 

a-  [  —  Sx  «2  -H  ij. (  Sx/i  )-  ]  =  —  rt  a, 
il'uù 


(aa) 


|x|n2H-,u(S|x|«y-> 


Si  (j  est  très  petit,  le  second  memhie  de  cette  inégalité  est  très  grand,  d'où  il 
suit  que  les  x  ne  peuvent  pas  être  tous  limités. 

Dira-t-ou  que  la  série  ix  est  convergente,  mais  que  la  série  ixn-  diverge,  de 
sorte  que  le  premier  membre  de  l'inégalité  peut  être  très  grand,  bien  que  tous 
les  X  soient  limités? 

Non,  car  tant  ([ue  la  solution  périodique  existe,  y  est  une  fonction  analy- 
tique de  u,  ses  dérivées  d'ordre  quelconque  sont  des  fonctions  périodiques 
de  u  et  sont  comme  elles  développables  en  série  de  Fourier.  La  série  2  |  x  |  /i''  est 
donc  convergente  quelque  grand  que  soit  p.  Soil  y  la  plus  grande  des  valeurs 
de  71*  I  X  I ,  l'inégalité  (22)  nous  donnera 


ce  qui  montre  que  y  croît  indéfiniment  avec 


D'ailleurs  si,  commet  le  dit  Gjldén,  x^,  x,,,  .  .  .  étaient  «  négligeables  »,  le 
premier  membre  de  (22)  ne  dépendrait  plus  que  de  xi  et  xj  et  ne  contiendrait 
plus  qu'un  nomlire  fini  de  termes.  1!  serait  donc  impossible  que  xi  et  xo  soient 
tous  deux  limités. 

Enfin  montrons  plus  directement  encore  que  y  ne  peut  être  limité.  Soit  M  le 
maximum  de  \y\.    Intégrons  l'équation  (21  )  sous  la  forme 


riv      M    .      a 

-~ y2  =  —  en?  n  u  ■ 

r/u         2  -^  5 


dy 


Égalons  les  coefficients  de  coso-w  dans  les  deux  membres  ;  dans  ■—  le  coefficient 
est  plus  petit  que  tto-M,  dans  »•'-  plus  petit  que  ttM-;  nous  aurons  donc 


-7  M  -i-nM^!-> 
7. 


ce  qui  montre  que  M  croît  indéfiniment  avec 


SUR    LA   MÉTHODE   HORISTIQUE   DE   GVLDÉN.  6l5 

\.  —  Équations  du  rayon  vecteur. 

J'arrive  an  §  7,  |)ai;e  ■?.i'j.  \ous  y  retrouvons  l'équalion  (i),  avec  celle 
différence  que  le  deuxième  membre  au  lieu  de  se  réduire  à  un  seul  terme  en 
comprend  plusieurs  de  même  forme,  ilonl  je  désignerai  l'ensemble  par  X. 
Nous  avons  donc 

(23)  '||  +  (,_a)p_(3p3  =  x, 

Gyldén  écrit  ici  z  au  lieu  de  p;  [j;i  au  lieu  de  ,3,  et  Z  au  lieu  de  i  —  a  ;  mais 
dans  toute  la  première  partie  de  son  analyse,  il  suppose  Z  constant  et  voisin 
de  I. 

Nous  aurons  d'ailleurs 

X  =  —  S  A „  cos  G„,         G„  =  9  X„  e. 
Gyldén,  page  229,  introduit  deux  variables  nouvelles  y  et  <h  et  pose 


Alors  l'équation  (aS)  est  remplacée  par  les  deux  équations  suivantes  [équa- 
tions (3)  et  (4)  de  Gyldén]  : 

(.4)  _.  =  (,-^,^K_p-i_^, 

(15)  g  +  (,_a-.^)_y  =  (i  +  0.)X  +  2  Ji  J'  +  Y, 

où  Y  désigne  un  ensemble  de  lermes  inutiles  à  écrire. 

Quant  à  v-,  c'est  une  constante  choisie  de  telle  façon  que  d-  soit  une  série 
trigonométrique  dont  la  partie  constante  est  nulle. 

L'équation  (24)  peut  être  remplacée  par  la  suivante  [équation  (3')  de 
Gyldén]  : 

(2^  bis)  __f_ov26  =  U, 

U  étant  un  ensemble  de  termes  inutiles  à  écrire. 

Voici  alors  comment  Gyldén  conduit  les  approximations.  Il  fait  d'abord 
(L  =;  o  dans  les  deuxièmes  membres  de  (aS)  el  (a/ibis)  et  il  détermine  à  l'aide  de 
ces  deux  équations  y,  'h  et  v-  ;  il  substitue  ensuite  ces  valeurs  des  inconnues 
dans  les  deuxièmes  membres,  ce  qui  lui  fournit  des  valeurs  plus  approchées  de 
ces  mêmes  inconnues  ;  et  ainsi  de  suite. 


6l6  SUR   LA   MÉTHODE   HORISTIQUE  DE  GYLDÉN. 

En  première  approximation,  il  trouve 


el  il  a  aussi  page  2.3o  une  expression  de  ']>  que  je  ne  transcris  pas. 

Commençons  par  comparer  avec  les  résultats  du  Chapitre  premier.  Dans  ce 
Chapitre,  le  deuxième  membre  X  se  réduisait  à  un  seul  terme  — ycosr;  et 
(^lyldén  s'efforçait  d'obtenir  l'intégrale  générale  dépendant  d'une  constante 
arbitraire  appelée  a;.  Il  obtenait  ainsi  l'équation  (a)  qui,  nous  l'avons  vu,  est 
fausse  en  général  ;  mais  quand  il  se  bornait  à  chercher  l'intégrale  particulière 
qui  correspond  au  cas  de  o"  =  o,  son  équation  se  réduisait  à 

(3)  3.    , 

jpxi  -h  axx  —  y  =  o 

ijui  esL  exacte. 

Dans  le  Chapitre  que  nous  citons  maintenant,  Gyldén  ne  cherche  plus 
l'intégrale  générale,  mais  seulement  l'intégrale  particulière  dont  il  vient  d'être 
question.  Donc  quand  X  se  réduit  à  un  seul  terme,  il  devrait  retrouver  l'équa- 
tion (3)  à  la  différence  des  notations  près. 

Soit  donc 

X  =  —  Al  cos  Gi  =  —  Y  cos  V, 

c'est-à-dire 

Al  =  Y,        2X1  =  I. 

Les  formules  de  la  page  280  donnent  alors 

y  =  a.-icos0i,         Xx  =  ,  v^  =  —  Ba;r,         i  =  — -i — -— cosaOï. 

a  -I-  V-  2  ^  ■        8  H-  4v2 

Observons  que  d'après  l'équation  (8)  si  a  et  y  sont  très  petits  et  (3  fini,  x^  est 

de  l'ordre  de  y/y  et  par  conséquent  petit;  donc  x]  et  par  conséquent  <h  sont 

négligeables  devant  l'unité.   On  a  donc 

P  =  _X  =  Xi  cos  f         et         'l'^Xi  -ir  :îxi — Ai  —  o 
OU 

-  pa^v  ■+-  axi  —  Y  =  o. 

C'est  bien   une  équation   de   la  forme  (3);  mais  elle  est  incompatible   avec 
l'équation  (3)  puisque  les  coefficients  sont  différents. 

La  méthode  de  Gyldén  est  donc  non  seulement  illégitime,  mais  encore  en 
contradiction  avec  l'un  des  rares  résultats  exacts  qu'il  avait  obtenus  anté- 
rieurement. 


SUR    LA   MÉTHODE    HORISTIQUE    DE   CYLDÉN.  617 

D'où  provient  celle  divergence?  Pour  que  la  méthode  d'approximation 
fût  légitime,  il  faudrait  que  les  termes  négligés  fussent  plus  petits  que  les 
termes  conservés.    Or  il  n'en  est  rien,  il  est  aisé  que  constater  que  dans  le 

deuxième  membre  de   (20)  le  terme  ^  -f-  -J-  que  l'on  néglige  est  du  même 

ordre  que  le  terme  X  que  l'on  conserve.  El  cela  est  vrai,  bien  entendu,  que  X 
se  réduise  à  un  seul  terme,  ou  en  contienne  plusieurs  (cf.  C.  R.  Acad.  Se, 
t.  138,  p.  933)('). 


XI.  —  Analyse  du  troisième  Chapitre. 

Enfin,  dans  le  Chapitre  III,  Gyldén  cherche  à  appliquer  au  problème  des 
trois  corps  les  principes  établis  dans  les  deux  premiers  Chapitres;  comme  nous 
avons  vu  que  ces  principes  sont  faux,  il  paraît  superflu  d'en  discuter  les  applica- 
tions. Un  mot  seulement  sur  la  conclusion  la  plus  importante.  Les  termes  les 
moins  élevés  de  la  fonction  perturbatrice  peuvent  donner  lieu  au  phénomène 
connu  sous  le  nom  de  libralion  ;  mais  il  n'en  est  pas  de  même  des  termes 
d'ordre  élevé;  pour  ceux-ci,  en  effet,  les  termes  horistiques  prennent  une 
influence  prépondérante  et  s'opposent  à  la  libralion. 

La  fausseté  de  cette  conclusion  est  manifeste.  J'ai  établi,  en  effet,  par  des 
démonstrations  rigoureuses  dans  les  Méthodes  nouvelles  : 

i"  Qu'à  chaque  terme  de  la  fonction  perturbatrice,  quelque  élevé  qu'en  soit 
l'ordre,  correspond  un  système  de  solutions  périodiques  de  la  deuxième  ou  de 
la  troisième  sorte  ;  ces  solutions  sont  développables  suivant  les  puissances  des 
masses  et  les  séries  convergent  pourvu  que  les  masses  soient  assez  petites 
(Chap.  III). 

2"  Que  parmi  ces  solutions  périodiques  il  j  en  a  autant  de  stables  que 
d'instables;  que  les  solutions  très  voisines  d'une  solution  périodique  stable 
oscillent  autour  de  cette  solution  périodique,  ce  qui  donne  lieu  à  la  libralion, 
que  par  conséquent  un  terme  quelconque  de  la  fonction  perlurbatrice  engen- 
drera une  libralion,  à  moins  que  les  exposants  caractéristiques  correspondants 
ne  soient  tous  nuls  (Chap.  IV). 

3"  Que  d'autre  part  on  ne  saurait  prétendre  que  pour  les  termes  d'ordre 
suffisamment  élevé,  ces  exposants  sont  nuls.   Il  suffit  pour  s'en  convaincre  de 


(')  Œuvres  de  Henri  Poincaré,  ce  Tome,  p.  583. 

H.  P.  —  VII.  78 


6l8  SUR    LA    METHODE    HORISTIQUE    DE    CYLDÉN. 

former  les  expressions  approchées  des  termes  d'ordre  élevé  de  la  fonction  per 
inrbalrice  par  la  méthode  de  Darboux  (Chap.  VI,  en  particulier  n°  102). 

La  conclusion  de  Gyldén  est  donc  fausse;  où  s'esl-il  trompé?  Je  ne  puis  le 
dire  exactement;  il  s'appuie  sur  ce  qu'un  certain  coefficient  a  est  négatif  pour 
les  termes  élevés,  page  aija  ;  doù  tire-t-il  cette  affirmation,  il  m'a  été  impos- 
sible de  le  découvrir;  il  la  déduit  sans  doute  de  quelque  proposition  antérieure 
qu'il  néglige  de  rappeler.  Quelle  est  cette  proposition,  est-ce  une  de  celles 
dont  nous  avons  reconnu  plus  haut  la  fausseté;  est-ce  une  autre  qui  m'a 
échappé  et  qui  serait  alors  également  fausse,  puisqu'elle  conduit  à  une 
conclusion  inexacte?  Je  ne  puis  le  savoir. 

En  résumé,  de  tout  ce  grand  effort,  il  ne  reste  rien. 

Quelques-uns  des  résultats  sont  manifestement  exacts,  mais  on  aurait  pu  y 
arriver  par  une  voie  beaucoup  plus  rapide  ;  un  plus  grand  nombre  sont  mani- 
festement faux  ;  la  plupart  sont  énoncés  d'une  façon  trop  obscure  pour  qu'on 
puisse  décider  s'ils  sont  vrais  ou  faux. 


SUR  LA  MÉTHODE  HORISTIQUE 
OBSERVATIONS  SUR  L'ARTICLE  DE  M.  BACKLUND 


Bulletin  astronomique,  t,  21,  p.  292-295  (août  :yo4). 


Je  suis  très  reconnaissant  à  M.  Baclilund  d'avoir  présenté  (')  les  théories  de- 
Gyldén  sous  une  forme  claire  et  nette,  qui  en  rend  la  discussion  facile. 

M.  Backlund  remarque  d'abord  que  j'ai  supposé  Z=i,  tandis  qu'on  a  en 
général  Z  =n:  i  —  (3,  |3  étant  de  l'ordre  des  masses.  On  peut  néanmoins  supposer 
Z  =  I  sans  restreinte  la  généralité,  car  l'écpiation  conserve  la  même  forme  ([uand 
on  pose 

et  à  l'aide  de  cette  transformation  on  peut  toujours  ramener  le  coefficient  de  z 
à  l'unité. 

M.  Backlund  restreint  le  second  membre  aux  termes  critiques,  c'est-à-dire 
à  ceux  011  les  ^j  —  2  o-  -t-  or^  sont  très  petils  par  rapport  à  |3.  11  ajoute  en  note,  et 
c'est  là  le  point  essentiel,  que  dans  ces  conditions  les  termes  en  G,  —  2  Go, 
2  Gi  —  G-2  ne  sont  pas  critiques. 

Il  est  clair  qu'il  ne  peut  y  avoir  là  qu'un  lapsus,  car  si 

(i  _  2  5,  +  a?  =  (  I  -  a,  )-  -  (  I  -  :i  iS  [i  -  2  cTo  -1-  cri  =  (  I  -  j,  r- -  (  I  -  po- 

sent très  petits,  il  en  sera  de  même  de 

[,,(,_,,)-(!- 'or—(i-[i)^ 

puisque,  à  cause  de  la  petitesse  de  (3  et  de  ct,  ces  trois  quantités  sont  sensible- 
ment en  progression  arithmétique. 

(')  Bulletin  astronomique,  t.  21,   l'jolt,  p.  2'iç)-2y.>. 


6ao  SUR    LA    METHODE    HORISTIQUE. 

Je  ne  relèverai  pas  ce  (jui  chez  M.  Backlimd  n'esL  (lu'unc  Inadvcrlanco,  si  ce 
iiVUail  là  précisément  l'erreur  fondamentale  de  Gyldén.  Il  est  impossible  que 
(i,  et  G2  soient  critiques,  sans  tjue  2  G| — G.j  le  soil. 

Du  moment  que  les  termes  en  a  Gi  —  G^  sont  criti(|ues,  M.  Backlund  n'a  pas 

plus  le  droit  de  négliger  ^-^z  (:■- —  ~H)  (|iie  Gyldén  de  négliger  S3-T7  -y-- 

M.  Backlund  arrive  ensuite  à  l'équation  qui  donne  les  coefficients  x;  si  je  la 
rapproche  de  celle  qu'à  obtenue  Gyldén  à   la  page   228,  j'y  vois  figurer  un 

termCyjSjH,  où  Gjldén  écrivait  ^|3;,H.  C'est  la  formule  de  M.  Backlund  qui 

est  correcte,  du  moins  dans  le  seul  cas  où  la  méthode  est  légitime. 

Dans  le  cas  général,  les  deux  formules  sont  inexactes,  et  l'on  peut  s'en 
rendre  compte  d'une  façon  élémentaire. 

Additionnons  les  deux  équations  (3)  de  M.  Backlund.  Si  nous  supposons 

A|  =  Ao,         Il  =  0-2. 
d'où 

0,  =  O.j,         X,  =  /.o. 

il  vient  (en  supprimant  les  indices  devenus  inutiles) 

G  x--»  H- 2x0=  ^  ^• 
Mais  si 

A,  =   A2,  ■71  =   32, 

les  deux  termes  en  G(  et  G^  se  confondent  en  un  seul;  tout  doit  donc  se  passer 
comme  si  l'on  avait 

Al  =  2  A.  Ao  =  o,         xo  =  o,         X|  =  9-x, 

d'où 

xy-H  X,  0,  =  -  Tj 
>    |j 

et  enfin 

S  ■/.■  -h  ■?  xO  =  -  -s  , 
j    |j 

équation  incompatible  avec  la  précédente. 

La  méthode  horistique  n'est  donc  pas  légitime  dans  le  cas  qui  nous  occupe. 

Quelques  mots  uiaintcnaut  sur  les  deux  remarques  ([ui  terminentl'article  de 
M.  Backlund. 

Il  est  vrai  que  Gyldén  a  dans  son  premier  Chapitre  traité  le  cas  des  termes 
dépendant  des  constantes  d'intégration  et  d'un  terme  connu  AiCosGi.  Il  l'a 


SUR    LA    MÉTHODE   HORISTIQUE.  62I 

même  fait  par  plusieurs  inélliodes,  mais,  parmi  ces  méthodes,  les  unes  sont 
fausses,  les  autres  ne  se  prêtent  pas  à  la  généralisation  en  question.  Cela  est 
d'ailleurs  sans  intérêt,  puisque  nous  venons  de  voir  que  la  méthode  est  fausse, 
même  en  laissant  de  côté  les  termes  qui  contiennent  des  constantes  d'intégra- 
tion. 

En  ce  qui  concerne  l'application  de  la  méthode  horistique  à  la  longitude,  j'ai 
reconnu  qu'il  n'y  avait  pas  de  coefficient  horistique,  même  quand  on  tient 
compte  des  termes  du  troisième  ordre.  C'est  ce  (jue  j'exposerai  dans  un 
Mémoire  plus  étendu  ( ').  L'erreur,  dont  M.  Backlund  veut  généreusement  s'attri- 
buer toute  la  responsabilité,  ne  lui  appartient  donc  pas.  Il  s'est  conformé  aux 
principes  généraux  de  la  méthode;  et  s'est  servi  du  mode  de  raisonnement 
préconisé  par  Gyldén,  et  dont  ce  savant  avait  fait  d'autres  apjdicalions.  Ce 
mode  de  raisonnement  consiste  à  remplacer  certains  coefficients  périodiques 
par  leur  valeur  moyenne  :  c'est  ce  qu'a  fait  M.  Backlund,  c'est  ce  (ju'avait  fait 
Gyldén;  si  l'astronome  russe  s'est  troin|)é,  ce  n'est  pas  qu'il  eu  a  mal  appliqué 
les  règles,  c'est  que  ces  règles  ne  valaient  rien. 

(')  Œuvres  de  Henri  Poincaré,  te  Tome,  p.  58-;. 


NOTES 


Les  nombres  liguranl  eiUio  paienllièses  renvoient  aux  Mémoires  publiés  dans  ce 
Volume,  conforniémenl  aux  numéros  qui  leur  sont  aflTeclés  dans  la  Table  des 
Matières. 

Les  did'ërents  Mémoires  ont  été  groupés  pour  la  publication  selon  leur  objet 
principal.  Plusieurs  liaitanl  de  divers  sujets,  il  n'a  pas  été  possible  d'adopter  le 
même  giouperaenl  dans  ces  iVotes,  qui  ont  été  réparties  sous  les  litres  suivants  : 

Résultats  généraux  ; 

Masses  fluides  en  rolulion: 

Principes  de  Mécanique  analytique  ; 

Séries  ; 

Solutions  périodiques  et  asymptotiques  ; 

Intégrales  uniformes  ; 

Invariants  intégraux. 

11  y  a  lieu  pour  chaque  sujet  de  se  référer  à  la  rubrique  correspoudante,  quelle 
que  soit  par  ailleurs  dans  le  présent  Volume  la  place  du  Mémoire  où  il  est  traité. 


Résultats  généraux. 

II.  l'oincaré  a  reproduit  une  grande  partie  des  travaux,  recueillis  ici,  sur  les 
masses  Jluides  en  rotation,  dans  ses  Ouvrages  :  Figures  d^équilibre  d^une  masse 
fluide,  Paris  (1902),  et  Leçons  sur  les  hypolhêses  cosmogoniques,  Paris  (1911), 
sans  y  introduire  d'importantes  modifications.  F.  Tisserand  en  fait  état  dans  le 
Tome  II  de  son  Traité  de  Mécanique  céleste,  Paris  (1891).  Portant  sur  un  domaine 
bien  délimité,  ils  n'ont  suscité  qu'un  nombre  restreint  de  recheiches.  On  retrouvera 
la  plupart  des  références  que  nous  indiquons  plus  loin,  et  des  détails  à  leur  sujet, 
dans  le  célèbre  Traité  de  H.  Lamb,  Hydrodynamics,  6'  édition,  Cambridge  (1903) 
et  New-York  (ig^o),  dont  la  bibliographie  très  complète  n'omet  que  les  propres 
publications  de  son  auteur. 

Des  Mémoires  de  H.  Poincaré  relatifs  au  Problème  des  trois  corps,  l'essentiel  se 
trouve  concentré  dans  (21),  qui  constitue  l'ossature  des  Méthodes  nouvelles.  A 
rencontre  de  ses  autres  travaux,  dispersés  dans  des  publications  variées,  celui-ci. 


624  NOTES. 

destiné  au  coucours  ouvert  par  le  roi  de  Suède,  groupe  des  éludes  exhaustives 
sur  des  sujets  inédits.  F.  Tissbran»  a  consacré  à  ce  Mémoire  le  Chapitre  XXVII  du 
Tome  l\  de  son  Traité  de  Mécanique  céleste,  Paris  (1896).  L'Ouvrage  de 
C.  ^  .  CiiARLiER,  Die  Mechanik  des  llimmels,  fait  une  large  place  aux  résultats 
obtenus  par  H.  Poincaré.  On  trouvera  dans  Z>j'/i«/w/ca/^_)'i/e/n*,  New-York  (  1927), 
de  G.  Birkuoff;  Treatise  on  t/ie  Analytical  Dynamics,  4°  édition,  Cambridge 
(igSô),  de  l".  T.  Wiuttaker;  The  analytical  Foundations  of  Celestial  Mechanics, 
Princeton  (1941),  de  A.  Wintner,  l'exposé  des  travaux  modernes  relatifs  au  pro- 
blème des  trois  corps,  auquel  ces  auteurs  ont  apporté  des  contributions  essentielles. 
I.e  dernier  Ouvrage  cité  contient  une  intéressante  bibliographie  historique. 

On  sait  que  les  méthodes  imaginées  par  M.  Poincaré  pour  la  Mécanique  céleste 
n'ont  pas  jusqu'ici  ser\i  de  base  à  de  nouvelles  études  des  mouvements  des  planètes. 
C'est  la  difficulté  que  présente  la  comparaison  de  développements  faits  avec  des 
variables  très  dillerentes  qui  semble  principalement  s'ojiposer  à  l'abandon  des 
variables  traditionnelles.  11  y  a  donc  lieu  de  signaler  particulièrement  à  l'attention 
des  calculateurs  les  Mémoires  (24),  (23),  (27),  (34),  qui,  postérieurs  à  la  publication 
des  Métltodes  nouvelles,  n'ont  pas  été  l'objet  d'une  large  dillusion  [quoique  (24)  soit 
utilisé  par  Wiuttaker,  loc.  cit.,  §  l'6~\.  On  y  trouvera  :  d'une  pail  un  procédé  de 
réduction  du  système  dillerentiel  au  douzième  ordre  qui  lui  conserve  la  forme  cano- 
nique sans  compliquei'  l'expression  de  la  fonction  perturbatrice;  d'autre  part  un 
exposé  svnlhétique  de  tous  les  procédés  de  résolution  utilisés,  permeltanl  de  choisir 
celui  qui  se  trouve  le  mieux  adapté  à  chaque  problème  et  de  réaliser  éventuellement 
le  passage  de  l'un  à  l'autre. 

Masses  fluides  en  rotation. 

Figures  annulaires.  —  On  remarque,  au  début  de  (2),  l'absence  du  terme 
^icoscp  dans  l'équation  polaire  de  la  section  méridienne  de  la  figure.  Ce  n'est  pas  là 
une  traduction  rigoureuse  de  la  condition  d'après  laquelle  le  pôle  est  le  centre  de 

gravité  de  la  section.  L'hypothèse,  faite  plus  loin,  que  les  termes  en  ^  sont  négligés 
devant  les  termes  en— justifie  cependant  cette  équation  :  le  calcul  montrerait  en 

ellét  que  (3i  s'exprime  par  une  somme  de  termes  de  la  forme      ),'  {i, /  >  i  ),  lorsque 

le  pôle  des  coordonnées  est  au  centre  de  gravité.  Toutefois,  il  est  probable  que  la 
présente  approximation  ne  puisse  pas  suffire  pour  l'étude  éventuelle  de  la  stabilité 
de  la  figure  annulaire. 

L'expression  du  potentiel  V  qu'on  trouve  dans  (2)  y  est  donnée  sans  justification. 
I^e  détail  des  calculs  figure  dans  (3)  cl  conduit  à  une  valeur  légèrement  dilTérente 
de  l'expression  primitive.  11  y  a  donc  lieu  de  modifier  dans  (2)  toutes  les  formules 
qui  suivent  celles  de  l'expression  du  potentiel  (jusqu'à  ce  que  soit  abordée  l'étude 
du  problème  suivant,  relatif  à  l'équilibre  de  plusieurs  anneaux),  conformément  aux 
indications  données  dans  le  Mémoire  rectificatif.  En  particulier,  à  la  valeur  donnée 

r^      /8R        5^ 


dans  (2)  pour  w-,  il  faut  substituer  l'expression  2  7î  g^  log  ,  . 


NOTES.  625 

L'élude  lie  la  ligure  annulaire  qui  esl  faite  au  paragiaphe  o  de  (6)  n'est  pas  iden- 
tique à  celle  que  l'on  trouve  dans  (2);  mais  on  peut  confronter  les  formules  (5)  et 

suivantes  données  dans  (6)  avec  la  formule  U  = —  log 1-  .  .  .  +  U'  figurant 

2  To 

dans  (2);  on  constate  qu'elles  sont  en  léger  désaccord,  cette  divergence  ne  pouvant 
d'ailleurs  afl'ecler  les  conclusions  de  (6)  qui  sont  de  nature  qualitative. 

On  verra  dans  un  Mémoire  inséré  au  Tome  \  III  des  < lEavres  qu'en  présence  d'une 
masse  centrale  et  dans  les  conditions  physiques  qu'ollre  l'anneau  de  Saluine,  la 
figure  annulaire  (qui  n'est  évidemment  pas  identique  à  celles  qu'on  a  considérées 
ici)  est  instable.  Ce  résultat  est  reproduit  dans  (  13),  avec  le  schéma  d'un  laisonne- 
ment  qui  doit  permettre  de  le  retrouver,  et  qui  s'appliquerait  aussi  aux  figures 
annulaires  de  M""'  Kowalewski  ;  (il  s'agit  probablement  des  figures  annulaires  sans 
masse  centrale;  M""' Kowalewski  a  considéré  les  deux  cas).  Far  ailleurs,  II.  Poincaré 
écrit  à  plusieurs  reprises,  dans  ses  Mémoires  et  ses  Ouvrages,  que  les  figures  annu- 
laires sont  instables,  sans  nouvelle  justification.  Cette  affirmation  est  sujette  à 
caution.  L'instabilité  se  déduit  en  ellet  de  la  considération  de  deux  limites  pour  la 
valeur  relative  de  la  densité  de  l'anneau  par  rapport  à  celle  de  la  masse  cenliale  : 
une  limite  inférieure,  obtenue  par  Poincaré,  qui  n'est  pas  douteuse  (et  qui  peut 
même  être  améliorée);  une  limite  supérieure,  établie  par  J.  C.  Maxwell  (  0«  the 
Slobilily  oj the  Motion  of  Satura  s  Itings,  Cambridge,  iSSg)  à  l'aide  de  raisonne- 
ments peu  rigoureux  (  '  )  et  qui  semblent  supposer  pour  le  fiuide  des  propriétés 
d'ailleurs  non  précisées.  On  ne  peut  donc  considérer  comme  certain  que  les  figures 
annulaires,  avec  ou  sans  masse  centrale,  soient  instables  dans  toutes  les  conditions; 
un  nouvel  examen  en  serait  utile.  L'étude  des  figures  terminales  d'une  suite  de 
figures  annulaires  serait  également  souhaitable. 

Figuies  piiiforines.  —  V.n  suivant  une  séiie  d'ellipsoïdes  de  Jacobi  jusqu'au 
premier  point  de  bifurcation,  H.  Poincaré  avait  d'abord  cru  [voir  dans  (6)  la  fin  du 
paragraphe  14]  à  la  stabilité  de  la  figure  piriforme  obtenue.  Mais  le  principe  de 
l'échange  des  stabilités,  qui  avait  conduit  à  ce  résultat,  n'était  pas  valable  ici, 
comme  l'a  montré  K..  Schwarzschild  (Inaug.  Dissert.,  Munich,  1896).  Reprenant 
alors  le  problème,  G.  IL  Darwim  {P/iil.  Trans.,  t.  198A,  1901,  p.  3oi)  calcule  les 
axes  du  jacobien  critique  pendant  que  Poincaré  (12)  établit  les  formules  devant 
permettre  de  décider  de  la  stabilité,  calculs  qu'efTeclue  Darwin  (Pliil.  Trans., 
t.  200  A,  1902,  p.  301  )  et  qui  font  croire  à  nouveau  à  la  stabilité.  Cependant,  par 
un  procédé  difiërenl,  A.  \AS.PO\ifiorv  (Mémoires  de  P Académie  de  Saint-Pétersbourg, 
t.  17,  1905,  p.  3)  concluait  à  l'instabilité.  C'est  à  J.  II.  Jeans  que  révient  le  mérite 
d'avoir  tranché  le  débat  :  reprenant  le  calcul  du  moment  d'inertie  de  la  figure  (/'/t//. 
Trans.,  t.  213  A,  igiS,  p.  27'),  il  constata  que  Darwin  avait  négligé  des  termes  de 
Tordre  de  ceux  qu'il  avait  conservés,  reprit  les  développements,  des  plus  laborieux. 


(')  En  parlicuher,  on  déduit  cette  limite  d'une  certaine  inégalité  dont  on  néglige  un  terme 
en  vertu  d'une  inégalité  antérieure;  or  cette  dernière  a  été  obtenue  dans  un  problème  tout 
différent  de  celui  de  l'anneau  fluide,  et  n'a  a  priori  aucune  raison  d'élre  maintenue  ici. 
H.  Poincaré  reproduit  dans  ses  Hypothèses  cosmogoniques  (>'  édit.,  p.  33-4*^)  une  partie  de 
l'analjse  de  Maxwell. 

11.  r.  -  \ii.  79 


(]•>(>  NOTES. 

el  retrouva  le  lésiillal  obtenu  par  Liapounoll .  (  ]^uir  aussi  .Ieans,  Proh/enis  uf  Cosino- 
^ony,  Caniliridge,  1919,  où  les  autres  figures  d'équilibre  sont  également  étudiées, 
ainsi  que  leur  évolution). 

La  ligure  pirifonne,  instable,  évolue  par  une  scission,  en  deux  masses  distinctes 
au  moins.  K.  Cartan  a  démontré  {Proc.  Int.  Math.  Congr.,  Toronto,  t.  2,  19241 
p.  9)  que  la  ligure  devient  séculairement  el  ordinairement  instable  en  même  temps. 
Le  phénomène  a  par  suite  l'allure  du  «  cataclysme  »  qu'avait  prévu  Poincaré,  el 
il  n'v  a  aucune  raison  pour  que  révolution  conduise,  comme  on  l'avait  primitivement 
pensé,  à  un  svstème  d'étoile  douille  à  laible  excentricité.  Au  contraire,  on  peut  voir 
que  l'orbite  relative  est  hyperbolique  {cf.  II.  .1i,kfki:ys,  Monlliler  iS'otù  es  /{.  A.  .V., 
t.  101,  19^7,  p.  3',9  et  t.  i08,  1948,  p.  94). 

Petit.'!  mouKeinents  des  flinires  d^équilibre.  —  Le  procédé  employé  au  para- 
graphe 13  de  (6),  ([ui  consiste  à  «  solidilier  »  le  lluide,  à  en  considérer  une  défor- 
mation homogène,  el  à  chercher  dans  le  petit  volume  balayé  au  cours  de  la  défor- 
mation une  fonction  harmonique  satisfaisant  à  certaines  conditions  aux  limites,  a 
reçu  de  nombreuses  applications.  Nous  ne  pouvons  qu'en  mentionner  quelques-unes  : 
stabilité  du  sphéroïde  de  Mac  Laurin  (Bryan,  Darwin);  cylindie  elliptique  (Love); 
ellipsoïde  de  lévolulion  élastique  (Vilerbi);  fluide  dans  une  sphère  creuse  élastique 
(Love);  couche  mince  sur  un  noyau  sphérique  (llough). 

Résultats  dners.  —  Les  résultats  relatifs  à  la  limitation  de  lu  vitesse  de  rotiilion 
d'une  masse  fluide,  (2),   (6),  (10),  ont  donné  lieu  à  plusieurs  extensions.  II.  Lasib 

{llydrody munies,  §  372)  a  montré  (]ue  la  vilesse  limite  y'a  t.o  est  valable  (indépen- 
damment de  toute  question  de  stabilité)  que  la  masse  rencontre  l'axe  de  révolution 
ou  non.  U.  Cridi'Ij  {Ac-ad.  d.  Lincei,  t.  19,  1910,  p.  666)  a  lamené  cette  limite 
à  y/Trp  pour  les  volumes  convexes.  II.  Lamb  [Ioc.  cit.)  a  le\é  cette  restriction  de 
convexité. 

l'oincaré  a  démonlié  d'une  façon  originale  dans  (8)  et  (  10  j  que  la  sphère  est  la  seule 
ligure  d'équilibre  stable  absolu,  propriété  que  Liapounoll' avail  établie  antérieure- 
ment. L.  LiciiïENSTEi.N  {Berl.  lier.,  1918,  p.  iiîo)  a  prouvé  que  toute  masse  lluide 
en  rotation  uniforme  admet  un  plan  de  symétrie  perpendiculaire  à  l'axe  de  rotation. 
Il  en  résulte  (ju'une  masse  fluide  au  repos  est  nécessairement  sphérirpie  (cf.  T. 
Carle.man,  Math.  Zeitschrifl ,  1.  3,  1918,  p.  1). 

Dans  (13),  les  résultats  de  la  théorie  sont  étudiés  au  sujet  de  leurs  ra[)ports  avec 
les  données  de  l'observation.  (]elles-ci  ont  subi  i|uei(|Me  é\(jlulloM  depuis  1892  : 

l'origine  de  la  variation  d'éclat  des  l'ioiles  a  été  rolijet  de  lli('-ories  satisfaisantes 
pour  toutes  les  classes  de  varialjles,  sauf  cependant  les  variables  irrégulières. 
L'interprétation  de  la  vaiiabililé  à  l'aide  des  formes  jacobiennes  est  donc  périmée; 
elle  ne  saurait  en  effet  convenir  aux  variables  irrégulières.  Notons  toutefois  que  la 
courbe  de  lumière  Ai',  certaines  vari(djlrs  à  ér/z/WM  est  alleplée  parla  non-sphéricitt' 
accentuée  qu'entraînent  les  forces  de  maiées  pour  les  masses  rapprochées  ; 

les  observations  pholométriques  (Barnard,  von  Seeliger),  photographiques 
(Wood)   ont   définitivement   confirmé    la    stiiictuie   corjiusculaire   îles   anneaux   de 


NOTES.  627 

Saturne,  que  la  Mécanique  céleste  faisait  prévoir.  Il  s'agirait  de  gouttes  de  glace 
très  dispersées; 

pour  raplatisseiiienl  de  la  Terre,  on  admet  depuis  les  travau.\  de  Hayford  (1909), 

la  valeur Les  mesures  çravimélriques  modernes  sont  eu  parfait  accord  avec  ce 

297 

nombre,  issu  de  mesures  géodésiques.  La  divergence  d'avec  la  valeur  déduite  par 
Poincaré  de  la  précession  observée  a  ainsi  disparu. 


Principes  de  mécanique  analytique. 


Les  résultats  exposés  dans  (17)  sont  justifiés  et  développés  dans  le  Chapitre  XXIX 
des  Méthodes  nome/les.  Une  restriction  à  la  validité  des  équations  obtenues  pour 
le  mouvement  relatif  a  été  faite  par  A.  Wintxer  {Sachs.  Sitzber.,  t.  82,  1980, 
p.  345). 

La  condition  nécessaire  et  suffisante  pour  qiCun  changement  de  variables 
conserve  la  forme  hamiltonienne  d'un  système  est  que  l'expression  'Lj'idxi  —  ly'idx'i 
soit  une  dillerentielle  totale.  Cette  propriété  tient  à  ce  que  la  relation  dillerentielle 
exprimée  caractérise  les  transformations  de  contact,  qu'un  système  hamiltonien 
peut  être  considéré  comme  traduisant  une  transformation  de  conlact  infinitésimale 
{voir  par  exemple  Wiiittaker,  loc.  cit.,  §  123),  et  que  les  transformations  de  contact 
constituent  un  groupe.  L'énoncé  apparaît  pour  la  première  fois  sous  sa  forme  précise 
en  1897,  dans  (23).  Le  caractère  suffisant  de  la  condition  a  été  justifié  et  utilisé 
bien  antérieurement,  par  Poincaré  lui-même  et  d'autres  auteurs;  il  peut  d'ailleurs 
se  déduire  d'une  méthode  imaginée  par  Jacobi  {C.  R.  Acad.  Sc.,\..  5,  1887,  p.  Gi) 
en  vue  de  la  cunstilulion  de  divers  changements  de  variables  canoniques.  La  nécessité 
d'une  telle  relation  dillerentielle  n'a  élé  démontrée  que  récemment,  par  J.  Chazï 
(  C.  R.  Acud.  Se.  t.  225,  1947,  p.  io4i  et  t.  226,  1948,  p.  19),  pour  des  variables 
dépendant  ou  non  du  temps. 

L'exposé  sur  la  Mécanique  de  Hertz  (18)  a  trait  à  l'Ouvrage  posthume  Die 
Prinzipien  der  Mechanik,  Leipzig,  1894.  Il  s'agit  dans  cet  Ouvrage  d'un  examen 
d'ensemble  des  fondements  de  la  Mécanique,  première  étude  critique  approfondie 
qu'on  ait  faite  sur  le  sujet.  La  considération  de  «  masses  cachées  «  n'a  certes  pas  été 
féconde,  mais  cet  échec  n'enlève  rien  à  l'intérêt  de  l'Ouvrage;  celte  hypothèse  n'en 
est  pas  l'objet  essentiel,  à  l'encontre  de  ce  qu'on  pourrait  croire  d'après  (18).  La 
disparition  prématurée  de  Hertz  l'a  empêché  de  parfaire  ses  raisonnements;  on 
note  en  particulier-  la  faiblesse,  non  de  Vobjection  de  la  boule,  mais  de  son 
exposé,  fait  par  l'intermédiaire  d'une  définition  des  systèmes  holonomes  qui  n'est 
ni  suffisante  (le  déplacement  de  la  boule  de  A  en  B  peut  se  faire  par  un  mouvement 
complexe,  mais  d'amplitude  \/£,  donc  infiniment  petit),  ni  nécessaire  (on  imagine 
facilement  des  systèmes  simples,  à  liaisons  solides,  dont  certains  déplacements 
infiniment  petits  exigent  un  déplacement  fini  des  éléments)  pour  que  le  principe  de 
moindre  action  soit  applicable. 

79. 


6a8  NOTES. 


Séries. 


Les  précédents  \olunies  des  Œuvres  contieniienl  dillerenls  Mémoires  sur  les 
séries  rencontrées  en  Mécanique  céleste;  en  particulier,  sur  les  séries  trigonomé- 
triques,  voir  le  Tome  IV. 

Les  travaux  recueillis  ici  sur  les  séries  de  Lindstedt-Gyldén  sont  en  général 
antérieurs  au  Tome  11  des  Méthodes  nouvelles  et  se  retrouvent,  remaniés,  dans 
dilTérenls  Cliapities  de  cet  Ouvrage  :  les  Chapitres  XI  pour  (23),  XVII  pour  (28), 
IX  pour  ("29)  et  (30),  XIII  pour  le  paragraphe  21  de  (21).  De  même,  sur  la  vérifi- 
cation des  séries  de  la  Mécanique  céleste  (31),  voir  le  Chapitre  XXIV  du  Tome  III. 

Les  vigoureuses  critiques  [(35),  (36),  (37)]  que  H.  Poincaré  a  émises  en  1904 
et  1900  oonlie  la  méthode  horistiqiie  de  dyldén  ne  concernent  que  les  Nouvelles 
recherches  ....  (1892).  Il  s'était  borné  dans  ses  éludes  antérieures,  mention- 
nées plus  haut,  à  piéciser  ou  compléter  certains  points  des  théories  de  Gyldén. 
Cependant,  dès  1889,  il  avait  acquis  une  certaine  méfiance  à  leur  égard  :  les  astro- 
nomes ayant  été  alertés  [depuis  (28),  entre  autres]  au  sujet  de  la  divergence  possible 
de  leurs  séries,  Gyldén  s'est  attaché  à  justifier  la  convergence  de  celles  qu'il  obtient 
dans  son  .Mémoire  du  Tome  IX  des  Acta  Mathematira  (1887);  Poincaré,  assuré 
qu'elles  divergeaient  (en  général)  par  la  façon  dont  elles  étaient  obtenues,  s'est 
astreint,  non  sans  mauvaise  humeur,  à  l'examen  détaillé  de  ce  travail.  On  trouvera 
dans  les  curieuses  lettres  qu'il  adresse  à  Miltag-Leffler  les  5  février,  i  et  3  mars  1889, 
lettres  publiées  dans  le  Tome  38  des  Acta  Mathemaliia,  le  récit  de  ces  pénibles 
investigations. 

L'idée  que  l'élimination  des  lermes  séculaires  ne  peut  conduire  à  des  séries  uni- 
formément convergentes  aura  donc  mis  vingt  années  à  s'imposer,  non  sans  diffi- 
cultés [voir  (32),  (33),  entre  autres].  Les  séries  divergentes  effrayent  les  calculateurs  ; 
on  s'est  en  général  borné,  depuis  lors,  :i  utiliser  celles  qui  avaient  fait  leurs 
preuves,  et  que  leurs  auteurs  (Newcomb,  Lindstedt,  (iyldén,  Hill)  n'avaient  pas 
hésité  à  introduire  puisqu'ils  ignoiaient  celle  divergence,  \insi,  la  lumière  ((ue 
Poincaré  a  projetée  sur  ce  terrain  difficile  en  a  paradoxalement  retardé  l'exploration; 
ne  s'y  hasardent  ])lus  guèie  que  les  chercheuis  les  moins  avertis,  sans  succès  évi- 
demment. 

L'équation  de  Gyldén-Lindsledt  [étudiée  dans  (28)  et  dans  le  Chapitre  XVII  des 
Méthodes  nouvelles;  voir  aussi  Tisserand,  loc.  cit.,  t.  III,  Chap.  I]  est  bien  connue 
en  Phvsique  mathématique  sous  le  nom  Adéquation  de  Mathieu  ou  du  cylindre 
elliptique.  Renvoyons  à  N.  W.  Mac  Lachlan,  Theory  of  Mathieu  functions. 
Oxford,  1947,  et  au  Chapitre  XIX  de  Modem  Analysis  de  Wiiittaker  et  Watson. 

Le  Théorème  II  du  deuxième  paragraphe  de  (21),  {voir  aussi  Méthodes  nou- 
velles, t.  I,  Chap.  Il),  est  devenu  classique  dans  l'étude  des  systèmes  difi'érentiels 
avec  paramètre,  qu'il  permaJt  d'ed'ectuer  :i  partir  du  plus  simple  d'entre  eux. 
Dinférentes  démonstrations  nouvelles  et  extensions  en  ont  été  données.  Voir  notam- 
ment E.  Picard,  C.  li.  Arad.  Se,  t.  118,  189'),  p.  760,  et  Traité  d'' Analyse,  t.  2, 
Chap.  XI;  et  aussi  K.  Popoff,  Mémorial  de  IWrtillerie  française,  1925.  M.  Mendi':s 
(Annal.  Obs.  Besançon,  t.  2,  1986,  p.  69)  envisage  le  cas  où  le  paramètre  est  une 
fonction  donnée  du  temps.  Le  théorème  a  permis  de  valider  des  procédés  de  calcul 


NOTES.  629 

nonjusliliés  par  leurs  auteurs,  rôle  analogue  à  celui  des  travaux  de  Cauchy  à  l'égard 
des  développements  en  série  de  ses  prédécesseurs;  voir  par  exemple  H.  Bateman, 
Partial diflerentialequations  .  .  . ,  New-York,  i944i  P-  497»  *u  sujetd'une  équation  de 
l'aocoustique  dont  la  résolution  par  Helmhoitz  a  été  ainsi  légitimée  par  C.  Srhaefer. 


Solutions  périodiques  et  asymptotiques. 

C'est  en  1878  que  paraît  le  célèbre  Mémoire  où  Hill  considère  pour  la  première 
fois  une  solution  périodique  du  Problème  des  trois  corps.  Mais  il  s'agit  d'un  cas 
très  particulier  (système  Terre-Lune),  et  l'on  doit  considérer  que  c'est  en  i883, 
dans  (19),  que  la  théorie  en  prend  naissance.  Leur  existence  est  établie  dans  (20), 
leur  étude  faite  dans  (21)  où  est  introduite  la  notion  d'exposant  caractéristique. 
Ces  travaux  sont  développés  dans  le  Tome  I  des  Méthodes  nouvelles. 

Les  compléments  théoriques  aux  recherches  de  Poincaré  ont  été  apportés  essen- 
tiellement par  A.  LiAPOUNOFF,  dont  le  Mémoire,  datant  de  1892,  a  été  traduit  en 
français  par  E.  Daval'x  en  1907  [Annales  de  la  Faculté  des  Sciences  de  Toulouse, 
(2),  t.  9,  p.  203-4(59]  ;  J.  H  A  DAMA  RD  ( /.  Mat  II.,  t.  3,  1897,  p.  33i);  E.  Picard  (  Traité 
d^ Analyse,  vol.  3);  et  par  Poincaré  lui-même  {voir  le  Tome  VIII  de  ses  Œuvres 
au  sujet  du  Théorème  de  Poincaré- Birliho(f'). 

C.  Charmer,  loc.  cit.,  a  discuté  les  orbites  périodiques  dans  les  cas  les  plus  acces- 
sibles. J.  Chazy  (Bull,  astron.,  t.  l'i',  19491  P-  i53),  a  mis  en  évidence  les  pro- 
priétés de  symétrie  présentées  par  les  solutions  périodiques  de  la  première  sorte. 
Whittaker  a  formé  un  critère  applicable  à  la  découverte  de  solutions  périodiques 
du  problème  restreint  (Monthly  Notices,  t.  62,  1902,  p.  186  et  346). 

Les  solutions  asymptotiques  ont  été  étudiées  par  D.  Bichanan  (  Trans.  of  the 
Canibr.  Phil.  Soc,  t.  22,  p.  3o9)  pour  les  mouvements  de  Lagrange  (triangle 
équilatéral  ),  par  L.  A.  Warrbn  {Am.J.  of  Math.,  t.  37,  1916,  p.  221)  pour  les 
points  de  libration  colinéaires.  K.  Popoff  {Bull,  astron.,  t.  9,  1934,  p.  177)  a 
examiné  le  cas  du  problème  restreint.  Le  principe  dynamique  de  prolongement 
que  Strômgren  avait  utilisé  pour  ses  recherches  numériques  {voir  plus  bas)  a  été 
justifié  par  A.  Wintner  {Math.  Zeitschri/t,  l.  Si,  i93i,  p.  32i  et  Bull,  astron., 
t.  9,  1936,  p.  aSi). 

Les  orbites  périodiques  de  deuxième  espèce  [paragraphe  23  de  (21); 
Chapitre  XXXII  des  Méthodes  nouvelles]  ont  été  construites  par  Poincaré  à  partir 
d'orbites  à  chocs,  relatives  au  mouvement  de  trois  corps  dont  deux  sont  de  masse 
nulle.  Une  sphère  d'activité  limitant  l'intluence  relative  des  deux  satellites  joue  un 
rôle  discutable  dans  le  raisonnement.  P.  Sémirot  {Chocs  et  solutions  périodiques 
dans  le  problème  des  trois  corps,  Thèses,  Paris,  1943  )  a  montré  sur  un  exemple 
simple  auquel  le  procédé  de  Poincaré  aurait  dû  s'appliquer  (attraction  par  deux 
centres  fixes)  qu'on  n'y  pouvait  déduiie  de  solutions  périodiques  dérivant  de  celle 
qu'on  obtient  lorsqu'une  des  masses  attractives  est  nulle.  L'existence  des  solutions 
périodiques  de  deuxième  espèce  du  problème  des  trois  corps  n'est  pas  impossible, 
mais  ne  doit  pas  être  considérée  comme  établie  par  l'analyse  qu'en  a  faite  Poincaré. 

Les  orbites  périodiques  et  asymptotiques  auxquelles  conduisent  la  théorie  de  la 


63o  NOTES. 

relalivilé  généralisée  oui  été  étudiées  par  \'.  IIac.iiiara  [Jap.  Joiir/i.  of  As/,  and 
Geoph.,  t.  8,  u)3i,  p.  fij);  Wiuttakkii  {/oc.  cit.,  S  170)  en  cite  quelques  résultats. 

Les  travaux  de  G.  BiiikhofI''  (foc.  cit.;  voir  aussi  Bull.  Soc.  Mailt.  France, 
vol.  'kO,  iç)i-!;  Trans.  Amer.  Math.  Soc,  vol.  18,  1917)  ont  généralisé  les 
recherches  de  Poincaré  pour  des  systÙTues  dynamiques  plus  généraux,  et  principa- 
lement pour  les  .'syxtème.'!  de  PfafJ.  Los  exposants  caractéiistiques  [§  10  de  (21  )]  en 
pailiculier,  ou  mulliplicaleurs  hatnilloniens,  se  présentent  comme  un  cas  particulier 
des  multiplicateurs  pfall'ietis  {loc.  cit.,  p.  89).  Mais  l'œuvre  puissante  de 
G.  Birkhoir  n'a  pas  encore  fourni  d'apport  sensible  à  la  Mécanique  céleste  pi'O- 
prement  dite. 

Différentes  études  numériques  ont  été  faites  dans  le  cas  du  problème  restreint. 
Citons  celles  qui  sont  contemporaines  des  travaux  de  Poincaré,  dues  à  C.  Burrau 
(Astr.  Marhr.,  t.  13o,  1894,  p.  9.33;  voir  aussi  T.  Thiei.e,  Astr.  ISachr.,  t.  138, 
189Ô,  p.  i);et  à  G.  Darwi.n  [Arta  math.,  t.  21,  1897).  Parmi  les  autres,  nous 
mentionnerons  les  plus  importantes  :  un  ensemble  de  recherches  faites  par 
F.  H.  Mot'LTON  et  ses  collaborateurs  {Periodic  Orbits,  publication  n"  161  de 
l'Institut  Carnegie,  Washington,  1920)  a  permis  de  mettre  en  évidence  les  trajec- 
toires de  nature  spéciale  qui  séparent  les  dillérenles  classes  de  solutions  pério- 
diques; dans  un  cas  particulier  du  problème  restreint  (mo^/Wi),  un  examen 
complet  des  orbites  périodiques  et  asymptotiques  a  été  réalisé  de  192'!  à  i933  par 
E.  Strô.mc.ren  et  ses  collaborateurs  (à  ce  sujet,  voir  dans  Bull,  astron.,  t.  9,  igSS, 
p.  87,  un  exposé  de  ces  travaux  et  leurs  références  bibliographiques). 

Intégrales  uniformes. 

La  non-existence  de  nouvelles  intégrales  analytiques  uniformes  du  problème 
restreint  des  trois  corps  est  établie  au  paragraphe  22  de  (21).  L'extension  de  la 
propriété  au  problème  général  est  faite  dans  les  Méthodes  nouvelles  (t.  I,  §  8.'j). 
Il  est  à  noter  que  le  théorème  de  Bruns  (1887)  sur  la  non-existence  de  nouvelles 
intégrales  algébriques,  théorème  dont  Poincaré  a  complété  la  démonstration  en  1896 
dans  (26),  était  au  contraire  relatif  au  problème  général;  sa  validité  pour  le 
problème  restreint  n'a  été  reconnue  que  beaucoup  plus  tard,  par  C.  L.  Siegel, 
{Trans.  Amer.  Math.  .Sor.,  t.  39,  igSô,  p.  22.5).  P.  PAi.M.EVf:  a  étendu  la  propo- 
sition de  Poincaré  en  montrant  (C.  /?.  A<ad.  Se,  l.  130,  1900,  p.  1O99)  l"''  suffisait 
d'imposer  la  condition  de  légulariié  par  rappoit  aux  vitesses  pour  entraîner  la  non- 
existence  des  intégrales  analytiques. 

Le  domaine  d'application  du  théorème  est  bien  plus  réduit  que  ne  pourrait  le 
faire  supposer  l'énoncé  qu'on  en  donne  habituellement.  La  démonstration  repose 
en  elTet  sur  la  considération  d'un  système  d'équations  dont  les  seconds  membres 
sont  périodiques  par  rapport  aux  variables  angulaires. ^^i  variables  sont  fonctions 
des  éléments  osculateurs  des  mouvements  relatifs,  lesquels,  pour  qu'il  y  ait  péiio- 
dicité,  doivent  être  essentiellement  supposés  elliptiques.  Or  il  n'y  a  en  général 
aucun  moyen  de  savoir  si  un  mouvement  possédant  initialement  celte  propiiété  la 
conserve  indéfiniment.  Dans  l'espace  à  douze  dimensions  des  coordonnées  et  des 
vitesses,    il    n'y  a   aucun   volume  en    tous   les   points  duquel    le  théorème  puisse 


NOTES.  63l 

s'appliquer.  'I\  Lévi-Civita  l'a  noté  pour  le  problème  restreiut  (Actti  inatli.,  l.  30, 
1906,  p.  327).  J.  CiiAZY  a  mis  en  évidence  un  grand  nombre  de  familles  d'intégrales 
analytiques  du  problème  général  des  trois  corps  {Bull,  astron.,  l.  8,  1988,  p.  l\oZ), 
et  a  fait  ressortir  la  diftërence  qu'odre  à  ce  sujet  le  théorème  de  Poincaré  et  celui 
de  Bruns. 

Invariants  intégraux. 

La  notion  d'invariant  intégral  apparaît  dans  le  Chapitre  II  de  (21)  en  même 
temps  que  sa  théorie.  On  sait  que  J.  Lioivili.e  {J .  Mtilh.,  t.  3,  i838,  p.  3/18)  puis 
L.  BoLTZMANN  {Journal  de  Crelle,  t.  73,  1871,  p.  lu)  avaient  utilisé  pour  des 
problèmes  d'hydrocinétique  une  intégrale  multiple  qui  n'est  autre  que  le  plus 
simple  des  invariants  de  Poincaré,  l'invariant  intégral  de  volume.  Bien  que  ce  soit 
celui  dont  l'usage  est  le  plus  courant,  le  champ  de  ses  applications  ne  sest  cons- 
titué qu'après  que  Poincaré  Feiît  redécouvert  (21)  en  le  généralisant. 

La  théorie  des  invariants  intégraux,  que  Poincaré  lui-même  a  approfondie  dans 
le  Tome  III  des  Méthodes  nouvelles,  est  aujourd'hui  classique.  Cilons  en  deux 
Traités  (leurs  auteurs  lui  ont  apporté  par  ailleurs  une  contribution  essentielle  au 
cours  de  nombreuses  recherches):  E.  Cautan,  Leçons  sur  les  rnvuri/ints  intégraux, 
Paris,  1922;  Tu.  du  Do.nder,  Théorie  des  invariants  intégraux-,  Paris,  1927.  Nous 
nous  bornerons  ici  à  mentionner  une  propriété  qui  peut  jouer  dans  l'étude  quanti- 
tative des  systèmes  d'équations  diflerentielles  un  rôle  pratique  qu'elle  ne  semble 
pas  avoir  tenu  jusqu'ici  :  E.  Goursat  a  montré  (/.  Math.,  6"  séiie,  t.  \,  1908, 
p.  33i)  que  la  connaissance  d'un  invariant  intégral  permet  d'extraire  d'un  système 
donné  un  système  d'équations  plus  simple  dont  toutes  les  intégrales  appartiennent 
au  système  initial. 

La  première  conséquence  que  Poincaré  déduit  de  sa  théorie  est  exprimée  par  le 
théorème  I  [§  8  de  (21)]  ou  théorème  de  récurrence.  Les  trajectoires  qui  y  sont 
appelées  exceptionnelles,  et  qui  forment  un  ensemble  de  mesure  nulle  dans  la 
région  de  l'espace  à  2rt  dimensions  oii  le  théorème  s'applique,  ne  peuvent  remplir 
aucun  continuum  fini  et  fermé  quel  que  soit  le  nombre  de  ses  dimensions  (J.  Llïvï, 
Les  approches  dans  le  problème  des  trois  corps,  Thèses,  Paris,  1943).  Le  théorème 
de  récurrence  est  à  l'origine  des  recherches  (|ui  ont  conduit  G.  Biiîkhoff,  an 
théorème  ergodique,  dont  l'exposé  définitif  a  paru  en  1982  {Bull.  Amer.  Math. 
Soc,  t.  38,  p.  36i).  Le  théorème  ergodique  ayant  été  rattaché  directement  à  la 
théorie  des  ensembles  à  partir  de  la  notion  de  mesure  de  Lebesgue,  il  n'y  a  lieu 
ici  que  de  le  mentionner.  Son  utilisation  pour  l'étude  des  systèmes  dillérentiels  est 
subordonné  à  l'existence  d'une  propriété  de  transitivité  dont  il  est  dans  le  cas 
général  extrêmement  difficile  de  s'assurer.  Une  application  en  a  été  faite  à  divers 
systèmes  de  Mécanique  céleste,  à  trois  degrés  de  liberté,  pouvant  se  ramener  au 
mouvement  d'une  masse  dans  un  champ  de  forces  de  révolution,  par  II.  Fabre 
{Bul.  astron.,  t.  10,  1987,  p.  297,  et  t.  11,  1988,  p.  17). 

L'emploi  des  invariants  intégraux  avait  conduit  Poincaré  à  des  résultats  positifs 
principalement  en  ce  qui  concerne  les  solutions  du  problème  restreint;  il  leur  avait 
reconnu  la  stabilité  à  la  Poisson.  Le  problème  général  des  trois  corps  a  lui  aussi 
bénéficié  de  cette  théorie,  dans  les  travaux  de  J.  Chazv  :  l'ensemble  des  trajectoires 


632  NOTES. 

issues  des  points  iruii  cerlain  volume  de  l'espace  a  douze  dimensions  des  coordon- 
nées el  des  vitesses  présente  la  stabilité  à  la  Poisson;  toutes  les  auties  trajectoires 
possèdent  la  propriété  de  réversibilité ,  c'est-à-dire  que  le -mouvement  relatif  de 
deux  quelconques  des  corps  est  de  la  même  naluro  (elliptique,  parabolique  ou 
hyperbolique)  pour  les  valeurs  du  temps  inlînimenl  grandes  positives  et  négatives 
(7.  Mi/th.,  g"  série,  t.  8,  1929,  p.  353;  Bull,  nstron.,  l.  8,  igS'i,  p.  408).  Ces  pro- 
priétés, jointes  h  l'élude  des  points  singuliers  du  système,  ont  permis  à  J.  Cliazy 
{voir  les  références  dans  la  bibliographie  donnée  par  Wintner,  loc.  cit.)  une  classi- 
fication el  une  localisation  lelalive  de  toutes  les  trajectoires  possibles  dans  le  pro- 
blème des  trois  corps.  Cette  analyse  n'a  pas  d'équivalent  parmi  celles  qu'on  a  pu 
faire  au  sujet  d'autres  systèmes  dillérentiels  d'ordre  élevé;  elle  doit  être  considérée 
comme  le  développement  des  résultats  el  des  méthodes  du  Mémoire  (21). 

Dirterentes  branches  de  la  Physique  mathémati(]ue,  notamment  la  Mécanique 
statistique,  la  Théorie  cinétique  des  gaz,  la  Mécanique  atomique,  l'Hydrodynamique, 
l'Electromagnélisme,  font  appel  aux  propriétés  des  invariants  intégraux.  La  Méca- 
nique analytique,  grâce  à  eux,  a  été  dotée  par  A.  LiCHNÉROyvicz  {C.  R.  Acad.  Se, 
t.  'i\~l,  19^3,  p.  660)  du  principe  suivant  :  quelles  que  soient  les  forces  mises  en 
jeu.  Vinté'J^rnle  qui  s^ écrit,  avec  les  notations  habituelles. 


.//■ 


2  dpi  dq,  -  ^H  dt  +  IQ,  dqi  dt. 


étendue  à  la  surface  balayée  au  cours  d'un  déplacement  arbitraire  des  états  le  long 
de  leurs  trajectoires  respectives,  est  nulle.  Ce  principe  pourra  dans  l'avenir  jouer 
un  rôle  fondamental,  comparable  à  celui  qu'a  tenu  jusqu'ici  le  principe  de  moindre 
action. 

Jacques  Lévy. 


TABLE  DES  MATIERES 

DU  TOME  VII. 


MÉCANIQUE  ANALYTIQUE  ET  MÉCANIQUE  CÉLESTE. 

l'agcs. 
AVANT-PBOPOS. 

Analyse  de  ses  travaux  scientiliques,  par  Henri  Poincaré  {Acta  Malh.,  t.  :Î8,   1921, 

p.  104-114) I 

Masses  fluides  en  lotalion. 

t.    Sur  rt-(|uilibre   d'une  masse  lluide  animée  d'un   niouxement  de  rolalinn  1,  C.  H  ■ 

Acad.   Se,  l.  100,  iS85,   p.  346-348) i4 

•2.    Sur  l'équilibre  d'une  masse  lluide  animée  d'un  mouvenienl  de  rotation  (Bull. 

astron.,  t.  2,  1885,  p.  109-118) 17 

o.    Sur  l'équilibre  d'une  masse  fluide  animée  d'un  mouvenienl  de  rotation  {Bull. 

astron.,  t.  2,  l885,  p.  4o5-4i3) 26 

i.   Sur  l'équilibre  d'une  masse  lluide  animée  d'un  mouvement  de  rotation  (C.  K. 

Acad.  Se,  t.  100,  188"),  p.  1068-1070) 34 

5.    Sur  l'équilibre  d'une  masse  fluide  animée  d'un  niou\ement  de  rotation  {C.  B- 

Acad.  Se,  t.  101,  i885,  p.  307-809) 37 

(i.    Sur  l'équilibre  d'une  masse  fluide  animée  d'un  mouvement  de  rotation  [Acta 

Math.,  t.  7,  i885,  p.  259-380 ") ^o 

7.    Sur  l'équilibre  d'une  masse  fluide  en  rotation  (C.  B.  Acad.  Se,  t.  102,   1886, 

p.  970-972) i4t 

iS.    Sur  un   théorème   de   M.   Liapounoll',   relatif  à  l'équilibre  d'une    niasse    fluide 

(C.  B.  Acad.  Se,  t.  104,  1887,  p.  622-625) i43 

'J.   Sur  l'équilibre  d'une  masse  hétérogène  en  rotation  {C.  R.  Acad.   Se,  t.    106, 

1888,  p.  1571 -1074) 147 

10.  Sur  l'équilibre  d'un  fluide  en  rotation  {Bull,  astron..  l.  10,  1899,  p.  161-169).  •      ■  " 

11.  Sur  la   stabilité  de  l'équilibre  des  figures  piriformes  afl'eclées  par  une  masse 

lluide  en  rotation  (Proc.  Boy.  Soc.  London,  vol.  69,  1901.  p.  i  i8-i',9) 1J9 

l"2.    Sur  la  stabilité  de  l'équilibre  des   figures   piriformes  afteclées  par  une  masse 

fluide  en  rotation  {Phil.  Trans.,  A,  t.  198,  1901,  p.  333-i73) 161 

13.   Les  formes   d'éi|uilibre  d'une   masse  fluide  en    rotation   {Bévue  générale  des 

Sciences,  t.  :i,  1892,  p.  809-815) 2o3 

Principes  de  Mécanique  analytique. 

li.    Sur   une    l'orme   nouvelle  des   équations   de    la    .Mécanique   {C.   B.   Acad.   Se, 

t.  132,   1901,   p.  369-371) 218 

IS.    Sur  une  généralisation  delà  méthode  de  Jacobi(C  B.  Acad.  Se.  t.  149,  1905, 

I).    I  io5-i  108  > 220 


634  TABLE    DES    MATIERES, 

Prtges. 
Itl.    Sur  les  solutions  périodiques  cl   le   |)rinci|io  de   inoindie  aclioii  (C.  R.  Acad. 

Se,  t.  1-23,  1896,  p.  9i5-i)i8) a-î  t 

17.    Les  solutions  périodiques  et  le  ])rincipe  de  moindre  action  (C.  H-  Acad.  Se, 

t.  151.    1897,  p.  713-71G) ■-'-■'■7 

IS.    Les   idées   de    Hertz   sur  la  Mécanique  {ftei'ue  générale  des  Sciences,   l.  8, 

««97.  !'•  7^1-740 ■     ■«^' 

Problème  des  trois  corps. 

m.    Sur  ceitaines  M)lulii)ns  particulières  du  problème  des  trois  corps  (C.  Ft.  Acad. 

Se,  t.  117,  i88j,  p.  251-2")?.) 25i 

-20.    Sur  certaines  solulions  particulières  du  problème  des  trois  corps  {Bull,  astron., 

t.  1,  1884,  p.  (i'l-74  ) ■'■33 

:2I  .    Sur  le  problème  des  trois  corps  et  les  équations  de  la  Dynamique  (Mémoire 

couronné  du  Prix  de  S.  M.  le  roi  Oscar  II  de  Suède),  {Acta  Math.,  t.    13, 

1890,  p.   1-270) 26a 

-2i'.    Sur  le  problème  des  trois  corps  (Bull,  astron.,  t.  8,  1891,  p.  12-24) 48o 

■23.    Sur-  l'application  de  la  méthode  de  M.   Lindstedt   au   problème  des  trois  corps 

{C.  H.  Acad.  Se,  t.  114,  1892,  p.  i3o5-i3o9) 49' 

21.   Sur  une  forme  nouvelle  des  équations  du  problème  des  trois  corps  (C.  R.  Aca/l. 

Se,   t.    1-23,  1890,   p.    io3i-io35) i9G 

•2j.   Sur  une  forme  nouvelle  des  équations  du  problème  des  trois  corps  {Bull,  astron., 

I.  I  i.  1897,  p.  53-G7  et  Acta  Math.,  t.  21,  1897,  p.  8'J-97) &00 

■2(j.   Sur  la  métliode  de  Bruns  (C.  R.  Acad.  Se,  t.   123,  1896,  p.   1224-1228) 5i2 

27.  Sur  l'intégration   des  équations  du   problème  des  trois   corps   {Bull,  astron., 

t.    I  î.    1897,    p.    2'il-270) i)I7 

Séries  de  la   Mécanique  céleste. 

28.  Sur  une  équation  diirérentielle  (C  R.  Acad.  Se,  t.  98,  1884,  p.  793-793) 543 

29.  Sur  une  méthode  de  M.  Lindstedt  {Bull,  astron.,  t.  3,  1886,  p.  57-61) 546 

30.  Sur  les  séries  de  M.  Lindstedt  {C.  R.  Acad.  Se,  t.  108,  1889,  p.  21-24) 55i 

31  .  Sur  un  procédé  de  vérification,  applicable  au  calcul  des  séries  de  la  Mécanique 

céleste  [C.  R.  Acad.  Se,  t.    120,  1895,   p.  67-59) 555 

32.  Sur  la  divergence  des  séries  de  la  Mécanique  céleste  {C..R.  Acad.  Se,  t.  122, 

1896,  p.  497-499  ) ■'^** 

33.  Sur  la  divergence  des  séries  trigonométriques  (C.  R.  Acad.  Se,  t.   122,   1896, 

|).   557-559) 56i 

3i.    Sur  la  façon  de  grouper  les  termes  des  séries  trigonométriques  qu'on  rencontre 

en  Mécani^pu;  céleste  {Bull,  astr.,  t.  1.5,  1898,  p.  289-310) 564 

33.   Sur  la  méthode  horistique  de  Gyidén  (C.  R.  .icad.  Se,  t.  138,  1904,  p.  933-936).  583 

36.  Sur  la  méthode  horistique  de  Gyidén  {Acta  Math.,  t.  29,  1905,  p.  23-5-27I) 587 

37.  Sur  la  méthode  horistique  :  Observations  sur  un  Article  de  M.  Back\und  {Bull. 

astron.,  t.  21,  1904,  p.  292-295) (J19 

iNoTES 624 

TaBI.K   DKS   MATIKHKS 633 


PARIS    —  IMPRIMERIE  GAUTIIIEK-VILLARS. 
138265-51         Quai  des  Grantls-Augustins,  55. 


|ii;|iùt  It'i^iil,    [mpriiiicur,  njji,  ii°  '1 1 1 
[•épôl  légal,      l'^iliteur,      igôi,  n"  393 

ACHEVÉ    D'nil'RlMER,    LK    ij    DKI'.EMBBE    I|l5l